FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c POR EL METODO DEL ASPA PROBLEMAS RESUELTOS

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Factorización de un trinomio de la forma: x2 + bx + c
Todo trinomio de esta forma se descompone en un producto de dos factores binomios (x+p)(x+q) en los cuales el primer término “x” es la raíz cuadrada del primer término del trinomio (ya ordenado) y los segundos términos “p” y “q” son aquellos cuya suma algebraica sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y el producto de ellos, o sea “p” y “q” sea el último término, llamado término independiente (c).
En resumen: x2 + bx + c = (x + p) (x + q) siendo: p + q = b y p · q = c
Ejemplo 1 Factorizar el trinomio: x2 + 9x + 14
Resolución:
x2 + 9x + 14 = (x + p)(x + q)
Siendo: · p + q = 9
·· p · q = 14
Escribimos los pares de los factores positivos de 14 tenemos que:
14 = 1 · 14
14 = 2 · 7
De estos pares de factores debemos elegir uno de los que cumpla la condición que: p+q = 9; este par como puede observarse, es el formado por los números 2 y 7.

Luego: x2+9x+14 = (x+2)(x+7)
Ejemplo 2 Factorizar: x2 + 10x + 24
Resolución:
x2 + 10x + 24 = (x + p)(x + q)
Siendo: · p + q = 10
·· p · q = 24
Escribimos los pares de los factores positivos de 24 tenemos que:
24 = 1 · 24
24 = 2 · 12
24 = 3 · 8
24 = 4 · 6

De estos pares de factores debemos elegir uno de los que cumpla la condición que: p+q = 10; este par como puede observarse, es el formado por los números 4 y 6.

Luego: x2 + 10x + 24 = (x + 4)(x + 6)
El proceso seguido en cada factorización anterior sobre trinomios de la forma x2 + bx + c, se puede efectuar aplicando el método del aspa.
Método del aspa
1o Se descompone el primer término del trinomio (x2) en dos factores. De cada factor se sale una flecha y forma una equis ()
2o Se descompone el término independiente (18) en dos factores, a estos factores llegan las flechas, para determinar el signo de dichos factores basta fijarse en el signo del segundo término del trinomio. Si el signo del segundo término es positivo, los dos factores binomios son dos sumas y si el signo del segundo término es negativo, los dos factores binomios son dos diferencias. Ahora si el tercer término (independiente) es negativo, los factores binomios serán uno suma y el otro diferencia. (Se coloca el signo del segundo término al mayor producto obtenido al multiplicar el aspa).
3o Por último se multiplican los factores obtenidos como indican las flechas. Si esta suma es igual al segundo término del trinomio, entonces termina la factorización y los factores que correspondan al trinomio son los binomios considerados en su posición horizontal. (En caso que la suma es diferente al segundo término del trinomio, se ensaya por otros factores).
Ejemplo 1 Factorizar: x2 – 7x + 12
Resolución:
Ejemplo 2 Factorizar: a4 – 16a2 + 64
Resolución:
Ejemplo 3 Factorizar: x2n + 2xn – 15
Resolución:
1 Hallar dos números cuya suma y producto sean respectivamente los que dan cada ejercicio: a) 6 y 8
Resolución:
Buscamos dos números que sumados den 6 y multiplicados den 8; estos números son: 2 y 4.
b) 12 y 35 f) 5 y -24 i) -4 y -60 l) -6 y -72 o) -8 y -65
c) 10 y 24 g) 7 y -18 j) -5 y -24 m) -15 y 36 p) -12 y 32
d) 13 y 40 h) 1 y -42 k) -2 y -48 n) 6 y -112 q) 4 y -77
e) 17 y 72
2 Factorizar cada uno de los trinomios siguientes:
a) x2 + 11x + 24 = g) x2 + 2x – 8 = m) x2 + 13x – 48 = s) x2 – 15x + 56 =
b) x2 + 13x + 22 = h) x2 + 5x – 24 = n) x2 + 6x – 40 = t) x2 – 13x + 40 =
c) x2 + 9x + 20 = i) x2 + 8x – 48 = o) x2 – 14x – 32 = u) x2 + 5x – 36 =
d) x2 + 14x + 13 = j) x2 + 15x – 16 = p) x2 – 7x – 44 = v) x2 + 6x – 72 =
e) x2 + 15x + 54 = k) x2 + 6x – 72 = q) x2 – 16x – 132 = w) x2 + 13x – 68 =
f) x2 + 16x + 28 = l) x2 + 5x – 36 = r) x2 – 12x – 64 = z) x2 – 12x – 45 =
3 Factorizar cada uno de los trinomios siguientes:
a) x2 + 24 – 11x = e) x2 – 5x – 104 = i) x2 – 27 + 6x = m) x2 – 72 + 14x =
b) x2 – 21 + 4x = f) x2 + 42 – 13x = j) x2 – 128 – 8x = n) x2 + 126 – 23x =
c) x2 – 8x – 48 = g) x2 – 20 + 8x = k) x2 + 121 + 22x = o) x2 – 96 + 10x =
d) x2 – 70 – 3x = h) x2 – 99 + 2x = l) x2 – 56 – x =
4 Factorizar cada uno de los siguientes trinomios:
a) x8 – 3×4 – 18 = e) a4n + 5a2n – 6 = i) x16 – 15×8 + 26 = m) x6 + 10×3 + 16 =
b) x6 – 5×3 – 14 = f) x6 + 2×3 – 24 = j) a6n + 2a3n – 24 = n) x18 + x9 – 30 =
c) x10 + 9×5 + 8 = g) x8 – 3×4 – 40 = k) x2n + 3xn – 54 = o) x20 – 20×10 + 91 =
d) (ax)2 – 3ax – 18 = h) x12 – 7×6 – 44 = l) x4 + 9×2 – 52 = p) x2n – 12xn + 36 =
5 Factorizar cada uno de los siguientes trinomios:
a) (x + 2)2 + 12(x + 2) + 27 = e) x2 + (3a – 2b)x – 6ab = h) (x + 3y)2 + 4(x + 3y) – 21 =
b) (x – 3)2 + 3(x – 3) – 28 = f) (x + 5)2 + (x + 5) – 72 = i) x2 – (a – 5b)x – 5ab =
c) (x – y)2 – 7(x – y) – 18 = g) (x – 7)2 + 7(x – 7) + 6 = j) (x + 4)2 + 2(x + 4) – 3 =