CASO DEL TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c EJERCICIOS RESUELTOS Y PARA RESOLVER EN FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

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Factorización de un trinomio de la forma: ax2 + bx+ c ax2 + bx + c; (a ¹ 1) Cuando el coeficiente del primer término de un trinomio no es la unidad, para factorizar dichos trinomios, se emplea el siguiente desarrollo. Ejemplo 1 Factorizar: 2×2 + 7x + 6 Resolución: Para factorizar se hará como sigue: 1o Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primer término indicando multiplicación en el segundo término, para conservar su coeficiente. O sea: Siendo: 2×2 + 7x + 6 se multiplica cada término por 2, obteniendo: 2·2×2 + 2·7x + 2·6 4×2 + 2 · 7x + 12 2o Se extrae la raíz cuadrada del primer término de esta última expresión, lo cual nos servirá como primer término de los dos factores binomios. O sea: 3o Se buscan dos números tales que multiplicados den el tercer término ya multiplicado y cuya suma sea el coeficiente no multiplicado del segundo miembro. Producto = 12 = 4 · 3 Suma = 7 = 4 + 3 4o Se forman los dos factores binomios con los términos así encontrados, o sea con la raíz cuadrada como primer término de cada uno de los binomios y con los números encontrados como los segundos términos. (2x + 4)(2x + 3) 5o Se divide el producto indicado de dichos factores binomios entre el coeficiente del primer término, para anular la multiplicación anterior. 6o Se extrae factor común en uno o en los dos factores binomios, según el caso, para la simplificación: 7o Se simplifica, el producto de los dos factores binomios que queda en la factorización del trinomio. 2×2 + 7x + 6 = (x + 2)(2x + 3) · Otra forma: De factorizar estos trinomios es utilizando el Método del Aspa estudiado en el caso anterior. 2×2+7x +6 2x +3 +3x x +2 +4x +7x Ejemplo 2 Factorizar: 3×2 – 10x – 8 Método: Multiplicando y dividiendo por el coeficiente del primer término. 1o Multiplicamos por 3 3(3×2) – 3(10x) – 3(8) (3x)2 – 10(3x) – 24 2o Factorizando, obtenemos: (3x)2 – 10(3x) – 24 = (3x – 12)(3x + 2) 3o Dividimos entre 3 ; sacamos factor común “3” del primer paréntesis Simplificación queda: (x – 4)(3x + 2) \ 3×2 – 10x – 8 = (x – 4)(3x + 2) · Método del aspa: 3×2 – 10x – 8 3x +2 +2x x -4 -12x -10x Ejemplo 3 Factorizar: 5×2 – 17x – 12 Resolución: 5×2 – 17x – 12 5x +3 +3x x -4 -20x -17x Ejemplo 4 Factorizar: 3×2 + 23x – 36 Resolución: 3×2 + 23x – 36 3x -4 -4x x +9 +27x +23x 1 Factoriza cada uno de los trinomios siguientes: a) 2×2 + x – 10 = e) 4×2 – 5x – 21 = i) 3×2 + 2x – 1 = m) 6×2 + 7x – 3 = b) 2×2 + 13x – 24 = f) 2×2 + 5x – 3 = j) 2×2 – x – 15 = n) 10×2 + 17x + 6 = c) 3×2 + 14x + 8 = g) 5×2 – 28x – 12 = k) 5×2 + 31x + 6 = o) 4×2 + 8x – 21 = d) 3×2 + 35x – 12 = h) 4×2 + 25x + 6 = l) 4×2 + 5x – 21 = 2 Factoriza cada uno de los trinomios siguientes: a) 3×2 – 2 – 5x = e) 2×2 – 7 – 5x = i) 7×2 – 6 – 19x = m) 6×2 – 2 – x = b) 2×2 – 18 – 9x = f) 6×2 + 3 + 19x = j) 2×2 – 54 – 3x = n) 10×2 + 3 – 13x = c) 4×2 – 3 – 11x = g) 8×2 – 10 – 11x = k) 3×2 – 32 – 4x = o) 12×2 -2 + 5x = d) 5×2 – 4 – 8x = h) 4×2 + 3 + 13x = l) 5×2 – 16 – 38x = Para factorizar completamente un polinomio real en “x”, se aconseja a seguir los pasos siguientes: 1. Analizar si tiene un factor común monomio. 2. Determinar si es una diferencia de cuadrados, una diferencia de cubos o una suma de cubos. 3. Analizar si es un trinomio cuadrado perfecto. 4. Si no es un trinomio cuadrado perfecto, determinar si es de la forma: x2+bx+c; o de la forma: ax2+bx+c; siendo a ¹ 1 5. Si el polinomio tiene cuatro o más términos, determinar si es posible agrupar sus términos de modo que tengan un factor común. 6. Asegurarse que cada factor es primo, y luego comprobar el trabajo realizado multiplicando los factores.