FACTORIAL DE UN NUMERO Y NUMERO COMBINATORIO EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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para que posteriormente estudiemos con soltura el análisis combinatorio , previamente veamos algunas herramientas tales como el factorial de un número y los números combinatorios. Adicionalmente veremos el cofactorial de un número.
factorial de un número
Llamamos así al producto que resulta de multiplicar todos los números enteros y positivos consecutivamente desde la unidad hasta el número considerado inclusive ; se denota por : n! ó ó
* Se lee : factorial de «n» ó «n» factorial.
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Número combinatorio
Se define como el número total de grupos que se pueden formar con «n» elementos tomados de «k» en «k», de modo que los grupos se diferencien por lo menos en un elemento.

• Nos interesa estudiar los símbolos convencionales :
: Factorial de “n”
: Combinaciones de “n” en “k” y el coeficiente binomial “n” de “k”.
• Resaltar la importancia de estos operadores matemáticos para la obtención de la potencia de un binomio o de un polinomio elevado a un exponente natural.

I. FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL
El factorial de un número natural n, es el producto que resulta de multiplicar todos los números naturales consecutivos desde el 1, hasta el número n inclusive.
Simbología : n! , ,
Lectura : Factorial del número n
Axiomáticamente, se define:

Ejemplos:
6 ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720
4 ! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24
= 1 · 2 · 3 ……….. (x+3) (x+4) (x+5)
= 1 · 2 · 3 ………. (2p–3) (2p–2) (2p–1)
(a2) ! = 1 · 2 · 3 ………. (a2–2) (a2–1) (a2)

PROPIEDADES:
1º) Por definición:

Ordenando:
Ejemplos: •
• (x+1)! = (x+1) x!

2º)
Ejemplo:
• Calcular la suma de los valores que puede adquirir la incógnita x, en la ecuación:
(2×2 – x)! = 1
2×2 – x = 0 2×2 – x = 1
x (2x – 1) = 0 2×2 – x – 1 = 0
x (2x – 1) = 0 (2x+1) (x – 1) = 0
x1= 0 x2= x3= x4=1
Nos piden: x1 + x2 + x3 + x4 = 1
3º) , tal que ab ¹ 0, se cumple:

Ejemplo: Resolver la ecuación:

Como:
Resulta:
Por la propiedad: 2m2 + m = 6
2m2 + m – 6 = 0
Factorizando: (2m – 3) (m+2) = 0
Entonces:
4º) Descomposición factorial general
Por definición:

Ejemplos :




Ejemplo: Dar el valor de la expresión:

E = 1320 + 90 + 7920 = 9330

PROPIEDADES AUXILIARES:
a) se cumple:

Ejemplos :


• (x – 1)! + x! = (x+1) · (x – 1)!
b) se cumple:

Ejemplos:


• (m – 1)! + m! + (m + 1)! = (m + 1)2 (m – 1)!
c) Descomposición racional de una fracción

Ejemplo: Calcular la suma de la serie:

Descomponiendo cada una de las fracciones:

resulta:

II. SEMIFACTORIAL, COFACTORIAL O
CUASIFACTORIAL DE UN NÚMERO
NATURAL
Simbología :
Lectura : “Semifactorial del número n”
Axiomáticamente, , se define:

Ejemplos:
– Para números pares, se tienen :
6!! = 2 · 4 · 6 = 48
10!! = 2 · 4 · 6 · 8 · 10 = 3840
(2m)!! = 2 · 4 · 6 · 8 …… (2m–4)(2m–2)(2m)

– Para números impares, se muestran :
5!! = 1 · 3 · 5 = 15
9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945

También debemos observar que:

FÓRMULAS GENERALES
DEL SEMIFACTORIAL:
a) Si n es un número par
n!! = 2 · 4 · 6 · 8 …… n

Por lo tanto:

Ejemplos :

b) Si n es un número IMPAR
n!! = 1 · 3 · 5 · 7 …….. n
Multiplicando y dividiendo por:
[2 · 4 · 6 …. (n – 1)]

Por lo tanto:
Ejemplos:

NÚMERO COMBINATORIO
Combinaciones de n elementos, tomados de k en k (n ³ k), es el número de maneras en que se pueden agrupar los n elementos en grupos de k elementos, de tal manera que cada grupo se diferencie por lo menos en un elemento, sin interesar el orden de sus elementos.
Ejemplo explicativo:
¿De cuántas maneras se pueden agrupar 6 elementos tomados de dos en dos? Veamos:
Sean:
Se obtienen:

En general , se trata de agrupar “n” elementos tomados de “k” en “k”. El número de maneras se obtiene a partir de la fórmula matemática:

Donde:
n : Es el índice superior, el cual nos indica el número total de elementos.
k : Es el índice inferior, el cual nos muestra el número de elementos existentes en cada grupo.
Aplicándolo en el ejemplo anterior :

REGLA PRÁCTICA
En la definición, aplicando la descomposición general:

Por lo tanto:

Ejemplos:
*
*
*

PROPIEDADES:
1º Combinaciones Complementarias

Ejemplos:


Estamos observando que para ciertos números combinatorios, esta propiedad, nos permite reducir sus índices inferiores.

OBSERVACIÓN IMPORTANTE:
Al analizar , en el conjunto y aplicar la anterior propiedad para k=n, se obtiene:

Por la teoría coordinatoria se sabe que .
Por lo tanto:
Aplicando la definición del número combinatorio:

Simplificando:
Resulta la relación:
Convencionalmente, para que esta igualdad este definida, se concluye que:

Finalmente, será correcto afirmar lo siguiente :



CONSECUENCIA DE LA PROPIEDAD
Si se tiene la igualdad:
Se cumple: r = p
En (a), aplicando la propiedad:
Se verifica: r = n – p, es decir: r + p = n
En síntesis:

Debemos tener en cuenta, que las igualdades resultantes, son relaciones mutuamente excluyentes. Es decir, una de ellas es independiente de la otra.
Por ejemplo: Calcular el valor de (m+p) en:

Se cumple: 10 – p = p – 6 …… (I)
16 = 2p ® p = 8

o también: (10 – p) + (p – 6) = 2m …… (II)
4 = 2m ® m=2
Un valor resultante es: m + p = 10
observar que las ecuaciones (I) y (II), no forman un sistema, ya que estas igualdades son completamente independientes.

2º Suma de Combinaciones

Ejemplos: •

Ejercicio: Calcular la suma de la serie:

Sumando y restando , resulta:

3º Degradación de índices
a)
b)
c)

Ejemplos explicativos:
1. Resolver:
Descomponiendo el 20 y pasando a dividir uno de sus factores, resulta:

Por la propiedad 3b), se tiene:

En el primer miembro, degradando el índice inferior putilizando la propiedad 3a):

Simplificando: m – 4 = 3 ® m = 7

2. Simplificar la expresión:

Factorizando el numerador y aplicando la propiedad 3b en el denominador:

3. Qué valor de n verifica la igualdad:

* Pasando la unidad al primer miembro, y expresándola como un número combinatorio, así:

En el 2do. miembro, aplicando la propiedad 3c:

4 (2n+1) = 3 (2n+4)
8n + 4 = 3n + 12
2n = 8 ® n = 4
BLAISE PASCAL (1623 – 1662)
Clermont – Ferrand (Auvernia) 19 de Julio de 1623 – París.
Matemático, físico, filósofo y escritor francés.
Pascal fue educado con la mayor dedicación por su padre que era abogado y presidente del tribunal de apelación.
Como se le consideró poco inteligente para abordar el estudio de las matemáticas, fue dedicado al estudio de las lenguas. A los doce años se despertó su curiosidad matemática y cuatro años después escribió y publicó un ensayo original sobre secciones cónicas.
Disfrutó en París de la compañía de Robernal, Mersenne y otros matemáticos de renombre, cuyas reuniones semanales se convirtieron, finalmente, en la Academia Francesa de Ciencias.
A los 18 años de edad, se entretenía haciendo su primera máquina de calcular, y seis años más tarde publicó Nuevos experimentos sobre el vacío. Fue superdotado tanto en las ciencias prácticas y experimentales como en la geometría pura.
De un debate con Fermat surgió la noción de probabilidad matemática y con su perspicacia característica halló el mecanismo para estudiarla.
Después de salir ileso de un accidente llevó una vida de abnegación y caridad. Murió a los treinta y nueve años de edad.