FACTORES Y MULTIPLOS EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICA 6–SEXTO AÑO PDF

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número compuesto
, factor
, máximo común divisor (m.c.d.)
, fracción simplificada a su mínima
expresión
, mínimo común múltiplo (m.c.m.)
, múltiplo
, número primo
, descomposición en factores primos
PREPARACIÓN
múltiplo El producto de un número dado y otro número.
factor Un número que se multiplica por otro para hallar un
producto.
número primo Un número mayor que 1 que tiene como
únicos factores el 1 y sí mismo.
matriz Un conjunto de objetos colocados en hileras y
columnas.

ADVERTENCIA
Muchos números se pueden separar en factores de diferentes maneras.
Una matriz es un conjunto o grupo de objetos colocados en hileras o
columnas, como se puede ver en la siguiente actividad.
16 5 1 • 16 16 5 4 • 4 16 5 2 • 8
factor factor
Actividad
Materiales ■ fichas cuadradas ■ papel cuadriculado
Haz matrices para mostrar todos los factores de 24.
• Usa las 24 fichas para hacer una
matriz. Registra la matriz en papel
cuadriculado. Escribe los factores
que muestra la matriz.
12
2
2 • 12 5 24
Factores: 2, 12
• Haz tantas matrices diferentes
como puedas con 24 fichas.
Registra las matrices en papel
cuadriculado y escribe los
factores que muestran.
8
3
3 • 8 5 24
Factores: 3, 8
6
4
4 • 6 5 24
Factores: 4, 6
24
1
No olvides anotar el
1 y el número mismo
como factores.
Por lo tanto, los factores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.
• ¿Puedes ordenar las fichas de cada matriz de otra manera y mostrar los
mismos factores? Explica.
1 • 24 5 24
Factores: 1, 24
1
LECCIÓN
Factores y múltiplos
(matrices y rectas numéricas)
OBJETIVO: hallar factores y múltiplos usando matrices y rectas numéricas.
Aprende
1. 8 4
2. 6 7
3. 2 9
4. 5 5
5. 3 10
Un factor es un número que se multiplica por otro número para hallar un producto. Cada número natural
mayor que 1 tiene por lo menos dos factores, ese número y 1.
18 5 1 • 18 7 5 7 • 1 342 5 1 • 342
Capítulo 1 5
Hallar múltiplos
Para hallar múltiplos de cualquier número, cuenta saltado o multiplica
por los números 1, 2, 3 y así sucesivamente.
ProblemA Raquel tiene una pulsera de recuerdos nueva con 20
eslabones. Pon un recuerdo en cada eslabón que es
un múltiplo de 3. ¿Qué eslabones tienen recuerdos?
Utiliza material concreto.
Por lo tanto, los eslabones 3o, 6o, 9o 12o, 15o y 18o tienen recuerdos.
• ¿Qué pasaría si la pulsera tuviera 27 eslabones? ¿Qué otros
eslabones tendrían recuerdos?
Multiplica y haz una lista.
Halla los primeros seis múltiplos de 4.
1 • 4 5 4 2 • 4 5 8 3 • 4 5 12 4 • 4 5 16 5 • 4 5 20 6 • 4 5 24
Por lo tanto, los primeros seis múltiplos de 4 son 4, 8, 12, 16, 20 y 24.
• Explica cómo sabes que 30 es un múltiplo de 5.
• ¿Puede un número que es un múltiplo de 3 tener 5 como un factor?
Explica.
1. Usa las matrices para nombrar los factores de 12.
j • j 5 12 j • j 5 12 j • j 5 12
Los factores de 12 son 1, j, 3, j, 6 y j
Idea matemática
Un múltiplo de un
número es cualquier
producto que tenga ese
número como un factor.
El número de múltiplos
que tiene un número
es infinito.
3 6 9 12 15 18
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
Los números de las fichas rojas son todos múltiplos de 3.
Práctica con supervisión
6
Usa matrices para hallar todos los factores de cada producto.
2. 20 3. 5 4. 49 5. 28 6. 25
Haz una lista de los primeros diez múltiplos de cada número.
7. 6 8. 2 9. 11 10. 4 11. 8
12. Explica cómo están relacionados los números 3 y 12.
Usa las palabras factor y múltiplo en tu explicación.
Resuelve los siguientes problemas.
47. ¿Qué múltiplos de 4 no son factores de 48?
48. ¿Qué factores de 48 son también múltiplos de 4?
49. Clara pagó $40 por dos recuerdos. El precio de cada recuerdo era un múltiplo de $4.
¿Cuáles son los precios posibles de los recuerdos?
50. ¿Cuál es la pregunta?
La respuesta es 1, 2, 3, 6, 9 y 18.
Usa matrices para hallar todos los factores de cada producto.
13. 30 14. 42 15. 9 16. 50 17. 33
18. 64 19. 21 20. 75 21. 18 22. 17
Haz una lista de los primeros diez múltiplos de cada número.
23. 9 24. 1 25. 7 26. 10 27. 12
28. 3 29. 8 30. 5 31. 2 32. 6
¿Es 6 un factor de cada número? Escribe sí o no.
33. 6 34. 16 35. 48 36. 24 37. 18
¿Es 36 un múltiplo de cada número? Escribe sí o no.
38. 8 39. 9 40. 18 41. 36 42. 5
Halla el múltiplo que falta.
43. 4, 8, j, 16 44. 7, 14, 21, j 45. 5, j, 15, 20 46. 9, 18, 27, j
Práctica independiente y resolución de problemas
Capítulo 1 7
Comprensión de los aprendizajes
1 2 3 4 5 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31
6
51. Pedro tenía 321 bolitas. Perdió 17. ¿Cuántas le
quedaron?
52. Eva tiene 93 figuras de acción. ¿Cuántos
estantes necesitará si pone 3 figuras de acción
en cada estante?
53. Una matriz tiene 4 hileras de 3 fichas en cada
hilera. ¿Cuántas fichas hay en total?
54. ¿Qué múltiplo de 9 es también un factor de 9?
55. Ana está ordenando 9 fotografías en hileras
iguales. ¿De qué maneras puede ordenar las
fotografías?
A hileras de 1, 3 o 6
B hileras de 1, 2 o 9
C hileras de 1, 3 o 9
D hileras de 3, 6 o 9
RAZONAMIENTO LÓGICO A partir del 1o de diciembre, un camión
de helados visita la calle de Sara cada 3 días y la calle de Ema cada
5 días. ¿Cuáles son los primeros 2 días que el camión visita ambas
calles el mismo día?
Los días que el camión de helados visita ambas calles son múltiplos
comunes de 3 y 5.
Un múltiplo común es un múltiplo de dos o más números. Puedes
usar una recta numérica para hallar los múltiplos comunes.
Ejemplo Usa una recta numérica.
Primero haz una lista de seis múltiplos de cada uno. Halla los múltiplos comunes.
1. 2 y 4 2. 9 y 12 3. 4 y 8 4. 3 y 5
5. 3 y 6 6. 2 y 5 7. 3 y 9 8. 5 y 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Por lo tanto, los primeros 2 días que el camión visita ambas calles son el 15 y 30 de diciembre.
8
Aprende
Los números
0 y 1 no son primos
ni compuestos.
Múltiplos y factores
OBJETIVO: usar patrones de múltiplos y factores para resolver problemas e
identificar números, factores primos y compuestos.
PROBLEMA En una carrera de bicicletas de 40 kilómetros hay una estación
de bebidas en cada señal que indica cuatro kilómetros de recorrido y una
estación de refrigerios en cada señal que indica seis kilómetros de recorrido.
¿En qué señales habrá una estación de bebidas y una de refrigerios?
Puedes hallar los múltiplos comunes de 4 y 6 para resolver el problema. El
múltiplo de un número natural es el producto del número natural dado y otro
número natural. Los múltiplos comunes son múltiplos de dos o más números.
Ejemplo 1 Halla los múltiplos comunes de 4 y 6 que son menores que
o iguales a 40.
Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40.
Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36.
Los múltiplos comunes de 4 y 6 son 12, 24 y 36.
Entonces, habrá una estación de bebidas y una de refrigerios en las señales de
12, 24 y 36 kilómetros.
• Explica los patrones que observas en los múltiplos de 4 y 6.
1. 7 · 4 2. 8 · 3
3. 9 · 6 4. 5 · 4
5. 12 · 5
Un factor es un número que se multiplica por otro para hallar un producto.
Los factores comunes son factores de dos o más números.
Factores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Factores de 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
1
El número 1 tiene un solo
factor, que es 1, entonces no es
un número primo ni un número
compuesto.
Entonces, los factores comunes de 24 y 32 son 1, 2, 4 y 8.
Un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene como únicos
factores el 1 y sí mismo. Un número compuesto es un número natural mayor
que 1 que tiene más de dos factores.
Ejemplo 2 Halla los factores comunes de 24 y 32.
Ejemplo 3 Halla los factores de cada número. Indica si el número es primo,
compuesto o ninguno de los dos.
12
Factores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
El número 12 es compuesto.
29
Factores de 29: 1, 29
El número 29 es primo.
Vocabulario
múltiplo número primo
factor número compuesto
2
LECCIÓN
Idea matemática
Capítulo 1 9
Comprensión de los aprendizajes
1. Haz una lista con los múltiplos de 6 y 9 menores que 60.
Luego, enumera los múltiplos comunes de 6 y 9.
Escribe los tres primeros múltiplos comunes.
2. 8 y 12 3. 4 y 5 4. 5 y 12 5. 2, 4 y 12 6. 3, 4 y 8
Escribe los factores comunes.
7. 12 y 2 8. 6 y 7 9. 36 y 40 10. 6, 12 y 24 11. 3, 5 y 15
12. Explica 2 es el único número primo par.
Escribe los tres primeros múltiplos comunes.
13. 4 y 9 14. 10 y 14 15. 8 y 18 16. 3, 8 y 16 17. 2, 4 y 7
Escribe los factores comunes.
18. 25 y 70 19. 15 y 30 20. 50 y 70 21. 32 y 45 22. 24 y 42
23. 4, 6 y 16 24. 18, 45 y 72 25. 8, 30 y 46 26. 7, 18 y 21 27. 4, 28 y 36
Indica si el número es primo, compuesto o ninguno de los dos.
28. 98 29. 61 30. 0 31. 37 32. 82 33. 1
Halla el factor desconocido.
34. 75 5  · 15 35. 110 5 5 ·  · 11 36. 42 5 2 ·  · 7 37. 48 5  · 3 · 4
38. En la clase del profesor Gómez hay 12 niños y 18 niñas. El profesor dividirá al curso en grupos de manera
tal que todos los grupos tengan la misma cantidad de niños y la misma cantidad de niñas. ¿Cuáles son los
grupos posibles?
39. ¿Qué número es menor que 30 y tiene
exactamente ocho factores?
41. Razonamiento ¿Será primo o compuesto el
producto de dos números primos? Explica.
40. Escribe 65 como el producto de dos números
primos.
42. El producto de 9 y 6 es 54. Explica
cómo hallar el múltiplo de 3 que da como resultado
un producto de 54 cuando se multiplica por 3.
43. Expresa el número 0,03 en fracción.
44. Si a = 1,05; b = 2 y c = 2,57, ¿cuál es el valor
a + b + c ?
45. Escribe el número que falta para que se cumpla
la relación 3,57 > _____ > 3,55
46. ¿Cuál de los siguientes números es múltiplo
común de 6 y 8?
A 18
B 24
C 40
D 42
Práctica adicional en la página 18, Grupo A
Práctica independiente y resolución de problemas
Práctica con supervisión
10
Aprende
ADVERTENCIA
Cuando se enumeran los
factores de un número,
ninguno de los factores
puede ser mayor que el
número mismo.
Máximo común divisor
OBJETIVO: hallar el máximo común divisor de dos o más números y usarlo para
resolver problemas.
Escribe todos los factores.
1. 17 2. 27
3. 20 4. 74
5. 33
Vocabulario
máximo común divisor (m.c.d.)
descomposición en factores primos
diagrama de escalera
PROBLEMA En un jardín rectangular, Patricia y su mamá quieren plantar
36 petunias rojas y 42 petunias blancas en hileras iguales. Si plantan petunias
del mismo color en una hilera, ¿cuál es la mayor cantidad de petunias que
pueden plantar en cada hilera?
Para resolver el problema puedes hacer una lista y así hallar el máximo
factor común de 36 y 42.
El máximo común divisor (m.c.d.), es el mayor número o factor que divide
exactamente a todos y cada uno de los números.
Factores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Factores de 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
Piensa: Los factores comunes son 1, 2, 3 y 6. El
m.c.d. de 36 y 42 es 6.
La descomposición en factores primos de un número se obtiene cuando un
número está expresado como el producto de sus factores primos. Por ejemplo,
sabemos que 12 5 4 · 3. Si usamos solo números primos, sería 12 5 2 · 2 · 3.
Entonces, la descomposición en factores primos de 12 es 2 · 2 · 3.
Puedes usar la descomposición en factores primos o un diagrama escalera para
hallar el m.c.d. de dos o más números.
Usa la descomposición en factores Usa un diagrama de escalera para
hallar el m.c.d. de 12, 18 y 48.
Entonces, la mayor cantidad de petunias que pueden plantar en cada
hilera es 6.
primos para hallar el m.c.d. de
8, 12 y 20.
3
LECCIÓN
8 5 2 · 2 · 2
12 5 2 · 2 · 3
20 5 2 · 2 · 5
2 · 2 5 4
Usa solamente números primos.
Escribe la descomposición en
factores primos de cada número.
Enumera los factores primos
comunes y halla el producto.
2 12 18 48
3 6 9 24
2 3 8
2 · 3 5 6
Divide cada número entre un
factor común de los números.
Continúa dividiendo hasta que
los números no tengan factores
comunes.
Halla el producto de los divisores.
Entonces, el m.c.d. de 8, 12 y 20 es 4. Entonces, el m.c.d. de 12, 18 y 48 es 6.
• Sebastián usó un diagrama de escalera para hallar el m.c.d. de 36 y 48. Dividió entre 3 y luego entre 4.
¿Cambiaría el m.c.d. si eligiera dos factores comunes diferentes? Explica tu respuesta y da un ejemplo.
Capítulo 1 11
1. Completa la descomposición en factores primos para hallar el m.c.d. de 12 y 28.
Factores de 12: 2 ·  · 3 Factores de 28: 2 · 2 ·  m.c.d.: 2 ·  = 
Halla el m.c.d.
2. 18, 24 3. 50, 75 4. 45, 81 5. 6, 9, 18 6. 6, 10, 12
7. Explica cómo usar la descomposición en factores primos para hallar el m.c.d. entre 8 y
52.
Halla el m.c.d.
8. 26, 28 9. 12, 40 10. 96, 120 11. 14, 21 12. 9, 16
13. 42, 96 14. 21, 56 15. 9, 48 16. 15, 28 17. 16, 35
18. 16, 32, 48 19. 3, 9, 18 20. 20, 50, 70 21. 32, 36, 45 22. 4, 12, 20
Halla dos pares de números que se correspondan con cada enunciado.
23. El m.c.d. es 8. 24. El m.c.d. es 6. 25. El m.c.d. es 12. 26. El m.c.d. es 15.
27. La clase de Ana venderá cajas con plantas. Cada caja tendrá un tipo de planta y todas las cajas tendrán
la misma cantidad. Si hay 60 begonias, 48 geranios y 96 caléndulas, ¿cuál es el mayor número de
plantas que los niños pueden colocar en cada caja?
Del 28 al 29, usa la siguiente información.
Un curso de la Escuela Básica Pablo Neruda recibirá 24 lapiceras, 16 reglas, 32 lápices y 12 cuadernos
para un proyecto escolar. Cada estudiante que reciba los elementos obtendrá la misma cantidad de cada
objeto que los demás estudiantes.
28. ¿Cuál es el mayor número de estudiantes que recibirá los elementos si se usa cada objeto?
29. Si hubiera 20 reglas y 16 lápices más, ¿cuál podría
ser el mayor número de estudiantes que recibiera
los elementos si se usara cada objeto?
30. Da un ejemplo para ilustrar el
siguiente enunciado: “El m.c.d. de un número
y uno de sus múltiplos es el número mismo”.
Práctica adicional en la página 18, Grupo B
Comprensión de los aprendizajes
31. Si a = 43,72 y b = 4,9 ¿Cuál es el valor de:
a – (a – b)
32. ¿Qué factores de 16 son también factores de
64?
33. 68,2 – 48,9
34. ¿Cuál de los siguientes números es el máximo
común divisor de 56 y 49?
A 2 C 7
B 4 D 9
Práctica independiente y resolución de problemas
Práctica con supervisión
12
Aprende
Un exponente
muestra cuántas
veces se usa como
factor un número
llamado base.
En 23 5 2 · 2 · 2,
el exponente 3
muestra que la
base 2 se usa como
factor tres veces.
Vocabulario
mínimo común múltiplo (m.c.m.)
PROBLEMA Para una comida escolar al aire libre, cada uno de los
20 padres voluntarios necesita una bandeja grande y una cuchara
de servir. Las bandejas vienen en juegos de 8 y las cucharas, en
juegos de 12. ¿Cuál es la menor cantidad de bandejas y cucharas que
debe comprar la escuela para tener el mismo número de bandejas y
cucharas, y que alcancen para todos los padres?
Puedes resolver el problema al hallar el mínimo común múltiplo, o
m.c.m., de 8 y 12. El m.c.m. es el número más pequeño, mayor que 0,
que es múltiplo común de dos o más números.
Usa una lista.
Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, …
Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, …
Los primeros tres múltiplos comunes son 24, 48 y 72. El mínimo común múltiplo,
o m.c.m., es 24.
Usa la descomposición en factores primos.
8 5 2 · 2 · 2 5 23
12 5 2 · 2 · 3 5 22 · 3
23 · 3 5 24
Anota la descomposición en factores primos de
cada número.
Escribe la mayor cantidad de veces que aparece
cada factor en cualquier descomposición en
factores primos. Multiplica.
Entonces, la menor cantidad de bandejas y cucharas que debe comprar la
escuela es 24.
• ¿Qué sucedería si las bandejas vinieran en juegos de 6 y las cucharas en
juegos de 12? ¿Cuál sería la menor cantidad de bandejas y cucharas que
debería comprar la escuela?
• Usa la descomposición en factores primos para hallar el m.c.m. de 16 y 24.
Ejemplo 1 Halla pares de números con un m.c.m. de 20.
Puedes resolver este problema al usar el m.c.m. y uno de sus factores.
Factores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20
Pares de números posibles: 1, 20 2, 20 4, 20 5, 20 10, 20
• ¿Qué otros pares de números tienen un m.c.m. de 20?
Mínimo común múltiplo
OBJETIVO: hallar el mínimo común múltiplo de dos o más números y usarlo
para resolver problemas.
Escribe los primeros 4 múltiplos
de cada número.
1. 4 2. 6 3. 12
4. 8 5. 15
4
LECCIÓN
Recuerda
Capítulo 1 13
1. Haz una lista con los primeros seis múltiplos de 12 y 18. Encierra en un círculo los
múltiplos comunes. Luego, halla el mínimo común múltiplo.
Escribe el m.c.m. de los números.
2. 9, 12 3. 4, 30 4. 5, 25 5. 3, 5, 15 6. 2, 3, 4
Escribe dos números a partir del m.c.m. dado.
7. 15 8. 16 9. 44 10. 100 11. 56
12. Explica cómo cada uno de los siguientes números 12 y 24; 3 y 8; 6 y 8 se relaciona con
su m.c.m. 24.
El m.c.m. de tres números
Puedes usar métodos similares para hallar el m.c.m. de tres números.
Usa una lista para hallar el m.c.m. de 10, 14 y 70.
Múltiplos de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140, …
Múltiplos de 14: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140, …
Múltiplos de 70: 70, 140, …
Entonces, el m.c.m. de 10, 14 y 70 es 70.
Usa la descomposición en factores primos para hallar el m.c.m. de 6, 9 y 15.
6 5 2 · 3
9 5 3 · 3
15 5 3 · 5
2 · 3 · 3 · 5 5 90
Escribe la descomposición en factores primos de cada número.
Escribe la mayor cantidad de veces que aparece cada factor
en cualquier descomposición en factores primos. Multiplica.
Entonces, el m.c.m. de 6, 9 y 15 es 90.
Ejemplo 2 Halla tres números a partir de un m.c.m. de 36.
36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 Haz una lista con los factores de 36.
1, 2, 36 2, 9, 36 3, 4, 36 Primero, usa el m.c.m., 36, y otros dos factores
al azar. Se dan grupos posibles.
2, 4, 9 4, 6, 9 9, 12, 18
4, 9, 12 6, 12, 18 12, 18, 36
Luego, halla otro grupo de tres factores
de 36 que tengan un m.c.m. de 36. Se dan
grupos posibles.
Práctica con supervisión
14
Comprensión de los aprendizajes
Naranja Manzana Guinda
Escribe el m.c.m. de los números.
13. 15, 25 14. 8, 14 15. 8, 16 16. 11, 22 17. 4, 18
18. 3, 12, 15 19. 10, 16, 20 20. 4, 36, 54 21. 2, 7, 10 22. 27, 3, 6
Escribe dos números a partir del m.c.m. dado.
23. 40 24. 39 25. 24 26. 30 27. 22
Escribe tres números a partir del m.c.m. dado.
28. 10 29. 20 30. 18 31. 28 32. 45
USA LOS DATOS Del 33 a 34, usa el gráfico.
33. Marco compró igual cantidad de botellas de jugo
de naranja, manzana y guinda para el paseo al
aire libre. ¿Cuál es la menor cantidad de cada
uno que puede haber comprado para tener el
mismo número de botellas de cada jugo y que
no haya sobras?
34. ¿Qué sucede si Marco compra igual cantidad
de botellas de dos tipos de jugo? ¿Comprará
más botellas si elige jugo de naranja y manzana,
de guinda y naranja, o de manzana y guinda?
¿Cuántas botellas de cada jugo comprará?
Explica tu razonamiento.
35. El m.c.m. de dos números es 18. El m.c.d. de
los números es 3. ¿Cuáles son los números
posibles?
37. Plantea un problema Lee otra vez el problema
35. Escribe un problema similar en el que
cambies el m.c.m. y el m.c.d.
36. El m.c.m. de dos números es 40. El m.c.d. de
los números es 4. ¿Cuáles son los números
posibles?
38. Laura dice que el m.c.m. de dos
números primos diferentes es su producto.
Explica si tiene razón o no.
39. Redondea 12 082 a la decena más próxima.
40. ¿Cuáles son dos fracciones equivalentes a _1_2_
15 ?
41. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 12 y 18?
A 6
B 30
C 36
D 120
42. ¿Qué números son dos múltiplos comunes de 4,
10 y 12?
43. El m.c.m. de tres números es 90. Uno de los
números es 15.
¿Cuáles pueden ser los otros dos?
A 6, 8 C 2, 10
B 18, 30 D 30, 50

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FRACCIONES Y NUMEROS MIXTOS EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICA 6–SEXTO AÑO PDF
DATOS Y AZAR EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICA 6–SEXTO AÑO PDF