FACTOR PRIMO DE UN POLINOMIO EJEMPLOS DE FACTORIZACION

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Factor de un polinomio
Un polinomio !r.x) de grado no nulo es considerado factor de otro polinomio
p(x) si existe un único polinomio q(x)’ tal que
Polinomio irreductíble
Un polinomio es irreductible sobre un determinado campo numérico si no
admite ser expresado como la multiplicación de dos o más factores sobre el
mismo campo.
Factor primo
Es un factor irreductible de un polinomio sobre un determinado campo,
tal que:
1. Sobre lL, los coeficientes son primos entre sÍ.
II. Sobre lR. o e, los factores primos son mónicos.
A los que no cumplen con 1 o II se les llama primos asociados.
TEOREMA
Todo polinomio de primer grado
es irreductible sobre cualquier
campo numérico.
Al factor de un polinomio también
se le llama divisor, pero no necesariamente
es primo.
Ejemplos
1. En p(x) = 5(x- 2)3(x2+3X+l)
I. Dos factores primos en Q: x-2; x2+3x+l
II. (x- 2)2 no es primo, puesto que es divisible por x-2, es decir
(x- 2)2:;: (x- 2)(x-2)
2. En p(x;y; z)=x2y';
I. Tres factores primos: X; y; z
II. Número de factores algebraicos:
(2+ 1)(1 + 1)(2+ 1)-1=17
Por lo tanto, tiene 17 factores algebraicos en total.
3. En R(x; y)=( x+y )2( X2 + xy-y2 )3x y2
I. Cuatro factores primos: x+y; x2 +xy-/ ; X; y
II. Número total de factores algebraicos:
(2+ 1)(3+ 1)(1 + 1)(2+ 1)-1=71
Por lo tanto, tiene 71 factores algebraicos en total.
POLINOMIO SOBRE UN CAMPO
Se llamará así cuando sus coeficientes pertenecen a ese campo
CAMPO NUMÉRICO
Sea K # un conjunto numérico con dos operaciones binarias, adición (+)
y multiplicación ( . ), definidas sobre K. Decirnos que K es un campo numérico
si se cumplen los siguientes axiomas:
Axiomas de la adición
Al. Axioma de la cerradura. Para cada par de elementos a y b de un conjunto
K, existe un único elemento e que también pertenece a dicho
conjunto, tal que c=a+b.
A2. Axioma de la conmutatividad. Para cada par de elementos a; b del
conjunto K, se tendrá a+b=b+a.
A3. Axioma de la asociatividad. Para todo elemento a, b, e del conjunto K,
la suma de estos es independiente de la manera corno se ordene. Así se
tendrá (a+b)+c=a+(b+c).
A4. Axioma del elemento neutro o neutro aditivo. Para cada elemento
del conjunto K, existe un único elemento denotado por O; O E K, tal que
a+O=O+a=a.
AS. Axioma del elemento llamado opuesto de a o simétrico. Para cada
elemento a del conjunto K, existe un único elemento denotado por -a;
(- a) E K, tal que a+(-a)=(-a)+a=O.
Axiomas de la multiplicación
MI. Axioma de la cerradura. Para cada elemento a; b del conjunto K, existirá
un único elemento e llamado producto que también pertenece al
conjunto K, tal que c=a . b.
M2. Axioma de la conmutatividad. Para cada par de elementos a; b del
conjunto K, se cumple ab=ba.
«El orden de los factores no altera el producto».
M3. Axioma de la asociatividad. Para todo a; b; e elementos del conjunto
K, se tendrá a(bc)=(ab)c.
«El producto es independiente de la manera corno se asocia a los elementos
a; b; e, es decir, el resultado no se altera con el orden».
M4. Axioma del elemento neutro multiplicativo. Para todo elemento a
del conjunto K, existe un único elemento denotado por 1 E K, tal que
a·l=l·a=a.
MS. Axioma del elemento simétrico o inverso multiplicativo. Para cada
elemento no nulo a del conjunto K, existe un único elemento denotado
por a – 1 de K, tal que a· a – ) = a – 1 . a= 1.
Axioma de la distributividad de la multiplicación con
respecto a la adición
Para los elementos a; b; e de K, se tiene
1. a(b+c)=ab+ac
2. (a+b)c=ac+bc
De donde se puede concluir que los conjuntos numéricos considerados
corno campos son los racionales ({2), los reales (IR) y los complejos (C).
~Nota
Los campos numéricos más importantes
son Q, R, C. Es conveniente
indicar que entre Q y R hay
muchos campos numéricos y que
la teoría de campos numéricos se
puede encontrar en todo texto de
estructuras algebraicas.
~Nota
1. Todo polinomio que está
sobre los racionales estará
también sobre los reales y los
complejos; pero que esté sobre
los reales o complejos no
implica necesariamente que
esté sobre los racionales.
11. Todo polinomio que está sobre
los reales está también
sobre los complejos.
1. ¿El conjunto de los números naturales forma un campo?
Respuesta
No, puesto que no se cumplen los axiomas A4, AS Y MS.
Así, a+O=a, pero O e IN.
Si a E IN, entonces -a e IN
Si a E IN, entonces a-1 e IN
2. ¿El conjunto de los enteros forma un campo?
Respuesta
No, porque si a E Z, a- 1 e Z; es decir, no se cumple el axioma MS.
Por lo tanto, Z no forma un campo.
3. ¿Los irracionales (O’) forman un campo?
Respuesta
Vemos que (5 +.J2) E O’ /\ (5 – .J2) E O’,
pero (5 +.J2) + (5 -.J2) = 10 e O’.
Entonces no siempre se cumple el axioma Al.
Asimismo (S+.J2) E O’ /\ (S-.J2)EO’,
pero (5 + .J2)(S -.J2) = 23 e O’.
Aquí tampoco se cumple el axioma MI.
Por lo tanto, los irracionales no forman campo.