EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y NUMÉRICAS , POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS DE MATEMATICA 10–DECIMO AÑO PDF

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CONCEPTOS , ACTIVIDADES Y PROBLEMAS DE Expresiones algebraicas y numéricas , Valor numérico, Polinomios , Adición y sustracción de polinomios , Multiplicación y división de polinomios ,
Divisibilidad de polinomios ,Múltiplos y divisores, Fracciones algebraicas, Operaciones con fracciones algebraicas ,
Prerrequisitos
Recuerda
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• Calcula el doble de 6, el triple de 12 y la quinta
parte de 25.
— ¿Cómo representarías el doble de un número
cualquiera a? ¿Y el triple? ¿Y su quinta
parte?
• Calcula el área de un círculo de 5 cm de radio.
¿Cómo expresarías el área de un círculo de un
radio r cualquiera?
• El número de alumnos de EGB sobrepasa
en 15 el número de alumnos de Bachillerato.
Indica cuántos son estos últimos si el número
de alumnos de EGB es:
a) 336 b) Un número desconocido a
• Calcula el valor que se obtiene al sustituir a
por −3 y b por en la expresión siguiente:
2· a2 − 4 · a · b
• Un número es múltiplo de otro si se obtiene
multiplicando este último por un número natural.
Ejemplo: 45 es múltiplo de 15.
Un número es divisor de otro si, al dividir el segundo
entre el primero, la división es exacta. Ejemplo:
3 es divisor de 45.
Evaluación diagnóstica
• Calcula:
• Resuelve:
• Calcula:
a) El m.c.d. de los números 30, 45 y 100.
b) El m.c.m. de 300 y 660.
• ¿Qué edad tendrás dentro de 4 años? ¿Qué
edad tenías hace 6 años?
• Elena mide 170 cm y es 8 cm más alta que
Juan. ¿Cuál es la estatura de Juan?
• Calcula el área de un rectángulo de 50 cm de
base y 35 cm de altura.
• Efectúa: 22 × 25 ; 33 × 32 × 37 ; 23 × 34 × 25 × 36
• Escribe el número que falta en las siguientes
expresiones.
a) 3 + …… = 21 c) …… × 9 = 45
b) 12 − …… =7 d) …… ÷ 8 = 5
• Completa cada apartado con un mismo número.
a) 4 × (…… − 5) = 3 × ……
b) 5 − …… = 4 × …… − 5
c) 7 × …… − 2 = 16 + …..
1
2
a) − 14 + − b) − +
1
3
2
5
5 2
3
2
x3 x3 x3 x4 · x2 x6
Expresiones algebraicas y numéricas
Polinomios y fracciones algebraicas
• Utilizar el lenguaje algebraico con precisión para expresar
e interpretar información.
• Operar con números reales aplicados a polinomios.
• Efectuar operaciones con polinomios y fracciones
algebraicas.
• Presentar de manera clara y ordenada la resolución
de los problemas.
• Confiar en las propias capacidades para resolver
problemas.
Destrezas con criterios de desempeño
Ampliarás tus conocimientos sobre números reales, polinomios y aprenderás a operar con fracciones algebraicas.

1 Expresiones algebraicas y numéricas
Si conocemos los valores de los catetos y de la hipotenusa de un triángulo
rectángulo, fácilmente podemos calcular su perímetro y su área.
Por ejemplo:
Si desconocemos el valor numérico de uno o varios de los lados, podemos
utilizar letras que los representen.
Observa cómo expresamos en este caso la información.
En el primer caso hemos utilizado únicamente números; en el segundo, números
y letras.
Las expresiones:
a b c a + b + c
reciben el nombre de expresiones algebraicas.
Tengamos presente que las operaciones que efectuamos con expresiones algebraicas
son las mismas que las que realizamos con números solamente y,
por tanto, cumplen las mismas reglas.
Para leer una expresión algebraica basta con nombrar los números, las letras
y los signos que contiene en el orden en que aparecen. Así:
5 a2 + b cinco a cuadrado más b
También es frecuente construir una breve frase que la defina. Fíjate en los siguientes
ejemplos:
2 a doble de a
mitad del triple de b
(a − b) 2 cuadrado de la diferencia entre a y b
cociente de la suma de a y b entre cuatro
3 (b + c) 2 triple del cuadrado de la suma de b y c
a + b
4
3
2
b
b ⋅ c
2
• Se denominan términos de
una expresión algebraica los
números y las letras que están
unidos únicamente por la multiplicación,
es decir, cada uno
de los sumandos.
Así, la expresión 2 x3y − 5x y2
+
+ 3 x tiene tres términos: 2 x3y,
−5 x y2 y 3 x.
• Cada término consta de una
parte numérica, llamada coeficiente,
y una parte formada
por letras con sus exponentes,
que recibe el nombre de
parte literal.
Coeficiente
• Si dos términos tienen la misma
parte literal, diremos que
son términos semejantes.
MUCHO OJO 
Parte literal
Al escribir una expresión algebraica,
debemos tener en cuenta
que:
• Cuando el signo de la multiplicación
aparece entre letras o
entre un número y una letra,
suele suprimirse.
• El factor 1 no se escribe.
• El exponente 1 no se escribe.
• Generalmente, no se escribe
el signo de multiplicar delante
de un parén tesis.
MUCHO OJO 
Catetos: b y c Hipotenusa: a
Perímetro: a + b + c
Área =
b ⋅ c
2
a
c
b
Catetos: 3 cm y 4 cm Hipotenusa: 5 cm
Perímetro: 5 cm + 3 cm + 4 cm = 12 cm
Área =
3 4
2
6 2 cm cm
⋅ cm
=
5 cm
4 cm
3 cm
Una expresión algebraica es una serie de números y letras relacionados
mediante los signos de las operaciones aritméticas.

se lee
−5 x y2
La traducción del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico puede resultar
algo más difícil, sobre todo si los enunciados son compuestos. En estos casos
es conveniente seguir los pasos que se indican:
1.1. Valor numérico
Hemos visto que la diferencia entre el cubo de un número y el triple del cuadrado
de otro número se traduce al lenguaje algebraico como:
a3 − 3 b2
Si queremos calcular esta diferencia para los números a = 4 y b = 2, basta con
sustituir estos valores en la expresión anterior y operar.
a3 − 3 b2 = 43 − 3 · 2 2 = 64 − 3 · 4 = 52
El número obtenido, 52, es el valor numérico de la expresión algebraica.
Si ahora sustituimos las letras por otros números, el valor numérico obtenido
será distinto. Así, el valor numérico de una expresión algebraica no es único,
pues depende del valor que se dé a la letra o letras que en ella intervienen.
Procedimiento Ejemplo
Leemos con atención el enunciado
que debemos traducir.
La diferencia entre el cubo de un número y el triple del cuadrado de otro número
es igual al doble de su suma.
Escogemos la letra o letras que representarán
las cantidades desconocidas.
• a para el primer número
• b para el segundo
Traducimos al lenguaje algebraico
cada una de las partes que componen
el enunciado.
• Primer número: a → cubo de a: a3
• Segundo número: b → cuadrado de b: b2 → triple del cuadrado de b: 3 b2
• Diferencia entre el cubo de a y el triple del cuadrado de b: a3 − 3 b2
• Suma de a y b: a + b → doble de su suma → 2 (a + b)
Escribimos la expresión correspondiente
al enunciado completo. a3 − 3 b2 = 2 (a + b)
El valor numérico de una expresión algebraica es el número obtenido al
sustituir las letras por números determinados y efectuar las operaciones
indicadas.

Expresa cada frase en lenguaje algebraico.
a) El doble de la suma de a y b.
b) El cuadrado del triple de x.
c) El doble del cubo de y menos el cuadrado del
doble de x.
d) El triple del cuadrado de a menos el cociente de
a entre b es igual al doble de b.
Escribe una frase que defina cada una de las siguientes
expresiones algebraicas.
a) a + 3 b2 b) a3 − 2 b
Halla el valor numérico de las siguientes expresiones
algebraicas para x = 2 e y = 3.
a) 2 x + x y b) + 3 x
2
3
x y
3
1 2
Actividades 
2 Polinomios
Intuitivamente diremos que un polinomio es la suma o resta de términos algebraicos,
el término algebraico básico es el monomio, el monomio en una variable
“x” en general se encuentra elevada a un exponente y se multiplica por
una constante. Observa cómo expresamos en lenguaje algebraico cada una
de las siguientes magnitudes:
El volumen de un cubo de arista x: x3
El área de un círculo de radio x: π x2
La longitud de una circunferencia de radio x: 2 π x
Definamos formalmente al monomio:
Dado el monomio axn, la parte numérica a es el coeficiente del monomio y el exponente
n de la variable x es el grado del monomio en esa variable.
Observa que 3 x0 = 3, puesto que cualquier potencia de exponente 0 vale 1.
Por lo tanto, los monomios de grado 0 sólo constan de coeficiente.
Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal; por ejemplo,
los monomios x5 y −4 x5.
Formalmente definiremos al p en una variable así:
A la izquierda están representadas tres figuras geométricas de altura “x”: un cuadrado,
un triángulo y un rectángulo. El área de cada una de ellos puede expresarse
de esta manera:
Acuadrado = x · x = x2 Atriángulo = · 2 · x = x Arectángulo = 4 · x= 4x
Y el área total será la suma de las tres áreas.
Atotal = x2 + x + 4 x = x2 + 5x
• El polinomio A(x) = x 2 + 5x, es de grado 2, puesto que éste es el mayor de
los grados de sus términos.
• En caso de que la altura de las figuras sea x = 2 m, podemos calcular fácilmente
la suma de las áreas. Para ello, basta sustituir este valor de la x en la
expresión polinómica A(x) = x2 + 5x y operar.
A(2) = 22 + 5  2 = 14
Así pues, si la altura es 2 m, la suma de las áreas es de 14 m2.
2
12
Un monomio en una variable “x” es una expresión algebraica de la forma
axn, en la que a es un número real y n un número natural.
Un polinomio en una variable x es una expresión algebraica que puede
reducirse a la forma an xn + an − 1xn − 1 + … + a1x + a0, en la que los coeficientes
an, an − 1, …, a1, a0 son números reales y n es un número natural.

 El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus términos.
Coeficiente
variable
Grado n  0
a x n
El grado de un monomio con
más de una variable, como por
ejemplo 3 x 2y 3, se obtiene sumando
todos los exponentes de
las variables.
Así, diremos que el monomio
3 x2y3 es de grado 5, de grado
2 respecto de x y de grado 3
respecto de y.
De manera análoga a como hemos
visto con los monomios en
una variable, para que dos monomios
con varias variables
sean semejantes deben tener la
misma parte literal; por ejemplo
−4 z y2x y 7x z y2.
 FÍJATE
La expresión no es
un monomio porque el exponente
de x no es un número
natural.
CONTRAEJEMPLO
5×1
2
2 m 4 m
x x x
x

Es conveniente escribir un polinomio
en forma reducida y ordenado
de mayor a menor grado.
Así, el polinomio
P(x) = x − 2×3 − 2×2 + 5x −
− 3 − x2 − 2
escrito en forma ordenada y reducida
resulta:
P(x) = −2×3 − 3×2 + 6x − 5
Esta manera de escribir un polinomio
nos permite identificar
de forma rápida su grado y su
término independiente. Además,
nos facilitará las operaciones
que debamos efectuar
con él.
El valor numérico del polinomio P(x) para x a es el número que se obtiene MUCHO OJO 
al sustituir la variable x por el número a y efectuar las operaciones indicadas.
Se representa por P(a).

3 Adición y sustracción de polinomios
Para s (adicionar) dos o más polinomios
hay que asociar a los términos de éstos en términos
semejantes y se procede a sumar sus
coeficientes.
En el caso de monomios:
4×2+7×2 =(4+7)x2=11×2
En el caso de polinomios:
(5×3 + 3×2 − 3x+ 4) + (−4×3 + 2x − 6) =
(5×3 − 4×3) + (3×2) + (-3x + 2x) + (4−6) = x3 +3 x2 − x− 2
Para r (sustraer) dos polinomios, se aplica el algoritmo
de la resta, el cual indica que se convierte en
la suma del minuendo con el opuesto del sustraendo
y se procede como en el caso de adición.
En el caso de monomios:
− 4×2 − (−7×2)= 4×2+7×2= (−4+7)x2 = 3×2
En el caso de polinomios:
(5×3 + 3×2 − 3x + 4) − (−4×3 − 7×2 + 2×2 − 6) =
(5×3 + 3×2 − 3x + 4) + (4×3 + 7×2 − 2x + 6)
(5×3 + 4×3)+(3×2 +7×2)+(-3x − 2x)+(4+6)=9×3 +10×2 − 5x + 10
• Después de sumar las áreas hemos agrupado y reducido los términos semejantes
y hemos ordenado los términos resultantes de mayor a menor. Así
pues, decimos que el polinomio A(x) = x2 + 5x está ordenado y reducido.
• El polinomio A(x) = x2 + 5x carece de término independiente (de grado 0). Al
no tener términos de cada uno de los grados menor o igual que 2, decimos
que el polinomio es incompleto.
Tradicionalmente se decía que el monomio está formado por un término y el
polinomio está formado por la suma de al menos dos términos, si son dos
se llama binomio, tres trinomio, etc.; sin embargo, cuando nos refiramos a
los polinomios hablaremos de monomios, binomios, trinomios y, en general,
a expresiones de uno o varios términos.
Escribe la indeterminada, el coeficiente y el grado
de los siguientes monomios.
45 x3 18 b9 −25 x7
Clasifica en monomios semejantes:
12 x3, 6 y2, −3 y2, −25, x3,
Escribe tres monomios que tengan el mismo coeficiente
y el mismo grado pero que no sean semejantes.
Calcula:
a) b) 4 z 5 + (−3 z 5)
Efectúa las siguientes operaciones reduciendo
términos semejantes.

Calcula:
a)
b) 16 a3 − 4 a3 + 7a3 − 5 a3
c) −x2 − 2 x2 − 5 x2 + 7×2
Reduce y ordena estos polinomios.
a) P(x) = 6×4 − 11×2 − 3×2 + 3 − 8×2 + 3×3
b) Q(x) = 3×3 + 12×2 − 2×3 + 6 − 3x + 2x
c) R(x) = 2×4 − 4x + 4×3 − 8 + 2×2 − 4x
— A continuación, indica si son completos o incompletos.
Dados los polinomios P(x) = 3×3 −2×2 − x − 5 y
Q(x) = x2 − 2x + 4, calcula:
a) P(x) + Q(x) b) Q(x) − P(x)
11
10
9
2
2
3
1
9
y5 + y5 − y5 + 5 y5
4 Multiplicación y división de polinomios
Para m se asocian y operan los coeficientes y las partes
literales por separado, recordando que al multiplicar potencias de igual base
se mantiene la base y se suman los exponentes.
ax m ⋅ bx n = (a ⋅ b) x m+n
En el caso de la d de m , igual que en la multiplicación, se
asocian y operan los coeficientes y las partes literales por separado, recordando
que al dividir potencias de igual base se mantiene la base y se restan
los exponentes.
ax m ÷ bx n = (a ÷ b) x m-n; con bx n ≠ 0
Para m dos p procedemos según el siguiente cuadro.
Para d dos p procedemos según el cuadro siguiente.
Divide el polinomio 3 x5 + 2 x3 − x2 − 4 entre el polinomio
x3 + 2×2 + 1.
3 x5 + 0 + 42×3 − 23×2 + 6x − 14 x3 + 2×2 + 1
3 x5 + 0 + 42×3 − 23×2 + 6x − 14 x3 + 2×2 + 1
−3 x5 − 6×4 − 23×2 3×2
3 x5 + 0 + 42×3 − 23×2 + 6x − 14 x3 + 2×2 + 1
−3 x5 − 6×4 − 23×2 3×2
− 6×4 + 42×3 − 24×2
Procedimiento Ejemplo
Escribimos los dos polinomios ordenados según
las potencias decrecientes de x. Si el
polinomio dividendo es incompleto, dejamos
espacios en blanco correspondientes a los términos
que faltan.
Dividimos el primer monomio del dividendo
(en este caso 3×5) entre el primer monomio del
divisor. Multiplicamos el cociente obtenido por
el divisor y escribimos el opuesto del resultado.
Restamos el producto obtenido del dividendo.
Ello equivale a sumar el opuesto.
Para multiplicar dos polinomios, multiplicamos
el primer polinomio por cada uno de los monomios
del segundo y después sumamos los polinomios
resultantes:
— Escribimos los dos polinomios uno debajo del
otro.
— Debajo, y en filas diferentes, escribimos los po –
linomios resultantes de multiplicar el primer
polinomio por cada uno de los monomios de
que consta el segundo polinomio.
— Sumamos los polinomios obtenidos.
El resultado es un polinomio de grado igual a la
suma de los grados de los polinomios iniciales.
Multiplica los polinomios P (x) = 5 x3 + 3 x2 − 3 x + 4 y
Q(x) = −4 x3 + 2 x − 6.
5 x3 + 93 x2 − 43 x + 74
−4 x3 + 42 x − 76
− 30 x 3 − 18 x2 + 18 x − 24
10×4 + 46 x3 − 16 x2 + 38 x − 24
−20 x6 − 12 x5 + 12 x4 − 16 x3 − 24 x2 + 26 x − 24
−20 x6 − 12 x5 + 22 x4 − 40 x3 − 24 x2 + 26 x − 24
P(x)  Q(x) = −20×6 − 12×5 + 22×4 − 40×3 − 24×2 + 26x − 24
Procedimiento Ejemplo
Multiplicación de polinomios
dividendo divisor
3 x5 + 0+ 42×3 −32×2 + 6x − 14 x3 + 2×2 + 1
−3 x5 − 6×4 − 3×2 3×2 − 6x + 14
−3 x5 − 6×4 + 2×3 − 24×2
−3 x5 − 6×4 + 12×3 + 26x
14×3 − 24×2 + 6x − 14
− 14×3 − 28×2 − 14
− 32×2 + 6x − 18
Procedimiento Ejemplo
3 x5 + 0 + 42×3 − 23×2 + 6x − 14 x3 + 2×2 + 1
−3 x5 − 6×4 − 23×2 3×2 − 6x
− 6×4 + 42×3 − 24×2
− 6×4 + 12×3 + 6x
Se baja el siguiente término del dividendo, en
nuestro caso no hay, y se repite el mismo proceso.
El proceso continúa hasta que se obtiene
un resto de grado menor que el grado del
divisor.
En el ejemplo, el grado del divisor es 3 y hemos
obtenido un resto de grado 2.
Calcula:
a) 8×2 − 28×4 ÷ 4×2 c) 3a5 · 6a
b) 204 ÷ 4x d) 6×3 ÷ 2×2
Dados los polinomios P(x) = 3×3 −2×2 − x − 5 y Q(x) = x2 − 2x + 4, calcula:
a) P(x)  P(x) b) (Q(x))2 = Q (x) ⋅ Q (x) ⋅ Q (x)
Efectúa la siguiente división de polinomios.
(2×3 + 4×2 − 5) ÷ (x2 + 3)
— Comprueba que se verifica la igualdad:
Dividendo = divisor  cociente + resto
Efectúa estas divisiones.
a) (x3 + y3) ÷ (x + y)
b) (−2×3 + 3x − 5) ÷ (x2 + x − 2)
c) (5×3 + 2×2 − 7x + 5) ÷` (x2 – x + 5)
14
13
12
15
Actividades 
Observa que el grado del polinomio cociente es igual a la diferencia entre los
grados del dividendo y el divisor. Por lo anterior la división de polinomios solo
admite que el grado del dividendo sea igual o mayor que el grado del divisor.
Al igual que en la división de números enteros, la división de polinomios también
verifica la igualdad:
Dividendo = divisor ⋅ cociente + resto P ( x) Q( x)
P( x) = Q( x) ⋅ C ( x) + R ( x) R ( x) C( x)
En el ejemplo tenemos:
3×5 + 2×3 − x2 − 4 = (x3 +2×2 + 1) . (3×2 – 6x + 14) + (-32×2 + 6x – 18)
Verifica esta igualdad.
resto
cociente
5 Divisibilidad de polinomios
5.1. Múltiplos y divisores
El producto de los polinomios A(x) = 2x + 1 y B(x)= x − 2 cuyo resultado es el
polinomio C(x) = 2×2 − 3x − 2. Verifica la igualdad C(x) = A(x)·B(x).
Decimos que el polinomio C(x) es múltiplo de los polinomios A(x) y B(x).
Puesto que A(x)· B(x) = C(x), si dividimos C(x)
A(x), la división es exacta y
su resultado es B(x). De igual manera si dividimos C(x)
B(x), el resultado es
A(x); por ello diremos que A(x) y B(x) son divisores de C(x) o que C(x) es divisible
por A(x) y B(x). Comprueba las operaciones con los polinomios dados.
5.2. Teorema del resto
Comprueba que al dividir el polinomio P(x) = x3 + 5×2 − 2x − 24 entre el polinomio
x−3, obtenemos el resultado de x2 + 8x + 22 y un resto de 42.
Una vez comprobado, el resultado obtenido nos permite escribir:
P(x) = (x − 3)·(x2 + 8x + 22) + 42
Ahora, calculemos el valor numérico de P(x) para x = 3:
P(3) = 33 + 5 · 32 − 2 · 3 − 24 = 27 + 45 − 6 − 24 = 42
Lo cual es evidente en la expresión obtenida:
P(3) = (3 − 3)·(32 + 8·3 + 22) + 42 = 0 + 42 = 42
El resultado obtenido es válido en general y se conoce como t .
Ahora, calculamos el valor numérico para x =−4 para el polinomio
P(x)=x3+5×2−2x−24:
P(–4) = −(-4)3 + 5·(−4)2 − 2 (−4) − 24 = −64 + 80 + 8 − 24 = 0
Como el valor numérico x= −4 para el polinomio P(x) = x3 + 5×2 − 2x − 24 es cero, diremos
que P(x) es divisible por x+4 y podemos concluir que −4 es una raíz de P(x).
5.3. Factorización
Un polinomio con varios divisores puede expresarse como producto de otros
polinomios de menor grado, así por ejemplo:
2×2 − 3x − 2 = (2x + 1) · (x − 2)
Un polinomio es múltiplo de otro si se obtiene multiplicando este último
por un polinomio. Un polinomio es divisor de otro si, al dividir el segundo
entre el primero, la división es exacta.

Puesto que 2  6 = 12, podemos
decir:
• 12 es múltiplo de 2.
• 12 es múltiplo de 6.
• 2 es divisor de 12.
• 6 es divisor de 12.
• 12 es divisible por 2.
• 12 es divisible por 6.
MUCHO OJO 
El resto de la división del polinomio P(x) entre x − a es igual al valor
numérico del polinomio P(x) para x = a.

El número real a es un cero
o raíz del polinomio P(x) si
P(a) = 0.
MUCHO OJO 
Descomponer factorialmente un polinomio o factorizar un polinomio
consiste en expresarlo como producto de otros polinomios del menor
grado posible.

Resumamos algunos métodos para factorizar:
El factor común siempre que exista, es extraer de cada término de un polinomio
aplicando la propiedad distributiva recolectiva.
P(x = x4 − 3×3 = x3· (x − 3)
Aplica las identidades o productos notables, recuerda que al iniciar la factorización
se debe extraer el factor común si existe.
P(x) = x3 + 6×2 + 9x = x·(x2 + 6x + 9) = x·(x + 3)2
Observaste que luego de extraer el factor común x el trinomio resultante tiene la forma de un producto notable
en el que el primero y tercer término son cuadrados perfectos y el segundo término es el doble producto
de las raíces del primero y tercer términos, por ello, es el cuadrado de la suma de sus raíces.
En general cuando el trinomio de segundo grado P(x) = ax2 + bx + c es factorizable en los reales, es igual al
producto P(x) = (px + q)·(rx + s) si y solo si p·r = a, p· s + q·r = byq· s = c.
2×2 + 5x − 12 =(px + q)·( rx + s) = (2x − 3)·(x + 4)
Para buscar p y r, se descompone en factores al 2↝ = 2·1; para encontar q y s, se descompone en factores
al -12↝ = (−3)·4 y se comprueba que el producto de p·s + q·r sea 5.
Observa que el polinomio x2 + 4 no puede descomponerse en factores, por ello diremos que es un p
La afirmación anterior nos permite ratificar que descomponer factorialmente
(factorizar) un polinomio consiste en expresarlo precisamente como producto
de polinomios irreducibles.
Una importante aplicación de la factorización es el cálculo del máximo común
divisor y del mínimo común múltiplo, para calcularlos se procede del
mismo modo que con los números enteros.
Las identidades notables que
puedes utilizar en la descomposición
factorial de los polinomios
son:
• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
• (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
• (a + b)  (a − b) = a2 − b2
MUCHO OJO 
Un polinomio es irreducible si no puede descomponerse en producto de
dos factores de grado mayor o igual que 1.

El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más polinomios es todo polinomio
de grado máximo que sea divisor de todos ellos.
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más polinomios es todo
polinomio de grado mínimo que sea múltiplo de todos ellos.

■ Si el suelo de la habitación mide
820 × 440 cm y debemos cubrirlo con
baldosas cuadradas lo más grandes
posible, éstas tienen que medir:
m.c.d. (820, 440) = 20 cm.
Utiliza la regla de Ruffini para averiguar si los siguientes
polinomios son divisibles por x + 5.
a) x3 + 10×2 + 3x − 54 b) 2×4 + 3×3 − 35×2 + 9x + 45
Escribe un polinomio que sea simultáneamente múltiplo
de x + 4 y de 2×2 + 3x − 2
¿Puede ser x = 6 raíz del polinomio x2 + 3x − 15?
Descompón en producto de dos factores los siguentes
polinomios.
a) x2 −1 c) 4×2 + 6×3 + 4×4
b) 10×3 − 15×2 + 5x d) 7×3 − 2×2
Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de los polinomios
x3 + 2×2 − 5x − 6 y 2×3 − 2×2 − 4x.
18
17
16 19
20
Actividades 
100
6 Fracciones algebraicas
Del mismo modo que la división entre dos números enteros puede expresarse
en forma de fracción, la división entre dos polinomios da lugar a las fracciones
algebraicas. Así, las siguientes expresiones son fracciones algebraicas.
Los polinomios que representan los dividendos son los numeradores y los que
representan los divisores son los denominadores.
Representaremos las fracciones algebraicas por:
con Q(x)  0
Al igual que las fracciones numéricas, las fracciones algebraicas pueden ser equivalentes.
Así, la fracción algebraica es equivalente a , puesto que:
(x + 1) · (x2 − x) = x (x2 − 1)
x3 − x = x3 − x
x
x x
2
2
− 1

x
x
+ 1
P(x)
Q(x)
Indica cuáles de las siguientes expresiones son fracciones algebraicas.
Escribe dos fracciones equivalentes a .
Escribe una fracción equivalente a de denominador x2 − 9.
Averigua si estas fracciones algebraicas son equivalentes.
a) y
b)
x
x
x x
x x
x
x
x
x
2 2
2
2
2
2
3 1
2 4
6 2
1
1
2 1
3

+

+
+
+
+
y
24
x x
x
2 4 3
3
− +
+
23
x
x
2 1
1

+
22
21
Actividades 
Se llama fracción algebraica en una indeterminada x al cociente de dos
polinomios en la indeterminada x en el que el numerador es un polinomio
cualquiera y el denominador, un polinomio distinto de 0.

Las fracciones algebraicas son equivalentes si se cumple
que: P(x) · S(x) = Q(x) · R(x)
P(x)
Q(x)
R(x)
S(x)
 y
25
4
10
■ son fracciones equivalentes.
x
x
x
x
x x
+ x x
+
+
− +
1 −
4 3
4
3 2 3
2 2 4
2
3
2
5
y
4
10
2
1
3 2
5
1
2
3 2
2
3
2
2
x x
x
x
x x
x
+
+



Si las fracciones algebraicas
son equivalentes,
escribimos:
P(x)
Q(x)
R(x)
S(x)
y
P(x)
Q(x)
R(x)
S(x)
=
 FÍJATE
Antes de empezar a operar con una fracción algebraica es conveniente simplificarla,
de este modo los cálculos que realicemos serán más sencillos.
Observa, en el siguiente ejemplo, cómo procedemos para simplificar una
fracción algebraica.
Para sumar y restar fracciones algebraicas es preciso que éstas tengan denominador
común. Observa en el siguiente ejemplo el procedimiento que empleamos
para reducir dos fracciones algebraicas a mínimo común denominador.
Simplifica la siguiente fracción algebraica: .
— En primer lugar, factorizamos el numerador y el denominador.
— A continuación, suprimimos los factores comunes.
x x x
x x
3 2
3
2 5 6
3 2
+ − −
− −
x x x
x x
x x x
x
3 2
3
2 5 6
3 2
1 2 3
1
+ − −
− −
=
+ − +
+
( )·( )·( )
( )·(x x
x
+ − x
=
+
1 2 +
3
) · ( ) 1
x x x
x x
x x x
x
3 2
3
2 5 6
3 2
1 2 3
1
+ − −
− −
=
+ − +
+
( )·( )·( )
( ) · (x + 1) · (x − 2 )
ejemplo 1
Reduce a mínimo común denominador las fracciones .
— Calculamos el m.c.m. de los denominadores.
2x + 4 = 2 · (x + 2)
x2 − 4 = (x + 2) · (x − 2)
m.c.m. (2x + 4, x2 − 4) = 2 · (x + 2) · (x − 2) = 2×2 − 8
— Dividimos el m.c.m. por cada uno de los denominadores.
[2 · (x + 2) · (x − 2)] ÷ [2 · (x + 2)] = x − 2
[2 · (x + 2) · (x − 2)] ÷ [(x + 2) · (x − 2)] = 2
— Multiplicamos el numerador y el denominador de cada fracción por el cociente
correspondiente.
Hemos obtenido dos fracciones algebraicas equivalentes a las de partida cuyo denominador
es el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones iniciales.
x x
x x
x x
x x
· ( )
( )·( )
·
( )·

+ −
=

− −
=
2
2 4 2
2
2 8
2 2
4 2
2 4
2 2 2 x2 − 8
x
2 x 4 x
y
2
+ 2 − 4
ejemplo 2
Simplifica la siguiente fracción algebraica. Reduce a mínimo común denominador:
x
4 x 4 x x
2
+ 2 + 4 + 3
y
26
2 2
2 3 2
x
x x

− +
25
Actividades 
Reducir fracciones a mínimo
común denominador significa
hallar unas nuevas fracciones
equivalentes a las primeras
cuyo denominador es
el mínimo común múltiplo de los
denominadores de las fracciones
dadas.
MUCHO OJO 
102
6.1. Operaciones con fracciones algebraicas
Veamos ahora la forma como debemos proceder para sumar, restar, multiplicar
y dividir fracciones algebraicas. En todos los casos, los procedimientos son similares
a los que utilizamos con las operaciones de fracciones numéricas.
Suma
Para sumar fracciones algebraicas debemos seguir los pasos siguientes:
— Si las fracciones no tienen el mismo denominador, se reducen a mínimo común
denominador.
— Se suman los numeradores.
— Se deja el denominador común.
Resta
Para restar fracciones algebraicas el procedimiento es el mismo que hemos
visto en la suma, excepto que ahora se restan los numeradores.
Suma las siguientes fracciones algebraicas:
— Estas dos fracciones algebraicas tienen el mismo denominador, por lo tanto, no
es necesario reducir a mínimo común denominador.
— Su suma es la fracción algebraica que tiene como numerador la suma de los numeradores
y como denominador el denominador común.
ejemplo 3
ejemplo 4
Efectúa la siguiente resta: x .
x x
x
x x
+
− −

− +
3
2
2
2 2 3 2
MUCHO OJO 
a
b
+
c
b
=
a + c
b
a
b
c
b
=
a c
b


Factorizamos los denominadores de cada fracción,
Determinamos el m.c.m. de los denominadores para
convertir en fracciones equivalentes con denominador
común.
m.c.m. (x2 − x − 2), x2 − 3x + 2 =
(x + 1) ( x − 2) ( x − 1 )
Restamos las fracciones, para esto, se restan los
numeradores y se mantiene el denominador
Operamos el numerador, respetando la jerarquía de
operaciones, primero se multiplica y luego reducimos
términos semejantes (suma o resta).
Multiplicamos los factores del denominador.
x +3 =
(x +1) (x – 2) (x -1) (x – 2)
2x
=
=
=
(x + 3) (x – 1)
(x +1) (x – 2) (x -1)
2x (x +1)
(x -1) (x – 2) (x +1)
(x + 3) (x – 1) – 2x (x +1)
(x +1) (x – 2) (x -1)
x 2+ 2x – 3 – 2 x 2 – 2x
( – x – 2) (x – 1) x 2
-x 2 – 3
x 3 – 2 x 2 – x + 2
x
x
x
x
2
3 3
2
2
y
1
2
+



x
x
x
x
x x
x
x x
x
2
3 3
2
3
2
3
2
2
1
2
2 1
2
1
2
+

+


=
+ + −

=
+ +

Multiplicación
El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica cuyo numerador
es igual al producto de los numeradores y cuyo denominador es igual
al producto de los denominadores.
División
El cociente de dos fracciones algebraicas es la fracción algebraica que resulta
de multiplicar la primera por la inversa de la segunda.
Multiplica las siguientes fracciones algebraicas: .
— La multiplicación de dichas fracciones algebraicas se obtiene efectuando el producto
de numeradores y el de denominadores.
x
x
x
x
x x
x x
2 x
3
2
3
2 3
2
1
1
2 1
2 1
+


+
=
+ −
− +
· =
( )·( )
( )·( )
− + −
+ − −
x x
x x x
2
4 3
2 2
2 2
x
x
x
x
2
3
2
2
y
1
1
+


+
ejemplo 5
Efectúa la siguiente operación: .
— Para dividir estas dos fracciones algebraicas, multiplicamos la primera fracción por
la inversa de la segunda.
x
x x
x
x
x x x
x
+
+ −
=
+
+

=
+ −
+
1
3
2
3
1
3
3
2
1 3
2 2 2 3
: ·
( )·( )
( )· 2
2 3
2 6
2
2
=
− −
+
x x
x
x
x x
+
+ −
1
3
2
2 3
:
ejemplo 6
Efectúa las siguientes operaciones con fracciones
algebraicas.
Calcula estas multiplicaciones.
Efectúa la siguiente división.
— Haz una prueba para asegurarte del resultado que
has obtenido.
29
3 2
3
2
2 7
x
x
x
x

− +
:
a
b
) ·
) ·
x
x
x
x x
x
x
x x

+ +


− +
2
2 1
2
4
5
2
3 4
2
2 2
28
a
b
c
)
)
)
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x x
+

+
+




+ −
+
− −
2
1
3
5
3
1
1
2
3
2
2
2 2
1
4 3
3
6
2
2 4 3
2
3
2 2
+

+ +
− −

+
+ −
x
x x
x
x x
x
x x
d)
27
Actividades 
MUCHO OJO 
a
b
c
d
=
a c
b d
a
b
c
d
=
a
b
:
c
d
=
a d
b c
÷
÷
÷
÷
.
104
Cómo resolver problemas
Estrategia: Razonamiento inverso
La estrategia del razonamiento inver so, también llamado suponer el problema resuelto, se aplica
en la resolución de problemas de los que conocemos el resultado final. Se trata, entonces, de
determinar un valor inicial o una serie de operaciones que nos conduzcan hasta ese resultado.
La estrategia consiste, básicamente, en tomar el resultado como punto de partida e ir retrocediendo
hasta llegar a la situación inicial.
Comprensión del enunciado
— Leemos de nuevo el enunciado del problema.
— Anotamos las diferentes operaciones que debemos
efectuar con el número inicial y el resultado
final que debemos obtener.
? ÷ 5 × 12 + 256 = 844
Planificación de la resolución
Para resolver este problema aplicaremos el método
del razonamiento inverso.
Para ello, seguiremos estos pasos:
— Dibujaremos un esquema con las operaciones que
hay que efectuar para llegar al resultado final.
— Empezando por el final, resolveremos las operaciones
inversas hasta llegar al número buscado.
Ejecución del plan de resolución
— Elaboramos un esquema y señalamos con flechas
las sucesivas operaciones que hay que efectuar
partiendo del número inicial, hasta obtener como
resultado 844.
Luego, nos situamos en la posición final y señalamos
con flechas las operaciones inversas a las anteriores
que nos llevarán hasta la posición inicial.
— Calculamos el número correspondiente a cada
casilla.
Así, el número buscado es 245.
Revisión del resultado y del proceso seguido
Comprobamos que, efectivamente, si partimos de
245 y efectuamos las operaciones indicadas, obtenemos
como resultado 844:
245 ÷ 5 × 12 + 256 = 844
Halla un número tal que al dividirlo por 5, multiplicarlo por 12 y sumarle 256 nos dé 844.
× 5
÷ 5
÷ 12
× 12
− 256
+ 256
? 844
245 49 588 844
× 5 ÷ 12 − 256
Utiliza la estrategia anterior para resolver los siguientes
problemas.
En el recorrido del tren desde Chimbacalle hasta
la Nariz de Diablo viaja un cierto número de pasajeros.
En la primera estación suben 15 y bajan 9.
Al salir de la segunda estación, el número de pasajeros
es el doble del que llevaba al entrar en ella
y, en la tercera estación, sube un grupo de 20 excursionistas
y no baja nadie, quedando en el tren
92 personas. ¿Cuántos pasajeros llevaba el tren al
llegar a la primera estación?
Jaime tiene una cierta cantidad de dinero. La divide
entre tres y coge una de las partes para comprar
una pelota de básquet y jugar con sus amigos.
Poco después, su abuela le da una cantidad
equivalente a la que le queda, de modo que
al final tiene 32 dólares. ¿Cuánto dinero tenía inicialmente?
30 31
Actividades 
En resumen
Síntesis
1 Un polinomio en una variable x es una expresión algebraica
reducible a la forma an x n + an − 1 x n − 1 + … + a 1 x + a 0, en la
que los coeficientes a n, an − 1, …, a1, a0 son números reales
y n es un número natural.
2 • El grado de un polinomio es el mayor de los grados
de sus términos.
3 • El valor numérico del polinomio P(x) para x a es el número
que se obtiene al sustituir la variable x por el número
a y efectuar las operaciones indicadas.
4 Un polinomio está ordenado y en forma reducida si se reducen
los monomios semejantes y se ordenan de mayor a
menor grado.
5 • La suma de dos polinomios se obtiene al sumar los monomios
semejantes de ambos polinomios.
• La resta de dos polinomios se obtienen al restar los monomios
semejantes de cada uno de ellos.
• Para multiplicar dos polinomios debemos multiplicar cada
uno de los términos de uno de ellos por cada uno de los términos
del otro y sumar los términos semejantes.
• Dividir el polinomio P(x) entre el polinomio Q(x) consiste en
hallar los polinomios C(x) y R(x) de modo que se cumpla:
P(x) = Q(x) · C(x) + R(x)
En caso de que el polinomio divisor sea de la forma
x − a solemos aplicar la regla de Ruffini para efectuar
la división.
6 Un polinomio es múltiplo de otro si se obtiene multiplicando
este último por un polinomio.
7 Un polinomio es divisor de otro si al dividir el segundo entre
el primero la división es exacta.
• El teorema del resto establece que el resto de la división
del polinomio P(x) entre x − a es igual al valor numérico
del polinomio P(x) para x = a.
• Si el polinomio P(x) es divisible por x − a, a es una raíz del
polinomio P(x).
• Factorizar un polinomio consiste en expresarlo como producto
de otros polinomios del menor grado posible.
Un polinomio es irreducible si no puede descomponerse
en producto de dos factores de grado mayor o igual que 1.
• El máximo común divisor de varios polinomios es todo polinomio
de grado máximo que sea divisor de todos ellos.
• El mínimo común múltiplo de varios polinomios es todo
polinomio de grado mínimo que sea múltiplo de todos ellos.
8 Una fracción algebraica es el cociente en el que el numerador
es un polinomio cualquiera y el denominador es un
polinomio distinto de 0.
9 Las fracciones algebraicas son equivalentes
si cumplen que P(x) · S(x) =
Q(x) · R(x).
10 Antes de efectuar operaciones con fracciones algebraicas,
conviene simplificarlas y, en los casos de la suma y de
la resta, reducirlas a mínimo común denominador.
Px
Qx
Rx
Sx
()
()
()
()
y
Polinomios
Polinomios ordenados
y reducidos
Valor numérico
del polinomio
para x = a
Múltiplos Divisores
Operaciones
con polinomios
Operaciones con
fracciones algebraicas
• Suma
• Resta
• Multiplicación
• División
Fracciones algebraicas
Fracciones
Grado equivalentes
del polinomio
el cociente de dos
origina las
Regla de Ruffini
si el divisor es
de la forma x − a,
aplicamos la
solemos expresarlos
como
son atributos
importantes
con ellos
efectuamos las
nos permite definir
con ellas
efectuamos las
• Suma
• Resta
• Multiplicación
• División
que pueden ser
106
Ejercicios y problemas integradores
• Carlos, en su terreno, construye una vivienda con su respectiva área
verde. Como conoce el área total del terreno y de la construcción, Carlos
desea saber el área del espacio verde.
• En el gráfico se observa que existen 3 rectángulos. Recuerda que el
área de un rectángulo es igual a base por altura.
• Primero calculamos el área de la casa aplicando la fórmula:
Acasa = b · h = (x2 + 8) (x + 5) = x3 + 5×2 + 8x + 40
• Segundo calculamos el área del garaje:
Agaraje = b · h = (x + 12) (2x − 1) = 2×2 + 23x − 12
• Ahora calculamos el área total del terreno:
Aterreno = b · h = (5×2 + 8) (x + 12) = 5×3 + 60×2 + 8x + 96
• Para hallar el área del espacio verde restamos las áreas de la casa y
garaje del área total del terreno:
Aespacio verde = Aterreno − Acasa − Agaraje
Aespacio verde = 5×3 + 60×2 + 8x + 96 – (x3 + 5×2 + 8x + 40) – (2×2 + 23x − 12)
• Como tenemos signos de agrupación precedidos por menos, debemos
cambiar los signos de los términos que se encuentran dentro
de los paréntesis:
Aespacio verde = 5×3 + 60×2 + 8x + 96 – x3 − 13×2 − 40 – 2×2 − 23x + 12
• Luego reducimos términos semejantes, y así determinamos el área del
espacio verde:
Aespacio verde = 4×3 + 63×2 − 23x + 68
Espacio verde
Casa
Garaje
5×2 + 8
x2 + 8
x + 5 x + 12
2x – 1
Una pintura de Guayasamín tiene un marco de 20 dm por 12 dm. Si la
pintura vista ocupa un área del 84 dm2. ¿Cuál es el ancho del marco?
• La pintura tiene forma rectangular. Su área es igual a base por altura.
• Como se desconoce la distancia que existe entre la pintura vista y el
marco, lo representamos con la variable x.
• Ahora, representamos la altura de la pintura vista con la siguiente expresión
algebraica: 12 – 2x, y para la base 20 – 2x.
• Para calcular el valor de la variable x, sustituimos las expresiones algebraicas
en la fórmula de área:
Apintura vista = b · h
84 = (12 − 2x) (20 − 2x)
• Al desarrollar se obtiene la siguiente ecuación 4×2 − 64x + 156 = 0,
dividimos para 4 y queda x2 − 16x + 39 = 0.
• Al resolver por el método de descomposición en factores, encontramos
los valores de x = 3 y x = 13.
• Al reemplazar x = 3 en la altura de la pintura vista 12 – 2x, la altura es
6 dm y la base es 20 – 2x es 14 dm.
• Pero si reemplazamos x = 13 en la base de la pintura vista 20 – 2x la base
es – 6, recordando que no existen distancias negativas, por lo tanto la
respuesta correcta es x = 3 dm.
R: El ancho del marco es 3 dm.
Practica
• La columna de un puente tiene de ancho x + 2 y su altura es el doble
del ancho. Encuentra su área y su perímetro.
20 dm
12 dm
Área = 84 dm2

http://1.bp.blogspot.com
x
x
108
Operaciones con polinomios
Escribe tres monomios diferentes.
Escribe polinomios de primero, segundo y tercer
grado en la variable real x.
Sea el polinomio P(x)= x3 − 7x + 6, calcula el valor
numérico de P(x) para:
a) x=1 b) x=2 c) x= –3
Obtén las respectivas conclusiones.
Calcula el resto, al dividir el polinomio
x3 − 5x² + 11x − 15 entre el polinomio x − 2.
Calcula el resto al dividir el polinomio
x4 + 2x³ − 3x² + 5x + 15 entre el polinomio x + 3.
Si se suman dos polinomios, uno de segundo grado y
otro de tercer grado, ¿el resultado puede ser otro polinomio
de primer grado? Argumenta tu respuesta.
Si se multiplican dos polinomios, uno de tercer grado
y otro de primer grado, ¿el resultado puede ser otro
polinomio de segundo grado? Explica.
Si se dividen dos polinomios de quinto grado, ¿el
resultado puede ser un polinomio de primer grado?
¿Cuál es el mayor grado del resto al dividir un polinomio
de cuarto grado entre un polinomio de segundo
grado?
Sean los polinomios P(x) = x3 − 7x + 6,
Q(x) = 2x³ – x2 + 6x y R(x) = −x2 + 4x −1. Calcula:
a) P(3)
b) R(−3)
c) P(4) −Q(1)
Sean los polinomios P(x) = x3 − x , Q(x) = 2×3 − x2 + 6x. Calcula:
a) P( )
b) Q( – )
c) P( ) – Q( )
Sean los polinomios P(x) = x3 − 7x + 6,
Q(x) = 2×3 − x2 + 6x y R(x) = – x2 + 4x – 1. Calcular:
a) P(x) + Q(x)
b) R(x) – Q(x)
c) P(x) – Q(x) + R(x)
Resuelve las siguientes divisiones y determina el residuo:
a) (x2 + 4x – 1) ÷ (x + 1)
b) (x3 − x2– 5x + 21) ÷ (x – 7)
c) (4×4 + 6×3 + 14x + 2) ÷ (–2x + 3)
Sea x un número real, expresa mediante un polinomio:
a) El cubo del número.
b) El cuadrado del siguiente número.
c) El producto del número con el siguiente.
d) El cuadrado del número multiplicado con el cuadrado
del anterior.
e) La diferencia de cubos del número con el siguiente.
Divisibilidad de polinomios
En una división de polinomios el divisor es 3×3 – 4×2
+ 3x – 2 y el resto es –2x + 3. Halla el dividendo.
En una división de polinomios el dividendo es
3×4 – 5×3 + 6×2 +3x – 2; el cociente, 3×2 + x + 5 y el
resto es 12x – 7. Halla el divisor.
Halla dos raíces del polinomio x3 − 7x + 6.
Al dividir el polinomio P(x) = ax + b entre x − 1 se obtiene
de resto 2 y al dividirlo entre x − 2 se obtiene
de resto 5. Halla el polinomio P(x).
¿Cuáles de los siguientes polinomios son múltiplos de
2x − 4?
a) 2×3 − 6×2 + 8 c) 2×2 + 6x − 4
b) x3 − 2×2 d) x2 + 3x − 2
¿Cuáles de los siguientes polinomios son divisores de
3×3 + 18×2 + 33x + 18?
a) x − 3 c) 3×2 + 3x + 6
b) x + 1 d) x2 − 4x − 1
Factoriza los siguientes polinomios.
a) x3 − 2×2 + x
b) x3 + x2 − 9x − 9
c) x4 − 9
Factoriza los siguientes polinomios:
a) 2x – 6
b) x2 – 2x
c) 2×2 – 6x + 8
d) 3×4 – 6×3 + 12×2
Factoriza los siguientes polinomios:
a) 25 – x2
b) 4×2 – 9
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
52
53
54
Ejercicios y problemas
Comprensión de conceptos y conocimiento de procesos
En tu cuaderno
2
2
3
3
c) 25×2 – 16y2
d) 16×4 – 81y4
Factoriza los siguientes polinomios:
a) x2 + 4x + 4
b) 9×2 – 6x + 1
c) 25×7 + 70×6 + 49×5
d) 36×2 – 60xy + 25y2
Factoriza los siguientes polinomios:
a) x2 + 4x + 3
b) x2 + 3x – 28
c) x2 – 2x – 15
d) x2 – 6x + 8
Factoriza los siguientes polinomios:
a) 5×2 + 36x + 7
b) 2×2 + 3x – 2
c) 2×2 – xy – 28y2
d) 60×6 – 124×5 + 63×4
Fracciones algebraicas
Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.
Reduce a mínimo común denominador:
Calcula:
Calcula estas divisiones.
Aplicación en la práctica
Determina el valor de k para que el resto de la división
(2×3 + x2 − x + k) ÷ (x − 1) sea 1.
Determina el polinomio de grado 1, P(x), si sabemos
que P(1) = 1 y P(2) = 4.
Determina el valor de k para que el polinomio
x3 − 2×2 + kx + 18 sea divisible por x − 3.
Halla un polinomio de grado 3 que sea divisible por
x − 3 y por x + 1, y que se anule para x = 2.
Halla el polinomio de grado 2 si sabemos que el
coeficiente de x es nulo, P(1) = 3 y P(2) = 13.
Expresa mediante un polinomio la cantidad de dinero
que podrán reunir tres amigos si el dinero que tiene
el segundo amigo es igual al cuadrado del que
tiene el primero menos el quíntuplo de dicha cantidad
y el que dispone el tercero es igual al cuadrado de la
décima parte del que tiene el segundo.
—¿Qué cantidad de dinero podrán reunir si el primer
amigo dispone de $ 10?
Conéctate a la página http://dinamica1.fciencias.
unam.mx/Preparatoria8/polinomi/index.html. Examina
la explicación que se ofrece sobre polinomios, grado,
raíces y factorización de un polinomio.
Más a fondo
Suma estas fracciones algebraicas.
Halla los valores de a y b que verifican esta igualdad:
a (x − 1) · (x + 2) + b (x + 3) = 3×2 + 8x + 9
En una división de polinomios el dividendo es
x4 + 6×3 − 4×2 + ax + b y el divisor es x2 + 6x − 1. Determina
los valores de a y de b para que:
a) La división sea exacta.
b) El resto de la división sea 5x − 1.
68
67
66
65
64
63
62
61
60
59
58
55
69
70
71
56
57
@


a) b)
2 6 4
2 5 3
2 6 4
2 6 4
2
2
2
2
x x
x x
x x
x x
− +
− +
− +
− +
a
b
)
)
x
x
x
x x
x
x x
x
x x
2 2
2 2
4
3 1
3 10
2
12
1
2 3

+
− +
− −
+
+ −
y
y
a
b
c
)
)
)
1
6
3
2
5
6
2
2 3
2 2
2 9
2 2
3 2
x
x
x x
x
x x
x
x x

+
+ −
+
+ −
+
− − x
x
+ x x x


18 − − +
3
3 2 14 24
y
2
9 21 17 102 72
3
5 4 3 2
x
x + x + x − x − x −
x x
x x x x
2
4 6 3 8 2 6 9

+ + − −
a
b
) :
) :
3 1
2 1
1
4 3
4 3
2 3
2 1
2
2
2 2
2
x
x
x
x
x x
x
x x
x
+
+
+
+
+ −

− +
+ 3 x − 4
÷
÷
110
1. La siguiente figura está formada por un cuadrado y
cuatro triángulos equiláteros.
a) Escribe un polinomio para expresar su área.
b) Halla el área de la figura si x = 3 cm.
2. Indica el resultado de multiplicar los polinomios
2×2 + 7x + 3 y x2 − 1.
3. ¿Cuál es el resto de la división del polinomio
x3 + 2×2 − 4x − 6 por x2 − x − 2?
4. Indica el valor numérico de x3 + 2×2 − 5x − 6 para
x = 7.
5. ¿Cuál de los siguientes polinomios es divisor de
2×3 + 9×2 + 13x + 6?
a) x2 + 3x + 2 b) x2 − 3x − 2 c) x2 + 2x + 3
1. ¿Cuál de los siguientes polinomios es múltiplo de
2×2 + 7x + 6?
a) 2×3 + 5×2 − x −6 c) 2×3 − 5×2 + x − 6
b) 2×3 + 5×2 − x + 6
2. a) Halla un polinomio tal que al sumarlo con el polinomio
3×2 + x + 4 dé como resultado el polinomio
x3 + 8×2 + 7.
b) Halla un polinomio que multiplicado por el polinomio
3×2 + x dé como resultado 3×4 + x3 − 15×2 − 5x.
3. Factoriza estos polinomios.
a) x3 + x2 − 9x − 9 b) 5×3 + 15×2 − 65x − 75
4. ¿Cuál es el máximo común divisor de los polinomios
x3 − 10×2 + 31x − 30 y x3 − 5×2 − 4x + 20?
5. ¿Cuál de las siguientes fracciones algebraicas es
equivalente a la fracción ?
a) b) c)
x
x x
x
x
x
x
2
2
3
3 2
2
1
1
2

+ −

+
+

x
x x
2
2
4
3 2

+ +
1
2
x
Buen Vivir
Una de las expresiones artísticas que ha generado
mayor interés dentro y fuera del Ecuador es la
pintura naif de los indígenas de Tigua. Esta comunidad
andina de la provincia de Cotopaxi, es un museo
viviente, porque la mayor parte de sus habitantes
combina la pintura sobre pieles curtidas de
borrego con el trabajo ancestral de la tierra y crianza
de animales. Sus temáticas de la vida cotidiana
son bellos paisajes, montañas con parcelas multicolores,
campesinos arando con bueyes, cóndores
con rasgos humanos en un cielo azul marino,
mujeres hilando y pastando animales; sin descuidar
el colorido de las fiestas costumbristas, o los mitos
y leyendas de la madre tierra.
Actividades
Intercambiemos criterios con los compañeros/
as que conozcan las comunidades de Tigua,
para sistematizar la cosmovisión indígena,
la relación con los recursos naturales, y la
mitología andina.
Consultemos por Internet los orígenes de las
pinturas de Tigua, su temática y los diversos
objetos en los que se pintan sus obras.
¿Cuál será la razón por la que las pinturas de
Tigua atraen a turistas extranjeros?
¿Conoces otras expresiones artísticas propias
de nuestro país?, ¿qué podemos hacer para
conservarlas?, ¿qué para promoverlas? Plantea
alternativas al respecto.
1
2
3
4
Buen
Educación, cultura y saberes ancestrales Vivir

Autoevaluación Coevaluación ?
Si logras resolver el 70 % de estas actividades individuales y grupales, puedes avanzar.
Crónica matemática
En ciencia, tecnología y economía, a menudo, se utilizan
los polinomios para obtener una expresión analítica
que relacione dos variables distintas. Se supone
que y está ligada a x a través de un polinomio
de grado n:
y = Pn(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn
Conociendo los valores que adopta y para determinados
valores de x, pueden hallarse los valores de
los coeficientes de los distintos monomios.
Algunos ejemplos de ajuste por polinomios se dan en
la relación del nivel de agua y el tiempo de almacenamiento
en una presa, la relación entre los kilovatioshora
consumidos y el tiempo, la relación precio/tiempo
de un producto en el mercado, o bien en la calibración
de distintos instrumentos de medida.
La regla de los signos
Dado un polinomio P(x) en forma reducida y con sus monomios ordenados de mayor a menor grado, se dice que
hay un cambio de signo cuando dos monomios consecutivos son de signo contrario. Contando los cambios de
signo, puede conocerse el número de raíces positivas y negativas de P(x) según esta regla enunciada por
Descartes:
— El número de raíces positivas de P(x) es igual al número de cambios de signo de P(x) o bien a uno de los valores
obtenidos al ir restando sucesivamente dos unidades a dicho número.
Por ejemplo, P(x) = x7 + 3×6 − 4×5 − 12×4 − x3 − 3×2 + 4x + 12 presenta dos cambios de signo, por lo que P(x) puede
tener dos o ninguna (2 − 2 = 0) raíz positiva.
— El número de raíces negativas de P(x) es igual al número de cambios de signo de P(−x) o bien a uno de los valores
obtenidos al ir restando sucesivamente dos unidades a dicho número.
Por ejemplo, P(−x) = −x7 + 3×6 + 4×5 − 12×4 + x3 − 3×2 − 4x + 12 presenta cinco cambios de signo. Por tanto, P(x)
puede tener cinco, tres o una raíz negativa.
Nota: Si al aplicar esta regla se deduce que hay dos o más raíces, éstas pueden coincidir. Considera, por ejemplo:
P(x) = (x + 2)2 = x2 + 4x + 4, que no presenta cambios de signo, por lo que no tiene raíces positivas. En cambio,
P(−x) presenta dos cambios de signo, por lo que P(x) puede tener dos o ninguna raíz negativa. En este caso las dos
raíces ¡coinciden entre sí! Decimos que x = −2 es una raíz doble.
• Determina el número de raíces de estos polinomios aplicando la regla de los signos.
a) P(x) = x5 − 3×4 − 10×3 + 52×2 − 72x + 32 c) x4 − 50×2 + 625
b) P(x) = x5 − 6×4 − 2×3 + 36×2 + x − 30 d) x6 − 3×4 + 3×2 − 1
Seguidamente halla todas las raíces y comprueba si los resultados obtenidos anteriormente eran correctos. Ten
en cuenta que puede haber raíces dobles.
Demuestra tu ingenio
Ajuste de curvas mediante polinomios
■ Estas curvas son la representación gráfica de algunos polinomios
de distinto grado que pasan por tres puntos dados.
Y
X
y
x
b) x → altura del prisma cuadrangular en cm.
y → volumen del sólido en cm3.
c)
Ejercicios y problemas
33. a) P(1) = 0; b) P(2) = 40; c) P(3) = 120
35. Resto= –5
37. No es posible, pues el término de tercer grado del polinomio de
tercer grado no puede anularse.
39. No es posible, el polinomio cociente es de grado cero, es un número.
41. a) P(3) = 12 b) R(-3) = – 22 c) P(4) −Q(1) = 42 – 7 = 35
43. a) P(x) + Q(x) = 3x³ – x2 – x + 6
b) R(x) – Q(x) = – 2x³ – 2x – 1
c) P(x) – Q(x) + R(x) = –x³ – 9x + 5
45. a) x3
b) (x + 1)2
c) x  (x + 1)
d) x2  (x – 1)2
e) x3 – (x + 1)3
47. x2 – 2x + 1
49.
El polinomio P(x) es: P(x) = 3x − 1
51. a) (3×3 + 18×2 + 33x + 18) : (x − 3)
Cociente: 3×2 + 27x + 114
Resto: 360
No es divisor.
b) (3×3 + 18×2 + 33x + 18) ÷ (x + 1)
Cociente: 3×2 + 15x + 18
Resto: 0
Sí que es divisor.
y = 48 cm3
P a b a b
P a b a b
( )
( )
1 2 1 2 2
2 5 2 5 2 5
= ⇒ ⋅ + = ⇒ + =
= ⇒ ⋅ + = ⇒ + =
a b
a b
a b
a b
+ =
+ =
⎫⎬ ⎪
⎭⎪

− − =−
+ =

⎬ ⎪
⎭ ⎪
2
2 5
2
2 5
a
a b
=
+ =
3
2⇒ 3 + b = 2 ⇒ b = 2 − 3 = −1
c) (3×3 + 18×2 + 33x + 18) ÷ (3×2 + 3x + 6)
Cociente: x + 5
Resto: 12x − 12
No es divisor.
d) (3×3 + 18×2 + 33x + 18) ÷ (x2 − 4x − 1)
Cociente: 3x + 30
Resto: 156x + 48
No es divisor.
53. a) 2(x – 3)
b) x(x – 2)
c) 2(x2 – 3x + 4)
d) 3×2 (x2 – 2x + 4)
55. a) (x + 2)2
b) (3x– 1)2
c) x5 (5x + 7)
d) (6x – 5y)2
57. a) (5x + 1) (x + 7)
b) (x + 2) ( 2x – 1)
c) (x – 4y) (2x + 7y)
d) (10x – 9) (6x – 7)
59. a)
b)
61.
63. El polinomio es P(x) = 3x − 2.
65. P(x) = (x − 3) (x + 1) (x − 2) = x3 − 4×2 + x + 6
67. Podrán reunir $ 85.
69. Respuesta abierta.
Ejercicios y problemas
29. 4 vértices y 4 lados, ya que tiene 4 ángulos. Es convexo, pues todos
sus ángulos son menores de 180°.
31.
^
A = 90°;
^
B = 45°;
^
C = 120°;
^
D = 60°;
^
E = 270°;
^
F = 30°.
33. No Sí Sí Sí No Sí
35.
Los ángulos
^
A, complementario de
^A
y
^B
son agudos. El ángulo suplementario
de
^B
es obtuso.
37. Al considerar los ángulos como giros, el signo del ángulo indica si
el sentido de giro es el de las agujas del reloj o si es el contrario.
3×3 − 2×2 − 12x + 8
–––––––––––––
2×3 − 11×2 − 18x + 9
2×3 + 3×2 + 2x + 3
––––––––––––––––
3×4 −2×3 − 3×2 + 11x − 6
x 1 2 3 4 5
y 32 48 64 80 96
x
x


2
3
2 . A + B
B A
A
Complementario de A
A
Suplementario de B
B
Y
X
b)
—60º
Y
X
a)
—15º
Y
X
c)
30º
Y
X
e)
150º
Y
X
d)
—90º
Ángulos notables.
Razones trigonométricas 4 Módulo
Expresiones algebraicas y numéricas.
Polinomios y fracciones algebraicas 3 Módulo