EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMATICA 2 SECUNDARIA – MEDIA PDF

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EN ESTA UNIDAD APRENDERÁS A:
Interpretar las expresiones algebraicas fraccionarias como una generalización de la
operatoria con fracciones numéricas.
• Reconocer para qué valores una expresión fraccionaria algebraica puede ser positiva,
negativa o cero, y para qué valores se indetermina.
• Resolver situaciones en las que sea necesario simplificar fracciones algebraicas.
• Resolver situaciones en las que sea necesario sumar, restar, multiplicar o dividir
fracciones algebraicas.
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¿QUÉ DEBES RECORDAR?
f.
g. (ab + 2b –c) · (3a2 – c)
h. (5xy – 3×2) · (3y2 – yx)
i.
Compara tus respuestas con las de tus compañeras y compañeros.
¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve
correctamente el ejercicio.

U2 PAG 68-105_Maquetación 1 07-07-10 12:38 Página 71
72 | Unidad 2
Fracciones algebraicas
ANALICEMOS…
Ana debe trotar cuatro vueltas a la pista de atletismo de su colegio. Su
desempeño es como sigue: se demora t segundos en dar la primera vuelta,
luego trota más rápido, demorándose t – 10 segundos en la segunda, pero
cerca del final se cansa un poco, y se demora t – 5 segundos en la tercera
vuelta y t + 5 segundos en dar la última vuelta.
Luego, las expresiones , , y representan la rapidez de
Ana en cada vuelta. Expresiones como las anteriores son llamadas expresiones
algebraicas fraccionarias o simplemente fracciones algebraicas.
Observa que corresponden a cuocientes entre expresiones algebraicas.
Tal como en las fracciones, se llama numerador y denominador a cada parte
de la fracción algebraica.
Ahora, considerando que una pista de atletismo tiene 400 m se puede remplazar
este valor por a, y suponiendo que en la primera vuelta Ana se demoró 80 s,
se obtiene:
Primera vuelta: = = 5 Rapidez: 5 m/s
Tercera vuelta: = = 5,33 Rapidez: 5,33 m/s
Luego, Ana trotó con mayor rapidez durante la segunda vuelta, y con menor
rapidez en la última vuelta.
400
75
a
t – 5
400
80
a
t
a
t + 5
a
t – 5
a
t – 10
a
t
Si los datos de la situación anterior se organizan en una tabla, se obtiene:
Distancia recorrida Tiempo Rapidez
Primera vuelta a t
Tercera vuelta a t– 5 a
t – 5
a
t
• Si la distancia recorrida en una vuelta es a, ¿qué expresión permite
calcular la rapidez con que recorrió cada vuelta?
• ¿En qué vuelta trotó a mayor rapidez y en qué vuelta a menor rapidez?
Segunda vuelta a t– 10 a
t – 10
Cuarta vuelta a t+ 5 a
t + 5
Segunda vuelta: = = 5,71 Rapidez: 5,71 m/s
400
70
a
t – 10
Cuarta vuelta: = = 4,7 Rapidez: 4,7 m/s
400
85
a
t + 5
• La rapidez es el cuociente entre la
distancia recorrida y el tiempo
empleado en recorrerla.
v =
• Los elementos de una fracción son:
a
b
d
t
RECUERDA QUE…
Numerador
Denominador
GLOSARIO
rama de la matemática en
la cual las operaciones aritméticas
se generalizan empleando números,
letras y signos. Cada letra o signo
representa simbólicamente un
número u otra entidad matemática.
expresión
de la forma , donde a y b son
a
b
expresiones algebraicas, con b ≠ 0.
U2 PAG 68-105_Maquetación 1 07-07-10 12:42 Página 72
Expresiones algebraicas fraccionarias | 73
Unidad 2
1. Calcula cuál sería la rapidez de Ana en cada vuelta suponiendo ahora que en la primera vuelta
se demora:
a. 1 minuto. b. 1 minuto y 10 segundos. c. un minuto y medio.
• En cada caso, ¿en qué vueltas se tienen la mayor y menor velocidad?
• ¿Existe alguna diferencia con el ejemplo? De ser así, ¿en qué casos cambian?
2. Determina el valor de las siguientes fracciones algebraicas si n = 1, 2, 3, 4, 5:
a. c. e.
3. Observa el siguiente ejemplo:
Las fracciones , , , , , …, son generadas por la fracción algebraica , porque se obtienen
al remplazar n = 1, 2, 3, 4 y 5, respectivamente.
Encuentra la fracción algebraica que genera las siguientes fracciones en cada caso:

EN TU CUADERNO
Dadas dos expresiones algebraicas representadas por p y q, con q ≠ 0, llamaremos expresión algebraica
fraccionaria o fracción algebraica a toda expresión de la forma .
Ejemplo:
Las expresiones y son fracciones algebraicas.
p
q
n + 1
3n2 – n + 9
2
n – 1
EN RESUMEN
U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 73
74 | Unidad 2
Comparación de fracciones algebraicas
Dos socios discuten acerca de unos cambios que desean realizar en un
terreno rectangular cuyo largo mide b m y su área es de a m2. Uno de ellos
quiere aumentar el área en 1 m2 sin cambiar el largo, pero el otro quiere
aumentar el largo del terreno en 1 m sin cambiar el área, y necesitan
determinar en qué caso es mayor el ancho del terreno.
Para poder comparar las dos propuestas y decidir en qué caso se obtiene
mayor ancho, considera que el ancho original del terreno es igual a m.
El primer socio desea aumentar el área total en 1 m2, y como el largo
sigue siendo igual a b m, la nueva medida del ancho es m.
El segundo socio quiere aumentar el largo en 1 m, y mantener el área total.
Por tanto, en este caso la nueva medida del ancho es m.
Dado que en este caso a > 0 y b > 0, ya que son medidas de área y
de longitud, debemos comparar cuál de estas fracciones es mayor.
En el primer caso, las fracciones y , ambas son de igual denominador
(positivo), pero el numerador de la segunda fracción es mayor (ya que a
también es positivo), de modo que:
< En el segundo caso, al comparar con el ancho original se tienen fracciones con igual numerador, pero el denominador de la tercera fracción es mayor, por tanto tenemos la relación: < Luego, se verifica la relación: < Entonces, el ancho del terreno es mayor con la modificación propuesta por el primer socio. ANALICEMOS... • ¿En qué caso se obtiene una medida mayor del ancho del terreno? • ¿Cómo se puede determinar el nuevo ancho del terreno en cada caso? • ¿Cómo se pueden comparar las nuevas medidas del ancho? Si a, b, c ∈ , con a < b y b < c, entonces a < c. RECUERDA QUE... GLOSARIO expresión matemática que sirve para representar que cierta cantidad es menor o mayor que otra. U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 74 Expresiones algebraicas fraccionarias | 75 Unidad 2 • Para a, b, c, d, números naturales, < es equivalente a ad < bc. • Al multiplicar ambos lados de una desigualdad por un factor negativo, esta se invierte. > → < –c con b, d ≠ 0 d –a b c d a b c d a b RECUERDA QUE... En otros casos, el valor de una fracción algebraica depende de solo una variable, y es necesario analizar los casos posibles. Observa. 1. Si n > 0, se tiene que > .
2. Considera n < 0, se tiene ahora la relación < . Sea n = –k, k > 0, luego al remplazar se tiene:
Y como k > 0 se tiene ahora < , es decir, < . n –1 n n + 1 n k + 1 k k – 1 k n –1 n n + 1 n n – 1 n n + 1 n = = , = = k + 1 k –k – 1 –k n – 1 n k – 1 k –k + 1 –k n + 1 n Para comparar fracciones algebraicas, observa que: • Si las expresiones son positivas y ambas fracciones tienen igual denominador, es mayor la fracción de mayor numerador. • Si las expresiones son positivas y ambas fracciones son de igual numerador, es mayor la fracción de menor denominador. • Si alguna de las expresiones es negativa, se debe tener cuidado y analizar caso a caso, ya que las desigualdades pueden cambiar. EN RESUMEN 1. Compara las fracciones según los valores dados en cada caso. a. , , a > 0, b > 0, a > b. c. , , –1 < p < 0, q > 0.
2. Determina, para cada caso, cuál de las fracciones , es mayor:
a. x > 0, a > 0, x > a. c. x > 0, a < 0, x < –a. b. x > 0, a > 0, x < a. d. x > 0, a < 0, x > –a.
p
q + 1
p + 1
q
x
x – a
x + a
x
a
a – b
a
a + b
b. , , p > 0, q > 0. d. , , a > 0, b > 0, a < b. 1 a – b 1 a + b p q + 1 p + 1 q EN TU CUADERNO U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 75 76 | Unidad 2 Análisis de fracciones algebraicas ANALICEMOS... Además de ordenar dos o más fracciones algebraicas, también es importante decidir qué tipo de valores puede tomar una fracción algebraica, dependiendo de los valores de la o las variables. Por ejemplo, considera la fracción: x – 1 x Para analizar cómo cambia el signo de una fracción algebraica, se debe recordar que el signo de una fracción depende del signo del numerador y del denominador. Si tienen igual signo, la fracción es positiva, y cuando tienen distinto signo, la fracción es negativa. En este caso, el numerador es positivo si x > 1 y negativo si x < 1. Por otra parte, el denominador es positivo si x > 0 y negativo si x < 0. Entonces, al considerarlos simultáneamente, se obtiene que la fracción es positiva si x > 1 y si x < 0, y negativa si 0 < x < 1. Si la fracción algebraica tiene más de una variable, se deben analizar todos los casos posibles. Considera, por ejemplo, la fracción . Antes de determinar qué tipo de valores toma, se debe determinar para qué valores se anulan el numerador y denominador. En este caso, esto ocurre para a = 0 y para b = –1, respectivamente. Entonces, para analizar la fracción no se consideran estos valores, pero son importantes para separar los casos que se van a analizar. Observa el análisis de la fracción : • Si a > 0 y b > –1, tanto el numerador como el denominador son positivos,
de modo que la fracción toma valores positivos.
• Si a > 0 y b < –1, el numerador es positivo, pero el denominador es negativo, y la fracción toma valores negativos. • Si a < 0 y b > –1, el numerador es negativo, pero el denominador es
positivo, y la fracción nuevamente toma valores negativos.
• Si a < 0 y b < –1, tanto el numerador como el denominador son negativos, y por lo tanto la fracción toma valores positivos. a b + 1 a b + 1 • ¿Qué ocurre con la fracción algebraica dada cuando x = 1?, ¿ocurrirá esto para otro valor? • Si x < 0, ¿qué signo tiene el numerador?, ¿qué signo tiene el denominador?, ¿y la fracción? • En el caso de que x > 1, ¿qué signo tiene la fracción?, ¿por qué?
• ¿Para qué valores de x la fracción es siempre negativa?,
¿cómo lo calculaste?
Al dividir números de igual signo se
obtiene un cuociente positivo, y al
dividir números de distinto signo se
obtiene un cuociente negativo.
RECUERDA QUE…
RECUERDA QUE…
GLOSARIO
Se dice que una expresión
matemática se en cierto valor,
si al evaluarla en ese valor
la expresión tiene valor 0.
= =– a
b
a
–b
–a
b
U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 76
Expresiones algebraicas fraccionarias | 77
Unidad 2
Finalmente, para a = 0, si b ≠ –1, el valor de la fracción es cero, ya que
el valor del numerador es cero.
En conclusión, la fracción toma valores positivos cuando a > 0, b > –1, y
cuando a < 0, b < –1; en cambio, toma valores negativos para a > 0, b < –1, y para a < 0, b > –1, y toma el valor cero cuando a = 0 y b ≠ –1.
Para analizar los valores que toma una fracción algebraica, se debe considerar para qué valores se
anulan el numerador y el denominador. Luego, se separan los casos en que cada variable es mayor o
menor que estos valores hallados, para compararlos y determinar el signo de la fracción.
EN RESUMEN
1. Determina para qué valores de x las siguientes fracciones son positivas:
a. c. e.
b. d. f.
2. ¿Cuáles de las siguientes fracciones son siempre positivas para todo x > 1?
a. c. e.
b. d. f.
3. Determina los valores que pueden tomar m y n, de manera que las siguientes fracciones sean negativas:
a. b. c.

U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 77
Para el análisis de expresiones algebraicas fraccionarias, es importante considerar valores distintos,
positivos y negativos, grandes y pequeños. Además, se debe distinguir si la expresión se indefine y
los valores para los cuales se anula.
EN RESUMEN
78 | Unidad 2
Restricciones en fracciones algebraicas
ANALICEMOS…
Pedro y Pablo necesitan analizar la fracción algebraica . Quieren saber
cuándo se obtienen valores positivos y negativos de esta expresión.
x + 1
x
Para diversos valores de x, Pedro y Pablo obtienen la siguiente tabla:
Según los valores que aparecen en la fila de los cuocientes, se observa que:
• Cuando x = –1, el valor de la expresión es 0.
• Si x es positivo y cercano a 0, el cuociente es cada vez mayor.
• Si x es positivo y lejano a 0, el cuociente es un número cercano a 1.
• Si x es negativo y cercano a 0, el cuociente es cada vez menor.
• Si x es negativo y lejano a 0, el cuociente es un número cercano a 1.
• Cuando x = 0, la expresión se indefine, y se dice que tiene una restricción.
• Si x es un número real cualquiera, ¿cómo son los valores que se obtienen
para la expresión dada?, ¿positivos o negativos?, ¿enteros o decimales?
Justifica tus respuestas..
• ¿Existen valores que hacen indefinida esta expresión?, ¿cuál o cuáles?
• ¿Cómo se describe lo que ocurre para estos casos?

GLOSARIO
Una fracción algebraica está
para un cierto valor de
una variable si su denominador se
anula para tal valor y el numerador
es distinto de 0.
Si a ≠ 0, a está indefinida.
0
U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 78
Expresiones algebraicas fraccionarias | 79
Unidad 2
En esta actividad, aprenderás cómo analizar expresiones algebraicas y obtener sus valores utilizando una planilla
de cálculo como Excel.
Primero, debes familiarizarte con el procedimiento
para escribir fórmulas, y la manera de remplazar valores
en ellas. Considera, por ejemplo, la fórmula x2 + 5.
• Selecciona en la celda A2 y escribe un número real.
• A continuación, al lado escribe la fórmula,
escribiendo en lugar de x la celda en la que escribiste
tu número. Es decir, escribe como fórmula
= A2^2 + 5.
• Aparecerá el resultado de remplazar en la fórmula el
valor escrito antes.
Ahora estás en condiciones de analizar fracciones algebraicas. Como ejemplo considera la expresión .
En una planilla de cálculo como Excel, haz lo siguiente:
• En la columna A escribe, hacia abajo, una serie de números, los cuales pueden ser enteros,
fraccionarios, positivos o negativos. Para anotar fracciones, anota en la celda correspondiente, por
ejemplo =5/7.
• Luego, en B1 escribe lo siguiente:
=A1/(1-A1), ya que con esto ingresarás la fórmula;
al terminar, aprieta enter. El número que aparece es
el resultado de remplazar en la expresión el valor
escrito en A1.
A continuación, copia el resultado que aparece en B1
de manera que aparezca abajo de cada valor escrito
anteriormente. Lo que hace la planilla de cálculo es
copiar la fórmula escrita (en este caso, la fracción
algebraica) y mostrar el resultado inmediatamente.
Si aparece el mensaje #¡DIV/0!, el valor al que
acompaña es una restricción para x.
Ejercicios
Repite el procedimiento anterior de análisis, indicando los valores de x para los cuales las expresiones
son positivas, negativas o cero, además de los puntos donde la expresión no está definida.
1. 2. 3.
1 – 2x
x – 4
2x
1 – x2
x
1 – x
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
4 5
2 2
x
x

+
U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 79
80 | Unidad 2
Simplificación de fracciones algebraicas
ANALICEMOS…
Mario y Valeria discuten acerca del siguiente problema: se les pide simplificar
la expresión y no están de acuerdo en cómo resolverlo.
Él realiza lo siguiente:
Para simplificar la expresión anterior, se pueden simplificar primero
los factores numéricos comunes en el numerador y denominador.
Para esto, se divide por 4, el máximo común divisor entre 12 y 16.
Entonces:
A continuación, se debe determinar si existen factores algebraicos iguales
en el numerador y denominador para simplificar. Luego, se debe factorizar
también el numerador:
x2 – 1 = (x + 1)(x – 1)
y se tiene que:
con x ≠ –1
Como ahora no hay factores comunes en el numerador y denominador,
la fracción es irreducible, cuya restricción para x es x ≠ –3 y x ≠ –1.
Por lo tanto, ambos tuvieron razón al decir que había que simplificar por
números, pero Valeria tuvo razón al observar que, además, había que
encontrar factores algebraicos comunes.
• ¿Es correcto lo que hizo Mario?, ¿se puede seguir simplificando?, ¿cómo?
• Valeria simplificó la expresión y obtuvo . ¿Es correcto?,
¿por qué?
Una es aquella
cuyo numerador y denominador
no poseen divisores comunes,
distintos de 1.
RECUERDA QUE…
12 12
16 3 1
12 1
16 3 1
2 2 3 x
x x
x
x x

+ +
=

+ +
=
( )( )
( )
( )( )
(x
x x
2 1
4 3 1

+ +
)
( )( )
3 1
4 3 1
3 1 1
4 3 1
( 2 ) 3
( )( )
( )( )
( )( )
x
x x
x x
x x

+ +
=
+ −
+ +
=
( )
( )
x
x

+
1
4 3
12x –12
16(x + 3)(x + 1)
2
12 12
16 3 1
x2
x x

( + )( + )
12 12
16 3 1
3 1
4 3 1
x2 2
x x
x
x x

+ +
=

( )( ) + +
( )
( )( )
3 1
4 3
( )
( )
x
x

+
GLOSARIO
es un divisor
del número.
expresar un número o
una expresión algebraica como
producto de dos o más números
o expresiones algebraicas,
llamados factores.
U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 80
Expresiones algebraicas fraccionarias | 81
Unidad 2
Para simplificar fracciones algebraicas, se puede factorizar completamente el numerador y el denominador
y revisar si existen factores numéricos y/o algebraicos comunes en el numerador y el denominador,
y si existen, dividir por estos, obteniendo una fracción algebraica irreducible.
Finalmente, si es necesario, se deben indicar las restricciones para los valores que pueda tomar x.
Ejemplos:
1.
2.
EN RESUMEN
3 18
5 6
3 6
6 1
3
2 1
x
x x
x
x x x

− −
=

− +
=
+
( )
( )( )
,
x x
x x
x x
x x
x
x
2
2
5 6
7 30
2 3
3 10
− + 2
− −
=
− −
− +
=

+
( )( )
( )( ) 10
,
1. Simplifica las siguientes fracciones, indicando las restricciones, si las hubiera:
a. d. g.
b. e. h.
c. f. i.
2. Encuentra el valor de las siguientes expresiones fraccionarias sin desarrollarlas, como en el ejemplo:
Ejemplo:
a. c.
b. d.
EN TU CUADERNO
2 4
2 9
x
x x

( − )( + )
x x
x
2 20
7 28
− −
+
x y
x y
2 2
3 3


x a x a
x ax a
2 2
2 2 2
− + +
+ +
x a y
a y x
− −
− −
( )
( )2 2
x
x
3
3
1
1

( − )
x
x


2
2 2
5
2
3 2
5 3
a a
a a


3 25
125
2
3
( )
( )


x
x
( , ) ( , )
( , ) ( , )
0 7 0 3
0 7 0 3
3 3
2 2


1 06
1 0 6
1 0 6 1 1 0 6 0 6
1
3
2 2
+
+
=
+ ( + ⋅ + )
+
( , )
,
( , ) ( , ) ( , )
( 0 6
1 0 6 0 36 1 96
, )
= + , + , = ,
( , ) ( , )
( , )
0 21 3 0 21 2
0 21 1
2
2
+ +

8 11 6 11 1
2 11 1
( , )2 ( , )
( , )
− +

( , ) ( , )
( , ) ( , )
31 31
31 2 31 1
2
2

− +
con x ≠ –1, x ≠ 6
con x ≠ –10, x ≠ 3
U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 81
82 | Unidad 2
Multiplicación de fracciones algebraicas
Considera la siguiente figura:
Como primer paso, se deben determinar las medidas del largo y el ancho
del rectángulo pintado. Primero, se determina el ancho:
Ancho = =
Luego, se calcula el largo, que es igual al cuociente de P sobre a,
más el cuociente de R sobre b, de modo que se tiene:
Largo = + = + = + =
Finalmente, el área del rectángulo se obtiene calculando el largo por
el ancho hallados:
Área = · = 2PQ
3a2
2P
a
Q
3a
2P
a
P
a
P
a
P
2b
P
a
R
b
P
a
Q
3a
Q
c
ANALICEMOS…
• ¿Cuál es el área pintada en función de las áreas P, Q y R, sabiendo
que c = 3a, 2b = a y R = ?, ¿cómo lo resolviste?
• Para multiplicar fracciones algebraicas, ¿se procede igual que con
las fracciones numéricas?
• Si no es igual, ¿qué cambia en este procedimiento?
P
2
a
P
R
Q
b
c
U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 82
Expresiones algebraicas fraccionarias | 83
Unidad 2
Para multiplicar dos fracciones algebraicas, se calcula de manera similar que para multiplicar
fracciones numéricas.
Primero, se factorizan los numeradores y los denominadores en ambas fracciones; luego, se simplifican
por los factores comunes que existan, tanto numéricos como algebraicos; y, finalmente, se multiplican
los términos restantes.
Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
EN RESUMEN
1. Resuelve las siguientes multiplicaciones. Simplifica cuando sea posible.
a. e.
b. f.
c. g.
d. h.
EN TU CUADERNO
10
3
9
2
2 5
3
3 3
2
3 5
1
15
x
y
y x
y
y x
⋅ = x
⋅ ⋅


⋅ ⋅
=
⋅ ⋅
=
5
4
12
7
21
25
5
4
3 4
7
7 3
5 5
3 3
x 5
x
y x
x
y y
⋅ ⋅ =


⋅ ⋅


⋅ ⋅
=


=
9
5y
a b
a
a a
a b
a b
a
a a
a b a

+

+ −

=

+

− +
3 −
6
3
2 2 3
3 3
( )( )
( )(2 2 2 2
2
+ +
=

ab b + +
a
) a ab b
1
2
4
1
1
2
2 2 2
3





=
− −
− −

− ⋅ +

x
y
y
x
x
y
y y
x
( )
( )
( ) ( )
( 1 1
2
2 2 1 ) ⋅ ( + + )
=
+
x x + +
y
x x
3
9
3 5
2 2 2
(x a) ( )( )
a
a x
x a



− −

m m
m
m
m
2
2
5 14
2 8
7 28
3 21
+ −



( ) +
(m )
m m
m
m
+


+



2
3
1
11 22
5 15
3 3
2
x
x
y
xy
xy
x



+


3
2
1
3 3
( )2
w w
x y
x y xy
w w w
5
3 6
2 4 2
1 3 2
1
1



+ +
− + −
x
x
x
x x
2 3
2
5
3 3
1
2 2 2
+



+ +
a b
a b
b a
b

+


2
x x
x x
x
x
x
x x x
2
2
3
3 2
1
2 1
1
1
− + 1
+ +

+


+
− +
, con a ≠ –3 y a ≠ b
, con y ≠ 0
, con x ≠ 0, y ≠ 0
, con x ≠ 1 e y ≠ 2
U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 83
84 | Unidad 2
División de fracciones algebraicas
Aprovechando el buen tiempo, un grupo de amigos fue de excursión.
Al terminar el paseo, sacaron de su mochila un envase cilíndrico lleno de agua.
A continuación, sacaron vasos cilíndricos más pequeños, cuya altura era
la tercera parte de la altura del envase y cuyo radio era la mitad del radio
del envase.
Observa la relación entre el tamaño del envase y el de un vaso.
Si se llama r al radio y h a la altura del envase, entonces los vasos tienen
altura igual a y radio igual a . Luego, se debe resolver la operación:
Para resolverla, se puede transformar en una multiplicación de fracciones,
cuyo segundo término es el inverso multiplicativo del divisor. Observa.
Simplificando por los factores comunes en numeradores y denominadores,
y multiplicando los demás términos, se obtiene:
Luego, el contenido del envase alcanza para servir 12 vasos de esas medidas.
r
2
h
3
ANALICEMOS…
• ¿Cuántos vasos se podían servir?, ¿cómo lo calculaste?
• Para poder dividir fracciones algebraicas, ¿se procede igual que
en la división con fracciones numéricas?
• Si no se procede de igual manera, ¿qué cosas cambian
en el procedimiento?
Para dividir una fracción por otra, se
debe multiplicar el dividendo por el
inverso multiplicativo del divisor.
RECUERDA QUE…
πr h π
2 r h
2
2 3
:

⎝ ⎜

⎠ ⎟

⎝ ⎜

⎠ ⎟

⎣ ⎢

⎦ ⎥
=
π π π ⋅ ⋅ ⋅

⎝ ⎜

⎠ ⎟


⎝ ⎜

⎠ ⎟

⎣ ⎢

⎦ ⎥
r h = ⋅ ⋅ ⋅
r h
2 r h
2
2
2 3
2
:
2
2
⋅3
π ⋅r ⋅h
π π π ⋅ ⋅ ⋅

⎝ ⎜

⎠ ⎟


⎝ ⎜

⎠ ⎟

⎣ ⎢

⎦ ⎥
r h = ⋅ ⋅ ⋅
r h
2 r h
2
2
2 3
2
:
2
2
2
3
2 3
12

⋅ ⋅
= ⋅
=
π r h
h
r
U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 84
Expresiones algebraicas fraccionarias | 85
Unidad 2
Según cómo se factorice cada fracción, se puede simplificar antes de
multiplicar. Observa los siguientes ejemplos.
1.
2.
3.
4.
Para dividir dos fracciones algebraicas, se procede de manera similar que para la división de fracciones
numéricas; es decir, se transforma en una multiplicación de fracciones, en la cual el segundo término
corresponde al inverso multiplicativo del divisor.
EN RESUMEN
1. Resuelve las siguientes divisiones de fracciones algebraicas y simplifica cuando sea posible. Indica
las restricciones en cada caso.
a. e.
b. f.
c. g.
d. h.
EN TU CUADERNO
10
3
20
9
10
3
9
20
10
3
3 3
10 2
x2 2
y
xy x
y xy
x x
y
: = ⋅ =
⋅ ⋅



⋅ ⋅ ⋅
=
x y
x
y
3
2 2
7
3
14 7
3 14
7
3 2 3 7 2 6
2
2
2 y
x x
y
x
x y
x x
x y
x
: = ⋅ =

⋅ ⋅


=

+ +
=

+

+
=
⋅ −
+

2 ⋅ +
3
6
5 15
2
3
5 15
6
2
3
a 5
a a
a
a
a a
a
a
:
( ) ( 3
2 3
5
3
) –

=
a
a b
a
a b
a a
a b
a
a a
a b



+ −
=



+ −
2 2 2 −
3 3 2
2
2
3 3
:
=



+ −
− + +
=
+
+ +
a b
a
a a
a b a ab b
a
2 a ab
1 2 1
2 2 2
( )( )
( )( ) b2
m m
m
m
m
2 8 1008
4
3 84
7 28
− −
+
+
+
:
b x a
cb a
b x b a
c b a
( )
:



2 2 −
3 2 3 2
2 4 4
x y xyw
w yz w x
x y xy
wx w
5
2 2 2
3
5 2
5
7 35




:
a c
a b a b
a c
a b
2 2
6 6 3 3
4 4
3 3
2
2 3
4
1
+
− −

+
:
z z
za
z
z a
4 2
2
2
2 4
42
7
7
49
+ −

+

:
x x y
z
y x y
z
2 4
2
2 2
1 6 1 36 4

+


:
x x
x
x
x x x
2
2
2
3 2
4
25
16
10 25



− +
:
15
1
3
a12 − a8 −1
:
, con x ≠ 0 e y ≠ 0
, con x ≠ 0
, con a ≠ –3
, con a ≠ 2 y a ≠ b
U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 85
86 | Unidad 2
4. Calcula las siguientes multiplicaciones de fracciones algebraicas:
a. b. c.
5. Calcula las siguientes divisiones de fracciones algebraicas:
a. b. c.
MI PROGRESO
3 1
7
6
3 4 1
3
2
x
x
x
x x


− +
21 14
14
35
3 4 4 3 2
x
x x x x

− +
: a b
a b
b a
b

+
: −2
x x
x
x
x x
2 3
2
5
1
1
2
+


+
:
3 1
6 4
9 4
1
2 2
2
a
a
a
a





4 1
6 4
1
6 6
4 2 9 9
4
2
6 3
a a
a
a a
a
a
a a
( − )


+ +




CRITERIO PREGUNTA EJERCICIOS CORRECTOS
• Revisa tus respuestas y, luego, escribe la cantidad de ejercicios correctos en tu cuaderno.
¿Cómo voy?
Ordenar fracciones algebraicas. 1 / 3
2 / 4
Determinar para qué valores se anula una fracción algebraica
y queda indefinida.
Resolver multiplicaciones de fracciones algebraicas. 4 / 3
5 / 3
Determinar para qué valores una fracción algebraica es positiva. 3 / 4
Resolver divisiones de fracciones algebraicas.
1. Ordena las siguientes fracciones algebraicas de menor a mayor. Considera todas las variables
con valores positivos.
a. , , b. , , c. , ,
2. Determina los valores de x para los cuales se anulan las siguientes fracciones algebraicas. Luego,
determina los valores para los cuales quedan indefinidos.
a. b. c. d.
3. Determina los valores de x para los cuales las siguientes fracciones algebraicas son positivas:
a. b. c. d.
2
2b + 1
1
b
1
b + 1
1
x2 – 1
x
x2 – x – 6
x – 7
2 – x
4x – 2
x + 5
6×2 + 5
x2 + 2
x2 – 1
x + 2
x(x2 – 25)
6x – 7
3x – 1
7x
1
2
2b – 1
4b
3b – 1
6b
6a – 1
4b
3a – 1
2b
3a
2b
U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 86
Expresiones algebraicas fraccionarias | 87
Unidad 2
Mínimo común múltiplo
de expresiones algebraicas
Diego recibió de regalo un tablero separado en dos partes, cada una con
bloques triangulares y rectangulares iguales entre sí. Como es curioso, notó
que la altura de los triángulos era el doble del largo del rectángulo y que la
base de los triángulos medía la suma del largo y del ancho del rectángulo.
En la situación anterior, se debe determinar cuál es la menor área que puede
cubrirse con bloques de una misma forma.
Considera que a es el largo y b el ancho del rectángulo. Entonces, la base
del triángulo mide a + b, y la altura del triángulo es igual a 2b.
Ahora, observa cómo calcular el área de cada figura:
Área del rectángulo: a · b = ab
Área del triángulo: · (a + b) · 2b = ab + b2
Ahora, se calcula el mcm de ambas expresiones. Una buena idea es factorizar
cada una de las expresiones, y buscar su mcm. En este caso, se obtiene como
factores a, b y (a + b). Por lo tanto, el mcm de ab y de b(a + b) es igual a
ab(a + b). Luego, a triángulos cubren la misma área que (a + b) rectángulos.
Como debe ser el menor de los múltiplos comunes, hay que fijarse en
los factores para no considerar más factores de los necesarios. Observa.
1. Encuentra el mcm de a2 – ab y a2 – b2. Factorizando:
a2 – ab = a · (a – b)
a2 – b2 = (a + b) · (a – b)
Los factores que contienen son a, (a – b) y (a + b), y por tanto el mcm
es a · (a – b) · (a + b) = a3 – ab2.
2. Encuentra el mcm de a2 – 10a + 21 y a2 – 9. Factorizando:
a2 – 10 + 21 = (a – 3) · (a – 7)
a2 – 9 = (a – 3) · (a + 3)
Los factores que contienen son (a – 7), (a – 3) y (a + 3), y por tanto
el mcm es (a – 7)(a – 3)(a + 3).
12
ANALICEMOS…
• Si hay suficientes bloques de cada forma como para cubrir una misma
área, ¿cuál es la menor área que puede cubrirse con bloques de una
misma forma?
• ¿Es posible encontrar el mínimo común múltiplo (mcm) de expresiones
algebraicas de la misma forma que en el caso numérico?, ¿por qué?
El área de un rectángulo de lados
x e y es x · y.
El área de un triángulo de base b
y altura h es b · h .
2
RECUERDA QUE…
a
b
a + b
2b
GLOSARIO
números
que se obtienen al multiplicar el
número dado por otro.
entre dos o más números es el menor
de los múltiplos comunes de ellos.
U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 87
88 | Unidad 2
3. Encuentra el mcm de 4a2 – 16ab + 16b2 y 2a2 – 8b2. Factorizando:
4a2 – 16ab + 16b2 = 4 · (a2 – 4ab + 4b2) = 22 · (a – 2b)2
2a2 – 8b2 = 2 · (a2 – 4b2) = 2 · (a + 2b) · (a – 2b)
Los factores que se obtienen son 2, (a – 2b) y (a + 2b), y el mcm
es 4(a – 2b)2(a + 2b).
1. Encuentra el mcm de las expresiones:
a. 8×3, 4×2, 12x e. 10 – 20x, 4×2 – 20, x – 2
b. ax3, bx4y, a2xb f. a2 – 13a + 30, a2 – 100, a2 – 9
c. a – 1, a2 – 1, (a – 1)2 g. 9x + 6y, 3x + 2y , 9×2 + 12xy + 4y2
d. a + 2, a3 + 8, a2 – 4 h. x2 + 6x + 9, x2 – x – 12, x2 – 16
2. Amplifica por el factor necesario para igualar los denominadores en las siguientes fracciones algebraicas:
a. c.
b. d.
EN TU CUADERNO
Para encontrar el mcm de expresiones algebraicas, se sugiere factorizar cada expresión, si es posible,
y luego multiplicar todos los factores encontrados. Si hay algún factor que se repite, se elige el de
exponente mayor.
EN RESUMEN
z a b
zc d
a z
zc d
3 3 2
2

+


,
( )
z
ab cx
a z
ax c
3 3 2



,
abx
x
x
x


+

54
1
1
3 1
2
2 ,
a b
c
a z
a bc
cd z
b a
2
3
3 2
2 3 2
− − −
, ,
U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 88
Unidad 2
Expresiones algebraicas fraccionarias | 89
Adición de fracciones algebraicas
Se requiere terminar la construcción de un edificio, y solamente falta pintar
su interior, para lo cual se contrata a dos grupos con igual cantidad
de trabajadores, todos de igual eficiencia y con la misma cantidad de horas
de trabajo diario. El segundo grupo comenzará a trabajar algunos días
después que el primero.
En la situación anterior, no se sabe la cantidad de trabajadores que se van a
contratar, entonces se pueden asignar variables. Sea N la cantidad de metros
cuadrados que se deben pintar al interior del edificio, h la cantidad de
hombres que conforman cada grupo y n la cantidad de metros cuadrados
que puede pintar cada uno de los trabajadores del primer grupo al día.
De esta manera, cada uno de ellos hace una fracción del trabajo igual a ,
y por lo tanto, el primer grupo hace diariamente una fracción del trabajo
igual a .
Para el segundo grupo, se debe notar que no pueden trabajar sobre
1 000 metros cuadrados que corresponden al primero. De modo que cada
trabajador del segundo grupo realiza al día una fracción igual a ,
y, por tanto, el trabajo realizado por el segundo grupo es igual a .
A partir del momento que ingresa el segundo grupo, el trabajo diario realizado
por ambos grupos es igual a . Para reducir a una fracción,
se amplifica cada fracción para tener el mismo denominador, que en este caso
es N(N – 1 000):
Es decir, el trabajo en conjunto hecho diariamente es igual a:
Que corresponde a la parte que realizan ambos grupos cuando comienzan
a trabajar juntos.
ANALICEMOS…
• Si al comienzo solamente trabaja el primer grupo, ¿qué fracción del
trabajo total logran hacer diariamente cada uno de ellos y en conjunto?
• Si el segundo grupo debe pintar la superficie, menos 1 000 metros
cuadrados que le corresponden a la primera, ¿qué parte del trabajo
realiza a partir de este momento?
• ¿Qué parte del trabajo diario realizan ambos grupos a partir del
momento que ingresa el segundo de ellos a trabajar?
n
N
h n
N
hn
N
⋅ =
n
N −1000
hn
N −1000
hn
N
hn
N
+
−1000
hn
N
hn N
N N
hn
N
hnN
N N
=

− −
=

( )
( ) (
1000
1000 1000 1000)
hn
N
hn
N
hn N hnN
N N
hnN
+

=
− +

=

1000
1000
1000
( ) 2 1
( )
000
1000
2 500
1000
hn
N N
hn N
( ) N N
( )
( )
.

=


Para sumar fracciones de igual
denominador, simplemente se suman
los numeradores.
RECUERDA QUE…
U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 89
90 | Unidad 2
Cuando se suman fracciones algebraicas, el procedimiento es similar al que
se aplica en las fracciones numéricas. Observa.
1.
2.
Para sumar fracciones algebraicas, debemos ver si sus denominadores son iguales. De no ser así,
debemos encontrar fracciones equivalentes de denominador igual al mínimo común hallado.
Finalmente, se suman los numeradores de las fracciones equivalentes halladas.
EN RESUMEN
3
2 4
5
2
3
2 2
5 2
2 2
3
2x xy x x x y
x y
− x x y
+ =
⋅ −
+
⋅ −
⋅ −
=
( )
( )
( )
+ −
⋅ −
5 10
2 2
x y
x (x y)
3
4
7
10
3 5
4 5
7 2
10 2
15 14
20
29
20
b b b b b b b
+ =


+


=
+
=
1. Valoriza las fracciones correspondientes al trabajo diario realizado por cada grupo por separado
y en conjunto en el ejemplo de la página anterior para:
a. h = 10, n = 18, N = 3 000 b. h = 20, n = 15, N = 4 000 c. h = 15, n = 15, N = 4 500
2. Resuelve las siguientes adiciones de fracciones algebraicas:
a. e.
b. f.
c. g.
d. h.
3. Se requiere llenar un estanque usando dos llaves, una de las cuales demora las tres cuartas partes
del tiempo (en minutos) que se demora la otra.
a. Determina la parte del estanque que llenan ambas por minuto.
b. Intenta calcular cuántos minutos demoran ambas llaves en llenar el estanque.
EN TU CUADERNO
1
4
1
x2 3xz
+
x
x x
2
4 16 2
3
− 4
+
+
x d
x d
x xd d
x d

+
+
+ −

2 2
2 2
2 3
3 1
3 3
8
2 1
x
x
x
x x

+
+
( + )
1 2 1
x2 + xy xy y2 x
+
+
+
4
3 9 9
2
x 2 3 9
x
+ x x
+

+

x
x x
x
x
x
9 2 − 3 − 2 3 1 3x 2
+
+
+

1
1
2
1
2
− 3 2 1
+

+
x x + +
x
x x
U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 90
Expresiones algebraicas fraccionarias | 91
Unidad 2
Dado que el primer grupo comenzó a trabajar solo durante dos semanas,
el trabajo diario realizado por este grupo es igual a , luego, al pasar
cuatro semanas (20 días de trabajo), ha hecho del trabajo total.
Hasta entonces, el segundo grupo ha trabajado durante dos semanas (10 días),
y como al día realizan del trabajo, a la fecha han hecho
del trabajo total. De modo que, el trabajo de ambos grupos juntos es:
En el caso de que ambos grupos empezaran a trabajar al mismo tiempo,
cada día realizarían del total, y durante las cuatro semanas
hubiesen realizado del trabajo total.
Por lo tanto, la di fe ren cia de avance entre el caso que ambos co mien zan al
mismo tiempo menos el trabajo efectivamente realizado en las cuatro semanas
es igual a:
– =
Que corresponde a la fracción de trabajo que realizaría el segundo grupo
durante los días que no pudo estar presente.
40 500
1000
hn N
N N
( )
( )


10 hn(3N – 2000)
N(N – 1000)
10 hnN
N(N – 1000)
Sustracción de fracciones algebraicas
A medida que pasan los días, el personal a cargo de la construcción ha
quedado satisfecho con el trabajo de ambos grupos, de modo que comienzan
a comparar el trabajo realizado por cada grupo y a sacar conclusiones.
ANALICEMOS…
• Si el segundo grupo comenzó a trabajar dos semanas después del
primero y trabajan cinco días por semana, ¿qué parte del trabajo llevan
después de cuatro semanas de trabajo?
• ¿Cuánto más de avance tendrían en el caso que ambos grupos hubiesen
comenzado a trabajar al mismo tiempo?
• ¿Cuántos días menos habrían tardado en terminar la obra si ambos
grupos comenzaban a trabajar juntos?
El signo menos, cuando está antes de
un paréntesis, indica que al momento
de eliminar el paréntesis, los signos
+ y – que estaban dentro de este
cambian.
–(a + b – c) = –a – b + c
hn RECUERDA QUE…
N
20hn
N
hn
N −1000
2 500
1000
hn N
N N
( )
( )


40 500
1000
hn N
N N
( )
( )


20 10
1000
20 1000
1000
hn 10
N
hn
N
hn N
N N
hn
+

=


+
( )
( )
N
N N
hn N
( ) N N
( )
− ( )
=

1000 −
10 3 2 000
1000
10
1000
hn
N −
U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 91
92 | Unidad 2
Para restar fracciones algebraicas, se siguen los mismos pasos de la adición; es decir, se busca
el mcm de los denominadores y se transforman en fracciones equivalentes con denominador igual
al mcm hallado. Luego, se restan los numeradores.
Ejemplos:
1.
2.
EN RESUMEN
1. Valoriza las fracciones correspondientes al trabajo hecho por ambos grupos a la fecha y en el caso
que hubieran comenzado al mismo tiempo en el ejemplo de la página anterior, para:
a. h = 20, n = 16, N = 4 000
b. h = 15, n = 15, N = 4 500
c. h = 25, n = 20, N = 5 000
2. Resuelve las siguientes sustracciones de fracciones algebraicas:
a. e.
b. f.
c. g.
d. h.
EN TU CUADERNO
3
5
6
25
3 5
5 5
6
25
3 9
a a2 2
a
a a a
a
− a


=
⋅ +
− ⋅ +


=
( ) +
( ) ( ) 2 − 25
3
5
6
11
3 11
5 11
6 5
11 5
33 30
55
3
55
x x x x x x x
− =





=

=
x yz
x
y
xz
+

4
2
2 18
x
x
x
1 x x x
2
1
1
2 2 2 1 −



+ +
1
2 2
2
a 4a 1 2
a
+ a a




x
x x
x
2 2 3 x x
3
1
1
+ − 2




+
1
2 3
2
2 3 6 2 x x x
x
− − x

+


1
1
2 2
1 1
+


+


+
x
x
x
x
x
x
(1 )
1
5 25
1
1
6 1
2
4 2
+


+


+
+ +
x
x
x
x
x
x x
1 1
2
2
w 1 2 1
w
w
w
w
w
w


+

+



U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 92
Expresiones algebraicas fraccionarias | 93
Unidad 2
Ecuaciones que involucran
fracciones algebraicas
ANALICEMOS…
Lee atentamente el siguiente enunciado:
¿Qué número debe sumarse al numerador y restarse del denominador de
denominador de para que las fracciones resultantes sean equivalentes?
52
47
la fracción y simultáneamente restarse del numerador y sumarse al
13
31
Para responder este enunciado, se puede plantear una ecuación.
Observa que, si se asigna la incógnita x al número buscado, la ecuación
que lo representa es:
=
(13 + x) · (47 + x) = (52 – x) · (31 – x)
611 + 60x + x2 = 1 612 – 83x + x2
143x = 1 001
x = 7
En el caso de las ecuaciones con incógnitas en el denominador, al finalizar
se debe verificar la pertinencia de la solución obtenida. Es decir, que el
número obtenido realmente resuelva el enunciado o situación planteada.
En este caso:
=
52 – 7
47 + 7
13 + 7
31 – 7
52 – x
47 + x
13 + x
31 – x
= , que son fracciones equivalentes, luego, la solución es correcta.
45
54
20
24
• ¿Cómo se traduce el enunciado en fracciones algebraicas?
• ¿Cómo se puede escribir la incógnita y los datos conocidos?
• Compara la ecuación con un compañero o compañera, ¿cuál de las
ecuaciones obtenidas es más sencilla?
• ¿Existe una única manera de expresar la ecuación?, ¿por qué?
• ¿Cómo se puede resolver la ecuación planteada?
Además de verificar si la solución
efectivamente satisface la ecuación,
debe verificarse que ninguna de las
fracciones de la ecuación se
indefina en el valor de la solución.
NO OLVIDES QUE…
RECUERDA QUE…
a
b
c
d
= ↔a ⋅ d = b ⋅ c
U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 93
94 | Unidad 2
1. Escribe los siguientes enunciados como una ecuación:
a. Halla un número tal que su séptima parte, más la tercera parte de su inverso multiplicativo, sea igual
al número más 4.
b. Halla un número tal que la diferencia entre la tercera parte del número y la cuarta parte
de su inverso multiplicativo sea igual al doble, del número aumentado en 3.
c. Encuentra un número tal que la diferencia entre su cuadrado y el doble de su inverso multiplicativo
sea igual a 3.
2. Plantea las ecuaciones que representan los siguientes problemas y, luego, resuélvelas:
a. Halla un número que sumado a 21 veces su inverso multiplicativo da como resultado 10.
b. Un número es tal que la mitad de este es igual a 8 veces su inverso multiplicativo. ¿Cuál es el número?
c. Un número es tal que la novena parte de 5 veces el número, aumentada en 1, es igual a 3 veces
la sexta parte del número menos 2. ¿Cuál es el número?
3. Resuelve las siguientes ecuaciones para la incógnita x:
a. f. , mn =/ 0
b. g.
c. h. , a =/ 0 y b =/ 0
d. i.
e. j.
EN TU CUADERNO
3 5
2
x 39
x x

=
3
4
13 4
x x x
+ =
1
2
3
4
0 x − x2
+

=
5 5
2 1
2
1
2
2
3
x x
x x
− −
⎛ −
⎝ ⎜

⎠ ⎟
=
⎛ −
⎝ ⎜

⎠ ⎟
− =

24
5
1
1
4
1
x
1 1 1
m
n
x mn x
− = −
3
2 1
2
2 1
3
x x 4 2 1
x
+ x


=
+

x a
a
a b
ab
x b
b
+

+
=
+

2 2
2
1
1
1
1
+ 5
+
=
x
1
2
1
2 2 4 8
2
x x x 3
x
– x

+ + –
=
Para resolver ecuaciones que involucran fracciones algebraicas, se procede de manera similar a las
ecuaciones con coeficientes fraccionarios, esto es, se puede transformar la ecuación en una con
coeficientes enteros, multiplicando cada miembro de ella por el mcm de los denominadores de las
fracciones algebraicas.
EN RESUMEN
U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 94
Expresiones algebraicas fraccionarias | 95
Unidad 2
Situaciones que involucran
fracciones algebraicas
ANALICEMOS…
Un acuario requiere ser llenado mediante un par de llaves ubicadas en uno de
sus costados. Se sabe que ambas llaves juntas llenan el acuario en tres horas y
que una de las llaves sola se demora la mitad de tiempo que la otra llave sola.
En la situación anterior, para determinar el tiempo en horas que demora
cada llave para llenar el acuario, se asigna la variable x, tiempo (en horas)
que necesita la primera llave para llenar el acuario.
Por las condiciones del problema, se tiene:
2x = tiempo (en horas) que tarda la segunda llave en llenar el acuario.
Además, se debe saber qué parte del acuario llena cada llave por separado
por unidad de tiempo (en este caso, una hora). De este modo, se tiene:
la llave A llena del acuario;
Y por tanto, la fracción que llenan ambas llaves juntas en una hora es igual
a la suma de cada una de las partes:
A + B =  +  del acuario
Por otro lado, ambas llaves llenan el acuario en 3 horas, es decir,
en una hora llenan del acuario. Entonces, se tiene la ecuación:
Por lo tanto, la primera llave demora cuatro horas y media en llenar
el acuario sola, y la segunda lo hace en nueve horas.
1
3
1
2x
1
x
1
x
la llave B llena del acuario.
1
2x
• ¿Cuánto tiempo demora cada una de las llaves por separado?,
¿cómo lo sabes?
• ¿Qué tipo de expresiones determinan los tiempos de cada una de las llaves?
• ¿Qué operaciones se requieren para resolver el problema?
1 1
2
1
3
2
2
1
2
1
3
3
2
1
3
2 9
9
2
x x
x x
x
x
x
+ =
+ =
=
=
=
U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 95
96 | Unidad 2
Para resolver un problema que involucra expresiones algebraicas fraccionarias, se debe reconocer
la incógnita y plantear la ecuación según el contexto y las condiciones del problema.
EN RESUMEN
EN TU CUADERNO
1. Plantea las ecuaciones y resuelve los siguientes problemas:
a. Determina qué número disminuido en sus equivale a su triple disminuido en 11.
c. La edad de Juan es los de la de Marta, y si ambas edades se suman, la suma excede en 4 años al
doble de la edad de Juan. Halla la edad de Juan.
d. El triple de un número excede en 48 al tercio del mismo número. Halla el número.
e. Escribe dos números consecutivos tales que los del mayor sean equivalentes al menor disminuido en 4.
g. Después de gastar la mitad de lo que tenía y de prestar la mitad de lo que me quedó, tengo $ 2 500.
¿Cuánto tenía al principio?
h. La edad de Marcos es de la edad de Karen, y hace 15 años la edad de Marcos era de la de
Karen. ¿Cuáles son las edades actuales?
2. Escribe un problema que involucre expresiones algebraicas fraccionarias. Junto con un compañero o
compañera, intercambien sus enunciados y cada uno plantee la ecuación correspondiente.
1
6
3
5
1
3
4
5
3
8
b. La suma de la quinta parte de un número con los del número excede en 49 al doble de la diferencia
3
8
entre y del número. Halla el número.
1
12
1
6
f. Tenía cierta cantidad de dinero. Gasté $ 2 000 y presté de lo que me quedaba. Si ahora tengo
$ 1 000, ¿cuánto tenía al principio?
2
3
U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 96
Expresiones algebraicas fraccionarias | 97
Unidad 2
1. Encuentra el mcm de:
a. 3a2 – 12, 14a – 28, a2 + 5a – 14 c. 3(x – 2)(x + 1), 6(x + 2)(x + 1), 8(x – 2)(x + 2)
b. a2b3 – 12ab, ab + a2b3 d. 9×2(x + 1), 6x(x + 2), 15(x + 2)
2. Resuelve las siguientes operaciones:
a. d.
b. e.
c. f.
3. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a. b. c.
4. Determina un número positivo, tal que, si se le resta 24 veces su inverso multiplicativo, se obtiene 2.
3 7 1
6 3 40
1
2
2
2
x x
x x
+ −
− +
=
MI PROGRESO
1
7
3
x x 1
+
+
x
x
x
x

+
+
+
1
2 2 2
2
( 2 )2
3
3
2
x 2 9
x
− x
+


x
x
x
x
+
+



5
1
5
1
9
1
5
x(x + ) (x 1)2

+
9 1
1
1
3 1
x
x x

+

+
− +
+
=
+
+ +
+
4 12
3
8
3
12 8
2 6
x
x x x
x
x
x
x x
+

+ −
+
=

4
4
4
4
50
16 2
CRITERIO PREGUNTA EJERCICIOS CORRECTOS
• Revisa tus respuestas y, luego, escribe la cantidad de ejercicios correctos en tu cuaderno.
¿Cómo voy?
Determinar el mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas. 1 / 4
2 / 6
3 / 3
Resolver adiciones y sustracciones de fracciones algebraicas.
Resolver ecuaciones que contienen fracciones algebraicas.
Resolver problemas que involucran fracciones algebraicas. 4 / 1
U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 97
Cómo resolverlo
98 | Unidad 2
EN TU CUADERNO
1. Un terreno rectangular se divide en cuatro partes, de manera que tres de sus partes tienen áreas
iguales a 40, 160 y 80 hectáreas. Determina el área del rectángulo restante.
2. Un cuadrado se divide en 4 partes, de forma que el área de la parte mayor es la suma de las áreas de los
rectángulos restantes. ¿En qué proporción quedaron los lados del cuadrado después de los cortes?
Problema resuelto 1
Se considera un rectángulo dividido en cuatro partes como se muestra
en la figura. Si se conoce el área de tres de estas partes, determina el
área del rectángulo azul en función de las áreas conocidas.
Solución:
Primero, se debe considerar que no se conocen las longitudes de los lados de
ningún rectángulo, de modo que debemos ponerles nombres provisionales.
De esta forma, el largo y el ancho del mayor de los rectángulos menores
serán m cm y p cm, respectivamente. De modo que tenemos la relación:
m · p = A
El segundo rectángulo, ubicado debajo del que tiene área A, tiene el mismo
largo (igual a m cm), pero es de ancho distinto (digamos, q cm).
Por tanto, tenemos:
m · q = B
Y el tercer rectángulo de área conocida, tiene el mismo ancho del segundo
(es decir, q cm), pero su largo es distinto del de los anteriores (digamos,
n cm), luego tenemos:
n · q = C
De lo anterior, podemos deducir que el rectángulo desconocido tiene
el mismo largo del tercer rectángulo (es decir, n), y que su ancho es igual
al del primer rectángulo (es decir, p). Por tanto, podemos calcular su área:
El área del rectángulo azul es igual a cm2. A · C
B
B cm2 C cm2
A cm2
Área = ⋅
=

⎝ ⎜

⎠ ⎟


⎝ ⎜

⎠ ⎟
=


=

n p
C
q
A
m
A C
m q
A C
B
Si el problema tiene datos con
unidades de medida, la respuesta al
problema se debe escribir con la
unidad de medida correspondiente.
NO OLVIDES QUE…
U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 98
Expresiones algebraicas fraccionarias | 99
Unidad 2
Problema resuelto 2
Un tren va a una rapidez de v km/h. Un pasajero que va en él ve pasar a otro
tren en sentido contrario, y el tiempo que tarda este en pasar por su vista es
de 2 segundos y medio. Si la rapidez del tren en que va era las dos terceras
partes de la del otro tren, y ambos mantienen su rapidez en ese instante,
¿cuál es la longitud del tren que vio el pasajero?
Solución:
Primero se debe determinar la longitud del tren que el pasajero ve pasar por cada
segundo. Entonces, su longitud es igual al producto de la longitud que ve pasar
cada segundo por el tiempo que lo ve pasar.
Cada segundo que avanza el tren en el que viaja, recorre como distancia
metros.
Pero, a su vez, el tren que viaja en sentido contrario recorre de la distancia
del primer tren, ya que su rapidez es dos tercios la rapidez del primer tren.
Es decir, el otro tren recorre en el sentido contrario metros en un segundo,
y como los trenes van en sentido contrario, en realidad el pasajero ve pasar
cada segundo la suma de las distancias recorridas por ambos trenes, es decir:
Como el pasajero ve el segundo tren durante 2 segundos y medio en total,
entonces el largo del tren es igual a:
Es decir, el largo del tren corresponde a · v metros.
125
72
3
2 36

v
,
3
2
EN TU CUADERNO
1. Determina la longitud del tren en el caso de que el pasajero viaje a 80 km/h y vea pasar el tren en
sentido contrario a 120 km/h.
2. Determina la longitud del tren que ve el pasajero, para el caso en que ambos trenes viajen a la misma
rapidez.
3. Encuentra la longitud del tren que ve si el pasajero viaja a 70 km/h, el segundo tren está inmóvil,
y lo ve durante 5 segundos.
v
3,6
v v v
3 6
3
2 36
5
, , 2 3,6
+ ⋅ = ⋅
5
2 36
5
2
5
2 18
5
5
2
5
2
5
18


⎝ ⎜

⎠ ⎟
⋅ = ⋅


⎜⎜


⎟⎟
⋅ = ⋅
v v v
,
⋅ =
5 ⋅
2
125
72
v
1 m/s = 3,6 km/h
Luego, v km/h corresponde a
v m/s.
3,6
RECUERDA QUE…
U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 99
100 | Unidad 2
En terreno
1. Con ayuda de una calculadora, y usando la aproximación e = 2,71828, encuentra los valores de T0 y
de T, a fin de determinar el modelo.
2. Luego, encuentra una aproximación para la temperatura del cuerpo humano, si se sabe que murió
a las 7 de la mañana.
• El tiempo está considerado en horas.
• Observa que para este caso debes considerar un valor negativo de t, dado que la muerte
del paciente fue antes de las 10 de la mañana.
3. ¿Qué otros tipos de problemas se pueden resolver mediante este modelo?
4. ¿Qué otras situaciones se pueden modelar usando esta fórmula?
5. ¿De qué manera el valor de k depende de los datos aportados en el problema?
Ley de enfriamiento de Newton
Newton figura como uno de los más grandes pensadores de la historia, tanto por el
impacto de sus teorías como por los giros radicales que significaron en su época.
Una de las tantas aplicaciones del cálculo que Newton desarrolló es la llamada
ley de enfriamiento, la que dice:
La rapidez con que un objeto se enfría es directamente proporcional
a la diferencia de temperaturas entre el objeto y el medio que lo rodea.
El modelo matemático de esta ley se expresa por:
T(t) = T0 + T · e–kt
En este modelo, k es una constante positiva, T0 es la temperatura del ambiente, T es la
diferencia entre la temperatura inicial del objeto y la temperatura del medio que lo rodea,
y el tiempo t está expresado en horas. En algunos casos, sirve para determinar la hora de
muerte de las personas. Veamos el siguiente ejemplo:
El doctor llegó al lugar de los hechos a las 10 de la mañana y la temperatura del cadáver
a esa hora era de 29 ºC. La temperatura de la pieza donde se encontró el cuerpo era de 23 ºC.
Una hora y media después, la temperatura del cuerpo bajó a 27 ºC. El doctor necesitaba saber la
hora exacta de la muerte de su paciente para llenar el certificado de defunción.
Considerando k = 0,27031007, ¿a qué hora murió el paciente?
EN TU CUADERNO
U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 100
Expresiones algebraicas fraccionarias | 101
Unidad 2
INVESTIGUEMOS…
Ahora trabajen en grupos de cuatro personas:
1. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser la solución correcta
en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos.
2. Discutan en conjunto si existe una manera de determinar el valor de la constante k, ya que para este caso fue
dada.
3. El valor de k dado en el ejemplo, ¿depende de las condiciones del problema? Discutan.
4. Cada uno resuelva el siguiente problema:
Un objeto fue colocado en una habitación que se encuentra a temperatura constante de 15 ºC; sin embargo,
solamente luego de un instante se toma la temperatura, la cual es en ese momento de 26 ºC.
¿Qué temperatura tiene el objeto pasados 10 minutos después de ese instante?, ¿con qué temperatura
el objeto ingresó a la habitación, si pasaron 10 minutos antes de que fuese tomada esta?
Para todos los cálculos, consideren k = 0,031 y sigan estos pasos:
• Primero, dado que el tiempo está expresado en minutos, deben considerar la variable t como tiempo
transcurrido desde que se toma la temperatura al objeto, en minutos.
• Luego, se remplazan los valores dados en la fórmula, y con esto encuentra el valor de T.
• Conocido este valor, se encuentra la temperatura del objeto pasados 10 minutos.
• Finalmente, dado que se desea saber la temperatura en un instante anterior al primer registro, se debe
considerar un valor de t negativo para saber la temperatura con la cual ingresó el objeto a la habitación.
EVALUEMOS NUESTRO TRABAJO
• Comparen sus resultados con los obtenidos por sus compañeros y compañeras. ¿Se obtienen los mismos
valores? De no ser así, ¿cuáles son las diferencias?
• ¿Qué sucede si el tiempo se mide ahora en horas o en segundos?
• El valor de k considerado ¿sirve para este caso o debe ser cambiado? De ser así, ¿cómo podría determinarse
el nuevo valor de k?
• ¿Se relaciona de alguna manera el valor de la constante k con los parámetros y unidades de medida
usados? ¿Existe una dependencia de los datos conocidos?, ¿por qué?
U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 101
102 | Unidad 2
Síntesis de la Unidad
A continuación, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la unidad. Construye
con ellos un mapa conceptual, en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que
indican las relaciones que hay entre los conceptos.
1 Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.
a. Para simplificar una fracción, basta dividir numerador y denominador por un número entero
cualquiera.
b. La fracción algebraica es irreducible.
c. Una fracción algebraica queda indefinida en a = 3 si su denominador se anula para tal valor de a.
d. La fracción es mayor que la fracción , para a > 0 y b < 0. e. Una fracción algebraica aumenta de valor si el numerador queda fijo y el de su denominador disminuye. f. Para determinar los valores donde una fracción algebraica queda indefinida, es necesario revisar los valores para los cuales el numerador se anula. g. El mínimo común múltiplo de 6ab2 y 4a2b (a + 1) es 12a2b2(a + 1). Expresiones algebraicas fraccionarias Análisis Simplificación Ecuaciones Restricciones Problemas Orden Adición y sustracción mcm de expresiones algebraicas Multiplicación y división a b a ab b 3 3 2 2 125 7 35 175 − + + a b − + 1 7 2 2 1 14 2 2 a b − + U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 102 Expresiones algebraicas fraccionarias | 103 Unidad 2 h. Las fracciones son generadas por la expresión . i. La única solución positiva de la ecuación es x = 2. j. Para dividir dos fracciones algebraicas, es necesario multiplicar la primera, por el inverso multiplicativo de la segunda. k. En el caso x > 0, a > 0, x < a, el valor de la fracción es menor que –1. l. La expresión se anula únicamente para a = –4. m. La única solución de la ecuación es x = 2. n. Las fracciones son generadas por la expresión . 2 Aplica lo que aprendiste en la unidad para desarrollar las siguientes actividades: a. Halla un número positivo tal que, al restarle 63 veces su inverso multiplicativo, se obtenga 2. ¿Es el único número que satisface esta propiedad?, ¿cómo lo sabes? b. Dos aviones se utilizan para fumigar una parcela. Si uno de ellos se demora la mitad del tiempo que el otro, y juntos se demoran 5 horas, encuentra el tiempo que le toma a cada avión por sí solo cubrir toda la parcela. c. Resuelve la ecuación . d. Un grupo de 60 estudiantes de un colegio acordaron poner una cuota para asistir al cine. Pero 10 de ellos se retiran, debiendo el resto poner $ 400 adicionales. Determina el valor original de la cuota. e. Factoriza las siguientes expresiones y determina los valores de x para los cuales no están definidas. i. ii. n n n –2 + –1 2 x x +2 = 8 x a a − 2 32 3 2 1 3 2 a a a − ( + − ) x x + 2 − 8 = 0 3 7 6 26 9 63 , , 3 1 1 3 n (n + ) − 2 5 10 6 19 1 5 2 2 x x x x − + + − = x x x x 3 3 1 12 12 ( + ) − x x x x 2 9 1 2 2 14 14 ( + )( + ) − 1 13 , 2 21 , 3 31 U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 103 104 | Unidad 2 Evaluación de la Unidad 1. ¿Cuál de las siguientes fracciones es la mayor para a > 1?
A. D.
B. E.
C.
2. ¿Cuál de las siguientes fracciones es la menor
para a > 0?
A. D.
B. E.
C.
3. Si a > 1, ¿cuál de las siguientes fracciones es
la más cercana a ?
A. C. E. B y C
B. D. A y B
4. ¿Cuál de las siguientes no es una restricción
para la fracción ?
A. x = –5 D. x = 1
B. x = –1 E. x = 2
C. x = 0
5. ¿Qué fracción no está generada por la misma
expresión que las restantes?
A. C. E.
B. D.
6. El resultado de es:
A. D.
B. E.
C.
7. El resultado de es:
A. D.
B. E.
C.
8. El resultado de es:

Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno y selecciona la alternativa correcta en cada caso.
U2 PAG 68-105_Maquetación 1 05-07-10 9:28 Página 104
Expresiones algebraicas fraccionarias | 105
Unidad 2
9. La expresión no es equivalente a:
A.
B.
C.
D.
E.
10. El resultado de es igual a:
A. D.
B. E.
C.
11. La solución para x de la ecuación
es:
A. x = 1
B. x = –1
C. x = 2
D. x = –2
E. x = 0
12. La operación
da como resultado:
A.
B.
C.
D.
E.
13. Determina un número positivo tal que
si se le suma 7, el resultado se divide por 3,
y si finalmente se le suma nuevamente 7,
se obtiene 20 veces el inverso multiplicativo
del número.
A. 2 D. 5
B. 4 E. 1
C. 3
14. Por asistir a cierto lugar, a un grupo de
amigos se les cobraba $ 6 000 en total.
Pero dos de ellos no pudieron asistir,
de modo que cada uno de ellos debió pagar
$ 150 más, pues el precio por el grupo
se mantuvo. ¿Cuántos amigos había
al comienzo?
A. 7 D. 12
B. 8 E. 15
Fracciones algebraicas
Indicaciones para el docente
Un buen método para ayudar a sus estudiantes a trabajar con fracciones algebraicas,
es verlas y tratarlas como una extensión de las fracciones numéricas. Por lo tanto, se
sugiere recordar la operatoria y propiedades de fracciones antes de comenzar.
Se sugiere que recuerde el orden de fracciones, porque podría asumir el alumno o
alumna que la mayor expresión de velocidad es , solo porque t + 5 es mayor.
Actividades complementarias
Para motivar a los estudiantes en el estudio de las fracciones o expresiones
racionales, se les puede pedir su IMC (índice de masa corporal), el cual relaciona la
masa M (kg) y la altura de una persona h (m). Se define mediante la expresión
racional:
IMC =
Se sabe que lo ideal es registrar un IMC = 30, así por ejemplo, una mujer de
1,63 m de alto y de 90 kg o un hombre de 94,5 kg y 1,70 m de altura, tienen más
posibilidades de enfermar que una persona con un IMC ideal.
Actividades sugeridas
1. Calcula con los datos anteriores, el IMC de un grupo de compañeros y
compañeras.
2. Valora con x = 3, a = 2 y b = 1 las siguientes expresiones:
a.
b.
Si primero se simplifica, el cálculo se hace más fácil.
M
h2
a
t + 5
Errores frecuentes
• El alumno o alumna cree que la
mayor rapidez en el problema
inicial es t + 5, esto es porque
confunde los conceptos tiempo y
rapidez.
En la sección En tu cuaderno,
un error común es pensar que
1 minuto y diez segundos es lo
mismo que 1,10 minutos.
1
1
1
2
1
1
1
1
2 −
− − +
+

+
+

⎝ ⎜

⎠ ⎟
= a
( ax) (a x) x x
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
ab a b
a b
+

+ −
+

+
+ +

⋅ −
+
3 3
2 2
Aprendizaje de la nomenclatura
de términos de un polinomio.
Indicador: busca datos
directamente en fuentes primarias
de información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar previo al análisis aritmético
de las expresiones algebraicas
fraccionarias.
U2 PAG 68-91 18/11/09 16:48 Page 72
2 Verificar.
Expresiones algebraicas fraccionarias | 73
Orientaciones didácticas
Unidad 2
En tu cuaderno
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1 y 2 Calcular y clasificar.
PÁGINAS 74 – 75 Comparación de fracciones algebraicas
Indicaciones para el docente
Para los ejemplos dados, asegúrese que los alumnos y alumnas comprendan por
qué una expresión es mayor que otra. En el caso del ejemplo 1, mencione que en
la expresión de la izquierda se tiene un número positivo más 1, que es un número
positivo siempre, dividido por otro número positivo, resulta un número positivo;
en cambio, en la de la derecha, si 0 < n <1 el numerador de la fracción resulta un número negativo, con lo que la expresión es negativa. Pueden verificarlo también asignando valores numéricos para n. Actividades complementarias Se recomienda, como actividad de investigación, trabajar con la propiedad de tricotomía que indirectamente es utilizada para crear la desigualdad: < . Luego, esta actividad puede estar orientada a investigar tanto el concepto de tricotomía como en qué propiedades se ha utilizado para realizar una demostración. También, se pueden sugerir actividades en que se utilice directamente este concepto. a + 1 b a b + 1 En tu cuaderno Actividad Habilidades que se desarrollan 1 y 3 Analizar. PÁGINAS 76 – 77 Análisis de fracciones algebraicas Indicaciones para el docente Estas páginas tienen como objetivo la reflexión y análisis de expresiones algebraicas especiales, como son aquellas con denominador igual a uno, cero, etc. Además, se motiva a los y las estudiantes para analizar qué sucede con una determinada expresión si sus valores aumentan o disminuyen. Como por ejemplo, la expresión . Actividades complementarias 1. Determina el valor de la expresión en cada caso. a. con x muy grande. b. 2a + 5 con a muy grande. 3a + 1 x + 2 x – 3 1 x + 2 Errores frecuentes • Confunden valores de expresiones que involucran unos o ceros, por ejemplo: cuando n = 0; se suelen confundir con el valor cero para la expresión. Para evitar estos errores, es necesario explicar a los y las estudiantes que, en algunas expresiones, ciertos valores de las variables pueden no estar definidas. 1 n U2 PAG 68-91 18/11/09 16:48 Page 73 74 | Unidad 2 Guía Didáctica Matemática 2o Medio PÁGINAS 78 – 79 Restricciones en fracciones algebraicas Indicaciones para el docente El estudio de restricciones algebraicas fraccionarias constituye un tema importante, por lo cual, se debe motivar a los y las estudiantes a buscar valores para los cuales una cierta expresión algebraica está indeterminada. Es importante que los alumnos y alumnas logren comprender que para el análisis de expresiones algebraicas se deben dar variados valores numéricos y así revisar el comportamiento de cada una de ellas. Interesa que los y las estudiantes analicen las condiciones de existencia del valor numérico que puede tener una expresión racional. Por ejemplo, no está definida para x = , esto significa que dicha expresión toma valores muy grandes, no expresables numéricamente. ¿Qué sucede si x se hace muy grande? En este caso, se puede usar la equivalencia: = , en la cual y , se reducen a cero cuando x se hace cuando x es grande, es . Para x = 1 el valor de está indefinido. Actividades complementarias Pida a sus estudiantes que determinen entre qué valores se encuentra una expresión algebraica. Por ejemplo, ¿cuál es el mínimo valor que puede tomar la expresión x4? Analizar expresiones algebraicas tales como, 2n o 2n + 1, de manera de descubrir que representan números pares e impares, respectivamente, para lo cual se propone asignar diferentes valores numéricos a n. x2 – 1 x – 1 2 5 1 x 3 x 2x + 3 5x – 1 1 5 2x + 3 5x – 1 Distinto es el caso de expresiones como , que se pueden simplificar siempre y cuando x ≠ 1. x2 – 1 x – 1 Así tenemos: = (x – 1)(x + 1) = x + 1. x – 1 x2 – 1 x – 1 Herramientas tecnológicas Habilidades que se desarrollan Usar herramientas e interpretar. Errores frecuentes • Generalmente, se cree que para que una fracción esté determinada, el denominador debe ser mayor que 0 y sus elementos al menos distintos de cero, por esto, se sugiere enfatizar que no es siempre así. 2 3 5 1 + − x x muy grande. Tenemos que el valor de la fracción algebraica 2x + 3 , 5x – 1 U2 PAG 68-91 18/11/09 16:48 Page 74 Expresiones algebraicas fraccionarias | 75 Orientaciones didácticas Unidad 2 1. Verifica si el valor de la variable es una restricción para la fracción en cada caso. a. con m = –9 5 25m2 – 81 5m + 9 b. con x = –1 2×2 + 5x + 3 x + 1 PÁGINAS 80 – 81 Simplificación de fracciones algebraicas Indicaciones para el docente El objetivo de estas páginas es relacionar las propiedades y procedimientos de fracciones numéricas con propiedades y procedimientos de expresiones algebraicas fraccionarias. Interesa que los alumnos y alumnas relacionen los ejercicios de tipo aritméticos con aquellos algebraicos, constatando que los resultados obtenidos en estos son generalizaciones obtenidas del caso algebraico. Por ejemplo: analizar el valor numérico de ; ; , etc., y luego comparar con el análisis de la expresión . Variante metodológica Es posible que algunos estudiantes presenten problemas para aplicar propiedades aritméticas a problemas algebraicos. Para ello, pida que en forma paralela efectúen operaciones con fracciones y la correspondiente operación de expresiones fraccionarias que las representen, para luego comparar los resultados. Puede pedir que completen un cuadro como el siguiente: 1 x 1 4 1 3 1 2 2 Interpretar y calcular. En tu cuaderno Actividad Habilidades que se desarrollan 1 Calcular. 3 7 4 49 a a b b ( ) a b : + ( + )2 3 16 4 9 ⋅ a b b a 2 2 ⋅ 1 1 a 1 1 2 Errores frecuentes • Los y las estudiantes pueden caer en el error de factorizar la expresión 12×2 – 12 como 12(x2). • En el caso de la expresión , el alumno o alumna tiende a simplificar solo , ignorando que el numerador está compuesto por un binomio. 12 12 16 3 1 2 x x x − ( + )( + ) 12 16 Aprendizaje del procedimiento para simplificar expresiones algebraicas complejas. Indicador: localiza y recupera información. Sugerencias metodológicas: utilizar como ejercitación de repaso de fracciones algebraicas. U2 PAG 68-91 18/11/09 16:48 Page 75 76 | Unidad 2 Guía Didáctica Matemática 2o Medio PÁGINAS 82 – 83 Multiplicación de fracciones algebraicas Indicaciones para el docente El problema propuesto en el Texto permite que usted muestre a sus estudiantes la relación entre las operaciones con fracciones numéricas, que ellos realizan habitualmente, con las mismas operaciones, pero con fracciones algebraicas. Si ellos no comprendieran el desarrollo propuesto, asigne valores adecuados a las variables, por ejemplo, a = 12, b = 6, c = 36, P = 144, Q = 540 y R = 72, y resuelva el problema, paso a paso, tal como está descrito en el Texto. Luego, revise el procedimiento para las fracciones algebraicas. Insista en que la forma de operar es la misma, solo que ahora se opera con términos algebraicos en lugar de números. Es importante que sus estudiantes factoricen correctamente las expresiones algebraicas, porque, en muchos casos, factorizar las expresiones contenidas en el numerador y denominador facilita la simplificación en el caso de la multiplicación y división de fracciones algebraicas, así como el cálculo del mcm, es fundamental para resolver la adición y sustracción de fracciones algebraicas. Actividades complementarias 1. Resuelve las siguientes multiplicaciones factorizando previamente e indicando las restricciones. a. c. b. d. Importa que los alumnos y alumnas visualicen la relación entre ambos tipos de ejercicios: el aritmético y el algebraico; que puedan proponer otros ejemplos a partir de la forma general y constaten que los resultados que se obtienen son particularizaciones del caso general dado por el álgebra. Posibles dificultades Comúnmente, los y las estudiantes confunden el modelo aditivo con el multiplicativo, y por tanto, el significado del producto ab con la suma a + b. Para remediar esta dificultad, se propone la comparación de productos y adiciones de la manera aritmética; por ejemplo: calcular 124 + 21 y 124 · 21 y, luego, comparar los resultados. En tu cuaderno Actividad Habilidades que se desarrollan 1 Calcular. 2 4 6 3 4 2 3 2 2 a b a ab a a b − + ⋅ − 3 15 12 35 14 49 25 3 2 2 4 2 a a a a a a a a − + + ⋅ + + − 6 4 3 3 9 9 36 48 16 2 2 2 2 a b a b a b a ab b + − ⋅ − + + 4 2 6 6 2 2 2 18 9 2 x y x y x y y x x y − − ⋅ − ⋅ − Aprendizaje del procedimiento para simplificar expresiones algebraicas progresivas. Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información. Sugerencias metodológicas: utilizar como autoevaluación en la simplificación de fracciones algebraicas. U2 PAG 68-91 18/11/09 16:48 Page 76 Expresiones algebraicas fraccionarias | 77 Orientaciones didácticas Unidad 2 PÁGINAS 84 – 85 División de fracciones algebraicas Frecuentemente, la división de fracciones algebraicas se muestra como un procedimiento que se resuelve mecánicamente, ya que pocas veces los y las estudiantes le encuentran sentido o no ven para qué puede utilizarse. El problema propuesto en el Texto es un buen ejemplo de cómo se aplica la división de fracciones algebraicas, especialmente cuando no se conocen las medidas específicas, pero sí las relaciones entre ellas, como en este caso. Supervise si sus estudiantes utilizan correctamente los productos notables para simplificar algunas fracciones antes o después de la división. Si no es así, es recomendable que realice un repaso, en particular sobre cómo factorizar un trinomio con un término común, que es el caso más general y, eventualmente, incluye el cuadrado de binomio y la suma por diferencia. Enfatice a sus alumnos y alumnas que, pese a que una fracción algebraica sin simplificar puede ser igualmente correcta, es mejor que acostumbren a presentarla simplificada o bien factorizada, sobre todo si este resultado se va a utilizar en nuevos cálculos o para estimar algunos valores numéricos. Puede mostrar en el pizarrón un desarrollo en paralelo, con y sin simplificación, para que ellos noten cómo, a medida que se resuelve cada nueva operación, sus cálculos se pueden volver muy engorrosos. Actividades complementarias 1. Resuelve las siguientes divisiones factorizando previamente e indicando las restricciones. a. b. c. d. En tu cuaderno Actividad Habilidades que se desarrollan 1 Calcular. x ax x a a x a x 2 2 2 2 − + : ⋅ ( − ) bx ab a x ax a b − − + 2 2 2 2 : 2 4 12 9 6 9 1 2 2 3 2 2 m mn n m m m n m + + + + − : 5 10 20 4 12 2 2 2 2 p q p p p q p p + + − − − − : Aprendizaje del procedimiento para el cálculo de operaciones con fracciones algebraicas. Indicador: localiza y recupera información. Sugerencias metodológicas: utilizar para ejercitar la simplificación de fracciones algebraicas en más de una variable. U2 PAG 68-91 18/11/09 16:48 Page 77 78 | Unidad 2 Guía Didáctica Matemática 2o Medio Posibles dificultades en la evaluación y remediales En el ítem 1, podría ocurrir que sus estudiantes olviden aplicar los valores considerados de las variables para ordenar las expresiones dadas y, por lo tanto, podrían obtener conclusiones erradas sobre el orden correcto de las fracciones. Para evitar esto, recuerde a sus estudiantes la importancia de los valores de las variables para determinar el orden correcto en que deben estar las expresiones En el ítem 2, los y las estudiantes podrían tener inconvenientes para decidir si se buscan valores de x para los cuales las fracciones se anulan o quedan indefinidas. Para evitar esto, previo a la actividad recuerde a sus estudiantes las condiciones de una fracción se anula cuando su numerador se hace cero y su denominador es distinto de cero y que una fracción queda indefinida cuando su denominador se hace cero. PÁGINA 86 Mi progreso En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos y alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizar como una evaluación formativa que considera la habilidad que se detalla en el cuadro Mi progreso e incluye los siguientes criterios: Ítem 1: ordenar fracciones algebraicas. Ítem 2: determinar para qué valores se anula y se indefine una fracción algebraica. Ítem 3: determinar para qué valores una fracción algebraica es positiva. Ítem 4: resolver multiplicaciones de fracciones algebraicas. Ítem 5: resolver divisiones de fracciones algebraicas. Para los ejercicios 1, 2, 3, 4 y 5 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar el nivel de conocimiento alcanzado por los alumnos y alumnas. Mi progreso Ítem Habilidades que se evalúan 1 Ordenar. 2 y 3 Evaluar. 4 y 5 Aplicar. Ítem Completamente logrado Logrado Medianamente logrado Por lograr 1 • Ordena correctamente las fracciones algebraicas en todos los grupos dados. • Ordena correctamente las fracciones algebraicas en dos de los grupos dados. • Ordena correctamente las fracciones algebraicas en un grupo dado. • No ordena correctamente las fracciones algebraicas de ningún grupo dado. 2 y 3 • Determina correctamente los valores de x en todas las fracciones algebraicas. • Determina correctamente los valores de x en tres de las fracciones algebraicas. • Determina correctamente los valores de x en dos de las fracciones algebraicas. • Determina correctamente los valores de x en menos de dos fracciones algebraicas. 4 y 5 • Resuelve correctamente todas las operaciones con fracciones algebraicas. • Resuelve correctamente dos de las operaciones con fracciones algebraicas. • Resuelve correctamente una operación con fracciones algebraicas. • No resuelve correctamente ninguna operación con fracciones algebraicas. U2 PAG 68-91 18/11/09 16:48 Page 78 Expresiones algebraicas fraccionarias | 79 Orientaciones didácticas Unidad 2 En el ítem 3, podría ocurrir que sus estudiantes solo observen los signos de los números que tiene la fracción para decidir si es positiva o no. Recuérdeles que esto depende del signo del numerador y del denominador, si son iguales, la fracción es positiva. En el ítem 4, los alumnos y alumnas suelen multiplicar directamente, y después simplificar el resultado, lo cual no siempre es fácil de realizar por la eventual complejidad de las expresiones resultantes. Para evitar esto, recuerde a los y las estudiantes que, de ser posible, simplifiquen las expresiones antes de realizar la multiplicación. Por otro lado, en el ítem 5, al tratarse de divisiones, los y las estudiantes suelen pensar que deben multiplicar directamente, lo cual no lleva al resultado correcto. Para evitar esto, recuerde a sus estudiantes que para dividir fracciones algebraicas, se debe transformar en una multiplicación por el inverso multiplicativo del divisor. PÁGINAS 87 – 88 Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas Indicaciones para el docente Estas páginas tienen como objetivo generalizar el cálculo de mcm mediante la descomposición prima, de manera de facilitar cálculos del tipo algebraico y las operatorias básicas (adición, sustracción, multiplicación y división). Se recomienda comenzar calculando el mcm entre factores numéricos y, paso a paso, ir generalizando hasta llegar a determinar el mcm entre expresiones algebraicas. Variantes metodológicas Para evitar problemas con la factorización para calcular el mcm entre expresiones algebraicas, se recomienda el siguiente tipo de actividad: Completa la siguiente tabla y, luego, saca tus conclusiones. Expresiones Mínimo común múltiplo En tu cuaderno Actividad Habilidades que se desarrollan 1 y 2 Reconocer, interpretar y calcular. Errores frecuentes • Los y las estudiantes pueden considerar solo triángulos rectángulos para la imagen del problema inicial, donde los catetos corresponden a las medidas a y b, pero no considera otro tipos de triángulos, o simplemente cometen el error de medir como a uno de los lados de un triángulo y como b otro de los lados del mismo, sin considerar que este último no corresponde a la altura. 1 2 1 4 1 6 , , 1 1 1 n n2 n4 , , 2 13 4 15 a a a2 , , 2 5 13 20 15 25 , , U2 PAG 68-91 18/11/09 16:48 Page 79 80 | Unidad 2 Guía Didáctica Matemática 2o Medio PÁGINAS 89 – 90 Adición de fracciones algebraicas Indicaciones para el docente Estas páginas tienen como objetivo la aplicación de los contenidos de simplificación, factorización y el cálculo del mcm, por lo cual, se propone un repaso antes de desarrollar las páginas. Por ejemplo, encontrar el mcm entre 20, 400 y 160 000, o bien, encontrar el mcm entre x, x2, x4. Actividades complementarias Puede entregar a los y las estudiantes procedimientos de adición y sustracción de expresiones algebraicas, y pedir que encuentren errores en dichos procedimientos. Pida que inventen un ejercicio para resolver y que sea revisado por un compañero o compañera. Una actividad posible es trabajar con fracciones de distinto denominador (sin igualar los denominadores) con el siguiente procedimiento: + = . Con esto se obtiene el mismo resultado pero, en ocasiones, es necesario simplificar la expresión resultante. 1. Resuelve las siguientes adiciones factorizando previamente cuando sea necesario. a. c. b. d. ad + bc bd c d a b x x2 x x 4 2 2 5 − 2 + − + + 5 5 6 4 4 2 2 a − a − a + − 12 4 5 2 1 3 2 5 a − a − a a + + + − 3 2 5 6 2 4 2 3 7 2 3 2 2 2 x x x x x x x x x + + + + − + − + − + − 3 Representar y calcular. En tu cuaderno Actividad Habilidades que se desarrollan 1 y 2 Calcular. Errores frecuentes • Una dificultad puede estar dada por errores en la factorización y en la aplicación de productos notables. Por ejemplo, confundir suma por su diferencia con cuadrado de binomio. Para remediar esto, muestre representaciones geométricas de los productos notables comúnmente usados. Actividades complementarias Pedir a los y las estudiantes que obtengan el mínimo común múltiplo de algunas expresiones algebraicas que involucren la aplicación de productos notables, por ejemplo: El mcm entre los denominadores de: es El mcm entre los denominadores de: es 1 2 2 2 2 ( ) ; ; a b ( ) a a ab b b + + + a + b 2 2 2 n n b b n b n b − + n b + − ; ; Reconocimiento de una expresión algebraica factorizable de una que no lo es. Indicador: busca datos directamente en fuentes primarias de información. Sugerencias metodológicas: utilizar al terminar de explicar los métodos de factorización. U2 PAG 68-91 18/11/09 16:48 Page 80 Expresiones algebraicas fraccionarias | 81 Orientaciones didácticas Unidad 2 Actividades complementarias 1. Resuelve las siguientes sustracciones factorizando previamente cuando sea necesario. a. b. c. d. x x x x x x − + + − − + − 3 7 6 2 1 5 6 2 2 p q p q p q p q pq p q + − − − + − − 4 2 2 u u u u u u + + + − − + + 3 6 8 3 8 16 2 2 m m m m m m − − − − + + + 7 2 15 5 7 12 2 2 PÁGINAS 91 – 92 Sustracción de fracciones algebraicas Indicaciones para el docente Tanto en la adición como en la sustracción de fracciones algebraicas, los y las estudiantes pueden demorarse mucho en resolver cada ejercicio, ya sea porque se demoren en reconocer los factores de cada expresión algebraica o también porque se confundan fácilmente con el procedimiento, si lo intentan aplicar mecánicamente. Asegúrese de que sus estudiantes dispongan de tiempo suficiente para terminar los ejercicios y, luego, comparar sus respuestas con las de sus compañeros y compañeras. Insista en comparar cómo se resuelve la adición y sustracción de fracciones numéricas con la adición y sustracción de fracciones algebraicas. Esto les permitirá comprender mejor el procedimiento. Si observa que la dificultad radica en que no han aprendido correctamente las operaciones con fracciones numéricas, es indispensable realizar un repaso completo de estas operaciones. En tu cuaderno Actividad Habilidades que se desarrollan 1 y 2 Calcular. U2 PAG 68-91 18/11/09 16:48 Page 81 82 | Unidad 2 Guía Didáctica Matemática 2o Medio Se sugiere recordar al alumno y alumna, para evitar complicaciones en la resolución de ecuaciones (que es el objetivo de la unidad), realizar en el pizarrón una tabla de codificaciones algebraicas claves, tales como: el doble de un número, el sucesor de un número, el inverso de un número y el opuesto de un número, entre otros. Actividades complementarias 1. A la base de un rectángulo se le añaden 5 cm. ¿Cuánto debe añadirse a la altura para que el área del rectángulo resultante sea el doble de la del primero? 2. Averigua en qué consiste el teorema de la bisectriz y luego utilízalo para resolver el siguiente problema. La bisectriz del ángulo en C divide al tercer lado en dos segmentos cuya diferencia es 12 cm. Calcula la medida de dicho lado. a x b 5 A C 20 36 x x + 12 B Errores frecuentes • Los y las estudiantes suelen confundirse al plantear algebraicamente un problema, elementos tales como ocho veces con la octava parte. Resolución de ecuaciones algebraicas fraccionarias. Indicador: localiza y recupera información. Sugerencias metodológicas: utilizar al explicar la metodología de resolución de ecuaciones fraccionarias. 3 Calcular. PÁGINAS 93 – 94 Ecuaciones que involucran fracciones algebraicas Indicaciones para el docente Es posible que la lectura de los enunciados de los problemas correspondientes a las ecuaciones resulte tediosa para los alumnos y alumnas; en este caso, se sugiere realizar juegos de rapidez para motivar la lectura e incentivar la invención de problemas, poniendo a prueba su creatividad. De la geometría se pueden extraer muchos y variados ejemplos; se pueden plantear ejercicios interesantes usando semejanza de triángulos. Es importante mencionar a los y las estudiantes la utilidad de aplicar la factorización y simplificación de expresiones algebraicas para resolver una ecuación que involucra fracciones algebraicas, ya que esto evita hacer cálculos innecesarios. En tu cuaderno Actividad Habilidades que se desarrollan 1 y 2 Analizar y aplicar. U2 PAG 68-91 18/11/09 16:48 Page 82 Expresiones algebraicas fraccionarias | 83 Orientaciones didácticas Unidad 2 Errores frecuentes • Una dificultad a la cual se enfrentan los y las estudiantes, es el traducir una situación dada verbalmente a un lenguaje escrito. Para esto, se recomienda practicar con casos simples. • El hecho que una llave trabaje la mitad que otra puede confundir a los y las estudiantes, ya que estos asumirán que ambas trabajan 1,5 horas, por lo tanto responderán (incorrectamente) diciendo que como 1,5 · 2 = 3, entonces bastarán dos períodos de tiempo. • Si corresponde a una de las llaves, el alumno o alumna tenderá a suponer, que si la otra llave tarda una hora más, esto se podrá escribir como la expresión 1 + 1. a 1 a PÁGINAS 95 – 96 Situaciones que involucran fracciones algebraicas Indicaciones para el docente El objetivo de estas páginas es que el alumno y alumna traduzca situaciones al lenguaje algebraico y las resuelva utilizando ecuaciones, para esto es necesario que logre comprender que fórmulas matemáticas y expresiones algebraicas tienen un nivel de independencia en contextos numéricos. Como por ejemplo, escribir en lenguaje algebraico: a. El doble de un número aumentado en 15 unidades. b. La edad de dos personas suman 57 años. c. La edad que tenían hace cinco años, etc. Recuerde a los y las estudiantes los pasos a seguir para la resolución de un problema: • Leer el problema. • Analizar el procedimiento a seguir. • Plantear la situación problemática. • Resolver. • Redactar la respuesta. • Evaluar la pertinencia de la solución obtenida. Como el enunciado del problema dice que una llave se demora la mitad de la otra, se prestará a confusión que para el desarrollo del problema se escribió 2x y no , que es la codificación adecuada. Se propone explicar a los y las estudiantes por qué se realiza esta codificación y que, dependiendo la forma de plantear la situación, es igual de adecuado cualquiera de las dos expresiones algebraicas. Actividades complementarias 1. Resuelve los siguientes problemas. a. El triple de un número más 90 unidades es igual a su doble aumentado en tres. b. La edad de dos hermanos están en la razón de m es a n; si uno de ellos tiene 3b + 12 años, expresa la edad del otro hermano en función de b. c. Un curso de 24 estudiantes contrata un bus para un paseo escolar; el día de la salida 4 de los jóvenes se enferman y no asisten, por lo que la cuota a pagar por cada uno sube a $ 2 000. ¿Cuánto cobró el bus? d. Un automovilista demora 8 horas en recorrer la distancia que separa dos ciudades; su hermano demora 2 horas menos empleando una rapidez superior en 20 km/h. ¿Cuál es la distancia que separa a las ciudades? x 2 En tu cuaderno Actividad Habilidades que se desarrollan 1 Representar y analizar. 2 Formular, representar y aplicar. U2 PAG 68-91 18/11/09 16:48 Page 83 84 | Unidad 2 Guía Didáctica Matemática 2o Medio PÁGINA 97 Mi progreso En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos y alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizar como una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan en el cuadro Mi progreso e incluye los siguientes criterios: Ítem 1: hallar mcm de expresiones algebraicas. Ítem 2: resolver adiciones y sustracciones de fracciones algebraicas. Ítem 3: resolver ecuaciones con fracciones algebraicas. Ítem 4: resolver problemas que involucran fracciones algebraicas. Para los ejercicios 1, 2, 3 y 4 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar el nivel de conocimiento alcanzado por los alumnos y alumnas. Mi progreso Ítem Habilidades que se evalúan 1, 2, 3 y 4 Calcular. Ítem Completamente logrado Logrado Medianamente logrado Por lograr 1 • Encuentra en todos los grupos el mcm que corresponde. • Encuentra en tres de los grupos el mcm que corresponde. • Encuentra en dos de los grupos el mcm que corresponde. • Encuentra en menos de dos grupos el mcm que corresponde. 2 • Resuelve correctamente todas las operaciones de adición y sustracción. • Resuelve correctamente más de tres operaciones de adición y sustracción. • Resuelve correctamente tres operaciones de adición y sustracción. • Resuelve correctamente menos de tres operaciones de adición y sustracción. 3 • Resuelve completamente y correctamente todas las ecuaciones. • Resuelve completamente dos ecuaciones. • Resuelve completamente una ecuación. • No logra resolver ninguna ecuación completamente. 4 • Resuelve completamente y correctamente el problema. • Resuelve el problema con errores, pero escribe correctamente la ecuación. • Resuelve correctamente el problema, por tanteo. • No logra resolver el problema. Posibles dificultades en la evaluación y remediales En el ítem 1, podría ocurrir que sus alumnos y alumnas no visualicen con facilidad cómo aplicar el procedimiento para encontrar el mcm de las expresiones correspondientes. Para ayudarlos, recuérdeles que deben factorizar las expresiones de cada grupo, a fin de encontrar el mcm requerido con mayor facilidad. En el ítem 2, podría ocurrir que los y las estudiantes al operar las adiciones y sustracciones no recuerden el procedimiento y simplemente sumen y resten numeradores y denominadores por separado y, con ello, los resultados obtenidos sean incorrectos. Para evitarlo, previo a la actividad recuerde el procedimiento de adición y sustracción de fracciones numéricas, y que esto se extiende a las fracciones algebraicas. U2 PAG 68-91 18/11/09 16:48 Page 84 Expresiones algebraicas fraccionarias | 85 Orientaciones didácticas Unidad 2 PÁGINAS 98 – 99 Cómo resolverlo La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la unidad; sin embargo, en estas páginas se presentan estrategias de resolución específicas para que los y las estudiantes la aprendan y la apliquen en futuros problemas. Además, esta resolución se presenta detallada, justificando las diferentes acciones, lo que permite aclarar posibles dudas que sus estudiantes puedan mantener. Se recomienda que enfatice los pasos que deben seguir en la resolución de problemas: Comprender: Los y las estudiantes deben leer atentamente las instrucciones del problema. Y realizar un análisis de la resolución propuesta. En caso de que se presenten alumnos o alumnas con dificultad para entender los problemas, se sugiere que: a. Repase de la fórmula de área de un rectángulo. b. Repase el concepto de codificación algebraica. c. Repase ecuaciones literales de primer grado. d. Explique, por qué cm2, utilizando los conceptos de despejar una incógnita en una ecuación literal de primer grado, además de la sustitución de incógnitas. e. Realice diagramas que le permitan a los alumnos y alumnas situar correctamente ancho y largo de cada rectángulo. Planificar: El alumno y alumna debe planificar una estrategia similar para resolver a las preguntas siguientes que no se encuentran resueltas, considerando, además, conceptos como proporciones, evaluación de expresiones algebraicas y conceptos físicos como velocidad. 1, 2 y 3 (Pág. 87) Aplicar, calcular y verificar. En tu cuaderno Actividad Habilidades que se desarrollan 1 y 2 (Pág. 86) Aplicar, calcular y verificar. x AC mq = En el ítem 3, podría ocurrir que los y las estudiantes al operar las ecuaciones no recuerden la propiedad o no la apliquen correctamente y los resultados obtenidos sean incorrectos. Para evitarlo, previo a la actividad recuerde esta propiedad de las fracciones para resolver el ejercicio correctamente. En el ítem 4, podría ocurrir que los y las estudiantes no traduzcan adecuadamente al lenguaje algebraico, y con ello los resultados obtenidos sean incorrectos. Para evitar esto, previo a la actividad recuerde el procedimiento de traducir del lenguaje usual al lenguaje algebraico, y notar este hecho para resolver adecuadamente el problema. a b c d = ⇔ad = bc U2 PAG 68-91_UNIDAD 1 05-07-10 12:11 Página 85 86 | Unidad 2 Guía Didáctica Matemática 2o Medio Resolver: Los y las estudiantes deberán manejar la operatoria algebraica, cálculo de áreas y generalización de estas a través de conceptos algebraicos. Revisar: Enfatice en lo importante que es revisar cada resultado, su pertinencia según el contexto del problema y la comprobación de los métodos utilizados. INDICADORES DE LOGRO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS A continuación, se presentan diferentes indicadores de logro que puede utilizar para evaluar la resolución de problemas planteados. Comprensión del problema o situación Comprensión de conceptos Verificación de resultados y/o progreso • Puede expresar en sus propias palabras e interpretar coherentemente el problema. • Identifica la información necesaria. • Tiene una idea acerca de la respuesta. • Aplica correctamente reglas o algoritmos cuando usa símbolos. • Conecta cómo y por qué. • Aplica el concepto a problemas o a situaciones nuevas. • Hace y explica conexiones. • Realiza lo pedido y va más allá. • Chequea racionalidad de los resultados. • Reconoce sin razones. • Copia el problema. • Identifica palabras clave. • Puede que mal interprete parte del problema. • Puede que tenga alguna idea acerca de la respuesta. • Demuestra un entendimiento parcial o satisfactorio. • Puede demostrar y explicar usando una variedad de modos. • Está listo para hacer conexiones acerca de cómo y por qué. • Relaciona el concepto con conocimientos y experiencias anteriores. • Realiza las tareas cada vez con menos errores. • Revisa cálculos y procedimientos. • Puede investigar razones si existen dudas. • No entiende el problema. • Entiende mal el problema. • Como rutina pide explicaciones. • No modela los conceptos rutinarios correctamente. • No puede explicar el concepto. • No intenta resolver el problema. • No hace conexiones. • No revisa cálculos ni procedimientos. • No reconoce si su respuesta es o no razonable. Logro, aplicación En proceso, logro parcial No comprende Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm U2 PAG 68-91 18/11/09 16:48 Page 86 Expresiones algebraicas fraccionarias | 87 Orientaciones didácticas Unidad 2 4 Aplicar y representar. 3 Analizar y aplicar. Investiguemos… Actividad Habilidades que se desarrollan 1 y 2 Evaluar. PÁGINAS 102 – 103 Síntesis de la Unidad Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos y alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los alumnos y alumnas consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. Además, permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus estudiantes. En esta sección se resumen y organizan a través de un mapa conceptual los conceptos fundamentales trabajados en la unidad. Como actividades de consolidación, se presentan afirmaciones de carácter conceptual y algunos problemas de aplicación, que involucran los contenidos trabajados en la unidad. Actividades complementarias Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la unidad, realice preguntas como las siguientes: • ¿Qué debe analizarse en una fracción algebraica?, ¿cómo lo harías? Da un ejemplo. • ¿Se puede expresar una fracción algebraica como fracción?, ¿en qué casos? • ¿Cómo se resuelven las ecuaciones con fracciones algebraicas? Explica y da un ejemplo. PÁGINAS 100 – 101 En terreno Esta sección del Texto tiene como objetivo relacionar los contenidos aprendidos en la unidad con su aplicación real. Para ello se presenta una actividad relacionada con la ley de enfriamiento de Newton. Se recomienda que esta actividad sea realizada de forma individual y al término de esta formar grupos de 3 personas para comentar y comparar las soluciones obtenidas. También puede trabajar con una planilla de cálculo y obtener una tabla relacionando la estimación de la hora de muerte con la temperatura del cadáver, considerando una misma temperatura ambiental. Esto permitirá que visualicen de mejor forma el comportamiento de la temperatura del cadáver a medida que pasa el tiempo y cómo esto permite determinar la hora de muerte de las personas. Para complementar esta actividad, podría pedir a sus alumnos y alumnas que investiguen sobre otros contextos en los cuales este modelo resulte útil para determinar la temperatura de ciertos objetos. 3, 4 y 5 Analizar y aplicar. En tu cuaderno Actividad Habilidades que se desarrollan 1 y 2 Usar herramientas y calcular. 2 Aplicar. 1 Evaluar y justificar. Síntesis de la Unidad Actividad Habilidades que se desarrollan Mapa conceptual Recordar, conectar y representar. U2 PAG 68-91 18/11/09 16:48 Page 87 88 | Unidad 2 Guía Didáctica Matemática 2o Medio PÁGINAS 104 – 105 Evaluación de la Unidad Los ejercicios y problemas presentados en esta sección permiten evaluar los aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la unidad. Considere lo siguiente: Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Logrado, si contesta correctamente más de 10 preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente entre ocho y diez preguntas. No logrado, si contesta correctamente menos de ocho preguntas. Posibles dificultades en la evaluación y remediales: • En los ítems 1, 2 y 3, se podría presentar una dificultad relacionada con el concepto de orden en fracciones algebraicas. Para ello, se recomienda mostrar algunos ejemplos de cómo valorizar para determinar el orden correcto. • En el ítem 4, podría ocurrir que los alumnos y alumnas no recuerden a qué se refiere una restricción en una fracción algebraica. Para evitar esto, se recomienda recordarles que se relaciona con los valores en que la fracción se indefine. • En los ítems 6, 7 y 8, podría pasar que los y las estudiantes no recuerden los productos notables y su correspondiente desarrollo, o bien, que confundan división y multiplicación de fracciones algebraicas. Se sugiere que antes realice un breve repaso de los principales productos notables. • En los ítems 10 y 12, se podría presentar una dificultad relacionada con el concepto de mínimo común múltiplo, aplicado a fracciones algebraicas. O bien, que sumen horizontalmente, error heredado de las fracciones algebraicas. Para evitar esto, se recomienda recordarles el proceso de adición y sustracción de fracciones y compararlo con el procedimiento para sumar y restar fracciones algebraicas, y cómo obtener el mcm en el caso de las expresiones algebraicas. • Como todos los ítems son de selección múltiple, la información que entrega la alternativa seleccionada por los y las estudiantes es limitada, es difícil saber cuáles son los errores que cometen, que puede ser por falta de conocimiento o equivocación al marcar la alternativa, entre otras. Para evitar este inconveniente, se sugiere que en estos ejercicios pida que realicen algún tipo de desarrollo en cada pregunta, para poder detectar en qué se están equivocando y ayudarlos a alcanzar los niveles de logro que se espera para los contenidos de esta unidad. 13 y 14 Aplicar. 10, 11 y 12 Calcular. 9 Reconocer/Identificar. 6, 7 y 8 Calcular. 5 Conjeturar y analizar. 4 Analizar. Evaluación Ítem Habilidades que se evalúan 1, 2 y 3 Analizar y clasificar. Como complemento a esta evaluación, el hipertexto cuenta con una evaluación interactiva y, además, una autoevaluación imprimible para que sus estudiantes evalúen su desempeño. U2 PAG 68-91 18/11/09 16:48 Page 88 Expresiones algebraicas fraccionarias | 89 Orientaciones didácticas Unidad 2 Evaluación final En las páginas siguientes, se presenta una evaluación que puede fotocopiar y que le permitirá evaluar los aprendizajes de sus alumnos y alumnas en la unidad. Con los resultados de esta evaluación, se puede tomar la decisión de reforzar algunos temas que no hayan sido aún comprendidos a cabalidad por sus estudiantes. El tiempo estimado para la realización de la prueba es 60 minutos. Este tiempo puede ser modificado según las características de sus estudiantes. Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes, se sugiere utilizar la siguiente pauta: Ítem Habilidades que se evalúan Puntaje Total 1, 2 y 3 Reconocer/Identificar. 2 puntos cada una 6 puntos 4 Calcular. 2 puntos 2 puntos 5 Reconocer/Identificar. 2 puntos 2 puntos 6 Analizar. 2 puntos 2 puntos 7 y 8 Calcular. 2 puntos cada una 4 puntos 9 Aplicar. 2 puntos 2 puntos 10 y 11 Calcular. 2 puntos cada una 4 puntos Puntaje total 22 puntos • Brown, Dan. El Código Da Vinci, Traducción Ediciones Urano, S.A. Barcelona, España, 2003. • Smullyan Raymond, Satan. Cantor y el infinito. Editorial Gedisa, España, 1995. • Stewart, Ian. De aquí al infinito. Drakontos. España, 1998. • De la Peña, José Antonio. Álgebra en todas partes. Ciencia para todos. Fondo de Cultura Económica. México, 1999. • Guillen, Michael. Cinco ecuaciones que cambiaron el mundo. Temas de debate. España, 1995. • Paulos, John Allen. Érase una vez un número. Libros para pensar la ciencia. España, 1999. • Paulos, John Allen. El hombre anumérico. Libros para pensar la ciencia. España, 1997. • Paulos, John Allen. Más allá de los números. Libros para pensar la ciencia. España, 1998. Sitios web • El portal de la educación: www.educarchile.cl • El paraíso de las matemáticas: www.matematicas.net Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar. BIBLIOGRAFÍA U2 PAG 68-91 18/11/09 16:48 Page 89 Evaluación final Material fotocopiable 90 | Unidad 2 Guía Didáctica Matemática 2o Medio Nombre: Curso: Fecha: exponentes positivos. A. 3ax D. B. 3a5x7 E. C. 2. Al simplificar se obtiene: A. – D. B. – E. C. 3. Al simplificar se obtiene: A. D. C. 4. (Ensayo PSU, 2004) Si t = 0,9 y r = 0,01; entonces es igual a: A. 0,89 B. 0,9 C. 8,9 D. 89 E. Ninguno de los valores anteriores. 5. (Ensayo PSU, 2004) Si x e y son números enteros distintos de 0, entonces + es igual a: A. 1 D. C. 6. (Ensayo PSU, ) En la igualdad , si P y R se reducen a la mitad, entonces, para que se mantenga la igualdad, el valor de Q se debe: A. duplicar. B. mantener igual. C. reducir a la mitad. D. cuadruplicar. E. reducir a la cuarta parte. x + y xy 2x + 2y xy yx xy t – r r x2 9y 9×6 y 9×2 y7 a5 2b3 ab 2 a4 2b a4 b a3 2b (–2a2b)3 (–4ab2)2 3x a 3 x 3 ax x y x y 2 3 1 2 2 2 3 − − − − ⎛ − ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ Marca o encierra la alternativa correcta de cada pregunta. B. E. 9y7 x2 x2 9y7 1 1 1 P Q R = + B. 2 E. x2 + y2 xy 1. Simplifica 6a y expresa usando solo 2×4 2a3x3 U2 PAG 68-91 18/11/09 16:48 Page 90 Expresiones algebraicas fraccionarias | 91 Evaluación final Material fotocopiable 7. (Educarchile, PSU, 2004) Si a ≠ b, entonces es: A. ab B. C. D. 0 E. 8. (Educarchile, PSU, 2004) Resuelve: A. D. B. E. C. 9. Una llave puede llenar una tina en 5 minutos y otra lo hace en 6 minutos. Si se abren ambas llaves al mismo tiempo, ¿cuánto tardan en llenar la tina las dos juntas?