EXPRESIONES ALGEBRAICAS CONCEPTOS Y EJEMPLOS PDF

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Objetivos
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• Identificar y clasificar algunas expresiones algebraicas.
• Realizar operaciones de suma, producto y división de expresiones
algebraicas.
• Identificar y utilizar productos notables y cocientes notables para
simplificar expresiones algebraicas.
• Comprender algunas relaciones de área y volumen con las
expresiones algebraicas.
• Identificar y utilizar algunos métodos algebraicos para factorizar
completamente expresiones algebraicas.
• Emplear factorizaciones para realizar operaciones y
simplificaciones de fracciones algebraicas.
• Racionalizar al denominador y numerador algunas expresiones
algebraicas.

Expresiones algebraicas
En los sistemas numéricos hemos estudiado los conjuntos numéricos con sus
operaciones, relaciones y sus propiedades.
Combinando adecuadamente los números con los signos de las operaciones
y paréntesis obtenemos expresiones como: ,
a estas expresiones se les denomina expresiones numéricas.
Si es posible realizar todas las operaciones indicadas, el número real que
se obtiene se le denomina el valor numérico de la expresión.
Es posible que el valor numérico sea indeterminado.
Ejemplos
1.
2.
3.
Las expresiones numéricas, además de servir como ejercicios, se justifican
porque permiten expresar propiedades de su valor numérico. Por ejemplo, al
dividir 25 entre 3 y al aplicar el algoritmo de la división, obtenemos para  la
expresión numérica:    
El promedio aritmético entre 40 y 17 se expresa como
La hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son 3 y 4 se obtiene
mediante la expresión numérica: .
Las expresiones numéricas correspondientes a un conjunto de números
pueden sugerir una expresión general.
4. 7; 11; 15; 19 y 23 tienen como expresión numérica:
  ;   ;   ;   ;   .
Estas expresiones numéricas se pueden escribir de manera más general,
así:   ; donde  es un elemento del conjunto , , , , .
Polinomios
Una expresión algebraica entera en la que, con respecto a la parte literal, solo
se combinan por la multiplicación y la potenciación con exponente natural,
se le denomina monomio.
Ejemplos
Las expresiones no son monomios.
En un monomio es importante distinguir los siguientes elementos: el
coeficiente, la parte literal y el grado.
Ejemplo
En la expresión tenemos que:
El coeficiente es ; la parte literal ; es de grado  con respecto
a , de grado  con respecto a  y de grado  con respecto
a la suma de sus exponentes.
En particular se aceptan los números reales como monomios de grado
cero. Una expresión algebraica entera con respecto a sus letras se denomina
un polinomio, en particular, si tiene dos términos se denomina binomio y si
tiene tres términos se denomina un trinomio.

Podemos observar en los ejemplos que un polinomio es la suma de monomios.
Términos semejantes
Son los que tienen igual parte literal.

Como la suma de polinomios se reduce a la suma de los coeficientes de
los términos semejantes, algunas de sus propiedades son heredadas del conjunto
de donde tomemos sus coeficientes.
Por ejemplo, si sus coeficientes son números enteros entonces la suma
de polinomios es asociativa, modulativa, conmutativa e invertiva; el módulo
aditivo es el cero y el inverso aditivo de un polinomio A es (A).

Sustracción: De un polinomio dado  restar otro polinomio ;
significa encontrar un polinomio  tal que  =   ; al polinomio
 se le denomina la diferencia entre  y  y se nota ()  (−)  
  donde  se denomina el minuendo y  el sustraendo.
La definición de  −  =  + (−) da el procedimiento para efectuar la
resta; este es: cambiar de signo a cada uno de los términos del sustraendo y
sumarlo con 

Signos de agrupación
Los signos de agrupación se emplean para indicar que los términos agrupados
en ellos deben considerarse como un todo o sea como una sola expresión.
Así :  + ( −  ), indica que a debe sumarse con la diferencia  − 
 + ( −  ) =  +  − 
La expresión  − ( − + ) indica que de  hay que restar −  +  ; luego
cambiando los signos al sustraendo tenemos:
 − ( −  + ) =  +  − 
Cuando entre un paréntesis a su vez se utiliza otro paréntesis; para facilitar
la lectura se utilizan otros signos de agrupación, además del paréntesis
ordinario ( ) como son, el paréntesis rectangular o corchete [ ] , y las llaves { } .
Estos paréntesis tienen la misma significación que el paréntesis ordinario.
Ejemplo
−2 − (3 − 5 + (−7 + 8 + (−9 + 2) − (6 − 10))
se puede escribir así:
−2 − {3 − 5 + [−7 + 8 + (−9 + 2) − (6 − 10]}
Para suprimir signos de agrupación, si está precedido del signo más
(+) se deja el mismo signo que tenga cada uno de los términos que
se hallan dentro de él; y si el paréntesis está precedido del signo menos
(−), se cambia el signo a cada uno de los términos que se hallan
dentro de él.
Si hay signos de agrupación que contengan otros, se suprime el más
interno; este proceso se repite hasta terminar los signos de agrupación,
después reducimos términos semejantes, si existen.

Ejemplo
Simplificar
−2 − {3 − 5 + [−7 + 8 + (− 9 + 2) − (6 − 10)]}
Como tiene paréntesis de diferente tipo eliminamos los más
internos en este caso los ordinarios:
−2 − {3 − 5 + [−7 + 8 + (− 9 + 2) − (6 − 10)]}
= −2 − {3 − 5 + [−7 + 8 − 9 + 2 − 6 + 10]
Como hay paréntesis de diferente tipo eliminamos el más interno
en este caso el paréntesis rectangular, después las llaves y
finalmente reducimos términos semejantes:
−2 − {3 − 5 + [−7 + 8 − 9 + 2 − 6 + 10]} =
−2 − {3 − 5 − 7 + 8 − 9 + 2 − 6 + 10} =
−2 − 3 + 5 + 7 − 8 + 9 − 2 + 6 − 10 = 17 − 15
Introducción de signos de agrupación
En diferentes circunstancias es necesario agrupar dos o más términos como
una sola expresión para facilitar cálculos o simplificar expresiones, por ejemplo,
la propiedad asociativa de la adición de números naturales.
Para introducir términos en un signo de agrupación precedido del signo
más (+) se deja cada uno de los términos con el mismo signo que tengan, y
para introducir términos dentro de un signo de agrupación precedido del
signo menos (−) se cambia el signo a cada uno de los términos que se incluyen
en él.
Ejemplos
1. Introducir los tres últimos términos de la expresión:
− + −, en un paréntesis precedido del signo más (+).
Como el signo de paréntesis es (+) dejamos cada cantidad con
el signo que tiene:
          (    
2. Introducir los tres últimos términos de la expresión:
    2   en un paréntesis precedido del signo menos (−)
Como el paréntesis esta precedido del signo (−) cambiamos el
signo a cada uno de los tres últimos términos.

Productos notables
Al efectuar las siguientes multiplicaciones 75510075.500;
453114.983; 93878.10098.091
Observe que no hemos hecho todo el proceso algorítmico porque existen
procedimientos que lo simplifican.
A las multiplicaciones que les podemos aplicar procedimientos, que simplifiquen
el algoritmo para hallar su producto, se les denomina productos
notables.
En la multiplicación de polinomios algunos de los productos notables son:

Cocientes notables
Al igual que en la multiplicación de polinomios podemos aplicar procedimientos
que simplifiquen el algoritmo para hallar el cociente entre algunos
polinomios, a estos procedimientos se les denominan cocientes notables.
Algunos de los cocientes notables son:

Factorización
Factorizar una expresión es transformarla en otra equivalente en forma de
producto.
Ejemplo
1.   
2.   
La factorización de cualquier número natural se desarrolla con el mismo
procedimiento.
En la factorización de polinomios no existe un procedimiento general,
de ahí que se deban desarrollar técnicas aplicables a ciertos polinomios;
consideraremos solo binomios, trinomios y polinomios de cuatro términos.

Factorización de binomios
Factor común: la multiplicación más elemental que nos da como producto
un binomio, resulta al aplicar la propiedad distributiva .
Factorizar un binomio de la forma  es aplicar la propiedad distributiva:
    
donde  es el factor común; observemos que  es múltiplo de  y de  .
Ejemplo
1. Factorizar 
2. 
3. 
Como podemos notar, el factor común es el M.C.D. (Máximo Común
Divisor) entre los términos, luego se divide cada uno de los términos del
binomio entre el M.C.D. (Máximo Común Divisor) y se obtiene el otro factor.
Ejemplo
4. Si consideramos que el factor común puede contener coeficientes
reales cualesquiera;
Completar     
    
 
5. Hallar el factor común  de tal manera que el factor 
contenga solo coeficientes enteros.

Trinomio cuadrado perfecto por adición
y sustracción
Ejemplos
1. Factorizar:     
En principio verificamos si es un trinomio cuadrado perfecto:
          .
Hallamos el doble producto entre  y :
     
No es trinomio cuadrado perfecto, pero si sumamos  lo
es; como  tiene raíz cuadrada exacta, al restarla da origen
a una diferencia de cuadrados, lo que nos permite seguir el
procedimiento.
              
          
ordenando tenemos:
          

Mínimo común múltiplo y Máximo divisor común
Entre polinomios
Recordemos el procedimiento utilizado para hallar el Mínimo Común Múltiplo
(M.C.M) y el Máximo Divisor Común (M.D.C) entre números enteros positivos.
Ejemplo. Hallar el M.C.M y el M.D.C. entre 12, 18 y 30.
1. Hacemos la descomposición en factores primos :

hayan factores repetidos se toma el de mayor exponente puesto que este
es múltiplo de los que tengan menor exponente que él. Así el M.C.M.
(12,18,30)  22.32.5  180
Para hallar el Máximo Divisor Común escogeremos los factores comunes
a todos los números tomando el de menor exponente porque este es divisor
de los que tengan mayor exponente que él.
M.D.C. (12,18,30)  23  6
Estos procedimientos los podemos extender a los polinomios.
Ejemplo
Hallar el MCM y M.D.C. entre   ;  ; 
Factorizándolos tenemos:
  
  
  
Aplicando el mismo procedimiento de los números naturales
MCM   M.D.C.  

Fracciones algebraicas
Una fracción algebraica es la que, tanto el numerador como el denominador,
son polinomios con coeficientes racionales y el denominador diferente de
cero.

Fracciones compuestas
Las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división pueden
combinarse, una forma es cuando aplicamos la propiedad distributiva, otra
forma cuando en la fracción algebraica el numerador y/o el denominador
contienen operaciones, para simplificarla; simplificamos el numerador y el
denominador independientemente y finalmente, simplificamos el cociente