EXPONENTES Y SUS APLICACIONES EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICA 8 – OCTAVO AÑO PDF

Share Button

• Potencias de base entera y exponente
natural
• Interpretación de potencias con
exponente entero
• Multiplicación y división de potencias de
igual base
• Crecimiento exponencial
• Decrecimiento exponencial
• Potencias de exponente 2 y raíces
cuadradas
• Teorema de Pitágoras
• Tríos pitagóricos
CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

En esta unidad aprenderás a:
Definir y calcular el valor de potencias con base y exponente entero.
Aplicar propiedades de la multiplicación y división de potencias con base y exponente entero.
Identificar variables que crecen o decrecen lineal o exponencialmente.
Aplicar el teorema de Pitágoras y usar tríos pitagóricos de números para resolver problemas
geométricos.
Actividad inicial
La presidenta de curso del 8º C ha decidido comenzar una campaña contra la
caza de ballenas en las costas de Sudamérica. Para contactarse con sus compañeros
y compañeras de curso y el resto del colegio ha decido escribir un e-mail a cuatro
estudiantes del colegio, pidiéndole a cada uno que escriba, al día siguiente, un e-mail
similar a cuatro estudiantes más, pidiéndoles que estos le escriban a cuatro estudiantes
más al siguiente, y así sucesivamente. ¿Habrá alguna forma sintetizada de saber
cuántos integrantes del colegio han recibido el e-mail cada día?
Formen grupos de tres personas y luego realicen las actividades que se presentan
a continuación.
A Observen la historieta y luego respondan las preguntas de la página siguiente:
a) ¿Cómo podemos saber cuántos estudiantes reciben el e-mail de la campaña cada día?
b) ¿En qué día se escribirán 64 correos electrónicos? ¿Es posible que se escriban 8 e-mails
en un día? ¿Por qué?
c) ¿A cuántas personas debería escribirle cada persona para que en el segundo día se
escriban 36 e-mails?
d) ¿A cuántas personas debería escribirle cada persona para que en el cuarto día se escriban
625 e-mails?
e) Un alumno del colegio opina que es mejor que cada miembro de la directiva (Presidenta,
Vicepresidente, Tesorero y Secretaria) envíe 10 e-mails a una persona distinta cada
día. ¿Es mejor esta idea para propagar de manera más rápida la noticia si la campaña
durará 6 días?
f) ¿Cuál es la diferencia entre el número de personas que recibiría el e-mail según el primer
método y según el segundo método ideado por el alumno?
B Una organización de protección de animales en peligro de extinción pretende construir nuevos
corrales en su reserva ecológica para guardar diversas especies. Estos corrales tendrán
forma cuadrada.
a) Si uno de los corrales que se construirá medirá 576 m2, ¿cuánto deberán medir los lados
de este corral?
b) Si otro corral medirá 900 m2, ¿cuánto deberán medir los lados de este corral?
c) Indiquen las medidas de los lados (que midan una cantidad entera de metros) y el área
de dos corrales cuya área sea mayor que 900 m2.
C Tomen una hoja de cuaderno, hagan un doblez e indiquen cuántos rectángulos quedan
determinados. Luego hagan otro doblez e indiquen cuantos rectángulos se forman en total.
Sigan haciendo esto y completen la siguiente tabla:
Número de dobleces Número de rectángulos
0
1
2
3
4
5
6
a) Indiquen cuál es la regularidad que existe entre el número de dobleces y el número de
rectángulos.
b) Usando la regularidad identificada calculen cuántos rectángulos quedarían determinados
en el doblez 10 y en el doblez 20.
HIPERTEXTO
Potencias de base entera y exponente
natural
Una potencia es una expresión matemática que representa la multiplicación
sucesiva de un mismo factor. Por ejemplo:
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2
El factor de las multiplicaciones es la base de la potencia y el número
de veces que se repite este factor es el exponente. Por lo tanto, en el
ejemplo anterior, la base es el número 2 y el exponente es el número 6.
Las operaciones anteriores se pueden resumir como la potencia 26,
cuya lectura es “dos elevado a seis”. Para hallar el valor de esta potencia
muchas veces es útil agrupar los factores:
26 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2
123 123 123
4 · 4 · 4
14243
16 · 4
1442443
64
La base de una potencia también puede ser un número negativo.
Por ejemplo:
(-5)3 = -5 · -5 · -5 = -125 (-3)4 = -3 · -3 · -3 · -3 = 81
(-1)5 = -1 · -1 · -1 · -1 · -1= -1 (-2)6 = -2 · -2 · -2 · -2 · -2 · -2 = 64
Puedes notar dos casos:
• Si la base es negativa y el exponente es impar el resultado siempre
es negativo.
• Si la base es negativa y el exponente es par el resultado siempre
es positivo.
Recuerda que el resultado
de la multiplicación de dos
números del mismo signo
es un número positivo y
el de la multiplicación de
dos números de diferente
signo es un número
negativo.
Es muy importante que
en una potencia con base
negativa, esta aparezca
encerrada en un paréntesis
para así indicar que el
número con su signo debe
ser multiplicado:
(-3)4 ≠ -34
ya que:
(-3)4 = -3 · -3 · -3 · -3 = 81
-34 = -(3 · 3 · 3 · 3) = -81
Una potencia representa la multiplicación de un número por sí
mismo un determinado número de veces. El número que se multiplica
por sí mismo es la base y las veces que aparece la base
como factor es el exponente.
b factores
644444474444448
Ab
= A · A · A · … · A
Exponente
Base
Ejercicios individuales
a. Expresa en forma de potencia las siguientes expresiones:
a) Tres veces tres por tres.
b) 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7
c) Menos dos elevado a cinco.
d) (-9) · (-9) · (-9) · (-9)
e) Once por once por once por once.
f) Menos siete al cuadrado.
g) Menos tres elevado a la quinta potencia.
h) 82 + 42 + 1
Ejercicios grupales
a. En grupos de dos personas respondan las siguientes preguntas:
a) (-5)2n, donde n es un número natural, ¿es positivo o negativo?
b) ¿Cuál es el signo de (-234 647)7 398?
c) ¿De cuántas maneras se puede escribir como potencia el número 64? ¿Y -64?
HIPERTEXTO
Problemas
1. Javiera y Pedro se entretienen en un juego consistente en tirar dos
dados. El puntaje en cada tirada lo calculan como lo obtenido en
el lanzamiento menos 7, y luego el resultado de esta sustracción
la elevan al cuadrado. Gana la tirada el jugador que obtenga el
mayor puntaje. En las dos primeras tiradas el resultado de los
lanzamientos fue:
Javiera Pedro
Tirada 1 3 12
Tirada 2 10 5
a) ¿Quién ganó cada tirada?
b) Si cambiaran las reglas del juego y en lugar de elevar al
cuadrado la sustracción, se elevará al cubo. ¿Quién habría
ganado?
Interpretación de potencias con
exponente entero
Una encuesta realizada en un colegio de Santiago arrojó como resultado
que a
1
5
de sus estudiantes les gustaría vivir fuera de la ciudad.
De estos, a la quinta parte le gustaría hacerlo para mejorar su calidad
de vida, y de estos, a 1 de cada 5 le gustaría irse de la capital porque
quieren vivir en un lugar donde el aire sea más puro.
ff¿A qué parte del total de estudiantes del colegio le gustaría vivir
fuera de Santiago porque buscan mejorar su calidad de vida en un
lugar donde el aire sea más puro?
Preferencias Parte del total
Estudiantes que quisieran vivir fuera de Santiago
1
5
Estudiantes que quisieran vivir fuera de Santiago para
mejorar su calidad de vida
1
5
·
1
5
Estudiantes que quisieran vivir fuera de Santiago buscando
un lugar donde el aire sea más puro
1
5
·
1
5
·
1
5
1
5
·
1
5
·
1
5
del total de estudiantes del colegio le gustaría radicarse fuera
de Santiago porque quieren vivir en un lugar donde el aire sea más
puro. Estas multiplicaciones las podemos desarrollar de la siguiente
manera:
1
5
·
1
5
·
1
5
=
1
5 · 5 · 5
= 1
53
= c1
5
m
3
La fracción c1
5
m
3
también la puedes escribir como 5-3, es decir, como
el denominador de la fracción elevado al mismo exponente, pero con
signo opuesto.
Una potencia con exponente entero se puede escribir como el
inverso multiplicativo de su base elevado al mismo exponente,
pero con signo opuesto:
Ax = f
1
A
p
-x
; con A y x ∈ ℤ
Observa que si la base
es un número negativo
y el valor absoluto del
exponente es par, el número
será positivo. Por
ejemplo:
(-5)-4 = a-1
5
k4
= a1
5
k4
De igual manera puedes
deducir que si la base
es negativa y el valor
absoluto del exponente
es impar el número será
negativo.
Las figuras que indican
la duración de una nota
musical son siete: la redonda,
la blanca, la negra,
la corchea, la semicorchea,
la fusa y la semifusa. La
duración de cada una de
estas figuras es la mitad
de la anterior. Una blanca
es igual a 1
2
redonda. Una
negra es igual a 1
2
blanca
e igual a 2-2 redondas. Una
corchea es igual a 1
2
negra,
2-2 blanca y 2-3 redonda y
así sucesivamente.
La Música
Enlace con…
Ejercicios individuales
a. Escribe el desarrollo de las siguientes potencias y con una calculadora obtén el valor de cada
una ellas:
a) 7-7 = ______________________________________________________ =
b) 10-4 = ______________________________________________________ =
c) 9-3 = ______________________________________________________ =
d) 100-8 = ______________________________________________________ =
b. Expresa como una sola potencia de base y exponente entero las siguientes expresiones:
1
83
a)
b) 729
c) La mitad de la mitad de la mitad.
d) -216
e) La décima parte de la centésima parte.
f) b
-1
5
l
7
g) 0,0625
c. Indica usando potencias a qué parte del total corresponde la parte roja:
a) b)
Ejercicios grupales
a. Júntense en grupos de tres estudiantes y discutan si las siguientes afirmaciones son verdaderas
o falsas:
a) ____ b1
6
l
4
> b1
6
l
b) ____ (-3)-5 < (-3)-7 c) ____ 24 = 42 d) ____ Ab = bA Potencia: Potencia: Multiplicación y división de potencias de igual base Las propiedades de la multiplicación y la división de potencias cuya base y exponente son números enteros, son similares a las que ya conoces de cursos anteriores, cuando solo trabajaste con potencias de base y exponente natural. 1° Multiplicación de potencias de igual base: ff¿Cómo calculamos (-5)-3 · (-5)4? Para resolver esta multiplicación de potencias debemos mantener la base y sumar los exponentes: (-5)-3 · (-5)4 = (-5)-3 + 4 = (-5)1 = -5 Otro ejemplo: (-2)-4 · (-2)-6 · (-2)-1 = (-2)-4 + -6 + -1 = (-2)-11 = c-1 2 m 11 = ]-1g11 ]2g11 = -1 2 048 2° División de potencias de igual base: ff¿Cómo calculamos (-4)-5 : (-4)-2? Para resolver esta división de potencias debemos mantener la base y restar los exponentes: (-4)-5 : (-4)-2 = (-4)-5 – -2 = (-4)-5 + 2 = (-4)-3 = c-1 4 m 3 = ]-1g3 ]4g3 = -1 64 Otro ejemplo: (-9)-3 · (-9)-2 = (-9)-3 – -2 = (-9)-3 + 2 = (-9)-1 = c-1 9 m 1 = -1 9 Cualquier número distinto de cero elevado a cero es igual a 1. Esto se puede concluir fácilmente: ax · a-x = ax + -x = a0 ax · a-x = ax ax = 1 Entonces: ax · a-x = a0 = 1 Al multiplicar potencias de igual base, el producto corresponde a una nueva potencia cuya base es la base común de los factores y cuyo exponente es la suma de sus exponentes: ax · ay = ax + y Al dividir potencias de igual base, el cociente corresponde a una nueva potencia cuya base es la base común del dividendo y divisor y cuyo exponente es la diferencia entre el exponente del dividendo y el del divisor: ax ay = ax – y Ejercicios grupales a. Formen grupos de cuatro estudiantes y justifiquen las siguientes afirmaciones: a) Una multiplicación de 2 números enteros elevada a un exponente entero es equivalente a la multiplicación de uno de los 2 factores elevado a dicho exponente, multiplicado por el otro factor, también elevado a dicho exponente. Por ejemplo: (5 · 3)4 = 54 · 34 (-2 · 5)-2 = (-2)-2 · 5-2 b) Al elevar una potencia a un exponente se conserva la base y se multiplican los exponentes. Por ejemplo: (32)4 = 32 · 4 = 38 [(-8)5]-3 = (-8)-15 b. Aplicando las propiedades anteriores desarrollen los siguientes ejercicios: a) (3 · (-6)-3 · 24)-1 = b) d 4-1 · 16 2 n -2 = c) (11-7 · 133 · 40)0 = d) d14-3 14-3 n 1024 = e) [52 · (-6)2 · d 1 30 n -2]-3 = f) (3-3 · 6-3 · 9-3)-2 = g) d26 36 n -12 = h) (92 · 3-2 · 81)3 = i) {[(3)-2]3}-1 = j) [(-2)-4]-4 = Ejercicios individuales a. Desarrolla las siguientes multiplicaciones de fracciones simplificando el resultado: a) -4 · 25 · 2-5 = 52 · 25 5 b) = c) 53 · 23 · 10 = ]-7g-2 · 3 · 142 6 · 2 d) = 1 3 e) · c 1 3 m 5 · c 1 3 m 5 = 2324 501 2324 500 f) = g) (-0,2) · (-0,2) · (-0,2) · 103 = h) 900 · 35 · 10-2 = 72 65 i) · 3-2 = 3242 28 j) = Crecimiento exponencial Rolando Buenafortuna invertirá los 2 000 dólares que ganó en un concurso de azar. Su banco le ofrece duplicar el dinero cada 10 años. Buscando lo más conveniente, Buenaventura decide analizar detalladamente la propuesta de su banco. ff¿Cuánto dinero tendrá el Sr. Buenafortuna si desea retirar sus ahorros en 20 años más? ff¿Cuánto si desea retirar sus ahorros en 40 años más? Lo primero que haremos es hacer una tabla que muestre cómo evolucionaría el dinero en su banco: Tiempo 0 años 10 años 20 años 30 años 40 años Dinero QUS$] 2 000 4 000 8 000 16 000 32 000 Si el Sr. Buenafortuna retira su dinero a los 20 años tendrá 8 000 dólares y si los retira en 40 años tendrá 32 000 dólares. El aumento de la inversión lo podemos ver más claramente en el siguiente gráfico: Al crecimiento exponencial se le llama así debido a que se puede representar por una potencia. Llamando Y a la variable que varía en forma exponencial y X a la variable tiempo, tenemos que: Y = A · Bx Donde A y B son valores conocidos y constantes. Por ejemplo, asignemos los valores A = 10 y B = 2. Entonces, una tabla con los valores de X e Y es: X Y 0 10 1 20 2 40 3 80 Comprueba que Y varía exponencialmente graficando su variación en tu cuaderno. Decimos que el dinero del Sr. Buenafortuna crece exponencialmente. Una variable crece exponencialmente cuando su valor en cada etapa corresponde al de la etapa anterior multiplicada por un número fijo mayor que 1, llamado razón de crecimiento. Su gráfica es una curva ascendente. Tiempo [años] Dinero [ dólares] 0 10 20 30 40 35 000 30 000 25 000 20 000 15 000 10 000 5 000 0 Dinero del Sr. Buenafortuna Muchos fenómenos de la naturaleza siguen un crecimiento exponencial como, por ejemplo, el número de células de un feto mientras se desarrolla en el útero materno, los precios en el mercado, el número de bacterias que se reproducen por mitosis, etc. La Ciencia Enlace con… Ejercicios individuales a. Determina en qué forma evolucionan las siguientes series de números. Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Etapa 4 Etapa 5 200 210 220 230 240 7 2 72 22 73 23 74 24 75 25 300 600 1 200 2 400 4 800 b. Observa el siguiente gráfico que muestra la evolución en el tiempo de dos variables A y B: Los puntos de color azul corresponden a los valores de una variable que crece exponencialmente (B) y los puntos de color rojo a una variable que crece linealmente (A). a) Une los puntos de cada color para obtener las líneas que grafican el crecimiento de A y B. b) Cuando B vale aproximadamente 1 000, ¿cuál magnitud es mayor, A o B? c) ¿Aproximadamente entre qué valores de tiempo B es mayor que A? d) ¿Aproximadamente entre qué valores de tiempo A es mayor que B? e) ¿Aproximadamente para qué valor de tiempo A y B tienen el mismo valor? Ejercicios grupales a. Formen grupos de tres integrantes y respondan las siguientes preguntas: a) Consideren un grupo de células que cada 15 minutos se biparticiona, es decir, que cada célula se divide en dos cada 15 minutos. Si inicialmente hay 200 células, ¿cuántas habrá al cabo de 1 hora? Grafica la variación en el tiempo del número de células. b) Hay una antigua leyenda persa sobre un cortesano que ofrendó a su rey un bello tablero de ajedrez y le solicitó a su señor que le diera a cambio un grano de arroz por el primer cuadrado, dos granos por el segundo, cuatro por el tercero, y así sucesivamente. Calcula cuántos granos de arroz debería haberle dado el rey. Recordando que un tablero de ajedrez posee 64 casillas, ¿crees que el rey pudo cumplir con el pedido de su cortesano? Serie 1 → Serie 2 → Serie 3 → Tiempo [años] Valor de variable 0 1 2 3 4 9 000 8 000 7 000 6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000 0 Variación en el tiempo de A y B A B Decrecimiento exponencial Un incendio forestal alcanzó a 80 hectáreas de un bosque. Gracias a la rápida acción de los brigadistas de CONAF el fuego se logró controlar cuando quedaban 5 hectáreas bajo fuego. La siguiente tabla muestra la evolución del incendio desde la llegada de los brigadistas: Tiempo [minutos] Superficie bajo fuego [hectáreas] 0 80 15 40 30 20 45 10 60 5 75 2,5 ffSegún la tabla, ¿cuánto tiempo necesitaron los brigadistas para controlar el incendio? Como se ve en la tabla, el fuego se logró controlar a los 60 minutos de iniciado el trabajo de los brigadistas. Si graficamos la superficie bajo fuego versus el tiempo transcurrido desde la llegada de los brigadistas, comprobamos que esta gráfica tiene la forma de una curva que decae y se acerca al eje del tiempo: La diferencia matemática entre el crecimiento exponencial y decrecimiento exponencial para la ecuación Y = A · BX radica en el factor que multiplica al valor inicial. Si B > 1, hablamos de
crecimiento exponencial
y si 0 < B < 1, hablamos de decrecimiento exponencial. Si B = 1 el valor de la variable es constante. Una variable decrece exponencialmente cuando su valor en cada etapa es el de la etapa anterior multiplicada por un número fijo mayor que 0 pero menor que 1, llamado razón de decrecimiento. Su gráfica es una curva descendente. Tiempo [minutos] Hectáreas bajo fuego 0 15 30 45 60 75 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Control de incendio forestal La Corporación Nacional Forestal (CONAF) es una entidad que depende del Ministerio de Agricultura, y cuya principal tarea es administrar la política forestal de Chile y fomentar el desarrollo de este sector. El Medio Ambiente Enlace con… Ejercicios individuales a. Señala mediante ✓ cuáles de las siguientes secuencias corresponden a un decrecimiento exponencial. Cuando así sea, indica la razón de decrecimiento: a) 2 4 8 16 32 b) 25 20 15 10 5 c) 891 297 99 33 11 d) 2 4 16 256 65 536 e) 3 072 384 48 6 0,75 b. Marca con un ✓ los gráficos que representan un decrecimiento exponencial: a) A Tiempo C Tiempo B Tiempo b) c) Ejercicios grupales a. En grupos de 3 personas completen las tablas con los valores de la variable Y según la ecuación Y = A · BX para las condiciones que se indican. Grafiquen sus resultados y observen las curvas obtenidas. a) Y = 10 · 3X c) Y = 5 · (0,5)X X 0 1 2 3 4 Y X 0 1 2 3 4 Y b) Y = 2 · 2X d) Y = 1 · (0,2)X X 0 1 2 3 4 Y X 0 1 2 3 4 Y Potencias de exponente 2 y raíces cuadradas Debido a la escasez de áreas verdes en una ciudad, el alcalde decidió construir un parque en la periferia. Este parque tendrá forma cuadrada y un área de 6 400 m2. ff¿Cuánto mide cada lado del parque? Recuerda que el área de un cuadrado es la medida de su lado elevada al cuadrado. Por lo tanto, tenemos que pensar en un número que multiplicado por sí mismo sea igual a 6 400. Observa: 80 · 80 = 6 400 -80 · -80 = 6 400 Entonces 80 m y -80 m podrían ser la medida del lado del cuadrado. Como no tiene sentido que un cuadrado tenga lados negativos descartamos -80 como solución. Concluimos que los lados del parque medirán 80 m. Cuando un número positivo elevado al cuadrado es igual a otro se dice que es su raíz cuadrada. El símbolo de la raíz cuadrada es . Mxa team áticamente se define como: x a = b ⇔ b2 = a Entonces: x sae lee “raíz cuadrada de x” y se cumple q ue x · ax = ax . A x se le llama radicando de la raíz. La raíz cuadrada de 64 es 8, la de 4 es 2, la de 100 es 10, etc. Esto se escribe así: 64 = 48 →10 0La raíz cuadrada de 64 es 8, pues 8 · 8 = 64. 64 4 =1 20 0 → La raíz cuadrada de 4 es 2, pues 2 · 2 = 4. 64 4 100 = 10 → La raíz cuadrada de 100 es 10, pues 10 · 10 =100. Debes tener en cuenta que la raíz cuadrada de un número no siempre es un número entero. La raíz cuadrada de 2, por ejemplo, es un número que ni siquiera se puede escribir como fracción: 2 = 1,4142135… A = 6 400 m2 PARQUE Las partes numéricas de una raíz son dos, el índice y el radicando: → 2 4 Índice Radicando → Según la Comisión Nacional del Medio Ambiente (CONAMA), se consideran áreas verdes a los espacios ocupados principalmente por árboles, arbustos o plantas; y esos espacios pueden tener distintos usos, tales como esparcimiento, recreación, ecología, protección, rehabilitación del entorno, paisajismo, etc. El Medio Ambiente Enlace con… La raíz cuadrada de un número también puede expresarse como una potencia con exponente fraccionario. Observa: AB = 5 243 35 B A2 Es decir, el exponente de la potencia equivalente a la raíz es una fracción cuyo denominador es el índice de la raíz y cuyo numerador es el exponente del radicando. Por ejemplo: AB 5 = 243 35 1 52 AAB B 5 5 24234 3= 3535 = 5 32 Una raíz cuadrada corresponde a una raíz con índice dos, es decir: 9 = 2 9 Ejercicios individuales a. Calcula el valor de las siguientes raíces cuadradas: a) 4 = 1 4 4 2 4 ⋅ 7 8 49 ⋅ 49 4-2 ⋅ 410 27 – 2 8 ⋅ 2 b4) 144 = 2 4 ⋅ 7 8 49 ⋅ 49 4-2 ⋅ 410 27 – 2 8 ⋅ 2 4 14c4) 24 ⋅ 78 = 4 9 ⋅ 4 9 4-2 ⋅ 410 27 – 2 8 ⋅ 2 144 24 ⋅ 7d8 ) 49 ⋅ 49 = 4 – 2 ⋅ 4 10 27 – 2 8 ⋅ 2 49 ⋅ 4e9) 4-2 ⋅ 410 = 2 7 – 2 8 ⋅ 2 4-2 ⋅ 41f0) 27 – 2 = 8 ⋅ 2 410 27 – g2) 8 ⋅ 2 = 0,01 100 10.000 66 400 10-4 h) = 0,01 100 10.000 66 400 10-4 64 26 ⋅ 32 i) = 0,01 100 10.000 66 400 10-4 64 26 ⋅ 32 j) = 0,01 100 10.000 66 400 10-4 64 26 ⋅ 32 k) = 0,01 100 10.000 66 400 10-4 64 26 ⋅ 32 l) = 0,01 100 10.000 66 400 10-4 64 26 ⋅ 32 m) = 0,01 100 10.000 66 400 10-4 64 26 ⋅ 32 n) = b. Completa la siguiente tabla que contiene la medida del lado de diversos cuadrados y su área: Cuadrados Medida del lado Área 16 cm2 100 m2 5 m 49 mm2 169 m2 c. Expresa como potencia la raíz y viceversa, en los siguientes ejercicios: a) 13 = 1 1 3 4 7 2 b) = Teorema de Pitágoras Pedro y Diego son dos amigos a los que les gusta disfrutar de la vida al aire libre. Ellos discuten sobre cuántos kilómetros de camino se ahorrarán en su viaje a un campamento en la precordillera si se van por un atajo que descubrieron. Anteriormente, se iban por un camino recto hacia el sur recorriendo una distancia de 4 km, y luego doblaban en 90º hacia el Oeste, recorriendo otros 3 km. Ahora, por el atajo, se pueden ir directamente en línea recta. Observa: ff¿Cuál es la distancia que recorren caminado por el atajo? ffSi comparas la distancia que recorrían antes, con la que recorren ahora por el atajo, ¿cuánto más corta es una que la otra? Como puedes ver los dos caminos forman un triángulo rectángulo. Para averiguar la distancia que recorrerán Pedro y Diego por el atajo debemos aplicar el teorema de Pitágoras. Un triángulo rectángulo es aquel que posee un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90º. El teorema de Pitágoras relaciona las medidas de los lados de un triángulo rectángulo. Indica que la suma de los cuadrados de los lados que forman el ángulo recto –llamados catetos–, debe ser igual al cuadrado del lado opuesto al ángulo recto –llamado hipotenusa–: a2 + b2 = c2 c = a2 + b2 ( o ) c = a2 + b2 b a c 90° 3 km Atajo 4 km Camino antiguo Partida Campamento Pitágoras fue un filósofo y matemático griego que vivió entre los años 582 a. de C. y 507 a. de C. Aunque se le conoce universalmente por el teorema que lleva su nombre, no fue él quien lo demostró sino uno de sus discípulos. Pitágoras formó una escuela en la que se afirmaba que la estructura del universo era esencialmente matemática, y en ella se hicieron aportes al conocimiento humano en campos tan amplios como la filosofía, la matemática, la música, la ética y la astronomía. La Historia Enlace con… Ejercicios grupales a. En grupos de dos estudiantes analicen y respondan las siguientes preguntas: a) ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado cuya área es de 2 cm2? b) Si el área del cuadrado de la parte anterior aumenta al doble, ¿en cuánto aumenta el valor de su diagonal? c) Considera ahora un cuadrado cuyo lado mide 8 m. ¿Cuál es su área? ¿Cuál es la medida de su diagonal? En el ejercicio de Pedro y Diego, se cumple que: 32 + 42 = Hipotenusa2 y Hipotenusa = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5 El nuevo camino mide 5 km. Como antes recorrían 7 km (3 km + 4 km), entonces por el nuevo camino se ahorran 2 km (7 km – 5 km). Ejercicios individuales a. Calcula la longitud del lado que falta en los siguientes triángulos rectángulos: a) b) c) 12 m 9 m 30 km 18 km 10 m 26 m x = x x x x = x = b. Indica la longitud de la altura de cada uno de los siguientes triángulos: a) 15 m 20 m h 9 m 16 m b) 27 m 48 m 60 m 45 m h h = h = Tres expresiones del teorema de Pitágoras son: c = a2 + b2 c 2 + b2 c 2 + a2 a = a2 + b2 c 2 − b2 c 2 − a2 b = a2 + b2 c 2 − b2 c 2 − a2 Con a y b longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo; y c, de su hipotenusa. Tríos pitagóricos Existen tríos de números naturales que cumplen con el teorema de Pitágoras, por lo que siempre es posible construir triángulos rectángulos usándolos como medidas para sus lados. ffCalcula el lado que falta de los triángulos que se muestran a continuación: ff¿En cuál de estos triángulos las longitudes de sus tres lados corresponden a números naturales? Primero calculamos los lados que faltan de cada triángulo: Cateto a Cateto b Hipotenusa c Operación 3 4 5 a = 52 − 42 = 9 = 3 22 + 32 = 13 62 + 82 = 100 2 3 13 c = 6 8 10 c = 52 − 42 = 9 = 3 22 + 32 = 13 62 + 82 = 100 = 10 Los lados del primer triángulo miden 3 m, 4 m y 5 m. Los lados del segundo triángulo miden 2 m, 3 m y 13 m. Como no hay un número natural que multiplicado por sí mismo dé 13, entonces queda expresado como raíz. Los lados del tercer triángulo miden 6 m, 8 m y 10 m. Por ejemplo, son tríos pitagóricos los conjuntos: 9, 12, y 15 → 92+ 122 = 152 5, 12 y 13 → 52 + 122 = 132 7, 24 y 25 → 72+ 242 = 252 Un trío pitagórico primitivo es aquel que no se deriva de ningún otro trío pitagórico. Dicho de otra manera, es aquel trío pitagórico en el que el máximo común divisor de sus elementos es igual a 1. Se conoce con el nombre de trío pitagórico al conjunto de tres números naturales que satisfacen el teorema de Pitágoras. 6 m 8 m 5 m ? 4 m ? 2 m 3 m ? Ejercicios individuales a. Escribe tres conjuntos que se deriven de los siguientes tríos pitagóricos: a) {3, 4, 5} → { } → { } → { } b) {8, 15, 17} → { } → { } → { } c) {5, 12, 13} → { } → { } → { } d) {7, 24, 25} → { } → { } → { } b. Encuentra el trío pitagórico primitivo del que se derivan cada una de las siguientes ternas de números pitagóricos: a) {300, 400, 500} → { } b) {25, 60, 65} → { } c) {21, 28, 35} → { } d) {32, 60, 68} → { } c. ¿Cuál de estos conjuntos de números es un trío pitagórico primitivo? Dibuja triángulos cuyos lados tengan como medidas (en centímetros) los números de cada conjunto y comprueba que son triángulos rectángulos. a) {21, 28, 35} b) {9, 40, 41} c) {10, 24, 26} d) {5, 12, 13} d. Verifica con una calculadora los siguientes tríos pitagóricos primitivos: a) {1 248, 1 265, 1 777} 1 2482 = 1 2652 = 1 7772 = c) {183, 244, 305} 1832 = 2442 = 3052 = Si cada número de un trío pitagórico se multiplica por un mismo número natural, se obtiene otro trío pitagórico. Así, por ejemplo, del trío pitagórico 3, 4, 5 se desprenden los conjuntos de tríos pitagóricos 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12, 16, 20; etc. Estos últimos tríos se dice que son tríos pitagóricos derivados. + + b) {429, 460, 629} 4292 = 4602 = 6292 = d) {616, 663, 905} 6162 = 6632 = 9052 = + + Resolución de problemas a) Entiende: ¿qué sabes del problema? • La concentración inicial del cultivo A es de 4 bacterias/mm2. • La población de bacterias crece exponencialmente. • La concentración del cultivo A tras 2 mediciones (40 minutos) es de 36 bacterias/mm2. Problema modelo Una universidad está estudiando en su laboratorio un cultivo de bacterias. El cultivo A tiene inicialmente una concentración de 4 bacterias por milímetro cuadrado. Los científicos saben que la población de bacterias crece exponencialmente en el cultivo y realizan mediciones cada 20 minutos. Después de 40 minutos, comprueban que la concentración del cultivo A es de 36 bacterias por milímetro cuadrado. a) ¿Cuál es la razón de crecimiento del cultivo A cada 20 minutos? b) ¿Cuál será la concentración de A después de dos horas de iniciado el experimento? b) Planifica tu estrategia: ¿cómo puedes resolver el problema? • Conocemos la concentración inicial y final del cultivo, entonces dejamos la razón de crecimiento como incógnita. • Calculamos la razón de crecimiento del cultivo. • Conociendo la razón de crecimiento del cultivo A, calculamos la concentración de bacterias tras dos horas de iniciado el cultivo. c) Resuelve: desarrolla el problema para llegar a una respuesta • Cultivo A (tras dos mediciones): 4 · R · R = 36 R = 36 : 4 = 9 = 3 40 : 5 = 3 8 = 2 Tras dos horas (120 minutos) se habrán realizado 6 mediciones, por lo tanto, la concentración de bacterias en el cultivo A será: CA = 4 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 4 · 36 = 2 916 bacterias/mm2. d) Responde: contesta las preguntas del problema • La razón de crecimiento del cultivo A es 3. (Las bacterias se triplican cada 20 min). • Tras 2 horas de iniciado el cultivo, el cultivo A contendrá 2 916 bacterias/mm2. e) Comprueba: aplica otra estrategia para comprobar el resultado • Puedes comprobar los resultados usando una calculadora. • Puedes graficar el crecimiento del cultivo de bacterias y usar el gráfico para confirmar los resultados. Problema 1 La fórmula para calcular el periodo de oscilación de un péndulo en las proximidades de la Tierra es: T = 2 · π · L g Donde L es el largo del péndulo (medido en metros), g la aceleración de gravedad (igual a 9,8 m/s2) y π ≈ 3,14. Calcula el período de oscilación para a) un péndulo de 39,2 m de longitud. b) Calcula el período de oscilación para un péndulo de 107,8 metros de longitud. Problema 2 A partir de la fórmula de conservación de la energía mecánica se puede deducir la siguiente relación para la caída libre de un cuerpo en las proximidades de la Tierra: v2 = 2gh En donde v es la rapidez final del cuerpo al tocar tierra (medida en [m/s]), g la aceleración de gravedad (usa esta vez la aproximación g ≈ 10 m/s) y h la altura desde la que se dejó caer el cuerpo (medida en metros). a) Calcula la rapidez final de una pelota que cae libremente desde una altura de 14,45 m. b) Calcula la rapidez al tocar tierra de una pelota que se dejó caer desde una altura de 26,45 m. Problema 3 Un estudiante ha conseguido modelar el número de vueltas que da una bola de acero de 150 g en un gran aro que construyó para un trabajo de la universidad. La fórmula que dedujo se puede expresar por: N = b 1 3H l -1 2 Donde: N: número de vueltas. H: altura desde la que cae la bola (medida en centímetros). Responde: a) ¿Cuántas vueltas da la bola si se deja caer sobre el aro desde una altura de 3 cm? b) ¿Desde qué altura debe ser dejada caer la bola para que dé 6 vueltas?