EXAMEN RESUELTO 16 DE MATEMATICA PREUNIVERSITARIA PDF

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Aritmética
EJERCICIOS DE CLASE Nº 16
1. Dada la sucesión:
; ; ; ; ; …
5 7 11 13
1
3 6 12 15
a partir de qué lugar los términos son menores a
3
4
A) 13 B) 12 C) 14 D) 15 E) 16
Solución:
Tenemos que:
 (  )
  
5 2 1 3
12
3 4
n
n
n
Luego se tiene lo pedido a partir del 13avo termino. Clave: A
2. En la siguiente sucesión
12; 40; 90; 168; 280; 432; …
calcule la suma de cifras del término 10.
A) 10 B) 12 C) 15 D) 8 E) 18
Solución:
12 40 90 168 280 432…..
28 50 78 112 152
22 28 34 40
6 6 6
12 + 28(n – 1) +
( )( )
!
22 1  2
2
n n
+
( )( )( )
!
6 1  2  3
3
n n n
= n3 + 5n2 + 6n
Luego: tn = n3 + 5n2 + 6n  t10 = 1000 + 500 + 60 = 1560
Por lo tanto: 1 + 5 + 6 = 12
Clave B
3. Halle la suma de tres números naturales que están en progresión aritmética de
razón dos, tales que la suma de sus cuadrados es un número de 4 cifras
iguales.
A) 123 B) 125 C) 129 D) 128 E) 127
Solución:
Sean n – 2, n y n + 2 los números en progresión aritmética de razón dos.
Además   2 3n 8 aaaa entonces 1111a – 8 y 4a – 8 son divisibles por 3. Así
tenemos que a = 5, de donde se tiene que n = 43, luego la suma de los números
es 129.
Clave: C
4. En una progresión aritmética de 23 términos, el cuarto y el vigésimo término
suman 600. Halle la suma de los 23 primeros términos de dicha progresión.
A) 6000 B) 6500 C) 6700 D) 6800 E) 6900
Solución:
Por dato a  a  4 20 600 como la cantidad de términos es impar entonces
  1 23 a a 600
Entonces la suma
  
 
 
1 23 23
2
a a
S S  300(23)S  6900
Clave E
5. Halle el valor de la suma      … …
1 5 19 65
6 36 216 1296
S
A)
1
2
B)
3
4
C)
2
3
D)
7
8
E)
11
19
Solución:
Siguiendo la naturaleza de los denominadores de los sumandos de S,
.
  
1 1 1 1
6 2 3 2 3
.
  
5 5 1 1
36 4 9 4 9
.
  
19 19 1 1
216 8 27 8 27
.
  
65 65 1 1
1296 16 81 16 81
… …
   
             
   
1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 3 9 27 81
S
Cada paréntesis es una progresión geométrica infinita de razones
1
2
y
1
3
respectivamente.
Luego    
 
1 1
2 3 1 1
1 1 2
1 1
2 3
S Clave A
6. Dadas las siguientes sucesiones
S1: 7; 12; 17; 22;…; 297.
S2: 4; 11; 18; 25;…
Determinar cuántos términos son comunes a ambas sucesiones y tienen 2
divisores positivos
A) 1 B) 3 C) 2 D) 4 E) 6
Solución:
 
1 m
2 n
S a 5m 2
S b 7n 3
5m 2 297
m 59
Luego
5m 2 7n 3
5 m 1 7n
  
  
 

  
 
6 5
13 10 m = 6, 13, 20, 27, 34, 41, 48, 55
m = 13  a13 = 5(13) + 2 = 67
m = 27  a27 = 5(27) + 2 = 137.
m = 55  a55 = 5(55) + 2 = 277
Por lo tanto existen 3 términos comunes
Clave B
7. Halle la suma de las cifras de M, sabiendo que
M = 12 + 14 +17 + 21 + … + 1286
A) 24 B) 25 C) 15 D) 29 E) 31
Solución:
12; 14; 17; 21; …..; 2536
2 3 4
1 1
n 11 1286
2
1
n
2
1
a 2
n    
n = 50
   
      
   

 
71
71
1 50x51x101 1 50×51
S 50×11
2 6 2 2
S 22650
cifras 15
Clave C
8. Dada la progresión aritmética 7;
___
ab ; 25;
___
cd ; …; el tercer término de una
progresión geométrica es


___
___
dc 7
ba 7
y su razón es 3/5. Si tk es el k-ésimo término
de la progresión geométrica, halle el valor de
30 15
2
50 1
t t
t xt
.
A) 3 B) 3/25 C) 3/5 D) 5/3 E) 1
Solución:
P.A. 7,
___
ab , 25,
___
cd , … 
___
ab = 16;
___
cd= 34 y r = 9
P.G.
  
        
  
2 4
3 1 1 5
43 7 50 25 25 3 5
t t t
61 7 54 27 27 5 3
Ahora
   
49 4 6
50 1 6
29 14 1 5 6
30 15 1 1
t t q 5 3 3
t q
t t t q t q 3 5 25
Clave B
9. Halle la suma de cifras del décimo término de la siguiente sucesión
2 x 5 ; 17 x 8 ; 82 x 13 ; 257 x 20 ; 626 x 29 ; …
A) 8 B) 4 C) 10 D) 7 E) 6
Solución:
Considerando las sucesiones:
2; 17; 82; 257; 626;…  an = n4 + 1
5; 8; 13; 20; 29;…  bn = n2 + 4
Luego tn = an . bn = (n4 + 1)(n2 + 4)
 t10 = (10001)(104) = 1040104
Clave C
10. En la siguiente sucesión:
0 ; 3 ;8 ; 15;. . . ;abc; . . .
11 términos

halle el valor de a2 + b2 + c.
A) 3 B) 7 C) 4 D) 5 E) 2
Solución:
            2 2 2
n 11 t n 1 t 120 a 1,b 2,c 0 a b c 5
Clave D
11. En la progresión aritmética

7(x 1) términos
84 ; ab ; . . . ; 1106

la razón es r; hallar el valor
de (a + b + x + r) .
A) 38 B) 36 C) 37 D) 33 E) 34
Solución:
1 ( 1) , 84 n t  a  n  r r  ab 
   
 
1106=84+ 7(x+1)-1 r 1022=7x ab-84
73×14=7x ab-84 x=3, r=14, ab=98
a+b+x+r=34


Clave E
12. Calcule R =
4
3
+ 1 +
2
1
+
1
5
+
3
1
+
1
25
+
9
2
+ . . .
A)
7
4
B)
3
16
C)
7
2
D)
5
13
E)
7
18
Solución.
3
3 1 1 1 1 4 1 7 R = … 1 …
4 2 3 5 25 2 1 2
1 1
3 5
   
             
     
Clave C
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN Nº 16
1. En la siguiente sucesión, hallar la suma de los 20 primeros términos
1; 2; 5; 12; 25; 46; …
A) 13140 B) 12200 C) 13180 D) 12180 E) 11880
Solución:
Clave D
2. La suma del sexto término y décimo segundo término de una progresión
aritmética es 720 y la relación del cuarto término y décimo segundo término es
como 1 es a 3. Halle la suma de los 20 primeros términos de la progresión
aritmética.
A) 7900 B) 8200 C) 8500 D) 8000 E) 8400
Solución:
Sea P.A: 1 2 n t , t , … , t , …
de razón r
Se tiene:
    6 12 1 1 t  t  720  t  5r  t 11r  720 1  2t 16r  720 1 t  8r  360 ….. (I)
Además se tiene:

  

4 1
12 1
t 1 t 3r 1
t 3 t 11r 3
      1 1 3 t 3r t 11r
    1 1 3t 9r t 11r
 1 r t … (II)
Reemplazando (II) en (I):
9r  360  r  40
En (II) 1 t  40
Entonces 20 1 20 t  t 19r  t  40 19(40)  800
Por lo tanto     20 1 20
20
S t t 40 800 10 8400
2
    
Clave E
3. Halle la suma de cifras del término vigésimo segundo en común de las
siguientes sucesiones
–6;–1; 4; 9;…
–14;–11; –8; –5;…
A) 8 B) 6 C) 13 D) 10 E) 7
Solución:
Hallemos los términos n-esimos de cada sucesión
–6, –1, 4, 9,…  an = 5n – 11
–14, –11, –8, –5,…  bm = 3m – 17
Ahora los términos en común
an = bm  5n – 11 = 3m – 17  3m – 5n = 6
7 3
2 6
17 9
Luego los términos comunes son
4, 19, 34,…
 t22 = 4 + 15(22 – 1)  t22 = 319 ∴ 3 + 1 + 9 = 13
Clave: C
4. Halle el valor de . . .
5
25
5
16
5
9
5
4
5
1
M
2 3 4 5
     
A)
1
25
B)
13
18
C)
32
15
D)
17
8
E)
35
12
Solución:
2 3 4
2 3 4 5
2 3 4 5
2 3 4
2 3 4 5
2 3 4
4 9 16 25
5 1 . . .( )
5 5 5 5
1 4 9 16 25
. . .
5 5 5 5 5
3 5 7 9 11
4 1 . . .
5 5 5 5 5
5 7 9 11
20 5 3 . . .( )
5 5 5 5
3 5 7 9 11
4 1 . . .
5 5 5 5 5
2 2 2 2 1/ 5
16 7 . . . 16 7 2 15 / 32
5 5 5 5 1 1/ 5
      
     
     
      
     
 
           
  
M
M
M
M
M
M M M
Clave. C
5. Si la progresión aritmética
min
a ; b ; ; . . .
K tér os
aa tiene como término central el
número bb , halle el último de los k términos.
A) 43 B) 201 C) 87 D) 131 E) 143
Solución:
       
min
a, b, 11a, … 5 6 1 6
K tér os
r a b a a b . Luego: 5  4  66  14 n t n n
Por tanto k = 13 + 1 + 13 = 27. Con lo cual t27 = 5(27) – 4 = 131
Clave. D
6. La siguiente sucesión:
(n) (n) (n) (n) (n) aa ; a(a 1) ; a(a  2) ; b0 ; . . . ; 100
tiene 28 términos, hallar el valor de (2a + 3b + n)
A) 59 B) 60 C) 62 D) 55 E) 48
Solución:
Es una progresion aritmetica de razon r = 1
( ) ( ) ( 2) n 1 0 n 1, 3 a a    b b  a  a  n 
Como tiene 27 términos:
2
( ) ( )
2
100 27 27
( 3) ( 3) 27
12, 9 , 10
2 3 60
     
    
   
   
n n aa n an a
reemp n n n n
n a b
a b n
Clave C
7. En la siguiente sucesión
6; 9; 19; 34; 60; 95; x; … ,
hallar el valor de x.
A) 145 B) 143 C) 146 D) 148 E) 97
Solucion
6; 9; 19; 34; 60; 95; x; … ,
6 + (22 – 1) = 9
9 + (32 + 1) = 19
19 + (42 – 1) = 34
34 + (52 + 1) = 60
60 + (62 – 1) = 95
95 + (72 + 1) = 145 entonces x = 145
Clave. A
8. Halle la suma de los 20 primeros términos de la siguiente sucesión:
4 ; 7 ; 14 ; 25 ; 40 ; …
A) 5210 B) 5600 C) 5590 D) 3750 E) 4200
Solución
an = 2n2 – 3n + 5
S20 = 2.
20.21.41 20.21
3. 20 (5)
6 2
 
S20 = 5210
Clave: A
9. Halle la suma de cifras decimo término de la siguiente sucesión
2 x 6 ; 33 x 9 ; 244 x 14 ; 1025 x 21 …
A) 18 B) 14 C) 12 D) 17 E) 16
Solución:
Considerando las sucesiones:
2; 33; 244; 1025;…  an = n5 + 1
6; 9; 14; 21;…  bn = n2 + 5
Luego tn = an . bn = (n5 + 1)(n2 + 5)
 t10 = (100001)(105) = 10500105
Clave C
10. En una progresión geométrica el sexto término es 96 y el noveno término es
768. Halle el menor término de dos cifras de dicha progresión.
A) 10 B) 18 C) 24 D) 16 E) 12
Solución
En una P.G. 96 96 5
6 1 t   t q 
768 768 8
9 1 t   t q 
Luego
96
768
5
1
8
1 
t q
t q
8 3  q  2 3 1  q   t    3 2 12 2
1  t q  x 
dos cifras
mínimo
n
Clave E
Álgebra
EJERCICIOS DE CLASE
1. Sabiendo que a y b ;  ab son las soluciones de la ecuación
log x 3x 34x 73 2 3 2
2x1     , halle el valor de a – b.
A) – 1 B) 1 C) 2 D) – 2 E) 3
Solución:
I: Condiciones: x 3x 34x 73 0 , 2x 1 0 , 2x 1 1 3 2        
II: Resolviendo:   2 3 2 x  3x  34x  73  2x  1
x x 30x 72 0 3 2    
1 – 1 – 30 72
3 3 6 – 72
1 2 – 24 0
x 2x 24 0 x 6 , x 4 2       
Solo cumplen x  4 , x  3  a  4 , b  3  a b  1 .
Clave: B
2. Si   4
1 2log y
1 2log y
y
x
xy 


 


 


, halle el valor de   log xy
y
x
M log
y
xy x
 


 

   


 


 .
A)
2
1
B)
2
3
C)
2
5
D)
5
2
E)
3
2
Solución:
Sabemos   4
1 2log y
1 2log y
y
x
xy 


 


 


4
log x log y
log x log y
log x log y
log x log y
4
y
x
log
log y
1 2
log xy
log y
1 2





 
 


 





 x  3
   
   
      2
y
x
2 ó log
y
x
4 log
y
x
log
4
log xy
y
x
log
4 log xy
y
x
log
log x log y 4 log x log y
xy xy
2
xy
2
2
2
2 2
   


 


  


 


   


 


 


 




 




 




   


 


 


 



   
 
 
.
2
5
2
1
2
y
x
log
1
y
x
M log
xy
xy   
 


 


  


 


 
Clave: C
3. Si se cumple que     2 7 6 log 2lnx log 5 log lnx log 5
5 2  5 7  , halle la suma de cifras
de
3xe 2 3

.
A) 9 B) 7 C) 6 D) 8 E) 5
Solución:
   
   
suma de cifras de 27: 2 7 9.
luego M 3 3 3 27
2lnx lnx 6 3lnx 6 e x
2 7 6
2 7 6
3xe 2 3e2.e 2 3
2
log2 2lnx log7 lnx
log 2lnx log 5 log lnx log 5
5 2 5 7
  
   
     
 
 
 
Clave: A
4. Si x
log x
e x e 2  ; ( x > 0), halle el valor de
 
 


 




x
2
log
log log x x
N
x
2
x
e e .
A) e B) 2 C) – 2 D) 1 E) – 1
Solución:
Como x e ln x lne x x elog2 x x
log x
e 2   





 
lnx 1
x
1
e .lnx x e . log2 x log2 x    
e .ln x 1 lne .ln x  0 log2 x x log2 x x    
 
log x lnln x  0 lnln x  log x
lne ln ln x 0
2
x x
2
log2 x x
     
  
  1 .
x log x
log x x
log 2 log x
ln ln x x
N
2
2
2
x
2
x


 



 
Clave: D
5. Halle la suma de elementos del conjunto solución de la ecuación
6e 32e 25e 12 3x x 2x    .
A) 3ln2 B) 1 C) ln3 D) 2ln3 E) ln2
Solución:
6e  25e  32e 12 0 x 3 x 2 x    
Sea x z  e
6z 25z 32z 12 0 3 2     
6z 13z 6 0  2z 3  3z 2  0 2       
3
2
x ln
2
3
x ln2 x ln
3
2
lne ln
2
3
lne ln2 lne ln
3
2
, z e
2
3
z e 2 , z e
3
2
, z
2
3
z
x x x
x x x
   
   
      
  
ln2.
3
2
.
2
3
ln2.
3
2
ln
2
3
 suma de x: ln2  ln   
Clave: E
6 – 25 32 – 12
2 12 – 26 12
6 – 13 6 0
 z  2
6. Halle el logaritmo decimal del producto de las soluciones de la ecuación
4
12
logx
x
10
x  .
A) 4 B) – 4 C) 1 D) – 2 E) 2
Solución:
 logx 4  12
logx 4 12
log x log10
x 10




 
  
x 10 , x 10 log 10 .10  log 10 4.
logx 6 logx 2 0 log x 6 , log x 2
logx 4 log x 12 log x 4log x 12 0
4
10
6 2
10
6 2
2
     
      
     
  
Clave: B
7. Halle la suma de las soluciones enteras de la inecuación
log x 4x log 3 x 2 8
2
3     .
A) 5 B) 3 C) 4 D) 7 E) 1
Solución:
I: Condiciones: x 4x 0 , x 2 8 0 2     
x x  4   0 ,  x  R  x  ,0  4, 
II: Resolviendo: x 4x x 2 8 2    
x 4x 4 x 2 12 0 2      
 x 2 4  x 2 3  0
x 2 x 2 12 0
2
    
    
 x  2  4  0   4  x  2  4  x   2,6
Luego x    ,0  4,     2,6
suma soluciones enteros: 1 5 4.
CS 2,0 4,6
   
  
Clave: C
8. Al resolver la inecuación
x3 5×2 3x 6 2×2 8x 24
7
1
7
1
    
 


 


 


 se obtiene el
conjunto solución de la forma  ,a  b,c , halle el valor de c – a – b.
A) 6 B) 7 C) 5 D) 8 E) 9
Solución:
x3 5×2 3x 6 x2 4x 12
7
1
7
1
    




 



 x 1 x 3  x 2  0
x 4x x 6 0
x 5x 3x 6 x 4x 12
3 2
3 2 2
    
    
      
     
c a b 1  3   2  6.
a 3 , b 2 , c 1
CS , 3 2,1 ,a b,c
        
    
         
Clave: A
EVALUACIÓN DE CLASE
1. Sabiendo que log log logx  log20 , halle el valor de T  log logx .
A) 0,1 B) 0,1 C) 10 D) 10 E) 1
Solución:
Como log log logx  log20
 
T log log x log 10 log10 T 10 .
log log x 20 10 log x
20 10
20
    
   
Clave: D
2. Si se cumple que log log 7 49
76
x x  





, halle la suma de cifras de 14 x .
A) 10 B) 9 C) 11 D) 12 E) 13
Solución:
Como 76 49
x
76
log x logx 7   49  log 7  x





    x49 78 7.77 49
x49 49
72
76
49
x49
49
76 x49 76
7 x 7 7 x
7 x 7 x
    












 





  
   
x 7 49 suma de cifras de x : 4 9 13.
7 x x 7 x 7
14 2 14
49 7 7
x49 49
77 7
     
     

 
 
 

Clave: E
3. Si a,b,c   0,1  R forman una progresión geométrica, simplifique
      


 


 
 

loga c loga b 1
1 logb a logb c
loga c logc ac U b .
A) b B) b2 C) ab D) a2 E) a
Solución:
     
 
  U b como b ac U b b .
U b b
U b b
2
b2 logb ac 2 logb
loga c. logc ac . logb a logb a. loga c. logc ac
logb a
c logc ac loga abc loga
logb abc
loga c logc ac
    
 




 
Clave: B
4. Sabiendo que logx lne 1 log x 2     , determine el producto de las
soluciones racionales.
A)
2
1
B)
5
1
C)
10
1
D)
5
2
E)
5
4
Solución:
I: condiciones: x 0 , logx 1 0 , log x 1 0 2     
II: Resolviendo:  2 2 logx  1 log x  1
log x 2log x log x 0 log x log x 2log x 1 0
log x 2log x 1 log x 1
4 2 3
4 2
       
    
   
    
x 1 , x 10 , x 10 , x 10 no cumple 
2
1 5
log x
2
1 5
log x 0 , log x 1 ; log x
log x 0 , log x 1 ; 1 4 1 1 5
log x log x 1 log x log x 1 0
2
1 5
2
1 5
1
2
2
 
    



   
        
   
.
10
1
producto de solución racionales 1 .10 1    
Clave: C
5. Si se cumple que x y 110 logy log x   , calcule el valor de
logx
2
1
logy
y
x
M  .
A) 10 B) 100 C) 1 D) 1000 E)
10
1
Solución:
Como x y 110 logy log x  
 
x 10 x 11 0
x x 110 0
x y 110 y x y
x y 110
logy logy
logy
2
logy
2 logy logx
1
logy logx
logx
2
1
logy
 



 



 
   
   
  


logy logy 2  x  10  x  10
   
 
M 10  10.
x
x
x
y
x
M
2
1
2
2
1
logy
2
1
logy
logy
2
1
logx
logy
  
  
Clave: A
6. Al resolver el sistema de ecuaciones



 


  
  
  
log z log x log y 2
log y log z log x 2
log x log y log z 2
4 16 16
3 9 9
2 4 4
,
Halle el valor de z.
A)
7
4
B)
7
32
C)
32
3
D)
3
32
E)
4
7
Solución:
Como log 2 x  log 4 y  log 4 z  2  log2 x  log2 y  log2 z  2
 log2 x y z  2  x y z  4.
Como log 3y  log 9 z  log 9x  2  log3 y  log3 z  log3 x  2
 log3 y z x  2  y z x  9.
Como log 4 z  log16 x  log16 y  2  log4 z  log4 x  log4 y  2
 log4 z x y  2  z x y  16.
Multiplicando miembro a miembro estas últimas ecuaciones:
 2  2 xyz  4.9.16  2.3.4
 
  .
3
32
24
16.16
24z 16 z
xyz 24 ademas z xy 16
2
2 2
    
  
Clave: D
7. Si M es el conjunto solución que se obtiene al resolver la inecuación
log x x 6  log  12x 24
4
1
4
1
2     , halle el número de elementos enteros de
2,  M.
A) 3 B) 6 C) 7 D) 4 E) 5
Solución:
I: Condiciones: x x 6 0 , 12x 24 0 x 2 2       
II: Resolviendo: x x 6 12x 24 2    
  
x 9 x 3
x 6 3 x 6 3 x 6 3
x 6 4 x 6 3 0
x 6 x 6 12 0
x 12x x 6 36 12 0
x 12x x 6 24 0
2
2
2
   
         
    
    
     
    


x   ,3   9, 
   
 
# elementos enteros de 3,9 :5.
2, M 3,9
M CS 2,3 9,
CS ,3 9, 2,

   
   
      

 
Clave: E
8. Determine el conjunto solución de la siguiente inecuación
12x 5 2×5 < 3x 5 8x 20 2 x 1 x 2 x      . A)  ,log4 5 B) log5 4,  C) log3 2,  D)  ,log2 3 E)  ,log3 2 Solución:               R       4 3x 2x 5 5 3x 2x 5 ; 3x 2x 5 0 , x 12x 8x 20 3x 5 2×5 5 2 x 2 2 2 2 x x x 1 CS log 4, . 4 5 5 5 log 4 x 5 5 x log5 4 x           Clave: B Trigonometría EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 16 1. Sea la función real f definida por             4 x f(x) 3 2cos ; hallar el rango de f. A)  5 , 1 B)  5 , 1 C) 1, 1 D)  2 , 2  E)  5 , 5  Solución: R  5 , 1 5 f(x) 1 1 4 x 5 3 2cos 2 3 4 x 2 3 3 2cos 2 4 x 1 2 2cos 4 x 1 cos f                                                            Clave: A 2. Determinar el máximo valor de la función real f definida por        . 2 3 f(x) cos x tgx 1 , x , A) 2 1 B) 2 C) 4 D) 3 E) 1 Solución: 1 f(x) 2 0 senx 1 1 1 senx 2 1 senx 0 2 3 2) x , f(x) senx 1 1 cosx senx 1) f(x) cosx tgx 1 cosx                              Luego Mín f(x) 1 Clave: E 3. La función real F está definida por F(x)  tgx siendo su rango el intervalo . El dominio de F es el intervalo   b , a y está contenido en el intervalo       2 3 , 2 ; hallar (b a). 12   A) 5 B) 6 C) 7 D) 7,5 E) 6,5 Solución:   7 3 2 4 5 4 12 a, b 4 5 , 3 2 ) F ( Dom                  Clave: C 4. Hallar el rango de la función real f definida por . 14 9 x 6 f (x) tg( senx) ,         A)      , B)     3 , C)  ,   D)     2 , E)     4 , Solución: Tenemos 6 9 x 6     Del gráfico se deduce que         senx 2 senx 1 2 1 En    , 2 , la función tangente es creciente, luego tg(senx)  0    tg(senx)    y   Rango(f )   ,   Clave: C 5. Hallar el periodo de la función real f definida por f (x)  cscxsen3x  7. A)  B) 2 C) 2  D) 3  E) 3 2 Solución: f(x) 12 2cos2x donde f (x ) f(x) f(x) 10 2(1 cos2x) f(x) 3 4sen x 7 f(x) cscx(3senx 4sen x) 7 2 3               Entonces , el periodo de f es  . Clave: A 6. Sea la función real f definida por    , x  0,  4 3 f (x) sen x senx 2 . Calcular el rango de f. A)     4 3 , 2 1 B)     2 1 , 0 C)     4 3 , 0 D)     , 1 4 3 E)     , 1 2 1 Solución: Como x  0 ,  , entonces 0  senx  1 . Además 2 1 2 1 f(x) senx 2        4 1 2 1 0 senx 2 1 2 1 senx 2 1 2                          4 3 , 2 1 Ranf Entonces 4 3 2 1 2 1 senx 2 1 2 Clave: A 7. Hallar el dominio de la función real f definida por . sen3x 2sen2x 5senx 1 f (x)    A)         R  / n Z 2 n B) R  2n / nZ C)          R  / n Z 2 (2n 1) D) R  n  / nZ E)         R  / n Z 6 n Solución:  Z  Z                               Luego Dom(f) R n , n senx 0 x n , n 4senx(cos x cosx 1) 0 4senx (2 sen x cosx) 0 , pues sen x 1 cos x senx(3 4sen x 4cosx 5) 0 3senx 4sen x 4senxcosx 5senx 0 sen3x 2sen2x 5senx 0 0 2 2 2 2 2 3  Clave: D 8. Sea la función real f definida por cos x 3 ; 2 4 3 cos x 3 cos x 2 4 3 f(x) cos x 2 2                         halle el dominio de f. A)           / n Z 6 2n B)           / n Z 6 n C)           / n Z 8 2n D)           / n Z 3 n E)           / n Z 2 6 n Solución:                                                                    / n Z 6 Dom(f ) 2n 2 3 cosx cosx 2 3 0 2 3 0 (cosx 2) cosx 2 3 (cosx 2) cosx cosx 3 0 2 3 cosx 3 0 cos x 2 2 3 cos x 2 6 x 2 3 cos x 2 2  Clave: A 9. Dada la función trigonométrica real                       x 4 cos x 4 f(x) sen 2 2 , determinar el rango de f. A) 1 , 1 B)  2 , 2 C) D) E) R  (a b) 8 Por lo tanto a b 8 4a 2b 2 Luego Asi Ranf 4a 2b , a b a b f(x) 4a 2b 3                    b 5 a 3   Solución: Pasando A ángulos compuestos 1 f(x) 2 Ran(f ) 1 , 2  1 x 4 4 sen 2 1 de (1) y por 2 4 x 4 4 2 4 … 4 1 x 4 0 4 1 x 4 1 x 0 , x De otro lado … (1) x 4 4 f(x) 2 sen 2 2 2 2 2 2                                                 R Clave: C 10. Si el rango de la función real f definida por 6 , x 1 sen 2x a bcos4x f(x) 2      y a  b es 2 , 8  , calcular (a b) . 3  A) 27 B) – 8 C) 18 D) – 27 E) 8 Solución: Tenemos cos 2x (a b) f(x) 2b cos 2x (a b) b(1 cos4x ) f(x) cos 2x a bcos4x f(x) 2 2 2 cos 2x 2 2           Por otro lado 6 x 6      (Pues a b) 4(a b) cos 2x a b (a b) 4 cos 2x 1 1 cos2x 1 2 1 3 2x 3 2 2                   Clave: B EVALUACIÓN Nº 16 1. Sea la función real f definida por ; 9 5 , 36 5 1 , x 18 x 2 sen ) x ( f                calcular el rango de f. A)   2 , 1  B)      2 3 , 2 1 C)     2 3 , 1 D)     2 3 , 2 1 E)     , 2 2 1 Solución: 6 6 7 2x 10 3 60 2x 10 210 i) 25 x 100 50 2x 200                                             , 2 2 1 Ranf sen(2x 10 ) 1 2 2 1 sen (2x 10 ) 1 2 1 ii) , Clave: E 2. Sea f la función real definida por , 0 2 , x 1 senxcosx 2senxcosx 1 f(x)       . Determine el rango de f. A) , 2  3 4 B)     2 3 , 3 4 C) , 1 3 4  D)    , 1 3 4 E)   2 3 0 , Solución:                                                               , 1 3 4 f(x) 1 Así Ranf 3 4 1 2 sen2x 2 3 2 2 1 2 sen2x 1 3 1 0 sen2x 1 2 2 sen2x 3 x 0 2x 0 1 sen2x 0 2 , 0 2 ii) x 2 sen2x 2 f(x) 2 2 sen2x 2(sen2x 2) 2 2 sen2x 2sen2x 2 f(x) 2 2senxcosx 2sen2x 2 1 senxcosx sen2x 1 1 senxcosx 2senxcosx 1 i) f(x) Clave: D 3. La función real f está definida por . 12 7 x 8 sen2x , 2 f(x) 2 sen             Si el rango de f es a , b , calcule ab 8a. 4  A) – 4 B) – 8 C) 8 D) 4 E) – 6 Solución:     M 4 M 2 8 M 1 2 8 ( 1) M ab 8a Finalmente Ranf 1 , 2 1 f(x) 2 sen2x 1 2 sen 2 2 Luego 2 sen2x 4 2 sen2x 1 2 1 6 7 2x 4 12 7 x 8 como 2 4 4                                                   Clave: D 4. Sea la función real f definida por 10 (1 senx cosx) 1 senx cosx f(x)      . Hallar el dominio de f si 0  x  2. A) 0,2  B)             2 0,2 , C)            2 0, D)       , 2 E)          2 0, Solución:                                                       2 Domf 0 ,2 , 2 x 2 4 x 2 x 1 tg 2 x sen 2 x 0 cos 2 x sen 2 x cos x 2 2 x 0 2 x cos 0 2 x sen 2 x cos 2 x 2cos 0 2 x cos 2 x 2sen 2 x 2cos 1 cosx senx 0 (1 senx cosx) 0 (1 senx cosx) 0 2 10 Clave: B 5. Si el intervalo c , d  es el rango de la función real f definida por ; 8 , 6 f(x) cos x 4 , x 2           hallar el valor de 4c + d. A) – 16 B) – 18 C) – 12 D) – 10 E) – 15 Solución: Se tiene:   16 3 4 13 4 4(c) d Luego , 3 Ran(f ) c , d 4 13 f(x) 3 2 7 cos2x 2 1 4 13 2 1 cos2x 2 1 4 1 cos2x 1 2 1 4 2x 8 3 x 6 como 2 7 cos2x 2 1 f(x) (1 cos2x) 4 2 1 (2cos x) 4 2 1 f(x) 2                                                    Clave: A Geometría EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 16 1. En la figura, OABC es un trapecio. Si CN = AB + BN, AD = 4 2 cm y mACB = 15°, halle las coordenadas del punto D. A) (0,4 + 4 3 ) B) (0,4 + 2 3 ) C) (0,2 + 2 2 ) D) (0,4 + 2 ) E) (0,4 + 4 2 ) O A B C D Y X N   Solución: 1) EOC: Isósceles EN = a + b, BE = a 2) ABE: Isósceles AB = BE = a 3) ENO:  = 30° 4) DJA: Notable de 45° DJ = JA = 4 5) OJA: Notable de 30° y 60° JO = 4 3 6) Luego: D(0,4 + 4 3 ) Clave: A 2. En la figura, C es punto de tangencia y AO es diámetro. Si D(0,6), mAB = mBC y G es baricentro del triángulo AOD, halle GB (en centímetros). A) 11cm B) 2 11cm C) 6 cm D) 9 cm E) 10 cm Solución: 1) Del gráfico: G(– 4,2) 2) BHQ: Notable de 45° BH = HQ = 3 2 3) Entonces: B(– 6 – 3 2 ,3 2 ) 4) Luego: BG = 2 2 (2  3 2)  (3 2  2) = 2 11cm Clave: B O Y A X B C D G O A B C D Y X N   30° J 4 4 a 2 2 a E 45° b a+b 45° (0,4+ 4 3) 15° 4 3 4 2 O Y A(12,0) X C D(0,6) G(4,2) Q 6 6 45° 45° H 45° 6 B(63 2,3 2 ) 3 2 3 2 3. En la figura, ABCD es un rombo, BR = RD, DT = 4CT y AD = 5OP. Si D(23,4), halle las coordenadas del punto P. A)     23 12 , 2 B)     23 11 2, C)     23 12 , 3 D)     20 13 3, E)     21 13 , 2 5 Solución: 1) BQR  DTR (ALA) TD = BQ = 4l 2) PAQ ~ PDT (AA) PA = 3 5 l 3) Supongamos l = 3k 4) Entonces: 20 3 PD OP  5) Luego: P               3 20 0 20 3 4 , 3 20 0 20 3 23 P     23 12 3, Clave: C 4. En la figura, ABCD es un romboide, A(1,3), C(17,20) y D(15,17). Si las áreas de las regiones ABE y BCDE están en la razón de 3 a 11 respectivamente, halle BE (en centímetros). A) 2 2 cm B) 3 cm C) 3 2 cm D) 4 2 cm E) 5 cm O Y X A B C D P Q R T A B C D E O(0,0) Y X A B C D(23,4) P Q R T l = 3k l 4l 4l l 5 = 15 k l     5 = 5 k l 3 Solución: 1) Del gráfico: O            2 23 9; 2 3 20 ; 2 1 17 2) Del gráfico: AABE = 3S; ABED = 4S; ABCD = 7S  AE = 3k, ED = 4k 3) Pero: BO = OD  B(3,6) 4) Del gráfico: E (7,9) 3 4 3 4 3 17 ; 3 4 1 4 3 15              5) Luego: BE = 5 cm Clave: E 5. En la figura, O es punto medio del diámetro AC, Q es circuncentro del triángulo ABC, mTU = 50° y mUC = 28°. Halle la pendiente de la recta L. A) 3 4 B) 4 3 C) 2 1 D) 3 1 E) 2 Solución: 1) Prop. : mABC = 2 180  50 = 65° 2) Q: Circuncentro ABC  mAQC = 130° 3) AQB: Isósceles  mBAQ = mABQ = 14° 4) AQC: Isósceles  mQAC = mQCA = 25° 5) ABP: mBPO = 53° 6) Luego: mL = tg53° = 3 4 Clave: A O Y X T Q A C U B L A(1,3) B(3,6) C(17,20) D(15,17) E(7,9) 7S 4S 3S O 3k 4k O Y X T Q A C U B L 25° 53° 25° 14° 130° P 14° 65° 50° 28° 6. En la figura, E es punto de tangencia y O es punto medio del diámetro AB . Si E(–7,24) y mBE = 106°, halle la pendiente de la recta L 1. A) – 4 3 B) – 2 1 C) – 3 1 D) – 5 3 E) – 7 1 Solución: 1) Del gráfico: mL = – 7 24 L : 24x + 7y = 0 2) Del gráfico: mAE = 74° 3) Prop. : mDCE = 37° 4) CDEJ: Inscriptible mDJE = 37° 5) Sea m1 : Pendiente de L1 Entonces: tg37° =              7 24 1 m 7 24 m 1 1  m1 = – 4 3 Clave: A 7. En la figura, C, D, F son puntos de tangencia y O1 es centro. Si L 1 : 3x – 4y + 6 = 0, halle la ecuación de la recta L . A) 4x + 5y – 6 = 0 B) 4x + 3y – 7 = 0 C) 3x + 4y – 5 = 0 D) x + 4y – 6 = 0 E) 2x + 5y – 7 = 0 O Y L 1 L E D C A B O Y F X D C O1 L L 1 O Y L 1 L E ( 7,24)  D C A B 37° 74° 106° 37° J Solución: 1) Si L1 : 3x – 4y + 6 = 0  1 mL = 4 3   = 37° 2) ECO1: Notable de 37° y 53° CO1 = 3k, EO1 = 5k 3) EDB: Notable de 37° y 53° BD = 2 3 k 4) Entonces: BO = 2 3  k = 3 1 5) Luego: O1(1,1) 6) 1 mL = 4 3  mL = – 3 4 (L  L 1) 7) Luego: L : y – 1 = – 3 4 (x – 1) L : 4x + 3y – 7 = 0 Clave: B 8. En la figura, AO = 2 cm y AB = BC. Si la distancia de C a la recta L es 2 2 cm, halle la ecuación de la recta que pasa por A y C. A) x + y – 4 = 0 B) x + 3y – 2 = 0 C) 3x + 2y – 6 = 0 D) x + 2y – 4 = 0 E) 5x + 3y – 7 = 0 Solución: 1) ABC: Notable de 45° AB = BC 2) OABC: Inscriptible mBOC = mCAB = 45° O Y X A B C L O Y F X D C O1(1,1) L 1 L B 0,3 2 3k 53° 3k 3k A(2,0) E 2k 37°  O Y X A(0,2) B C(4,0) L 4 45° 45° 2 H 2 2 L 1 3) OHC: Notable de 45° OC = 4 4) 1 mL = – 2 1 L 1 : x + 2y – 4 = 0 Clave: D 9. En la figura, D(3,6), AB = BC y BM = 3AM. Halle la ecuación de la recta L. A) 2x – y + 15 = 0 B) 3x – 2y + 12 = 0 C) 5x – 2y + 10 = 0 D) 4x – 5y – 8 = 0 E) 4x – 3y – 16 = 0 Solución: 1) ABCH: Cuadrado HC = AB = BC = a 2) OAD ~ DHC (A-A) 6 a a 3 6    a = 4 3) Dato: AM = k, BM = 3k  4k = 4 k = 1 4) Luego: mL = 3 4 L : 4x – 3y – 16 = 0 Clave: E 10. Una recta L1 : 3x + y – 6 = 0 determina con los ejes coordenados una región triangular de área A1. Si L2 // L1 y determina con los ejes coordenados una región triangular de área A2 tal que A1 = 4A2, halle la ecuación de la recta L2. A) 3x + y + 3 = 0 B) 3x + y – 2 = 0 C) x + 3y – 1 = 0 D) x + 3y – 3 = 0 E) 6x + 2y – 3 = 0 O Y A B X C D L M O Y A B X C(7,4) D(3,6) L M(4,0)  1 3 3 a=4 a    6 a a H Solución: 1) Del gráfico: A1 = 6 u2 2) Dato: 2 1 A A = 4  A2 = 2 3 u2 3) De L1 : 3x + y – 6 = 0  1 mL = – 3 4) Como L1 // L2  2 mL = – 3 5) Del gráfico: 2 3 2 3b b    b = 1 6) Luego: L2 : y – 0 = – 3(x + 1) L2 : 3x + y + 3 = 0 Clave: A 11. En la figura, Q es punto medio del diámetro OB , BCDE es un cuadrado y DP = CP. Si EQ = 3AE = 3 cm, halle las coordenadas del punto P. A)     2 11 , 9 B)     2 13 8, C) (7,5) D) (9,5) E)     3 11 9, Solución: 1) Dato: EQ = 3, AE = 1 2) EQB: Notable de 37° y 53° QB = 4, EQ = 3, EB = 5 3) ABCD: Cuadrado ED = EB 4) Entonces: C(11,4), D(7,7) 5) Luego: P     2 11 9, Clave: A O Y X A B C D E P Q O Y X A B C(11,4) D(7,7) E P Q T 3 3 4 4 4 3 J 3 1 37° 53° 37° 53° 5 5 5 O Y X (0,6) (2,0) (0,3) (1,0) b 6 3b 2 3 7° 2 A1 A2 L 2 L 1 37° 2 12. En un triángulo ABC, A(– 4,0), B(– 2,6) y C(16,0). Halle las coordenadas del punto donde la bisectriz del ángulo ABC corta al lado AC . A) (–1,0) B)     ,0 2 1 C) (2,0) D) (3,0) E) (1,0) Solución: 1) Del gráfico: AB = 2 10 BC = 6 10 2) BD : Bisectriz  CD AD BC AB   3 1 CD AD  3) Luego: D          , 0 1 3 4 3 1 16  D(1,0) Clave: E 13. En la figura, L1 : x – 8 = 0 y L2 : y – 6 = 0. Halle el área del círculo inscrito en el triángulo ABC (en centímetros cuadrados). A) 2 cm2 B) 3 cm2 C) 4 cm2 D) 8 cm2 E) 9 cm2 Solución: 1) Si L1 : x = 8  C(8,0) 2) Si L2 : y = 6  A(0,6) 3) ABC: AC = 10 4) ABC: Teorema de Poncelet r = 2 5) A = 4 cm2 Clave: C O Y X L 1 L 2 A B C O Y A(4,0) D C(16,0) X  2 10  B(2,6) 1k 3k 6 10 O Y X L 1 L 2 A (0,6) B C(8,0) 6 6 8 8 r O 14. En la figura, H es ortocentro del triángulo ABC. Si la ecuación de la recta L es 3x – 4y + 48 = 0, halle las coordenadas del punto H. A) (– 8,12) B) (– 9,12) C) (– 8,10) D) (– 7,12) E) (– 6,13) Solución: 1) Sea L : 12x – 16y + 192 = 0  A(– 16,0), C(0,12) 2) AOC: Notable de 37° y 53° mCAO = 37° 3) HCO: Notable de 37° y 53° HC = 9 4) Luego: H(– 9, 12) Clave: B EVALUACIÓN Nº 16 1. En la figura, OAB es un cuadrante y Q es punto de tangencia. Si E(22,8) y C(9,15), halle la diferencia de las coordenadas del punto D. A) 5 B) 7 C) 8 D) 10 E) 11 Solución: 1) CQA: Notable de 37° y 53° AQ = 9, QC = 12 O Y A X B C H L O Y A X B C D E P Q   O Y A X B H C L 53° J 37° 16 12 9 Q 2) Entonces: C(9,15) 3) PQA: Notable de 2 37 PQ = 3 4) DQ//PE  1 4 DE CD  5) Entonces: D                  5 47 , 5 97 4 1 4 8 1 15 , 4 1 4 22 1 9 6) Luego: xD – yD = 10 Clave: D 2. En un triángulo ABC, A(2,0), B(3,3) y la recta que une C con el origen forma un ángulo de 45° con el eje positivo de abscisas. Si el área de la región triangular ABC es 5 cm2, halle las coordenadas del punto C. A) (8,8) B) (7,7) C) (6,6) D) (9,9) E) (5,5) Solución: 1) Del gráfico: C(x,x) 2) A = 2 0 3 3 x x 2 0 2 1 = 5 x = 8 3) Luego: C(8,8) Clave: A 3. En la figura, A(3,9), las ecuaciones de las rectas que contienen a dos de sus medianas son L1: y – 6 = 0 y L2 : 3x – 4y + 9 = 0. Halle BC (en centímetros). A) 10 cm B) 109 cm C) 107 cm D) 8 cm E) 11 cm O Y X A B C O Y A X B C(9,15) D E(22,8) P Q   53° 3 3 12 9 37°/ 2 37°/2 37° 6 4k k 9 9 O Y A(2,0) X C(x,x) B(3,3) 45° 5 cm2 Solución: 1) En AC : 6 = 2 9  C2  C2 = 3 2) Como C(c1,3)  L2  c1 = 1 3) En AB : d2 = 2 9  6 = 2 15 4) Como D  L2  d1 = 7 5) Luego: b1 = 11 6) Entonces: BC = 109 cm Clave: B 4. En la figura, BCDE es un cuadrado y B(4,–3). Si AB = BC, halle la ecuación de la recta que contiene a CD. A) 2x + 3y – 8 = 0 B) 3x + 4y – 16 = 0 C) 4x + 3y – 32 = 0 D) 5x + 6y + 12 = 0 E) 6x + 5y – 10 = 0 Solución: 1) DHC  BMC (ALA) BM = DH = 4 2) AFC: BM es base media BM = 8 3) Del gráfico: HC = 3 4) DHC: Notable de 37° y 53°  = 53° 5) mL = tg127° = – 3 4 6) Luego: L : y – 0 = – 3 4 (x – 8) L : 4x + 3y – 32 = 0 Clave: C O Y X A B C D E H O Y X A(3,9) B(b1,6) C(c1,c2) M(x,6) D(d1,d2) L 2 L 1 : y = 6 O Y X A B C(8,0) D(5,4) E H   127° 4 F M 8 4 L 5. En la figura, T es punto de tangencia y OB es diámetro. Si T(4,8), OQ = AQ y OA = AB, halle la ecuación de la recta L paralela a QC. A) 4x + 3y – 7 = 0 B) 2x + y – 10 = 0 C) 4x + y – 16 = 0 D) x + 4y – 20 = 0 E) x + 3y – 6 = 0 Solución: 1) AJT: (8 – R)2 + 42 = R2  R = 5 2) AJT: Notable de 37° y 53° mJAT = 53° 3) OATC: Inscriptible mOCT = 53° 4) TPC: Notable de 37° y 53°  PC = 6 5) Pero: QC m = – 4 1  mL = – 4 1 6) Luego: L : y – 5 = – 4 1 (x – 0) L : x + 4y – 20 = 0 Clave: D 6. En la figura, C(10,0), A(0,5) y 3BM = 2AM. Halle la distancia del punto B a la recta L (en centímetros). A) 12 cm B) 2 39 cm C) 13 cm D) 41 cm 41 15 E) 41 cm 41 16 O Y X Q A L C T B O Y X L M A B C O Y X Q A(0,5) L C(10,0) T(4,8) B 4 P 6 53° 53° 4 R J 0,5 2 8 8R Solución: 1) Del gráfico: 5k = 10  k = 2 2) Del gráfico: 1 mL = – 4 5  mL = 5 4 (L  L 1) 3) Entonces: L : y – 5 = 5 4 (x – 6) L : 4x – 5y + 1 = 0 4) Luego: d = 2 2 4 5 4(10) 5(5) 1    = 41 cm 41 16 Clave: E L 1 O Y X L M(6,5) A B(10,5) C (10,0) 5 10 3k = 6 2k = 4 5 d