ESTUDIO SOBRE LA CIRCUNFERENCIA PLANA PROBLEMAS RESUELTOS PARA PROFESORES PDF

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Circunferencia , PosiCIones respecto a una recta, Posiciones relativas de dos
cincunferencias, Angulos en las circunferencias, longitud de la circunferencia
, Area del circulo, sector, segmento , corona y trapecio circular,EJERCIClOS RESUELTOS

ESTUDIO SOBRE LA CIRCUNFERENCIA
1. Circunferencia. Posiciones respecto a una recta.
DEFINleION. Circunferencia es una línea cerrada plana cuyos puntos
equidistan de uno interior /lamado centro.
Radio es cada uno de los segmentos iguales que unen el centro con los
puntos de la circunferencia.
Para d ibujar una circunferencia se utiliza el compás.
A O~ circunferencia
E AE circunferencia
BE circunferencia
o C~ circunferencia
• e • O D~ circunferencia
B E E circunferencia
Si sobre la circunferencia se señalan dos puntos M y N se obtiene un segmento
llamado cuerda.
Cada trozo de circunferencia comprendida entre dos puntos recibe el
nombre de arco.
Di6metro es la cuerda que pasa por el centro.
Semicircunferencia es la mitad de la circunferencia .
POSICIONES RESPECTO A UNA RECTA . Una recta puede lener tres
posiciones respecto a la circunferencia.
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al Cuando la recta y la circunferencia no tienen ningún punto en común
se dice que la recta es exterior a la circunferencia.
b) Cuando la recta y la circunferencia tienen un punto común, la recta
es tangente a la circunferencia.
cl Cuando la recta y la circunferencia tienen dos puntos comunes, la
recta es secante a la circunferencia,
e e
exterior tangente SOlcante
Si una recta es exterior, tangente o secante su distancia al centro es respectivamente
mayor, igualo menor que el radio
TEOREMA Sí una recta r tiene un punto A interior y otro B exterior a
una circunferenclO, también tiene otro punto A’ interior a mayor distancia
del centro que el A y otro punto B’ exterior a menor distancia del centro
que el B.
La demostración la hacemos sobre la circunferencia
M P A B
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Sea P el pie de la perpendicular trazada por el centro a la recta r y sobre
el sentido PA se lleva la distancia r – OA obteniendo el punto A’ : AA’
r – OA
En el sentido BP se lleva la distancia OB – r obteniendo el punto
B’ ,BB’ – OB – r
Se tiene
OA’ > OA Y OB’ < OB Por la construcción: OA' < OA + OB' > OB
AA’
BB’
– r
Por tanto A’ es un punto interior y B’ es un punto exterior
TEOREMA FUNDAMENTAL Toda recta que tiene un punto A interior
a una circunferencia tiene dos puntos comunes con el/a.
Sea la circunferencia y A un punto interior siendo P
P A
B
o
el pie de la perpendicular trazada por el centro él la recta r
El punto P determina dos semirrectas y llamemos SI al conjunto de puntos
interiores a la circunferencia y S2 al conjunto de puntos no Interiores a la
circunferencia.
Se verifica que.
1) En cada semirrecta hay puntos de SI y puntos de S2 pues basta ver
que A por hipótesis pertenece a SI y que cualquier punto B que cumpla la
condición PB > r está en S2 con lo que OB > PB > r.
2) Todo punto de la semirrecta es interior o no interior, no cabe otra posibilidad.
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3) En el sentido definido en cada una de las semirrectas (partiendo de
P) todo punto de SI precede a todo punto de S2. es decir todo punto interior
precede a un punto no interior.
Estas tres condiciones son las correspondientes al Axioma de Dedekind
que dice” “Dada una clasificación de los puntos de una recta en dos clases
SI y S2 que cumpla las condiciones
1) Existen puntos de la recta en una y otra clase.
2) Todo punto de la recta está en una u otra clase.
3) Todo punto de 51 precede a todo punto de 52, existe un punto y sólo
uno P de la recta, tal que todos los puntos que le preceden pertenecen a la
clase 51 y todos los que le siguen pertenecen a la clase S2′
El punto P recibe el nombre de frontera de las dos clases». Este punto P
puede ser el último de la clase 51 o el primero de la clase 52′
Como se verifican los tres puntos del Axioma existe en cada semirrecta
un punto y s6lo uno tal que todo punto que le precede en la semirrecta corresponde
al conjunto 51 y todo punto que le sigue pertenece a 52 Este
punto M pertenece a la circunferencia, luego OM – r, ya que en caso contrario
si OM > r en virtud el teorema anterior otro punto precedente pertenecería
a 52 y si OM < r otro siguiente de 51 con lo que contradice el axioma. 2. Posiciones relativas de dos circunferencias Sean dos circunferencias C y e 1 de centros O y O 1 Y de radios r y r 1 • Comparando la distancia d entre los centros con la suma y diferencia de los radios r y r ' supuestos r > r’ se pueden presentar los siguientes casos:
1) Circunferencias exteriores: Cuando todos los puntos de la primera
circunferencia e son exteriores a la segunda e I y todos los puntos de la segunda
e’ son exteriores a la primera e
d
C 71-0′ d > r + r ‘
‘–~/ C’
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2) Circunferencias interiores: Una circunferencia e 1 es interior a otra e
cuando todos los puntos de la primera son interiores a la segunda
e
C’
d < r + r ' , El radio de la circunferencia interior siempre es menor que el radio de la circunferencia exterior: r ' < r. 3) Circunferencias tangentes exteriores: Dos circunferencias son tangentes exteriores cuando son exteriores y tienen un punto común e d d r + r ' o r' O' 4) Circunferencias tangentes interiores: Dos circunferencias son tangentes interiores cuando una- es interior a la otra y tienen un punto común e d d =: r - r ' El radio de la circunferencia tangente interior siempre es menor que el radio de la circunferencia exterior: r ' < r www.Matematica1.com 5) Dos circunferencias son secantes cuando tienen dos puntos comunes. p e C' o Hay puntos de la circunferencia e que son interiores a la circunferencia C' . Hay puntos de la circunferencia C' que son interiores a la circuferencia C . Las dos circunferencias C y C' tienen dos puntos comunes. Observando el triángulo OPO ' de lados r, r ' y d vemos que se cumplen estas dos condiciones d > r – r y d < r + r' ya que un lado de un triángulo es Menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. También lo podemos Indicar , - r ' < d < r + " 6) Circunferencias concéntricos: Dos circunferencias son concéntricas cuando tienen el mismo centro . / -,C ' e o , . En dos circunferencias concéntricas la distancia de los centros es cero Cuando la dos circunferencias son iguales, tienen el mismo centro, sólo son válidos los enunciados . 1) d > 2,
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CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES. Dos circunferencias secantes se
llaman ortogonales cuando se co rtan de tal manera que las tangentes en cada
uno de los puntos comunes son perpendiculares entre s(
Las circunferencias e y e ‘ de centros O y O ‘ y radios r y r ‘ son secantes
y además ortogonales.
Dos circunferencias ortogo nales cumplen:
1) Los radíos en los puntos de intersección son perpendiculares.
2) La tangente a cada circunferencia en cada punto de int ersección pasa
por el centro de la otra circunferencia .
3) Los triángulos OPO’ y DMO’ son rectángulos con ángulo recto en P
y M (puntos de corte de las dos circunferencias).
Se cumple ‘
Ejemplo. Dos circunferencias ortogonales tienen de radios 8 cm y
6 cm ¿Cuál es la distancia entre sus centros?
3_ Angulos en la circunferencia
ANGULO CENTRAL. Es un ángulo cuyo vértice está en el centro de la
circunferencia ,
o A
AOB es un ángulo central
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Los puntos de la circunferencia interiores al ángulo central forman el arco
correspondiente al ángulo central.
En una misma circunferencia a ángulos centrales ¡guajes corresponden
arcos iguales y a arcos iguales corresponden ángulos centrales iguales. Existe
un isomorfismo aditivo entre Jos ángulos centrales y los arcos correspondientes.
El arco correspondiente al ángulo central y el ángulo central se miden en
grados o en radianes.
Un radlOn es la medida de un ángulo central cuyo arco tiene una longitud
igual al radio de la circunferencia .
A
Aoa = 1 radian o
Cuando el ángulo central mide un llano el arco es una semicircunferencia.
Cuando el ángulo central mide un recto el arco se llama cuadrante.
ANGULO INSCRITO . Es un 6ngulo convexo cuyo vértice est6 en la circunferencia.
e
,
El ángulo AB, e está inscrito a la circunferencia .
El ángulo MNP no está in scrito, ya que no es convexo.
p
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Teorema: «Todo ángulo inscrito a una circunferencia mide la mitad del
arco comprendido entre sus lados»,
También se puede enunciar como: «Todo ángulo inscrito en una circunferencia
es igual a la mitad del ángulo central que conprende el mismo
arco»
Se pueden presentar tres casos de ángulo inscrito,
al Que uno de los lados del ángulo pase por el centro de la circunferenda
Para demostrarlo, unimos con el centro el punto A, formándose el trián-
~_”””,-!B
e
6
gulo AOB que es isósceles, pues los lados AO y OB son radios de la circun-
A A ferencia y Jos ángulos OAB y ABO son iguales.
El ángulo central Aélc que es exterior al triángulo ADB mide
luego
/\ …… A …..
AOC – OAB + ABO ~ 2 ABO
A
ABO
A
ABC 1.- AOC
2
El ángulo inscrito mide la mitad del arco comprendido entre sus lados.
bl Que el centro de la circunferencia esté en el interior del ángulo,
B
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Tomamos los radios en A y en e y el diámetro en B, formándose la fi.
gura
B
M
El ángulo ABM por el caso anterior vale ~ 1 ~ ABM – _ AOM
2
El ángulo CBM por el caso anterior vale: CBM 1 ‘
– 2″MOC
luego
A ,… “… 1″” 1 A
ABC – ABM + MBC – – AOM + – MOC
2 2
1 A
– – AOC
2
El ángulo inscrito mide la mitad del arco comprendído entre sus lados.
c) Que el centro de la circunferencia esté en el exteríor del ángulo.
A
Trazamos los radios en A y en e y el diámetro en B. formándose la figura
B
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Se tiene
ABC – ABM – CBM
Considerando el ángulo inscrito ABM, por el primer caso
A 1 A ABM ~ _ AOM
2
A
Considerando el ángulo inscrito CBM, por el primer caso
Por tanto
• 1 A
CBM ~ – COM
2
AB'” C – -1 AO”” M – -1 CO'” M
2 2
A
COMI – ~ AOC
2
El ángulo inscrito mide la mitad del arco comprendido entre sus lados,
Corolario: «El ángulo inscrito en una semicircunferencia mide 90″ _,
Es mmediato, pues el ángulo inscrilo en una semicircunferencia es el ángulo
convexo que tiene un vértice en la circunferencia y sus lados cortan él la
circunferencia en los extremos de un diámetro.
A e
A A A A
Los ángulos ABC. AB’C, AB”C, AB ”’C miden la mitad del ángulo
comprendido entre sus lados. Como el arco comprendido es un ángulo llano,
todos los ángulos Indicados miden 90°,
‘” A “” A ABC – AB’C = AB “C = AB”C = 90′
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ANGULO SEMIINSCR1TO. Es un 6ngulo convexo que tiene su vértice
f:!n la circunferencia. uno de sus lados es tangente a la circunferencia V el
otro es secante
B
e
+ o
A
El ángulo ABe es semiinscrito a la circunferencia
Teorema ; «Todo 6ngulo semiinscrílo en una circunferencía mide la mitad
del óngulo central que aborca el mismo arco» .
También se puede enunclar así: ti Todo ángulo semllnscrito en una circunferencia
mide la mitad del arco comprendido entre sus lados».
Para demostrarlo trazamos el diámetro perpendicular a AB y el radio en
el punto B
B e
,/
Se forman los ángulos eSA y BOM que tienen los lados perpendiculares,
siendo iguales. por tanto
eSA – SÓM
Como OM es perpendicular a AS en su punto medio
Por lanlo
Aéls – 2 MOS
eSA ~ ~ AÓS
2
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ANGULO INTERIOR. Es un 6ngulo convexo cuyo vértice es un punto
inlerior de la circunferencia,
B
Q
p
R
Los ángulos ABC y PQR son interiores
Teorema: «Todo 6ngulo interior a una circunferencia es igual a la semisuma
del arco comprendido entre sus lados y el comprendido entre las semirrectas
opuestas a sus lados»
También se puede enunciar así: “Todo ángulo interior es igual a la semisuma
de los ángulos centrales correspondientes a los arcos abarcados por dicho
ángulo y por su opuesto por el vértice».
Prolongando los lados del ángulo interior corta a la circunferencia en
otros dos puntos M y N.
A p…:-_=_~,q M o
N
e
Trazando la cuerda AM se obtiene el triSngulo ABM El ángulo exterior a
este triángulo en 1’3 mide la suma de los otros dos, es decir
AÉiC ~ MÁB + AMB
Pero el ángulo AMB – AMe que es inscrito abarcando el arco AC y el
ángulo MÁB = MÁN es también inscrito abarcando el arco MN
Por tanto
AÉiC + Jc M6N
2
~ IA6c + M6N)
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ANGULO EXTERIOR. Es un ángulo convexo cuyo vértice es un punto
exterior a la circunferencia y sus lados tienen algún p unto común con el/a .
+ +
Tres son las posiciones a considerar para el ángulo exterior, según que
los lados del ángulo sean secantes. sea un lado secante y otro tangente o Jos
dos lados tangentes a la circunferencia, estando sIempre el vértice exterior a
la circunferencia.
Teorema: «Todo ángulo exterior a una circunferencia es igual a /0 semldiferencia
de los ángulos centra/es correspondientes a los arcos abarcados
por sus lados»
También se puede enunciar así: «Todo ángulo exterior a una circunferencia
llene como medida la semidiferenda de los dos arcos delerminados
en la circunferencia por los lados del ángulo e inle-riores al mismo”
La demostraci6n es inmedlala en los tres casos:
al Que los dos lados del ángulo sean secantes a la circunferencia
Para demostrarlo formamos la figura
El ángulo MÉiN ~ BAc + AÑB de donde
BAc – MÉiN – AÑB
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Tanto MBN como AÑS son Interiores siendo su medida la mitad del án gulo
central abarcado
Luego
BAC
MBN – 1. MÓN
2
y AÑB- 1. Me
2
1~ 1~ l’ A
~ – MON – – BOC – – (MON – BuC)
2 2 2
b) Que los lados del 6nglllo seo uno secante y otro tangente
M
B
N
, , ,
El ángulo NBM ~ BAN + ANB
BAN – NBM
,
ANB
…. Al'”
El ángulo NBM es semiinscrito : NSM -2 NOS
….. Al ….
El ángulo ANB es interior: ANB “” 2 BOC
Luego
‘” 1…. 1′” 1…. …
BAN – – NOB – – BOC ~ – (NOB – BOC)
2 2 2
e) Que los lados del 6ngulo sean tangentes a la circunferencia
M
A
N
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El ángulo exterior al triángulo ABe en B mide
Mík = BAC
BAc – Mi3c
, ,
Tanto el ángulo MBC como ACB son semiinscritos, siendo sus medidas
Luego
BAC
MBC
– 21″ • BOC (cóncavo)
1 ‘ = 2″ COB (convexo)
1 • 2″ BOC (c6ncavo) – ..!. coa (convexo)
2
Cuando el ángulo exterior tiene sus dos lados tangentes a la circunferencia
se dice que el ángulo es circunscrito a la circunferencia. También la circunferencia
se dICe que está inscrita en el ángulo.
4. Longitud de la circunferencia
POLlGONOS INSCRITOS A UNA CIRCUNFERENCIA. Un polígono
est6 inscrito o uno circunferencia cuando todos los vértices del polígono pertenecen
a la circunferencia.
Si señalamos tres puntos sobre una circunferencia y los unimos obtendremos
un triángulo inscrito a la circunferencia.
Si señalamos cuatro puntos sobre la circunferencia y los unimos consecutivamente
obtendremos un cuadrilátero inscrito a la circunferencia.
A
e
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De esta forma señalando los puntos que se quiera y uniéndolos consecutivamente
obtendremos un polígono inscrito a la circunferencia de tantos lados
como puntos señalamos sobre la circunferencia.
Aquí podemos aplicar la medida de los ángulos inscritos a una circunferencia
para comprobar que:
a} La suma de los ángulos de un triángulo mide 1800
DibUjando un triángulo ABC inscrito a una circunferencia
A
resulta que
, 1,
ABC – -AOC
2
A 1 A BCA – -BOA
2
CAA B –1B Ó C
2
ABC + BeA + CAB – ~ (AÓC + BÓA + BÓC) _ 1 . 3600 _ 1800
2
de donde
Ji. + ª + e = 1800
b) Los ángulos opuestos de !ln crlOdrilátero son suplementaríos
Sea el cuadrilátero ABCD
A
B
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Vamos a ver que A + e = 1800 Y que B + O – 1800
En efecto
A BAO …le BOO
2
(cóncavo)
A C ~ BCD ~ …le BOO (convexo)
2
21″ (B O” D (cóncavo) + Be)O (convexo)) =
~ 3600 ~ 180″
De forma análoga se ve que B y [) son suplementarios.
Por tanto la suma de los cuatro ángulos de un cuadrilátero vale
POLIGONOS CIRCUNSCRITOS A UNA CIRCUNFERENCIA Un poli”
gono est6 circunscrito a una circunferencia cuando todos sus lados son tangentes
a la circunferencia,
Observando esta circunferencia situada dentro del triángulo ABe
A
C~ _ ~~~ _______ ~B
N
los lados del triángulo son tangentes a la circunferencia en los puntos M,
N Y p”
Si trazamos las bisectrices de los ángulos Á, B y e del triángulo se cortan
en un punto O llamado in centro y que es el centro de la circunferencia
El triángulo está circunscrito a la circunferencia y la circunferencia está
inscrita al triángulo. El centro de la circunferencia es el incentro, punto de
corte de las bisectrices del triángulo Los radios de la circunferencia en los
puntos de tangencia son perpendiculares a los lados del triángulo
-El radio OM es perpendicular aliado AB
-El radio ON es perpendicular aliado Be
-El radio OP es perpendicular aliado AC
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Existe una circunferencia y sólo una inscrita a un triángulo pero puede
haber muchos triángulos circunscritos a una circunferencia, basta con que
sus lados sean tangentes a la circunferencia
Observando esta otra circunferencia situada dentro de un cuadrado [os
lados del cuadrado son tangentes a la circunferencia.
A M B
I
Q –to- N
I
D
P e
-El radio OM es perpendicular aliado AB en su punto medio
-El radio ON es perpendicular aliado BC en su punto medio.
-El radio OP es perpendicular alIado CD en su punto medio,
-El radio OQ es perpendicular alIado DA en su punto medio.
En un cuadrado circunscrito a una circunferencia el lado coincide con el
diámetro.
En general si dada una circunferencia nos Piden que dibujemos un polígono
circunscrito se ha de seguir este camino’
1) Señalar sobre la circunferencia tantos puntos como lados tenga el polígono
circunscrito.
2) Trazar los radios correspondientes a esos puntos.
3) Trazar las tangentes a la circunferencia en dichos puntos, que como
se sabe han de ser perpendiculares a los radios correspondientes
4) Donde se corten cada dos tangentes consecutivas serán los vértices
del polígono circunscrito pedido.
Si el polígono circunscrito es regular los puntos señalados en la circunferencia
deben estar situados a igual distancia unos de otros
Los polígonos inscritos o circunscritos a una circunferencia que más fácilmente
se dibUjan son’
1) Exágonos regulares inscritos que se obtienen señalando 6 puntos sobre
la circunferencia a una distancia uno del otro de un radio, uniéndolos
consecutivamente
2) Exágonos regulares circunscritos que se obtienen señalando los 6
puntos de igual forma que en el caso anterior trazando después Jos radios en
dichos puntos y por último las tangentes en dichos puntos
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3) Trióngulos equiláteros inscritos que se obtienen dividiendo la circunferencia
como en el exágono inscrito y uniendo los puntos alternativamente
4) Triángulos equiláteros circunscritos que se obtienen señalando los tres
puntos de igual manera que en el caso anterior y después trazando las tangentes
a la circunferencia en dichos puntos.
5) Cuadrados inscritos se obtienen trazando dos diámetros perpendiculares
en la circunferencia, determinando así los cuatro vértices del cuadrado.
6) Cuadrados circunscritos se obtienen señalando los cuatro puntos como
en el caso anterior y trazando las tangentes en dichos puntos.
LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA. Observa esta figura en la que
el cuadrado es circunscrito a la circunferencia y el exágono está inscrito en la
circunferencia
y sea I el lado del cuadrado, r el radio de la circunferencia y l’ el lado del
exágono.
El perímetro del cuadrado es’ P – 41 – 4d
El perímetro del exágono es: P’ = 61′ = 6r = 3d
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La circunferencia está inscrita al cuadrado y circunscrita al exágono, por
tanto
Petímetro exágono < Longitud circunferencia < Perímetro (_uadrado P' < L < P 3d r = v32 – 4 “12 2 2
L – 21fT – 21!H Y2l – 8..J2 1f cm
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6. Hallar el área de una corona circular cuyas circunferencias tienen por suma
de radios 1 70 cm y por diferencia 30 cm_
Solución
A – 1I”(R2 – r2) _ 1!”(R + r) (R – r) _ ‘Ir 170 30 – 510011″ cm2
7. A un círculo de diámetro 12 cm se le recorta una corona circular de área la
mitad del área del círculo completo. ¿Qué anchura tiene la corona círcular?
Solución
Area círculo
~ Area ‘”” 1811″ “” 1IT2 =- r2 _ 18 =- r2
“” 18 =- r 3″;2
El ancho de la corona circular es: R – r = 6 – 3-../2 cm.
8. El área de una corona es de 14 m2: si el radio de la circunferencia mayor
mide 4 m ¿qué longitud tendrá el radio de la circunferencia menor?
Solución
Si R ‘” 4 =- 11″(16 – r2) = 14 =- 16 – r2

14
14 =- r -= 3,4 cm
9. A un cuadrado cuyo perímetro mide 24 cm se le inscribe una circunferencia
y se le circunscribe otra. Calcular los radios y el área de la corona circular formada
Solución
P – 24 – 41=-1 – 6cm
1
r – radio de la circunferencia inscrita – “” 3 cm
2
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. I
I
I
B
Area triángulo ABe … cl~R:””;+7R~)~R~ … ~ Area cuadrado
2 2
2R· R … -,!, JI … 2..62
2 2 2
lB ~ R’ – l B – R – .JIlí
10. Hallar el área del sector circular cuya cuerda es el lado del exágono siendo
el rodlo de la circunferencia 12 cm .
Solucl6n
Se trata de un sector cIrcular de amplitud 600
.,.’ Area del sector'” 360 x60 – r x 121
360
x 60 … 2411″ cmZ
11 . Duelo WI triángulo equ” 6cero de 6 cm de lado hollar el área de uno de los
sectores determinados por lo circunferencia circunscrito y por los radios que paso”
por 10$ uértices_
Soluci6n
Se trata de un sector circular de amplitud 1200 en una clrcunferencia de 6 cm
de radio.
A ~ lrf2
360 x n –
• 6′
360
x 120 … 12 .. cml
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12. Un Jardín de forma triangular tiene 90 m de base y 40 m de altura, pero
hay un estanque circular que mide 20 m de diámetro. ¿Cuál es el área cultiuable?
Solución
Alea triángulo – -b x2 a- – 90 x2 40 “” 1.800 m2
Atea estanque :t n 2 _ 10011″ mZ
Atea cultivable – 1.800 – 10011″ : 1.486 m2
13. Una mesa está formada por un rect6ngulo de 1, 70 m de largo por 0,80 m
de ancho y dos semicírculos que se prolongan en el sentido de /0 longitud, leniendo
por diámetro lo anchura de /o meso. ¿Cuál es el áreo de la mesa? ¿Cuál es su perr
metro?
Solución
Area – Area rectángulo + Area círculo = (0,80 x 1,70) +
+ 11″ . 0 .402 _ 1,36 + 0,1611″ m2
Perímetro – 2 x l , 70 + 2’11” . 0.40 – 3,4 + 0,8’11” m
14. En uno circunferencia de 8 dm de radio se trazo uno cuerda de 8 dm de
longitud. Calcular el área del segmento menor
(Area del triángulo equilátero = 1
2 ~ )
Solución
Al ser los tres lados iguales eIITl.’inguk> es equilátero
y el sedor es de amplitud 600
Area segmento clH;ular – Area sector circular – Alea triángulo
— — x n –
360
-32- ,
3
l’ ,¡~
-4-
_ ~ x 60 _ S2.J3
36ü 4
16 ~ – 16 (~ “lf – …[j ) cm!
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15. ¿Qué ocupa la mayor parte del cuadrado de la figura, el círculo grande o
los cuatro círculos pequeños?
Solución
Sea a el lado del cuadrado
– El círculo grande ocupa A _ 11″
-Los 4 círculos pequeños ocupan
Ocupan la misma superficie
a’ 4r–
16
“a ‘ (2 – 4
ra’
4
16. Determinar el 6rea de la zona sombreada de la figura. conocido el lado del
cuadrado I = 4 cm
Soluci6n
Area cuadrado””, 12
– 42 ‘” 16 cm2
Area círculo – :n2 – T 22 – 41(‘ cm2
Parte rayada”” 2(Area cuadrado – Area círculo) “” 2(16 – 4n-} cm2
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17. En la figura adjunta hay 5 circunferencias tangentes con centro en la mis·
ma recta, sIendo las pequeñas Iguales )J de radio 2 cm
l’ Probar que la circunferencia mayor es igual a la suma de las cuatro imeno’
“” 2) (.Qué superficie ei>t6 comprendida entre la exterior y las cuatro ínteriores’)
Solución
1) Sea Li la longitud de la circunferenda pequeña y L la longitud de la mayor
L’ – 211T ‘ – 411″ cm
L “” 211T .. 211″ ‘ 8 16’1″ cm
L – 4 L ‘ pues 1611′ ‘” 4(4’1″)
s – 4$’ – 64r – 16’1″ _ 48’1″ cml
18. En la figura hay 3 semIcircunferencias con centro en la recta AB, sabiendo
que los radios de las dos menores son 4 cm y 8 cm.
Se pide:
1} Probar que el camino ACB y el ADFEB son iguales
2) ¿Cudl es el drea comprendida entre las tres semicircunferencias?
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e
D
A .+. F++-‘
Solución
1) Camino ACB “” L – 1IT “” 121[” cm
Camino ADF – L1 “” ni “‘” 811″ cm
Camino FES “‘” L2 – 1IT2 = 411″ cm
Se cumple
2) ATea S – !1r 122 = 7211: cm2
ATea SI” 1-11″ 82 =- 321rcm2
ATea S) – -t1l” -42 – 811″ cm2
E
Area encerrada – 721f + 3211″ – 811″ = 961!’ cm2
B
19. Calcular el área de un sector circular de 14 m de radio equi[)alente a un
cuadrado cuyo lado es igual a la longitud del arco de aquél.
Soluci6n
ATea sector .:> ,.,’ 1[” 142
x n – x n
360 360
ATea cuadrado … )2 _ (‘ -2-,.,- x n )’
. 360
Como ATea sector .. Area cuadrado
11″‘ 142
360
x n ~
211″ 14
360
n –
360
4r
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de donde
Area sector
20. Un orco gótico está fomlOdo por dos arcos de circunferencia unidos, cada
uno de ellos es igual a la sexta porte de la circunferencia El centro de cada una de
e llas está en el extremo opuesto de la anchura del arco, es decir los dos radios son
iguales a la onchura del arco . Hallar el área de un arco gótico de 6 m de radio
Solución
Area arco gótico
( Area triángulo = /2..f3 )
. 4 •
2 Area sector – Area triángulo
– 2 n’
360
x60 _ 11 .J3_
4
2
w62
x60
360
6″J3
– ~ – 12. – 9,/3 –