ESTUDIO DE POLIGONOS y AREAS PROBLEMAS RESUELTOS PARA PROFESORES PDF

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Triángulos Clasificación y construcción , Elementos notables de un triángulo,CuadriláterosClasificación y construcción , otros polígonos Construcción, Medidas de superficie, Areas de figuras planas, EJERCICIOS RESUELTOS

1. Triángulos . Clas lficaci6 n. Construcción.
TRIANGULOS. Son los polrgonos que Ifenen tres lados
En un triángulo distinguimos:
– Vértice es el punto de in tersección de cada dos lados del triángulo . Se
sei\ala con letras mayúsculas: A. B, C.
-Angula es la parte del plano comprendida entre cada dos lados que se
prolongan . Se señala con la misma letra del vértice con un angulita encima”
Á,S, e:
– Lado es cada segmento del triángulo Se señala con la misma letra
que su vértice opuesto pero utilizando letras minúsculas: a , b. e ,
-Perímp,tro es la suma de los lados del triángulo: P – a + b + c_
C 4-…… ____ ….L_~ B

L
ABe
Los trIángulos se nombran utilizando las letras de los vértlces_ Se pone
una a continuación de la otra y encima un triángulito.
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Ld propiedad triangular dice
1) En todo triángulo un lado es menor que la suma de los otros dos
a < b + C b < a + c c < a + b 2) En todo triángulo un lado es mayor que la diferencia de los otros dos a > b – c b > a – c c > a – b
Ejemplo 1 Un triángulo tiene de lados 4,6 y 8, comprobar que se
cumple la propiedad triangular
8 > 6 4
8 < 6 + 4 4> 8 6
4 < 8 + 6 6 > 8 4
6 < 8 + 4 CLASIFICACION. Los triángulos se clasifican atendiendo a sus lados y atendiendo a sus ángulos a) Según sus lados pueden ser: - Triángulos equiláteros son los que tienen sus tres lados iguales - Triángulos is6sceles son los que tienen dos lados iguales - Triángulos escalenos son los que no tienen ningún lado iguaL A&-____ :\, A&-__ ~C A&-______ ~C \!quilál\!ro Un triángulo equilátero tiene sus tres ángulos iguales. Un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales. Un triángulo escaleno no tiene ningún ángulo igual escaleno Los triángulos equiláteros tienen tres ejes de simetr'ía y los triángulos isósceles uno. Los triángulos escalenos no tienen eje de simetría. b) Según sus ángulos pueden ser - Triángulos rectángulos son los que tienen un ángulo recto www.Matematica1.com - Triángulos acut6ngulos son los que tienen tres ángulos agudos . - Tri6ngufos obtus6ngulos son 105 que tienen un ángulo obtuso. e e A ..... -----~B A 8 A 8 rectlÍngulo IICUl6ngulo oolusángulo Un triángulo rectángulo puede ser isósceles o escaleno pero nunca equI látero. Un triángulo acutángulo puede ser equilátero, isósceles o escaleno . Un triángulo obtusángulo puede ser isósceles o escaleno pero nunca equilátero Los lados que forman el ángulo recto en un triángulo rectángulo se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa CONSTRUCCION, CASOS PARTICULARES al Triángulo equi/6tero: Con regla y compás, con escuadra y cartabón. sobre la circunferencia o con el plegado son las formas más frecuentes de construirlo I I I I / / / / b) Tri6ngulo isósceles: Con regla y compás, pinchando en los dos extremos del lado desigual y con igual abertura, donde se corten , es el tercer vér tice . Trazando la medlatriz del lado deSigual, cualquier punto de la mecllatrlz unido con los extremos del lado forman un triángulo Isósceles. www.Matematica1.com e) Triángulos rectángulos: Con la escuadra y el cartabón se construyen los lados del ángulo recto y llevando la medida de los catetos se delimitan los dos vértices restantes. CONSTRUCCION EN GENERAL. La construcción de un triángulo se puede realizar. a) Conocidos los tres lados. b) Conocidos dos lados y un ángulo. e) Conocidos dos ángulos y un lado. a) Construcción de un triángulo conocidos sus lados: Se realiza de la sIguiente forma 1) Con la regla se traza uno de los segmentos dados. 2) Con el compás medimos otro de los segmentos dados y pinchando en uno de los extremos del segmento trazado, dibujas un arco de circunferencia, 3) Con el compás medimos el otro segmento y trazamos un arco de circunferencia tomando como centro el otro extremo del segmento. 4) Los dos arcos de circunferencia se cortan en un punto que es el tercer vértice del triángulo 5) Se une este punto con los extremos del primer segmento y queda construido el triángulo. Ejemplo 2, Construir el triángulo de lados conocidos , b , b) Construcción de un triángulo conocidos dos lados y un ángulo: 1) Con la regla se traza uno de los segmentos dados. 2) Se traza el ángulo dado tomando como uno de sus lados el dibujado con la regla. 3) Con el compás pinchando en el vértice del ángulo se señala en el lado recién trazado la medida del otro segmento conocido, obteniendo así el tercer vértice del triángulo. 4) Se une el punto trazado con el otro extremo obteniendo el triángulo. www.Matematica1.com Ejemplo 3. Construir un triángulo conocidos dos lados y un án" gula. , , e) Construcción de un tri6ngulo conocidos dos 6ngulos y un lodo ' 1) Se traza el segmento dado. 2) Tomando como vértice un extremo del segmento se traza un ángulo que tenga como lado el segmento dado . 3) Se traza el otro ángulo tomando como vértice el otro extremo del segmento y de lado el segmento dado . 4) Prolongando los lados de los ángulos construidos se cortan en un punto que es el tercer vértice . Ejemplo 4 Construir un triángulo conocidos dos ángulos y ",lIado comprendido. 2. Elementos notables de un triángulo Dado un triángulo ABe, el lado sobre el que se apoya se llama base . Cambiando la posición del triángulo se pueden o btener tres bases distintas según que se apoye en el lado a, en el lado b o en el lado c . Como elementos notables de un lTiángulo consideramos' alturas, media· nas. media/rIces y bisectrices. www.Matematica1.com ALTURAS de un trIángulo son los segmentos de perpendicular trazados por el vértice al Iado opuesto. Todo triángulo tiene tres alturas B A ~----~ ___ ~ ___ ~~ C F b Cada segmento AE, BF ó CG recibe el nombre de altura correspondiente a la base a, b 6 c respectivamente . Se cortan en el punto O que es interior Las alturas de este triángulo M 6 MNP H ~o-------------~ N I I I / I / I I : / ,r / I ........ .". . .--' E t / son MH, PJ Y NI que prolongadas se cortan en el punto E que es exterior. Las tres alturas de un triángulo o sus prolongaciones se cortan en un punto llamado ortocen',o. El ortocenlro puede ser un punto interior al triángulo (triángulos acutángulas), exterior (triángulos obtusángulos) o estar situados en el borde (en el vértice del ángulo recto cuando el triángulo es rectángulo), www.Matematica1.com MEDIANAS de un tr/6ngulo son los segmentos que unen cada vértice con el punto medio del lado o puesto. Todo triángulo tiene tres medianas . B R p A ""'-_ -,-__ ---": ___ _ -""0 e b Q Cada segmenlo AP. BQ 6 CR recibe el nombre de mediana correspondiente a la base a, b ó c respectivamente . Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado barrcentro (centro de gravedad) . El punto F es el baricentro del triángulo ABe. El baricentro es siempre un punto interior al triángulo y tiene la propiedad de que a cada mediana la divide en dos partes, la mayor son los 2 /3 de la mediana y la menor es ta tercera parte de la mediana La mayor es la comprendida entre el vértice y el baricentro Si se unen los puntos medios de cada lado de un triángulo resulta el triángulo descompuesto en cuatro fTiánguJos iguales. B Rk-____ ~p A L-----~----~ c Q MEOIATR1CES de un tri6ngulo son las rectas perpendiculares o cada Io do frazadas por su punto medio. Todo triángulo tiene tres mediatrices. www.Matematica1.com B La perpendicular al lado a que pase por P es su mediatriz, la perpendicular al lado b que pase por Q es su mediatriz y la perpendicular al lado e que pasa por R es su mediatriz Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro. Hay triángulos en los que el circuncentro es un punto interior, en otros pertenece a un lado y en otros es exterior. El circuncentro tiene la particularidad de que si pinchamos en él con un compás y ponemos el otro extremo en un vértice del triángulo y dibujas una circunferencia verás que pasa por los tres vértices del triángulo dado La circunferencia está circunscrita al triángulo A~ __ ~ B Esto nos permite poder dibujar la circunferencia que pasa por tres puntos, para ello basta con trazar las mediatrices de dos segmentos que resulten de unir dos puntos consecutivos. Las dos mediatrices se cortarán en un punto que es e[ centro de la circunferencia y el radio será la distancia del centro a uno de [os puntos dados www.Matematica1.com Por tres puntos no alineados pasa una y s6/0 una circunferencia. El centro O es únIco , ya que por equidistar de los tres puntos debe de eslar en las tres mediarrices coincidiendo con su única intersecci6n . Si los tres puntos A , B y C estuvieran alineados. 1;'5 medialrices serían paralelas y no se cortarían . no habiendo centro de la circunferencia . Eslo nos permite decir que "una circunferencia no puede tener tres puntos alineados » . BISECTRICES, son las semirrectas que diuiden cada 6ngu/o del tri6ngu· /0 en dos ángulos Igua/es. Todo triángulo tiene tres bisectrices. B \ R T ;.~. __ ./' ~ ............... A ~ _____ ~ _______ ~~ c - S La semirrecta que pasa por AR es la bisectriz de Á. la que pasa por SS es la bisectriz de é y la que pasa por CT es la bisectriz de C. Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto interior llamado ¡ncentro . El ¡ncentro tiene la propiedad de que es el centro de la circunferencia inSCrita al triángulo. ------ Los puntos de tangencia de la circunferencia y )05 lados del triángulo unidos con el ¡ncentro miden lo mismo, son radios de la circunferenci;, inscrita siendo perpendiculares a los lados del triángulo . www.Matematica1.com RESUMEN a} En los tnángulos equiláteros el ortocentro , baricentro, clrcuncenlro e ¡ncentro coinciden en un mismo punto que es interior al triángulo . b) En los triángulos isósceles el baricentro, ortocentro, circuncentro e ¡ncentro son puntos interiores al triángulo pero no coincidentes. el En los tri6ngulos escalenos el barícentro y el ¡n centro siempre son puntos intenores. El ortocen!ro y el circuncen!ro pueden ser puntos interiores, exteriores o estar en algún lado d) En los triángulos acutángulos el orlocentro , barícentro. d rcuncenrro e lncentro son puntos interiores . e.) En los triángulos rect6ngu/os el baricentro es el vértice del ángulo recto El circuncentro es el punto medio de la hipotenusa. Ejemplo Dibujar un Iríángulo reclángulo isósceles sabiendo que su hipotenusa mide 10 cm. Sabemos que el circuncentro está en el punto medio de la hipotenusa y que es isósceles, luego basta con construir una circunferencia de radio la mItad de la hipotenusa. El vértice del Angula recto se encuentra en el extremo del radio perpendicular al diámetro (hipotenusa) A e 1"-----4--~ B 3. Cuadriláteros. Clasificacl6n. Construccl6n CUADRILATEROS Son los polígonos que tienen cuatro lados. o A e D www.Matematica1.com Los cuadriláteros tienen cuatro vértices, cuatro ángulos y cuatro lados La suma de los ángulos de un cuadrilátero es 360° . Los cuadriláteros tienen dos diagonales Los cuadriláteros tienen dos pales de lados_ CLASIFICACION. En los cuadriláteros puede suceder al Que los dos pares de lados sean paralelos, llamándose a estos cuadriláteros paralelogramos , Los paralelogramos son: cuadrados, rectángulos, rombos y romboides. cu3drado rect6ng,.lo rombo romboide Los cuadrados tienen los cuatro lados iguales. los ángulos rectos y sus dos diagonales iguales y perpendiculares. Los rect6ngulos tienen los ángulos rectos pero sus cuatro lados no son iguales Sus dos diagonales son iguales pero no perpendiculares. Los rombos tienen cuatro lados iguales y los ángulos desiguales Sus dos diagonales son perpendiculares y desiguales. Los romboides no tienen iguales ni sus lados ni sus ángulos. Sus diagonales no son perpendiculares ni [guales. Paralelogramos son los cuadriláteros que tienen sus dos pares de lados paralelos E}~mplo 1 Un rombo tiene de perímetro 20 cm ¿Cuánto miden sus lados? Su.'; lados como son IguaJes P - 4J ... 20-4 [;>[ -5cm
b) Que s6/0 tengan un par de lados paralelos llamándose a estos cuadriláteros
trapecios.
Los trapecios son: Irapeéio rectángulo , trapecio isósceles y trapecio escaleno.
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les,
trapecio Is6sceles trbpecio rectángulo tnl.pecio escaleno
Trapecio rectángulo es el trapecio con dos ángulos rectos.
Trapecio isósceles es el trapecio con los dos lados no paralelos Iguales.
Trapecio escaleno es el trapecio con los dos lados no paralelos desigua-
Trapecios son los cuadriláteros que sólo tienen un par de lados paralelos
Ejemplo 2 En un triángulo equilátero de 10 cm de lado se unen
los punlos medios de dos de sus caras, quedando la figura descompuesta
en un tr¡ánguk> menor y un trapecio. ¿Culinto miden los lados
del trapecio resultante?
Completamos la figura . por lo que del trapecio
isósceles obtenido la base menor mide 5 cm .. la
base mayor 10 cm y los dos lados iguales no paralelos
5 cm
el Que no tengan ningún par de lados paralelos llamándose a éstos cuadriláteros
tropetoides.
lIaperoide
CONSTRUCCION
al Cuadrado. Con regla , escuadra y cartabón : con regla y compás o simplemente
con escuadra y cartabón puedes construir un cuadrado.
– Con regla, escuadra y cartabón se dibuja el segmento. de medida conocida.
Después colocando la regla o el cartabón sobre el segmento se hace
coincidir la escuadra de tal modo que forme ángulo recto y se traza una sewww.
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mirrecta. De igual forma se hace con el otro extremo del segmento. La medida
del lado se lleva sobre estas dos semirrectas y por último se unen los
puntos señalados
o o o
También se puede hacer señalando ese primer punto y una vez que está,
se traza la paralela al segmento dado y, por último, por el segundo extremo
del segmento se traza la perpendicular que corta a la recta anterior obteniéndose
así el cuarto vértice,
Si en lugar de conocer la medida de! lado se conoce la medida de la diagonal,
basta con dibujar una diagonal, trazar su mediatriz y ahí señalamos la
medida de la diagonal Por último se unen los extremos de las diagonales
obteniendo el cuadrado
– Con escuadra y cartabón teniendo la medida del lado se dibuja éste y
por cada extremo trazas la perpendicular. Por último, se coloca uno de los
lados Iguales del cartabón hadendo coinddir el extremo con el vértice y trazamos
una simirrecta que será la diagonal, cortando a la perpendIcular
opuesta, Lo mismo se hace colocando en el otro extremo y uniendo los
puntos seftalados
– Con regla y compás conocida la diagonal se traza una circunferencia
con centro el punto medio y que pase por los extremos La medlatnz de este
segmento corta a la circunferencia en dos puntos que son los dos vértice,s
que faltan
b) Rectángulo’ Con regla, escuadra y cartabón se puede realizar el dibujo
siguiendo indicaciones análogas que para el cuadrado
el Rombo Con regla, escuadra y cartabón conocidas las diagonales se
construye como en el caso anterior del cuadrado
d) Romboide Con regla, escuadra y cartabón teniendo presente que
son dos pares de rectas paralelas las que al cortarse forman un romboide
4. Otros polígonos. Construcción
OTROS POLlGONOS. Cuando los polígonos tienen todos sus lados y
todos sus ángulos iguales se dice que son regulares, en caso contrario se !laman
irregulares.
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Según el número de lados los polígonos reciben nombre especial: Pentá·
ganas, Exágonos, Heptágonos, Octógonos, Eneágonos, Decágonos, etc. se·
gún tengan 5, 6, 7, 8, 9, 10 lados.
Cuando los polígonos son regulares todos los ángulos miden lo mismo.
Cada ángulo del triángulo equilátero mide 60°, del cuadrado 90°, del peno
tágono 108″, del exágono 120″, etc.
CONSTRUCCION La construcción de algunos polígonos regulares re·
sulta sencilla con la ayuda del compás. Estos polígonos regulares son el
triángulo, cuadrado, exágono y octógono
Para ello basta dibujar una circunferencia y pinchando en la circunferencia
con la misma abertura señalamos un punto sobre la circunferencia y volviendo
a pinchar en el punto señalado trazamos otra señal y así sucesivamente
se obtienen seis señales. Uniéndolas consecutivamente se obtiene un
exágono regular y uniéndolas alternativamente un triángulo equilátero.
,
I
\ )
~—~
Para construir un cuadrado y un octógono se traza una circunferencia y
dos diámetros perpendiculares Uniendo los cuatro puntos sobre la circunferencia
de forma consecutiva se obtiene un cuadrado. Trazando otros dos diámetros
perpendiculares que formen con los anteriores 45° se obtienen otros
cuatro puntos sobre la circunferencia. Al unir los ocho puntos de forma consecutiva
se obtiene lin octógono.
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TambIén se pueden construir polfgonos regulares con ayuda de la regla y
del semicírculo graduado conoddos la amplitud del ángulo y la medida del
lado.
Ejemplo . Constru ir un polfgono regular de 12 lados
5. Medidas de supemcie
Se dibuja una d rcunferencid y
se mdrcan los seis puntos sobre ella
con amplitud del compás igual di
radJo . Después determin 6 – 4
4 < 9 + 6 4> 9 – 6
6 < 9 + 4 6>9-4
2) No es pOSible porque
3) No es posible porque
10>5+3
8 – 5 + :3
2. Demostrar que las tres alturas de un triángulo equilátero lo dividen en 6
triángulos iguaJes
Solución
En un triángulo equilátero las alturas, medianas, bisectrices y mediatrices coin ..
ciden
A= __ ‘-_–“B
Se forman inicialmente tres triángulos iguales
le. D. 6.
AOC ~ AOB ~ BOC
Después cada triángulo se divide en dos iguales_ Por tanto, queda descompuesto
el triángulo equilátero en 6 triángulos iguales.
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3. De un trapecio rectángulo ASCO. sabemos que A. = ti, D
AV mide 8 m, la bose Be mide 50 dm Calculor su área
(Oposici6n E G B , 1980)
SoI ud6n
Dibujamos el trapecio
B r————-~
A L———–~——~
Á + fi …. 1800 luego t + D – 180~ y
Se fOfma el lriánguJo recl.’ingulo isósceles CMD, luego
Area –
B + b —z
h – 3 – MD
x h –
8 + 5
2
x 3 … 19,5mz
1 –
= 3″ C. la base
4. Se cambian dos terrenos equiualentes , el primero es un cuadrado de 200 m
de perímetro y el segundo es un triángulo de 80 m de base ¿Cuál es su altura?
Solucfón
A –
b x h
2
80 x h
2
Corno son terrenos equivalentes tienen igual área
A _ Il=5QZ … 2500. 80xh .h
2
– 62,5 m
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5. Calcular las dimensiones de un rectángulo de 32 m de perímetro y 63 m2 de
superficie
Solución
de donde
P – 2b+2a,=,,32
A ~ ba – 63
a + b – 16 1
ba “” 63 a –
63
b
63 + b _ 16 => 63 + b2 = 16b => b2 – 16b + 63 _ O => b
b
Los lados del rectángulo son 9 m y 7 m
6. ¿Cuántas baldosas de forma cuadrada son necesarias para embaldosar una
habitación de 16 m de largo por 12 m de ancho, sabiendo que las baldosas son de
0,40 x 0,40 m2.:>
Solución
ATea del rectángulo’ A = 16 x 12 “” 192 m2
ATea de una baldosa A’ – 0,40 x 0,40 _ 0,16 m2
N ° de baldosas “= ~ _ 192 = 1.200
A’ 0,16
7. Hallar el área de un trapecio isósceles que tiene 16 m de altura y .I80 m de
perímetro, sabiendo que la diferencia entre las bases es 24 m y uno de los lados
iguales mide 20 m
Solución
P=B+b+21 como B – b+24
180 = 2b + 24 + 40 => b =- 58
A – B + b
2
xh= (58 + 24) + 58 x 16 = 1 120 m2
2
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8. Un campo tiene forma cuadrada y queremos hallar su lado sabiendo que su·
mando 2 dam a un lado y restando 1 hm a otro resulta un rectángulo cuya superficie
es 88 ha.
Solución
El rectángulo tiene de lados (! + 2) Y (1 – 10)
A – (1 + 2) (1 – lO) ~ 8800
]2 + 21 – 101 – 20 = 8800
]2 – 81 – 8820 .” I .. 98 Y I = -90
El lado del cuadrado es 1 = 98 dam
9. Calcular el área de un rectángulo de 160 cm de perímetrv y cuya base es tres
ueces mayor que la altura.
Solución
luego.
P = 2b + 2a – 160
b – 3a
6a + 2a = 160 ‘” a “” 20 Y b “” 60
A = b x a – 60 x 20 – l200cm2
10. El área de un triángulo es 125 cm2 La semisuma de un lado y su altura res ·
pectiva es 27.5 cm Hallar el valor del lado y su altura
Solución
A = ~ ,. 125
b:h _275
}
2 .
b+h .. 551
bxh _ 250
b ~ 250
h
_25_0 + h = 55 => h2 – 55h + 250 = O => h – 50yh “” 5
h
Base – 50 m y altura – 5 m o bien Base – 5 m y altura – 50 m
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11. La siguiente figura es un rect6ngulo ABCD de lodos 12 m y 8 m E. F, G y H
son los puntos medios de los lados del rec/6ngulo J,I MNPQ es un rombo de diagonales
9my6m
E
A í – — —:-“‘~. ~-..;:– – – —I B
I I
I I
I F
I
I
—- —J C
G
Calcular
1) AreodeJ romboMNPQ
2) Area del rombo EFGH
3) Area de los cuatro trIángulos de Jas esquinas
Solución
9 x b
11 ATea del rombo MNPQ – – -2- = 27 ml
12 x 8 21 ATea del rombo EFGH – – -2- – 48 m2
3) Area de\triángulo AEH – ~ – 12 m2
2
ATea 4 triángulos exterIores 12 x 4 – 48 ml = ATea rombo EFGH
12. Calcular el área de la siguiente figura irregular (medidos en dm).
2
lO
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Solución
Descomponemos la figura de la siguiente forma
4 x 5
2
L~}2~
13 ® I 4
6
+ 2 x 12 + (12
2
8
x 3)
12
10
(5) 5
10
8 x 2
+ –2- + (10 x 5) + 3 X
2
10 +
– 155 dm2
6 x H
2