ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS PROBLEMAS RESUELTOS PARA PROFESORES PDF

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Leyes de composición ,Estructuras de Semigrupo y de Grupo, Propiedades fundamentales de la estructura de Grupo , Subgrupo y consecuencias, Estructuras de Semianillo y de Anillo , Propiedades fundamentales
de la estructura de Anillo, Estructura de Cuerpo, Propiedades fundamentales de la estructura de Cuerpo, Subanillo y Subcuerpo , Dominios de Integridad, Ideales, Homomorfismos y propiedades,-EJERCicios RESUELTOS

1. Leyes de composición
NOCION DE ESTRUCTURA. El estudio de una estructura puede hacer,
se de manera abstracta dejando indeterminada la naturaleza de sus elementos
o también dar realidad a esta estructura por medIo de elementos que
aparecen como concretos (números, vectores, etc .).
Dotar a un conjunto de una o varias leyes de composición es conferirle
uno estructura. Una estructura queda conferido por los axiomas establecidos
entre los elementos de un conjunto.
Las estructuras pueden ser de orden, topol6gicas y algebraicas .
LEY DE COMPOSICION. Dados tres conjuntos A, B y e, llamamos ley
de composición u operación a toda aplicación de A X B en C.
Esta aplicación hace corresponder a todo par (a, b) E A x B un elemento
e E C .
A x B
(a, b)
C
–c
las leyes de composición se representan por signos tales como
o.LT b,.\l
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También se pueden representar operaciones propias como
+ x n u pat.
Ejemplo 1 La multiplicación definida en el conjunto N de los nú”
meros naturales se establece asÍ’
N x N N
(a, b) a x b
13, S) 3 x 5 15,
12,8) 2 x 8 16
Aquí A – B – e – N.
Ejemplo 2. Siendo N – números naturales, Z – números enteros y
Q ~ números racionales, se define la operación _potenciación» mediante
la aplicación
N x Z Q
(a, b) ab
A cada par (a, b) con a E N y b E Z corresponde la potencia ab E Q
SI a – 2 Y b 1 = -3 ~ ab = 2-J = – E Q
8
NxZ—Q
12, -3)–
1
8
LEY DE COMPOSICION INTERNA u operación interna en un conjunto
A es toda aplicación de A x A en A
A x A –A
la, b)–c
A todo par (a, b) E A x A le corresponde otro elemento c E A
Ejemplo 3. La suma definida en el conjunto N de los números naturales
N x N
la, b)
13, S)
12,8)
N =a+b
3 + 5
2 + 8
8
10
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Ejemplo 4 La intersecclón es una ley de composición Interna definida
en el conjunto de las partes de X, 1′(X)
!) IX) x “IX) :t IX)
lA. B)–An B
A cada par (A. Bl E :#(XI x ,1′(X)
A n B que es otro elemento de .Jj (X)
se asocia Su Intersección
LEY DE COMPOSICION EXTERNA u operación externa definida en un
conjunto A es toda aplicación
A x B – -A
El conJunto B recibe el nombre de .. dominio de operadores.
A todo par (a . b) E A x 8 le corresponde otro elemento e E A.
Ejemplo 5 El producto de un número natural por un segmento es
una ley de composición externa porque a un par formado por un segmento
y un número natural asocia otro segmento
Sx N—S
___(i Ix. 22) — _2.1 __ _
• 2 •
N es el dominio de operadores
2. Estructuras de Semigrupo y de Grupo
ESTRUCTURA DE SEMIGRUPO. Dado un conjunto e y una ley de
composición • decimos que tiene estructura de semigrupo si \lerlfica las pro
piedades
1 Ley de composición interna u operación interna
c x C –c
la. b) a • b
‘ti a . b E e – a • b E e
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2, Propiedad asociativa_ ‘ti a, b, c E C
la • bl • e – a • lb • el
Se emplea la notaci6n (C, .) encerrando en un paréntesis el conjunto y
la operación definida entre sus elementos diciendo que se trata de un semigrupo.
Ejemplo 1 El conjunto N de los números naturales respecto a la
operación suma tiene estructura de semigrupo por cumplir
1) Ley de composición interna N x N –(
a, b)
N
a + b
La suma de dos números naturales siempre es otro número natural
2) Propiedad asociativa: ‘ti a, b, c E N
(a + b) + C = a + (b + el
(N, +) es un semigrupo
Ejemplo 2. El conjunto N de los números naturales y la operación
de multiplicar tiene estructura de semigrupo por cumplir
1) Ley de composición interna N x N –_
¡a, b) —
N
a X b
El producto de dos números naturales siempre es otro número natural
2) Propiedad asociiltivil. v 0, b, c E N
(a x b) x c – ” x {b x el
(N, x) es un semigrupo_
ESTRUCTURA DE SEMIGRUPO CON ELEMENTO NEUTRO, Dado
un conjunto e y una ley de composición • decimos que tiene estructura de
semigrupo con elemento neutro si además de las propiedades de la estructura
de semigrupo verifica la propiedad:
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3) Elemento neutro. Se dice que un elemento e E C es neutro respecto
de la operación • si
vaEC3eEC!a o e=e o a=a
Ejemplo 3 El conjunto Z de los números enteros y la operaci6n suma
tiene estructura de semigrupo con elemento neutro por cumplir ‘
1) Ley de composici6n interna: Z x Z –la,
b) —
Z
a + b
La suma de dos números enteros siempre es otro número entero
2) Propiedad asociativa: ‘” a, b, e E Z
(a + b) + c – a + (b + e)
3) Elemento neutro: Es el O ya que'” a E Z a + O “” O + a a
Ejemplo 4. El conjunto Z de los números enteros y la operaci6n de
multiplicar tiene estructura de semigrupo con elemento neutro por
cumplir:
w.
1) Ley de composici6n interna Z x Z –la,
b)–
Z
a x b
El producto de dos números enteros siempre es otro número ente-
2) Propiedad asociativa: ‘” a, b, e E Z
(a x b) x e ‘”‘ a x (b x e)
3) Elemento neutrQ: Es el1 ya que'” a E Z a x 1 – 1 x a ~ a
ESTRUCTURA DE SEMIGRUPO CONMUTATIVO. Dado un conJunto
C y una ley de composición • decimos que tiene estructura de semigrupo
conmutatíuo si además de las propiedades de semigrupo verifica:
Propiedad conmutatiua: Va, b E e
Ejemplo 5. El conjunto de los números naturales respecto de la suma
es semigrupo conmutativo
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Ejemplo 6 El conjunto de los números enteros respecto de la suma
es semigrupo conmutativo
ESTRUCTURA DE SEMI GRUPO CON ELEMENTO NEUTRO Y CONMUTATIVO
Dado un conjunto C y una ley de composición· decimos que
tiene estructura de semigrupo con elemento neutro y conmutativo si cumple
las propiedades
1) Ley de composición inte.rna
2) Propiedad asociativa
3) Elemento neutro_
4) Propiedad conmutativa
Ejemplo 7 El conjunto de los números naturales respecto de la
multiplicaclón es un semigrupo con elemento neutro y conmutativo
Ejemplo 8 El conjunto de los números enteros respecto de la multiplicaCión
es un semlgTUpo con elemento neutro y conmutativo
ESTRUCTURA DE GRUPO. Dado un conjunto G y una operación •
decimos que el conjunto G respecto de esta operación, (G, .), tiene elOtructura
de grupo si cumple las siguientes propiedades:
1 Ley de composición interna u operación interna
GxG
la, bl
–G
a • b Va, bE G
2. Propiedad asociativa_ V a, b, c E G
la • bl • e – a • lb • el
3_ Elemento neutro. V a E G 3 e E G tal que
a • b E G
a • e – e • a – a (e = elemento neutro)
4 Elemento simétrico_ V a E G 3 a’ E G tal que
a • a’ = a’ • a – e (a’ = elemento simétrico de a)
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Ejemplo 9 El conjunto Z de los números enteros respecto de la
operación de sumar tiene estructura de grupo El elemento neutro es el
O y el simétrico de a es – a.
Ejemplo la. El conjunto Q de !os números racionales respecto de
la operadón de multiplicar tiene estructura de grupo El elemento neutro
es el 1 y el simétrico de a es 1 .’21
ESTRUCTURA DE GRUPO ABELIANO Dado un conjunto G y una
operación· decimos que el conjunto G, respecto de la operación’ tiene estructura
de grupo abelíano si posee las propiedades de grupo y además la
propIedad conmutativa Un grupo abellano también recibe el nombre de
grupo conmutativo
Ejemplo 11 El conjunto de 105 números enteros y la operaci6n de
sumar (2, + 1 es un grupo abehano
Ejemplo 12 El conjunto e
por la tabla
es grupo abeliano ya que
a
b
-a
b
[a, b, el y la operaCIón. definida
-La ley’ es interna al ser todos los elementos de la tabla elementos
de e
-Es asocIativa porque tomando tres elementos
(a • b) • e “” a (b· el
b • ca· a
a – a
-El elemento neutro es a porque operado con b 6 c da b 6 c.
-El simétrico de a es a, el de b es c y el de c es b
-Es conmutativa porque respecto de la diagonal principal cada elemento
tiene su simétrico
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3. Propiedades fundamentales de la estructura de Grupo
1 Todo grupo (G .• ) es no vacío En efecto , al menos existe el elemento
neutro e E G ya que en todo grupo existe el elemento neutro.
2 . El elemento neutro es único.
Supongamos que e y e’ son dos elementos neutros de (G, .) :
a) Considerando e ‘ como el neutro de (G , .) : e’ • e = e
b) Considerando e como el neutro de (G . • ): e ‘ • e – e ‘.
Como e’ . e = e • e ‘ := e = e’
El elemento neutro es único
3 , Todo elemento del grupo tiene un simétrico y éste es único .
Supongamos que aí y aí son dos sim~ tricos de a.
Por definición
a aí – aí • a – e
a aí=aí a=e
Operando a la Izquierda de la prImera igualdad con a;
a2 • (a • aí) – a2 • e – a2
(a; . a) • aí … e • aí …. aí
como la ley • es asociativa
aí • (a • a;) = (a; • al • aí
(1)
al ser el primer miembro de las igualdades (1) el mismo. tambi~n 10 será el
segundo miembro
aí = aí
El simétrico de un elemento a existe y es único .
Cuando la ley de composición es multiplicatIva el elemento sim¡’Hrico se
denomIna elemento inuerso y se escribe: a-l .
Cuando la ley de composición eS aditiva, por ejemplo (2, +). el elemento
simétrico se denomina elemento opuesto y se escribe: – a (siendo O el
elemento neutro) .
4 El simétrico del simétrico de un elemento es el propio elemento.
Sea a E G ‘3 a ‘ E Gla . a ‘ = a ‘ • a = e.
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Llamemos (a’)’ al sim~trico de a’, por tanto se cumple
(a ‘ )’ • a’ = a ‘ • (a’) ‘ = e
operando
[(a’)’ • a’] • a – e • a = a
(a’)’ • (a’ • al – (a’)’ • e – (a’)’
Por la propiedad asociativa
((a ‘)’ , a ‘ ) • a – (a ‘ )’ • la ‘ •• ,
a = (.’) ‘
El simétrico del sim~tri co de un elemento es el propio elemento .
Con la notación aditiva, por ejemplo, en (Z, +) se escribe:
– I – a) = •
5. Si a y b son dos elementos del grupo (G, .) y admiten simétricos. el
compuesto a • b también lo admite y viene dado por
(a • b) ‘ = b’ • a’
En efecto,
lb’ • a’) • la • b) b’ • la’ • a) • b = b’ • e • b – b ‘ • b – e
l • • b) • lb’ •• ‘) = a· (b· b’) • a’ = a· e • a ‘ – a • a’ = e
lo que demuestra que (a • b) admite simétrico y que ~sle es (b ‘ • a’ ).
Con la notación aditiva en (2, + l se escribe
– (x + y) – (- x) + (- y) – – x – y
6 Todos los elementos de un grupo son regulares.
Un elemento a de un grupo G es regular a la iz:quíerda si para cada dos
elementos b y e de G se verifica:
Si a·b-a·c-b-c (1)
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El elemento a es regular a la derecha si:
b-a -c -a-b=c (2)
Cuando no se especifica si es regular a la derecha o a la izquierda se entiende
que es regular en los dos sentidos
Para demostrar las expresiones (1) y (2) lo hacemos de la siguIente manera:
-Componemos por la izquierda con a’ los dos miembros de
y operamos
a’ • la • b) -a ‘ • la • e)
la’ • a) • b = la’ • a) • e
e • b = e • e
b – e
– Componemos por la derecha con a ‘ Jos dos miembros de
y operamos
(b – a) – a’ – (c • a) o a
b – (a – a ‘ ) – e (a – a ‘ )
b-e=coe
b – e
Se comprueba así que a es regular .
7. En un grupo, las ecuaciones a • x = b e y • a = b admIten cada
una solución única
En efecto, operando a la izquierda a’ en la Igualdad a . x – b
a ‘ . la • xl – a ‘ • b
la ‘ • a) • x = ::t ‘ b
e • x -a’ b
x =0′ b
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De la misma forma, operando a la derecha en la igualdad y • a = b
por a’
(y • a) • a’ ~ b • a’
y • (a • a’) ~ b • a’
y • e b • a
y ~ b • a’
Considerando el grupo aditivo (Z, +) las ecuaciones dadas y sus soluciones
son
a + x
y + a
b = x
b = y
(-a) + b
b + (-a)
b a
b – a
Considerando el grupo multiplicativo (Q, x) las ecuaciones dadas y sus
soluciones son
b a-lb b
ax ~ = x ~ ~
a
ya ~ b = y ~ ba-l ~ b
a
4. Subgrupo y consecuencias
SUBGRUPO Sea (G, .) un grupo y H un subconjunto no vacío de G
Se dice que (H, .) es un subgrupo de (G, .) si la operación’ definida en el
subconjunto H le confiere estructura de grupo.
1) Ley interna· Si a , b E H entonces a • b E H
2) Propiedad asociativa: a, b, e E H ~ (a. b) • e – a • (b. e)
3) Elemento neutro: V a E H 3 e E H la· e = e • a = 8.
4) Elemento simétrico: Va E H 3 a’ E Hla • a’ – a ‘ • a – e,
Ejemplo 1 El conjunto Q de Jos números racionales respecto de la
suma es grupo, (Q, +). El subconjunto Z de los números enteros respecto
de la suma es grupo, (2, +) por lo que (2, +) es un subgrupo
del grupo (Q, +).
La definición dada de subgrupo es equivalente a esta otra: Un subconjunto
no vacío H de un grupo (G, .) es subgrupo si y s6/0 si cumple
Va, b E H ~ a • b’ E H
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En efecto:
1) Como H es un subconjunto no vacío contiene al menos un elemento
a Si contiene a a también contiene el elemento neutro e porque
Va, a E H ~ a • a’ = e E H
El elemento neutro de G está en H.
2) Todo subgrupo que contiene un elemento a contiene también a su simétrico
a’ ya que
Ve, a E H ~ e • a’ = a’ EH
3) La operación • definida en G es una operación interna en H porque
Va, bE H ~ a • b E H
En efecto si a, b E H también a, b’ E H Y por hipótesis
a· (b’)’ E H y como (b’)’ – b resulta
a • b E H
Recíprocamente si un subconjunto H de G verifica estas tres propiedades
anteriores
-Va, b E H ~ a • b E H
-H contiene el elemento neutro e de G.
-Si a E H también a’ E H
H es un subgrupo de G
Por tanto estas tres propiedades son las que caracterizan a los subgrupos
Cuando se considere un subgrupo H de un grupo G supondremos que
es un grupo respecto a la ley definida en G
Hay dos subgrupos especiales que son H – {el y H = G llamados subgrupos
impropios. El resto de subgrupos de un grupo, si existen, se llaman
subgrupos propios
Si un grupo es abeliano sus subgrupos son abelianos.
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Ejemplo 2. Considerando el grupo (Z, +) un subgrupo es el conjunto
(32, + I formado por los múltiplos enteros de 3 respecio a la ope,
adón de sumar
‘1( 3a, 3b E 32 => (3a) + (-3b) – 3(a – b) E 3Z
INTERSECCION DE SUBGRUPOS. La intersecci6n de dos s’ubgrupos
de (G, .) es otro subgrupo de (G, ‘ ).
Sean Hl y Hz dos subgrupos del grupo G, la intersección H¡ n Hz es
también subgrupo de G.
Como hemos visto el elemento neutro e de G pertenece a todos los subgrupos
por lo tanto siempre H1 n H2 es no vacío ya que al menos contiene
el elemento neutro e de G.
Si a y b perte necen a HI y Hz también a y b pertenecen a H1 n Hz
SI a, b E H1 => a b’ E H1
Si a, b E Hz … 3 • b’ E Hz
Si 3. b E H¡ n Hz “” a • b’ E H¡ n Hz
Sí en lugar de dos subgrupos fueran n los subgrupos, la demostración es
análoga cumpliéndose que «la intersección de n subgrupos de un grupo G
es otro subgrupo de G».
Ejemplo 3. En el conjunto (2, x I se consideran los subgrupos
(22, x ) y (32, x ) formados por los enteros múltiplos de 2 y por los
enteros múltiplos de 3 respecto al producto.
La intersección 22 n 32 – 62 formada por los enteros múltiplos
de 6 respecto de la operación de multiplicar es otro subgrupo de 2.
El elemento neutro de Z, de 2Z, de 32 y de 62 es O
GENERADORES DE UN SUBGRUPO. Sea B un subconjunto del grupo
G, existen subgrupos de G que contienen a B, entre ellos está el propio G.
La Intersecci6n de todos estos subgrupos que contienen a B es un subgrupo
de G que además contiene a B. Este subgrupo intersección es el menor de
todos los subgrupos de G que contienen a B, diciéndose que este subgrupo
de G está generado por B.
El subconjunto B puede estar formado por un elemento, por dos elementos
o hasta ser el propio G. Cuando el subgrupo de G generado por un
subconjunto B de G es el propio G se dice que B es un conjunto de genera dores
de G.
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Cuando B es finito, G es un grupo de tipo finito o bien se dice que G es
un grupo generado finitamente .
Ejemplo 4. El grupo i’lditivo Z x Z es de tipo finito, admitiendo como
gen eradores los elementos
el .. (l . O) Y e2 (O. 11
siendo (1, O) Y (0 , 1) elementos de Z x Z
En efecto v (x1, xz) E Z x Z se puede expresar como
GRUPO ClCUCO. Se liorna grupo cíclico o todo grupo generado por un
sólo elemento
Sea G un grupo multiplicativo y a E G. Definimos a\ siendo n un número
entero, de la siguiente forma
Se comprueba fácilmente
a~ x a'” = a~·m
(a~)'” – a’ ….
SI n ~ 1
si n O
si n < O El conjunto de los a ~ (a fijo dado y n variable) constituye un subgrupo de G, pues es no vacío y si contiene a los elementos X - aP e y = aq también contiene a xy ' (y' = simétrico de y = a-') Un grupo (G .• ) se llama ere/ico si todo elemento x E G es de la forma x = a~ siendo a E G y n E Z. El elemento Q recibe el nombre de generador de G. Si el conjunto G se escribe aditivamente { a+a+ . ..;.. na = Q (-n)(-a) + a si n ~ 1 sin=Q 51 n < O www.Matematica1.com Se comprueba fácilmente (-nla - n(-al - (-al + (-al + ". + (-al ~ - (nal (na) + {mal - (n + mla n(ma) "" {nm)a Ejemplo 5 El grupo (Z, +) es cícHco admitiendo como generador a",,16a"'-1. -Considerando a = 1 como generador V n E Z na - a+a+ :} +a=1+1+ -'J, +1 - n -Considerando a - -1 como generador VnEZ na:za+a+ .~. +a - (-1) + (-1) + ~ + (-1)=-n 5, Estructuras de Semianillo y de AnUlo ESTRUCTURA DE SEMIANILLO. Dado un conjunto C y dos leyes de composición • y o decimos que tiene estructura de semianiIJo si CD Respecto de la primera operación • tiene las propiedades 1 Ley de composición interna u operación interna c x C --c (a, bl a • b 'ti a, b E C = a • b E C 2. Propiedad asociativa: 'ti a, b, c E e (a • bl • e - a • (b • el :; Propiedad conmutativa: V a. b E e CID Respecto de la segunda operación o tiene las propiedades: 1 Ley de composición interna u operación interna Cxc--c (a, bl a o b 'ti a, b E e = a o b E e www.Matematica1.com 2 Propiedad asociativa. V a, b, e E C (a o b) o e = a o (b o e) ® Propiedad distributiva de la segunda operación o respecto de la primeca • Va, b, e E C a o (b • e) - (a o b) • (a o e) Se emplea la notación (C, " o) encerrado en un par~ntesis el conjunto y las operaciones definidas entre sus elementos, diciendo que se trata de un semianillo Tambi~n se suele decir que (C, " o) es semianillo si CD (C,') es semigrupo conmutativo. CID (C, o) es semigrupo. @ La segunda operación o es distributiva de la primera '. Cuando (C, o) es semigrupo conmutativo se dice que (C, " o) es un se mianillo conmutativo Ejemplo 1 El conjunto N de los números naturales respecto de las operaciones suma y producto tiene estructura de semianillo conmutativo ESTRUCTURA DE ANILLO. Dado un conjunto A y dos leyes de composición • y o decimos que tiene estructura de anillo si CD Respecto de la primera operación • tiene las propiedades: 1. Ley de composición interna u operación interna AxA-_ la,b)-- A a • b V a, b E A '=l' a • b E A 2. Propiedad asociativa: V a, b, c E A la • b) • e - a • lb • el 3. Elemento neutro: Va E A 3 e E A (único) www.Matematica1.com 4 Elemento simétrico: V a E A 3 a' E A (simétrico de a) a • a' -= a' • a = e 5, Propiedad conmutativa: Va, b E A ® Respecto de la segunda operación o tiene las propiedades: 1 Ley de composición interna u operación interna AxA-( a, b)-- A aob Va, b E A = a o b E A 2. Propiedad asociativa: V a, b, c E A (a o b) o e - a o (b o e) ® Propiedad distributiva de la segunda operación o respecto de la primera • va, b, c E A a o (b • cl = (a o b) * (a o e) Se emplea la notación (A, o). También se suele decir que (A, ., o) es anillo si CD (A, .) es grupo conmutativo ® (A, o) es semigrupo ® La segunda operación o es distributiva respecto la primera Ejemplo 2 El conjunto Z de los números enteros respecto de la suma y el producto tiene estructura de anillo ESTRUCTURA DE ANILLO UNITARIO. (A, ., o) es anillo unitario si además de las propiedades de anillo tiene elemento neutro o unitario respecto de la segunda operación o - Elemento neutro o unitario Va E A 3 u E Ala o u = u o a'"" a www.Matematica1.com (A, " o) es anillo unitario si. CD (A,.) es grupo conmutativo @ (A, o) es semigrupo unitario. ® La segunda operación o es distributiva de la primera ESTRUCTURA DE ANILLO CONMUTATIVO. lA, " o) es an;/lo conmutativo si además de las propiedades de anillo, con respecto a la segunda operación o tiene la propiedad conmutativa (A, " o) es anillo conmutativo si- (A, .) es grupo conmutativo. (A, o) es semigrupo conmutativo La segunda operación o es distributiva respecto de la primera ESTRUCTURA DE ANILLO UNITARIO CONMUTATIVO lA, " o) es anillo unitario conmutativo si además de las propiedades de anillo con respecto a la segunda operación o tlene elemento unitario y la propiedad conmutativa (A, o) es anillo unitario conmutativo si: CD (A,') es grupo conmutativo. ® (A, o) es semigrupo unitario conmutativo. ® La segunda operación o es distributiva respecto de la primera ANILLO DE LAS CLASES RESIDUALES MODULO n. Dentro del conjunto Z la relación de congruencia se define así: "Dos enteros a y b son congruentes módulo n cuando dan el mismo resto r al ser divididos por n." Se escribe· a ~ bln) cuando a = nq + r b nq' + r Esta relación de congruencia es una relación de equivalencia originando una partición del conjunto Z En cada clase están todos los números enteros www.Matematica1.com de la forma a + kn siendo k un número entero. Resultan n clases y el conJunto cociente lo simbolizamos poniendo Z/ n - - - - Z/n - 10, 1, 2,3" n-l} La suma y el producto definidas en Z originan dos leyes de composición en ZI n que vamos a llamar adición y multiplicación Si n "" 4 Z/ 4 ~ 10, i, 2, 31 La suma y producto definidos en 2/4 originan las siguientes tablas: + ° 1 2 ~ x O 1 2 ,~ O Ó 1 2 3 ° Ó O O O 1 1 2 3 O 1 O 1 2 3 2 2 3 O 1 2 Ó 2 ° 2 3 3 ° 1 2 3 O 3 2 1 Estas operaciones suma y producto fácilmente puede comprobarse que - (Z/4 . +) es grupo. - (Z/4. x) es semigrupo unitario conmutativo . - El producto (x) respecto de la suma (+) es distributivo. Por tanto (2 / 4 , + , x) es un Anillo unitario conmutativo . RESOLUCION DE ECUACIONES EN UN ANILLO, En un anillo lA, o) las ecuaciones de la form" tienen solución y esta es única ya que todo elemento a E A admite su simétrico respecto • que llamamos a ' Sin embargo ecuaciones de la forma aox'b = c no siempre tienen ~luci6n en un anillo ya que no todos los elementos a del anillo tienen inverso a-l. pudiendo ocurrir que haya elementos que al tener varios inversos la ecuación tenga varias soluciones. www.Matematica1.com t-~ IrtUC 1 UKf\~ IJt- ~t-MIANILLU y Ut: "NILLlJ Vamos a resolver la ecuación 2x + 3 - 1 en el anillo (l / 5, +, x). Para ello previamente construimos las tablas de suma y producto + O 1 2 :i 4 x O 1 2 3 4 O O 1 2 :i 4 O O O O O O 1 1 2 3 4 O 1 O 1 2 3 4 2 2 3 4 Ó 1 2 O 2 4 1 3 3 3 4 O 1 2 3 O 3 1 4 2 4 4 O 1 :2 3 4 O 4 3 2 1 Sumamos a la derecha el simétrico de :3 que es 2 2x + 3 + 2 1 + 2 2x + (3 + 21 1 + 2 2x + O 3 2x ~ 3 - - Multiplicamos a la izquierda por el inverso de 2 que es 3, luego 3· 2x = 3·3 1x = 4 ... x ~ 4 La solución es x - 4. Podemos comprobar que - - - 2 4 + 3 ~ 1 Otra ecuación en (2/6. +. xl. + O 1 2 3 4 5 x O 1 2 3 4 5 O O 1 2 3 4 5 O O O O O O O 1 1 2 3 4 5 O 1 O 1 2 3 4 5 2 2 3 4 5 O 1 2 O 2 4 O 2 4 3 3 4 5 O 1 2 3 O 3 O 3 O 3 4 4 5 O 1 2 3 4 O 4 2 O 4 2 5 5 O 1 :2 3 4 5 O 5 4 3 2 1 www.Matematica1.com Resolver 3x + 4 1 1) Sumamos el la derecha el simétrico de 4 que es 2 3x+4+2-1+2 3x + O - 3 3x 3 2) Multiplicamos el la izquierda por el inverso de 3 pero :3 no tiene Inversos, luego la ecuaci6n 3x + 4 - 1 no tiene soluci6n en (2 / 6 . + , x) . 6. Propiedades fundamentales de la estructura de Anillo l . Un anillo lA, " o) 01 ser grupo obe/Jano (A, .) posee las propiedades Que definen esta estructura . 2. Todo elemento a de un amllo (A. " o) verifica Qoe =eOQ= e siendo e el elemento neutTO de (A . • ). En efecto (a o a) • (a o el = a o (a • e) = a o a = (a o al • e Al ser (A, .) grupo todo elemento de A es reglllM pMa la operación De (a o a) • (a o e) = (a o a) • e = a o e == e Análoga demostración para: e o a "" e Considerando el anillo (Z, +, x) en donde el elemento neutro de (Z, +) es O resulta a x O - O x a = O Todo número entero multiplicado por O es cero . www.Matematica1.com 3 Regla de los signos: Dados dos elementos a, b E A se verifica aob' - a' ob = (aob)' a'ob' - aob siendo a' y b' los sim~tricos de a y b respecto Partiendo de la propiedad anterior e - a o e = a o (b • b') = (a o b) • (a o b') Por tanto si un elemento (a o b) operado con otro (a o b') da el elemento neutro e resulta que (a o b') es el simétrico de (a o b) que representam9s (a o b)', luego aob' - (aob)' De Igual forma e -= e o b = (a • a') o b - (a o b) • (a' o b) con lo que a' ob - (aob)' Considerando el anillo (2, +, x) a x (- bl ~ (- al x b ~ - (a x bl La demostración a' o b' = a o b la basamos en la anterior a' o b' (a o b')' = [(a o b)' J' = a o b Considerando el anillo (2, +, x) (-al x (-bl - a x b Las reglas de los signos se cumplen en todo anillo. 7. Estructura de Cuerpo Dado un conjunto K y dos leyes de composición· y o decimos que tiene estructura de cuerpo si www.Matematica1.com CD Respecto de la primera operacl6n o tiene las propiedades: l . Ley de composición Interna u operación interna K x K la , bl --K --a o b 'ti a, b E K "'" a o b E K 2. Propiedad asociativa: 'ti a, b, c E K la o bl o e - a o lb o el 3 Elemento neutro: 'ti a E K 3 e E K (únko) q Elemento simétrico v a E K :i a' E K (simétrico de a) aoa'=a'*a=e 5. Propiedad conmutativa : 'ti a, b E K ® Respecto de la segunda operación o tiene las propiedades 1 Ley de composición Interna u operación interna K x K --K la, bl a o b 'ti a. b E K a'> a o b E K
2 Propiedad asociativa: V a, b. c E K
(aob)oc=ao(boc)
3. Elemento neutro o unidad : ‘ti a E K 3 u E K (elem unidad)
aOu”‘uoa=a
4 Elemento simétrico o Inverso: ‘ti a E K’ 3 a-1 E K (elem . inverso
de a)
K’ – K – 101
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@ Propiedad distributiva de la segunda operacl6n o respecto de la prime- ,. .
Va, b, c E K a o (b • e) – (a o b) • (a o c)
Se emplea la notacl6n (K, ., o) para indicar la estructura acompañando
a la palabra cuerpo.
Tambi~n se suele decir (K, ., o) es cuerpo si:
CD (K , ·) es grupo abeliano.
@ (K . o) es 9mpo.
@ Propiedad distributiva de la segunda oper~cl6n o respecto de la primera
· .
Cuando (K, o) es grupo abeliano o grupo conmutativo se dice que (K .
o) es cuerpo abeliano o cuerpo conmutativo.
Ejemplo 1 El conjunto Q de los números racionales con las opera·
ciones de suma y producto es un cuerpo, (Q, +, x) es un cuerpo El
neutro es e ‘” O. el simétrico de a – a l/ a2 es – 8 – -al/ at_ El unita·
no es u – 1 Y el inverso de a – al / al es a- I
– a2/ a._
Ejemplo 2 En el conjunto A – fa, b, e, dI se definen las operaciones
• y .. dada as!
• b , d o • b e d
• • b , d • d e b •
b b , d • b e d • b
e , d • b , b • d ,
d d • b e d • b e d
(.Es (A. -, o) cuerpo?
P~ra er~ hemos de ir compJo~ndo las propiedades respecto de cada
operación
CD Respecto de la primera operación
Es opeladón interna porque A x A – A. todo elemento de la
primera tabla es del conjunto A
2 Es asociativa
3 El elemento neutro es a
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4. El simétrico de a es a , el de b es d, el de c es c y el de d es b
5. Es conmutativa. La labia es simétrica respecto la diagonal principal.
@ Respecto de la segunda operaci6n o
1. Es operación Interna porque lodo elemento de la segunda tabla
es del conjunto A
2. Es asociativa,
3. El elemento neutro O unidad es d
4′ El inverso de a es a , el de b es b, el de c es e y el de d es d
5 Es conmutativa . La labia es simétrica respecto de la dIagonal
principal
@ Propiedad d istributiva
a <> (b • e) .. (a ü b) • (a o cl
aod c ·b
, ‘” d
No cumple la propiedad dIstributIva
(A , ” o) no es cuerpo
8. Propiedades fundamentales de la estructura de Cuerpo
1 , Un cuerpo (K, ” o) al ser grupo (K, .) y (K, o) tienen todas las propiedades
vistas para los grupos.
2 Un cuerpo (K, • • o) es un anillo y tiene todas las propiedades estudiadas
para los anillos.
3 . Todos los elementos del cuerpo son regulares respecto de la segunda
operación
Siaob – aoc=-b=c la E K – 1011
ya que
(a-l oa) o b = (a- l o a ) o e – b “” e
Así mismo. si b o a – e o a =- b = e
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4, En un cuerpo (K,
riftca
o) siendo a y b dos elementos cualesquiera se veaob=
e=”a=eób=e
Si a ‘* e 3 a-1 E Klsiaob ~ e =” b ~ e
a-lo (a o b) ~ a~’ o e – e} b – e
(a-loa) o b
Si b ‘* e 3 b- I E K I si a o b
(a o b) o b-1
a o (b o b- I )
– u o b = b
~ e =” a ~ e
= e o b-1 = e} a
aou – a.
e
Si el cuerpo es (Q, +, x) esta propiedad se traduce:
axb – O=”a=Oób=O
5 En todo el cuerpo (K, ., o) los ecuaciones de la forma
aox·b=e
tienen soluci’ón siendo a E K’ y b, x E K
En efecto
aox·b=e
a o x • (b • b’) – e • b’
a o x = e • b’ = b’
(a-loa) o x _ a-lo b I
x=a-1 ob’
Considerando el cuerpo (Q, +, x) la ecuación
ax + b = O
ax =-b
x = 0-1(_ b)
tiene soluci6n siendo a ‘* O.
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9. Subanillo y Subcuerpo
SUBANILLO. Sea (A, ., o) un anillo y 5 un subconjunto no vacío de A
5e dice que (5, ., o) es un subanillo de fA, ., o) si las operaciones. y o
definidas en el subconjunto S le confieren estructura de anillo.
Ejemplo 1 El conjunto Z de los números enteros con la suma y el
producto es un anillo_ (l, +, x) es un anillo.
Un subconjunto 5l e l formado por todos los números enteros
múltiplos de 5 es un anillo con las operaciones suma y producto
Por tanto (5l, +, x) es un subanillo de (l, +. x)
La definición dada de subanillo es equivalente a esta otra_
Un subconjunto no vacío S de un anillo (A, ., o) es subanillo si ‘” a,
bES
1) a • b’ E S
2) a o b E S
En efecto.
La primera condición a • b I E S indica que (S, .) es subgrupo de (A,
.) Y por tanto (S, .) grupo.
La segunda condición a o b E S indica que la operación o es interna en
S y además verifica la propiedad asociativa. De ambas condiciones se deduce
también la propiedad distributiva.
(S, ., o) es anillo y como S e A se deduce que (S, ., o) sea subanillo
de (A, ., o)
Recíprocamente’ Si (S, ., o) es subanilJo de (A, ., o) cumple las dos
condiciones expuestas anteriormente como consecuencia de la definición de
anillo.
Hay dos subanillos especiales que son S = (e) y S – A, llamados subanil/
os impropios; ({el, ., o) y (A, ., o) son suhanillos impropios. El resto de
subanillos de un anillo, si existen, se llaman subanillos propios.
Ejemplo 2 _ El conjunto l de los enteros respecto de la suma y el
producto (l, +, x) es un subanillo de (Q, +, x)
Cumple que ‘ti a, b E l
a + (-b)’E Z
a x b E l
5UBCUERPO. Sea (K,. o) un cuerpo y L un subconjunto no vacío de
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K. Se dice que (L, ” o) es un subconjunto de (K, *, o) si las operaciones
y o definidas en el subconjunto L le confieren estructura de cuerpo_
Ejemplo 3_ El conjunto Q de los números racionales con la suma y
el producto es un cuerpo: (Q, +, x) es un cuerpo. El conjunto R de los
números reales con la suma y el producto es un cuerpo: (R, +, x) es
un cuerpo_
Como Q e R se dice que (Q, +, x) es un subcuerpo de (R, +,
x)
La definición dada de subcuerpo es equivalente a esta otra
Un subconjunto no uacío L de un cuerpo (K, ., o) es subcuerpo si
1) V Q, b E L a • b’ E L
a o b E L
2) ‘TI a EL’ “‘” a~1 EL’ siendo L’ = L – 101
En efecto:
La primera condici6n a • b’ E L y a o bE L indica que (L, *, o) es
subanillo de (K, *, o),
La segunda condición. ‘TI a E L’ 3 a-1 E L’ la o a-1 – u E L’ indica
que (L, o) es un grupo.
Por tanto (L, ., o) es cuerpo y como L e K resulta que (L, ” o) es un
subcuerpo de (K, ” o),
Recíprocamente’ Si (L, *, o) es subcuerpo de (K, ” o) cumple las dos
condiciones expuestas anteriormente como consecuencia de la definición de
cuerpo
Hay dos subcuerpos especiales que son L “” [e) y L – K llamados subcuerpos
impropios ([e), ., o) y (K, ., o). El resto de subcuerpos de un cuerpo,
si existen , se llaman, subcuerpos propios.
10. Dominios de Integridad. Ideales
DIVISORES DE CERO, Dados dos elementos a y b de un anillo (A,
o) son divisores de cero si
a o b = e siendo a “* e y b *- e
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Considerando el anillo (A, + , x) el elemento a (a :1: O) es divisor de
cero 5\ 3 b E A (b ‘* O) tal que
axb=Oóbxa-O
Ejemplo 1. En el anillo \Z/ 6. + , x) formado por las clases de restos
m6dulo 6. _ _
Dos elementos 2 y 3 verifIcan.
— – – — –
2 x 3 – O siendo 2 ‘* O y 3 ‘* O
2 y .3 son diVisores de Ó
También 4 y 3 son divisores de cero pues
– – – – – –
4 x 3 – O siendo 4 “* O y3 “” O
ANILLO DE INTEGRIDAD. Anillo de integridad es todo anillo conmutativo
sin diu/sores de cero.
Ejemplo 2. El conjunto 2l de los enteros pares con la suma y el
producto es un anillo de Integridad
(2Z. + , x) es anillo de integridad por no tener divisnres de cero.
Si tomamos:
(2a) x (2b) _ 22(a x b) – O – a – O 6 b … O.
DOMINIO DE INTEGRIDAD. Dominio de integridad es todo anillo unitario
conmutativo sin divisores de cero.
Ejemplo 3. El anillo (l, + , x) es un dominio de integndad ya que:
– No tiene divisores de O porque dados dos enteros si su producto
es cero, uno de ellos es cero.
– Elles el elemento unidad del producto_
-Tiene la propiedad conmutativa
TEOREMA. Para que Z/ n seo un dominio de integridad es necesario y
suficiente que n seo primo.
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En efecto
1) Si n no es primo admite al menos una descomposición de la forma
a x b – n
Sia x b – n-a x b o
ya que al pasar a Z/n, a – a y b = b pues el resto de dIvidir los números a < n y b < n por n su resto es a y b respectivamente. Al divIdir n por n resulta un resto O. Luego SI n no eS primo Z/ n no es dominio de integridad - - - 2) Si n es primo la condición a x b = o =' a -= o ó b - O. Deaxb-O-axb - ti ... kn SI a x b _= kn y n es primo, _divid~ necesariamente a a 6 a b. Si divide a a "'" a = ° y si divide a b = b = O IDEALES DE UN ANILLO. Sea (A, " a) un anillo e I un subconjunto uacío A, se dice que I es un ideal de A si se verifico : 1) 'tIx.yEJ-x.y' El 2) 'ti a E A y 'ti x El"" ax E 1 Y xa E 1 Cuando sólo se verifica de esta segunda condición una parte. es decir ax E I ó xa E 1, se dice que el ideal es por la izquIerda o por la derecha respectivamente. Todo ideal I de (A. '. o) es un subanlllo por cumplir las dos condiciones establecidas pero todo subanillo no es un ideal puesto que no sólo están en I los productos de elementos de I por sí mismos. sino además los de cualquier elemento de A por los de 1. En todo anillo (A. " o) existen dos ídea/es Impropios: a) Ideal unidad que es el mismo anillo. b) Ideal nulo que es (le}, o , o) El resto de los ideales. si existen , se denominan propios. www.Matematica1.com Ejemplo 4 Dentro del anillo (Z, +, x) un ideal es (5Z, +, x) ya que 1) V 5a, 5b E 52 ,.., 5a - 5b = 5(a - b) E 5Z 2)v5aE52 V n E Z } 5axn - nx5a - 5xlanIESZ 11. Homomorfismos y Propiedades HOMOMORFISMO, Dados dos conjuntos A y B dotados cada uno de ellos de una operación interna • y o respectivamente, se llama homomorfismo entre (A, .) y (8, o) a toda aplicación f de A en 8 tal que v x, y E A ~ jlx • y) = jlx) o jly) :---t--.... _-f-.. f(xj " yrl----I--~ J(x) o f!yl A ---,1_ B Cuando los dos conjuntos son iguales A = B el homomorfismo recibe el nombre de endomorfismo. Es fácilmente demostrable el siguiente teorema: -«Si f es un homomorfismo entre (A, .) y (B, .6.) y g es un homomorfismo entre (8, .6) y (e, O) entonces g o f es un homomorfismo entre (A, ·1 y le, DI', En efecto: V x, y E A se cumple 9 o jlx • yl - glflxll:;jlyll - glflxllOglflYIl - 9 ojlxlOg ojlyl www.Matematica1.com Ejemplo 1. Consideremos el conjunto N de los números naturales y la operación suma (N, +) y el conjunto P de los enteros pares con la operacl6n de multiplicar (P, x ) . Establecemos la aplicación 1 entre N y P de la sigulenle forma: fN - -P n 2" Comprobamos Que f es un homomorfismo. Si a, b e N entonces l(a) - 2" y J(b) - 2'. Si tiene Que éumplir: J (a + b) "" f(a) x Jlb) Jla + b) - 20 "} f(el - 2" fla; x f(b) .., 2" x 2' "" Jlb) - 2' Se cumple Que: por tanto f es un homomorfismo ISOMORFISMO. Es un homomorfismo en el que la aplicaCl6n f es biyectiva. -Cuando la aplicación f es Inyectiva el homomortismo recibe el nombre de monomorfismo. -Cuando la aplicación f es sobreyectiva el homomorfismo recibe el nombre de eplmorJismo. -Cuando los dos conjuntos son iguales A = B y la aplicación fes biyectiva el homomorfismo se llama automorfismo. Es fácilmente demostrable el siguiente teorema: -teSi f es un isomorfismo entre (A, .) y (B, o) también /-1 es un isomorfismo entre (B . o) y (A , . )lO . En efecto : Si f es aplicación biyectiva también lo es JI. Basta probar Que .í'lflx o yll ~ x o y Es evidente pues 11lflx o yl] - rUlx) o Jlyl] - .í'lflxll . .í'lflyl] - x . y www.Matematica1.com Ejemplo 2 Constderemos el conjunto Z de los números enteros y la operación de sumar (Z, + I y tambi~n el conjunto P de los enteros pares y la operación de sumar (P, +) . Establecemos la aplicación f de Z en P f. Z P • 2. Es dede f(21 - 4, f(31 - 6, f(41 - 8, Para ver si esta aplicación es un homomorfismo consideremos dos enteros, por ejemplo 3 y 4, sus imágenes son Ha de ocurrir: f(31 - 6 y f(41 - 8 f(3 + 41 - f(31 + f(41 fl3 + 41 - f(71 - 14 f(31 + fl41 - 6 + 8 - 14 ~ f(3 + 41 Vemos que se cumple el homomorfismo En general: 'ti x. y E Z - J(x + y) - J(x) + f(y) Como: f(x) - 2x f(y) - 2y !(x + y) Se cumple: f(x + y) - f(x) + f(y) pues 2(x + y) - 2x + 2y "'" 2(x + y) Además! es aplicación blyectiva por lo que se trata de un isomor· fismo HOMOMORFISMO ENTRE GRUPOS. Sean dos grupos lE, .) y IF, o) Si establecemos una aplicacl6n f entre E y F, decimos que es un homomor· fismo entre los grupos (E, .) y (F. o) si se uerifico v x, y E E ~ jlx • y) = jlx) o jly) Cuando la aplicací6n f es blyectiva, los grupos (E .• ) Y (F. o) son isomorfos o que se ha establecido un isomorfismo entre grupos Ejemplo 3. Dedos los grupos (Z, + 1 y (Q, )() y siendo a un núme· ro natural establecemos la siguiente ílpliCadón f f. Z Q n a' www.Matematica1.com Comprobamos que f es un homomorfismo pues: J(n + p) = J(n) x J(p) Jln) - a" Jlp) - a" f(n + p) - a~·F f(n + p) - a~~P '" a~ x aF - f(n) x f(p) EJemplo 4 Oado el conjunto G - IGo• Guo, Glfollormado por los giros de centro O y amplitud 0 0 , 1200 Y 24ú0 y la operaclón de multiplicar (G, x j . Sea también el conjunto 2/3 de los restos de dIvidir por 3 el conJunto Z de los enteros y la operaclón de sumar (2/3, +) . Se establece la aplicación f entre G y Z/3 así jo G ?/3 G. O G120 1 G2.tO 2 Vamos a comprobar que f es un Isomorfismo entre (G. x) y (Zf3. +) Formamos las tablas en ambos con)ur.tos: - x G. G120 G240 + O 2 G. G. Gl20 G, .. O O ! 2 Guo Guo G240 G. 1 1 ? O G, .. G, .. G. G,,, 2 2 O 1 Es inmediato que (G. x) y (2 / 3. +) son QTupos conmutativos Para comprobar que se trata de un homomorfismo: - - G120 1 f(G¡zoJ 1 GZ4Q 2 f(G 240) 2 - - GI20 xG240 1 + 2 f(G12o x G,.ol "" - f(G uo) + J(Gt .. o) - - - G. O J(G.I 1 + 2 - O - G. O JIG.) O G, .. 2 JIG,.,) - 2 - G. X G140 - - O + 2 J{~ x GZ40) - J(Go) + J (GZ40) - - - G2 .. 0 2 !{G240)=O+2-2 www.Matematica1.com Es un homomorfismo y por ser f biyectiva se trata de un isomorfismo entre grupos CONSECUENCIAS DE LA DEFINICION DE HOMOMORFISMO ENTRE GRUPOS 1 Dado un homomorfismo f entre los grupos (E, .) y (F, o), la imagen del elemento neutro de E es el elemento neutro de F Sean e y e' los elementos neutros de E y F respectivamente Se verifica: V x E E f(e' x) "'" fíe) o ¡(x) como e' x - x >=1> f{e • x) – f(x) = f{e) of(x)
luego f(e) es el elemento neutro de F, pues operado con cualquier otro elemento
f{x) nos da dicho elemento f(x).
Por tanto
fle) e
2. Dado un homomorfismo f entre los grupos (E, .) y (F, o), la imagen
del simétrico x’ de un elemento x es el simétrico de la imagen f(x) de dicho
elemento
v x E E flx’) ~ [flx) I ,
Para demostrarlo: ‘ti x E E y x’ su simétrico: x • x’ – e,
Por el homomorfismo: f(x • x’) – f(xl o f(x’)
fle) ~ flx) o flx’)
como f(e) – e’ ~ e’ = f(x) o f(x’)
luego f(x) y f(x’) son simétricos en (F, o) de donde
flx’) ~ [jlx)),
3_ Dado el homomorfismo f entre los grupos (E, .) y (F, o), el conjunto
imagen de E, f(E), es un subgrupo de F.
Para demostrarlo partimos de la definición de conjunto imagen
flE) ~ Iflx) I x E E)
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Sabemos quef(E) es no vacío pues al menos contiene afIe) “‘” e’ siendo
e el elemento neutro de (E, *)
Si x, y E E ~ Ilx), Ily) EllE)
Para ver que (f(E) , o) es un subgrupo de (F, o) hemos de demostrar
que
Ilx) o lfly) J’ EllE)
pero resulta que: x. * y’ E E por ser E subgrupo, luego
Ilx y’) EllE)
Al ser f homomorfismo f(x y’) = f{x) o f{y’)
y como I(y’) ~ [/(y)] , resulta
Ilx) o [jly)]’ EllE)
Ejemplo 5. Con los datos del ejemplo 3 comprobamos estas tres
consecuencias
1) El elemento neutro de (Z, +) es O
El elemento neutro de (Q, x) es 1
f Z Q
n a”
resulta~ fIn) = aH y f(O) – a* – 1
2) Dado un elemento x E Z su simétrico es x’ = – x
Se verifica
j(x’) – ji-x) – a-‘ ~ (a’f’ – [j(xn-‘ – (j(x)] ,
3) f{Zl es un subgrupo de (Q, x) y está formado por las potencias
de a de exponente entero
NUCLEO DE UN HOMOMORFISMO Dado un homomorfismo f entre
los grupos (E, .) y (F, o) llamamos núcleo de este homomorfismo al conjunto
de todos los elementos de E cuya imagen mediante f es el elemento neutro
de (F, o)
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Si e’ es el elemento neutro de (F, o) el núcleo del homomorfismo 10 expresamos
i!lsí
K.,If) ~ Ix E El/Ix} = .’1
Gráficamente.
Ker (jl
.,
E-”– F
El elemento neutro e de F pert enece al núcleo del homomorfismo
Ker (j) .
Cuando los grupos (E, . ) Y (F, o) son isomorfos al núcleo Ker (j) es un
subconjunto unitario de E formado solamente por el elemento neutro e
de E
Ejemplo 6 Dadas las aplicaciones f y 9 de (Q’, x) en (Q’, x) de
la sigUiente forma
/Ix) -I xl 1
g{x) – – siendo Q’ = Q – 101
x
vamos a ver si se trata de homomorlismos y cuál es su núcleo
f es homomorfismo pues: flxy) “” f lx)f(y) ya que Ixy l – I x l Iyl
Su núcleo es Ker (f) – Ix E Q’ I Ixl = 11 – p, – 1I
9 es homomorfismo pues: g(xy) _ g(x)g(y) ya que 1
xy
Su núcleo es Ker (g) – Ix E Q’ I ..!… ~ 11 – tI)
x
1
x
1
Y
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HOMOMORFISMO ENTRE ANILLOS. Una aplicación j entre los anillos
(A, ., o) y (B, .1, T) es un homomorfismo entre anillos si se verifica
“Ix, y EA Jlx • y) ~ Jlx) .L Jly)
Jlx o y) ~ Jlx) T Jly)
Cuando la aplicación j es biyectiva, los anillos (A, ., o) y (B, .1, T)
son isomorfos
Un isomorfismo de A sobre sí mismo se llama automorfismo del ani!Io A
La composición de dos homomorfismos entre anillos es un isomorfismo
entre anlllos.
La consecuencia más notable de un homomorfismo entre anillos es’ La
imagen frAY es un subanillo de (B, .1 , T) representado por (j(A), .1 . T J.
Basta con demostrar: Si Xl. Yl E f{A)
1) x,.L y, E J(A)
2) x, T y, E J(A)
Si x” y, E J(A) ~ 3 x, Y E A IJ(x) ~ x,.J(y) ~ y,
Por ser A anillo se cumple 1) X • y’ E A
2)x o yEA
Aplicando el homomorfismo f se demuestra
1) x,.L y, ~ J(x) .L J(y) , – J(x) .L J(y’) – J(x • y’) E J(A) ~
= xl.l Y í E jeA)
2) x, T y, ~ J(x) T J(y) – J(x o y) E J(A) ~ x, T y, E JIA)
HOMOMORFISMO ENTRE CUERPOS Una aplicación f entre los cuerpos
(C, ., o) y (K, .l. T) es un homomorfismo entre cuerpos si se verifica
“Ix, y E C Jlx • y) ~ Jlx).L Jly)
Jlx o y) ~ Jlx) T Jly)
Cuando la aplicación j es biyectiva los cuerpos (C,
son Isomorfos.
o) y (K, .L. T)
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EJERCICIOS RESUELTOS
1. ¿Qué propiedades tiene la operación media aritmética definida en el conJunto
Q de los núme ros racionales?
Solución
La operación media aritml’hica se define así
. ·b • + b
~— 2
Las operaciones que cumple son ‘
1) Operación inle rna .
2) No es asociativa pues
-• -+ -b + ,
fa • b) • e “” (a • b)
2
+ , 2
2
– a+b+2c -‘—–‘;;—–“-‘- 4
• +
b + e
2
2
2a+b+c
4
ja·b),c*-él·(b.c)
3) No tiene elemento neulro pues
4) No tiene elemento simétrico.
5) Es conmutativa .
a • b – -• -+ -b 2
– -b +- -a 2
2. En el conjunto de Jos números naturales se define la operación potencia
” a, b e N
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Se pide 1) ¿Es asodatlua?
2) ¿Es distributiua respecto a la suma?
3) ¿Es distributivo respecto 01 producto?
Solucl6n
1) No es asociativa, pues
(a • b) • e
a • (b • e)
Si a • 2, b – 3 Y e D 4 _ (21)~ _ 8~ ‘* 21l~’ ~ 2ft
2) No es distributiva respecto a la suma
a • lb + e) ‘* (a • b) + (a • e)
pues
a • (b + el _ a6 ..
(a·b) +la·e) =- ab+a’
3) No es distributivo respecto al producto
a • (b el -:1= (a • bl (a · el
pues
a. (bc) “” ah
(a· b) (a· e)
3 . én el conjunto (Z, .) se de/me la operaci6n
x ‘ y””X1 +XY+ll
¿Qué propiedades tiene?
Solución
1) Operación Interna . V x, y e z ~ x • y E Z
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2) Propiedad asociativa: Se tiene que cumplir
(x’Y)’z=x'{Y’z)
(x • y) • z _ (X2 + xy + y2) • Z –
(Xl + xy + y2)2 + Z2 + (X2 + xy + y2)Z
X • (y • z) – X2 + X(y • Z) + (y • Z)2
_ X2 + X(y! + Z2 + YZ) + (y2 + yz + Z2)2
Como (x • y) • Z ‘* x • (y • z) no es asociativa.
3) E)emento neutro
x.e _ xl+xe+e1 _ e
no la cumple por estar e en función de x
4) Elemento simétrico, no la cumple
5) Propiedad conmutativa, sí la cumple, pues
x • y _ X2 + xy + y2 = y2 + yx + X2 _ y • x
Las únicas propiedades que cumple son operación interna y conmutativa
4. En el coniunto Q de los números racionales, se define la operación
1) ¿Qué propiedades tiene?
-“Lx
+ y
2) Dan lugar a alguna estructura conocida?
Solución
1) Operación interna; ‘ti x, y E Q “,. x • y E Q
2) Propiedad asociativa’ La cumple pues
(x • y) • z – x • (y • z)
xy ,
(x • y) • z ,.
(x • y) z x + y xy,
(x’y)+z xy + , xy + xz + yz
x + y
x
y,
x • (y • z) –
x(y • z) y + , xy,
x+(y·z) x + ~ xy + xz + yz
y + ,
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3) Elemento neutro
xe x • e =
x + e
4) Elemento simétrico· No tiene pues
x • x’
xx’ =O … x’-=O
x + x’
5) Propiedad conmutativa Si la cumple, pues
_ xy _
x • y – –
x + y ~ – y + x
y • x
5. Se consideran las cuatro aplicaciones de R en R
Se define la operación
f, • ¡ , ~ Mf,!x)]
¿Tiene estructura de grupo el conjunto A “” {fv f2′ fJ, ffJ respecto de la operación
.?
Solución
Formamos la tabla
f, f, f, f.
f, f, f, f, f.
f, f, f, f. f,
f, f, f. f, f,
f. f. f, f, f,
Cumple las propiedades: Operaci6n interna, asociativa; elemento neutroft, ele”
mento simétrico de fl es f¡, de f2 es h, de fJ es f3 y de f4 es f4; es conmutativa
pues trazando la diagonal principal sirve de eje de simetría de la tabla
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6. En el conjunto G = [1, – 1. i, – O se define la operacl6n de multiplicar.
siendo ¡1 :: – 1
Se pide:
1) Formor la tobla de multiplicar y ver si (G, ) es grupo
2) Hallar los .wbgrupos H de G
3) ¿Se puede considerar que fG , ,) es grupo efclico? ¿Cu61 es el elemento generador?
Solución
1) Formamos la labia
1 – 1 -;
1 – 1 -;
– 1 – 1 \ – ,
– ; -1 \
– 1 – ; 1 -\
Se deduce que (G, -) es grupo aoollano, siendo 1 el elemento neutro. El simétriCo
de 1 es 1, el de – 1 es -1 , el de i es – i y el de -les •.
2) Sólo hay un subgrupo H – 11 , – 1I
3) (G, ) es grupo cíclK:o. siendo elemento g€neTador i o – i
1. Demostrar que los elementos
A = (1, O) . B = ( – 1. O). e = (O, l) yO = (O , – Ji
forman un grupo respecto de la ley. definIda así
(a, b) • fe , d) = (oc – bd, ad + be}
Solución
Formamos la tabla previamente
A B e D
A A B e D
B B A D e
e e D B A
D D e A B
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Posee las propiedades: Operación interna. asociativa . elemento neutro que es
A, elemento simétrico (de A es A. de B es B, de e es D, de D es C) y propiedad
conmutativa,
Se trala de un grupo abeliano
8. En el conjunto Z se definen las operaciones
Calcular
l ‘ .:.Es (Z. .) grupo=’
21 ¿Es (Z, o) semigrupo?
3) .:.Es (Z, ” ” ,’ anillo=’
Soluci6n
a ·b …. a+b-2
ao b – a+b-ab
1) (2 .• ) es grupo siendo el neutro e=>2 y el simétrico de a es a’ – 4 – a .
2) (2, o) es semigrupo conmutativo.
3) (Z,’, o) no es anillo por no cumplir la propiedad distributiva
a o lb • el *- la o b) • (a o e)
pues
a o (b • el – a o (b + c – 2) – a + (b + e – 2) – a(b + c – 2) –
– a + b + C – 2 – ab – ac + 23
(a () b) • (a o el – (a + b – ab) • (a + e – 1 , -1= , – 1 –
di 2, + 2 –
~ O ~ 2, -+ 12 + 11 -1 = 2, – 1 ~
2 2, -2, – 2 1 = , – 2
2
O
2
1
11. En el conjunto de los números enteros se define la aplicación
J2 Z
en ‘a que hace corresponder a cada número entero su opuesto
1) ¿Es un homomorfismo aditiuo?
2) ¿Es un homormorfismo multiplicatiuo?
IZ/S, I
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Solución
1) Se tiene que
f(a) -a, f{b) – -b ,f(a + b) _ – (a + b)
comof(a) + f(b) – f(a + b) pues (-a) + (-b) … – (a + b) es homomorfismo
aditivo
2) Se ha de cumplir que
Jla) Jlb) – Jlab)
siendo f{ab) .”, – ab pero: (- a) (- b) *” – ab
luego no es homomorfismo multiplicativo
12. En el conjunto N de los números natura/es se entablece la aplicación en la
que a cada número natural le hacemos corresponder su cuadrado
1) ¿Se trata de un homomorfismo aditivo?
2) ¿Se trata de un homomorfismo multiplicativo?
Solución
N N
n n’
f(a) – a2 ,f(b) = b2 ,f(a + b) “”‘ (a + bJ2 ~ f(ah) ~ (ab)2
1) Se ha de cumplir que
Jla + b) ~ Jla) + ¡lb)
pero a2 + b2 *” (a + b)Z luego no es homomorfismo aditivo.
2) Se ha de cumplir que
f(ab) – f(a) f(b) y (abj2 ~ a2 b2
se trata de un homomorfismo multiplicativo_
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13. Se define en R la operaCI6n • dada así
v x . y E R x • y = !JXr+.YJ
y una aplicación de R en R tal que f{x) = Xl
Demostrar que es un homomorfismo de (R . • ) en (R. +)
Solución
J(x • yl – J(xl + J(yl
En efecto
f(x • y) _ (Vx! + yl )3 _ x3 + yl = f (x) + f(y)
14. En Z x Z definimos las operaciones
1) (a. bl + (e, d) = (a + e, b + d )
2) fa, b) (e, d) = (ac, ad + be)
1) Demostrar que (l x l , + . -) tiene estructura de anillo
2) Estudiar la aplicación f definida en Z x 1 1 dada por f(a , b) == a
¿Es un homomorfismo?
3.’ Estudiar en (Z x z. + , ) los diujS()1es de cero
Solución
1) (Z x z. + , ) es anillo siendo el elemento neutro (1 , O) .
2) La aplicación
Se ha de cumplir
f Z xZ Z
(a, b) a
fI(” bl + le, di] – 11′ , bl + Ile, dl
f l(a, b] le , di] – J(” bl ‘ I(e , di
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En efecto
f((a, b) + (c, d)] – I{a + e, b + d)
Se cumple
f(a, b) + f(c, d) – a + e
f[(a, b) (c, d)] = f(ac. ad + be) – ac
} Se cumple
fra. b) f(e, d) – ae
Como (2, +, ) es anillo, f es un homorfismo entre anillos.
3) Los divisores de cero son los pares distintos de (O” O) tales que
(” b) (o, di ~ (O, O) ~
(ac, ad + be) _ (0,0) => { ac – O
ad+be – O
be-=0=>b – 06c – O … b – 0
Si, – ° { se elimina ya que (a, b) – (0, O) no puede ser por lo tanto si
a – O=>e – O
{
ad – O => a ‘=” O 6 d – O … d – O se elimina ya que
Si e .” O (e, d) – (O, O) no puede ser por lo tanto si
.c – O=>a=O
Los divisores de cero son pares de la forma (O, b)
15, Sean (R x R. +) y (R, +) dos grupos ac1WuV1′; y se definen las aplicaciones
Se pide
f RxR-(
a, b)–
1) ¿Es f homomorfismo?
2) ¿Es 9 homomorfismo?
R
2a + b
3) ¿Es h = 9 o f homomorfismo?
9 R–
a–
RxR
(a, 2a)
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Solución
1) Para que f sea homomorftsmo
fea , b) “” 2a + b
f(e, dI .. 2c + d
Jla, b) + Jle , d) – Jlla, bl + le. di)
f Ila, b) + (e, d)) – I[a + e, b + dI .. 2(a + c) + (b + dI
Se verifica Que
(2a + b},,+ j2c + dI – 2!a + el + lb + d)
Por lo tanlo f es homomorfismo
21 Para que 9 sea homomorfismo
9(a) .. (a,2a)
glbl – lb. 2bl
g(a) + 9(b) – g(a + b)
9(a + b) .. (a + b. 2a + 2b)
Se verifica que
(a , 2a) + (b , 2b) .. (a + b , 2a + 2b)
Por lo lanto 9 es homomorfismo
3) h .. gol: R x R – R x R
h{a . b) .. gV(a. b)] – 9(2a + b) – (2a + b. 4a + 2b¡
es aplicación y para que sea homomorfismo
h[(a . b) + (e , d)] .. h(a, b) + h le, di
h{a. b) .. (2a + b. 4a + 2b)
hle . dJ – (2e + d. 4e + 2d)
h{a + e, b + d) – 12(8 + el + {b + dJ, 4{a + el + 2(b + dJ]
Se verifica, por lo tanto h es homomorfismo