ESTADISTICA DE SECUNDARIA O MEDIA EJERCICIOS RESUELTOS EN PDF

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El Imperio Romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control. Cada cinco años realizaban un censo de la población, cuyos datos de nacimientos, defunciones y matrimonios eran esenciales para estudiar los avances del Imperio.
En América, los incas disponían de un medio de información basado en los quipus. Se podía conocer cuántos hombres vivían en determinada región, sexo, cronología, estado civil, jerarquía, número
de animales, alimentos, etc.
El registro de nacimientos y defunciones comenzó en Inglaterra a principios del siglo XVI, y en 1662 John Graunt, como se mencionó anteriormente, publicó el primer estudio estadístico de población.
El estudio contenía, por primera vez, conclusiones acerca de algunos aspectos relacionados con estos datos. Esta obra es considerada como el punto de partida de la Estadística moderna.
En el siglo XIX, con la generalización del método científico para estudiar todos los fenómenos de las ciencias naturales y sociales, los investigadores aceptaron la necesidad de reducir la información a valores
numéricos, para evitar la ambigüedad de las descripciones verbales. En nuestros días, la Estadística tiene importancia para presentar, relacionar y analizar información relacionada con datos de diversas
áreas. El trabajo de un estadístico ya no consiste solo en reunir y tabular los datos, sino en analizar e interpretar correctamente esa información, para inferir y predecir lo que podría ocurrir según ciertas tendencias y así orientar mejor la toma de decisiones.

Resumen
• Población corresponde a la totalidad de personas, eventos o cosas de las cuales se desea hacer
un estudio, y tienen una característica en común que se quiere medir.
• Una muestra es un subconjunto o subgrupo de la población. La representatividad de la
muestra no tiene que ver necesariamente con su tamaño, sino con la capacidad de reproducir
a pequeña escala las características de la población.
• La frecuencia absoluta de una clase es el número de datos que forma dicha clase, mientras
que la frecuencia relativa corresponde a la razón entre la frecuencia absoluta y el total de
datos, la cual también se puede expresar mediante el uso de porcentajes.
• Para construir una tabla de frecuencias para datos agrupados, se determina el tamaño de
cada intervalo, dividiendo el valor del rango por la cantidad de intervalos que se desea
obtener. Se recomienda tomar como longitud de los intervalos un valor entero que sea
mayor o igual al cociente obtenido.

• Las medidas de tendencia central nos dan una idea acerca del comportamiento de los
datos a los que se refieren. Se puede decir que expresan el grado de centralización de los
datos que representan.
• La mediana de un conjunto de datos numéricos, ordenados en forma creciente o decreciente,
es el dato que se encuentra al centro de dicha ordenación, o la media aritmética de los datos
centrales (en caso de que la muestra tenga un número de datos pares).
• La moda de un conjunto de datos es aquel que tiene la mayor frecuencia.
• La media aritmética de un conjunto de datos es el cociente entre la suma de todos los datos
y la frecuencia total de ellos.
• La correlación de dos variables corresponde al grado de asociación que existe entre ellas.
La correlación puede ser:
• positiva: si están directamente relacionadas.
• negativa: si se relacionan de manera inversa.
• nula: si no existe relación entre ellas.
• La correlación se puede medir usando el coeficiente de correlación lineal de Pearson.
Este coeficiente varía entre –1 y 1.
• La media poblacional se encuentra en el siguiente intervalo de confianza:
, donde x: media muestral.
k: coeficiente asociado al nivel de confianza.
s: desviación estándar de la muestra.
n: número de elementos de la muestra.
• El margen de error corresponde a .
, donde k: nivel de confianza.
σ: desviación estándar de la población.
E: margen de error.
• Se puede estimar el tamaño de la población realizando dos muestras sucesivas y, luego,
despejando N de la ecuación:
= , donde n1: tamaño de la primera muestra.
n2: tamaño de la segunda muestra.
m: número de individuos marcados en la segunda muestra.
N: tamaño de la población
• Una de las distribuciones probabilísticas de variables continuas es la distribución normal,
cuya representación gráfica es conocida como la campana de Gauss.
• Si X es una variable que se distribuye N(μ, σ), se puede definir Z = , de modo que ahora
Z distribuye N(0, 1).
• La variable Z se puede utilizar para calcular probabilidades y tamaños de grupos de población
a partir de los valores de la tabla.

ESTADISTICA
MANEJO DE DATOS
Para el manejo de datos es importante aclarar el significado de algunos términos:
POBLACIÓN O UNIVERSO
Es el conjunto sobre el cual se realiza el estudio; los elementos pueden ser personas, objetos o sucesos, simples o compuestos. Así por ejemplo si en un país se trata de determinar la estatura promedio de los hombres mayores de 18 años, la población estará formada por todos los hombres mayores de 18 años.
MUESTRA
Es un subconjunto de la población, es una pequeña parte del grupo total pero que representa todas las características del mismo. Por razones de comodidad, tiempo y costos en la mayoría de las investigaciones es casi imposible obtener datos de la población total y por ello se recurre a la selección de muestras de tamaño apropiado, para lo cual se siguen diferentes procesos. Así por ejemplo los hombres mayores de 18 años que sean profesionales.
PARÁMETROS
Son los números que describen ciertas características de la población, como la media aritmética y la varianza.
ESTADÍSTICA
Es parte del método científico que se encarga de recolectar, organizar, analizar, interpretar y presentar datos con el fin de obtener decisiones decisivas. También permite realizar predicciones.
División de la Estadística:
Estadística Descriptiva
Es la parte de la estadística que trata solamente de describir, analizar, recolectar, clasificar y organizar la información mediante gráficos y/o valores numéricos.
Estadística Inferencial
Infiere o induce leyes de comportamiento de una población a partir del análisis de una muestra, está relacionada con el muestreo, la estimación y el cálculo de probabilidades; los cuales van a ser usados para reducir resultados o probar algunas hipótesis.

Las estadísticas antes mencionadas difieren entre si porque la Estadística Inferencial usa el cálculo de la probabilidad y la Estadística Descriptiva no.
En nuestro caso sólo analizaremos la geometría descriptiva.
La Estadística Descriptiva también usa la variable

VARIABLE
Es toda característica o fenómeno que puede tomar cualquier valor de un conjunto determinado.
Clases de variable:
A. Variable Cualitativa:
Cuando sus datos expresan mediante una característica, atributo o palabras una cualidad (no numérica) por ejemplo: la raza, religión, lugar de nacimiento, etc.
B. Variable Cuantitativa:
Cuando el valor de la variable se expresa como una cantidad, sus datos son numéricos y pueden resultar de la operación de contar o medir y pueden ser de la forma: peso, talla, edad, etc. Puede ser de dos clases:
 Variable Cuantitativa Discreta:
Cuando las variables toman valores enteros positivos y sirven para contar.
Ejemplo:
Número de hijos por la familia.
 Variable cuantativa continua: Cuando las variables toman valores reales.
Ejemplo:
Estatura de 5 alumnos.
Dato: 1,42 m ; 1,30m ; 1,38 m ; 1,50m. ; 1,58m.
TABLAS ESTADÍSTICAS
1. Tablas Unidimensionales
Cuando se analiza una sola variable.

2. Tablas Bidimensionales
Cuando se analizan 2 variables

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA
Es el método para organizar y resumir datos. Los datos se clasifican y ordenan para facilitar su interpretación. Cuando se dispone de numerosos datos conviene agruparlos en clases o intervalos e indicar cuantos elementos hay en cada intervalo; éste número se llama frecuencia.
FRECUENCIA
Es el número de veces que ocurrió un valor.
Agrupación de datos por su frecuencia:
1. Se ordenan los datos en orden creciente.
2. Se lee la demanda semana por semana.
Observemos que el menor de los valores obtenidos es 59 y el mayor 97. De esta observación surge el concepto de rango.
RANGO
Es la diferencia entre el mayor y el menor de los valores obtenidos. Para nuestro ejemplo, el rango es:
97 – 59 = 38
AGRUPACIÓN DE DATOS
POR SU FRECUENCIA

Los valores pueden llevarse en un gráfico de bastones que se denomina histograma de frecuencias de la variable.
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
ABSOLUTAS

Observamos que se ha llevado en abscisas los valores de demanda y en ordenadas los de frecuencia.
Frecuencia relativa
La frecuencia relativa de un valor observado se encuentra como el cociente entre la frecuencia con que se presenta dicho valor y el total de observaciones.

fr : Frencuencia relativa
fi : Frencuencia correspondiente a cada valor i
n : Número total de observaciones

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
RELATIVAS

Este histograma nos da, para cada valor de demanda, el porcentaje del total de observaciones que tomaron ese valor. La construcción de este gráfico, cuando se trabaja con un gran número de datos, resulta muy laboriosa.
Por eso se recurre a agrupaciones en clases o categorías y determina el número de valores correspondientes a cada clase, que es la frecuencia de clase.
Intervalos de clase
Analizando nuestro ejemplo, observamos que las 48 frecuencias obtenidas mediante el ordenamiento anterior son todavía excesivas para visualizar el problema; por ello se agrupan los datos en clases.
Cada clase contiene un número, en general fijo de valores posibles. Eligiendo, para nuestro ejemplo, tamaño de clase 5:, obtendremos la siguiente agrupación de datos.
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

Los valores comprendidos entre (59-63), (64-68), etc., se conocen con el nombre de intervalo de clases, siendo cada par de valores los límites de clase.
El número menor es el límite inferior y el número mayor es el límite superior. La última tabla se conoce con el nombre de distribución de frecuencias.
MÉTODO GENERAL PARA LA
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
1. Determinar el mayor y el menor entre los datos registrados y así encontrar el rango.
2. Dividir el rango en un número conveniente de intervalos de clase del mismo tamaño.
3. Determinar el número de observaciones que caen dentro de cada intervalo de clase, es decir, encontrar las frecuencias de clase.

HISTOGRAMA Y POLÍGONOS DE
FRECUENCIA
Son dos representaciones gráficas de las distribuciones de frecuencia.
• Histograma
Un histograma o histograma de frecuencias está formado por una serie de rectángulos que tienen sus bases sobre un eje horizontal (eje X) e iguales al ancho de clase. Su altura es igual a la frecuencia de clase.
• Polígono de Frecuencias
Es un gráfico de líneas trazado sobre los puntos medios de cada clase. Se obtiene uniendo los puntos medios de los extremos superiores de cada rectángulo. Se acostumbra prolongar el polígono hasta los puntos medios inferior y superior de las clases inmediatas. Construiremos ahora el polígono de frecuencias y el histograma para nuestro ejemplo, teniendo en cuenta la explicación anterior.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
RELATIVAS
La frecuencia relativa de clase es la frecuencia de la clase dividida por el total de frecuencias.
Se expresa como porcentaje. Por ejemplo, la frecuencia relativa de la clase (64 – 68) es:

Si en la tabla de distribución de frecuencias se sustituyen las frecuencias absolutas por las frecuencias relativas, obtendríamos una tabla de frecuencias relativas o de distribución de frecuencias relativas.
La representación gráfica puede obtenerse con el cambio de escala vertical de frecuencias absolutas a frecuencias relativas, manteniéndose el mismo diagrama.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
ACUMULADAS
La frecuencia total acumulada en un determinado punto es igual a la suma de las frecuencias anteriores al punto. Ejemplo: observando la tabla distribución de frecuencias, la frecuencia acumulada hasta la clase 4 es igual a 30.
Se conoce también como tabla de frecuencias acumuladas y representa las frecuencias acumuladas para cada intervalo de clase.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
ACUMULADAS

Observamos que la frecuencia de la última clase coincide con la frecuencia total.
Polígonos de frecuencia acumuladas
El polígono de frecuencias acumuladas se constituye con los datos de la tabla superior. Se llevan los valores de frecuencia en correspondencia con los límites inferiores de cada clase.
Frecuencia relativa acumulada (fr.a)
La frecuencia relativa acumulada o frecuencia porcentual acumulada es:

Ejemplo
En nuestro caso, la frecuencia relativa acumulada en la clase (69-73) es (16/48). 100; o sea 33,33. Reemplazando en la tabla distribución de frecuencias acumuladas, estas últimas por las frecuencias acumuladas por las frecuencias relativas acumuladas, se obtienen las distribuciones de frecuencias relativas acumuladas.
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
RELATIVAS ACUMULADAS

La suma de las frecuencias relativas acumuladas debe corresponder al 100%.

MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN
Dado un conjunto de datos, el promedio es un valor que tiende a situarse en el centro del conjunto de los valores dados. Por ello los promedios son medidas de centralización.
Las estadísticas más utilizadas son las de posición, que dan una idea de la ubicación de las observaciones.
Las estadísticas de dispersión dan una idea de la dispersión o esparcimiento de las observaciones.

ESTADÍSTICA DE POSICIÓN
Media Aritmética
Dado un conjunto de N números: x1, x2, x3,…,xn, la media aritmética, o media se representa por :

Siendo:

Ejemplos:
Dados los siguientes valores: 8, 10, 12, 5, 4, 9, hallar la media.

Veamos otro ejemplo: dado un conjunto de valores x1, x2, x3, …, xn que se presentan con una frecuencia f1, f2, f3, f4, …., fn; la media aritmética se calcula de la siguiente forma:
se observa:

Una fórmula similar se puede utilizar cuando los valores se agrupan en clases.

xi : es el valor medio de la clase
i : primer valor
m : número total de clases
f i : frecuencia de cada clase

MEDIANA
Es aquel valor para el cual el número de observaciones mayores que él es igual al número de observaciones menores que él.
Cuando el número de observaciones es impar, la mediana queda definida. Si el número de observaciones es par, el valor de la mediana se determina como promedio de las dos observaciones centrales.
Entrando en el gráfico de frecuencias acumuladas (gráfico 4) con el valor de frecuencia acumulada 0,5 del mismo se obtiene el valor de la mediana. El valor de la mediana se lee sobre el eje de abscisas. El valor pertenece a la clase (69 -74).
Ejemplo:
Dados los siguientes valores: 4, 8, 7, 3, 1, 5, 9, calcular la mediana.
Mediana: 5

Si el número de observaciones es par, como en el siguiente ejemplo: 10, 15, 25, 42, la mediana será:

Mediana: 20

Si los valores están agrupados en clases, la mediana se obtiene mediante la interpolación, aplicando la siguiente fórmula:

L1 : Límite inferior de la clase mediana (es la clase que contiene a la mediana).
N : Número total de datos (frecuencia total).
C : Longitud del intervalo o clase.
f mediana : Frecuencia de la clase mediana.
(åf)1 : Sumatoria de las frecuencias de todas las clases menores que la mediana.

Ejemplo:
Dados los siguientes valores y sus frecuencias, calcular la mediana:

Por tanto la mediana es un valor de la tercera clase.

MODA
La moda de una serie de números es aquel valor que se presenta con la mayor frecuencia, es decir, es el valor más común. La moda puede no existir e incluso, si existe, puede no ser única.

Ejemplo:
Hallar la moda de los siguientes números:
7, 4, 8, 6, 2, 3, 9, 7, 8, 7, 1, 7.
Moda:7
ESTADÍSTICA DE DISPERSIÓN
Rango
Es la diferencia entre el mayor y el menor valor de un conjunto de números.
Ejemplo: El rango correspondiente a los números: 2, 6, 9, 8, 10 es (10 – 2) = 8.
Rango: 8
Desviación media
Se conoce también como promedio de desviación.
Para una serie de N valores: x1, x2, x3, …, xn, puede calcularse a través de la siguiente expresión:
Desviación media
: Media aritmética
: Valor absoluto de las desviaciones de los
xj valores, respecto de la media.
Ejemplo:
Hallar la desviación media de: 4, 6, 12, 16, 22.
Es

Si los valores se presentan con una determinada frecuencia f1, …, fk, la desviación media puede calcularse mediante la siguiente expresión:

Esta expresión es también aplicable cuando los valores están agrupados por clases. En este caso, xi respresenta el punto medio de cada clase y fi las frecuencias de cada clase.
DESVIACIÓN TÍPICA
Dada una serie de N valores x1, x2,…, xN, la desviación típica S se define por:

x (minúscula): son las desviaciones de cada uno de los xi con respecto a la media .
Si los datos se presentan con una determinada frecuencia f1, …, fk, puede aplicarse la siguiente expresión:

DESVIACIÓN TÍPICA VARIANZA
Dado un conjunto de números se define como varianza al cuadro de la desviación típica:

DISPERSIÓN ABSOLUTA Y RELATIVA
Dispersión absoluta: Es la dispersión o variación real determinada por la desviación típica.
Dispersión relativa: Es el cociente entre la dispersión absoluta y el promedio. Puede hallarse:

Coeficiente de variación
Cuando la desviación absoluta es igual a la desviación típica, S, y el promedio es la media , la dispersión relativa se conoce con el nombre de coeficiente de variación, que se expresa como un porcentaje.
Coeficiente de variación:

1. El total de alumnos existentes en 4 aulas es 600. ¿Cuántos alumnos en promedio hay por aula?

Rpta.:

Rpta.:

Rpta.:

4. La MA de la MA y la MG de dos cantidades es a la media artimética de las raíces cuadradas de los números como 5 es a 2. Si la MG es 6, hallar la media aritmética.

Rpta.:

5. Hallar el promedio entre la moda y la mediana.
1; 1; 2; 3; 2; 5; 7; 8; 13; 14; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8

Rpta.:

6. La media aritmética de 10 números es 20 y la media aritmética de otros 20 números es 10. Hallar la media aritmética de los 30 números.

Rpta.:

7. Hallar la MA de 3 números pares consecutivos, tales que la MG de los dos menores sea

Rpta.:

8. Hallar el valor de n sabiendo que la MG de: 2; 4; 8; 16; …; 2n es igual a 2048.

Rpta.:

Rpta.:

Rpta.:

1. Aritmia hace una atribución de frecuencia en base a los pesos de sus amigos y obtuvo la siguiente información:

Se le pide calcular (x + y + m)
A) I B) II C) III D) 72 E) 76

2. En la siguiente distribución de ancho de clase constante:

se pide determinar (h2 + g – f)
A) B) C)
D) E)

3. Se hace un estudio a 50 trabajadores de una cierta fábrica y se obtuvo el siguiente cuadro estadístico:

se pide calcular (m – a + n – b + p – c + q – d)

A) 52 B) –52 C) 62
D) –62 E) 42

4. Dada la siguiente distribución de frecuencias:

se pide calcular (m + n + r + s)

A) 180 B) 180,1 C) 181,2
D) 182,3 E) 184

A) 35 B) 60 C) 70
D) 130 E) 135

6. Se distribuye un número de empresas según sus inversiones en millones de soles:

¿Cuántas empresas intervienen en menos de 25 millones de soles?
A) 12 B) 18 C) 14 D) 22 E) 16

7. Dada la siguiente distribución de frecuencias:

se sabe que: h1 = h5 ; h2 = n4
A) B) C) D) E)

8. El siguiente cuadro muestra la ojiva de la frecuencia relativa acumulada de las edades de cierto número de alumnos. ¿Qué porcentaje de alumnos tienen edades comprendidas entre 10 y 15 años?

A) 10% B) 21% C) 18%
D) 23% E) 14%

9. Se tiene que:
A: 2, 3, 3, 5, 7, 6, 7, 5, 8, 4
B: 6, 7, 5, 2, 9, 1, 7, 6, 4, 2
C: 3, 4, 7, 6, 8, 9, 7, 6, 3, 2
Se pide determinar en qué orden se encuentran las medianas.
A) MeB > MeA > MeC
B) MeB > MeC > MeA
C) MeA > MeB > MeC
D) MeA > MeC > MeB
E) MeC > MeB > MeA

10. Se conoce la siguiente distribución en base a los pesos de 8 niños:

1. Se tiene la siguiente tabla de frecuencia, cuya distribución es simétrica.

El ancho de clase es constante. ¿Cuántos datos habrá en el intervalo ?
A) 14 B) 18 C) 20 D) 24 E) 28

Indicar qué tanto por ciento del total tiene el diario de mayor preferencia si éste es máximo.
(a y b enteros).
A) 60% B) 55% C) 48%
D) 49% E) 50%

Calcula la diferencia entre los que prefieren los productos B y A.
A) 16 B) 20 C) 24 D) 32 E) 48

4. Se conocen las edades de 5 jóvenes, la media de ellos es 17,2 años, su moda es 16 y su mediana es 17. ¿Cuántos años tiene el mayor de los jóvenes si todas las edades son expresadas con valores enteros?
A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20

5. Se tiene el siguiente histograma de frecuencias relativas:

¿Cuántas observaciones hay en el intervalo si la población es de 390?
A) 90 B) 120 C) 150
D) 300 E) 320

6. En un salón se tomaron 6 pruebas, siendo las calificaciones de: 08, 10, 14, 18, 15, 20. ¿Cuál es la nota promedio?

Rpta.:

7. De un total de 100 números, 20 eran 4; 40 eran 5, 30 eran 6 y el resto eran 7. Hallar la media aritmética de los números.

Rpta.:

8. La media del examen parcial del curso de Historia tomada a 20 alumnos es 08. El profesor, preocupado por las notas tan bajas decide aumentar 2 puntos a todos los jalados, siendo el nuevo promedio 9,5. ¿Cuántos son los jalados?

Rpta.:

9. ¿Cuántos habitantes en promedio por año hay en la población a?

Rpta.:

10. En promedio, ¿cuántos alumnos hay por aula?

Rpta.: