ESPACIOS VECTORIALES PROBLEMAS RESUELTOS PDF

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ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERNO





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Espacios vectoriales sobre los n´umeros complejos , Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos

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Espacios
vectoriales
En este capítulo estudiaremos el siguiente concepto clave en álgebra lineal. Pero antes, motivaremos las
ideas principales por medio de un repaso de conceptos elementales del plano cartesiano. Después extenderemos
estos conceptos de manera natural a espacios de vectores más generales para, posteriormente,
continuar con un estudio abstracto y completo de estos entes que llamaremos espacios vectoriales.
Geometría de los espacios ffi.n
En esta sección el objetivo fundamental es generalizar las características geométricas esenciales que
poseen los vectores en el plano cartesiano y en el espacio de tres dimensiones a espacios cuyos vectores
tienen mayor número de coordenadas, los llamados espacios JRn. Para ello comenzamos, en la
primera sub sección, con un repaso de estas características en el plano cartesiano. Bien pudimos emplear
como modelo para este propósito el espacio tridimensional pero, por razones de sencillez en cuanto a
los bosquejos geométricos, hemos preferido utilizar el plano cartesiano; sin embargo, como el lector
podrá constatar fácilmente por sí mismo, todo lo que hagamos en el siguiente apartado para el plano
cartesiano es completamente válido cuando se traslada al espacio de tres dimensiones.
El plano cartesiano JR2
Definición 3.1 Definimos
JR2 = {(x,y) Ix,y E JR}.
Geométricamente, JR2 es el plano cartesiano con el que el lector está familiarizado de sus cursos elementales
y que ilustramos en la figura 3-1.
Las características esenciales, algebraicas y geométricas, de JR2 son:
1. Igualdad: Si 11 = (XI,Y¡), V = (X2,Y2) E JR2, 11 = v q xl = X2 Y Yl = Y2-
2. Suma: Si 11 = (x¡,y¡), v = (X2,Y2),
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JR:2
I U = (X,y)
x
= __ Figura 3-1 • JR:2, plano donde cada punto (vector) u se localiza mediante un par ordenado (x,y).
Xl
;:;:;;¡ _ Figura 3-2 • La suma de dos vectores en el plano es la diagonal del paralelogramo que se genera a partir de esos
vectores.
La suma de dos vectores de JR:2 se obtiene, geométricamente, por la diagonal del paralelogramo
como se indica en la figura 3-2.
3. Producto de un escalar por un vector. Si A E JR: Y u = (x,y) E JR:2, AU = (.\x, AY).

Así, el vector AU es un vector paralelo a u con un cambio de escala y/o de sentido, tal como queda
ilustrado en la figura 3-3.
4. Norma o magnitud de un vector. Si u = (x,y), se define y denota la norma de u como
La norma representa la magnitud o la longitud del vector u (véase la figura 3-4).
• La norma o magnitud de un vector es la longitud del vector.
5. Distancia entre vectores. Si u y v son vectores de JR:2, se define la distancia entre ellos como la
magnitud del vector v – u; esto es,
d(v,u) = Ilv-ull.
Note que el vector v – u es el vector que sumado a u da como resultado el vector v tal como se
ilustra en la figura 3-5, y que la distancia de u a ves la misma que la distancia de va u; es decir,
d(u,v) =d(v,u).
::::::1 _ Figura 3-5 • La distancia entre vectores es la magnitud de la diferencia entre ellos.
6. Producto interior o escalar. El producto interior o escalar (o producto punto) de u con v, como
el lector recordará de sus cursos de física, está dado por
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:::::1 _ Figura 3-6 • El producto punto de dos vectores es la magnitud de la proyección del primer vector sobre el segundo
multiplicada por la norma de este último.
u· V = 1111.111Ivll cos e (3.1)
donde e es el ángulo entre U y V; y es la magnitud de la proyección de U sobre V multiplicada por la
norma de v (véase la figura 3-6). Mediante el producto escalar también se define el trabajo físico.
Observe que todas las características anteriores del espacio JR2 están perfectamente determinadas
algebraicamente por las coordenadas (x,y) de los vectores correspondientes, excepto el producto punto.
Nos proponemos dar una fórmula alternativa para calcular el producto punto que no dependa de conocer
el ángulo entre los vectores; específicamente, deseamos hallar una relación del producto interior que
dependa exclusivamente de las componentes de los vectores. Para ello necesitaremos de la llamada ley
de los cosenos, conocida por el lector de sus cursos de trigonometría, que recordamos en la figura 3-7.
e
A B
~ _ Figura 3-7 • Si se representan por letras mayúsculas las magnitudes de los ángulos y por letras minúsculas las
magnitudes de los correspondientes lados opuestos a cada ángulo, entonces se cumple la relación c2 = a2 + b2 –
2ab cos e, llamada ley de los cosenos, para cualqnier triángulo dado.
Ahora sean 11.= (X[,y¡) y V = (X2,Y2) un par de vectores en JR2 De la figura 3-8 y la ley de los
cosenos tenemos que
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\ ,-
.=::1 _ Figura 3-8 •
Luego,

2. Por otra parte, ya que -1 <; cos e <; 1, \:le E lR, se tiene a la cual se le llama desigualdad de Schwarz. 3. También, de (3.1) (cfr. pág. 116), el ángulo entre dos vectores ií, vno nulos está dado por: (3.3) 3.1.2 Interpretación geométrica del determinante Aunque el determinante es un concepto útil asociado a las matrices, para el estudio de éstas y de otros aspectos del álgebra lineal, el determinante tiene una interpretación geométrica sumamente importante, www.Matematica1.com .:::::1 _ Figura 3-9 • la cual se puede usar, por ejemplo, en la teoría de integración, específicamente en la fórmula de cambio de variables para integrales y en el cálculo de volúmenes y áreas. Es en estas dos últimas en las cuales enfocaremos nuestra atención. Sean u = (a, b), v = (c, d) dos vectores de JR2 Calculemos el área S del paralelogramo generado por estos vectores. Entonces, de acuerdo con la figura 3-9, S = 2S[ + S2 (porque S[ = S3). Ahora bien, S[ = (xh)/2 y h = Ilull sene. Entonces, xh S = 22 +S2 = xllull sene + S2 = xllull senB+ (1Ivll-x)h = xllull senB+ hllvll- xh ;;::¡ _ Figura 3-10 • El volumen del paralelepípedo generado por los vectores 11, vy w es el valor absoluto del determinante de la matriz que tiene como filas (o columnas) a estos vectores. Es decir, s = I det (M) I ' donde M es la matriz que tiene como filas (o columnas) a los vectores u y v. De manera análoga, el determinante de una matriz 3 x 3 (o mejor dicho, su valor absoluto) será el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores fila de la propia matriz, como se ilustra en la figura 3-10. 3.1.3 El espacio vectoriallRn, geometría y propiedades algebraicas En esta subsección nos proponemos generalizar las propiedades algebraicas y geométricas de ]R2 a espacios de mayor "dimensión". Es evidente que, tanto en la teoría como en la práctica, surgen problemas que involucran un número de variables mayor a dos (en algunos problemas de importancia netamente aplicada, este número puede ser de hasta 20000). Por tanto, es necesario estudiar aquellos conjuntos cuyos elementos son n-adas ordenadas y tienen cualidades análogas a las de los vectores del plano de coordenadas. Definición 3.2 Sea n un número entero positivo. Se define el espacio ]Rn como A los elementos de ]Rn también les llamaremos vectores. Al número Xi se le dice la i-ésima componente o coordenada de U. Yal vector u lo denotaremos, indistintamente, como u = (X¡,X2,'" ,xn ) o como la matriz columna www.Matematica1.com o Nota 3.2 Cuando se emplea la notación u = (Xl,X2, ... ,Xn ), se acostumbra decir que (Xl,X2, ... ,Xn ) es una n-ada ordenada; por ejemplo, (Xl,X2,X3) es una triada ordenada. Definición 3.3 Sean u, v E ]Rn, con u = (Xl,X2, ... ,Xn ), v = (Yl,Y2, ... ,Yn) y.\ E]R. l. Igualdad. u = v q Xi = Yi para cada i = 1,2, ... ,n. 2. Suma de vectores. Se denota y define la suma de u con v como 3. Producto de un escalar por un vector. Se denota y define el producto del escalar .\ con el vector u como 4. Producto escalar. El producto escalar (o producto punto o producto interior) de u con v se denota y define como n U . V = L XiYi = X1Yl + ... + XnYn . i=l 5. Norma de un vector. Se define la norma o magnitud del vector u por 6. Distancia entre vectores (puntos) en ]R". Se define la distancia entre los vectores u y v como d(u, v) = Ilu - vii. o Nota3.3 1. La relación entre el producto interior y la norma vuelve a ser, como en el caso de ]R2, Ilull = (u. u)I/2 . (3.4) 2. Existen otras formas de medir magnitudes de vectores; sin embargo, la históricamente más común es la que hemos usado hasta ahora dada por (3.4). A esta magnitud se le acostumbra llamar norma euclidiana o norma canónica del vector u por su origen geométrico y natural, respectivamente. 3. Dado que los vectores en ]Rn los hemos denotado también como matrices columna, el producto punto se puede ver como producto de matrices; esto es, u~ ·v~ = (~)t~ U v. En el lado izquierdo de la precedente igualdad los vectores están escritos con la notación de n-adas ordenadas y en el lado derecho están escritos con la notación de matrices columna. www.Matematica1.com Así, vemos que todas las definiciones dadas arriba son generalizaciones directas de la manera en que se opera, se mide y se hace geometría y álgebra en el plano de coordenadas ]R2. También debe notarse la importancia que tuvo dar una fórmula alternativa para el producto interior que dependiera sólo de las componentes de los vectores (cfr. fórmula (3.2), pág. 117); de no ser así, no podríamos haber generalizado el producto punto al no tener una forma de "medir ángulos" por medios físicos en estos espacios cuando n > 3. Sin embargo, el concepto de ángulo entre vectores sí lo podremos extender a los espacios
]Rn con n > 3 mediante la desigualdad de Schwarz que veremos más adelante.
~ Ejemplo 3.1 Si n = 3, ]R3 es el espacio usual de tres dimensiones donde “habitamos”. En este espacio
necesitamos de tres números reales (X¡,X2,X3) [o, como tradicionalmente se escribe, (x,y,z)] para
determinar la posición de un punto, como hacemos patente en la figura 3-11. ….
z
e
u = (a,b,c)
b
y
x
;;::¡ _ Figura 3-11 • En el espacio JR:3 todo punto (vector) u se localiza mediante una tríada ordenada (a ,b,c); donde las
dos primeras componentes (a, b) son la proyección vertical de este punto sobre el plano x, y y la tercera, e, es la
proyección horizontal de este punto sobre el eje z.
o Nota 3.4 Es común en textos de matemáticas convenir que cuando se hacen diagramas del espacio
tridimensional ]R3, los ejes x, y y z se coloquen como en la figura 3-11. Usted puede recordar esta
convención (algunas veces llamada regla de la mano izquierda) colocando su mano izquierda con la
palma frente a usted, abriendo los dedos medio, índice y pulgar (cerrando los dedos anular y meñique);
apuntando el dedo medio hacia usted, el índice hacia su derecha y el pulgar hacia arriba. Así, sus dedos
señalarán las direcciones positivas del eje x (dedo medio), eje y (dedo índice) y eje z (dedo pulgar).
~ Ejemplo 3.2 Si u = (1, -2,4) Y v = (3,6,0), entonces u, v E ]R3 y;
1. u+v= (4,4,4).
2. -V2u= (-V2,2V2,-4V2).
3. u·v= (1)(3)+(-2)(6)+(4)(0) =3-12+0= -9.
4. Ilull = VI2+(-2)2+42 = V21 …..
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~ Ejemplo 3.3 Si u = (-1,2,5,9), v = (2, -4,0,3) E JR,4:
1. u·v=-2-8+27=17.
2. u+(-2)v= (-1,2,5,9)+(-4,8,0,-6) = (-5,10,5,3).
3. Ilvll = (4 + 16 + 9)1/2 = V29 …..
~ Ejemplo 3.4 Calcular la distancia entre los vectores:
1. u= (1,-2,1) yv= (-2,1,1).
2. u= (-1,0,2,3,1) yv= (1,1,-4,2,0) …..
Solución 1. d(u,v) = Ilu-vll
= 11(1,-2,1)-(-2,1,1)11
= 11(3, -3,0) 11
= 3V2.
2. d(u, v) = Ilu – vii
= 11(-1,0,2,3,1) – (1,1, -4,2,0) 11
= 11(-2,-1,6,1,1)11
= V43. V
A continuación enunciamos, sin demostrar, las propiedades algebraicas esenciales de ]Rn. Utilizando
la conmutatividad, asociatividad, etc. de los números reales y la definición de igualdad de vectores, el
lector puede fácilmente verificarlas. De hecho, como veremos más adelante, dichas propiedades también
se pueden observar en otros conjuntos’ que llamaremos espacios vectoriales.
Propiedades del espacio vectorial de lEn
Si u, v, w E ]Rn y A, fJ E lR, entonces:
1. u + v E ]Rn. (La suma es cerrada)
2. u + (v + w) = (u + v) + w. (Asociatividad de la suma)
3. u + v = v + U. (Conmutatividad de la suma)
4. Si ehn = lO, O, … , O), 5 ~{n E ]Rn y U + 5 ~{n = u, Vu E ]Rn. (Existencia del neutro aditivo)
‘( ‘V’ -‘
n
5. Dado u = (Xl,X2, … ,Xn ) E ]Rn, existe -u E]Rn tal que u + (-u) = 5~{n.
De hecho, -u = (-x¡, -X2,” ., -xn ). (Existencia del inverso aditivo)
6. AU E ]Rn. (El producto por un escalar es cerrado)
7. A(fJU) = (AfJ)U. (Asociatividad del producto con escalares)
‘ Compare con las propiedades I(a) a I( j) de la subsección 1.1.4, páginas 9 y 10.
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8. (A + (3)u = AU + (3u. (Distributividad del producto con respecto a la suma de escalares)
9. A(u + v) = AU + AV. (Distributividad del producto con respecto a la suma de vectores)
10. 1u = u, \/u E lRn . (Preservación de la escala)
El producto escalar tiene las siguientes importantes propiedades que son sencillas de probar y cuya
demostración se deja al lector.
Propiedades del producto punto
Sean u, v, w E lRn y A E lR, entonces:
1. u· v = v· u. (Simetria)
2. u· (AV) = A (u· v). (Homogeneidad)
3. u· (v + w) = u· v + u· w. (Distributividad)
4. u· u ? O y u· u = O <=? u = O. (Positividad) 3.1.4 La desigualdad de Schwarz, ángulos entre vectores y ortogonalidad Es claro que la generalización natural de ángulo entre vectores en lRn debe estar dada por la fórmula2 Pero, para que se pueda evaluar la función arc cos, es necesario que u·v -1 <; Ilullllvll <; 1 lo cual evidentemente equivale a I u· vi <; Ilullllvll· Afortunadamente, esta desigualdad es cierta y la probaremos en el teorema 3.1. Estaremos entonces facultados para generalizar el concepto de ángulo entre vectores en lRn para n > 3. Para poder demostrar
dicha desigualdad necesitamos de la sencilla proposición que damos a continuación (lema 3.1).
Lema 3.1 Si a, b son cualquier par de números reales, entonces

Ahora sí podemos definir, con base en la desigualdad de Schwarz (3.6), el ángulo entre vectores de
n componentes; que es una generalización del concepto de ángulo entre vectores en el espacio de tres
dimensiones y en el plano cartesiano.
Definición 3.4 Si U, v E ]Rn – {O ~{n }, se define el ángulo entre estos vectores como:
(3.9)
~ Ejemplo 3.5 Hallar el ángulo f) entre los vectores (1,2,0,2) y (-3,1,1,5) de ]R4 ….
Solución
f) [ (1,2,0,2)·(-3,1,1,5) ]
= arccos V12 +22 +02 + 22y/( -3)2 + 12 + 12 +52
Una vez que se ha definido el concepto de ángulo entre vectores, se puede determinar cuándo un par
de éstos son perpendiculares; la manera de generalizar esta idea a]Rn la hacemos patente a continuación.
Notemos, de (3.9), que el ángulo entre dos vectores es de 90° si y sólo si su producto punto es cero.
Definición 3.5
1. Dos vectores U, v E ]Rn son ortogonales (perpendiculares) si
u·v= O;
es decir, si el ángulo entre ellos es de 90°. Cuando u y v sean ortogonales lo denotaremos por
u13
2. u y v son paralelos (u II v) si u· v = ± Ilullllvll, lo que equivale a que el ángulo entre ellos sea de
0° o 180°.
Teorema de Pitágoras
Quizá uno de los más importantes y conspicuos resultados de las matemáticas, conocido y usado en
forma empírica desde el inicio de la civilización (Babilonia, Egipto), luego convertido en una afirma~
ción general y probado en forma completamente rigurosa por los griegos, es el teorema de Pitágoras.
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Se enseña en educación elemental y, a partir de ahí, se hace uso sistemático de él. Sin embargo, la
mayor parte de la gente que usa este teorema desconoce alguna demostración porque se requieren varios
resultados elementales de geometría para poder establecer una prueba rigurosa. A continuación daremos
una demostración muy simple de este importante teorema; de hecho es trivial, pues el material que
hemos desarrollado hasta aquí nos proporciona una herramienta algebraica muy potente para atacar este
problema geométrico transformándolo en un sencillo cálculo algebraico.
Teorema 3.2 (Teorema de Pitágoras) Sean U, v E ]Rn un par de vectores ortogonales. Entonces,
Antes de dar la demostración de este teorema explicaremos su relación con el teorema de Pitágoras que
el lector conoce, pues en apariencia no hay una relación directa. Sin embargo, si particularizamos al
caso n = 2 del plano cartesiano ]R2, resulta que Ilu+vll es la longitud de la hipotenusa del triángulo
rectángulo, cuyos catetos tienen longitudes Ilull y Ilvll, como se ilustra en la figura 3-12.
Ilvll
~ _ Figura 3-12 • El teorema de Pitágoras establece que en cualquier triángulo rectángulo la suma de los cuadrados
de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
DEMOSTRACiÓN • Dado que u .1 v, se tiene u· v = O; luego
Propiedades de la norma en lEn
IIul12 +2u ·v+ IIvl12
IIul12 +0+ IIvl12
IIul12 + Ilv112. •
Uno de los conceptos más importantes en matemáticas es el de proximidad; y la forma de medir la
proximidad entre puntos es por medio de la distancia. En lR, el valor absoluto es la herramienta usada
para medir la distancia entre números reales. Recordemos que el valor absoluto tiene las siguientes
propiedades:
1. Ixl 2′ O \;Ix E ]R.
2. Ixl = O q x = O.
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3. l,\xl = IAllxI-
4. Ix + yl <; Ixl + Iyl· (Desigualdad triangular) Entonces la distancia entre un par de números x y y se define como el valor absoluto de su diferencia. En lRn , la norma es la manera natural para definir proximidad entre vectores por medio de la distancia entre ellos. A partir de las propiedades 1, 2, 3 Y 4 del valor absoluto, enunciadas arriba, se pueden deducir todas las demás propiedades que tiene el valor absoluto. De hecho, estas mismas propiedades las tiene la norma en lRn y cualquier otra propiedad de la norma también se puede deducir a partir de éstas. Teorema 3.3 (Propiedades de la norma en lRn) La norma en lRn tiene las siguientes propiedades: l. Ilull 2' O \IU E lRn . 2. Ilull = O q U = 5~{n. 3. IIAul1 = IAlllul1 Vu E lRn , VA E lR. 4. Ilu + vii <; Ilull + Ilvll Vu, v E lRn . (Desigualdad triangular) DEMOSTRACiÓN • 1. Si u = (Xl,X2, ... ,xnl E lRn, entonces ( ) 1/2 Ilull = ~x¡ 2' O. 2. Si u = 5~{n, claramente Ilull = O. Supongamos inversamente que u = (Xl,X2, ... ,xnl E lRn es tal que Ilull = O, entonces n '~" x21 = O·, i=l de donde x¡ = O Vi = 1,2, ... ,n; y por tanto u = 5~{n. 3. Si U = (Xl,X2, ... ,xnl E lRn y A E lR, entonces www.Matematica1.com 4. Si U, V E ]Rn, entonces De la desigualdad de Schwarz se tiene que u,v"'5c Ilullllvll y por tanto esto es, De donde, Ilu+vll "'5c Ilull + Ilvll· • La desigualdad triangular recibe este nombre porque, en el caso de vectores en]R2 (o en ]R3), significa que en todo triángulo, la longitud de cualquiera de sus lados es inferior a la suma de las longitudes de los otros dos lados; como ilustramos en la figura 3-13. ,----- Ilvll -------1 v "-,-..,.- ... \ " \ , \ \ \ \ \ \ 1 \ 1 \ 1 1 \ 1 \ 11 \ I \ 1 1 1 1 1 1 f-· IIi1II ----l 1 1 1 1 1 f-------- lli7+vll.--------J 1 1 1 f- - - - - - - - - Ilull + Ilv - - - - - - __ 1 ;:;:;;¡- - Figura 3-13 • Desigualdad triaugular: en todo triángulo, la longitud de cualquiera de sus lados es inferior a la suma de las longitudes de sus otros dos lados. Planos en lE3 Supongamos que un plano P pasa por el punto Uo = (xo,Yo,zo) y es ortogonal al vector r¡ = (a,b,c); es decir, r¡ es perpendicular a toda línea recta contenida en el plano P. Sea u = (x,y,z) un punto cualquiera www.Matematica1.com del plano P (cfr. figura 3-14). Entonces r¡ es perpendicular al segmento que une a los puntos Uo y u; es decir, r¡ .1 (u - uo). Por tanto, r¡ . (u - uo) = O y, por ende, a(x -xo) + b (y - Yo) + c(z - zo) = O (3.10) es la ecuación que determina el lugar geométrico correspondiente al plano P. Esto significa que todo punto (x,y,z) que pertenece al plano P satisface la ecuación (3.10). Inversamente, toda solución (x,y,z) de esta ecuación pertenece al plano P. =--Figura 3-14 • Un plano P que pasa por un punto dado i1 = (xo,Yo,zo) y es ortogonal a un vector 1) = (a, b,c). Es claro que la ecuación (3.10) equivale3 a ax+by+cz = d (3.11) donde d = axo + byo + CZo. ~ Ejemplo 3.6 Encontrar la ecuación del plano que es ortogonal al vector r¡ = (-1,2,4) Y pasa por el punto u = (2,1,1 ) ..... Solución La ecuación está dada por (3.10): (-I)(x -2) +2(y-l) +4(z-l) = O que equivale a -x+2y+4z = 4. V 3Es obvio que las ecuaciones (3.10) y (3.11) no son únicas en cuanto a la descripción algebraica de un plano corno lugar geométrico. En realidad, cualquier otra ecuación algebraica que cumpla con ese objetivo será equivalente a (3.10) y (3.11) en el sentido de que tienen las mismas soluciones y, por ende, describen el mismo lugar geométrico: el plano en cuestión. www.Matematica1.com ~ Ejemplo 3.7 Encontrar la ecuación del plano P que pasa por los puntos u = (1,0,0), v = (0,1,0) Y w=(O,O,l) .... Solución El plano debe contener los tres puntos y, por la definición geométrica de plano, también debe contener los segmentos de línea que unen a dichos puntos; dos de ellos son uvy uw. Si Tí = (a,b,e) es un vector ortogonal al plano, entonces Tí debe ser perpendicular a estos dos segmentos. Así que Tí .1 (u - v) y Tí .1 (u - w), por lo que Tí· (u - v) = O Y Tí· (u - w) = O. Esto es, es decir, (1,-1,0)· (a,b,e) = O (1,0,-1)· (a,b,e) = O; a-b = O a-e = O. Resolvamos ahora el sistema homogéneo anterior: [ ~ que produce las soluciones -1 O -1 1 Una solución particular es el vector ij = (1,1,1) obtenida al hacer r = 1. Así, el plano que pasa por estos puntos es ortogonal al vector Tí = (1,1,1), Y contiene al punto (1, O, O); por tanto, al utilizar (3.10), tenemos (l)(x -1) + (l)(y- O) + (1)(z- O) = O, que equivale a x+y+z=1. Este plano viene bosquejado en la figura 3-15. V x . . ' , z , , ="----+y , , '. -= _ Figura 3-15 • Plano que pasa por los puntos i1 = (1,0,0), ji = (0,1,0) Y W = (0,0, 1). www.Matematica1.com 3.2 Espacios vectoriales Hemos visto que las matrices tienen, con la suma y el producto por un escalar usuales, las mismas diez propiedades4 que las del espacio vectorial5 de ]Rn. Así, las generalizaciones algebraicas del plano y del espacio tienen un símil con un conjunto aparentemente sin conexión con ellos. Como veremos en esta sección, el de las matrices no es un caso aislado y, al contrario, existe una gran variedad de conjuntos en los que se han definido las operaciones suma entre sus elementos y multiplicación de números reales con estos elementos, que también satisfacen las citadas diez condiciones. Todos estos conjuntos tienen en común las propiedades mencionadas y, por tanto, lo que se derive de ellas dependerá de las mismas y no de los elementos que particularmente formen determinada colección. Por ello surge la necesidad de estudiar este tipo de conjuntos, con sus respectivas operaciones, en abstracto y no caso por caso de manera aislada. De esta forma, lo que haremos primeramente es abstraer estas diez propiedades como característica esencial de lo que llamaremos espacio vectorial, y entonces podremos derivar, a partir de las mismas, consecuencias generales en este espacio abstracto que serán entonces válidas, dado que dependen solamente de las propiedades de las operaciones y no de los elementos de cada colección, en todos los conjuntos que cumplan con esas diez propiedades. 3.2.1 Definiciones y ejemplos Definición 3.6 Sea E un conjunto no vacío donde se han definido un par de operaciones: suma entre sus elementos, representada como 11 tB v; y multiplicación (o producto) de escalares (números reales) con elementos de E, representada como a 8 11. Entonces a E se le llama espacio vectorial (real) si se cumplen las diez siguientes condiciones (axiomas de espacio vectorial): l. 11 tB v E E 1;111, v E E. (La suma es cerrada) 2. 11 tB (v tB w) = (11 tB v) tB w 1;111, v, w E E. (Asociatividad de la suma) 3. 11 tB v = v tB 11 1;111, v E E. (Conmutatividad de la suma) 4. Existe un elemento DE E E tal que 11 tB DE = 11 1;111 E E. (Existencia del neutro aditivo) 5. Para cada 11 E E existe -11 E E tal que 11 tB (-11) = DE. (Existencia del inverso aditivo) 6. A 8 11 E E 1;1 A E lR, 1;111 E E. (La multiplicación con escalares es cerrada) 7. A 8 (13 8 11) = (A¡3) 811 I;IA,¡3 E lR, I;IU E E. (Asociatividad del producto con escalares) 8. A 8 (11 tB v) = (A 8 11) tB ( A 8 v) 1;1 A E lR, I;IU, v E E. (Distributividad del producto con respecto a la suma de vectores) 9. (A + 13) 811= (A 8 11) tB (13 (11) I;IA,¡3 E lR, I;IU E E. (Distributividad del producto con respecto a la suma de escalares) 10. 1 8 11 = 11 1;111 E E. (Preservación de la escala) A los elementos de E les llamaremos vectores. 4Cfr. propiedades I(a) a I( j), subsección 1.1.4, página 9. 5Cfr. subsección 3.1.3, página 119. www.Matematica1.com ~ Ejemplo 3.8 lRn , con la suma usual de vectores y la multiplicación de un escalar por un vector, esto es, si u = (Xl,X2, ... ,xn), V = (Yl,Y2, ... ,Yn) y A es un número real, utBv= (Xl,X2, ... ,Xn)+(Yl,Y2, ... ,Yn) A 8 U = A(Xl,X2, ... ,xn) es un espacio vectorial. .... ~ Ejemplo 3.9 Sea E = {x E lR Ix> O} dotado de las operaciones:
u tBv = uv
A8u = uA

Así, por ejemplo, 2 tB 3 = 2·3 = 6 Y 283 = 32 = 9.
¿Es E, junto con estas operaciones, un espacio vectorial? ….
Solución Para contestar afirmativamente debemos probar que se verifican las diez propiedades de la
definición anterior; y para dar una respuesta negativa se tiene que exhibir un caso en el cual una de ellas
(por lo menos) no se cumpla.
1. Es claro de su definición que II e v E E \lu, v E E, pues el producto de dos números positivos es
también positivo.
2. \lu, v, w E E: (utBv) tBw = (uv) tBw = (uv)w = u(vw) = utB (vw) = utB (vtBw).
3. \1 u, v E E: u tB v = uv = vu = v tB u.
4. Sea OE = 1 E E. Entonces \1 u E E: u tBOE = UOE = ul = u.
5. Siu E E, u> O, y por tanto l/u> O. Sea -u = l/u. Entonces -u E EyutB(-u) =u(l/u) = 1 =
OE.
6. Si A E lR Y u E E, entonces A 8 u = uA > O pues u > O, es decir, A 8 u E E \lu, \1 A E lR.
7. Si A, ¡3 E lR Y u E E, A 8 (¡3 8 u) = A 8 (u¡3) = (u¡3)A = U¡3A = (A¡3) 8 u.
8. \lu, v E E, A E lR: A 8 (u tB v) = A 8 (uv) = (UV)A = UAVA = (A 8 u) tB (A 8 v).
9. \1 A, ¡3 E lR, \1 u E E: (A + ¡3) 8 u = uA I ¡3 = uAu¡3 = (A 8 u) tB (¡3 8 u).
10. 18 u = u1 = u, \lu E E.
Como se verifican los diez axiomas de espacio vectorial de la definición 3.6, E es un espacio vectorial.
V
~ Ejemplo 3.10 (Espacio de matrices) ‘JJlmxn , el conjunto de matrices tamaño m x n, con la suma de
matrices y el producto de un escalar por una matriz usuales, es un espacio vectorial. 6 ….
bCfr. página 9.
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~ Ejemplo 3.11 (Espacio de polinomios) Si P es el conjunto de polinomios, con la suma y el producto por
un escalar usuales, P es un espacio vectorial; lo cual es fácil de probar y se deja de ejercicio al lector ….
o Nota3.5
1. Observemos que en el ejemplo 3.9 no utilizamos la notación de poner una flecha encima de los
vectores del espacio; pues las operaciones, como fueron definidas, involucraron el producto y la
multiplicación de números reales positivos y el haber denotado a los elementos de esta manera
podria haber causado confusión. En realidad, esto lo haremos cada vez que sea conveniente; así,
por ejemplo, las mattices sólo las denotaremos con letras mayúsculas en lugar de emplear notación
vectorial para el espacio 9Jlmxn’ También, a partir del final de esta nota, abandonaremos la notaciones
EB y (O) para la suma de vectores y la multiplicación de un escalar por un vector y simplemente
escribiremos 11 + v, AI1 en lugar de 11 EB v y A (O) 11, respectivamente; pues el contexto de cada caso
evitará cualquier confusión.
2. El axioma 10 de la definición 3.6 es en apariencia una propiedad de la que se podria prescindir; ya
que es una característica que a simple vista se cumple “siempre” de manera “natural”. Sin embargo,
esta propiedad es imprescindible; pues existen casos en los que se pueden definir operaciones de
suma de vectores y multiplicación con escalares que cumplen con los primeros 9 axiomas de la
definición 3.6, pero no con el número 10. Por ejemplo, si en lRn se define la suma de vectores
en forma usual, pero el producto por un escalar como A (O) 11 = O_{n, para todo A E lR y para todo
11 E lRn
, es evidente que se cumplen los 9 primeros axiomas de espacio vectorial pero no el décimo.
También es claro que este último conjunto con esas operaciones no tiene trascendencia alguna
como son los casos de las mattices y el propio espacio lRn con las operaciones usuales. Evitar
casos triviales y de nulo interés en la práctica es la razón de ser del axioma 10 para el concepto de
espacio vectorial.
~ Ejemplo 3.12 (Espacio de sucesiones) Sea lR= = {11 = (an)nEN 111 es una sucesión}; es decir, lR= es
el conjunto de las sucesiones de números reales 11 = (a¡,a2,'” ,an , … ). Con la suma de sucesiones y el
producto de un escalar por una sucesión usuales; esto es,
• (al,a2, … ,an, … )+(b1,b2, … ,bn, … ) = (al +b1,a2+b2, … ,an+bn, … ),
• .\(al,a2, … ,an , … ) = (>..al,>..a2, … ,>..an , … ).
lR= es un espacio vectorial como fácilmente puede comprobar el lector ….
Espacios de funciones
Definición 3.7 Sean A y B un par de conjuntos no vacíos. Una fonción f con dominio A y valores en
B, es una regla que a cada elemento x de A le asigna un único elemento y = f(x) de B. Para denotar
que f es una fonción con dominio A y valores en B escribiremos
f:A—-+B.
Lafonción o regla de asignación es f y no debe confundirse con el valor de ésta en x: y = f(x). En
esta última notación, a y se le dice la variable dependiente o imagen de x bajo f, x es la variable
independiente o argumento de la función f, y a B se le denomina contradominio de la fonción.
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Definición 3.8 Sean f,g : A —+ B un par de funciones de A en B. Diremos que f = g, si
f(x)=g(x) \:Ix EA.
~ Ejemplo 3.13 Sean A = lR – {O}, B = lR Y f,g : A —+ B las funciones definidas como
y
Six EA Y x> O,
Six EA Y x < O, f(x) = Ixl x g(x) = { 1, six>O;
-1, six‘1
Aj(x)
1
a b
;:;:;;¡- – Figura 3-18 • Las funciones 1 y >’1 representadas por sus correspondientes gráficas.
De manera análoga, si>’ es un número real y f: A –+ R la función Af se evalúa, en cada x E A, mediante
el producto de números reales Af(x). De esta forma la gráfica de la función Af se obtiene, a partir de la
gráfica de la función f, multiplicando cada una de las “alturas” f(x) por A, en cada x E A, Y bosquejando
los puntos (x, Af(x)) como se ilustra en la figura 3-18.
~ Ejemplo 3.15 (Espacio de funciones) Si A es cualquier conjunto no vacío mostrar que c’J’ (A), junto
con las operaciones dadas en la definición 3.9, es un espacio vectorial; el llamado espacio de las
funciones con dominio A y valores reales …..
DEMOSTRACiÓN • 1. Claramente, de la definición de suma de funciones:
f,g E c’J’ (A) =} f + g E c’J’ (A).
2. Si f, g, h E c’J’ (A) Y x es cualquier elemento de A,
[f + (g +h)](x) = f(x) + (g + h)(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) = (f(x) + g(x)) +h(x),
así que,8 f + (g + h) = (f + g) + h.
3. Si f, g E c’J’ (A) Y x E A es cualquier elemento, tenemos
(f+g)(x) = f(x)+g(x) =g(x)+ f(x) = (g+ f)(x),
y, por ende, f + g = g + f·
4. Sea B : A —+ lR la función en c’J’ (A), definida como B(x) = O \;Ix E A. Entonces, para toda f E c’J’ (A)
Y para todo x E A:
(f + B)(x) = f(x) + B(x) = f(x) + 0= f(x),
por ende, f + B = f·
8 Aquí hemos utilizado los hechos de que f(x), g(x), h(x) son números reales y en éstos hay asociatividad. El lector debe notar
que en el transcurso de esta demostración utilizaremos las propiedades de los números reales y que los valores de las funciones
son también reales.
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5. Si f E ,9′” (A), sea – f : A –+ lR la función definida, para cada x E A, como (-f)(x) = – f(x).
Entonces
(f + (-f))(x) = f(x) + (- f)(x) = f(x) + (-f(x)) = f(x) – f(x) = O = B(x),
Vx E A; es decir, f + (-f) = B.
6. Claramente, Al E ,9′”(A) Vf E ,9′”(A) yVA E lR.
7. Si A, ¡3 E lR Y f E ,9′” (A), para cada x E A,
(A(¡3f)) (x) = A (¡3f) (x) = A(¡3f(x)) = (A¡3)f(x),
de donde A(¡3f) = (A¡3)f.
8. VA E R Vf,g E ,9′” (A) y para cada x EA:
[A(f + g)](x) = A(f + g)(x) = A(f(X) + g(x)) = AI(x) + Ag(X) = (Al + Ag)(X);
es decir, A(f + g) = Al + Ag.
9. Si A,¡3 E lR Y f E ,9′” (A), para todo x E A,
(( A + ¡3)f) (x ) = (A + ¡3)f(x) = AI(x) + ¡3 f(x) = (Al + ¡3 f)(x),
lo que implica (A + ¡3)f = Al + ¡3 f.
10. Si fE ,9′” (A), para todo x E A,
(lf)(x) = lf(x) = f(x),
es decir, 1 f = f. •
a b
~
-1
(i) (ii)
::11 _ Figura 3-19′ (i) El espacio vectorial .. 9″(la,b]) consta de todas las funciones cuya gráfica está contenida en la
franja (x,y) con x E la, b] y Y E JR:, es decir, la franja la, b] x JR:. (ii) El neutro aditivo de este espacio, (j, es la función
constante cero «(j(x) = O ‘ix E la,b]), cuya gráfica se encuentra en color rojo: y el inverso aditivo de una función 1
se encuentra reflejando su gráfica sobre el eje x.
Cuando A = [a, b] es un intervalo, ,9′”(A) es el conjunto de todas las funciones cuya gráfica está contenida
en la franja [a,b] x lR. En la figura 3-19(i) hemos bosquejado algunos de sus elementos. En la
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misma figura 3-19(ii) ilustramos la interpretación geométrica del neutro aditivo e, la función constante
cero (en rojo) del espacio c9′([a,b]). También en esta última figura hemos bosquejado el inverso aditivo
para una función dada J; el cual se obtiene gráficamente reflejando sobre el eje x la gráfica de la función
J, como el lector fácilmente puede comprobar por sí mismo recordando la interpretación dada en la
figura 3-17 para la suma usual de funciones.
o Nota 3.7 Cabe hacer notar que la demostración de que c9′ (A) sea un espacio vectorial no depende
de las características del conjunto A, sino del hecho de que sus elementos son funciones con valores en
lR y de que los números reales tienen estructura de espacio vectorial. Por ende, si sustituimos lR por un
espacio vectorial arbitrario, c9′ (A) seguirá siendo un espacio vectorial. Lo mismo sucede si ponemos
cualquier conjunto concreto en lugar de A.
3.2.2 Propiedades elementales de los espacios vectoriales
Como ya mencionamos al principio de esta sección, trabajaremos con un espacio vectorial abstracto para
establecer propiedades que se infieran únicamente de los diez axiomas de espacio vectorial dados en la
definición 3.6, y entonces estas deducciones serán válidas para cualquier espacio vectorial concreto.
Llevaremos esto a cabo a través de lo que resta de este libro y no vol veremos a hacer más énfasis en esta
estrategia natural. Las primeras propiedades quedan establecidas en el siguiente teorema.
Teorema 3.4 (Propiedades elementales de espacio vectorial) Sea E un espacio vectorial. Entonces:
l. DE es único. Es decir, sólo existe un elemento en E que al sumarlo con cualquier otro elemento
del espacio da como resultado este último.
2. -u es único para cada u E E. Esto es, cada elemento del espacio tiene exactamente un inverso
aditivo.
3. u + v = u + W =? V = W. A esta propiedad se le llama ley de cancelación.
4. Ou = DE para todo u E E.
5. ,\DE = DE \;1,\ E lR.
6. (-I)u=-u I;!UEE.
7. u+u=2u I;!UEE.
8. Si n es un entero, u + u + … + u = nu \;Iu E E.
‘- “V’ -‘
n
9. Si a E lR Y u E E, entonces
DEMOSTRACiÓN • 1. Sea’P E E tal que u + ‘P = u \;1 u E E, entoces ‘P = DE + ‘P = DE; por tanto, ‘P = DE.
2. Si u E E Y Ut E E satisface u + Ut = DE, entonces
Ut = Ut +DE = Ut +(u+(-u)) = (Ut +u)+(-u) = DE+(-U) = -u.
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3. u+v = u+w=}
(( -u) + u) + v = ((-u) + u) + W =}
DE+V = DE+W =}
V = W.
4. Ou = (O +O)u = Ou +Ou, y ya que Ou = Ou + DE, tenemos
de la propiedad (3) se tiene DE = O u.
5 . .\DE = .\(ODE) = (.\. O)DE = ODE = DE.
6. u + ( -1)u = (1 + ( -1))u = O U = DE, y dado que -u es único, -1 u = -u.
7. u +u = (1+ l)u = 2u.
8. Análoga a la anterior.
9. Se deja de ejercicio al lector. •
3.2.3 Subespacios vectoriales
Aunque hemos visto varios ejemplos de espacios vectoriales, éstos han sido muy generales y, por lo
mismo, demasiado “grandes” para ser útiles. En realidad, estaremos interesados en subconjuntos particulares
de estos espacios que, junto con las mismas operaciones, sean también espacios vectoriales, a
los cuales llamaremos subespacios vectoriales y a su estudio está dedicado este apartado.
Definición 3.10 Sean E un espacio vectorial y S un subconjunto no vacío de E. S es un subespacio
vectorial de E, o simplemente un subespacio de E, si S, con las mismas operaciones suma y producto
por un escalar restringidas a los elementos de S, es también un espacio vectorial. Usaremos la
notación S < E para indicar que S es un subespacio de E. Para probar que S < E, se debe mostrar que los elementos de S con la suma y el producto por un escalar definidos en E satisfacen los diez axiomas de la definición 3.6 de espacio vectorial; sin embargo, si reflexionamos un poco, vemos que las propiedades de asociatividad para la suma y el producto por un escalar, las de distributividad, conmutatividad y preservación de la escala son propiedades que se heredan de E; esto es, puesto que se cumplen para todos los elementos de E y S e E, también son válidas para todos los vectores de S. Luego, resta sólo probar que la suma y el producto por un escalar son operaciones cerradas en S, DE E S Y que para cada u E S, -u también pertenece a S. Pero si la multiplicación por escalares es cerrada en S, u E S =} -u = ( -1)u E S; también, dado que S f= 0, y O U = DE, se tiene que DE E S. Con esto hemos demostrado el siguiente teorema. Teorema 3.5 Sea S un subconjunto de un espacio vectorial E. Para que S sea un subespacio vectorial de E es necesario y suficiente que se cumplan las siguientes tres condiciones: l. DE ES. 2. u + v E S Vu, v E S. 3 . .\U E SV.\ E]R, \fU ES. www.Matematica1.com ~ Ejemplo 3.16 Es claro que si E es un espacio vectorial, entonces E y {DE} son subespacios de E. ... o Nota 3.8 Es costumbre llamar a E y {DE} los subespacios triviales del espacio vectorial E; y si S < E no es E, se dice que S es un subespacio propio de E. ~ Ejemplo 3.17 Sea S = {u E ]R21 u = (x,2x);x E ]R}. Entonces: 1. D~{2 = (0,0) = (0,2· O) ES. 2. Si u, v E S, u = (x,2x), v = (y,2y); así que u+v= (x,2x) + (y,2y) = (x+y,2x+2y) = (x+y,2(x+y)) ES. 3. Si A E]R Y v = (x,2x) E S,AU = A(x,2x) = (.\x,A2x) = (.\x,2(.\x)) ES. De 1, 2 Y 3, S < ]R2 Geométricamente, S es la línea recta con pendiente 2 que pasa por el origen .... De hecho, toda línea recta que pasa por el origen es un subespacio de ]R 2 Inversamente no es difícil probar, lo cual hará el lector en los ejercicios, que todo subespacio propio de ]R2 es geométricamente una línea recta que pasa por el origen o el subespacio trivial {(O, O)}. ~ Ejemplo 3.18 Cualquier plano que contiene al origen y las líneas rectas que pasan por el mismo son subespacios de ]R3 (véase la figura 3-20). Más aún, los únicos subespacios no triviales de ]R3 son estos conjuntos. (Demuéstrelo.)'" ~ _ Figura 3-20 • En un plano S que pasa por el origen, la suma de los vectores contenidos en él pertenece a este plano y la multiplicación de los vectores de este plano por escalares sigue perteneciendo a dicho plano. Así, un plano que pasa por el origen es un subespacio de JH:3. ~ Ejemplo 3.19 Sean a,b,c números reales dados y S = {(x,y,z) E ]R3Iax+by+cz = O}. Es decir, S es un plano que pasa por el origen con ecuación ax + by + cz = O. 1. Claramente (0,0,0) ES. 2. Si (X¡,y¡,z¡) ,(X2,Y2,Z2) E S, entonces ax¡ + by¡ + cz¡ = O, aX2 + bY2 + cZ2 = O Y www.Matematica1.com luego, a(x¡ + X2) + b(y¡ + Y2) + c(Z¡ + Z2) = ax¡ + by¡ + cz¡ + ax2 + bY2 + CZ2 = 0+0=0. Por tanto, (X¡,y¡,z¡) + (X2,Y2,Z2) ES. 3. Si.\ E lR, Y Li = (X¡,y¡,z¡) E S,.\Li = (.\x¡,.\y¡,.\z¡); entonces Por ende, .\Li E S. De 1, 2 Y 3, S < lR3 .... a(.\x¡) +b(.\y¡) +c(.\z¡) = .\(ax¡ +by¡ +z¡) = ,\·0 = O. o Nota 3.9 Observe que un plano S que no pasa por el origen no es un subespacio de lR3 , como se hace patente en la figura 3-21. ;;::¡ _ Figura 3-21 • En un plano S que no pasa por el origen OIR" ~ S, la suma de vectores contenidos en él no pertenece a este plano y la multiplicación de vectores de este plano por escalares tampoco pertenece necesariamente a dicho plano. Así, un plano que no pasa por el origen no es un subespacio de lR3 . ~ Ejemplo 3.20 (Espacio solución, espacio nulo) SiA E 'JJlmxn, el conjunto, S, de vectores x en lRn que es solución del sistema homogéneo AX = ¡hm es un subespacio de lRn, llamado el sub espacio solución de dicho sistema o el espacio nulo de la matriz A ..... DEMOSTRACiÓN • 1. A¡t{n = ¡t{m, por tanto, ¡hn ES. 2. Si x, y E S,Ax = O_{m y Ay = O_{m, por tanto, A(x+y) =AX+Ay = O_{m. Así, x+y ES. 3. Si.\ E lR Y x E S, AX = O_{m. Entonces A(.\X) = .\(AX) = .\O_{m = O_{m, por ende, .\X ES. • www.Matematica1.com ~-- Figura 3-22 • Este espacio consta de todas las funciones cuyas gráficas pasan por el punto (1/2,0) y están contenidas en la franja [-1,11 X (-=,=). ~ Ejemplo 3.21 (Espacio de polinomios de grado menor o igual a k). Sea P el espacio de polinomios del ejemplo 3.11 (pág. 133), Y sean k un entero positivo y Pk = {p EPI P tiene grado -S k o es el polinomio constante cero} . Entonces, ya que por su definición contiene al cero de P, la suma de dos polinomios de grado a lo más k tiene grado menor o igual a k, y el producto de un polinomio en este conjunto por un escalar tiene grado igual a k o es el polinomio cero, Pk < P ..... ~ Ejemplo 3.22 Si E = {f : [-1,1] --+ lR I I( 1 /2) = O}, mostrar que, con la suma y el producto por un escalar usuales en las funciones, E es un espacio vectorial (véase la figura 3-22) ..... DEMOSTRACiÓN • En efecto, ya que E e .9' ([ -1,1]) Y éste es un espacio vectorial con las operaciones usuales, basta probar que E < .9' ([ -1,1]). 1. B: [-1,1]--+ lR, B(x) = O \;Ix E [-1,1], en particular B(1/2) = O; por tanto BES. 2. Si I,g E E,f(1/2) = O, g(1/2) = O; luego (f + g)(1/2) = 1(1/2) + g(1/2) = O + 0= O. Así que l+gEE. 3. Si A E lR y 1 E E, entonces 1(1/2) = O Y (Af)(1/2) = Af(1/2) = A' O = O; por tanto Af E E. De 1, 2 Y 3, E < .9' ([ -1,1]). • ~ Ejemplo 3.23 (Espacio de funciones continuas). Dado que la función cero es una función continua, la suma de funciones continuas y el producto de un escalar por una función continua dan como resultado también funciones continuas, se tiene que C[a,b] = {f: [a,b] ---+ lR I 1 es continua} es un sub espacio vectorial de .9' ([a, b]); y por tanto, un espacio vectorial. .... ~ Ejemplo 3.24 De manera análoga, el lector puede probar que9 el [a,b] = {f: [a,b] ---+ lR I 1 es derivable con continuidad en [a,b]} es un espacio vectorial con las operaciones usuales en el espacio de funciones ..... 9La continuidad y la derivabilidad en los extremos a y b se sobreentiende que es continuidad y derivabilidad por la derecha y por la izquierda, respectivamente. www.Matematica1.com ~ Ejemplo 3.25 (Espacio de matrices simétricas). Sea 9Jln el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden n con las operaciones usuales. Y sea S el subconjunto de matrices simétricas de tamaño n x n. Demostrar que S es un subespacio de 9Jln . .... DEMOSTRACiÓN • 1. Claramente la matriz cero de orden n es simétrica. 2. Sean A,B E S, entonces A' = A Y B' = B. Luego, por la tercera propiedad de las matrices (cfr. pág. 10), (A+B)' =A' +B' =A+B; por lo queA+B E S. 3. Si A E S Y A E lR, claramente (M), = M'. Por tanto, ya que A E S, (M)'=M'=M; por lo que M E S. De 1,2 Y 3 se concluye que S es un subespacio vectorial de 9Jln . • 3.2.4 Combinaciones lineales y subespacios generados Supongamos que tenemos un par de vectores no colineales u y ven ]R3 y se multiplican, respectivamente, por los escalares A y f3. El vector resultante, AU + f3v, está en el plano que pasa por el origen y contiene a estos dos vectores; es decir, el plano que contiene a O, u, v, el cual es un subespacio de ]R3 pues es un plano que pasa por el origen (cfr. ejemplos 3.18 y 3.19 pág. 140). Generalizamos a continuación esta idea. Definición 3.11 Si E es un espacio vectorial y Ul, U2, ... , Uk E E, a todo vector de la forma v = alul + a2u2 + ... + akUk, donde al, a2, .. . ,ak E ]R, se le llama combinación lineal de Ul, U2, .. . ,Uk. ~ Ejemplo 3.26 Determinar si el vector u = (7,1,16) es combinación lineal de los vectores Ul = (-1,2,2) Y U2 = (3,-1,4) ..... Solución Veamos si es posible encontrar al, a2 E ]R tales que u = al Ul + a2U2; esto es, (7,1,16) = a¡(-1,2,2)+a2(3,-1,4) = (-al +3a2,2al-a2,2al +4a2)' Entonces, se debe tener -al +3a2 = 7, 2al - a2 1, 2al +4a2 16. www.Matematica1.com Resolvamos este sistema: -1 3 7 1 [ -1 3 7 2 -1 1 O 5 15 2 4 16 O 10 30 ~ [ -1 3 O 5 1~ 1; O O por tanto, Con lo que u sí es combinación lineal de u¡ y U2: Comprobación: 2u¡ +3U2 = 2(-1,2,2)+3(3,-1,4) = (7,1,16) = U. V Teorema 3.6 (Subespacios generados) Sean E un espacio vectorial y u¡, U2, ... , Uk vectores de E. Entonces es un subespacio vectorial de E. DEMOSTRACIÓN.1. DE = O ·u¡ +0 'U2 + ... +0 'Uk ES. 2. Si u, v E S, entonces existen a¡,a2, .. . , ak,b¡,b2, .. . ,bk E lR tales que: Luego, de donde u+v ES. U= a¡u¡+a2u2+· .. +akub v= b¡u¡+b2U2+ .. ·+bkUk' k k ~ ~ ~ ~ ~b ~ u+v = ~aiui+ ~ iUi i=l i=l 3. Si.\ E lR Y u E S, entonces, para ciertos ai, i = 1,2, ... ,k, www.Matematica1.com Luego, >.U = >.(alUl +a2U2+ .. ·+akUk)
= (>.a¡)Ul + (>.a2)U2 + … + (>.ak)Uk;
por lo que >.U E S.
De 1, 2 Y 3, S < E. • Definición 3.12 (Subespacio generado por vectores) Sean E un espacio vectorial y Ul, U2, .. . , Uk vectores en E. Al subespacio vectorial de E, lO de todas las combinaciones lineales de estos vectores, se le denota como y se llama el subespacio generado por los vectores Ul, U2, ... , Uk. ~ Ejemplo 3.27 Sea el espacio vectorial S = gn(sen2 x, cos2 x), determinar si cos(2x) E S ..... Solución cos(2x) = cos2x-sen2x= (1)cos2x+(-1)sen2x. Por tanto, cos2x E S. V ~ Ejemplo 3.28 ¿ 2x2 - 3x+ 1 E gn(2, 1-x,x2)? .... Solución Encontremos al,a2,a3 E lR tales que Entonces, al reducir, y puesto que dos polinomios son iguales si los coeficientes de las mismas potencias de x son iguales,11 se tiene 2al +a2 1, -a2 -3, de donde al = -1,a2 = 3,a3 = 2. Por tanto, 2x2 - 3x+ 1 E gn(2, 1-x,x2). V ~ Ejemplo 3.29 Determinar qué subespacio de las matrices cuadradas de orden 2 es lOPor el teorema 3.6 este conjunto es efectivamente un subespacio vectorial. 11 Dos polinomios p(x) ~ L;_oakx' y q(x) ~ L;_o bkxk son iguales si ak ~ bk para cada k ~ O, 1, .. ,m. www.Matematica1.com Solución Toda matriz en este subespacio tiene la forma que es una matriz simétrica. Es fácil probar que, inversamente, toda matriz simétrica 2 x 2 es de esta forma (pruébelo). Luego, el espacio generado por estas matrices es el subespacio de las matrices simétricas cuadradas de orden 2 (cfr. ejemplo 3.25). V ~ Ejemplo 3.30 En P, el espacio de polinomios, si S = gn( 1 ,x,x2 ,x3 ), entonces S = P3 (polinomios de grado a lo más tres y el polinomio constante cero); pues todo elemento de P3 tiene la forma para ciertos a¡ E ]R, i = O, 1,2,3 ..... Espacio fila y espacio columna de una matriz Definición 3.13 Si A E 9Jlmxn, se define el espacio fila de A como el subespacio de ]Rn generado por las m-filas de A; y al subespacio de ]Rm, generado por las n-columnas de A, se le llama el espacio columna de A. Al espacio fila y al espacio columna se les denotará, en este libro, como E¡(A) y Ec(A), respectivamente. ~ Ejemplo 3.31 Si 3 -1 2 -1 O 1 2 O 1 3 4 E 9Jt.Jx4, 2 3 E¡(A) = gn((3, -1,2,0), (2, -1.3.4), (O, 1,2,3)), Ec(A) = gn((3,2,0),(-I,-I,I)(2.3,2),(0,4,3)) ..... Teorema 3.7 Sea A E 9Jlmxn, entonces b E Ec (A) q el sistema AX = b tiene solución. DEMOSTRACiÓN • Supongamos que r "" a2 a21 a22 "a2,"n j A= . . . amI am2 amn Entonces bE Ec(A) si y sólo si existen X¡'X2,'" ,xn E ]R tales que all al2 I . ,'" r aln b =XI a21 a22 a2n +X2 amI am2 amn www.Matematica1.com y la última igualdad se da si y sólo si 12 all a2 a¡n X¡ l,= a2¡ a22 a2n X2 amI am2 amn Xn es decir, si y sólo si el sistema AX = l, tiene solución. • Criterio para determinar si un vector en lEn es combinación lineal de otros vectores Podemos utilizar el teorema 3.7 para determinar si un vector dado, l" es combinación lineal de los vectores u¡, U2, ... , Uk en ]Rn (lo cual equivale a que l, pertenezca al subespacio generado por estos vectores) de la siguiente manera: 1. Se forma la matriz cuyas columnas son los vectores U¡,U2, ... ,Uk. 2. Se resuelve el sistema AX = l, (por el método de Gauss, de preferencia). 3. Si este sistema tiene solución x = (a¡, a2, .. . , ak), entonces l, pertenece al subespacio generado por los vectores U; (es combinación lineal de ellos), y además 4. Si el sistema AX = l, es inconsistente, entonces l, no es combinación lineal de los vectores U; (l, ~ gn(U¡,U2"",Uk). ~ Ejemplo 3.32 Determinar si l, = (2,6,1) pertenece al espacio generado por u¡ = (1,2,3), U2 = (-2, -5,2), U3 = (1,2, -1). En caso afirmativo, hallar al, a2,a3, tales que l, = a¡u¡ + a2u2 + a3u3 ..... Solución Resolvamos el sistema [ ~ -2 1 1 [~~ 1 [ ~ 1 -5 2 2 -1 por el método de Gauss: [ ~ -2 1 ~ 1 [ ~ -2 1 jl [ ~ -2 1 -5 2 -1 O -1 O ~ l· 2 -1 8 -4 O -4 11 Como el sistema es consistente, bE gn(v¡, V2, V3) y, al hacer sustitución regresiva, a3 = -11/4, a2 = -2, a¡ = 3/4; esto es, 12 Cfr. (1.5) del ejemplo l.l5, de la página 12. www.Matematica1.com Generadores de un espacio Definición 3.14 Sean E un espacio vectorial y Ul, U2, .. . ,Uk E E. Los vectores Ul, U2, "', Uk generan a E si todo elemento de E es combinación lineal de estos vectores; i.e., E = gn(ul,u2,'" ,Uk). En tal caso, se dice que los vectores Ui forman un conjunto de generadores para este espacio vectorial. ~ Ejemplo 3.33 Sea [: !] E 9Jl2 cualquier matriz. Entonces Luego ~ Ejemplo 3.34 (Generadores del espacio 9Jlmxn)' En general, si 9Jlmxn es el espacio vectorial de las matrices de tamaño m x n, entonces las mn matrices definidas en este espacio como Ma f3 = [mij]' 1 <; a <; m, 1 <; P <; n, donde si i = a, j = p, en otro caso; (por ejemplo Ml2 = [~ ~ ~] en las matrices de tamaño 2 x 3) generan al espaciol3 9Jlmxn. Lo cual es fácil de probar y se deja como ejercicio al lector. ... ~ Ejemplo 3.35 Sean los vectores ei del espacio ]Rn definidos como i ei = 10, ... ,0,1,0, ... ,0) '( 'V" ,.., n para i = 1,2, ... ,n. Entonces, siu= (Xl,X2,""Xn ) E ]Rn, se tiene Así que los vectores ei, i = 1,2, ... ,n, generan a ]Rn; esto es, Por ejemplo, si n = 3, ]R3 = gn (( 1,0,0) , (O, 1,0) , (0,0, 1) ) .... 13De aquí en adelante supondremos que los espacios con los que se trabaje en este libro estarán dotados de las operaciones usuales que hemos definido en cada caso, a menos que se especifique lo contrario. www.Matematica1.com Criterios para que k vectores en lEn generen a lEn Supongamos que se tienen n vectores Ui de ]Rn. Sabemos por el teorema 3.7, o del criterio que después de él se da (cfr. pág. 147), que todo vector bE ]Rn es combinación lineal de los vectores Ui si y sólo si el sistema Ax = b, donde A es la matriz cuyas columnas son los vectores Ui, tiene solución para todo b E ]Rn. Pero, por el teorema 2.3 de la sección 2.1.2 (cfr. pág. 67), el sistema AX = b tiene solución para todo b si y sólo si la matriz A es invertible. 14 Con esto hemos probado el siguiente teorema. Teorema 3.8 n-vectores de ]Rn generan a ]Rn si y sólo si la matriz que tiene a estos vectores como columnas es invertible. ~ Ejemplo 3.36 Determinar si los vectores (1, -2,3), (2, -1,4) Y (-1,1, O) generan a ]R3 .... Solución Por el teorema anterior, tres vectores generan a ]R3 si y sólo si la matriz que tiene a éstos como columnas es invertible; pero sabemos que una matriz es invertible si y sólo si es equivalente a la identidad (cfr. teorema 2.3, pág. 67). Llevemos esta matriz a la forma escalonada, por el método de Gauss, para ver si es o no equivalente a la identidad: [ 1 2 -1 1 [ 1 2 -1 1 A= -2 -1 1 O 3 -1 3 4 O O -2 3 ~ [ 1 2 -1 l· O 3 -1 O O 7 Dado que la última matriz tiene pivote en todas las columnas, se sigue que A es equivalente a la identidad. Luego los vectores (1,-2,3), (2,-1,4) y(-l,l,O) generana]R3 V Supongamos ahora que tenemos k vectores en ]Rn con k < n (por ejemplo tres vectores en ]R4). Para que estos vectores generen a ]Rn, por el criterio de la página 148, es necesario y suficiente que el sistema AX = b tenga solución para todo b E ]Rn, donde A es la matriz que tiene como columnas a estos vectores. Sin embargo, al llevar A a su forma escalonada reducida, puesto que k < n, la última fila de esta forma escalonada reducida tiene necesariamente todas sus componentes nulas (piense por ejemplo, para fijar ideas, en una matriz 3 x 2). Sea F; la fila de la matriz A que se transformó en la última fila nula de la ~ i forma escalonada reducida de la matriz A; tomemos el vector b = (O, ... , 0,1,0, ... , O) E ]Rn, entonces el sistema AX = b será inconsistente. Luego b no puede ser combinación lineal de los vectores columna de A. Así que dichos vectores no generan a ]Rn. Con esta discusión hemos probado el siguiente teorema. Teorema 3.9 k vectores en ]Rn, con k < n, no generan a ]Rn. ~ Ejemplo 3.37 Los vectores (1,2, -1,4), ( -1,2,1, O), (O, 1,3, 1) no generan a ]R4 .... 14Recuerde que, a su vez, una matriz es invertible si y sólo si es equivalente a la identidad. www.Matematica1.com Tenemos un tercero y último caso para que k vectores generen a ]Rn cuando k > n. Nuevamente, estos
vectores generan este espacio si y sólo si el sistema Ax = b tiene solución para todo b E ]Rn, donde A,
como antes, es la matriz que tiene por columnas a dichos vectores. Pensemos en la forma escalonada
reducida, H, de A y supongamos que tiene n pivotes (por tanto, cualquier forma escalonada equivalente
a A tendrá también n pivotes). Entonces, puesto que k > n, esta forma escalonada no puede tener filas
nulas; de aquí que el sistema AX = b es consistente para todo b. Además, dicho sistema tiene por tanto
k-n variables libres (las columnas donde no hay pivote) independientemente del vector b, y dado que
pueden tomar cualquier valor, en particular podemos elegir que todas sean cero. Por ende, todo vector b
es combinación lineal de los vectores columna de la matriz A que corresponden a columnas con pivote15
en H. Es decir, ]Rn está generado por los vectores columna de A que correspondan a columnas con pivote
en cualquier forma escalonada equivalente a la matriz A. Por otra parte, si una forma escalonada (y, por
tanto, cualquier otra forma escalonada U ~ A) equivalente a la matriz A no tiene n pivotes, entonces,
dado que k > n (piense por ejemplo en una matriz 3 x 4), esta forma escalonada equivalente tiene por lo
menos una fila nula; y por el mismo argumento dado en las demostraciones de los teoremas 3.8 y 3.9, el
sistema AX = b es inconsistente para ciertos vectores b, por lo que los vectores columna de A no generan
a ]Rn. Hemos probado así el siguiente teorema.
Teorema 3.10 k-vectores de ]Rn, con k > n, generan a]Rn si y sólo si una forma escalonada equivalente
de la matriz A, cuyas columnas son estos vectores, tiene n pivotes. 16 Si éste es el caso, podemos
suprimir aquellos vectores de A. que correspondan a columnas de laforma escalonada que no tengan
pivote; los vectores restantes generarán a ]Rn.
~ Ejemplo 3.38 Sean VI = (1,2,0), V2 = (1,1,1), V3 = (1,4, -2), V4 = (2,3,2).
1. Determinar si los vectores Vio V2, V3, V4 generan a n¿;3.
2. En caso afirmativo, reducir a un mínimo el número de generadores …..
Solución 1. Formamos la matriz que tiene como columnas a estos vectores y la llevamos a la forma
escalonada:
1
2
O
1
1
1
1
4
-2 ~ 1 [~ 1
-1
1
Como hay tres pivotes, VI, V2, V3, V4 generan a]R3.
1
2
-2 -! 1 [~ 1
-1
O
1
2
O -f l·
2. De la matriz original, excluimos el vector columna que corresponde en la forma escalonada a la
columna que no tiene pivote. Por tanto, ]R3 = gn(vI, V2, V4). V
15por ejemplo, si las últimas k-n variables son libres y u¡ son los n primeros vectores columna de A, en este caso se tendría
b = “2:.7_1 x¡ll¡ = AX, donde x = (Xl ,X2″” ,xn,Q, ~,O) es la solución de este sistema para las variables libres que hemos elegido.
16Recuerde que todas las matrices en forma escalonada equivalentes a la matriz A tienen el mismo número de pivotes y que éstos
se encuentran en las mismas posiciones (cfr. nota 1.5, pág. 29).
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3.3 Dependencia e independencia lineal
Un concepto clave, estrechamente relacionado con el de combinación lineal, es el de dependencia e
independencia lineal de vectores. En la figura 3-23 tenemos tres casos en el plano cartesiano. En (a), un
vector es múltiplo escalar del otro y, por tanto, combinación lineal del primero. En (b) ningún vector se
puede escribir como combinación lineal del otro. Y en (c) W = au + f3v; es decir, uno de los vectores
es combinación lineal de los otros. Se dice entonces que los vectores en (a) y (c) son linealmente
dependientes, mientras que en (b) son linealmente independientes.
u
(a) (b) (e)
/
/
-y’f3~ — v
/
/
/
/
/
-:=:= • • Figura 3-23 • Tres casos representativos de dependencia lineal en JR:2: (a) vectores lineahnente dependientes:
(b) vectores lineahnente independientes, y (e) vectores lineahnente dependientes.
Generalizamos el concepto de dependencia e independencia lineal a cualquier espacio vectorial en
la siguiente definición:
Definición 3.15 Sean E un espacio vectorial y Ul, U2, … ,Uh k vectores en E. Se dice que estos vectores
son linealmente dependientes (L.D.) si uno de ellos es combinación lineal de los otros. En caso
contrario diremos que los vectores son linealmente independientes (L.I.). 17
Supongamos que los vectores U; E E, i = 1,2, … ,k, son linealmente dependientes. Entonces uno de ellos
es combinación lineal de los otros, digamos U;. Por tanto, existen escalares a j tales que
de aquí que
~ ~ ()~ ~ ~ ~ alul+···+a;-lui-l+ -1 u;+a;llu;ll+···+akuk=üE
y uno, por lo menos, de los coeficientes de los Uj es distinto de cero (específicamente el coeficiente de U;
que es -1). Inversamente, supongamos que existen escalares a j, j = 1,2, .. . k, con uno de ellos distinto
de cero, tales que
17 Abreviaremos linealmente independientes corno L.I. y linealmente dependientes corno L.D. a lo largo de todo este libro.
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Digamos que ai es uno de estos coeficientes no nulos; entonces
Luego Ui es combinación lineal de los restantes vectores; por tanto, son vectores linealmente dependientes.
Con esta discusión hemos hecho patente la demostración del siguiente teorema que establece
condiciones equivalentes muy útiles para dependencia e independencia lineal.
Teorema 3.11 Sean Ul, U2, .. . ,Uk vectores en un espacio vectorial E. Entonces:
l. Los vectores UI.U2, … ,Uk son linealmente dependientes si y sólo si existen al,a2, … ,ak E lR,
con uno de ellos (por lo menos) distinto de cero, tales que
2. Los vectores UI.U2, … , Uk son linealmente independientes si y sólo si los únicos escalares
a¡, a2,” ., ak E lR tales que
son al = O, a2 = O, … , ak = O.
o Nota 3.10
1. Observe que si los vectores Ui, i = 1,2, … , k, son L.I., entonces cualquier subconjunto no vacío de
ellos es también L.I.
2. Los vectores Ui, i = 1,2, … ,k, son L.D. si y sólo si hay un subconjunto de ellos que es L.D.
3. Si alguno de los vectores Ui, i = 1,2, … ,k, es el vector neutro aditivo del espacio, DE, entonces
estos vectores son L.D.; en particular, cuando k = 1, u es L.I. si y sólo si u f= DE.
~ Ejemplo 3.39 ¿Son los vectores VI = (1,2,3,1), V2 = (2,2,1,3) Y V3 = (-1,2,7,-3) linealmente
dependientes o linealmente independientes? ….
Solución
que equivale al sistema
al +2a2 -a3 =0
2al + 2a2 + 2a3 =0
3al +a2+7a3 =0
al+ 3a2- 3a3 = O.
Resolvamos ahora este sistema homogéneo:
1 2 -¡ l- 1 2 -1
1 [
1 2 -1
1 [
1 2 -1
1
2 2 O -2 4 O 1 -2 O 1 -2
3 1 O -5 10 O -1 2 O O O
1 3 -3 O -1 2 O -1 2 O O O
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Por tanto [ := ~l 1 [-32r~ 1r E lR; es decir, el sistema tiene solución no trivial; así, por ejemplo, con
r = 1, -3VI + 2V2 + V3 = O. Luego V¡, V2, V3 son linealmente dependientes. V
~ Ejemplo 3.40 Determinar si x2 – l,x2 + 1,4x,2x – 3 son linealmente dependientes o linealmente
independientes en el espacio de los polinomios …..
Solución Si
entonces
De donde obtenemos el sistema homogéneo
al+a2=O
4a3 +2a4 = O
-al + a2 – 3a4 = O.
Llevemos a forma escalonada la matriz de coeficientes:
[j 1 O Jl [ ~ 1 O O
1 O 4 O 2 1
1 O 2 O -3
El sistema tiene infinidad de soluciones dadas por
[ 1 1 O O O 2 O -3 l·
O O 2 1
En particular, tiene soluciones no triviales, y por ende los polinomios son linealmente dependientes. V
~ Ejemplo 3.41 ¿Son las matrices [~ ~], [~ ~], [~ ~] L.I. o L.D. en el espacio de las
matrices simétricas? ….
Solución Resolvamos el sistema
que equivale a
de donde al = a2 = a3 = O. Luego estas matrices son L.I. V
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~ Ejemplo 3.42 Determinar si las funciones j¡(x) = 1, h(x) = x y j3(X) = x2 son L.I. o L.D. en el
espacio de funciones .9′ ( -=, =) (las funciones con dominio en el intervalo (-=, = ) …..
Solución Sean a ¡, a2, a3 E lR tales que
Entonces tenemos
En particular, para x = O, x = 1 Y x = -1; por lo que
a¡ = O,
de donde a¡ = a2 = a3 = O . Por tanto, ji, 12, 13 son L.I. en este espacio. V
~ Ejemplo 3.43 Determinar si las funciones ji y 12 son linealmente dependientes o independientes
en el espacio C[-I, 1] (el espacio de funciones continuas en el intervalo [-1,1]; cfr. el ejemplo 3.23),
donde
j¡(x) = {
O si -1<;x n (tenemos entonces un sistema
con más variables que ecuaciones), el sistema homogéneo tiene soluciones no triviales. Con esto hemos
probado el siguiente teorema.
Teorema 3.12 (Criterios para que k vectores de]Rn sean L./. o L.D.) Sean Ul, U2, … ,Uk, k vectores
en ]Rn y A la matriz que tiene como columnas a estos vectores. Entonces:
l. Los vectores son L.1. si y sólo si el sistema AX = O tiene únicamente la solución trivial.
2. Los vectores son L.D. si y sólo si el sistema Ax = O tiene soluciones no triviales.
3. Si k = n:
(a) los vectores son L.I. si y sólo si A es invertible.
(b) los vectores son L.D. si y sólo si A no es invertible.
4. Si k > n los vectores son L.D.
~ Ejemplo 3.46 Determinar si los vectores dados son L.T. o L.D. en ]R4:
1. (1,-2,-3,2), (-1,0,1,1), (3,2,1,1).
2. (1,-2,-3,2), (-1,0,1,1), (5,-4,-9,1).
3. (1,2,1,3), (1,1,1,1), (-1,1,0,0), (-1,1,0,0), (1,0,0,4).
4. (1,0,1,0), (2,-1,1,1), (-2,1,1,3), (-3,0,0,1) …..
Solución 1. Resolvamos el sistema homogéneo AX = O, donde A es la matriz que tiene como columnas
a estos vectores.
[
1 -1 3 1 -1 3
[
1 -1 3
1
-2 O 2 O -2 8 O 1 -4
-3 1 1 O -2 10 O -2 10
2 1 1 O 3 -5 O 3 -5
e [
1 -1 3
o [
1 -1 3
1
O 1 -4 O 1 -4
O O 2 O O 2
O O 7 O O O
De donde el sistema sólo tiene la solución trivial, por lo que los vectores son L.I.
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2.
3.
4.
Resolvamos el sistema homogéneo AX = O, donde A es la matriz que tiene como columnas a estos
vectores.
[
1 -1 5

[
1 -1 5

[
1 -1 5

-2 O -4 O -2 6 O 1 -3
-3 1 -9 O -2 6 O -2 -6
2 1 1 O 3 -9 O 3 -9
e [
1 -1 5
1
O 1 -3
O O O
O O O
De donde el sistema tiene una infinidad de soluciones, a saber, haciendo sustitución regresiva,
Por tanto tiene soluciones no triviales, así que los vectores son L.D.; una solución es, por ejemplo,
(X¡,X2,X3) = (-2,3,1), que se obtiene al hacer r = 1.
(Comprobación: -2(1,-2,-3,2)+3(-1,0,1,1)+(5,-4,-9,1) = (0,0,0,0).)
En este caso tenemos 5 vectores en ]R4, por el teorema 3.12 son L.D. (k> n).
En este caso tenemos 4 vectores en ]R4, Y serán L.I. si y sólo si la matriz A, que tiene de columnas
a estos vectores, es invertible. Llevemos esta matriz a la forma escalonada:
[
1 2 -2 -3
1 [
1 2 -2 -3
1
A=
O -1 1 O O -1 1 O
1 1 1 O O -1 3 3
O 1 3 1 O 1 3 1
o [
1 2 -2 -3
1 [
1 2 -2 -3
1
O -1 1 O O -1 1 O
O O 2 3 O O 2 3
O O 4 1 O O O -5
Dado que toda columna tiene pivote en la última matriz equivalente, se sigue que A es equivalente
a la identidad y, por tanto, es invertible; luego los vectores son L.I. V
Como mencionamos anteriormente, y el lector seguramente ya lo notó, los conceptos de independencia
lineal y combinaciones lineales están estrechamente relacionados. En ]Rn esta relación se hace
aún más patente por la herramienta que proveen las técnicas matriciales y la teoría de sistemas lineales
que estudiamos en el capítulo 1. Por el teorema 3.8 (cfr. pág. 149), n vectores de]Rn generan a]Rn si y
sólo si la matriz que tiene por columnas a estos vectores es invertible; a su vez, por el teorema 3.12 (cfr.
pág. 156), esta matriz es invertible si y sólo si los n vectores son L.I. Hemos probado así el siguiente teorema
que relaciona los conceptos de independencia lineal y el número de generadores para el espacio ]Rn.
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Teorema 3.13 Sean U¡, U2, … , Un, n vectores de ]Rn y A la matriz que tiene por columnas a estos
vectores, entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
l. u¡, U2, … , Un son L.I.
2. U¡, U2, … , Un generan a ]Rn.
3. A es invertible. 19
~ Ejemplo 3.47
1. En el ejemplo 3.46 vimos que la matriz que tiene por columnas los vectores (1,0,1, O), (2, -1,1,1),
(-2,1,1,3), (-3,0,0,1) de]R4 es equivalente a la identidad y, por ende, es invertible; así que estos
vectores son L.I. y generan a ]R4.
2. Sean (1, O, 1), ( – 2, 1, 1) Y ( -4,3,5); llevemos la matriz A, que tiene por columnas a estos vectores,
a la forma escalonada:
1
O
1
-2
1
1
-2
1
3
-4
3
9
Puesto que la última columna en la última matriz equivalente no tiene pivote, la matriz A no es equivalente
a la identidad y, por tanto, no es invertible; así que estos vectores no generan a ]R3 y son L.D …..
3.4 Bases y dimensión
En la sección anterior vimos cómo espacios vectoriales pueden ser generados por ciertos conjuntos
de vectores; es decir, que todo elemento de estos espacios se puede escribir como una combinación
lineal de los vectores de esos conjuntos generadores. También ilustramos, con algunos casos, cómo es
posible reducir a un mínimo los generadores (cfr. ejemplo 3.38 y teorema 3.10). El tema de minimizar el
conjunto de generadores está relacionado con la independencia lineal de los vectores y con el concepto,
que estudiaremos en la presente sección, de bases de espacios vectoriales.
3.4.1 Definiciones y ejemplos
Comenzamos extendiendo el concepto de dependencia e independencia lineal a cualquier subconjunto
de vectores, aun si tiene una infinidad de elementos.
Definición 3.16 Sea E un espacio vectorial y S e E.
l. S es linealmente independiente (L.1.), si los vectores de todo subconjunto finito de S son
linealmente independientes en el sentido de la definición20 3.15.
2. S es linealmente dependiente (L.D.) si contiene (al menos) un subconjunto finito de vectores
linealmente dependientes en el sentido de la definición 3.15.
19Recuerde que una matriz es invertible si y sólo si es equivalente por filas a la identidad; y que para mostrar que una matriz es
equivalente a la identidad basta llevarla, por el método de Gauss, a la forma escalonada y verificar que toda columna (y por ende
toda fila) tenga pivote.
¿u Cfr. página 151.
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~ Ejemplo 3.48 En P, el espacio de polinomios, sea
SI = {1,x,x2, … ,X’, … }.
S 1 es L.I., mientras que
es L.D. En efecto, sea A un subconjunto finito de SI; entonces los elementos deA tienen la forma (dado
que A es finito) x”’, para k enteros mi, i = 1,2, … , k, con O <; mI < m2 < ... < mk; luego estos vectores forman parte de los vectores l,x, ... ,x''', ... ,xmk que son L.I. (cfr. el ejemplo 3.45); por tanto, los polinomios enA son también L.I. (cfr. la nota 3.10, pág. 152). Es decir, todo subconjunto finito de SI es L.I.; por tanto SI es L.I. En cuanto a S2, los polinomios x y 2x son claramente L.D.; por tanto S2 es L.D ..... Definición 3.17 Sean E un espacio vectorial y S e E. Se dice que S genera a E si todo elemento de E es combinación lineal de elementos de S; es decir, para cada 11 E E existen SI, . .. , Sk E S y escalares al, .. . , ak tales que 11 = alsl + ... + aksk. ~ Ejemplo 3.49 S = {1,x,x2, .. . ,xn , .. • } genera a P. Pues claramente todo polinomio de este espacio tiene la forma ao . 1 + a2 . x + ... + ak . ~ ..... Definición 3.18 (Bases) Si E es un espacio vectorial y .q¡; e E, .q¡; es una base de E si: l. .q¡; es L.I. 2. .q¡; genera a E. ~ Ejemplo 3.50 (Base canónica de ]Rn). En]Rn sean los vectores i ei = 10, ... ,0,1,0, ... ,0) '( 'V' ,.., n i = 1,2, ... ,n. Entonces es una base (la llamada base canónica o estándar) de ]Rn; pues la matriz que tiene por columnas a estos vectores es la identidad n x n que es invertible, y por el teorema 3.13 los vectores generan a ]Rn y son L.I. .... ~ Ejemplo 3.51 (Base de P). En P, .q¡; = {1,x,x2,x3, ... ,~, ... } es una base. Pues en el ejemplo 3.48 vimos que este conjunto es L.I., y en el ejemplo 3.49 mostramos que este conjunto genera a P ..... ~ Ejemplo 3.52 (Base de Pk ). En Pko el espacio de polinomios de grado a lo más k, úlJ-{1 23 k} <7D - ,X,X ,x , ... ,X es una base. Pues en el ejemplo 3.45 probamos que este conjunto es L.I. y claramente todo polinomio de Pk es de la forma L7~o aixi ..... www.Matematica1.com ~ Ejemplo 3.53 (Base de 9Jlmxn). Sean las matrices Ma f3 = [mij] de tamaño m x n definidas en el ejemplo 3.34; es decir, Entonces, si A = [aij] E 9Jlmxn, es claro que21 si i = a, p = j, en otro caso. A = L aaf3Ma f3 l n, entonces estos vectores son L.D.
DEMOSTRACiÓN • Resolvamos el sistema
(3.14)
para Pi E lR, 1 = 1,2, … ,k. Dado que E = gn(ul,u2,””Un), existen escalares aij, i = 1, … ,k, j =
1, … ,n, tales que
VI allul+aI2u2+ .. ·+ a lnUn
V2 a21 ul + a22u2 + … + a2nUn
Sustituyendo cada Vi de (3.15) en (3.14) obtenemos
DE = PI (allul + al2u2 + … + alnUn) + P2 (a21 ul + a22u2 + … + a2nUn)
+ … + Pk (aklul + ak2u2 + … + aknUn),
que agrupando términos produce
+ … + (PI aln + P2 a 2n + … + Pkakn) Un-
Puesto que los vectores Ui son L.I., se debe tener
PI all + P2 a21 + + Pkakl O
PI al2 + P2 a 22 + + Pka k2 O
PI aln + P2 a 2n + + Pkakn O,
(3.15)
que es un sistema lineal homogéneo con más incógnitas que ecuaciones (recuerde que k> n); por tanto
tiene solución no trivial; es decir, existen Pi, i = 1,2, .. . ,k, no todos cero, tales que (3.14) se cumple.
Luego los vectores VI, V2, … , Vk son L.D. •
El siguiente corolario es consecuencia inmediata del teorema 3.15 y su demostración se deja como
ejercicio al lector.
Corolario 3.1 Si un espacio vectorial E está generado por los vectores L.I. Ul, U2, .. . ,Un, entonces
todo conjunto de vectores linealmente independiente tiene a lo más n vectores.
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Lema 3.2 Sean E un espacio vectorial y S = {ul,¡h, … ,um } un subconjunto finito de este espacio
que lo genera; es decir,
E = gn(Ul,U2,” .,Um ).
Entonces existe SIC S que es L.I. y genera a E.
DEMOSTRACiÓN • Formemos el conjunto SI de la siguiente manera22
• Ul E SI.
• U2 E SI si U2 no es múltiplo escalar de Ul.
• En general, Ui E SI si Ui no es combinación lineal de sus predecesores.
Mediante este proceso es claro que los elementos de SI son L.I., y ya que cada vector que se excluyó de
S para formar SI es combinación lineal de sus predecesores, cada uno de ellos se puede escribir como
combinación lineal de los elementos de S l. Así, puesto que todo vector en E es combinación lineal de los
vectores de S, todo vector de E es combinación lineal de los vectores de SI; es decir, SI genera a E. •
Corolario 3.2 Si un espacio vectorial E está generado por los vectores Ul, U2,” ” um (no necesariamente
L.1.), entonces todo conjunto de vectores linealmente independiente tiene a lo más m vectores.
DEMOSTRACiÓN • Por el lema 3.2 podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que los vectores Ul,U2, … ,um son L.I.
Si Vi, i= 1, … ,k son vectores L.I., por el corolario 3.1,k <; m . • Definición 3.19 Un espacio vectorial E es finitamente generado si existen Ul, ... , um E E tales que E = gn(Ul,U2," o,Üm ). Corolario 3.3 Sea E un espacio vectorial finitamente generado, con Ul, ... , um un conjunto de generadores. Si ,qjJ es una base de E, entonces ,qjJ tiene a lo más m elementos. o Nota 3.11 Supongamos que E es un espacio finitamente generado, con S = {Ul, ... , um } un conjunto de generadores, entonces, por el lema 3.2, podemos reducir S a un conjunto ,qjJ que es linealmente independiente y que también genera a E; es decir, a una base del espacio E. Teorema 3.16 (Igualdad en cardinalidad en bases del mismo espacio) Si E es un espacio vectorial fi nz.t amente generad o y ,úVl!I = {U~l,~U 2'''',U~n} Y 'úVl!2 = {V~l,~V2 , ... ,V~m } son un par d e b ases d e este espacio, entonces n = m; es decir, cualquier par de bases en el mismo espacio tienen igual número de elementos. 22Podernos suponer que u¡ t= DE para todo i; pues si uno de estos vectores es el neutro aditivo, se puede excluir de S y el conjunto resultante sigue obviamente generando al espacio E. www.Matematica1.com DEMOSTRACiÓN • Por el corolario 3.1, puesto que /J1h es una base y los vectores Ui son L.I., se tiene n <; m; y por el mismo corolario, dado que los vectores Vi son L.I. y.q{1¡ es una base, se deduce m <; n; luego n = m. • Definición 3.20 (Dimensión de un espacio vectorial). Sea E un espacio vectorial. l. Si E es un espacio vectorial finitamente generado, se define la dimensión de E, dim(E), como el número de elementos de cualquier base de E. 2. Si E no es finitamente generado, entonces se dice que E tiene dimensión infinita y se escribe dim(E) = =. ~ Ejemplo 3.54 (Dimensión del espacio trivial {DE}). Sea E un espacio vectorial, entonces pues el único subconjunto L.I. de este subespacio es el conjunto vacío 0 (cfr. ejercicio resuelto 32(a), pág. 191) ..... ~ Ejemplo 3.55 (Dimensión de ]Rn). En el ejemplo 3.50 vimos que donde i ei = 10, ... ,0,1,0, ... ,1) '( 'V" -" n i = 1,2, ... , n es una base de ]Rn; por tanto, ~ Ejemplo 3.56 El espacio de polinomios, P, no es finitamente generado; pues si S es un conjunto finito de generadores, entonces uno de ellos tiene el grado máximo, digamos m. Por tanto, cualquier combinación lineal de elementos de S tiene grado a lo más m y, por ende, un polinomio de grado mayor a m no puede ser combinación lineal de elementos de S. Luego, dim(P) = = (cfr. ejemplo 3.51) ..... ~ Ejemplo 3.57 Probamos, en el ejemplo 3.52, que el conjunto es una base de Pk . Por tanto, ~ Ejemplo 3.58 En el ejemplo 3.53, mostramos que es una base del espacio vectorial de las matrices de tamaño m x n. Entonces, dim(9Jlmxn ) =mn ..... www.Matematica1.com ~ Ejemplo 3.59 En el ejemplo 3.29 vimos que toda matriz simétrica de tamaño 2 x 2, [ ac puede escribir como Por otro lado, si se desprende que al = a2 = a3 = O; i.e., estas matrices son L.I. Luego una base para el espacio, S, de las matrices simétricas de orden 2 es Por tanto, dim(S) = 3 ..... Extracción de una base en un conjunto generador En el lema 3.2 probamos que si S es un conjunto finito generador de un espacio vectorial, podemos construir una base del espacio a panir de los elementos de S excluyendo en forma sistemática a los que sean combinaciones lineales de sus predecesores; pues los que queden serán L.I. y claramente aún generan el espacio. Dada la gran importancia que tiene este resultado, volvemos a hacer explícito este método en el siguiente teorema e ilustramos a continuación su uso. Teorema 3.17 Sean E un espacio vectorial, Vio V2 ,"" Vk E E - {DE}, y supongamos que S = gn(vI, V2, ... , Vk). Para extraer de {VI, V2, ... , Vk} una base de S, se excluyen de {VI, V2, ... , Vk} aquellos vectores que son combinaciones lineales de sus predecesores. 23 ~ Ejemplo 3.60 Encontrar una base y la dimensión del subespacio de los polinomios S =gn(2,I-x,x+ l,x2 -1,x2 + l,x3 -2). • Queda 2 como vector inicial para la base. • Claramente 1 - x no es múltiplo escalar de 2, por tanto no se excluye. • Veamos si 1 + x es combinación lineal de 2 y 1 - x: l+x = a(2)+b(l-x) = 2a+b-bx =? 2a+b 1 -b = 1; 23por vacuidad, el primer vector no puede ser combinación lineal de sus predecesores y se incluye siempre corno vector inicial para la base. www.Matematica1.com por tanto, b=-lya=l. Así que 1 + x se excluye por ser combinación lineal de sus predecesores. • X2 - 1 no puede ser combinación lineal de 2 y 1 - x, pues toda combinación lineal de estos polinomios tiene grado a lo más uno; luego x2 - 1 se queda. • x2 + 1 es combinación lineal de 2, 1 - x Y x2 - 1; pues entraña el sistema x2+1 = a(2)+b(l-x)+c(x2-1) = 2a+b-c-bx+cx2 2a+b-c = 1 -b = O e = 1 que tiene solución e = 1, b = O Y a = 1. Por tanto x2 + 1 se excluye. • Finalmente, toda combinación lineal de los vectores que se han conservado tiene grado a lo más 2, por tanto x3 - 2 no puede ser combinación lineal de ellos y entonces se conserva. Luego, la base buscada es /JiJ = {2,I-x,x2 -1,x3 -2} y dim(S) =4 ..... En el caso particular de que se quiera extraer una base de {v¡, ... , Vk} para el subespacio S = gn(vl, V2, ... , Vk) de ]Rn, se puede utilizar herramienta matricial. Sea A la matriz que tiene por columnas a los vectores Vi y H la forma escalonada reducida de A. Si b E S, entonces b es combinación lineal de los vectores columna de A que corresponden a columnas con pivote en H; pues para los sistemas equivalentes [A I b] ~ [H I C'] estas columnas son precisamente donde hay variables ligadas y en las restantes columnas hay variables libres; a cada una de estas últimas se le puede asignar cualquier valor, en particular valores nulos a todas. Así S está generado por los vectores columna de A que corresponden a columnas con pivote en cualquier matriz escalonada equivalente a la matriz A. 24 Ahora pensemos en la matriz Al que se obtiene de la matriz A excluyendo los vectores que no correspondieron a columnas con pivote en la forma escalonada reducida; digamos que Al tiene por columnas a V¡, V2,"" vm. Entonces, toda columna de la forma escalonada reducida deAI tiene pivote; luego el sistemaAlx = O, x E ]Rm, tiene solución única, y por tanto las columnas de Al son L.I. Con lo precedente, hemos hecho plausible la demostración del siguiente teorema, que es un método para extraer una base de un sub espacio generado por vectores de ]Rn. 24Cfr. teorema 3.10 y la discusión que lo precede en la página 150. www.Matematica1.com Teorema 3.18 Sean VI, V2, ... , Vk E ]Rn y S = gn(vI, V2, ... , Vk). Entonces, para obtener una base de S a partir de los vectores Vi, se procede de la manera siguiente: l. Se forma la matriz A que tiene por columnas los vectores Vi y se lleva a forma escalonada. 2. Los vectores columna de A que correspondan a columnas con pivote en esa forma escalonada formarán una base de S. ~ Ejemplo 3.61 Extraer una base y encontrar la dimensión del subespacio S generado por los vectores (1,-1,0,2,1), (2,1,-2,0,0), (0,-3,2,4,2), (2,4,1,0,1), (3,3,-4,-2,-1), (5,7,-3,-2,0) ..... Solución Procedamos como establece el teorema 3.18: 1 2 O 2 3 5 1 2 O 2 3 5 -1 1 -3 4 3 7 O 3 -3 6 6 12 O -2 2 1 -4 -3 --+ O -2 2 1 -4 -3 2 O 4 O -2 -2 O -4 4 -4 -8 -12 1 O 2 1 -1 O O -2 2 -1 -4 -5 1 2 O 2 3 5 O 1 -1 2 2 4 --+ O O O 1 O 1 O O O O O O O O O O O O La base buscada se forma tomando los vectores columna de la matriz inicial que correspondan a columnas que tengan pivote en la forma escalonada /J1J = {(1, -1,0,2,1), (2,1, -2,0, O), (2,4, 1, 0,1)} y dim(S) = 3. V El siguiente teorema nos auxilia para, en el caso de saber la dimensión de un espacio, digamos n, concluir que un conjunto de n generadores son L.I., y por ende forman una base, o que n vectores L.I. generan al espacio; y así evitar probar la independencia lineal de los vectores o que generen al espacio. Teorema 3.19 Si dim(E) = n, las siguientes condiciones son equivalentes: l. VI,V2, ... ,Vn sonL.I. 2. VI, V2, ... , vn generan a E. 3. {VI, V2, ... , vn } es una base de E. DEMOSTRACiÓN • Sea /J1J una base de E, entonces /J1J tiene n elementos pues dim (E) = n. Mostremos (1) =? (2) =? (3), (3) =? (1) Y tendremos la equivalencia de las tres condiciones. (1) =? (2). Supongamos que w E E, entonces, por el teorema 3.15, los vectores {il'¡,¡h, ... ,unow} son L.D. Entonces existen escalares ni, i = 1,2, ... ,n, y fJ E]R, no todos cero, tales que www.Matematica1.com Si fJ = O, entonces algún a; debe ser distinto de cero; pero esto es imposible ya que los vectores 11; son L.I.; por tanto fJ f= O. Luego w es combinación lineal de los vectores 11;. Dado que w es arbitrario, hemos probado que los vectores 11; generan a E. (2) =? (3). Si los vectores 11; son L.D., entonces, por el teorema 3.17, podemos reducir este conjunto a uno L.I. que genere a E con m elementos y m < n. Pero esto implicaria que hay una base de E con un número de elementos distinto de n, lo cual es una contradicción al teorema 3.16. Por tanto, los vectores 11; deben ser L.I. Luego forman una base de E. (3) =? (1). Es clara. • ~ Ejemplo 3.62 Sabemos que P2 tiene dimensión 3. Si al, a2, a3 E lR son tales que entonces Por la definición de igualdad de polinomios se tiene 3a2 -2al = O que implica a3 = a2 = al = O. Luego los tres polinomios x - 2,3 - x, x2 - x son L.I. en P2 y por tanto {x - 2,3 -x,x2 -x} es una base de P2 . .... Compleción de un conjunto L.I. a una base Podemos utilizar el teorema 3.17 para completar un conjunto L.I. a una base .q(J del espacio mediante el siguiente procedimiento: Sea .q(J1 = {VI, V2, ... , Vk} un conjunto L.I. de un espacio E que tiene dimensión finita n. 1. Se forma el conjunto donde {el, e2, .. . ,en} es una base conocida del espacio E. 2. Se extrae de M una base .q(J por medio del procedimiento dado en el teorema 3.17. 3. El conjunto .q(J encontrado en el inciso anterior será una base de E. o Nota 3.12 El procedimiento anterior se justifica porque E = gn(M) y, al aplicar el teorema 3.17 a este conjunto generador, los vectores V;, i = 1,2, ... , k, permanecen ya que por hipótesis son L.I.; luego la base .q(J del espacio E contiene a estos vectores. ~ Ejemplo 3.63 Completar el conjunto L.I. {2x -4,x2 + 1} a una base de P3 . .... www.Matematica1.com Solución Utilizamos como base conocida de P3 a {1,x,x2,x3 } y extraemos de {2x-4,x2 + 1, 1,x,x2,x3 } una base: • 2x - 4 Y x2 + 1 se quedan porque son L.I. • 1 = a(2x -4) + b(x2 + 1) implica bx2 + 2ax+ b -4a = 1; por tanto, b = O 2a = O b-4a = 1, sistema que es inconsistente; luego 1 no es combinación lineal de sus predecesores y se queda. • x = a(2x - 4) + b(x2 + 1) + e implica x = bx2 + 2ax +b + e - 4a; por tanto, b = O 2a = 1 b+c-4a = O, sistema consistente con b = O, a = 1/2 Y e = 2; luego x es combinación lineal de sus predecesores y se excluye. • Evidentemente x2 = O (2x - 4) + 1 (x2 + 1) + ( -1) 1; así que x2 es combinación lineal de sus predecesores y se excluye. • Claramente x3 no es combinación lineal de sus predecesores, así que se incluye. La base buscada es .%1= {2x-4,x2+1,1,x3 }. V .. Ejemplo 3.64 Completar el conjunto L.I. {(1,2,0, 1,3), (-2, -4, 1, -2, -6)} a una base de ]R5 . .... Solución Utilizamos la base canónica de ]R5, la adjuntamos a este conjunto M = {(1,2,0, 1,3), (-2, -4,1, -2, -6), (1 ,0,0,0,0), (O, 1,0,0,0) , (0,0,1, O, O), (0,0,0, 1, O), (0,0, O, 0,1)}, y extraemos una base del mismo utilizando el teorema 3.18: 1 -2 1 O O O O 1 -2 1 O O O O 2 -4 O 1 O O O O O -2 1 O O O O 1 O O 1 O O O 1 O O 1 O O 1 -2 O O O 1 O O O -1 O O 1 O 3 -6 O O O O 1 O O -3 O O O 1 1 -2 1 O O O O O 1 O O 1 O O O O 1 O O -1 O O O -2 1 O O O O O -3 O O O 1 1 -2 1 O O O O O 1 O O 1 O O O O 1 O O -1 O O O O 1 O -2 O O O O O O -3 1 www.Matematica1.com La base buscada es {( 1, 2,0,1,3), ( -2, -4,1, -2, -6), (1, O, 0,0,0, O), (O, 1,0, O, O), (0,0, O, 1,0)}. V 3.4.3 Rango de l/na matriz Recordemos que si A E 9Jlmxm el subespacio de ]Rm generado por las columnas de A es el espacio columna de A, y el subespacio de ]Rn generado por las filas de A es el espacio fila de A y se les denota, respectivamente, por Ec(A) Y E¡(A) (cfr. definición 3.13, pág. 146); Y que el espacio nulo de una matriz se define como el subespacio de ]Rn de las soluciones del sistema homogéneo AX = 5 (cfr. ejemplo 3.20, pág. 141). Definición 3.21 Si A E 9Jlmxn se definen: l. Rango fila de A: Rf(A) =dim(E¡(A)). 2. Rango columna de A: Rc(A) = dim(Ec(A)). 3. Nulidad de A, Nul(A), como la dimensión del espacio nulo de A. Supongamos que H es la forma escalonada reducida de una matriz A E 9Jlmxn. Como vimos anteriormente, las columnas de A que corresponden a columnas con pivote de H generan al espacio columna y son linealmente independientes; además, hay tantas columnas en H con pivote como filas no nulas en H. Así que el rango columna de A es el número de filas no nulas de cualquier forma escalonada equivalente a la matriz A. Por otra parte, las filas de H se obtienen a través de sucesiones de operaciones de renglón iniciando con filas de la matriz A; luego toda fila de H es elemento del espacio fila de A. Además, las filas no nulas de H son linealmente independientes; pues en caso contrario, si una fila no nula de H es combinación lineal de otras filas, se pueden aplicar operaciones de renglón para transformar esta fila en una fila nula; lo cual no es posible, pues H es la forma escalonada reducida de A (recuerde que la forma escalonada reducida de una matriz es única). Entonces tenemos que las filas no nulas de cualquier matriz en forma escalonada equivalente a la matriz A forman una base para el espacio fila; luego el rango fila de A es el número de filas no nulas de cualquier forma escalonada equivalente a la matriz A. Finalmente, si en H existen vectores columna sin pivote, para fijar ideas pensemos que son 2 y que se encuentran en las dos últimas columnas, entonces hay dos variables libres r y s, y las soluciones del sistema homogéneo son de la forma alr+bls al bl a2 r + b2s a2 b2 =r +s an-2r + bn- 2s an-2 bn- 2 s O 1 r 1 O Así, toda solución es combinación lineal de los vectores Ul = (al, .. . , an-2,0, 1) Y U2 = (b l , ... ,bn- 2, 1, O). Si estos últimos vectores fueran L.D., entonces el sistema tendría sólo una variable libre, lo cual es imposible. Con esto hemos hecho plausible la demostración del siguiente teorema. www.Matematica1.com Teorema 3.20 Sean A E 9Jlmxn y Huna forma escalonada equivalente, entonces: l. Una base del espacio fila de A la forman las filas no nulas de H. 2. Una base del espacio columna de A laforman las columnas de A que corresponden a columnas con pivote de H. 3. El rango fila de A es el número de filas no nulas de H. 4. El rango columna de A es el número de columnas con pivote de H. 6. La nulidad de A es el número de columnas sin pivote de H. ~ Ejemplo 3.65 Hallar: 1. Una base de E¡(A) y Rf(A). 2. Una base de Ec(A) Y Rc(A). 3. Una base de espacio nulo deA y Nul(A). Si A es la matriz 1 2 O -1 1 1 3 1 -1 2 5 1 O O ..... 3 6 O O -6 1 5 3 5 -5 Solución Llevemos la matriz a forma escalonada. 1 2 O -1 1 1 2 O -1 1 O 1 1 2 -2 O 1 1 2 -2 A-+ O 1 1 2 -2 -+ O O O 1 -3 O O O 3 -9 O O O O O O 3 3 6 -6 O O O O O Entonces: 1. Las filas distintas de cero de la forma escalonada constituyen una base para el espacio fila, luego .'J1J = {(1,2,0, -1, 1), (O, 1, 1,2, -2), (O, 0,0,1, -3)}, Y Rf(A) = 3. 2. Las columnas de A correspondientes a columnas con pivote en la forma escalonada forman una base del espacio columna, así .'J1J = {( 1,1,2,3,1), (2,3,5,6,5), (1 - 1,1, O, 0,5)}, www.Matematica1.com 3. La solución al sistema homogéneo es: Xl 2s+ lOr 10 2 X2 -s-4r -4 -1 X3 s =r O +s 1 X4 3r 3 O Xs r 1 O Entonces, una base para el espacio nulo es /J1J = {( 10, -4,0,3, 1), (2, -1, 1, O, ol), y Nul(A) = 2. V Definición 3.22 Si A E 9Jlmxn, el rango de A se define como Rang(A) = Rf(A) = Rc(A). ~ Ejemplo 3.66 Si A es la matriz del ejemplo precedente, Rang(A) = 3 ..... Los dos siguientes teoremas son conclusiones inmediatas de lo precedente y su demostración se deja como ejercicio al lector. Teorema 3.21 Si A E 9Jlmxn, entonces Rang(A) + Nul(A) = n. Equivalentemente para el sistema AX=O: l. Rang(A) = número de variables ligadas. 2. Nul(A) = número de variables libres. 3. Rang(A) + Nul(A) = n. Teorema 3.22 Si A E 9Jlnxn, A es invertible si y sólo si Rang(A) = n. Para finalizar este apartado enunciamos y probamos el siguiente teorema que será útil más adelante. Teorema 3.23 Si A E 9Jlmxn, entonces la matriz simétrica AtA y la matriz A tienen el mismo rango; esto es, Rang(AtA) = Rang(A). DEMOSTRACiÓN • Mostremos que los sistemas AX = O y (AtA).\' = O tienen las mismas soluciones. www.Matematica1.com 1. Si Li E ]Rn es solución de Ai = O, entonces ALi = O; luego At (ALi) = O; por tanto, (AtA) Li = O. 2. Supongamos ahora que v E]Rn es solución de (AtA)i = O. Entonces (AtA) v = O; por tanto, (v)' (AtA) v = O; esto es, (vtAt)Av = O; es decir, (AV)' (AV) = O; por ende, por lo que Luego, de 1 y 2, los sistemas AX = O y (AtA)i = O tienen las mismas soluciones; por tanto, Nul(A) = Nul(AtA), y dado que A tiene tamaño m x n y AtA tiene tamaño n x n, del teorema 3.21 inciso 3 se desprende que Rang(A) = Rang(AtA) . • ~ Ejemplo 3.67 Sea A= [ 1 -1 2 2 -1 O n· -2 1 1 Llevemos A a forma escalonada [j -1 2 ~ 1 [ ~ -1 2 A= -1 O 1 -4 -i] 1 1 -1 5 [ ~ -1 2 1 1 -4 -1 O 1 1 www.Matematica1.com Entonces Rang(A) = 3. Por otro lado, [ 1 2 -2 ][ 1 -1 2 1 1 AtA = -1 -1 1 2 -1 O 1 2 O 1 -2 1 1 O 1 1 O ~ [ 9 -5 O -5 3 -1 -; 1 O -1 5 2 . 3 -2 2 2 Llevemos esta última matriz a forma escalonada [ 9 -5 O 3 1 [ 9 -5 O -¡ 1 [ 1 -1 3 -5 3 -1 -2 -5 3 -1 -5 3 -1 -l] O -1 5 2 O -1 5 O -1 5 3 -2 2 2 1 -1 3 9 -5 O [ 1 -1 3 2 • [ 1 -1 3 2 • O -2 14 8 O 1 -7 -4 O -1 5 2 O -1 5 2 O 4 -27 -15 O 4 -27 -15 [ 1 -1 3 2 • [ 1 -1 3 O 1 -7 -4 O 1 -7 -¡ 1 O O -2 -2 O O 1 1 . O O 1 1 O O O O De donde Rang(AtA) = 3 ..... 3.5 Espacios vectoriales sobre los números complejos Es posible considerar espacios vectoriales sobre el campo de los números complejos25 Esto significa un conjunto E en el que se ha definido una operación suma entre sus elementos (vectores) y una operación producto de un escalar por un vector, siendo los escalares números complejos, que cumplen los diez axiomas de espacio vectorial de la definición 3.6 (cfr. pág. 131)26 De ser así, se tiene un espacio vectorial sobre el campo de los números complejos o simplemente un espacio complejo. Todo lo desarrollado en este libro relativo a espacios vectoriales reales (los escalares subyacentes son 25Recornendarnos al lector consultar B.l del apéndice B y los apartados 1.1.5, 1.2.8, 2.1.5 Y 2.2.5. 260bviamente reemplazando el símbolo IR por el símbolo e donde corresponda. www.Matematica1.com números reales) tiene su símil para espacios sobre el campo de los números complejos, y toda la teoría sigue siendo válida para este tipo de espacios pues depende, en cuanto a la multiplicación de vectores por escalares, únicamente de las propiedades de campo de los números reales, que son las mismas que las de los números complejos, y no de propiedades particulares de los números reales como el orden (propiedad totalmente ausente en e). Es decir, los conceptos de subespacio vectorial, combinaciones lineales, subespacios generados, independencia lineal, bases, dimensión, etc., siguen siendo los mismos; excepto que el conjunto de escalares es el campo IC. ~ Ejemplo 3.68 Consideremos 9Jlmxn(e) el conjunto de matrices de tamaño m x n cuyas componentes son números complejos con la suma usual de matrices (sumando en forma compleja componente a componente) y multiplicación de un escalar por una matriz; pero esta vez los escalares son también números complejos. Es fácil verificar que 9Jlmxn (e) es un espacio vectorial sobre e y que dim(9Jlmxn(lC)) =mn ..... ~ Ejemplo 3.69 Otro ejemplo es en, el conjunto de n-adas ordenadas (ZI, ... ,Zn) donde Zi E e para cada i = 1, ... ,n; con las operaciones (Zl,Z2, ... ,Zn) + (Wl, W2,"" wn) a(Zl,Z2,'" ,Zn) donde Zj +W j y aZj son las operaciones de suma y multiplicación de números complejos, es fácil probar con estas operaciones que en es un espacio vectorial sobre el campo e, y que dim(cn) = n (una base para este espacio es también la base canónica de ]Rn) ..... ~ Ejemplo 3.70 Sea el conjunto E = en considerado en el ejemplo precedente con la suma entre sus elementos ahí definida, pero con el producto de un escalar por un vector restringido a los números reales. Es claro que E es un espacio vectorial real. Sean los vectores j 10, ... ,0,1,0, ... ,0) paraj= l, ... ,n, y '( "V' -" n j IO, ... ,O,i,O, ... ,O) paraj= l, ... ,n. '( "V' -" n Claramente los 2n vectores ej,h ' j = l, ... ,n , son L.I., y si entonces n n w= ~>jej+ Lbjh;
j~1 j~1
de donde se desprende que
dim(E) = 2n …..
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o Nota 3.13 Los espacios sobre el campo de los números complejos son de gran importancia en álgebra
lineal y están involucrados directa o indirectamente en una gran variedad de aplicaciones de esta
rama de las matemáticas. Se pudo considerar este tipo de espacios desde el inicio, pero por cuestiones
que tienen que ver con aspectos psicológicos, debido a la poca familiaridad que por lo general tienen los
lectores con el campo IC, no se hizo y se han incluido secciones donde se ha intentado introducir estos
conceptos gradualmente con el fin de que el lector se vaya adaptando de esta misma forma a espacios
sobre IC. Es hasta el final del capítulo 5 que se verá la importancia del uso de escalares complejos y
de espacios sobre este campo. Por esta razón, de aquí en adelante supondremos que todos los espacios
vectoriales con los que se trabaje serán espacios vectoriales reales, a menos que se indique lo contrario;
en cuyo caso se hará notar que se tiene un espacio complejo.
3.6 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos
3.6.1 Ejercicios resueltos
Geometría de los espacios lEn
En los ejercicios 1 a 8, u = (-1,3,4, -2), v = (-2,5,3,2) Y w = (1,0,4, -2).
Calcular 3u- 4v.
Solución
2 Encontrar u + i w.
Solución
3 Hallar Ilvll.
Solución
4 Calcular d(u, w).
Solución
3u-4v = 3(-1,3,4,-2) -4(-2,5,3,2)
= (-3,9,12,-6) – (-8,20,12,8)
= (5,-11,0,-14). V
u+ iw = (-1,3,4,-2)+ i(I,0,4,-2)
= (-1,3,4,-2)+(i,0,2,-I)
= (-i,3,6,-3). V
d(u, w) = Ilu- wll
= 11(-1,3,4, -2) – (1,0,4, -2) II
= 11(-2,3,0,0)11
= V13. V
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5 Hallar 4u – 2v – w.
Solución 4u-2v-w = 4(-1,3,4,-2) -2(-2,5,3,2) – (1,0,4,-2)
(-4,12,16, -8) – (-4,10,6,4) – (1,0,4, -2)
= (0,2,10,-12) – (1,0,4,-2)
= (-1,2,6,-10). V
6 Encontrar un vector unitario (con norma 1) paralelo y con la misma dirección que el vector v.
Solución Por el ejercicio 3, II vii = V 42; así que un vector unitario paralelo en la misma dirección
está dado por
ii = II~II = Y~2 (-2,5,3,2)
(-2\ V42, 12 v42, l~ v42, 2\ V42). V
7 Calcularu·(v+w).
Solución u·(v+w) = (-1,3,4,-2)·((-2,5,3,2)+(1,0,4,-2))
= (-1,3,4,-2)·(-1,5,7,0)
= 44. V
8 Encontrar el valor de b tal que (-1, b, 1, -2) .1 u; es decir, para que estos vectores sean ortogonales.
Solución Para que (-I,b, 1, -2) .1 u es necesario y suficiente que (-I,b, 1, -2)· u = O. Entonces,
(-I,b,I,-2) (-1,3,4,-2) = O e=}
9+3b = O e=}
b = -3. V
9 Calcular el área del paralelogramo generado por los vectores (3,2) y (8,0) utilizando la interpretación
geométrica del determinante del apartado 3.1.2 (cfr. pág. 117). Comprobar que el resultado es correcto
mediante la fórmula usual para el área de un paralelogramo.
Solución [
3 8
Sea A = 2 O ] , entonces el área a del paralelogramo es
a = Idet(A)I
16 u2 .
El área de un paralelogramo es el producto de la base b por la altura h; en este caso b = 8 Y h = 2; por
tanto, a = bh = 16u2 . V
En los ejercicios 10 y 11, los vectores de la base canónica de ]R3 el = (1,0,0), e2 = (0,1,0) Y e3 =
(O, 0,1) serán representados de la manera tradicional por 1, ] y k, respectivamente, y u = (al, a2, a3),
v = (b l , b2,b3) son cualquier par de vectores no paralelos de ]R3.
10 Encontrar el conjunto de vectores w = (CI,C2,C3) E]R3 que son perpendiculares tanto a u como a v.
Solución Si al = O Y bl = O, entonces el conjunto buscado consiste en los vectores de la forma al.
Se puede suponer entonces, sin perder generalidad, que al # O. Se debe tener entonces u· w = O = v· w;
esto es
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y ya que
[


a¡c¡ +a2C2+a3C3 = O,
bIcI +b2C2+b3C3 = O.
Y a¡b2 – a2b¡ f= O, porque ¡¡ y v no son paralelos, se tiene que el conjunto de vectores ortogonales a ¡¡ y
v está dado por:
r E]R. V
11 (Producto cruz de vectores o producto vectorial en ]R3). Elíjase r = a¡b2 – a2b¡ en el inciso precedente
para calcular el vector resultante j5 que es ortogonal a ¡¡ y V. Encontrar una fórmula que involucre
al determinante de una matriz adecuada para calcular este vector. Al vector p se le llama producto cruz
o producto vectorial de los vectores ¡¡ y vy se acostumbra emplear la notación p = ¡¡ x v.
¡¡xv
Solución En este caso
a3b¡ – a¡b3
C2 = r
a¡b2 – a2b¡
= a3b¡ – a¡b3
ba¡¡ I ,
y
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Luego, p= 1 a2 a3 11+1 a3 a¡ 17+1 a¡
b2 b3 b3 b¡ b¡
=1 a2 a3 11-1 a¡ a3 17+1 a¡
b2 b3 b¡ b3 b¡
1 J k
a¡ a2 a3
b¡ b2 b3
al desarrollar el último determinante por cofactores en la primera fila.
12 Encontrar el producto vectorial de u = (-1,2, -1) Y v = (2, -1, 3).
Solución
1 7 k
uxv= -12-1
2 -1 3
a2 b2 Ik
a2 b2 Ik
V
I-i -~Il-I-~ -~17+1-~ _ilk
= 5í+7- 3k
= (5,1,-3). V
13 Calcular la magnitud del producto vectorial de cualquier par de vectores u = (a¡, a2,a3) Y v = (b¡, b2, b3)
de ]R3 en términos del ángulo e entre ellos, e interpretar geométricamente el significado de esta magnitud.
Solución En el apartado 3.1.2 (cfr. pág. 117) se dedujo que el área del paralelogramo generado por
estos dos vectores (cfr. figura 3-9) está dada pm
s = Ilullllvll sen e,
donde e es el ángulo entre ellos; también se concluyó ahí que
S2 = IIul1 2 11vl12
– (u. V)2
= (ai+aha~)(bi+bhb~) – (a¡b¡ +a2 +b2 +a3b3)2.
Por otra parte,
Ilu X vl1 2 = 1 a2 a3 12 + 1 a¡ a3 12 + 1 a¡ a2 12
b2 b3 b¡ b3 b¡ b2
= (a2b3 – a3b2)2 + (a3b¡ – a¡b3)2 + (a¡b2 – a2b¡)2
= a~b~ – 2a2b3a3b2 +a~b~ +a~bi – 2a3b¡a¡b3 +aib~ + aib~ – 2a¡b2a2b¡ + a~bi
= a~b~ + a~b~ + a~bi + aib~ +aib~ + a~bi + aibi + a~b~ +a~b~ – aibi – a~b~ – a~b~
-2a2b3a3b2 – 2a3b¡a¡b3 – 2a¡b2a2b¡
= (ai + a~ + a~)(bi + b~ + bD – ((a¡b¡ + a2b2J2 + 2(a¡b¡a2b2)a3b3 + a~b~)
= (ai +a~ + a~)(bi + b~ +bD – (a¡b¡ +a2b2 +a3b3)2
=S2.
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De donde
s= Iluxvll
y
Ilux vii = Ilullllvlllsenel· V
14 Demostrar las propiedades del espacio vectorial de lRn (cfr. pág. 122).
DEMOSTRACiÓN • Sean u = (x¡, … ,xn), V = (y¡, … ,Yn), W = (z¡, … ,Zn) vectores arbitrarios de lRn y ‘\, fJ cualquier par
de números reales. Entonces:
1. Dado que la suma de números reales es también un número real,
2. Puesto que la suma de números reales es asociativa,
u+(v+W) = (x¡, … ,xn)+((Y¡, … ,Yn)+(Z¡””,Zn))
= (XI””,Xn)+(YI +ZI,···,Yn+Zn)
= (Xl +(Yl +Z¡), … ,Xn+(Yn+Zn))
= ((Xl +Y¡)+ZI, … ,(Xn+Yn)+Zn)
= (Xl +YI, … ,Xn+Yn)+(ZI, … ,Zn)
= (U+V +W. ~ ~) ~
3. Ya que la suma de números reales es una operación conmutativa,
u+v = (XI””,Xn)+(YI, … ,Yn)
= (XI+YI, … ,Xn+Yn)
= (YI+XI,···,Yn+Xn)
= (Yl, … ,Yn) + (Xl, … ,Xn)
= V+U.
4. Como el neutro aditivo de lR es O, se tiene
n
= (Xl +O, … ,xn+O)
= (XI,””Xn)
= U.
5. Si X es un número real, existe su inverso aditivo, -X, que satisface X + (-X) = O; luego, si
-u = (-Xl, … , -Xn ), se tiene
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iH(-u) = (X¡, … ,xn) +(-X¡, … ,-xn)
= (X¡ +(-x¡), … ,(xn+(-xn))
= 10, … ,0)
‘(yo”‘-
n
6. Ya que el producto de números reales es también un número real,
7. Puesto que el producto de números reales es asociativo,
A(¡3ií) = A(¡3(X¡, … ,Xn))
= A(¡3X¡, … , ¡3xn)
= (A(¡3X¡), … ,A(¡3Xn))
= «A¡3)X¡, … ,(A¡3)Xn)
= (A¡3)(X¡, … ,Xn)
= (A¡3)U.
8. Dado que el producto se distribuye con respecto a la suma en los números reales,
(A+fJ)U = «A+¡3)X¡, … ,(A+¡3)Xn)
= (.\x¡ +¡3X¡, … ,.\xn+¡3xn)
= (.\x¡, … , .\xn) + (¡3X¡, … ,¡3xn)
= A(X], … ,Xn) + ¡3(X¡, … ,Xn)
= AU + ¡3U.
9. Como el producto de números reales se distribuye con respecto a la suma, se tiene
A(U+V) = A«X¡, … ,Xn)+(Y¡, … ,Yn))
= A(X¡ +y¡, … ,Xn +Yn)
= (A(X¡ +y¡), … ,A(Xn+Yn))
= (AX¡ + Ay¡, … ,.\xn + AYn)
= (AX¡, … ,.\xn)+(Ay¡, … ,AYn)
= A(X¡, … ,Xn) + ¡3(y¡, … ,Yn)
= AU+ AV.
10. Puesto que Ix = x \:Ix E lR,
1u = l(X¡, … ,Xn)
= (lx¡, … ,lxn)
= (X¡, … ,Xn)
= u. _
15 Probar las propiedades 1 (simetria) y 2 (homogeneidad) del producto punto (cfr. pág. 123).
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DEMOSTRACiÓN • Sea u = (X¡, … ,Xn), V = (y¡, … ,Yn) cualquier par de vectores en]Rn y .\ E ]R. Entonces:
1. (Simetria). Dado que el producto de números reales es conmutativo, se tiene
n
= LXiYi
i=l
= v·u.
2. (Homogeneidad). Puesto que el producto de números reales es asociativo y distributivo,
U'(AV) = (X¡””,xn)·(.\(Y¡, … ,Yn))
= (X¡, … ,xn)· (.\Y¡,···,.\Yn)
n
= LXi(‘\Yi)
i=l
n
= L.\(XiYi)
i=l
n
= ‘\LXiYi
i=l
= .\(u·v) . •
16 Hallar el ángulo entre u = (-1,3,4, -2) Y W = (1,0,4, -2).
Solución e = arccos (1I~1’I~vll)
= arccos (
(-1,3,4,-2)·(1,0,4,-2) )
11(-1,3,4, -2) 1111(1,0,4, -2) 11
= arccos C/3~~21)
~ 0.71212
~ 40.801°. V
17 Demostrar el recíproco del teorema de Pitágoras, es decir, si u, v E ]Rn y Ilu + vl12 = IIul12 + Ilv112, entonces
u y v son ortogonales.
DEMOSTRACiÓN • IIul12 + IIvl12
= Ilu + vl12
= (u+v)· (u+v)
= (u + v) . u + (u + v) . v
= uu+vu+uv+vv
= IIul12 + 2(u· v) + Ilv112
=}
2(u·v) = O=}
u·v = O . •
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18 Sean Ui, i = 1, … ,k, vectores de ]Rn que son ortogonales entre sí; es decir, Ui . Uj = O si i fe j.
(a) Demostrar por inducción la generalización del teorema de Pitágoras; esto es,
(b) Si además los vectores Ui no son nulos, probar, utilizando el primer inciso, que los vectores Ui
son L.I.
DEMOSTRACiÓN. (a) El resultado claramente es válido para k = 1. Suponga que la afirmación es cierta para k – 1
vectores. Puesto que los vectores son ortogonales entre sí, se tiene
luego los vectores L:7:i Ui y Uk son ortogonales, así que, por el teorema de Pitágoras (teorema
3.2, pág. 126),
y por hipótesis de inducción
por lo que
Ilil’¡ + … +Uk-l + Uk 112
= IIUI + … + Uk_1112 + IIukl12
= IIúll12 + … + Iluk-1112 + Ilukl12.
(b) Sean ai, i = 1, .. . ,k, escalares tales que
Puesto que (aiui)’ (ajuj) = aiaj(ui ‘Uj) = aiaj’O = O si i fe j, se sigue que los vectores aiui
son ortogonales entre sí. Por el inciso precedente, se tiene
0= Ilalul+a2u2+···+akukI12
= ai Ilull12+ai Ilu2112+ … +ai Ilukl12;
por tanto,
a; Ilu; 112
= O para todo i.
Ya que los vectores Ui no son nulos, se deduce que ai = O para todo i = 1, … ,k, Y por ende los
vectores Ui son L.I. •
19 Probar la propiedad 4 (desigualdad triangular) del valor absoluto de la página 127:
Ix+yl <; Ixl + Iyl 7X,y E]R. www.Matematica1.com DEMOSTRACiÓN • Sean x,y E lR. Dado que a <; lal para todo número real a, se tiene de donde (x+y? = x2 +2xy+i < W + 21xllyl + lyl2 (Ixl + lyl)2, y puesto que I al = va2 , la anterior desigualdad implica 20 Encontrar la ecuación de un plano que sea perpendicular al plano 3x - 2y + 4z = 12 Y pase por el punto (-1,2,1). Solución Si Y = O Y z = O en la ecuación del plano dado, entonces x = 4; así que el punto (4,0,0) pertenece a este plano. Si x = O Y Y = O en la ecuación del plano dado, entonces z = 3; por tanto, (O, O, 3) pertenece a este plano. Así que el vector (4, O, - 3) es un vector perpendicular al plano que se está buscando. Entonces 4(x + 1) +ü(y - 2) - 3(z - 1) = O o, equivalentemente, 4x-3z= -7 resuelve este problema. V Espacios vectoriales 21 Probar que 9Jlmxn con las operaciones usuales de suma de matrices y multiplicación de un escalar por una matriz es un espacio vectorial. DEMOSTRACiÓN • Sean A = [aij], B = [bij] Y C = [cij] matrices arbitrarias de tamaño m x n; y a,fJ E lR cualquier par de números. Entonces: 1. Puesto que la suma de números reales da como resultado un número real, se tiene aij + bij E lR para todo i = 1, ... ,m y para todo j = 1, ... ,n; por tanto, A + B = [aij + bij] E 9Jlmxn . 2. Dado que la suma de números reales es asociativa, (aij + bij) + cij = aij + (bij + Cij) para todo i = 1, ... ,m y para todo j = 1, ... ,n; por tanto, (A+B) +C =A+ (B+C). www.Matematica1.com 3. Ya que la suma de números reales es conmutativa, aij + bij = bij + aij para todo i = 1, .. . ,m y para todo j = 1, ... ,n; por ende, A+B=B+A. 4. Comox+O =x \:Ix E R aij+O = aij, para todo i= l, ... ,m y para todo j = l, ... ,n; luego A+ó'=A. 5. Puesto que para cada x E lR existe -x E lR tal que x + (-x) = O, se tiene que si -A = [-aij], entonces A+(-A)=ó'. 6. La multiplicación de números reales da como resultado un número real; por tanto, aaij E lR para todo i = l, ... ,m y para todo j = 1, ... ,n; luego aA = [aaij] E 9Jlmxn . 7. La multiplicación de números reales es asociativa; por tanto, (a¡3)A = [(a¡3)aij] = [a(¡3aij)] = a [¡3aij] = a(¡3A). 8. La multiplicación de números reales se distribuye con respecto a la suma, entonces, a(A+B) = a([aij] + [bij]) = a[aij+bij] [a(aij+bij)] [aaij + abij] [aaij] + [abij] = a [aij] + a [bij] = aA+aB. 9. Puesto que la multiplicación de números reales se distribuye con respecto a la suma, (a+¡3)A = (a+¡3)[aij] [( a + ¡3)aij] = [aaij + ¡3aij] = [aaij] + [¡3aij] = a [aij] + ¡3[aij] = aA + ¡3A. www.Matematica1.com 10. Ya que Ix = x para todo x E lR, se tiene lA = 1[aij] [laij] [aij] =A . • 22 Sea E el conjunto de matrices 3 x 3 con la operación usual de multiplicación de un escalar por una matriz pero con la suma definida en la forma A tBB = fl, donde fl es la matriz cero 3 x 3. Determinar si E es un espacio vectorial con estas operaciones. En el caso de que E no sea un espacio vectorial indicar los axiomas que no cumplen. Solución SeanA,B,C E E Y a,fJ E lR. (1) Claramente la suma tB es cerrada. (2)AtB (BtBC) =AtB fl = fl = fl+C= (AtBB)tBC. (3)AtBB = fl =BtBA. (4) SiA es la matriz 3 x 3 conall = 1 Y las demás componentes iguales a cero, entonces A tBB = fl f= A \:lB E E, luego E no tiene neutro aditivo. (5) Por el inciso anterior, no tiene sentido el concepto de inverso aditivo. (6), (7) Y (10) se cumplen porque es la multiplicación usual de un escalar por una matriz. (8) a(A tB B) = afl = aA tB aBo (9) Sea A como en (4), entonces (1 + 2)A es la matriz 3 x 3 con all = 3 Y las demás componentes nulas; mientras que lA tB 2A = fl f= (1 + 2)A. En resumen, los axiomas 4, 5 Y 9 no se cumplen pero los demás sí. E no es un espacio vectorial con estas operaciones. V 23 Sean E un espacio vectorial y S e E. Mostrar que S < E (S es un subespacio de E) si y sólo si se cumplen las dos siguientes condiciones: (i) Sf=(/). (ii) al1 + fJv E S \fU, V E S, \:Ia,fJ E lR. DEMOSTRACiÓN • (=?) Supongamos que S < E. Entonces S f= (/) pues DE E S. Sean 11, V E S Y a, fJ E lR; ya que S < E, la multiplicación de vectores por escalares y la suma de vectores es cerrada en S, luego al1 E S Y fJv E S; por tanto al1 + fJv E S. (~) Supongamos que se cumplen (i) y (ii); entonces, por (i) existe 11 E S; Y por (ii) DE = 011 E S. Si w, v E S, Y a E lR, por (ii) w + v E S Y aw E S. Por tanto S < E. • 24 Sea S el conjunto de todas las funciones, y, derivables hasta el orden dos en todos los puntos de lR que satisfacen la relación y"(x) -y'(x) -6y(x) = O \:Ix E lR. Mostrar que S es un espacio vectorial. DEMOSTRACiÓN • Puesto que S e .9'" (lR), basta probar que S < .9'" (lR). (a) Ya que e, la función constante cero, satisface e'(x) = O Y e"(x) = O para todo x E lR, se tiene e E S. (b) Si f,g E S, entonces f"(x) - f'(x) - 6f(x) = O Y g"(x) - g'(x) - 6g(x) = O para todo x E lR. Luego, para cada x E lR, www.Matematica1.com (f + g)" (x) - (f + g)'(x) - 6(f + g)(x) = f"(x) - ¡' (x) - 6f(x) +g" (x) - g'(x) - 6g'(x) = O; por tanto f + g E S. (e) Si a E]R Y f E S, entonces f"(x) - ¡'(x) - 6f(x) = O para todo x E lR, así que (af)"(x)-(af)'(x)-6(af)'(x) = a(f"(x)- ¡'(x)-6f(x)) = aO = O \:Ix E]R. Por tanto, af E S. De 1, 2 Y 3, S < .9' (]R) y por ende es un espacio vectorial. • 25 Una sucesión (an) de números reales es acotada si existe M> O tal que lanl <; M para todo n, se dice entonces que M es una cota para la sucesión. Sea S el subconjunto, del espacio de sucesiones ]R=, formado por todas las sucesiones que son acotadas. Probar que S < ]R=. DEMOSTRACiÓN • Sean (an ), (bn ) E S, a E ]R. 1. Claramente la sucesión constante cero pertenece a S (cualquier número positivo es una cota para esta sucesión). 2. SeanM¡,M2 > O cotas de las sucesiones (an) y (bn), respectivamente; esto es, lanl <; M¡ Y Ibnl <; M2 para todo n. Entonces, por la desigualdad triangular para el valor absoluto de números reales, para todo n, entonces M¡ + M2 > O es una cota para la sucesión (an + bn); lo cual implica (an) +
(bn ) ES.
3. Para cada n,
laanl = lallanl <; (Ial + I)M¡. Así, (la 1+ 1 )M¡ > O es una cota para la sucesión (aan); por tanto, a(an) ES.
De 1, 2 Y 3, S < ]R=. • 26 (Suma de subespacios). Sean E un espacio vectorial y R,S un par de subespacios. Se define el conjunto, suma de los subespacios R y S, como Mostrar que R + S < E. www.Matematica1.com DEMOSTRACiÓN • (1) Dado que R y S son subespacios de E, DE E R n S; por lo que, DE = DE + DE E R + S. (2) Si UI + VI, U2 + V2 E R + S, entonces, UI, U2 E R Y VI, V2 E S; por tanto, UI + U2 E R Y VI + V2 E S; así que (3) Si a E lR Y u + V E R + S, entonces u E R Y V E S, parlo que au E R Y av E S; luego a(ií+v) = au+aVE R+S. De 1, 2 Y 3, R + S < E. • 27 (Suma directa). Dado un espacio vectorial E y k subespacios Si e E, se dice que E es la suma directa de estos sub espacios y se escribe si: • E = SI + S2 + ... + Sk; esto es, todo elemento w E E tiene la forma con Ui E Si para cada i = 1,2, ... ,k . • Sin(SI+S2+",+Si-t) = {DE} \ji,2~i~k. Probar que E es la suma directa de los subespacios SI, ... ,Sk si y sólo si todo vector w E E se puede escribir de manera única como w = UI + ... + Uk, con Ui E Si, i = 1, ... ,k. k k DEMOSTRACiÓN • (e=}) Si E es la suma directa de los subespacios Si, y w = LUi = LVi con Ui, Vi E Si, entonces i=l i=l k-I Uk-Vk= - L (Ui-Vi) ESkn(SI +",+Sk-t) = {DE} i=l por tanto Uk = Vk. Luego, k-2 Uk-I - Vk-I = - L (Ui - Vi) E Sk-I n (SI + ... + Sk-2) = {DE}, i=l de donde Uk-I = Vk-I. De manera análoga se prueba Ui = Vi para los otros índices. (~) Claramente E = SI + ",+Sk. Sea u E (SI +",+Sj_¡) nSj, entonces existen Ui E Si tales que u = UI + ... +Uj_l. Luego y por la unicidad de los términos, se desprende que Ui = DE = u \j i. 28 Sea 9Jln el espacio de matrices cuadradas de orden n; del ejemplo 3.25 (pág. 143) el conjunto SI, de matrices cuadradas simétricas de orden n, es un subespacio de 9Jln . www.Matematica1.com (a) Sea S2 el conjunto de matrices cuadradas A de orden n que son antisimétricas; esto es, A' = -A. Probar que S2 es un subespacio de 9Jln . (b) Demostrar que 9Jln = SI EB S2. DEMOSTRACiÓN. (a) Claramente tJ E S2. SiA,B E S2 y a,fJ E R entonces (aA+fJB)' = aA' +fJB' = a( -A) + fJ( -B) = -(aA+fJB). Lo cual prueba que S2 < 9Jln . (b) Sean A E 9Jln,Ml = iA+ iA' y M2 = iA- iAt Claramente A =Ml +M2 , Y puesto que Mi (iA+iA')'=iA'+iA=M1Y Mi (iA - i A')' = iA' - iA = -M2 , se tiene que MI E SI Y M2 E S2; con lo que se ha probado que 9Jln = SI + S2' Si M E SI nS2, entonces M' = M Y M' = -M, de donde M = -M; por tanto, M = tJ; es decir, SI nS2 = {tJ}. Luego 9Jln = SI EB S2. • 29 (Espacio cociente). Sean E un espacio vectorial y S e E un subespacio. (a) Se define la siguiente relación entre los elementos de E: Probar que esta relación es de equivalencia; esto es, (i) u ~ u \fu E E (reflexividad); (ii) si u, v E E, u ~ V =? V ~ u (simetría); (iii) si u, v, W E E, u ~ v, v ~ W =? u ~ w (transitividad). (b) Para cada u E E, el símbolo [uj representa la clase de equivalencia del vector u; es decir, el conjunto de vectores que están relacionados con U. Probar que dos clases de equivalencia o son disjuntas (su intersección es vacía) o son iguales. (e) Si E/S = {[u] I u E E}, se definen [u] + [V] = [u + v] y a[uj = lauj para cada [u]' [V] E E/S Y para cada a E ]R. Probar que las operaciones [u] + [v] y a [u] están bien definidas; esto es, que no dependen de los representantes de cada clase de equivalencia; o sea, que si [u] = [ul] y [V] = [Vi], entonces [u + V] = [ul + Vi] y [au] = [aul]. www.Matematica1.com (d) Probar que E/ S, junto con las operaciones definidas en el inciso precedente, es un espacio vectorial (llamado espacio cociente del subespacio S). DEMOSTRACiÓN • (a) Sean u, v, w vectores arbitrarios de E. (i) u - u = OE E S, porque S < E. Por tanto u ~ u . (l.l.) ~ ~ ~ ~ S(porqueS..xl
C2 =
p.(p. – )..)
www.Matematica1.com
Por construcción de Cl y C2 ,
(**)
se cumple para n = 1 Y n = 2. Sea k un entero mayor a 2 y suponga que la precedente igualdad
es válida para todo entero m con 2 < m <; k - 1. Entonces, por (*), Xk = -axk-l - PXk-2 (A + fl.)Xk-1 - Aflxk-2 (A + 11.)( CIAk- 1 + C2/1.k- l) - Afl( CIAk-2 + C2/1.k- 2) = CIAk +C2/i +CIAk- 1 fl.+ C2/i-1 A - CIAk- ll1. -C2/i-1 A = CIAk+C2/i. Se sigue por inducción que (**) se cumple para todo n; por tanto, x = Clu + C2v para todo x E S; es decir, u, v generan a S. • 45 Sean R,S un par de subespacios de un espacio vectorial E de dimensiones finitas r y s, respectivamente. Mostrar que dim(R + S) = dim(R) + dim(S) - dim(R n S), donde R + S es la suma de estos subespacios definida en el ejercicio resuelto 26 de esta sección y R n S es el subespacio formado por la intersección de los subespacios R y S (cfr. ejercicio resuelto 30). DEMOSTRACiÓN. Sean {UI, ... ,Uk} una base de RnS. Puesto que RnS < R Y RnS < S, se puede completar, mediante el proceso dado en la página 167, ésta a una base {u 1, ... , Uk, e'¡, ... , er-k} de R y a una base {Ul, ... ,uk,h, ... ,ls-k} de S. Sea u + v E R + S, entonces k r-k U = L aiUi + L Piei i=l i=l para algunos escalares ai,Pi, Y k s-k v= La;Ui+ LIJi i=l i=l para algunos escalares a;, li; luego k r-k s-k u+v= L(a;+a;)u;+ LPie;+ Lid; i=l i=l i=l lo cual prueba que R + S está generado por los r + s - k vectores U¡, ... , Uk, e¡, ... , er-k, h, ... ,ls-k. Sean ai, Pi, li escalares tales que k r-k s-k LaiU;+ LPie;+ L li.l = DE. i=l i=l i=l De donde s-k k r-k L li.l = - LaiUi - LPiei E R; i=l i=l i=l www.Matematica1.com por ¡,mlo, s-k L,;]'¡ERns. i=l Así que existen escalares - 8i tales que s-k k L,d; = L(-8i)Ui; i=l i=l por ende, k s-k 1. 8iui + 1. ,i~ = DE. i=l i=l Como los vectores U¡, ... ,Uk,J¡, ... ,h-k son L.I., se debe tener entonces que los escalares ,i son nulos; por tanto k r-k 1. CtiU¡ + 1. Piei = DE i=l i=l y ya que los vectores u¡, ... , Uk, e¡, ... , er-k son L.I., se tiene que los escalares Cti, Pi son también nulos. Se ha probado así que los vectores U¡, .. . , Uko e¡, .. . , er-ko J¡, ... ,h-k forman una base de R + S, por lo que dim(R+S) = r+s-k = dim(R)+dim(S)-dim(RnS) . • 46 (Ecuación de un sub espacio de ]Rn). Sea S el subespacio generado por (1,2,1) Y (-1,2,2). Encontrar un sistema homogéneo AX = D~{ 3 tal que su espacio solución (espacio nulo) sea el espacio S. A dicho sistema, AX = D~{3, se le llama ecuación del subespacio S. Solución Un primer método: Si (x,y,z) E S, entonces por tanto, se debe tener que implican por ende, es la ecuación del subespacio S. (x,y,z) = a(I,2, 1) +b( -1,2,2) = (a-b,2a+2b,a+2b); a-b = x 2a+2b = y a+2b = z; y-2x = 4b z-x = 3b; 2x-3y+4z =0 www.Matematica1.com Un segundo método: Si (x,Y,Z) E S, entonces (x,y,z) es combinación lineal del par de vectores L.I. ( 1,2, 1) Y ( -1,2,2). Así que si A es la matriz cuyas filas son estos vectores, al llevar a forma escalonada la última fila debe ser nula: [ 1 2 ~ 1 [ ~ 2 zix 1 -1 2 4 x y y-2x [ ~ 42 31 '1 O 2x-3y+4z ' por tanto, 2x-3y+4z= O es la ecuación del subespacio S. V 47 Sean SI = gn((l,O,-l),(l,-l,O)) yS2 = gn((2,1,0),(-2,0,1)). Hallar: (a) Una base y la dimensión de SI + S2. (b) Una base y la dimensión de SI n S2. Solución (a) SI + S2 está generado por (1, O, -1), (1, -1, O), (2, 1,0), ( -2,0,1) Y puesto que [ ~ -~ ~ -~ 1 [~-~ ~ -~ 1 -1 O O 1 O O 3 -1 una base para este espacio es {(1,0,-1),(1,-1,0),(2,1,0)}. Por tanto, dim(SI +S2) = 3; es decir, SI +S2 =lR3 (b) Dado que [ X~ -~ -~ 1 [~~1 ~1 1 y z O y x+z [ 001 ~01 ~1 l· x+y+z ' una ecuación para el espacio SI es Puesto que x+y+z=O. www.Matematica1.com 1 1 2y-x 11 O1 1. O x-2y+2z ' una ecuación para el subespacio S2 es x-2y+2z=O. Entonces los vectores (x,y,z) que pertenecen a SI nS2 son las soluciones del sistema homogéneo x+y+z = O x-2y+2z = O. y ya que 1 1 1 ] ~ [ ~ 1 1 1 -2 2 -3 1 ], se tiene Parlo que una base de SI nS2 es {( -4, 1,3)} Y dim(SI nS2) = 1. V En los ejercicios 48 a 51, X es un conjunto no vacío, y .9'(X) es el espacio de funciones con dominio en X y valores en lR; si A e X es un subconjunto de X, se definen x ={ 1,sixEA; XAC) O· AA , SlX 'F . (La función XA se llama función característica o indicadora de A) y F:~ = {J E .9'(X) Ij(x) =Olix EX -A}. 48 Probar que FA es un subespacio de .9'(X). DEMOSTRACiÓN • (1) La función constante cero, B, satisface B(x) = O para todo x E X, en particular es nula en todo x EX -A; luego B E FA. (2) Si a,fJ son un par de escalares y j,g E FA, entonces j(x) =g(x) = O para todo x E X-A. Por tanto, (aj+fJg)(x)=aj(x)+fJg(x)=O IiXEX-A; lo cual prueba que aj + fJg E FA. De (1) y (2) se concluye que FA < .9'(X). • 49 Si Al, ... ,Ak forman una partición de X; es decir, X = A 1 U ... U Ak Y Ai nA j = 0 si i f= j, demostrar que esto es, .9'(X) es la suma directa (cfr. el ejercicio resuelto 27 de esta sección) de los subespacios FAi' DEMOSTRACiÓN • Sea j E .9'(X), entonces j= XAJ +···+XAJ. www.Matematica1.com En efecto, si x EX, existe un único r tal que x E A" luego (XAJ)(X) = M,(x)f(x) = 1· f(x) = f(x) y (MJ)(X) = XAi(X)f(x) = O· f(x) = O si i f= r; lo cual prueba que f = L7~1 MJ. Por otra parte, si x ~ Ai, entonces (XAJ)(X) = Mi (x)f(x) = O· f(x) = O, lo que demuestra que XAJ E FAi' Supongamos que fl + ... + fk = e, la función constante cero, con Ji E FAi' Sea x E X Y r el único subíndice tal que x E Ar; entonces h(x) = O \:1 j = r. Luego fr(x) = fl (x) + ... + fr(x) + ... + fk(X) = O y, portanto,fr(x) = O. Lo cual prueba fr = e \:Ir = 1, ... ,k. Así, toda función f E .'7 (X) se puede escribir en la forma f = fl + ... + fk, con Ji E FAi , de manera única. • 50 Si los conjuntos Ai, i = 1, ... ,k, forman una partición de X, probar que las funciones XAi son L.L DEMOSTRACiÓN • Sean los escalares exi tales que Sea Xi E Ai, entonces Luego las funciones Mi son L.L • 51 Si X es un conjunto finito, X = {XI, ... ,Xk}, hallar una base y la dimensión de .'7(X). Solución Sea f E .'7(X) y ci = f(Xi) para cada i. Por los ejercicios precedentes, ya que los conjuntos {Xi} forman una partición de X, las funciones X{x¡} son L.L, y f = Xix) Jf + ... + X{xklf; es decir, f = CIX{x) J + ... + CkX{xkl' Parlo que {X{x¡},'" ,X{xkl} es una base de .'7(X); por tanto, dim( .'7(X)) = k. V Espacios vectoriales complejos 52 SeaS= {z= (ZI,Z2,Z3,04) E (:41z1 = (1 +i)Z2 -iz3 =Z2 -Z4 =O}. Mostrar que S < (:4 y encontrar una base y la dimensión de S. www.Matematica1.com Solución Los vectores Z = (ZI, Z2, Z3 ,Z4) E S satisfacen las relaciones ZI = O, Z2 = /1 ¡Z3 = (i + i i)Z3 y Z2 = Z4; es decir, ZI O O Z2 (i + ii)r (i + i i) =r rE IC. Z3 r 1 Z4 (i + ii)r (i + i i) Con lo que S = gn( (O, i + i i,1, i + i i)); luego S es un subespacio de (:4, una base de S es {(O, i + ii, 1, i + iin y dim(S) = 1. V 53 Determinar si los vectores ZI = (1 + i, 2 - i, 1), Z2 = (3 + 2i, 2 - 2i, 1) Y Z3 = (1,2, -i) son L.I. o L.D. en (:3 Solución Dado que [ 1 +i 3+2i ii 1 [ 2 ~ i 1 2-i 2-2i 2-2i ~i 1 1 1 1 + i 3+2i [ ~ 1 -i -i 3+2i 2+i [ ~ 1 -i 1 1 -2i3i 2+i [ ~ 1 -i 1 1 -2i3i 2+i -i O -2+3i O O 7 -3i el sistema alZI + a2Z2 + a3Z3 = (0,0,0), a¡ E (:, tiene únicamente la solución trivial al = a2 = a3 = O, los vectores ZI, Z2 y Z3 son L.I. V 54 SeanZI = (l-i,i,2i,-1-2i),z2 = (1,-1,2i,I+3i),z3 = (1+2i,-3-2i,2i,5+ 13i) YZ'4 = (-i,-i,2+ 3i, -1); encontrar una base del subespacio S = gn(Z¡'Z2,z3,Z'4) en (:4 Solución Puesto que [ 1- i 1 1 +2i -, 1 [ 1- i 1 1 +2i -1 -3-2i -, 1 2 ~i3i 1 -2+3i -1 2i 2i 2i 2i 2i 2i 2+3i -1-2i 1 +3i 5 + 13i -1 -1-2i 1 +3i 5 + 13i -1 [ 1 -2+3i 1- i 1 1 +2i -[ 1 2i 2i 2i 2~i3i -1-2i 1 +3i 5 + 13i -1 www.Matematica1.com [ 1 -2+3i -1 • O -i -3i 1-2i O 2+2i 6+6i 2+5i O -1 +4i -3+ 12i -2-2i [ 1 -2+3i -1 • O 1 3 2+i O O O -i O O O 4-9i [ 1 -2+3i -1 • O 1 3 2+i O O O 1 O O O 4-9i [ 1 -2+3i O 1 3 2-+[ i 1 O O O 1 ' O O O O los vectores que corresponden a columna con pivote en la forma escalonada forman una base para S; es decir, {Z¡,Z2,Z4}. V 55 Sea 9Jh (IC) el espacio vectorial de matrices 2 x 2 con componentes complejas y S= {A= (aij) lall +a22 =O}. Comprobar que S es un subespacio vectorial de 9Jl2 (IC), Y encontrar una base y la dimensión de S. Solución Dado que toda matriz A E S tiene la forma A = [~ !a] = a [~ ~1] + p [~ ~] +, [~ ~], es evidente que por lo que S < 9Jl2(1C). Por otro lado, si a,b,c E IC son escalares tales que se tiene de donde a = b = e = O; por tanto, estas matrices son L.I. en 9Jl2 (1C). Luego estas matrices forman una base de S; por ende, dim(S) = 3. V www.Matematica1.com 56 Sea e2 el espacio vectorial de vectores cuyos componentes son números complejos. (a) Probar que 21 = (1 - i, i) Y 22 = (2, -1 + i) son L.D. en e2 (b) Sea E el espacio de pares ordenados (WI, W2), con WI, W2 E e, con la suma usual de vectores en e2 pero con la multiplicación por escalares restringida a los números reales. Probar que 21 y 22 son L.I. en E. DEMOSTRACiÓN • (a) Sean a, fJ E e tales que aZI + fJ22 = O, entonces, por tanto, y puesto que se tiene (( 1 - i) a + 2fJ, ia + (-1+ i) fJ) = (O, O); 1- i (1 - i) a + 2fJ = O, ia + (-1+ i) fJ = O. _1 2 +i] [ 1- i [ 1 1- i -lt i ] 1 i i ] [ ~ 1 + i ] O ' Por lo que 21 y 22 son L.D. en e2 (b) Sean a, fJ E lR tales que a21 + fJ22 = O, entonces por tanto, (( 1 - i) a + 2fJ, ia + (-1+ i) fJ) = (O, O); a + 2fJ - ia = O, -fJ+(a+fJ)i = O. De donde a = O Y fJ = O; por lo que 21 y 22 son L.I. en E. • 57 Dado que e es un espacio vectorial es fácil probar que .9' (X, e), el conjunto de funciones I : X -+ e, es un espacio vectorial complejo para todo conjunto no vacío X. Sean X = lR Y II (x) = 2 + 2icos(x), 12(x) = sen2(x) + icos2(x) y 13 (x) = cos2(x) - i sen2 (x). Probar que 11, 12 y 13 son L.I. en .9'(X,IC). Solución Sean a, fJ, ¡ E e tales que a/l (x) + fJ 12 (x) + ¡ 13 (x) = O para todo x E lR, entonces 2a+fJsen2(x)+¡COs2(x) = O, 2acos(x)+fJcos2(x)-¡sen2(x) = O www.Matematica1.com para todo x E ]R. En particular, si x = O, se tiene y si x = 7r /2 2a+, = O, 2a+;3 = O, 2a+;3 = O, -, = O; de donde a =;3 =, = O. Luego JI, h y J3 son L.I. en .9'" (X, IC). V 3.6.2 Ejercicios propuestos El lector encontrará la respuesta a los ejercicios en cursiva en el apéndice E al final del libro. Geometría de los espacios lEn (respuestas en página 1077) En los ejercicios 1 a 21, u = (-1,2,4), v = (-1,0,2) Y w = (-3,4,5). 1 Encontrar -u. 2 Calcular Ilwll. 3 Hallar u + v. 4 Encontrar u - 3v + 7w. 5 Calcular v - 5w. 6 Hallar ~v. 7 Calcular w - u. 8 Encontrar un vector paralelo a u con la misma dirección. 9 Hallar un vector paralelo a v con dirección opuesta. 10 Hallar w· v 11 Calcular u· (3v+w). 12 Encontrar (u+v) ·w. 13 Encontrar el ángulo entre u y v. www.Matematica1.com 14 Calcular el ángulo entre vy w. 15 Encontrar el valor de x para que (x, -1,4) sea ortogonal a a. 16 Encontrar el valor de y para que (2,y, -3) sea ortogonal a w. 17 Encontrar un vector no nulo que sea ortogonal a a y a v utilizando el concepto de producto punto. 18 Encontrar un vector no nulo que sea ortogonal a v y a w utilizando el concepto de producto vectorial dado en los ejercicios resueltos 10 y 11 de este capítulo. 19 Calcular a x v y v x a. (Utilizar la definición de producto vectorial dada en el ejercicio resuelto 11 de este capítulo.) 20 Encontrar (w x v) . a. 21 Hallar (a x w) xv. En los ejercicios 22 a 25, a x ves el producto vectorial (cruz) definido en los ejercicios resueltos 10 y 11, a, v, w son vectores cualesquiera de ]R3, Y a es un número real arbitrario. 22 Demostrar que a x v = -(v x a). 23 Probar que a x (v+w) = ax v+a x w. 24 Mostrar que (aa) X v = a x (av) = a(a X v). 25 Demostrar que (a x v) x W = (a· w)v - (v· w)a. En los ejercicios 26 a 39, calcular el área o el volumen de la configuración dada en ]R2 o ]R3, utilizar la interpretación geométrica del determinante del apartado 3.1.2 (pág. 117) Y la definición e interpretación geométrica del producto vectorial dada en los ejercicios resueltos 10, 11 Y 13 de este capítulo. 26 El área del paralelogramo generado por los vectores (2,5) y (6,2). 27 El volumen del paralelepípedo generado por los vectores a = (3, -2,4), v = (-2,3,5) Y w = (1,2,5). 28 El área del paralelogramo generado por los vectores (-3,5) Y (2,4). 29 El volumen del paralelepípedo generado por los vectores a = (-2,2,5), v = (3,0,6) Y w = (2,4,2). 30 El área del paralelogramo generado por los vectores (-1,2, -1) Y (2, - 3,2). 31 El volumen del paralelepípedo con vértices (0,0,0), (1,0, O), (0,1, O), (0,0,1), (1,1, O), (1,1,1), (1, 0,1), (0,1,1). www.Matematica1.com 32 El volumen del paralelepípedo con vértices (1,1,4), (2,3,7), (0,3,8), (0,0,7), (1,5,11), (0,4,14), (1,2,10), (-1,2,11). 33 El volumen del paralelepípedo con vértices (2,3,4), (3,5,7), (3,4,1), (5,3,9), (4,6,4), (7,6,9), (6,5,12), (6,4,6). 34 El área del paralelogramo con vértices (2,2), (4,6), (7,3) Y (9,7). 35 El área del paralelogramo con vértices ( -4,1), ( -2, 6), (4,3) Y (2, -3). 36 El área del paralelogramo con vértices (1,0,1), (3,1,4), (0,2,9) Y ( -2,1,6). 37 El área del triángulo con vértices (4,0,3), (-1,3,5) Y (1, 1,-2). 38 El área del triángulo con vértices (1, -1 ,2), (3, -2, 1), (2,3,4). 39 El área del triángulo acotado porlas rectas z + x = 1, Y + x = 1 Y Y + z = 1. En los ejercicios 40 a58, u= (1,-2,-4,3,5), v= (-2,3,-1,2,-1) yw= (2,-1,-3,1,-2). 40 Encontrar -w. 41 Calcular Ilull. 42 Hallar u +w. 43 Encontrar 2u - 4 v + w. 44 Calcular v - 3w. 45 Hallar 4 v. 46 Calcular w - u. 47 Encontrar un vector paralelo a u con la misma dirección. 48 Hallar un vector paralelo a v con dirección opuesta. 49 Hallar w . v. 50 Encontrar u· v. 51 Calcularu·(2v-3w). 52 Encontrar (u + v) . w. www.Matematica1.com 53 Encontrar el ángulo entre u y v. 54 Calcular el ángulo entre vy w. 55 Encontrar el valor de x para que (x, 1,4, -1,2) sea ortogonal a u. 56 Encontrar el valor de y para que (-I,y,3, -2,1) sea ortogonal a w. 57 Encontrar un vector no nulo que sea ortogonal a u y a v. 58 Hallar un vector no nulo que sea ortogonal a u ya w. 59 Siu= (-1,2,3) yv= (2,-I,-I),hallard(u,v) en]R3 60 Siu= (2,-1,1,2) yv= (2,-3,4,-2),hallard(u,v) en]R4 61 Encontrar la distancia entre los vectores (-3, -1,2, -2,1) Y (5, -2,4,0, 1) de]R4 62 Hallarla distancia entre los vectores ( -1,0, -2, 5, -6,3,2) Y (4,1,2,6,2, -2, 1) de ]R7 63 Demostrar la propiedad de distributividad del producto punto en ]Rn (propiedad 3, pág. 123); esto es, 64 Demostrar la propiedad de positividad del producto punto en ]Rn (propiedad 4, pág. 123); esto es, u· u ~ O \fu E ]Rn y u· U = O q U = O"n . 65 Considerar la desigualdad de Schwarz (cfr. teorema 3.1, pág. 124) para el caso]R3, con U = (X¡,X2,X3) y v = (Y¡,Y2,Y3). En el caso de que uno de estos vectores sea el neutro aditivo, la desigualdad de Schwarz se traduce a igualdad. Si ninguno de estos vectores es nulo, probar que hay igualdad en la desigualdad (3.6) si y sólo si uno de los vectores es múltiplo escalar del otro, por ejemplo v = AU. Utilizar la definición algebraica de producto punto prescindiendo del concepto de ángulo entre vectores. 66 Demostrar que, en general, para cualquier par de vectores no nulos en ]Rn lu, vi = Ilullllvll si y sólo si uno de ellos es múltiplo escalar del otro, por ejemplo v = AU. 67 Probar las propiedades 1,2 Y 3 del valor absoluto enunciadas en la página 126. 68 Probar que para todo par de números reales, x y y, se cumple: (a) Ilxl-lyll <; Ix-yl. (b) Ix - yl <; Ixl + Iyl· 69 Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto u = (-1,2,5) y es ortogonal al vector N = ( -3,2,4). www.Matematica1.com 70 Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto 11 = (2, -1,4) Y es ortogonal al vector N = (1, - 2, 1). 71 Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto 11 = (3, - 2, 4) Y es ortogonal al vector N = (1,1,-3). 72 Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto 11 = (2,3, -4) Y es ortogonal al vector N = (1, -3,3). 73 Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos ( -2,1,3), (1,2, -2) Y (2, -1,6). 74 Encontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos (4, 1, -1), ( - 2, -1, -1) Y (6, - 2,2). 75 Encontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos (2,3, -1), ( -1, - 2,1) Y (2, - 5,7). 76 Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos (3,1,2), (2,3,7) Y (1, -3, 8). Espacios vectoriales (respuestas en páginas 1077-1078) En los ejercicios 77 a 89, considere los conjuntos dados con las operaciones usuales de suma entre sus elementos y multiplicación por un escalar. Determine si (a) la suma es cerrada y (b) la multiplicación es cerrada en cada conjunto. 77 La recta y = 2x - 1. 78 El primer cuadrante del plano cartesiano ]R2. 79 El conjunto de matrices cuadradas de orden 3 triangulares superiormente. 80 El conjunto de matrices simétricas de orden n. 81 El conjunto de funciones ¡: ]R -+]R que son periódicas con periodo T (f(x + T) = ¡(x) \;Ix). 82 El conjunto de matrices invertibles de orden 3. 83 El conjunto de vectores en ]R3 que están contenidos en el plano X,z. 84 El conjunto de puntos en el plano ]R2 cuyas componentes son números racionales. 85 El rectángulo Q = [a,b] x [c,d]; es decir, el conjunto de puntos (x,y) tales que a <; x <; b y e <; y <; d, donde a < b y e < d. 86 Los puntos dentro y sobre la esfera x2 + l + Z2 = 1; esto es, el conjunto de puntos (x,y, z) cuya distancia al origen es menor o igual a 1. 87 El conjunto de matrices 2 x 2 que tienen todas sus componentes nulas excepto una. www.Matematica1.com 88 El conjunto de matrices 3 x 3 cuya traza es cero; es decir, L¡~ ¡ a;¡ = O. 89 El conjunto de números reales que tienen la forma a + bV2, con a, b E ]R. En los ejercicios 90 a 97, determinar los conjuntos que, junto con las operaciones suma y multiplicación por un escalar ahí indicadas, son espacios vectoriales. Para los que resulten ser espacios vectoriales probar los 10 axiomas correspondientes, y para los que no, indicar mediante contraejemplos los axiomas que no se cumplen. 90 ]R3 con la suma usual de vectores, pero con la multiplicación por un escalar r definida por r(x,y,z) = (rz, ry, rx). 91 ]R2 con el producto usual de un escalar por un vector, pero con la suma definida por (x,y) + (X¡,y¡) = (y+y¡,x+x¡). 92 El conjunto de matrices de orden 3 con la suma usual de matrices pero con multiplicación por un escalar definida, para cualquier matriz A, por rA = tJ, donde tJ es la matriz cero 3 x 3. 93 .9'(X) con el producto usual de un escalar por una función pero con suma definida por (f + g)(x) = máx{J(x),g(x)}. 94 El conjunto de matrices n x n triangulares superiormente con las operaciones usuales. 95 El conjunto de matrices cuadradas de orden n que son diagonales con las operaciones usuales. 96 ]R2 con la suma usual de vectores pero con el producto de un escalar por un vector definido por { (0,0) si a = O a(x,y) = ( ¡) ...L ax, aY si a / O 97 ]R2 con la multiplicación usual de un escalar por un vector pero con la suma definida por (x,y) + (X¡,y¡) = (x+2x¡,y+3y¡). 98 Demostrar que ]R=, el conjunto de sucesiones (cfr. ejemplo 3.12, pág. 133), junto con las operaciones usuales de suma de sucesiones y multiplicación de un escalar por una sucesión, es un espacio vectorial. 99 Mostrar que P, el conjunto de polinomios, con las operaciones usuales de suma de polinomios y multiplicación de un escalar por un polinomio es un espacio vectorial (cfr. ejemplo 3.11). 100 Probar la propiedad 9 del teorema 3.4 (cfr. pág. 138). 101 Si E es un espacio vectorial, probar que (a) (-a)u = -(au) = a( -u), para todo u E E Y para todo escalar a. (b) a(u- v) = au- av, para todo par u, v E E Y para todo a E]R. www.Matematica1.com (e) Si cúl = avy a f= O, entonces 11 = v. (d) Si al1 = (311 Y 11 f= DE, entonces a = (3. (e) -(11+ v) = (-11) + (-v) para todo par de vectores 11, v E E. (f) (a + (3)(11 + v) = al1 + av + (311 + (3v, para todo par de vectores 11, v E E Y para todo par de escalares a, (3. 102 Sea X = {O, 1} Y .9'"(X) el espacio de funciones f : X -+ ]R. Si f(x) = 3x + 1, g(x) = 1 + 4x - x2 y h(x) = x6x + 2, probar que: (a) f=g. (b) f+g=h. En los ejercicios 103 a 116, determinar si el subconjunto S es un subespacio del espacio dado. En caso de una respuesta afirmativa, demostrar rigurosamente la afirmación; y en caso de una respuesta negativa, indicar con un contraejemplo la propiedad o propiedades de subespacio vectorial que no se cumplen. 103 S = {( -x,y) I x,y E]R} en]R2 104 S = {11 E ]Rn I las componentes de 11 son números racionales} en ]R2 105 S = {(x,y) I xy 2' O} en]R2 106 S = {(x,y,z) 12x+3y+z = 4} en]R3 108 S = {(x,y,z) Ix2 +l +Z2 <; 16} en]R3 109 S = {(x,y) I -1 <; x <; 1, -1 <; Y <; 1} en]R2 110 S, el conjunto de matrices triangulares superiores, en el espacio 9Jln . 111 S, el conjunto de matrices invertibles, en el espacio 9Jln . 112 S = {( an ) llímn-+= an existe} en ]R= (el espacio de sucesiones). n 116 S = {A I tales que tra(A) = O} en 9Jln , donde tra(A) = L a;¡ 9Jl. i=l www.Matematica1.com En los ejercicios 117 a 129, demostrar que e! conjunto dado es un subespacio de! espacio vectorial indicado. La continuidad y derivabilidad de las funciones en los extremos del intervalo se considera en forma lateral; es decir, continuidad y derivabilidad por la derecha en a y continuidad y derivabilidad por la izquierda en b. 117 el [a,b] = {f: [a, b] -+ lR I 1 es derivable con continuidad en [a, b]} en C[a, b], el espacio de funciones continuas en [a,b]. 118 en[a,b] = {f: [a,b]-+ lR I 1 tiene derivada hasta el orden n en [a,b]} 119 e=[a,b] = {f: [a,b] -+ lR I 1 tiene derivada de todo orden en [a,b]} en C[a,b]. 120 S = {f I a2f" + a2f' + a¡f = e}, donde e es la función constante cero, en el [a, b]. 123 S = {f: [a,b]-+ lR I J: I(x)dx = O} en C[a,b]. 124 S = {f: lR -+ lR I 1 es par: I( -x) = f(x) Vx} en .9'"(lR). 125 S= {f: lR -+lRII es impar: I(-x) = - f(x)Vx} en.9'"(lR). 126 S = {p I p es un polinomio y las potencias pares de x son nulas} en P. 127 S = {A I A es una matriz cuadrada de orden n triangular inferior}. 128 S = {f: [0,1]-+ lR I 1(0) = ¡'(O) = O} en el [O, 1]. 129 S = {I : X -+ lR I 1 alcanza sólo un número finito de valores en X} (es decir, la imagen de cualquier función 1 E S es un conjunto finito; o sea que el conjunto de los I(x), con x E X, es finito para cada 1 E S) en .9'"(X). 130 Sean SI = {(a,b,c) ElR3Ia=c,b=3c}. S2 = {(a,b,c) ElR3Ia+b+c=0}. S3 = {(a,b,c) E lR3 1 a- 2b+3c = O}. (a) Probar que SI, S2 y S3 son subespacios de lR3 (b) Por el ejercicio resuelto 30, Si n Sj es un subespacio de lR3 para cualquier combinación de los subíndices iJ (i) Describir el subespacio SI nS2. (ii) Describir el subespacio SI nS3. (iii) Describir el subespacio S2 nS3. www.Matematica1.com 131 Probar que los únicos subespacios propios (distintos de {5~{2}) de ]R2 son las rectas que pasan por el origen. 132 Probar que los únicos subespacios propios (distintos de {5~{3}) de]R3 son las rectas y los planos que pasan por el origen. 133 (Producto de espacios vectoriales). Sean E y F un par de espacios vectoriales reales. Se definen E x F = {(11, v) I 11 E E Y v E F} y, para todo (11, v), (111, v¡) E E x F, a E lR, (11, v) + (111, v¡) a (11, v) (11 + 111, v + v¡), (a11, av). Donde 11 + 111, a11 y v + VI, av son las operaciones suma de vectores y multiplicación por un escalar en E y F, respectivamente. Probar que E x F es un espacio vectorial con estas operaciones. 134 Probar que ]R es un espacio vectorial con las operaciones usuales de suma de números reales y multipli~ cación de números reales. 135 ¿ Qué espacio vectorial es ]R x ]R? 136 ¿ Qué espacio vectorial es ]R x ]R x ... x ]R? '- "V" -" n 137 (Complemento ortogonal). Sea S < ]Rn. Probar que S1. = {11 E]Rn I 11.1 v para todo v E S} es un subespacio de ]Rn, el llamado complemento ortogonal de S. 138 Sean 11 = (1,1,1) Y S = gn(11), determinar S1., el complemento ortogonal de S definido en el ejercicio precedente. 139 Probar que si SI,S2 son subespacios de un espacio vectorial E y SI US2 es también un subespacio de E, entonces SI e S2 o S2 e SI. 140 Sean E un espacio vectorial y SI,S2 un par de subespacios. Mostrar que si E = SI US2, entonces SI = E o S2 = E. 141 Sean SI y S2 los conjuntos de matrices cuadradas de orden n que son triangulares superior e inferior, respectivamente. Mostrar que SI Y S2 son subespacios de 9Jln y que 9Jln = SI EB S2, la suma directa de SI Y S2 (cfr. ejercicio resuelto 27). 142 Sean SI = {(al, .. . , an-l, O) I a¡ E lR, i = 1, .. . ,n - 1} Y S2 = {(al, .. . , an-l,an ) I a¡ = O, i = 1, .. . ,n - 1}. Probar que SI,S2 son subespacios de]Rn y que]Rn = SI EBS2 (cfr. ejercicio resuelto 27). www.Matematica1.com 143 Sean S¡ = {J: lR --+ lRlf es par: f(-x) = f(x) \:Ix E lR} Y S2 = {J: lR --+ lRlf es impar: f(-x) = - f(x) \:Ix E lR}. Probar que S¡ y S2 son subespacios de .9' (lR), el espacio de funciones f : lR --+ lR, y que .9'(lR) = S¡ EBS2' En los ejercicios 144 a 159 escribir, si es posible, el vector v como combinación lineal de los vectores 144 v = (-3,2); u¡ = (1, -1) Y U2 = (3,2) en lR2 145 v = (1,5); u¡ = (-1,2), U2 = (-3,6) en lR2 146 v = (-1,1,4); u¡ = (1, -1,3), U2 = (3, -2,2) Y U3 = (2, -1,3) en lR3 147 v = (-11,6,7, -2); u¡ = (1,0, -2,4) Y U2 = (-3,2,1,2) en lR4 148 v= (8,-10,-1,-9,-17), u¡ = (1,1,1,0,-1), U2 = (-2,3,1,2,3), U3 = (-7,8,2,6,10), U4 = (-2,0,1,-1,-3) enlR5 149 v = 4; u¡ = cos2 x y U2 = sen2 x en .9'(lR), el espacio de funciones f: lR --+ lR. 151 v = cos2x; u¡ = 1, U2 = cos2 x en .9'(lR). 154 v= 3x2 -2x+ 1; u¡ = 2, U2 = l-x, U3 = (x-2j2 enP. l-xnl ¡ . 156 v= , u¡ =x', i= O,I, ... ,n en.9'(X), donde X = lR- {1}. l-x senCx) 157 v = 2¡; u¡ = 1, U2 = COSX, U3 = cos2x, U4 = cos(3x) en .9'((0, 27r)). 2sen(2x) 158 v = sen3xcosx; u¡ = sen4x, U2 = sen2x en .9'(lR). 159 v = cos5xcosx; u¡ = cos6x, U2 = cos4x en .9'(lR). En los ejercicios 160 a 162, u¡ = (-3,1,2), U2 = (2, -1,3) Y U3 = (-1,1,2). 160 Determinar si v = (14, -6, -2) E gn(U¡,U2, U3). En caso afirmativo escribir v como combinación lineal de los vectores u¡. www.Matematica1.com 161 Determinar si v = (-8,4, -2) E gn(UI, U2,U3). En caso afirmativo escribir v como combinación lineal de los vectores Ui. En los ejercicios 163 a 165, Ul = (-1,1,3), U2 = (3,1,-2) Y U3 = (-5,1,8). 163 Determinar si v = ( -10,2,16) E gn(UI, U2,U3). En caso afirmativo escribir v como combinación lineal de los vectores Ui. 164 Determinar si v = ( -2, -2, -1) E gn(UI, U2, U3). En caso afirmativo escribir v como combinación lineal de los vectores Ui. En los ejercicios 166 a 168, Al = 166 Determinar si -1 2 En caso afirmativo escribir v como combinación lineal de los vectores Ui. 167 Determinar si En caso afirmativo escribir v como combinación lineal de los vectores Ui. En los ejercicios 169 a 171, Al = [ ~ 169 Determinar si v= [ -4 -8 o -1 En caso afirmativo escribir v como combinación lineal de los vectores Ui. 170 Determinar si En caso afirmativo escribir v como combinación lineal de los vectores Ui. www.Matematica1.com -1 ] 1 . -3 ] 1 . En los ejercicios 172 a 180, determinar si los vectores indicados generan al espacio dado. 172 (-1,0,2),(-1,1,1);]R3 173 (-1,1),(3,-3),(4,-2);]R2 174 (2,1),(1,1);]R2 175 (1,-1,0),(-1,2,3),(-1,1,2);]R3 176 (2,-1,3),(0,1,1),(2,0,3);]R3 177 (1,1,0), (2, -1,2), (3, -1, 1);]R3 178 (2,1, O, -1), (2, -1,3, O), (-2,3,1,4); ]R4 179 (2,1,0, -1), (2, -1,3,0), (-2,3,1,4), (O, -1, 1, 1);]R4 180 (1,0, -1, 1), (2, 1, -1, 1), (3, -2,4,2), (0,0, -1, 1);]R4 En los ejercicios 181 a 188, determinar si los vectores generan al espacio dado; de ser así, reducir el conjunto de vectores a un mínimo de generadores. 181 (-1,2),(-1,1),(3,2),(-1,-1);]R2 182 (1, -2, O), ( -1,1,2), (1, -4,4) , (1,2, -8); ]R3 183 (4, -1, 2), ( -2,1,5), ( -1,3,1), (1,0,2); ]R3 184 (2, -3,2), (1, -2,1), (-4,5, -4), (-4,7, -4); ]R3 185 (1,0,1), (-1,1,0), (2, -1,3), (2, -1, 1), (-1,2,2);]R3 186 (1, -2,1,2), (-1,0,2,3), (-2,1,3,2), (-1,1,1,0), (-2,1,2,1), (-1,2,1,3);]R4 187 (1,0, -1, 1), (2, 1, O, -1), (-1,1,3,2), (3, O, -3,2), (2, 1, -2,4,); ]R4 188 (-2,3,1,2), (1, -2, 2,3), (2,3,0,0), (-3,4,4,7) , ( -4, 6,2,4); ]R4 189 Sean S[ = gn( (2,1,1), (1,3,2)) Y S2 = gn( (1, -1,0), ( -3,1,0)). Por el ejercicio resuelto 30, S[ n S2 < ]R3. Encontrar un conjunto generador del subespacio S[ n S2. En los ejercicios 190 a 195, describir el subespacio generado por los conjuntos vectores dados. www.Matematica1.com 190 {x, 1 - x,x2} en P, el espacio de polinomios. 191 {[ ~ _~ ],[ ~ ~ ],[ ~ ~ ]}en9Jl2. 192 { [~ ~], [~ ~], [~ ~]} en 9Jl2. 193 {e¡ = (aj) I aj = 1 si i = j y aj = O si i fe j} en ]R=, el espacio de sucesiones reales. 194 {(k+x)k I k = O, 1,2, ... } en el espacio de polinomios P. 195 {1,x,x2, ... ,xn, (x + 1)n, (x + 2)n, .. . , (x + k)n, .. . } en el espacio de polinomios P. 196 Probar que gn(l,x) = gn(l- 3x,x) en el espacio de polinomios P. 197 Mostrar que si U, v son cualquier par de vectores en un espacio vectorial E, entonces: (a) gn(u, v) = gn(3u - v, v). (b) gn(u,v) = gn(u-v,v+u,). 198 Sean u¡, i = 1, ... ,k Y Vj, j = 1, ... ,m, vectores en un espacio vectorial E. Establecer condiciones necesarias y suficientes, en términos del concepto de combinación lineal, para que gn(u[, ... , Uk) = gn(v[, ... , vm ). 199 Sea S un subconjunto de un espacio vectorial E. Probar que S es un subespacio de E si y sólo si .2(S), el espacio generado por el conjunto S (cfr. ejercicio resuelto 31 de este capítulo), es igual aS. 200 Sea E un espacio vectorial y S[,S2 e E. Probar que S[ e S2 =? .2(S¡) e .2(S2) (cfr. ejercicio resuelto 31 de este capítulo). Mostrar que si además .2(S¡) = E, entonces también .2(S2) = E. 201 Probar que si SI, S2 son cualquier par de subconjuntos de un espacio E, entonces .2(S[ US2) = .2(S¡) + .2(S2) (cfr. ejercicio resuelto 31 de este capítulo). 202 Demostrar que .2(S[ n S2) e .2(S¡) n .2(S2) para cualquier par de subconjuntos S[,S2 de un espacio vectorial E (cfr. ejercicio resuelto 31 de este capítulo). Dependencia e independencia lineales (respuestas en página 1078) 203 Dar una condición geométrica para que dos vectores no nulos sean L.D. en ]R2. 204 Dar una condición geométrica para que dos vectores no nulos sean L.I. en ]R2. 205 Argumentar geométricamente por qué tres vectores no nulos son L.D. en ]R2. 206 Dar una condición geométrica para que dos vectores no nulos sean L.D. en ]R3. www.Matematica1.com 207 Dar una condición geométrica para que dos vectores no nulos sean L.I. en ]R3. 208 Dar una condición geométrica para que tres vectores no nulos sean L.D. en ]R3. 209 Dar una condición geométrica para que tres vectores no nulos sean L.I. en ]R3. 210 Argumentar geométricamente por qué cuatro vectores no nulos son L.D. en ]R3. En los problemas 211 a 257, determinar si el conjunto dado de vectores es L.D. o L.I. 211 {(2,8),(-I,-4)}en]R2 212 {(1,-2),(2,-1)} en]R2 213 {( -6,9), (2, -3)} en]R2 214 {(-1,3),(2,3)} en]R2 215 {( -1,1), (2,4), (2, -3)} en]R2 216 {(1,-1,2),(-2,2,-4)}en]R3 217 {(2,-1,3),(4,-2,8)}en]R3 218 {(1,-1,1),(2,-1,3),(2,2,1)} en]R3 219 {(2,4,3), (-5, -2, -5), (4, -8, 1)} en]R3 220 {(3,0,-1),(1,2,4),(-3,2,1)} en]R3 221 {( -2,2,5), (4, -2, 1), (-3,2,2)} en]R3 222 {(-3,2,4),(2,-2,5),(-1,1,2),(-2,3,1)} en]R3 223 {(2,-1,3,2),(1,1,2,1)} en]R4 224 {( -1,1,3,2), (2, -2, -6, -4)} en]R4 225 {(2,1,-1,2),(-1,1,1,-1),(2,-2,1,1)} en]R4 226 {( -1, -2,3,2), (-3, -2,1,1), (3, -2, 7,4)} en]R4 227 {(1, 1,0, 1), (-1,0,1,2), (2, -1, 1, 1)} en]R4 228 {(3, -2, 1, 1), (-2,1,2,0), (-7,4,3, -1)} en]R4 www.Matematica1.com 229 {( -1,1,2,1), (-2,2,1,3), (1, -4,2, 1), (-2,1,2, 1)} en JR4 230 {(3, -2, 1,0), (2, -3,4, 1), (1,0, -3,2), (-2,4, -4, -4)} en JR4 231 {(2, 3,1,2), (1, -2,2,3), (-1,0,2,3), (-2, 1,4,2)} en JR4 232 {(3, -4, -5, 1), (-1,5,2,6), (-2,3,1,2), (-7,17,10, 13)} en JR4 233 {(2,3, 1,4), (-1,2,8,7), (-11,3,2,4), (-23,2,1,2), (-2,7,9, 13)} en JR4 { [ 1 -1 2] [-1 2 -4] [ 1 235 3 -2 1 ' -5 1 2' -1 { [ 237 32 -2l]' [21 -12] ' [-O2 -O6 ]} en 9Jl2 . { [ 1 2] [-1 3] [3 -1] [-1 2]} 238 - ~ ~' ~ - ~ , ; ~' ~ ~ en 9Jl3x2 . 239 { [-~ -~], [ - ~ - ~ ] , [-~ -~], [~ =~]} en 9Jl3x2. -1 -3 -3 2 2 O O 3 240 {cosx,cos( -x)} en .9'"(JR). 241 {senx,sen(-x)} en.9'"(JR). 242 {1 - x, 2x2 - 1, 3x,x2 + 2} en P, el espacio de polinomios. 243 {3,2 -x,x3 + 2,x2} en P, el espacio de polinomios. 244 {1-x,x2 + 1,2 +x,x3 , -3 + 2x - 2x2} en P. 245 {1,I-x,(I-xj2,(I-x?}en.9'"(JR). 247 {cos 4x, cos2 2x, sen2 2x} en .9'" (JR). 248 {cos2x,l,cos2x} en.9'"(JR). www.Matematica1.com 251 {(x _1)-1, (X - 2)-2, (x - 3)-3} en c9'(X), donde X = lR - {1,2,3}. 253 {(x _1)-2, (x _1)-1, l,x -1, (x -1 n en c9'(X), donde X = lR - {1}. 254 {cosx,cos2x,cos3x} en c9'(lR). 255 {senx,sen2x,sen3x} en c9'(lR). 256 {cosx, senx,cos2x, sen2x,cos3x, sen3x} en c9'(lR). 258 Mostrar que si 111,112,113 son vectores L.I. en un espacio vectorial E, entonces los vectores VI = 4111, V2 = 111 - 3112 Y V3 = 3111 + 2113 son L.I. 259 Probar que si los vectores 11 ¡, 112, ii3 son vectores L.I. en un espacio vectorial E, entonces los vectores VI = 3111 + 2112, V2 = 112 - 4113 Y V3 = -3111 - 113 son L.I. 260 Sean 111,112 Y 113 vectores de un espacio vectorial E. (a) Probar que los vectores 111,112 son L.I. si y sólo si los vectores 111 + 112,111 - 112 son L.I. (b) Mostrar que los vectores 111,112,113 son L.I. si y sólo si los vectores 111 +112,111 +113,112 +113 son L.I. 261 Encontrar escalares a, si existen, tales que los vectores (1, -2,3), (2, a, -1) Y (1,2,1) sean L.I. 262 Encontrar escalares a, si existen, tales que los vectores (1,3, a), (-2, a, 1) Y (1,2,1) sean L.I. 263 En el ejercicio resuelto 39 de este capítulo se probó que si 11, V E lRn son L.I. y A E 9Jln es invertible, entonces AI1 y Av son L.I. ¿Es cierta la misma conclusión si la matriz A no es necesariamente invertible? 264 Sea A una matriz cuadrada de orden n y 11, v E lRn . Probar que si los vectores AI1 y Av son L.I., entonces 11 y v también son L.I. Bases y dimensión (respuestas en páginas 1079-1080) 265 Demostrar que el conjunto infinito {cosx, cos 2x,cos3x, ... ,cosnx, ... } es independiente en el espacio de funciones c9' (1), donde J es cualquier intervalo. 266 Probar que el conjunto infinito {senx, sen2x, sen3x, ... , sennx, ... } es L.I. en c9' (1), donde J es cualquier intervalo. www.Matematica1.com 267 Demostrar que el conjunto infinito {cosx, sen x, cos 2x, sen2x,cos3x, sen3x, ... ,cosnx, sennx, ... } es L.I. en .C¡;(J), donde J es cualquier intervalo. 268 Mostrar que el conjunto infinito {1, 2 + x, 3 + 2x2, 4 + 3x3 , ••• , n + (n - 1 )xn-l , ... } es L.I. en .C¡; (]R). En los ejercicios 269 a 272, determinar si los conjuntos dados son L.I. o L.D. 269 {1,2 +x,3 + 2x, ... ,n + (n - l)x, ... } en el espacio de polinomios P. 270 {1,x,1 +x+x2, 1 +x+x2 +x3 , ••• , 1 +x+x2 + ... +xn, ... } en el espacio de polinomios P. 271 {1,x + 2, (x + 3)2, ... , (x + n )n-l, .. . } en el espacio de polinomios P. 272 {(x-1)nln =0,±1,±2, ... } en el espacio .C¡;(X), donde X =]R- {1}. En los ejercicios 273 a 297, determinar si el conjunto de vectores es o no una base del espacio indicado. 273 {(-1,1),(2,-2)};]R2 274 {(1,3),(-2,1)};]R2 275 {(1,-2,1),(3,-2,3),(1,1,3)};]R3 276 {(2, -2, 1), (3, -1, 2), (2,2, 2)}; ]R3 277 {( -4,3, -2), (5, -1, 1), (-3,5, -3)}; ]R3 278 {(2,3,1),(-3,4,1),(-1,1,2)};]R3 279 {(1,2, -3, 1), (2, -1,5,2), (-2,3,1,1), (1,0, -1,2)};]R4 280 {(2, -3,2, 1), (-1,1,1,0),(3, -2,4,5),( -2,-1,3, -3)};]R4 281 {( -3,0,1,3), (2, -1, 1,0), (1, 1, 1, 1), (2, -1, 1, 7)};]R4 282 {(4, -5,2,1), (2, -2,4,6), (-2,1,3,1), (0,2, -1,4)}; ]R4 283 {(2,4, -4,6,2), (3, -1,2, 1,2), (-1,1,2,5,3), (4, -2, 1, 1,3), ( -1,3,2,4, 2)}; ]R5 284 {(1, -2, -3, 1, -2), (-2,1,1,3,2), (-1,1,2,1,1), (-3,0,1,8,1), (-5,4, 7,6,5)}; ]R5 285 {[ ~ - ~ ], [ _ ~ ~], [~ _ ~ ] , [~ - ~ ]}; 9Jh. www.Matematica1.com ~ ], [~ ~ =~], [ -~ ~ ~], }; 'JJl 2x3 ' ~],[-~ ~ ~],[; -~~] ~ ~], ~ ] 298 Sea E un espacio vectorial de dimensión finita n y S < E. (a) Probar que S tiene dimensión finita y que dim(S) <; n. (b) Demostrar que S = E si y sólo si dim(S) = n. En los ejercicios 299 a 306, determinar si el subconjunto S de puntos (x,y,z) en el espacio ]R3 que satisface la condición dada es un subespacio de ]R3. En caso afirmativo encontrar una base y la dimensión deS. 299 x= O. 300 x+z = O. 301 x+y+z=O. www.Matematica1.com 302 x + y - z = 2. 303 x =y. 304 x=y=z. 306 x+y+z = O Y x-y-z = O. En los ejercicios 307 a 315, S es el conjunto de polinomios p en el espacio Pn , espacio de polinomios de grado a lo más n, que satisface la condición dada. Determinar si S es subespacio de P n y, de ser así, encontrar una base y la dimensión de S. 307 p'(O) = O. 308 p"(O) = O. 309 p(O) = p(I). 310 p(O) + p'(O) = O. 311 p(O) = p(2). 312 p es par (p( -x) = p(x) \;Ix). 313 P es impar (p( -x) = -p(x) \;Ix). 314 P tiene grado a lo más k < n o p es el polinomio constante cero. 315 P tiene grado k < n o p es el polinomio constante cero. En los ejercicios 316 a 325, encontrar la dimensión del espacio dado en el espacio de funciones .9'(lR). En los casos donde corresponda, a y {J son números reales dados. 316 gn(l,e"x,e;3x), a f= {J. 320 gn( senhx, eX, e-X). 321 gn(senx,cosx). www.Matematica1.com 324 gn(l,cos2x,sen2 2x). En los ejercicios 326 a 346, extraer una base del conjunto generador del subespacio dado utilizando el teorema 3.17 (cfr. pág. 164) Y determinar la correspondiente dimensión. 326 gn((I,-2),( -2,4)) en JR2 327 gn((3,6),( -1,3)) en JR2 328 gn((-I,I),(2,1)) enJR2 329 gn((I,-1,2),(3,-I,I),(I,I,-3),(0,4,-1O)) enJR3 330 gn( (2, -1, 3), (4, -2, 6), (8, -4,12), (-10,5, -15) en JR3 331 gn((I,I,I),(-2,1,3),(-1,2,1),(2,2,3)) enJR3 332 gn( (-1,2,3,1), (-2,1,0,2), (-1,1,2,2), (-1,2, O, -2)) en JR4 333 gn((2, 1,3,2), (-1,1, -1, 1), (2,7,5,10), (-4,4, -4,4)) en JR4 334 gn( (-1,2,1,3), (-2,3,1,4), (-3,4,2,6), (-1,1,2,3), (1, -6,2,3)) en JR4 335 gn ( [ -11 -12 ] ' [32 -12] ' [-12 11 ] ' [-26 -63 ] ) en9Jl2 . 338 gn(x2 - 4,x2 +4,2,3x - 2) en P. 339 gn(2,3 + 2x, 2 + 3x,x2 + l,x2 - x) en P. 340 gn(x,x - l,x2 + 2, -x - 8 - 3x2 ,x3 -x) en P. www.Matematica1.com 343 gn(sen4x,sen2x,sen3x,cosx) en c9'(lR). 344 gn(cos8x,cos(2x),cos5x,cos3x) en c9'(lR). 345 gn(l,eX,e-X,coshx,senhx) en c9'(lR). ( 346 gn l,cosx,cos2x, sen(~x¡ ) ) en Ja-;; ((0,27r)). 2 sen( 2x) 347 Sea Pn el espacio de polinomios. A cada polinomio p(x) = Lk~Oaoxk se le asocia el vector lP] = (ao,a¡, ... ,an ) delRn11 Probar: (a) lP] = O q P es el polinomio constante cero (p = e). (b) [p + q] = [p] + [q] para todo par p,q E Pn . (e) [ap] = alP] para todo a E lR Y para todo pE Pn . (d) Los polinomios Pi, i = 1, ... ,m, son L.L en Pn si y sólo si los vectores asociados correspondientes [p;] son L.L en lRn I 1 En los ejercicios 348 a 351, utilice el último inciso del ejercicio precedente para encontrar una base y la dimensión del subespacio dado en el espacio de polinomios. 348 gn(1 +4x - 2x2 +x3 , 1- 9x +3x2 - 2x3,5 + 7x - 5x2 + 3x3,5 - 6x _x3 ). 352 El conjunto de matrices triangulares superiormente de orden n, S, es un subespacio vectorial del espacio 9Jln (cfr. ejercicio propuesto 110 de este capítulo). (a) Encontrar una base y la dimensión de este subespacio para los casos n = 2 Y n = 3. (b) Hallar una base y dim(S) en 9Jln para cualquier n. 353 El conjunto de matrices simétricas de orden n, S, es un subespacio de 9Jln (cfr. ejemplo 3.25). (a) Hallar una base y dim(S) en el caso n = 3. (b) Encontrar una base y dim( S) en 9Jln para todo n. 354 Una matriz A E 9Jln es antisimétrica si A' = -A. Probar que el conjunto S de todas estas matrices, las antisimétricas, es un subespacio de 9Jlm encontrar una base para S y calcular dim(S). 355 Sea S el conjunto de matrices cuadradas de orden n cuya traza es cero. Probar que S es un subespacio n de 9Jln , encontrar una base para S y dim(S). (Si A = [aij], tra(A) = L a;¡.) i=l www.Matematica1.com 356 Sea S un subespacio de un espacio vectorial E con dim(E) = n. Encontrar una base y la dimensión del espacio cociente E/S (cfr. ejercicio resuelto 29). 357 Sea S el subespacio de]R= que consiste en todas las sucesiones (an ) tales que an = O salvo un número finito de índices n. Probar que S < ]R=, encontrar una base y la dimensión de S. 358 Sean n > 1 un número entero y Ck E ]R, k = O, 1, … , n, escalares distintos entre sí. Para cada k = O, 1, … , n
se define
(a) Probar que
para todo k y para todo i.
(b) Mostrar que Lk(X) es un polinomio de grado a lo más n. Los polinomios Lk(X) se llaman polinomios
de Lagrange (asociados a los escalares Ck).
(c) Demostrar que los polinomios de Lagrange Lo,L¡, … ,Ln son L.I. en Pn ; por ende, ya que
dim(Pn) = n + 1, forman una base de Pn.
En los ejercicios 359 a 370, completar el conjunto L.I., /%], a una base del espacio indicado.
359 /%] = {( -1,2,3), (2, -1,2)}; ]R3
360 /%]= {(1,-1,2),(-1,2,2)};]R3
361 /%] = {(2, -1,2,2), (-1,2,3, _2)};]R4
362 .q{J = {(2, -2,3, 1), ( -2,0,3,1)}; ]R4
363 .q{J = {( -1,0,2,3,2), (-1,1,2,3, -2), (-1,1,0,1, 1)};]R5
364 .q{J= {(-1,2,1,4,3),(-2,1,4,2,3)};]R5
“._{[1 O] [O 1]}. 366 .q{J – 2 O ‘ 1 1 ‘ 9Jh.
368 .q{J = {x -1,×2 + 1}; P3 .
-2 1
O O
www.Matematica1.com
369 /J1J = {2,x-2,(x-2j2}; P4.
371 Sean E un espacio vectorial de dimensión finita y S¡,S2 subespacios de E. Si E = SI EB S2, .q{11 =
{UI, … , Uk} es una base de SI Y .q{1 = {VI, … , VI} es una base de S2, mostrar que .q{11 n .q{12 = 0 y que
.q{11 U .q{12 es una base de E (cfr. ejercicio resuelto 27).
372 Sean E un espacio vectorial de dimensión finita y SI,S2 subespacios de E. Si .q{11 = {UI, … ,Uk} es una
base de SI, .q{12 = {VI, … , VI} es una base de S2, .q{11 n .q{12 = 0 y .q{11 U .q{12 es una base de E, probar que
E = SI EBS2.
373 Sean E un espacio vectorial de dimensión finita y SI < E. Probar que existe S2 < E tal que E = SI EB S2. 374 Probar que un espacio vectorial tiene dimensión infinita si y sólo si contiene un conjunto infinito linealmente independiente. 375 Sean a, fJ E lR un par de números reales con fJ f= O. Sea S el conjunto de sucesiones de números reales que satisfacen la relación Xn I 2 + aXn I I + fJxn = O \:In. En el ejercicio resuelto 44 se probó que S < lR=. (a) Mostrar que si A E lR es raíz doble del polinomio X2 + aX + fJ = O, entonces las sucesiones u = (un) y V = (vn), con Un = An y Vn = nAn, pertenecen a S. (b) Demostrar que {u, v} es una base de S. 376 Sean SI el conjunto de matrices de la forma 377 378 [: : ],a,b,CElR y S2 el conjunto de matrices de la forma O a] -a b ‘ a,b E lR. Probar que SI,S2 < 9Jh; encontrar bases y dimensiones de SI, S2, SI +S2 y SI nS2. En los problemas 377 a 382, hallar una base y la dimensión del espacio solución del sistema homogéneo indicado. XI +3X2 -2X3 = O XI -5X2 +3X3 = O 2xI -x2 +3X3 = O. XI-X2+X3+2×4-X5 = O 2XI-X2+3×3-X4+2×5 = O -3XI+2×2-3×3+2×4-X5 = O. www.Matematica1.com 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 -Xl +3X2 -X3 +X4 = O 2x¡-3×2+X3-5×4 = O. X¡ + 3X2 – 3X3 + X4 = O 2x¡ -X2 +3X3 -X4 = O -Xl +X2 – 3X3 +X4 = O 3x¡ -X2 +X3 -X4 = O. -2x¡ +3X2 -X3 + 7X4 – 2X5 +3X6 = O -X¡+X2-X3+4×4+3×5-2×6 = O 3X¡-X2+4×3-5×4+3×5-6×6 = O. X¡ + 2X2 – 3X3 + X4 – 3X5 + 2X6 = O – 2x ¡ – X2 – 2X3 + 3X4 – 3X5 – X6 = O 3x¡ – 2X2 + X3 + 5X4 – 3X5 + X6 = O 4x¡ -X2 +X3 -4X4 +2X5 +X6 = O. En los ejercicios 383 a 388, encontrar bases para el espacio fila, el espacio columna, el espacio nulo, las respectivas dimensiones y el rango de la matriz indicada. [ 1 -1 1 1 2 -1 3 . 3 -2 4 [ 1 -2 3] -1 3 1 4 -1 2 . O -1 1 [ -2 -1 3 1 1 3 4 -1 1 . 2 1 1 2 [ 1 -1 2 3] -1 O 1 2 -1 1 2 1 . 1 -1 6 7 4 -2 1 O 3 1. -2 3 -1 1 1 O O 2 -1 2 1 1 . 1 -1 1 1 -1 2 1 -1 2 -1 -2 3 2 2 1 -1 2 1 3 5 O 4 6 2 1 O 2 O 1 3 -1 2 O O 1 2 www.Matematica1.com 389 Encontrar una ecuación para el subespacio S generado por los vectores (-1,2, -1, 1,0), (2, -1,1,2, -3), (2, -2,4, 1, 1) de ]R5; es decir, hallar un sistema homogéneo AX = 5 tal que el espacio solución sea S (cfr. ejercicio resuelto 46). 390 Encontrar una ecuación para el subespacio S generado por los vectores (1, -3,2, 1, 1), (1, -1,3,2,1), (-2,1,-2,-1,1) de ]R5; es decir, hallar un sistema homogéneo AX= 5 tal que el espacio solución sea S. 391 Sean SI = {(Xl,X2,X3,X4) I X2 -X3 + 2X4 = O}, S2 = {(Xl,X2,X3,X4) IXl = X4, X3 = -2X4}’ Encontrar bases de SI + S2, SI n S2 y las respectivas dimensiones. 392 Pruebe que si SI y S2 son subespacios de]R3 con dim(S¡) = dim(S2) = 2, entonces SI nS2 f= {5~{3}. 393 Sean S 1 Y S2 los subespacios de ]R5 generados por {( -1,2, -1,2,2), (2, -1,2,3, 1), (3, -1, 2,1, O)} y {( -2,3,1,2,1), (-1,1,1,2,1), (2, -4,2, 1,3)}, respectivamente. Hallar las bases y las dimensiones de los espacios SI + S2 y SI nS2. 394 Sean SI Y S2 los subespacios de ]R5 generados por {(1, -2,3, -2,1), (-2,1,2, -3,4), (2, 1, -2,2, 1)} y {(1, -3, -1, 1, 1), (1, -2, -1, 1,2), (3,4, -1,2, 1)}, respectivamente. Hallar las bases y las dimensiones de los espacios SI + S2 y SI nS2. 395 Sean S 1 Y S2 los subespacios de ]R5 generados por {( 1, -2, 1,3), (-1, -2, 3, 2)} Y {(1,2, 1, -2), (1, 1, -2, 1)}, respectivamente. Hallar las bases y las dimensiones de los espacios SI + S2 y SI nS2. 396 Sean SI y S2los subespacios de P generados por {1-x+x2 +2×3,2 -3x+2×2 _x3, -1 +2x+3×2 -4×3} y {( – 2 + 3x – 4×2 + x3 , 5 – x + 3×2 + 2×3, -4 + x + 2×2 – 5×3 }, respectivamente. Hallar las bases y las dimensiones de los espacios SI + S2 y SI n S2. 397 Sean SI y S2 los subespacios de P generados por {x2+2×3,2-5x-x2-x3,-1+3×2-4×3} y {(3x- 5×2 – 3×3,2 – 3x _x2 _x3, 1 +x+x2 – 7×3}, respectivamente. Hallar las bases y las dimensiones de los espacios SI + S2 y SI n S2. www.Matematica1.com Espacios vectoriales complejos (respuestas en página 1080) 398 Sea n un entero mayor o igual a 1. Probar que el conjunto en de vectores (z¡, .. . ,Zn), Zi E e para cada i = 1, … ,n, con las operaciones: (ZI, … ,Zn) + (Wl, … , wn) a(ZI,'” ,Zn) (ZI + Wl,··· ,Zn + wn) (aZl, … ,azn ), donde Zi + Wi Y aZi son las operaciones suma y multiplicación de números complejos, es un espacio vectorial sobre IC. 399 Sean n y m un par de números enteros positivos. Probar que 9Jlmxn(e), el conjunto de matrices [aij] con componentes complejas, es un espacio vectorial con las operaciones: [aij] + [bij] a [aij] [aij +bij] [aaij], donde aij + bij y aaij son la suma y el producto de números complejos, es un espacio vectorial sobre IC. 400 Sea P( e) el conjunto de polinomios con coeficientes en IC. Mostrar que P( e) con la suma de polinomios y la multiplicación de un escalar por un polinomio usuales (pero sobre el campo e) es un espacio vectorial complejo. 401 Probar que .9′( X, en), el conjunto de funciones f : X –+ en, con las operaciones usuales de suma de funciones y multiplicación de un escalar por una función, es un espacio vectorial sobre IC. 402 Sea e= el conjunto de sucesiones (an), con an ( e para todo n E N. Se definen, para cada (an), (bn) E e= y para cada a E e: (a,,+hn) (aa,,). Mostrar que e=, junto con estas operaciones, es un espacio vectorial complejo. 403 Sea E el conjunto de n-adas ordenadas (ZI, … ,Zn), con los Zi E IC. Se definen, para cada par (ZI, … ,Zn), (Wl, … , Wn) E E Y para cada a E lR, las operaciones (ZI, … ,Zn) + (Wl, … , wn) a(ZI,'” ,Zn) (ZI + Wl,··· ,Zn + wn) (aZl, … ,azn ), donde Zi + Wi es la suma de números complejos y aZi es la multiplicación de un número real por un complejo (a(a + bi) = (aa) + (ab Ji). Probar que E junto con estas operaciones es un espacio vectorial real; es decir, sobre ]R. 404 Muestre que si en 9Jlmxn (e) se restringe la operación multiplicación por un escalar a números reales el espacio resultante E es un espacio vectorial real. Determinar una base y la dimensión de este espacio. 405 Encontrar una base y la dimensión de gn((l, -1 + i,2i,3 + i), (i, -i,2i, 1 +4i), (-i, -2 + i, -4 – 6i, -5 – 6i)) en e4 www.Matematica1.com 406 Completar el conjunto L.I. {( 1, -2i, 2i), (1, -1, 2)} a una base de e3 407 Completar el conjunto L.I. {( 1, i, -i, 2,0), (1, -1, 1, 1, i), (2, -1, i, -i, 1)} a una base de e5 408 Encontrar una base y la dimensión de gn ([ ~ -i 1 ] , [ -2 2 -: ] , [ -2+i 3 O ]) -1 1 1 O 1 +2i -i 2i en 9Jl2x3 (1C). 409 Completar el conjunto L.I. { [ 1 ] , [ 1 -1 ]} -i 2 2 -i a una base de 9Jl2 (1C). 410 Sean a, fJ E lR un par de números reales con fJ f= O. Sea S el conjunto de sucesiones en e= (cfr. ejercicio 402) que satisfacen la relación Xn I 2 + aXn I 1 + fJxn = O \:In. (cfr. ejercicio resuelto 44). (a) Probar que S es un subespacio de e=. (b) Mostrar que si ).., ¡I E e son raíces complejas (conjugadas) del polinomio X2 + aX + fJ, entonces las sucesiones u = (un) y V = (vn ), con Un =)..n y Vn = ¡In, pertenecen a S. ( e) Demostrar que {u, v} es una base de S.