ESCRITURA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICA 6–SEXTO AÑO PDF

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En esta unidad aprenderás a:
Determinar el valor de una expresión algebraica.
, Reducir términos semejantes.
, Definir ecuación de primer grado.
, Resolver ecuaciones de primer grado utilizando propiedades de las operaciones
numéricas.
, Resolver problemas utilizando ecuaciones de primer grado
¿Qué conceptos matemáticos se muestran en las fotografias de
Matemática en Contexto?
Términos semejantes
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Observa detenidamente la siguiente expresión algebraica:
3x + 6y + 7z + 2x – 3y + 3z – 4x + 5y – 4z
ff¿Qué característica especial notas en ella?
Es posible advertir que cada una de las letras x, y y z aparecen en
tres de los términos de la expresión. Destaquémoslas con un color
diferente para que las distingas con mayor facilidad:
3x + 6y + 7z + 2x – 3y + 3z – 4x + 5y – 4z
Una vez identificados, reunamos aquellos términos que están emparentados
por el mismo color:
Azul: 3x + 2x – 4x
Verde: 6y – 3y + 5y
Fucsia: 7z + 3z – 4z
Los términos cuya parte literal es del mismo color se dice que son
términos semejantes y poseen las misma características unos con otros,
representando la misma magnitud. Por ejemplo si x es el número de
galletas que tienes, entonces los términos 3x, 2x y 4x hacen referencia
a ellas:
3x  triple del número de galletas
2x  doble del número de galletas
4x  cuádruplo del número de galletas
Considera esta nueva expresión algebraica:
3ab + abc + 5bc + 2ac + ab + 7ac + 2bc + 6abc
ff¿Cuáles términos son semejantes entre sí?
Aunque las letras presentes en la expresión algebraica son solo tres:
a, b y c; existen cuatro tipos de términos semejantes:
Parte literal ab  3ab y ab
Parte literal ac  2ac y 7ac
Parte literal bc  5bc y 2bc
Parte literal abc  abc y 6abc
Términos semejantes se les llama a aquellos términos algebraicos
que tienen la misma parte literal, poseen las mismas características
y son de la misma naturaleza.
REPASO DEL VOCABULARIO Aprendiste las siguientes
palabras cuando estudiaste acerca de las expresiones y
las ecuaciones. ¿Cómo se relacionan estas palabras con
Matemática en Contexto?
ecuación Un enunciado algebraico o numérico que demuestra
que dos cantidades son iguales.
expresión algebraica Una expresión que incluye por lo menos
una variable.
expresión numérica Una frase matemática que usa solamente
números y operaciones.
Copia y completa el diagrama de clasificación de datos. Luego,
con los que sabes acerca de expresiones y ecuaciones describe
los parecidos y las diferencias entre ellas.
p Las cantidades de plantas cultivadas en
los invernaderos se tienen en cuenta
para calcular si cubren las necesidades
de la producción agrícola.
p La producción masiva de tomates
considera las cantidades que se destinan
a la industria conservera y las que se
destinan al consumo natural del producto.
p Debido a que cada vez más tiendas
venden productos orgánicos, más
huertas usarán este sistema de cultivo
de alimentos más puros.
Expresiones y ecuaciones
Escribe 5 ejemplos de cada una.
15 = 2x + 5
4 = 3 + 1
7x = 21
2x + 5
3 · 9
18y
Expresiones Ecuaciones
Matemática en Contexto
Capítulo 7 115
Libro de distancias del caddy
116
Investiga
Imagina que eres un caddy que
trata de determinar la distancia que
recorrió la pelota de golf de un
jugador. Elige tres hoyos de la tabla
de la derecha. Escribe y evalúa una
expresión algebraica para hallar la
distancia total que recorrió la pelota
del golfista hasta cada uno de los
hoyos que elegiste.
Hoyo
1º tiro
(m)
2º tiro
(m)
3º tiro
(m)
4º tiro
(m)
5º tiro
(m)
1 216 135 80 3 ninguno
2 275 231 52 9 1
3 172 6 2 ninguno ninguno
4 266 182 101 8 2,5
5 282 104 47 5 ninguno
Expresiones
La idea importante Las propiedades y los conceptos del álgebra se usan
para calcular el valor de expresiones.
En el norte de nuestro país existen varios
campos de golf que han sido construidos
totalmente en el desierto y en lugar de
pasto, están cubiertos de arena.
7
DATO
BREVE
Capítulo 7 117
Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se
necesitan para completar exitosamente el capítulo 7.
u Patrones
Completa cada ejercicio con el valor que falta.
1. 2, 5, 7, x, 11, 13 2. 3, 6, 9, 12, 15, x 3. 9, 23 ,37, x, 65, 79 4. 8, 19, x, 41, 52, 63
5. 4, 11, 8, 15, 12, x 6. 7, 16, 15, 24, x, 32 7. 5, 3, 6, x, 7, 5 8. 6, x, 7, 15, 8, 16
9. 2,5; 5; x; 10; 12,5; 15 10. 2; 3,5; 5; x; 8; 9,5 11. 1,75; x; 5,25; 7; 8,75; 10,5 12. x; 1,3 ; 2,6; 3,9; 5,2; 6,5
u Usar paréntesis
13. (3 1 6) · 6 14. 3 · (5 1 7) 1 3 15. 8 2 (9 2 3) 2 3
16. 4 · (3 1 7) 17. 4 · (8 2 5) 18. (2 1 6) · (2 1 9)
19. (2 1 6) · 3 20. (16 : 8) 1 (72 : 9) 21. 34 1 (12 2 5) 1 12
u Resolución de problemas
22. En una fábrica, la máquina de producción elabora 30 paquetes de galletas por minuto.
¿Cuántos paquetes habrá elaborado en un turno de 8 horas? Explica cómo calcularlo y escribe
el ejercicio.
23. Salvador necesita comprar una cámara de fotos que le sirva para tomar muchas imágenes
rápidamente. Le ofrecen una cámara que toma 90 fotos por minuto, otra que toma 22,5 fotos en
15 segundos y una tercera que toma 5 400 fotos por hora. ¿Qué cámara le conviene más para lo
que necesita? Explica cómo calcularlo y escribe el ejercicio.
VOCABULARIO DEL CAPÍTULO
expresión algebraica
sistema operativo algebraico
términos semejantes
expresión numérica
prevalencia de las operaciones
términos
PREPARACIÓN
expresión numérica una frase matemática que usa solamente
números y signos de operaciones.
prevalencia de las operaciones el proceso usado para evaluar
expresiones: primero se resuelven las operaciones que están
entre paréntesis, se despejan los exponentes, se resuelven las
multiplicaciones y divisiones y, por último, se resuelven todas
las sumas y restas.
sistema operativo algebraico el sistema que usan las
calculadoras para seguir el orden de las operaciones al evaluar
expresionesde izquierda a derecha.
Aprende
118
PROBLEMA Cristóbal apila 12 cajas de pelotas de tenis en los estantes
de la tienda de deportes del barrio. Cada caja contiene 32 pelotas.
¿Cuántas pelotas de tenis coloca Cristóbal en los estantes?
Propiedades y expresiones
OBJETIVO: usar las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva para
calcular el valor de las expresiones.
Una expresión numérica es una frase matemática que usa solamente
números y signos de operaciones. Algunos ejemplos de expresiones
numéricas aparecen en la siguiente tabla.
Ejemplos de expresiones numéricas
6 1 8 5 · 7 15 2 4 36 : 9 3 1 16 : 2
Propiedad distributiva
Para simplificar esta expresión numérica, puedes usar la propiedad
distributiva. La propiedad distributiva puede ayudarte a evaluar algunas
expresiones mentalmente.
Para evaluar una expresión, halla el valor de la expresión.
Propiedad distributiva
8 · (3 1 5) 5 (8 · 3) 1 (8 · 5) 9 · 47 5 9 · (40 1 7) 5 (9 · 40) 1 (9 · 7)
Multiplica 12 cajas por 32 pelotas de tenis por caja.
12 · 32 5 12 · (30 1 2) Vuelve a escribir la expresión
usando la propiedad distributiva.
5 (12 · 30) 1 (12 · 2) Multiplica 12 por cada número.
5 360 1 24 Suma.
5 384
Entonces, Cristóbal coloca 384 pelotas de tenis en los estantes.
Ejemplo 1 Calcula 12 · 32.
Otros ejemplos de propiedad distributiva se muestran en la siguiente tabla.
número total de pelotas de tenis en los estantes 12 · 32
Para representar el número total de pelotas de tenis
que Cristóbal coloca en los estantes, puedes usar
una expresión numérica.
Una expresión algebraica está formada por letras y números, con operaciones que las relacionan. Se usan para
representar distintas situaciones o relaciones numéricas.
Ya sabemos el número total de pelotas de tenis. Son 384 pelotas. Si se rompen algunas, la expresión algebraica
que representaría esta relación es:
384 – x x es igual al número de pelotas que se rompen
1
LECCIÓN
Repaso rápido
Marcos compró 12 libros a
$ 5 000 cada uno. Marta compró
5 libros a $ 12 000 cada uno.
¿Gastaron la misma cantidad?
Explica.
Vocabulario
expresión numérica
evaluar
expresión algebraica
Capítulo 7 119
Propiedades conmutativa y asociativa
Las propiedades conmutativa y asociativa también pueden ayudarte a evaluar
expresiones mentalmente. Tanto la propiedad conmutativa como la asociativa
son válidas para la suma y la multiplicación. En las siguientes tablas aparecen
ejemplos de ambas propiedades.
Ejemplo 2 Usa la propiedad conmutativa.
Propiedad conmutativa
Suma Multiplicación
6 1 5 5 5 1 6 8 · 6 5 6 · 8
Propiedad asociativa
Suma Multiplicación
(4 1 7) 1 9 5 4 1 (7 1 9) (3 · 5) · 2 5 3 · (5 · 2)
Suma. 14 1 9 1 6
14 1 9 1 6 5 14 1 6 1 9 Vuelve a escribir la
expresión usando
la propiedad
conmutativa.
5 20 1 9 Suma.
5 29
Entonces, 14 1 9 1 6 5 29. Entonces, 4 · 7 · 5 5 140.
Multiplica. 4 · 7 · 5
4 · 7 · 5 5 4 · 5 · 7 Vuelve a escribir la
expresión usando
la propiedad
conmutativa.
5 20 · 7 Multiplica.
5 140
Ejemplo 3 Usa la propiedad asociativa.
Suma. (23 1 18) 1 2
(23 1 18) 1 2 5 23 1 (18 1 2) Vuelve a escribir la expresión usando la propiedad
asociativa. Suma los números entre paréntesis primero.
5 23 1 20 Suma.
5 43
Multiplica. (7 · 6) · 5
(7 · 6) · 5 5 7 · (6 · 5) Vuelve a escribir la expresión usando la propiedad
asociativa. Multiplica los números entre paréntesis primero.
5 7 · 30 Multiplica.
5 210
Usa las propiedades conmutativa y asociativa para sumar y multiplicar mentalmente.
Práctica adicional en la página 130, Grupo A
Práctica con supervisión
Práctica independiente y resolución de problemas
120
Calcula. Indica qué propiedad o propiedades usaste.
18. 6 · 47 19. 17 1 15 1 33 20. 9 · 13 21. (9 · 12) · 5
22. 6 · 23 23. 5 · 7 · 2 24. 12 1 19 1 18 25. 7 · 12 · 10
26. (22 1 53) 1 37 27. 11 · 21 28. 20 · (5 · 15) 29. 11 1 (19 1 27)
30. 54 · 12 31. 36 1 48 1 22 32. 10 · 9 · 5 33. 31 1 (9 1 16)
34. 14 1 9 1 6 1 (11 1 30) 35. 23 1 5 1 17 1 (5 1 11) 1 9
Traduce cada expresión de lenguaje algebraico a lenguaje cotidiano.
36. El doble de un número aumentado en tres.
37. La mitad de un número.
38. La octava parte de un número disminuido en 8.
Traduce cada expresión de lenguaje cotidiano a lenguaje algebraico.
39. x
4
+ 12 = 29 40. a2 – 7 = 35 41. 4p – 4 r
Escribe verdadero o falso en cada enunciado. Explica tu respuesta.
42. (6 · 12) · 25 5 6 · (12 · 25) 43. 17 1 45 1 23 5 17 1 23 1 45 44. (3 · 6) 1 18 5 3 · (6 1 18)
1. Calcula 7 · 48 mentalmente usando la propiedad distributiva.
7 · 48 5 7 · (40 1 8) Vuelve a escribir la expresión usando la propiedad distributiva.
5 (7 · 40) 1 (7 · 8) Dentro de los paréntesis, multiplica 7 por cada número.
5 280 1 56 Suma.
5 
Calcula. Indica qué propiedad usaste.
2. 5 · 27 3. 2 · 9 · 15 4. 25 · 46 5. 22 1 (8 1 4)
6. 23 1 16 1 17 7. 9 · 19 8. 8 1 14 1 12 9. 6 · 7 · 5
10. (17 1 11) 1 9 11. (12 · 6) · 25 12. 12 · 41 13. 5 · (8 · 9)
Responde.
14. Si 3x representa el triple de tu altura, ¿qué representa x?
15. Si xy representa el área de un rectángulo, ¿Qué representa x e y?
16. Si n representa el total de naranjas que hay en un plato y Felipe se come 2, ¿cómo podrías representar el
total de naranjas que quedó en la frutera?
17. Explica cómo puede ayudarte la propiedad asociativa a calcular 80 1 (20 1 75) mentalmente.
45. Eduardo compró 14 paquetes de jugo. Cada
paquete tenía 8 cajas de jugo. ¿Cuántas cajas de
jugo compró?
46. Juanita compró 8 entradas para un recital a
$ 47 000 cada una. Quería gastar menos de
$ 380 000. ¿Pudo lograr su objetivo? Explica.
47. Plantea un problema Vuelve a leer el problema
36. Escribe y resuelve un problema similar
cambiando el número de cajas de jugo que hay en
cada paquete.
48. Razonamiento ¿Por qué no se aplica la propiedad
conmutativa a la resta o a la división? Explica.
49. Explica cómo puede ayudarte la
propiedad conmutativa a hallar mentalmente el
producto de 25 · 55 · 4.
Comprensión de los aprendizajes
Capítulo 7 121
50. José encuestó a 80 personas. Si x personas
eligieron el azul como su color preferido y
57 personas eligieron otro color, ¿cuál es el
valor de x y cuántas personas eligieron el azul?
52. ¿Cuál de las siguientes expresiones muestra la
propiedad distributiva?
A 9 · (7 1 4) 5 (9 · 7) 1 (9 · 4)
B 9 1 7 1 4 5 4 1 7 1 9
C (9 1 7) 1 4 5 9 1 (7 1 4)
D 9 · 7 · 4 5 7 · 4 · 9
51. Raquel obtuvo los siguientes puntajes en sus
últimos 5 exámenes de matemáticas: 5,7; 6,2; x;
6,4; 7,0. La media de los puntajes que obtuvo en
los 5 exámenes es 6,2. ¿Cuál es el valor de x?
53. ¿Cuál de las siguientes expresiones es verdadera?
A 5 · (6 1 7) 5 (5 1 6) 1 (5 1 7)
B 14 · 6 · 5 5 (14 1 6) · (14 1 5)
C 12 1 6 1 8 5 12 1 8 1 6
D 15 1 9 · 8 5 15 · 8 1 9
RAZONAMIENTO Puedes usar la propiedad distributiva como ayuda para
multiplicar un número de cualquier cantidad de dígitos.
Entonces, 12 · 8 752 5 105 024.
Usa la propiedad distributiva como ayuda para calcular el valor de la expresión.
1. 9 · 1 268 2. 15 · 8 451 3. 4 · 6 897
4. 11 · 4 372 5. 5 · 12 056 6. 25 · 4 208
12 · 8 752
12 · 8 752 5 12 · (8 000 1 700 1 50 1 2) Vuelve a escribir la expresión
usando la propiedad distributiva.
5 (12 · 8 000) 1 (12 · 700) 1 (12 · 50) 1 (12 · 2) Multiplica.
5 96 000 1 8 400 1 600 1 24
5 96 000 1 (8 400 1 600) 1 24 Reagrupa.
5 96 000 1 9 000 1 24 Suma.
5 105 024
Ejemplo Multiplica.
Repaso rápido
Aprende
La multiplicación
que usa una
variable puede
representarse de
varias maneras.
8 3 m 8 · m
8(m) 8m
Recuerda
122
Escribir expresiones algebraicas
OBJETIVO: escribir una expresión algebraica para una situación dada. Escribe una expresión
numérica.
1. siete más cinco
2. dieciocho menos dieciséis
3. cuarenta y dos por seis
4. veinticuatro dividido entre 6
5. seis menos que el producto
de siete por ocho
Vocabulario
expresión algebraica
PROBLEMA El plan del teléfono celular de Irene permite enviar 200 mensajes
de texto por mes a una tarifa fija de $ 4 990, y le cobran $ 50 por cada
mensaje de texto después de los 200. Escribe una expresión algebraica para
la cantidad que deberá pagar Irene por los mensajes de texto mensualmente.
Una expresión algebraica es una expresión que incluye por lo menos una
variable.
Ejemplo 1 Escribe una expresión algebraica.
Escribe una expresión con palabras para representar el abono mensual por los
mensajes de texto. Usa m para representar el número de mensajes de texto que
pasen el límite.
$ 4 990 por el mes más $ 50 por cada uno de los m mensajes de texto que pasen los 200
4 990 1 50 · m
Entonces, 4 990 1 50m representa el costo mensual de los mensajes de texto de Irene.
expresión con palabras: expresión algebraica:
$ 90 por minuto para llamadas locales 90a
$ 120 por minuto para llamadas de larga distancia 120b
Entonces, una expresión algebraica que representa el costo total es 90a 1120b.
Ejemplo 3 Escribe una expresión algebraica para cada expresión con palabras.
treinta más que el producto de cuatro por algún número, x 4x 1 30
cuatro veces la cantidad de x 1 30 4(x 1 30)
algún número, w, dividido entre 5 veces otro número, t _ w_
5t
A veces necesitas dos o más variables para escribir una expresión algebraica.
Ejemplo 2 Escribe una expresión algebraica usando dos variables.
Una compañía de teléfonos celulares cobra $ 90 por minuto para las llamadas
locales y $120 por minuto para las llamadas de larga distancia. Escribe una expresión
algebraica que indique el costo total, donde a representa los minutos de llamadas
locales y b representa los minutos de llamadas de larga distancia.
2
LECCIÓN
Práctica con supervisión
Capítulo 7 123
Ejemplo 4 Escribe una expresión algebraica usando tres variables.
Una compañía de teléfonos celulares está ofreciendo una promoción
especial. Durante el primer mes, se paga la mitad del servicio mensual
básico más los costos de los mensajes de texto y los costos de las llamadas
telefónicas. Escribe una expresión algebraica para el costo total.
1. Usa un signo de multiplicación y escribe una
expresión algebraica de x multiplicado por 7.
2. Usa un signo de suma y escribe una expresión
algebraica para m aumentado en 14.
Elige tus variables. Haz que s represente la tarifa del servicio mensual
básico, que m represente el costo de los mensajes de texto y que l
represente el costo de las llamadas telefónicas.
Escribe números y signos para las partes de la expresión con palabras.
mitad del servicio mensual básico: _1 _
2
s
costo de los mensajes de texto: m
costo de las llamadas telefónicas: l
Entonces, el costo total puede representarse mediante 1_ 2 s 1 m 1 l.
• Escribe una expresión algebraica para el costo mensual total si la tarifa
básica mensual del servicio se duplica en vez de reducirse a la mitad.
Puedes usar las propiedades algebraicas para escribir expresiones algebraicas
equivalentes.
Ejemplo 5 Usa las propiedades.
Usa la propiedad conmutativa, la asociativa o la distributiva para escribir
una expresión algebraica equivalente.
• Muestra cómo la propiedad distributiva te permite escribir
3(2a 1 5b) 5 6a 1 15b.
Escribe una expresión algebraica para la expresión con palabras.
3. g dividido entre 2,39 4. 2 menos que 4
multiplicado por d
5. 17 más que x 6. la mitad de un
número más el
número al cuadrado
7. Explica cómo puedes escribir una expresión algebraica para lo siguiente:
Si compras 3 camisas de c pesos cada una, entonces te descuentan $ 500 del precio total.
Propiedad Expresión Expresión equivalente
Conmutativa 3x 1 5y 5y 1 3x
Asociativa (3x 1 5y) 1 8z 3x 1 (5y 1 8z)
Distributiva 3(2a 1 5b) 6a 1 15b
Práctica adicional en la página 130, Grupos B
Práctica independiente y resolución de problemas
Comprensión de los aprendizajes
124
Escribe una expresión algebraica para la expresión con palabras.
8. un número aumentado
en 32
9. 3 1_ 2 disminuido en un
número
10. el producto de un
número y 36
11. longitud por ancho
por altura
12. un número disminuido
en 45
13. 24 menos que dos
tercios de un número
14. un número que luego
se divide entre 8
15. un número aumentado
en 5
Usa la propiedad indicada para escribir una expresión algebraica equivalente.
16. Propiedad conmutativa
2x 1 4y
17. Propiedad asociativa
a 1 (2b 1 3c)
18. Propiedad distributiva
5(3n 1 2m)
Escribe una expresión con palabras para cada expresión algebraica.
19. n 2 14 20. 36 : 2n 21. n 1 2__
5
1 n2 22. 3(n 1 1) : 4
Resuelve.
23. Una compañía de teléfonos celulares cobra $ 10 por el uso de cada
kilobyte de datos adicional y $ 50 por cada mensaje de texto adicional.
Escribe una expresión algebraica que indique el costo adicional total,
donde k represente el número de kilobyte adicionales y m represente el
número de mensajes de texto adicionales.
24. En la boleta de su primer mes, los nuevos clientes pagan un cuarto de
la tarifa básica del servicio, la mitad de la tarifa por mensajes de texto y
se les descuenta un adicional de $ 1 000 de toda la boleta. Escribe una
expresión algebraica para el costo total del primer mes, si s representa el
total de la boleta sin los descuentos.
25. Plantea un problema Vuelve a leer el problema 24. Escribe un problema
similar en el que los clientes nuevos obtienen un descuento menor en el
costo de uso de datos y mensajes de texto. Elige tu propio porcentaje de
descuento.
26. Marisol se compra un nuevo teléfono celular a $ 19 990
y se anota en un plan que le costará $ 29 990 por mes. Explica cómo
se puede escribir una expresión para el costo total del teléfono y el plan
mensual para determinado número de meses.
27. ¿Cuál es la media de los siguientes precios:
$ 35, $ 23, $ 40, $ 28 y $ 37?
28. Las notas que obtuvo Joaquín en matemáticas
son: 4,8; 5,2; 5,7; 6,0; 4,5.
Encuentra el promedio. Si para obtener una
beca es necesario tener promedio 5,5, ¿obtuvo
Joaquín la beca? Explica.
29. Un camping cuesta $ 15 000, más un cargo
adicional de $ 2 500 por cada acampante, a.
¿Cuál expresión algebraica representa el costo
total?
A 15 1 a C 15a
B 15 1 2 500 1 a D 15 1 2 500a
Palabras y frases claves Operación
sumado a, combinado, aumentado en, más
que, agregado a, junto con, total de
suma (+)
disminuido en, diferencia entre/de, menos
que, menos, menor que, cuántos más que,
cuántos menos que, quedan
r esta (−)
por, producto de, multiplicado por, veces m ultiplicación (·)
por cada, de, por ciento (divide entre 100),
cociente de, razón de, compartido por,
separado entre, dividido entre
d ivisión (:)
Capítulo 7 125
Las matemáticas son un lenguaje de dígitos,
símbolos y palabras. El álgebra se usa para
traducir las palabras a números y símbolos.
Necesitas comprender palabras y frases clave,
saber qué representa cada variable y cómo
seguir el orden de las operaciones para evaluar
las expresiones.
El profesor Araya pidió a sus estudiantes
que escribieran una pregunta que pudiera
representarse mediante 3 500y 1 6.
Lee los pasos que siguió Mónica para escribir su
problema.
Escribir un problema
Paso1 El problema podría tratar de la compra de artículos que cuestan $ 3 500 cada uno y
después de la compra de otro artículo que cuesta $ 2 000.
Paso 2 Piensa en una situación.
Paso 3 Escribe un problema basado en la situación: “Marcia, su hermanito y algunos amigos
van al cine. Las entradas cuestan $3 500 cada una para Marcia y sus amigos, y la de su
hermanito cuesta $ 2 000. Escribe una expresión para el costo total de la salida al cine”.
Resolución de problemas Escribe un problema
para cada expresión.
1. 12(x 1 4y) 2. 12x 1 4y 3. x(29,5 2 5) 1 12,5 4.
x 1 y
_____
3
3
LECCIÓN
126
Usa la destreza
PROBLEMA Al empezar el mes, Juan tiene 24 ejemplares de tiras cómicas de
Mampato y 31 ejemplares de tiras cómicas de Condorito en su tienda. Encarga
y recibe 2 cajas de cada una. Cada caja contiene 48 ejemplares. En un mes,
vende 87 ejemplares de tiras cómicas de Mampato y 95 ejemplares de tiras
cómicas de Condorito. ¿Cuántas tiras cómicas tiene en total a fin de mes?
A veces un problema complejo describe una secuencia de situaciones.
Suele ser de ayuda seguir esa secuencia para resolver el problema. Quizá
necesites además priorizar partes del problema o decidir qué partes son
especialmente importantes.
(24 1 2 · 48 2 87) 1 (31 1 2 · 48 2 95) 5 33 1 32 5 65
Entonces, Juan tiene un total de 65 tiras cómicas.
Secuencia Situaciones Mampato Condorito
1o Juan comienza con cierta cantidad. 24 31
2o
Encarga 2 cajas. Prioridad:
Hallar 2 · 48 para cada revista de
tiras cómicas.
2 · 48 2 · 48
3o Suma tiras cómicas de las cajas. 24 1 2 · 48 31 1 2 · 48
4o Vende algunas. 24 1 2 · 48 2 87 311 2 · 48 2 95
5o Tiene un total a fin de mes. (24 1 2 · 48 2 87) 1 (311 2 · 48 2 95)
Piensa y comenta
Usa la siguiente información para resolver los problemas.
Alfonso se ocupa de encargar comida y suministros para el puesto de alimentos.
A principio de mes, tiene hot dogs (completos). Durante el mes, el puesto de alimentos
vende 327 hot dogs. También durante el mes, Alfonso encarga y recibe 4 paquetes de
hot dogs. Cada paquete contiene 75 hot dogs.
a. Ordena en secuencia y prioriza los pasos para hallar el número total de hot dogs que
sobraron, si los hay.
b. ¿ Encargó Alfonso suficiente cantidad de hot dogs? Explica.
c. ¿Alfonso podría haber encargado menos hot dogs y aun así haber tenido suficientes?
Explica.
Destreza: ordenar en secuencia
y priorizar información
OBJETIVO: resolver problemas con la destreza de resolución de problemas ordenar en
secuencia y priorizar información.
Ventas mensuales de tiras cómicas
Mes Mampato Condorito En dosis
diarias
Ene 82 98 44
Feb 93 89 52
Mar 102 90 47
Mampato 33 ejemplares más que los que vendió En dosis diarias
Condorito 11 ejemplares más que los que vendió Mampato
En dosis diarias 54 ejemplares vendidos
Cucalón 43 ejemplares menos que los que vendió Condorito
Tira cómica Comparación de ventas para junio
Resolución de problemas con supervisión
Capítulo 7 127
Aplicaciones mixtas
1. Pablo comienza el año con 24 ejemplares de las
tiras cómicas de Mampato, 26 ejemplares de
Condorito y 38 ejemplares de En dosis diarias. Todos
los meses encarga 2 cajas de tiras cómicas de Mampato
y de Condorito y 1 caja de tiras cómicas de En dosis
diarias. En cada caja hay 48 ejemplares. ¿Cuántas tiras
cómicas tiene a fines de marzo?
USA LOS DATOS Del 4 al 6 usa la tabla.
4. Halla el número de ejemplares de la
tira cómica de Condorito que se vendieron
en junio.
5. Halla el número de ejemplares de la
tira cómica de Cucalón que se vendieron
en junio. Explica la secuencia de pasos
que seguiste.
6. Razonamiento Ordena la cantidad de ejemplares que se
vendieron en junio de cada revista, de menor a mayor.
2. ¿Qué pasaría si hubiera 52 ejemplares en
cada caja que encargó? ¿Cuántos ejemplares de
En dosis diarias tendría a fines de marzo?
3. ¿Qué revista de tiras cómicas tiene el mayor
promedio de ventas mensuales? ¿Cuál es ese
promedio redondeado al número natural más
próximo?
7. Cuarenta y dos estudiantes del sexto básico se
suscriben a la revista Mundo de Sexto Básico. La
revista se vende a $ 2 950. Estima la cantidad total
de dinero que se gastó en la revista durante 5
meses.
9. En 2005, las tiras cómicas
alcanzaron alrededor de $ 450 millones en ventas.
Imagina que el costo promedio de una tira cómica
en 2005 era de $ 1 800. ¿El número de tiras
cómicas vendidas en 2005 fue mayor o menor
que 255 000?
11. Plantea un problema Vuelve a leer el
problema 10. Escribe y resuelve un problema
similar cambiando el número de tiras cómicas que
tiene Sara.
8. La tienda de Pablo recibe 3 cajas de revistas de
tiras cómicas de Chistes para niños a comienzos
de junio. Cada caja contiene 48 ejemplares. A
fines de mes, le quedan 34 ejemplares. ¿Cuántos
ejemplares se vendieron en junio? ¿La información
es suficiente o insuficiente para resolver el
problema?
10. Antonio tiene el doble de tiras cómicas que José.
José tiene tres tiras cómicas más que Sara. Sara
tiene 12 tiras cómicas. ¿Cuántas tiras cómicas
tiene Antonio?
12. Explica cómo ordenar en
secuencia y priorizar la información te ayuda
a resolver algunos problemas.
Primero, determina cuántos ejemplares de cada
tira cómica compró en los últimos tres meses.
Luego, suma el número de cada tira cómica comprada
al número con el que empezó al comenzar el año.
Por último, resta las ventas de los tres meses del
total de números con los que empezó y que compró.
DATO BREVE
Ejemplo 1
Ejemplo 2 Descubrir una regla posible para la secuencia gráfica.
Martina escribe, x + 5 usando el lenguaje matemático, siendo x el número que
aparece en la secuencia y luego comienza a calcular.
1 + 5 = 6
6 + 5 = 11
11 + 5 = 16 … y forma la secuencia
Escribe en lenguaje matemático Registra los datos en la tabla siguiente
la regla descubierta.
Una posible expresión es 2n + 1,
donde n es un número natural.
6, 11, 16, 21, …
paso 1
3 3 + 2 3 + 4 3 + 6 3 + 2n n = 0, 1, 2,
paso 2 paso 3 paso 4
Práctica con supervisión
1. Desarrolla una secuencia con la regla “siete menos”.
2. Desarrolla la secuencia si la regla es 3n + 4. Registra los datos en una tabla.
3. Escribe la secuencia del enunciado “el número y siete más”.
128 Práctica adicional en la página 130, Grupo C
Propiedad 1 2 3 4 5 6 7
cantidad de
segmento 3 5 7
Aprende
Tablas y patrones
OBJETIVO: comprender la relación entre los valores de una tabla y
aplicarla en la resolución de problemas sencillos.
Repaso rápido
Encontrar el valor de:
1. 3 · 1 + 4 =
2. 3 · 2 + 4 =
3. 3 · 3 + 4 =
PROBLEMA Martina necesita escribir el enunciado “el número y cinco más” 4. 3 · 4 + 4 =
en lenguaje matemático y luego registra la secuencia.
4
LECCIÓN
4. En la siguiente tabla, descubre una regla.
5. ¿Cuántos kilos de arroz recaudarán en la semana 9 si la recolección sigue
la tendencia mostrada en la tabla?
6. Completa la tabla para la semana 12 y para la semana 18.
7. Expresa la regla en un lenguaje matemático.
8. Calcula la cantidad recaudada en la semana 15 usando la expresión
matemática encontrada.
Práctica independiente y resolución de problemas
Comprensión de los aprendizajes
De acuerdo a la regla descubierta, determina cuál es el valor de salida de
27 y 59.
Con los datos del problema responde los ejercicios del 5 al 8.
En el sexto básico deciden juntar arroz para la campaña de solidaridad en
beneficio de un hogar de niños. Las cantidades que se recibieron son:
Capítulo 7 129
Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 Semana 5
15 kg 30 kg 45 kg 60 kg 75 kg
Entrada 3 6 9 12
Salida 15 30 45 60
Entrada 4 7 9 18
Salida 12 27 45
Entrada 10 11 13 35 47
Salida 1 2 4 8 11
Entrada 3 5 10 15
Salida
12. Calcula el valor de +
13. ¿Qué propiedad representa la expresión
3 · 5 · 7 = 5 · 7 · 3?
14. En la prueba, Rosario se equivocó en
25 preguntas de 100, ¿qué porcentaje
de respuestas correctas tuvo Rosario?
15. Escribe una expresión matemática que
represente la relación de los números de la tabla.
3
4
2
3
11. Javiera tenía una pareja de hámster y al cabo de 3 meses tiene 4 hámster, a
los 6 meses tiene 8 hámsters, a los 9 meses tiene 16 hámsters.
¿Cuántos hámsters tendrá al cabo de dos años si la tendencia se mantiene?
10. Dada la tabla, escribe los números que faltan.
9. Dada la tabla, encuentra la relación que hay entre los números y completa.
130
Grupo A Escribe verdadero o falso para cada enunciado. Explica tu respuesta.
Práctica adicional
1. un número aumentado en 12
3. 17 menos que la mitad de un número
5. Los nuevos usuarios de Internet pagan un tercio
de la tarifa mensual básica por el primer mes de
servicio. Escribe una expresión algebraica que
represente el costo del primer mes.
2. el producto de un número y 15
4. el cuadrado de algún número que luego se divida
entre 6
6. Los clientes pagan la mitad del costo de un
teléfono nuevo más un cuarto de la tarifa mensual
básica durante el primer mes. Escribe una
expresión algebraica que represente el costo de
un teléfono nuevo y el servicio del primer mes.
1. 16 1 35 1 24 5 16 1 24 1 35 2. 12 1 24 · 28 5 12 · 28 1 24
3. (7 · 4) 1 12 5 7 · (4 1 12) 4. 6 · (3 1 7) 5 (6 · 3) 1 (6 · 7)
5. (4 · 9) · 34 5 4 · (9 · 34) 6. 11 1 35 1 29 5 11 1 29 1 35
Grupo B Traduce a lenguaje matemático las siguientes expresiones dadas con palabras.
Grupo C ¿Qué regla siguen los datos de la tabla?
7. (3 + 7) + 9 = 3 + (7 + 9) Propiedad ______________ de la ___________
8. 6 · (5 + 6) = 6 · 5 + 6 · 6 Propiedad ______________
9. 7 · 8 · 4 = 8 · 4 · 7 Propiedad ______________ de la ___________
10. 5 + 9 + 6 = 9 + 6 + 5 Propiedad ______________ de la ___________
11. 3 · (8 · 5) = (3 · 8) · 5 Propiedad ______________ de la ___________
Aplica la propiedad conmutativa o asociativa para resolver de forma conveniente.
Calcula. Escribe la propiedad que usaste.
Encuentra la secuencia si el término que la describe es 3x – 2.
12. 18 + 9 + 2= 13. 4 · 9 · 5 = 14. 2 · 3 · 15 =
15. 13 + 4 + 17 =
7. 5 · (2a + 5 b) = 8. 8 · (5x + 4y) = 9. 9 · (3z – 4w) = 10. 6 · (3c – 7d) =
Entrada 2 4 6 10 15
Salida 15 29 43 71 105
Capítulo 7 131
Explorar la
expresión Jugadores
2 jugadores
Materiales
• dado
• flecha giratoria de 3 secciones,
marcadas del 1 al 3
• cronómetro o reloj
• 2 monedas diferentes
• 30 tarjetas de expresión
(por ejemplo: g + 17; m − 9;
3x − 8; 3t + 1)
Mezcla las tarjetas de expresión y apílalas boca
abajo.
Cada jugador elige una moneda y la coloca en
la SALIDA. Decidan quién saldrá primero.
El primer jugador saca una tarjeta de expresión
de la pila y lanza el dado.
Luego el jugador calcula el valor la expresión
en la tarjeta de expresión reemplazando
la variable por el número del dado. El otro
jugador comprueba la respuesta.
Si la respuesta es correcta, el jugador hace
girar la flecha giratoria, avanza el número de
espacios que sale y saca otra tarjeta.
Si la respuesta es incorrecta, o después de que
un jugador obtenga 3 respuestas correctas en
un turno, le toca el turno al otro jugador.
El juego continúa hasta que un jugador
alcanza la LLEGADA. El primer jugador que
llegue o pase la LLEGADA es el ganador.
Cómo jugar
SALIDA
LLEGADA
1
2
3
4
5 6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
132
Repaso/Prueba del capítulo 7
Vocabulario
expresión algebraica
expresión numérica
evaluar
Repasa el vocabulario y los conceptos
Elige el mejor término del recuadro.
1. Una frase matemática que incluye solamente números y signos
de operaciones se llama ___________.
2. Debemos hallar el valor de una expresión para ___________ una expresión.
3. Una expresión que incluye al menos una variable es una ___________. .
Repasa las destrezas
Escribe verdadero o falso para cada enunciado. Explica tu respuesta.
4. (16 1 4) 1 2 5 16 1 (4 1 2)
6. (16 · 1__
2
) · 1__
4
5 16 · (1 __
2
· 1__
4
)
5. 5 · 3 1 12 5 5 · 12 1 3
7. 2 1 (6 · 7) 5 (2 1 6) · 7
Escribe una expresión algebraica para las expresiones dadas en lenguaje cotidiano.
8. 34 menos que 1__
4
de y 9. un número 10. el producto de 11. h por j por k
disminuido en 26 un número y 12
Repasa la resolución de problemas
Resuelve.
12. El viaje de Karen durará 4 días y 3 noches. El viaje de ida y vuelta
cuesta $ 7 500 y el hotel cuesta $ 20 000 por noche. Si su presupuesto es
de $ 132 500, ¿cuánto le quedará para gastar por día si gasta la misma
cantidad todos los días?
13. El señor Sánchez tenía 12 cajas que contenían
5 patinetas cada una. Vendió todas las patinetas, excepto 7.
¿Cuántas patinetas vendió?
Explica los pasos que seguiste para resolver el problema.
Capítulo 7 133
Expresiones y naturales consecutivos
Enriquecimiento · Escribir expresiones
para hallar sumas
Dado cualquier natural n, puedes hacer una lista de naturales
consecutivos usando las expresiones n, n 1 1, n 1 2, n 1 3, etc. Por
ejemplo, si n es igual a 17, entonces las expresiones darán como
resultado los naturales 17, 18, 19, 20, etc.
Del mismo modo, puedes hacer una lista de naturales impares o pares
consecutivos usando las expresiones n, n 1 2, n 1 4, n 1 6, etc. Si n es
impar, entonces la lista contendrá enteros impares. Si n es par, entonces
la lista contendrá naturales pares. Por ejemplo, si n es igual a 34,
entonces las expresiones darán como resultado los naturales 34, 36, 38,
40, etc.
Pruébalo
Halla los enteros dados para la suma dada.
1. 3 naturales consecutivos cuya suma sea 12
3. 3 naturales impares consecutivos cuya suma sea 27
5. 4 naturales impares consecutivos cuya suma sea 16
2. 3 naturales consecutivos cuya suma sea 15
4. 3 naturales pares consecutivos cuya suma sea 48
6. 4 naturales pares consecutivos cuya suma sea 28
Explica cómo, al usar expresiones de resta para hallar números naturales consecutivos,
obtendrías números distintos a los que obtendrías usando expresiones de suma.
n 17
n 1 1 17 1 1 5 18
n 1 2 17 1 2 5 19
n 1 3 17 1 3 5 20
n 34
n 1 2 34 1 2 5 36
n 1 4 34 1 4 5 38
n 1 6 34 1 6 5 40
Sea n = el primer natural, n + 2 = el segundo natural y n + 4 = el tercer
natural.
n + (n + 2) + (n + 4) Escribe una expresión que represente la suma
de 3 naturales pares consecutivos.
n + n + 2 + n + 4 Quita los paréntesis.
3n + 6 Simplifica combinando términos semejantes.
Usa la estrategia predecir y probar para elegir valores para n de
modo que 3n + 6 = 24.
A continuación, evalúa n, n + 2 y n + 4 para n = 6 para hallar
los naturales pares consecutivos cuya suma sea 24.
n = 6 n + 2 = 6 + 2 = 8 n + 4 = 6 + 4 = 10
Comprueba: 6 + 8 + 10 = 24
n 3n 1 6 Resultado
4 3(4) 1 6 5 18 Muy bajo
8 3(8) 1 8 5 32 Muy alto
6 3(6) 1 6 5 24 Correcto
Entonces, tres números naturales pares consecutivos cuya suma es 24 son 6, 8 y 10.
Ejemplo
Halla tres números pares consecutivos cuya suma sea igual a 24.
Números y operaciones
1. Todos los días, Tomás corre 1,5 km y nada
1,8 km. ¿Qué número racional está entre
1,5 y 1,8?
A 2,1
B 1,9
C 1,81
D 1,75
2. ¿Cuál de las siguientes fracciones está más cerca
de 0?
A _ 2 __
3
C _1__
10
B _4 __
9
D _3 __
5
3. ¿Cuál es el valor de n si _n_ 12 5 5
_ 3 ?
A 4 C 20
B 12 D 60
Eliminar opciones.
Observa el Ejercicio 2. Primero ordena las
opciones en una recta numérica. Elige la
más cercana a 0.
Patrones y álgebra
6. La expresión “El doble de un número disminuido
en el triple de otro número es igual a 57”.
A 2x – 3y = 57
B 2x –3x = 57
C 2x – y = 57
D 2 – 3y = 57
7. ¿Cuál es el producto de (5 2 2) 1 (3 · 6)?
A 27
B 21
C 25
D 23
8. El valor de + es:
A
B
C
D
9. Jessica desea dividir 18 bolitas en partes iguales
entre ella y 5 de sus amigas. ¿Cuántas bolitas
le corresponden a cada persona?
A 6 C 12
B 3 D 24
10. ¿Cuál es el cociente de (3 1 6) y (2_ 6 1 2_ 3)?
A 48 C 7
B 7 D 9
5. Luisa mantuvo el récord de los
100 m planos durante 3_ 4 del año. Eva lo mantuvo
por 1
__ 12 del año y Ana, por 1 _ 6 del año. Explica
cómo ordenar estas fracciones de menor a mayor.
¿Quién mantuvo el récord por menos tiempo?
¿Quién lo mantuvo por más tiempo?
4. Compré 2,5 metros de cinta azul, si quiero cortarla
en 5 trozos iguales ¿cuánto debe medir cada
trozo?
A 0,5 m C 1,5 m
B 0,10 m D 1,75 m
1
4
2
5
9
20
14
14
7
10
14
10
134
Comprensión de los aprendizajes
Geometría – Medición
11. ¿Cuál de las siguientes opciones describe mejor
la figura?
A Ángulo agudo
B Líneas perpendiculares
C Ángulo recto
D Líneas paralelas
12. Una pista de patinaje tiene un largo de 12,5
metros y un ancho de 7. ¿Cuál es el área para
patinar de la pista si tiene un borde para dejar
los patines de 5 metros cuadrados?
A 87,5 m2
B 8,75 m2
C 82,5 m2
D 8,25 m2
13. ¿Qué rectángulo tiene un área de 20 unidades
cuadradas?
A
B
C
D
Datos y probabilidades
Observa la información del gráfico y responde las
preguntas 15 y 16.
800
700
600
500
400
300
200
100
0
Calorías
Alimentos
pera galletas chocolate plátano aceite
Capítulo 7 135
17. En la escuela de Lorena, hay 5 cursos de sexto
básico.
Número de estudiantes de sexto básico por curso
Curso 1 2 3 4 5
Número 15 17 18 15 16
18. Un jugador de golf profesional registró los
siguientes puntajes durante un campeonato
de cuatro días.
68, 70, 73, 69
¿Cuál es la media del grupo de datos?
A 73 C 70
B 71 D 68
¿Cuál es el promedio del grupo de datos?
A 15 C 17,2
B 16,2 D 18
14. Explica cómo se puede ubicar el
punto representado por (2,5) en un gráfico.
15. ¿Qué alimento tiene mayor cantidad de calorías?
A Chocolate C Galletas
B Plátano D Aceite
16. Identifica 2 alimentos que tengan menos de 100
calorías.
A Pera y aceite C Galletas y plátano
B Plátano y pera D Aceite y chocolate
a El precio de un producto se calcula en función
del costo de sus materias primas. La
expresión que permite realizar este cálculo
es: 2A + 3B – C + 5. Si A = $ 80, B = $ 110
y C es la mitad de A, ¿cuál es el precio del
producto?
a) $ 350
b) $ 400
c) $ 455
d) $ 500
5 Un camión lleva dos acoplados. El primer
acoplado mide 2 m más que el segundo y
este mide el triple que la cabina delantera. Si
el camión mide en total 23 m de largo, ¿cuál
es la longitud del segundo acoplado?
a) 9 m
b) 10 m
c) 11 m
d) 12 m
b ¿Por qué número se debe reemplazar z
para que la ecuación 2z + 9 = 2z + 9 se
satisfaga?
a) 2
b) 9
c) Cualquiera.
d) Ninguno.
6 Micaela demora y horas en llegar a la casa
de sus abuelos viajando en bus. Este bus
realiza 2 paradas, una de 15 minutos y otra
de 25 minutos. ¿Cuántos minutos demoraría
el viaje si no hubiera detenciones?
a) 30y – 40
b) 30y + 40
c) 60y – 40
d) 60y + 40
c El doble de la cantidad de galletas que tiene
Ernesto equivalen al triple de los que tiene
Marcela. ¿Cuántas galletas tiene Marcela
si Ernesto tiene 12?
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
7 La masa de un caballo equivale al séptuplo
de la de un perro, y la de este, al quíntuplo
de la de un gato. ¿Cuál es la masa corporal
del caballo si la del gato es de 6 kg?
a) 180 kg
b) 190 kg
c) 200 kg
d) 210 kg
d Un CD de música de 23 minutos de duración
contiene 4 canciones. La segunda dura 3
minutos más que la primera, la tercera el
doble que la cuarta y esta, lo mismo que la
primera. ¿Cuál es la duración de la segunda
canción?
a) 4 min
b) 6 min
c) 7 min
d) 8 min
8 En un torneo de fútbol un triunfo permite
obtener 3 puntos, un empate 1 punto y una
derrota 0 puntos. ¿Cuál de las siguientes
expresiones permite calcular la cantidad de
puntos obtenidos por un equipo que consiguió
T triunfos, E empates y D derrotas?
a) T + E
b) 2T + E + 3D
c) 3T + 2E + D
d) 3T + E
II Ejercicios con alternativas
Marca las alternativas correctas en la hoja de respuestas que te dará el docente y completa la
tabla que allí aparece.