ESBOZO DE LA GRAFICA DE UNA FUNCION POR EL CRITERIO DE DERIVADAS PROBLEMAS RESUELTOS PDF

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TRAZADO DE GRAFICAS DE FUNCIONES USANDO DERIVADAS
Trazado de gráficas con ayuda de la derivada primera
Dada la función y = f (x), para dibujarla es útil el siguiente proceso:
1. Determinar los puntos en los que no está definida f (x) .
2. Hallar la derivada f´(x).
3. Calcular las soluciones de la ecuación f´(x) = 0 (puntos singulares).
4. Marcar sobre el eje OX los puntos singulares y aquellos en los que la función no está
definida. Esos puntos dividen al eje OX en varios intervalos.
5. Estudiando el signo de la derivada en cada intervalo anterior, determinar si la función
es creciente o decreciente. (Basta con probar un punto de cada intervalo y ver si f´(x)
es positiva o negativa.)
6. Deducir (de lo anterior) dónde se dan los máximos y los mínimos, si es el caso.
7. Trazar la gráfica ajustándose a la información obtenida y dando algunos de sus puntos,
entre los correspondientes a los puntos singulares y a los cortes con los ejes de
coordenadas.
Trazo de curvas
La teoría estudiada hasta ahora sobre máximos y mínimos de una función, será aplicada tanto en la resolución de problemas como en el trazo de la gráfica de una curva. Para este último aspecto nos hace falta estudiar las asíntotas de una curva, tema que veremos a continuación para pasar luego al trazo de curvas y por último a la resolución de problemas.
1
Aplicaciones de la derivada al
trazo de gráficas
a. Descripción:
Hasta ahora se ha utilizado la derivada para resolver problemas, en donde la misma es
interpretada como la razón de cambio de una variable con respecto a otra; en particular, en
las ciencias económicas la derivada se ha utilizado para resolver problemas de
marginalidad.
En ésta unidad se utiliza la primera derivada para encontrar los valores máximo y
mínimo de una función, así como para determinar los intervalos en donde la función es
creciente o decreciente, también se utiliza la segunda derivada para encontrar los puntos de
inflexión de la gráfica de una función así como los intervalos donde es cóncava hacia arriba
o cóncava hacia abajo.
b. Objetivos
Al finalizar el estudio y desarrollar las actividades de ésta unidad el estudiante estará en
capacidad de:
• Encontrar los valores máximos y mínimos de una función utilizando los criterios de
primera o segunda derivada.
• Determinar si una función es creciente o decreciente en un intervalo usando la
primera derivada.
• Encontrar los puntos de inflexión de la gráfica de una función utilizando la segunda
derivada.
• Determinar si una función es cóncava hacia arriba o hacia abajo utilizando la
segunda derivada.
• Dibujar la representación gráfica de una función utilizando la información
proporcionada por la primera y la segunda derivada.
c. Re
Máxim
f (c) es u
donde f
La f
derivada
derivada
Mínimo
f (c) es u
donde f
La f
derivada
derivada
esumen
o relativo
un máximo
(c) ≥ f (x)
figura 1 m
a es igual a
a no está de
o relativo
un mínimo
(c) ≤ f (x)
figura 2 m
a es igual a
a no está de
de cont
o
o relativo d
para todo
uestra la g
cero en x
efinida en c
o
o relativo de
para todo
muestra la g
cero en x
efinida en c
tenidos
e la función
x en el inte
gráfica de
= c y hay u
e la función
x en el inte
gráfica de
= c y hay u
.
2
n f, si existe
rvalo abier
dos máxim
una tangen
Figura 1
n f, si existe
rvalo abier
dos mínim
una tangen
Figura 2
e un interv
rto.
mos relativo
nte horizont
e un interva
rto.
mos relativo
nte horizont
alo abierto
os, en el p
tal, mientra
alo abierto
os, en el p
tal, mientra
que contie
primero, la
as que el se
que contie
primero, la
as que el se
ene a c en
primera
gundo la
ene a c en
primera
gundo la
Valor c
Si c es un
no está
llama pu
Los
Funció
Una fun
intervalo
una func
Funció
Una fun
intervalo
una func
crítico o p
n número e
definida, e
unto crítico
máximos o
ón Crecie
nción f es
o. Si la fun
ción crecien
ón decrec
nción f es d
o. Si la fun
ción decrec
punto crít
en el domin
ntonces el
.
mínimos r
nte
creciente
nción es cre
nte.
ciente
decreciente
nción es dec
ciente.
tico
nio de la fun
número x
relativos sie
en un inte
eciente ento
e en un int
creciente en
3
nción f es d
= c es un
empre se lo
ervalo si f
onces f ′(x)
Figura 3
tervalo si
ntonces f ′(x
decir que f
valor crític
calizan en u
(x1 ) < f (x ) > 0 . La
f (x1 ) > f (
x) < 0 . La (c) existe y co de f y e un punto cr x2 ) para to figura 3 m x2 ) para t a figura 4 m si f ′(c) = 0 el punto (c rítico de la odo x1 < x muestra la g todo x1 < muestra la g o f ′(c) c, f (c)) se función. x2 en el gráfica de x2 en el gráfica de Criterio Si f es un es difere como sig Criterio f (c) es figura 5 Criterio f (c) es u Si f ′(c) ni máxim mínimo o de la pr na función enciable en gue: para Máxi un máximo muestra un para Mínim un mínimo es positiva mo relativo relativo en rimera de continua e el intervalo mo relativo o relativo s na función q mo relativo relativo si en ambos ni mínimo n c. erivada n un interv o, excepto p o si f ′(x) cam que tiene u o f ′(x) cambi lados de c o o relativo. L 4 Figura 4 valo abierto posiblemen mbia de pos un máximo Figura 5 ia de negat negativa La figura 6 Figura 6 o que contie nte en c. En sitiva a neg relativo en tiva a positi en ambos l muestra la ene al núm ntonces f (c gativa al pa c. iva al pasar lados de c, gráfica de mero crítico c) puede cla asar por x r por x = c entonces f una funció x = c y f asificarse = c . La . (c) no es ón con un Funció Una fun números una func Funció Una fun números una func Punto Si f es u llama pu cóncava punto y En u gráfica d ón cóncav nción f es có s en el inter ción cóncav ón cóncav nción f es có s en el inter ción cóncav de inflex na función unto de inf hacia abaj además la un punto d de un punto va hacia óncava hac rvalo y f ′′( va hacia arr va hacia óncava hac rvalo y f ′′( va hacia aba ión n continua e flexión de o ( o bien gráfica de l de inflexión o de inflexió arriba cia arriba en (x) > 0 en
riba
abajo
cia abajo en
(x) < 0 en ajo. en un inter la gráfica d cambia de la función t n f ′′(c) = ón en dond 5 n un interv todo el int Figura 7 n un interva todo el int Figura 8 rvalo abiert de f, si la g cóncava ha tiene una re 0 o bien f de la segund valo si f ′′(x tervalo. La alo, si f ′′(x tervalo. La to que cont gráfica cam acia abajo a ecta tangen ′′(c) no ex da derivada x) está defi figura 7 m x) está defi figura 8 m tiene a c. E mbia de cón cóncava h te en el pun xiste. La f a es igual a inida para t muestra la g inida para t muestra la g El punto (c ncava hacia hacia arrib nto. figura 9 m cero todos los gráfica de todos los gráfica de c, f (c)) se a arriba a a) en ese muestra la Criterio Si f es u abierto q entonces Criterio Si f es u abierto q entonces El cr f ′′(c) no o de la se una función que contien s la función o de la se una función que contien s la función riterio de l o existe, en egunda d n tal que f ne a c. Si n tiene un m egunda d n tal que f ne a c. Si n tiene un m la segunda cuyo caso d derivada p ′(c) = 0 y f ′′(c) < 0 máximo rela derivada p ′(c) = 0 y f ′′(c) > 0
mínimo rela
a derivada
debe usarse
6
Figura 9
para máx
la segunda
(es decir
ativo en x =
para míni
la segunda
(es decir
ativo en x =
no se pue
e el criterio
ximo relat
a derivada
que la fun
c .
imo relat
a derivada
que la fun
c .
ede aplicar
de primera
tivo
está defini
nción es có
ivo
está defini
nción es cón
cuando f
a derivada.
ida en un
óncava haci
ida en un
ncava hacia
′′(c) = 0 o
intervalo
ia abajo),
intervalo
a arriba),
cuando
d. Eje
Ejempl
En éste e
el resum
La fi
incisos s
a. E
b. E
c. E
d. E
e. E
f. E
Solució
a. U
d
q
e
b. A
d
emplos
lo 1: Anál
ejemplo se
men de los c
igura mues
siguientes
Encuentre l
Encuentre l
Encuentre l
Encuentre l
Encuentre l
Encuentre l
ón
Una funció
de izquierd
(0,−1) hast
que los int
1 < x < 2 es creciente Al observar decreciend lisis de la g da la gráfic contenidos. stra la gráfi los interval los interval los máximo los interval los interval los puntos ón es crecien da a derech ta el punto tervalos so . Al utiliza e en r la gráfica o en gráfica de u ca de una fu ica de una los donde la los donde la os y los mín los donde la los donde la de inflexión nte cuando ha. Al obs o (1,1) y sig bre el eje ar la nomen de la mism 7 una función unción y se función f, a a función e a función e nimos relati a función e a función e n o los valore servar la gr gue creciend x donde la nclatura de (0,1) ∪ (1 ma forma qu n e hace un an partir de s creciente. s decrecien ivos. s cóncava h s cóncava h s de f (x) a ráfica notam do del pun a función e e intervalos 1,2) ue en el inc nálisis de la ella respon . nte. hacia arriba hacia abajo. aumentan a mos que cr nto (1,1) al es creciente se puede d ciso anterio a misma, u nda cada un a. . al recorrer l rece desde punto (2,3 e son: 0 < decir que la or, notamos utilizando no de los la gráfica el punto 3) ; por lo x < 1 y a función s que está 8 (−∞,0) ∪ (2,∞) Recuerde que los intervalos están sobre el eje x. c. El máximo relativo de la función es f (2) = 3 y está en el punto (2,3) ya que la función es creciente para x menor que 2 y es decreciente para x mayor que 2. El mínimo relativo es f (0) = −1 y se localiza en el punto (0,−1) ya que la función es decreciente para valores menores que 0 y es creciente para valores mayores que 0. d. De acuerdo con la definición, una función es cóncava hacia arriba cuando el arco de la curva abre hacia arriba; por otro lado es claro que la gráfica cambia de concavidad en los puntos de inflexión que se pueden localizar en la gráfica. Se concluye entonces que la función es cóncava hacia arriba en los intervalos 1 7 3 4 (−∞, ) ∪ (1, ) e. La función es cóncava hacia abajo en donde el arco de la curva abre hacia abajo, esto es en los intervalos 1 7 3 4 ( ,1) ∪ ( ,∞) f. Los puntos de inflexión son aquellos donde la curva cambia de concavidad y además hay una recta tangente en ese punto. Estos son 1 7 9 3 44 ( ,0), (1,1), ( , ) Ejemplo 2: Análisis de una función polinomial Encuentre los intervalos donde la función dada es creciente, intervalos donde es decreciente, intervalos donde es cóncava hacia arriba, intervalos donde es cóncava hacia abajo, encuentre los máximos y mínimos relativos, los puntos de inflexión y trace la gráfica. f (x) = 3×4 + 4×3 Solución El primer paso es calcular la primera derivada y la segunda derivada. ( ) 3 4 4 3 12 3 12 2 f ′ x = Dx ⎣⎡ x + x ⎦⎤ = x + x ( ) 12 3 12 2 36 2 24 f ′′ x = Dx ⎡⎣ x + x ⎤⎦ = x + x Ahora hay que encontrar los valores críticos, para ello se iguala a cero la primera y la segunda derivada y se resuelven las ecuaciones resultantes. 9 3 2 2 ( ) 0 12 12 0 12 ( 1) 0 f x x x x x ′ = + = + = Igualando a cero cada uno de los factores se tiene 2 2 12 0 0 0 x x x = = = 1 0 1 x x + = = − De donde los números críticos de la primera derivada son x = 0 y x = −1 Al hacer lo mismo para la segunda derivada se tiene 36 2 24 0 12 (3 2) 0 x x x x + = + = Si 12x = 0 entonces, x = 0 si 3x + 2 = 0 entonces 2 3 x = − Con los números críticos de la primera y segunda derivada se construyen los intervalos del dominio de la función, en los cuales hay que realizar el análisis, estos intervalos son ( , 1), ( 1, 2), ( 2 , 0), (0, ) 3 3 −∞ − − − − ∞ Observe que los intervalos se han construido de tal forma que los números críticos están ordenados de menor a mayor en la recta numérica para que ningún intervalo se traslape con otro. Una vez construidos los intervalos se procede a analizar el comportamiento de la función en cada uno de ellos, para ello lo más conveniente es colocar la información en una tabla, como la que se muestra a continuación. Intervalo f (x) f ′(x) f ′′(x) Conclusión * ‐ + Decreciente, cóncava hacia arriba x = −1 −1 0 + Mínimo relativo ( 2 ) 3 −1,− * + + Creciente, cóncava hacia arriba 2 3 x = − 16 27 + 0 Punto de inflexión (−∞, − 1) 10 2 (− 3 , 0) * + ‐ Creciente, cóncava hacia abajo x = 0 0 0 0 Punto de inflexión (0, ∞) * + + Creciente, cóncava hacia arriba Para que quede claro como se completa la tabla se explica paso a paso como se obtienen los resultados de la primera fila, las demás filas se completan de forma similar Se elige arbitrariamente un valor de prueba en el intervalo (−∞, − 1) , esto es cualquier valor que esté dentro del intervalo, se utilizará x = −2 . Este número se evalúa en la primera derivada, el signo del resultado nos indicará si la función es creciente o decreciente en ese intervalo. f ′(−2) = 12(−2)3 + 12(−2)2 = 12(−8) + 12(4) = −96 + 48 = −48 Como la primera derivada es negativa, se anota el signo menos en la columna de la primera derivada y se concluye que la función es decreciente en el intervalo (−∞, − 1) . Ahora se evalúa el mismo valor de prueba en la segunda derivada, para saber si la función es cóncava hacia arriba o hacia abajo f ′′(−2) = 36(−2)2 + 24(−2) = 36(4) − 48 = 144 − 48 = 96 Como la segunda derivada es positiva, se anota el signo más y se concluye que la función es cóncava hacia arriba en el intervalo (−∞, − 1) . Este proceso se repite para cada intervalo hasta completar todos los intervalos. La tabla completa es la mostrada anteriormente. Al terminar de llenar la tabla para los intervalos se procede a analizar lo que ocurre en los números críticos. Se analizará el primer valor crítico x = −1 . Primero se evalúa en la función para obtener el valor de y. f (−1) = 3(−1)4 + 4(−1)3 = 3(1) + 4(−1) = 3 − 4 = −1 El valor obtenido se anota en la tabla ya que corresponde a un punto de la gráfica. Al evaluar x = −1 en la primera derivada se obtiene como resultado 0, lo que nos confirma que x = −1 es un valor crítico. Usando el criterio de la primera derivada se tiene que en el intervalo anterior a x = −1 la función es decreciente y en el intervalo posterior a x = −1 la función es c v E r r f S c P v p i s Ejempl Encuent intervalo puntos d Solució P o creciente, valor mínim En éste cas resultado a resultado p función tien Siguiendo completar l Para dibuj valores crít proceda a intervalos i se muestra lo 3: Anál tre los interv os donde e de inflexión ón Primero se obtenidas concluyend mo es ‐1. so también anterior. C positivo, po ne un mínim el mismo la tabla se p ar la gráfi ticos, estos dibujar la indicados e en la figura lisis de una valos dond es cóncava n y dibuje la e calcula la f ′(x do que en se puede u Como al eva or lo que, l mo relativo procedim procede a d ica comien son (−1,−1 as partes d en la tabla. a es la sigu a función co de la función a hacia arr a representa f (x) a primera y 2 1/ 3 ) ( 2 3 Dx x x = = 11 x = −1 la usar el crite aluar x = − la función o en ese val iento se a dibujar su re ce por dib ( 2 16 3 27 1), − ,− de la curva La represe iente on exponen n dada es c riba o haci ación gráfic ) = x2/ 3 − 2 segunda / 3 1/3 2/3 2 ) 2 3 x x − − = a función ti erio de segu 1 en la se es cóncava or crítico. analizan lo epresentaci bujar los p ) y (0,0) . a que corre ntación grá ntes racion creciente, in a abajo, m ca. 2×1/ 3 derivada, 2 1/ 3 3 1/ 3 2/3 2 2 3 x x x = − − − iene un mí unda deriva gunda deri a hacia arri os otros va ión gráfica. puntos corr Una vez gr esponden áfica de la f nales ntervalos do máximos y simplifican 2 2 / 3 3 x− ínimo relat ada para co ivada se ob iba en x = alores críti respondient raficados lo a cada un función que onde es dec mínimos r ndo las exp tivo; y el oncluir el btiene un −1 y la cos. Al tes a los os puntos no de los eda como creciente, relativos, presiones 12 2 1/ 3 2 2/ 3 4/ 3 5/ 3 3 3 1/ 3 4/3 5/3 5/3 ( ) ( ) 2 4 9 9 2 4 2 4 9 9 9 f x Dx x x x x x x x x ′′ = − − − = − − + − = − + = − + Calculando los valores críticos de la primera y segunda derivada. Recuerde que los valores críticos son aquellos que hacen cero el numerador o bien el denominador. Si f ′(x) = 0 , entonces 1/ 3 2/3 2 2 0 3 x x − = Para que una fracción sea igual a cero, es suficiente que el numerador sea igual a cero, por lo que se obtiene 1/ 3 1/ 3 3 2 2 0 1 (1) 1 x x x − = = = = Por otro lado cuando x = 0 la primera derivada no está definida ya que el denominador es cero. Por lo tanto los valores críticos de la primera derivada son x = 1 y x = 0. Si f ′′(x) = 0 entonces 1/ 3 5/3 1/ 3 1/ 3 3 2 4 0 9 2 4 0 2 (2) 8 x x x x x − + = − + = = = = Como de nuevo, la segunda derivada no está definida cuando x = 0 , los valores críticos de la segunda derivada son x = 8 y x = 0 . La tabla siguiente resume los resultados para cada intervalo. Recuerde que para construir ésta tabla debe tomar un valor de prueba en cada intervalo y evaluarlo en la primera derivada para establecer si la función es creciente o decreciente, luego evaluarlo en la segunda derivada para saber si la función es cóncava hacia arriba o hacia abajo. L t s Interval (−∞,0) x = 0 (0,1) x = 1 (1,8) x = 8 (8,∞) Localizand trazando la siguiente fi lo f (x) ) 0 −1 0 o primero a curva in igura f ′(x) f ′ − ∃/ ∃ − + 0 + + + + + los punto ntervalo po 13 ′′(x) Conc − Decre ∃/ Punto Decre Mínim Creci 0 Creci − Creci os correspo or intervalo clusión eciente, cón o de inflexi eciente, cón mo local, có iente, cónca iente, punto iente cóncav ondientes a o, se obtien ncava hacia ión ncava hacia óncava haci ava hacia ar o de inflexi va hacia ab los valor ne la gráfi a abajo a arriba ia arriba rriba ón bajo res críticos ica mostra y luego da en la 14 e. Sugerencias para el estudiante Para dibujar la gráfica de una función y = f (x) utilizando los criterios de primera y segunda derivada, siga el procedimiento siguiente: 1. Calcule la primera derivada y la segunda derivada. 2. Calcule los valores críticos de la primera derivada, resolviendo la ecuación f ′(x) = 0 , y encontrando los valores para los cuales la primera derivada no existe. 3. Calcule los valores críticos de la segunda derivada, resolviendo la ecuación f ′′(x) = 0 y encontrando los valores para los cuales la segunda derivada no existe. 4. A partir de los números críticos de la primera y segunda derivada, construya los intervalos correspondientes. Construya una tabla para hacer el análisis. 5. Para cada intervalo determine si la función es creciente o decreciente evaluando un número del intervalo en la primera derivada. Determine si la función es cóncava hacia arriba o hacia abajo evaluando el mismo valor en la segunda derivada. 6. Con el análisis de los intervalos anterior y posterior a cada número crítico, determine si en el valor crítico hay un máximo relativo, un mínimo relativo, o un punto de inflexión. Utilice para ello los criterios de primera derivada, segunda derivada y el del punto de inflexión. 7. Para dibujar la gráfica primero localice los puntos correspondientes a máximos, mínimos y puntos de inflexión, luego dibuje los arcos de curva correspondientes a cada intervalo según los resultados contenidos en la tabla construida anteriormente.