NUMEROS ENTEROS Y PROPORCIONES EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICA 7–SEPTIMO AÑO PDF

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• Sumar y restar número enteros.
• Identificar y escribir proporciones.
• Resolver proporciones.
, Enteros.
, Cómo sumar enteros.
, Cómo restar enteros.
, Cómo identificar y escribir
proporciones.
,Cómo resolver proporciones.
Relaciones
proporcionales
• Emplear procedimientos para identificar magnitudes
que varían en forma proporcional.
• Interpretar una proporción como una igualdad entre
dos razones cuando las magnitudes involucradas
varían en forma proporcional.
• Utilizar proporciones para representar situaciones de
variación proporcional.
• Resolver problemas en contextos variados en los que
se utilizan proporciones.
En el mundo real
• Interpretar y comunicar información que utilizan los
números enteros.
• Reconocer que en el conjunto de los números enteros
es posible resolver problemas que no tienen solución
en los números naturales.
• Representar números enteros en la recta numérica
y determinar las relaciones de orden entre ellos.
• Interpretar las operaciones de adición y sustracción en
el ámbito de los números enteros.
• Determinar procedimientos para calcular adiciones y
sustracciones con números enteros.
• Resolver problemas en contextos variados en los que se
utilizan adiciones y sustracciones con números enteros.
Los enteros suelen usarse para cuantificar la
temperatura. En muchas partes del mundo, las
temperaturas invernales se registran con enteros
negativos, lo que significa que son temperaturas
inferiores a 0 ºC. Si tomamos un termómetro
ambiental podemos ver que en él se pueden
registrar temperaturas por encima y por debajo de
0 ºC. Las temperaturas por debajo de 0 ºC están
precedidas de un signo negativo (–).
¿Estás listo?
Vocabulario
Elige el término de la lista que complete mejor cada
enunciado.
1. Para un número en una recta numérica, marca
y rotula el punto que corresponde al número.
2. La expresión 1 < 3 < 5 indica el/la de estos tres números en una recta numérica. 3. Los(las) permiten comparar números. 4. Cada número en el conjunto 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... es un(a) . 5. Para una ecuación, halla un valor que la haga verdadera. número natural expresión representar gráficamente resolver orden signos >, < = Resuelve los ejercicios para practicar las destrezas que usarás en este capítulo. Orden de las operaciones Calcula. 6. 7 + 9 – 5 · 2 7. 12 · 3 – 4 · 5 8. 115 – 15 · 3 + 9(8 – 2) 9. 20 · 5 · 2 (7 + 1) : 4 10. 300 + 6 (5 – 3) – 11 11. 14 – 13 + 9 · 2 Hallar múltiplos Halla los primeros cinco múltiplos de cada número. 12. 2 13. 9 14. 15 15. 1 16. 101 17. 54 18. 326 19. 1 024 Hallar factores Anota todos los factores de cada número. 20. 8 21. 22 22. 36 23. 50 24. 108 25. 84 26. 256 27. 630 Usar operaciones inversas para resolver ecuaciones Resuelve. 28. n + 3 = 10 29. x – 4 = 16 30. 9p = 63 31. s/5 = 80 32. x – 3 =14 33. q3 = 21 34. 9 + r = 91 35. 15p = 45 De dónde vienes En este capítulo Antes • Comparaste y ordenaste fracciones positivas. • Generaste formas equivalentes de números racionales que contenían números naturales, fracciones y decimales. • Usaste enteros positivos para representar situaciones del mundo real. Estudiarás • Cómo comparar y ordenar enteros y números racionales. • Cómo usar representaciones pictóricas para sumar y restar números enteros. • Cómo identificar y describir proporciones y razones equivalentes. • Cómo resolver proporciones. A dónde vas Puedes usar las destrezas aprendidas en este capítulo • Para expresar números negativos relacionados con campos de la ciencia, como la biología marina o la meteorología. • Para encontrar medidas equivalentes. Vocabulario Conexiones de vocabulario Considera lo siguiente para familiarizarte con algunos de los términos del vocabulario del capítulo. Puedes consultar el capítulo, el glosario o un diccionario si lo deseas. 1. La palabra inverso aditivo significa “que es opuesto o contrario en el orden, la dirección o el sentido”. ¿Cómo usarías esta definición para explicar que es el inverso aditivo de un número? 2. Considerando que algo absoluto es algo definitivo. ¿A qué crees que apunta el concepto de valor absoluto? 3. Cuando hablemos de razones, veremos el concepto de producto cruzado. ¿A qué crees que se puede referir este concepto? opuesto inverso aditivo entero valor absoluto diferencia razones equivalentes proporción proporcionalidad directa proporcionalidad inversa producto cruzado mínima expresión numerador denominador inverso multiplicativo m.c.d. Guía de estudio: Vistazo previo C A P Í T U L O 1 Vistazo previo Leer y escribir matemáticas C A P Í T U L O 1 Inténtalo Estrategia de lectura: Cómo usar tu libro Comprender cómo está organizado tu libro de texto te ayudará a encontrar y usar información útil. Al leer los problemas de ejemplo, presta atención a las notas al margen, como Pista útil, Leer matemáticas, ¡Recuerda! y ¡Atención! Estas notas te ayudarán a comprender conceptos y a evitar errores comunes. El glosario se encuentra al final de tu libro de texto. Úsalo para buscar definiciones y ejemplos de palabras o propiedades nuevas. El índice temático está al final de tu libro de texto. Úsalo para buscar la página en la que se enseña un concepto en particular. Usa tu libro de texto para resolver los siguientes problemas 1. Usa el índice para hallar en qué página se define número entero. 2. En la lección 1-2, ¿qué definición aparece para el término opuesto o inverso aditivo? 3. Usa el glosario para hallar la definición de los siguientes términos: entero negativo y factor. 4. ¿Dónde puedes repasar notación científica en tu texto de Matemática 7°? ¡Atención! El coeficiente de una variable, como y, cuando aparece sola, es de 1. Por lo Pista útil Usa diferentes figuras o colores para indicar conjuntos de ¡Recuerda! El símbolo < significa “menor que” y el símbolo > significa
“mayor que”.
Leer matemáticas
El símbolo | | quiere
decir “el valor
absoluto de”. Por
ejemplo, |—3|
El opuesto, o inverso aditivo,
de un número está a la misma
distancia del 0 en una recta
numérica que el número original,
pero del otro lado del 0. El cero
es su propio opuesto.
Los enteros son el conjunto de los números naturales, sus opuestos y el cero. Con
los enteros, puedes expresar altitudes sobre, bajo y al nivel del mar. El nivel del
mar tiene una profundidad de 0 m. El récord de inmersión de Sylvia Earle fue a una
profundidad de 381 m.
Aprender a comparar y
ordenar enteros y a determinar
el valor absoluto de un número.
Vocabulario
opuesto
inverso aditivo
entero
valor absoluto
EJEMPLO
EJEMPLO
2
1
Comparar enteros usando una recta numérica
Compara los enteros. Usa < o >.
Representar enteros y sus inversos aditivos (opuestos) en una recta
numérica
Representa el entero –3 y su opuesto en una recta numérica.
2 está más a la derecha que –2, por lo tanto 2 > –2.
El opuesto de –3 es 3.
A 2 – 2
1–1 Enteros
C A P Í T U L O
¡Recuerda!
El símbolo < significa “menor que” y el símbolo > significa
“mayor que”.
¡Recuerda!
Los números
naturales están a la
derecha del cero en
una recta numérica:
1, 2, 3,…
El 0 no es ni positivo
ni negativo.
La Dra. Sylvia Earle tiene el récord mundial
de inmersión solitaria.
Puedes comparar y ordenar enteros representándolos en una recta numérica. Los
enteros aumentan su valor a medida que te mueves hacia la derecha en una recta
numérica. Disminuyen de valor cuando te mueves hacia la izquierda.
4 3 2 1 0 1 2 3 4
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
3 unidades 3 unidades
4 3
4
4 y 4 son opuestos.
El 0 no es positivo ni negativo.
Enteros negativos Enteros positivos
5 2 1 0 1 2 3 4
4
5
4 3 2 1 0 1 2 3 4
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
3 unidades 3 unidades
4 3
4
4 y 4 son opuestos.
El 0 no es positivo ni negativo.
Enteros negativos Enteros positivos
5 2 1 0 1 2 3 4
4
5
4 3 2 1 0 1 2 3 4
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
3 unidades 3 unidades
4 3
4
4 y 4 son opuestos.
El 0 no es positivo ni negativo.
Enteros negativos Enteros positivos
5 2 1 0 1 2 3 4
4
5
EJEMPLO
EJEMPLO
3
4
Razonar y comentar
Ordenar enteros usando una recta numérica
Usa una recta numérica para ordenar los enteros –2, 5, –4, 1, –1 y 0
del menor al mayor.
2 1 0 1
7 unidades
2 3 4 5 6 7 8
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4
4 unidades
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Representa los enteros en una recta numérica. Luego léelos de izquierda
a derecha.
Hallar el valor absoluto
Usa una recta numérica para hallar cada valor absoluto.
Los números ordenados del menor al mayor son –4, –2, –1, 0, 1, y 5.
1. Indica qué número es mayor: –4 500 o –10 000.
2. Da un ejemplo de un número entero negativo y un número entero
positivo. Ubícalos en una recta numérica y luego compara sus
valores absolutos.
–10 está más a la izquierda que –7, por lo tanto —10 < –7. 7 está a 7 unidades del 0, por lo tanto | 7 | = 7. –4 está a 4 unidades del 0, por lo tanto | –4 | = 4. B A B –10 – 7 | 7 | | –4 | Leer matemáticas El símbolo | | quiere decir “el valor absoluto de”. Por ejemplo, |—3| se lee “el valor absoluto de —3”. El valor absoluto de un número es la distancia a la que está de 0 en una recta numérica. Como la distancia nunca puede ser negativa, los valores absolutos nunca son valores negativos. Siempre son positivos o cero. 2 1 0 1 7 unidades 2 3 4 5 6 7 8 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 4 unidades 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 2 1 0 1 7 unidades 2 3 4 5 6 7 8 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 4 unidades 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 2 1 0 1 7 unidades 2 3 4 5 6 7 8 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 4 unidades 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Ejercicios 1 1 2 2 3 3 4 4 Representa cada entero y su opuesto en una recta numérica en tu cuaderno. 16. –4 17. 10 18. –12 19. 7 Representa cada entero y su opuesto en una recta numérica en tu cuaderno. 1. 2 2. –9 3. –1 4. 6 Compara los enteros. Usa < o >.
20. –14 –7 21. 9 –9 22. –12 12 23. –31 –27
Compara los enteros. Usa < o >.
5. 5 –5 6. –9 –18 7. –21 –17 8. –12 12
Usa una recta numérica para ordenar los enteros del menor al mayor.
24. –3, 2, –5, –6, 5 25. –7, –9, –2, 0, –5 26. 3, –6, 9, –1, –2
Usa una recta numérica para ordenar los enteros del menor al mayor.
9. 6, –3, –1, –5, 4 10. 8, –2, 7, 1, –8 11. –6, –4, 3, 0, 1
Usa una recta numérica para hallar cada valor absoluto.
27. | —16 | 28. | 12 | 29. | –20 | 30. | 15 |
Usa una recta numérica para hallar cada valor absoluto.
12. | —2 | 13. | 8 | 14. | –7 | 15. | –10 |
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
1–1
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Compara. Escribe <, > o =.
31. –25 25 32. 18 –55 33. |–21 | 21 34. –9 –27
35. 34 |34| 36. 64 | –75 | 37. | —3 | | 3 | 38. –100 –82
39. En la tabla se muestran las temperaturas promedio en una base de Antártica de marzo a
octubre. Ordena los meses del más frío al más cálido.
Mes Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct
Temperatura (ºC) –57 –64 –65 –64,5 –66 –67 –65,5 –56,5
40. ¿Cuál es el opuesto de | 32 | ? 41. ¿Cuál es el opuesto de | –29 | ?
42. Una empresa informó una pérdida neta de $ 2 000 000 durante su primer año de
actividad. En su segundo año, informó una ganancia de $ 5 000 000. Escribe cada
cantidad como un entero.
49. ¿Qué lista muestra los enteros en orden del menor al mayor?
A –5, –6, –7, 2, 3 B 2, 3, –5, –6, –7 C –7, –6, –5, 2, 3 D 3, 2, –7, –6, –5
50. En la tabla se muestran las temperaturas promedio en la
Cordillera de los Andes durante varios meses. ¿Qué mes
tuvo la temperatura promedio más baja?
A enero B marzo C mayo D julio
Usa la propiedad distributiva de la multiplicación respecto
a la adición para resolver los siguientes ejercicios:
51. 3 (56 + 8) 52. (9 +18) 10 53. 5 (109 + 37) 54. 10 (33 + 81)
Usa la recta numérica para ordenar los siguientes números enteros:
55. 5, 10, 1, 3 56. 3, 5, 7, -6, 2, 1 57. -3, -10, 5, -9 58. 1, -1, 8, -8
?
Deportes
El vóleibol de playa
es un deporte de
arena que cada vez
se hace más famoso
en Chile.
Básquetbol
Tenis
Vóleibol de playa
Atletismo
Natación
–10 0 10 20 30 40
Porcentaje de cambio
Fútbol
Deportes recreativos populares
En 1999 y 2000, la participación en
algunos deportes disminuyó porque
los jóvenes se inclinaron por otras
actividades.
43. Razonamiento crítico Da un ejemplo en el que un número negativo tenga un
valor absoluto mayor que un número positivo.
44. Geografía Las líneas de latitud son líneas imaginarias que rodean la Tierra
en dirección Norte-Sur. Miden las distancias al norte y al sur del Ecuador. El
Ecuador representa la latitud 0º.
a. ¿Qué latitud es opuesta a los 30° de latitud norte?
b. ¿En qué se diferencian las distancias de estas latitudes desde el Ecuador?
47. Escríbelo Explica cómo se comparan dos enteros.
48. Desafío ¿Qué valores tiene x si | x | = 11?
45. Deportes En la gráfica se muestra
cómo cambió la participación en
varios deportes entre 1999 y 2000
de la gente joven.
a. ¿Aproximadamente en qué
porcentaje aumentó o disminuyó la
participación en atletismo?
b. ¿Aproximadamente en qué
porcentaje aumentó o disminuyó la
participación en básquetbol?
46. ¿Dónde está el error? A las 9:00
a.m., la temperatura exterior era
–8 ºC y al mediodía la temperatura
era –12 ºC. Un presentador
informó que la temperatura estaba
aumentando. ¿Por qué es esto
incorrecto?
Temperaturas mensuales
Enero 35 ºC
Marzo 20 ºC
Mayo –13 ºC
Julio –18 ºC
Repaso
Los integrantes de un curso de
séptimo básico de un colegio
querían reunir dinero para
hacer un viaje al final del curso
escolar. Empezaron por estimar
sus ingresos y gastos.
Los ingresos son positivos y
los gastos, negativos. Al sumar
todos tus ingresos y gastos,
puedes hallar tus ganancias o
pérdidas totales.
Una manera de sumar enteros
es usar una recta numérica.
También puedes usar el valor absoluto para sumar enteros.
Cómo sumar enteros
Para sumar dos enteros con el mismo signo, halla la suma de sus valores
absolutos. Usa el signo de los dos enteros.
Para sumar dos enteros con diferente signo, halla la diferencia de sus valores
absolutos. Usa el signo del entero que tenga el mayor valor absoluto.
Aprender a sumar
enteros
EJEMPLO 1 Sumar enteros usando la recta numérica
A
B
–3 + (–6)
4 + (–7)
–3 + (–6) = –9
4 + (–7) = –3
Empieza en 0. Muévete hacia
la izquierda 3 unidades. Luego,
muévete hacia a la izquierda 6
unidades más.
Empieza en 0. Muévete hacia
la derecha 4 unidades. Luego,
muévete hacia la izquierda 7
unidades.
1–2 Cómo sumar enteros
C A P Í T U L O
Inverso aditivo y neutro en la suma de números enteros
EJEMPLO
EJEMPLO
EJEMPLO
2
3
4
Razonar y comentar
Sumar enteros usando valores absolutos
Halla cada suma. Puedes usar fichas de colores: cada ficha amarilla
representa +1 y cada ficha roja representa -1.
Evaluar expresiones con enteros
Evalúa a + b para a = 6 y b = –6.
a + b Sustituye a por 6 y b por –6.
6 + (–6) Los signos son diferentes. pero el valor absoluto es el mismo.
Razona: +6 – 6 = 0 6 es el inverso aditivo de –6.
0 Usa el signo del entero que tenga el mayor
valor absoluto (negativo).
El ingreso de clientes a una empresa de lavado de automóviles fue
de 300 autos, y 25 reclamaron por el servicio. Usa la suma de enteros para
encontrar la cantidad de clientes conformes.
300 + (–25) Usa el signo negativo para el número de reclamos.
300 – 25 Encuentra la diferencia de los valores absolutos.
275 El resultado es positivo.
La empresa tuvo 275 clientes conformes.
1. Explica si –7 + 2 es lo mismo que 7+ (–2).
2. Usa la propiedad conmutativa para escribir una expresión equivalente a 3 + (–5).
A
B
–7 + (–4)
Los signos son los mismos. Halla la suma
de los valores absolutos.
–7 + (–4) Razona: 7 + 4 = 11.
–11 Usa el signo de los
dos enteros.
–8 + 6
Los signos son diferentes. Halla la diferencia de los valores absolutos.
–8 + 6 Razona: 8 — 6 = 2.
–2 Usa el signo del entero
con el mayor valor
absoluto.
Cuando se suman dos números con diferentes signos e igual valor absoluto, el
resultado es 0 y se considera que uno es el inverso aditivo del otro.
Cuando a cualquier número entero se suma 0 el resultado es el propio número
entero. 0 es el neutro en la suma de números enteros.
Ejercicios
1
1
4
2
2
3
4
3
Usa una recta numérica para hallar cada suma.
1. 9 + 3 2. –4 + (–2) 3. 7+ (–9) 4. –3 + 6
Usa una recta numérica para hallar cada suma.
13. –16 + 7 14. –5 + (–1) 15. 4 + 9 16. –7 + 8
17. 10+ (–3) 18. –20 + 2 19. –12 + (–5) 20. –9 + 6
32. La temperatura descendió 9 ºC en 6 horas. La temperatura final fue –2 ºC. ¿Cuál fue la
temperatura inicial?
Halla cada suma.
5. 7 + 8 6. –1 + (–12) 7. –25 + 10 8. 31 + (–20)
Halla cada suma.
21. –13 + (–6) 22. 14 + 25 23. –22 + 6 24. 35 + (–50)
25. –81 + (–7) 26. 28 + (–3) 27. –70 + 15 28. –18 + (–62)
Evalúa a + b para los valores dados.
9. a = 5, b = –17 10. a = 8, b = –8 11. a = –4, b = –16
12. Un equipo de atletas avanza 8 minutos en una carrera y luego pierde 13 minutos en la
siguiente. Usa la suma de enteros para hallar la cantidad total de minutos que hizo el
equipo.
Evalúa c + d para los valores dados.
29. c = 6 ; d = –20 30. c = –8; d = –21 31. c = –45; d = 32
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
1–2
Suma.
33. –8 + (–5) 34. 14 + (–7) 35. –41 + 15
36. –22 + (–18) +22 37. 27 + (–29) + 16 38. –30 + 71 + (–70)
Compara. Escribe <, > o =.
39. –23 + 18 –41 40. 59 + (–59) 0 41. 31 + (–20) 9
42. –24+ (–24) 48 43. 25 + (–70) –95 44. 16 + (–40) –24
45. Carlos hizo depósitos de $ 4 500, $1 800 y $ 2 700 en su cuenta corriente. Luego, hizo
cheques por $ 2 100 y $ 9 300. Escribe una expresión que muestre el cambio en la
cuenta de Carlos. Luego reduce la expresión.
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Evalúa cada expresión para w = —12, x = 10 e, y = —7
46. 7 + y 47. –4 + w 48. w + y 49. x + y 50. w + x
51. Recreación Unos excursionistas que iban por el Camino del Inca acamparon por
la noche en la base 1, a una altura de 945 metros sobre el nivel del mar. Luego,
caminaron a través del sendero hasta la base 3, que se encuentra en uno de los
lugares más altos del camino. Usa el diagrama para determinar la altura de la base 3.
Ruta de los
excursionistas
Base 3
+780 –140 +60 –380 +730
Base
1
Ascensos y descensos (en metros)
El camino del Inca
52. Varios pasos Héctor y Luis están jugando. En el juego, cada jugador empieza con
0 puntos y gana el que tenga más puntos al final. Héctor gana 5 puntos, pierde
3, pierde 2 y luego gana 3. Luis pierde 5 puntos, gana 1, gana 5 y luego pierde
3. Determina los puntajes finales haciendo un modelo del problema en una recta
numérica. Indica quién gana el juego y por cuánto.
53. ¿Cuál es la pregunta? La temperatura fue –8 °C a las 6 a.m. y aumentó 15 °C
para las 9 a.m. La respuesta es 7 °C. ¿Cuál es la pregunta?
54. Escríbelo Compara el método para sumar enteros con el mismo signo y el
método para sumar enteros con signos diferentes.
55. Desafío Una empresa tuvo pérdidas por $ 225 millones, $ 75 millones y $ 375
millones, y ganancias por $ 15 millones y $ 125 millones. Si las ganancias son
positivas y las pérdidas negativas, ¿cuál fue la ganancia o la pérdida total?
56. ¿Qué expresión representa el modelo?
A –4+ (–1) B –4 + 0 C –4 + 3 D –4 + 4
57. ¿Qué expresión tiene el mayor valor?
A –4 + 8 B –2 + (–3) C 1 + 2 D 4 + (–6)
Resuelve
58. 2 + 5 · 2 – 3 59. 33 – (6 · 4) + 1 60. 30 – 5 · (3 + 2) 61. 15 – 3 – 22 + 1
Compara. Escribe <, > o =.
62. –14 –12 63. | –4 | 3 64. | –6 | 6 65. –9 –11
?
Recreación
El Camino del Inca
se encuentra en
Perú, y une la ciudad
de El Cuzco con
Machu Picchu. Es
solo una parte de la
red vial incaica, que
incluso llega al Norte
de Chile.
Repaso
+3
|–4|
–5 –4 –3 –2 –1 0
EJEMPLO 1
Durante el vuelo, un transbordador
espacial puede estar expuesto a
temperaturas tan bajas como –157 °C y
tan altas como 1 685 °C.
Para hallar la diferencia entre estas
temperaturas, debes saber cómo restar
enteros con signos diferentes.
Puedes hacer una representación de la
diferencia entre dos enteros usando una
recta numérica. Cuando restas un número
positivo, la diferencia es menor que el
número original, por lo tanto, debes
moverte hacia la izquierda. Para restar
un número negativo, muévete hacia la
derecha.
Restar enteros usando la recta numérica
Aprender a restar
enteros.
A
B
C
3 – 8
–4 – 2
2 – (–3)
3 – 8 = 5
–4 – 2 = –6
2 – (–3) = 5
1–3 Cómo restar
enteros
C A P Í T U L O
Pista útil
Si el número que
se está restando
es menor que el
número del que se
resta, el resultado
será positivo. Si el
número que se está
restando es mayor,
el resultado será
negativo.
La suma y la resta son operaciones inversas; se “cancelan” una a la otra. En lugar de
restar un número, puedes sumar su inverso aditivo.
Empieza en 0. Muévete 3
unidades hacia la derecha.
Para restar 8, muévete
hacia la izquierda.
Empieza en 0. Muévete
4 unidades hacia la
izquierda. Para restar 2,
muévete hacia la izquierda.
Empieza en 0. Muévete 2
unidades hacia la derecha.
Para restar –3, muévete
hacia la derecha.
Vocabulario
diferencia
EJEMPLO
EJEMPLO
EJEMPLO 2
3
4
Razonar y comentar
Restar enteros sumando el inverso aditivo
Halla cada diferencia.
Evaluar expresiones con enteros
Calcula a – b para cada grupo de valores.
Aplicación a la temperatura
Halla la diferencia entre 1 685 °C y –157 °C, que son las temperaturas
extremas que debe soportar el transbordador espacial.
1 685 – (–157)
1 685 + 157 = 1 842 Suma el inverso aditivo de –157.
La diferencia en las temperaturas que debe soportar el transbordador es
1 842 °C.
1. Supongamos que restas un entero negativo de otro. ¿El resultado
será mayor o menor que el número con que empezaste?
2. Indica si puedes invertir el orden de los enteros al restar y aun así
obtener el mismo resultado. ¿Por qué?
A
A
B
B
C
5 – 9
5 – 9 = 5 + (–9) Suma el inverso aditivo de 9.
= –4
a = –6; b = 7
a – b
–6 – 7 = –6 + (–7) Sustituye a y b.
= –13 Suma el inverso aditivo de 7.
a = 14; b = –9
a – b
14 – (–9) = 14 + 9 Sustituye a y b.
= 23 Suma el inverso aditivo de –9.
–9 – (–2)
–9 – (–2) = –9 + 2 Suma el inverso aditivo de –2.
= 7
–4 – 3
–4 – 3 = –4 + (–3) Suma el inverso aditivo de 3.
= –7
Ejercicios
1
1
2
3
4
3
4
2
Usa una recta numérica para encontrar cada diferencia.
1. 4 – 7 2. –6 – 5 3. 2 – (–4) 4. –8 – (–2)
Usa una recta numérica para encontrar cada diferencia.
13. 7 – 12 14. –5 – (–9) 15. 2 – (–6) 16. 7 – (–8)
17. 9 – (–3) 18. –4 – 10 19. 8 – (–8) 20. –3 – (–3)
Encuentra cada diferencia.
5. 6 – 10 6. –3 – (–8) 7. –1–9 8. –12 – (–2)
Calcula a – b para cada conjunto de valores.
9. a = 5, b = –3 10. a = –10, b = –10 11. a = –8, b = –7
12. En 1980, en un lugar de Chile, la temperatura subió de –10 °C a 18 °C en siete minutos.
¿Cuánto aumentó la temperatura?
Evalúa a — b para cada grupo de valores.
29. a = 9, b = –7 30. a = –11, b = 2 31. a = –2, b = 3
32. a = 8, b = 19 33. a = –10, b = 10 34. a = –4, b = –15
35. En una ciudad del centro de Chile, la temperatura subió de –4 °C a 28 °C en 12 horas.
¿Cuánto aumentó la temperatura?
Resta.
21. –22 – (–5) 22. –4 – 21 23 27 – 19 24. –10 – (–7)
25. 30 – (–20) 26. –15 – 15 27. 12 – (–6) 28. –31 – 15
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
1–3
Calcula.
36. 2 – 8 37. –5 – 9 38. 15 – 12 – 8
39. 6 + (–5) – 3 40. 1 – 8 + (–6) 41. 4– (–7) –9
42. (2 – 3) – (5 – 6) 43. 5 – (–8) – (–3) 44. 10 – 12 + 2
Evalúa cada expresión para m = –5, n = 8 y p = –14.
45. m – n + p 46. n – m – p 47. p – m – n 48. m + n – p
49. Patrones Halla los tres números que siguen en el patrón 7, 3, –1, –5, –9,… Luego
describe el patrón.
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
56. ¿Qué expresión NO tiene un valor de –3?
A –2 – 1 B 10 – 13 C 5 – (–8) D –4 — (—1)
57. Si m = –2 y n = 4, ¿qué expresión tiene el menor valor absoluto:
m + n, n — m o m — n? Explica tu respuesta.
Evalúa cada expresión para los valores dados de las variables.
58. 3x – 5 para x = 2 59. 2n + n para n = 1 60. 4y2 – 3y para y = 2
61. 4a + 7 para a = 3 62. x2 + 9 para x = 1 63. 5z + z2 para z = 3
64. En tres partidos, un equipo de fútbol hizo 10 goles, recibió 22 goles y luego hizo 15 goles
más. Usa la suma de enteros para hallar la cantidad total de goles que hizo el equipo en los
tres partidos.
con la Astronomía
50. La temperatura de Mercurio puede alcanzar un
máximo de 873 °C. La temperatura de Plutón es de
aproximadamente –393 °C. ¿Cuál es la diferencia
entre estas temperaturas?
51. Un lado de Mercurio siempre da al Sol. La temperatura
de este lado puede alcanzar los 467 °C. La temperatura
del otro lado puede llegar a un mínimo de –218 °C.
¿Cuál es la diferencia entre las dos temperaturas?
Las temperaturas del Sol van de 5 500 ºC en
la superficie a más de 15 millones de grados
Celsius en el núcleo.
52. El lado de la Luna que da al Sol en un determinado
momento puede alcanzar temperaturas tan altas
como 107 °C. El lado opuesto al Sol puede alcanzar
temperaturas tan bajas como –188 °C. ¿Cuál es la
diferencia entre estas temperaturas?
53. La temperatura más elevada registrada en la Tierra es
58 °C. La más baja es –89 °C. ¿Cuál es la diferencia
entre estas temperaturas?
Consulta la gráfica para resolver los ejercicios 54 y 55.
54. ¿Cuánto más profundo es el cañón más profundo de
Marte que el cañón más profundo de Venus?
55. Desafío ¿Cuál es la diferencia entre la montaña más
alta de la Tierra y su cañón marítimo más profundo?
¿Cuál es la diferencia entre la montaña más alta de
Marte y su cañón más profundo? ¿Qué diferencia es
mayor? ¿Por cuánto?
Puntos más altos y más bajos
en Venus, la Tierra y Marte
Venus Tierra Marte
Puntos
más bajos
Puntos
16 000 más altos
18 000
20 000
22 000
14 000
12 000
10 000
8 000
6 000
4 000
2 000
0
2 000
4 000
6 000
8 000
10 000
12 000
2 895
11 033
7 925
10 668
8 850
21 336
Profundidad (m)
Puntos más altos y más bajos
en Venus, la Tierra y Marte
Venus Tierra Marte
Puntos
más bajos
Puntos
16 000 más altos
18 000
20 000
22 000
14 000
12 000
10 000
8 000
6 000
4 000
2 000
0
2 000
4 000
6 000
8 000
10 000
12 000
2 895
11 033
7 925
10 668
8 850
21 336
Profundidad (m)
Repaso
1 ¿Listo para seguir?
Prueba de las lecciones 1–1 a 1–3
1–1 Enteros
Compara los enteros. Usa < o > .
1. 5 –8 2. –2 –6 3. –4 3
4. Usa una recta numérica para ordenar los enteros —7, 3, 6, —1, 0, 5, —4 y 7 del menor al mayor.
Usa una recta numérica para hallar cada valor absoluto.
5. |–23| 6. |17| 7. |–10|
8. En una fábrica de helados se midió la temperatura de la cámara de frío en 4 momentos del día.
A las 09:00 habían –12 °C; a las 12:00, habían –16 °C; a las 16:00, habían –9 °C y a las 18:00
habían –15 °C. Ordena las temperaturas de la menor a la mayor.
1–2 Cómo sumar enteros
Halla cada suma.
9. –6 + 3 10. 5 + (–9) 11. –7 + (–11)
Evalúa p + t para los valores dados.
12. p = 5; t = –18 13. p = –4; t = –13 14. p = –37; t = 39
15. Un recepcionista registró la cantidad de personas que entraban y salían de un edificio en dos
horas. Contó 59 personas que entraron y 26 que salieron. Sin contarlo a él, que estaba fuera, y
considerando que al inicio del conteo no había nadie en el edificio, ¿cuántas personas quedan
en el edificio, al final del registro?
1–3 Cómo restar enteros
Resta.
16. –21 – (–7) 17. 9 – (–11) 18. 6 – 17
19. Una persona va desde una mina a 240 metros de profundidad, hasta un cerro que tiene 673
metros sobre el nivel del mar. ¿Cuántos metros subió la persona en total?
20. Un buzo de la VIII región acostumbra a sumergirse en el mar para encontrar algunos erizos
y moluscos. En la primera inmersión bajó 7 metros, y en la segunda inmersión bajó 4 metros
más. Si después subió a un barco que tiene una cubierta que está a 8 metros sobre el nivel del
mar, ¿cuál es la distancia en metros entre el lugar más profundo que estuvo y la cubierta del
barco?
C A P Í T U L O
¿Listo para seguir?
Haz un plan
• Elige un método de cálculo
Cuando sabes qué operación debes usar y sabes exactamente qué
números usar, una calculadora podría ser la forma más sencilla
de resolver un problema. A veces, como cuando los números son
pequeños o son múltiplos de 10, puede ser más rápido usar el
cálculo mental.
A veces, tienes que escribir los números para ver cómo se
relacionan en una ecuación. Cuando resuelves una ecuación, usar
papel y lápiz es el método más sencillo porque puedes ver cada
paso a medida que avanzas.
Un grupo de niñas scout junta latas de
aluminio para recaudar fondos para una obra
de beneficencia. Su meta es juntar 3 000
latas en 6 meses. Si se proponen juntar una
cantidad igual de latas cada mes, ¿cuántas
latas esperan juntar cada mes?
La mina de Chuquicamata tiene
aproximadamente 3 500 metros de
ancho. Un edificio de tres pisos, mide
aproximadamente 7,5 metros de ancho.
¿Cuántos edificios de 3 pisos, puestos
horizontalmente uno al lado del otro, cabrían
en el espacio más ancho de la mina de
Chuquicamata?
En el teclado del piano, todas las teclas
negras, menos una, están dispuestas en
grupos de modo que hay 7 grupos de 2
teclas negras cada uno y 7 grupos de 3
teclas negras cada uno. ¿Cuántas teclas
negras tiene un piano?
Algunos carillones como el de la foto están
formados por varillas. Las varillas tienen
diferentes longitudes y producen diferentes
sonidos. La frecuencia (que determina el
tono) del sonido se mide en hertz (Hz). Si una
varilla de un carillón tiene una frecuencia
de 55 Hz y otra varilla tiene una frecuencia
dos veces mayor que la primera, ¿cuál es la
frecuencia de la segunda varilla?
1
2
3
4
Haz un
plan
Para cada problema, indica si usarías una calculadora, el cálculo mental o papel y lápiz
para resolverlo. Explica tu respuesta. Luego resuelve los problemas.
Enfoque en resolución de problemas
Estas razones pueden escribirse como 6
4 y 21
14 . Como ambas razones
se simplifican a 3
2 , son equivalentes. Las razones equivalentes son
razones que identifican la misma comparación.
Una igualdad con la que se indica que dos razones son equivalentes se
llama proporción. En la proporción siguiente se indica que las razones
6
4 y 21
14 son equivalentes.
Aprender a hallar
razones equivalentes y a
identificar proporciones.
Vocabulario
razones equivalentes
proporción
proporcionalidad directa
proporcionalidad inversa
EJEMPLO 1 Comparar razones en su mínima expresión
Determina si las razones son proporcionales.
A
B
2
7
, 6
21
2
7 2
7 ya está en su mínima expresión.
6
21 = 6 : 3
21 : 3 = 2
7 Simplifica 6
21
Como 2
7 = 2
7 , las razones son proporcionales.
8
24
, 6
20
8
24 = 8 : 8
24 : 8 = 1
3 Simplifica 8
24
6
20 = 6 : 2
20 : 2 = 3
10 Simplifica 6
20
Como 1
3 ≠ 3
10, las razones no son proporcionales.
1–4 Cómo identificar y escribir
proporciones
C A P Í T U L O
Leer matemáticas
La proporción
6
4 = 21
14
se lee de la siguiente
manera: “seis es a
cuatro como veintiuno
es a catorce”.
6
4 = 21
14
Si dos razones son equivalentes, se dice que son proporcionales una
respecto de otra o que están en proporción.
Si al aumentar una razón, la otra también lo hace, hablamos de
proporcionalidad directa. Por el contrario, si al aumentar una razón,
la otra disminuye, hablamos de proporcionalidad inversa.
Los estudiantes de la clase de matemáticas se miden el ancho a y la
longitud l de la cara. La razón de l a a es de 6 cm a 4 cm en el caso de
Leonor y de 21 cm a 14 cm en el caso de Patricio.
EJEMPLO
EJEMPLO
2
3
Razonar y comentar
Comparar razones mediante un denominador común
Usa los datos de la tabla
para determinar si las
razones de avena a agua son
proporcionales en las dos
porciones de avena.
Escribe las razones de avena a agua para 8 y 12 porciones.
Razón de avena a agua, 8 porciones: 2
4 Escribe la razón como fracción.
Razón de avena a agua, 12 porciones: 3
6 Escribe la razón como fracción.
2
4 = 2 • 6
4 • 6 = 12
24
3
6 = 3 • 4
6 • 4 = 12
24
Como las dos razones son iguales a 12
24, son proporcionales.
Hallar razones equivalentes y escribir proporciones
Halla una razón equivalente a cada razón. Luego usa las razones para
escribir una proporción.
1. Explica por qué las razones del Ejemplo 1B no son proporcionales.
2. Describe qué significa que las razones sean proporcionales.
3. Da un ejemplo de proporción. Luego indica cómo sabes que es una
proporción.
A
B
8
14
8
14 = 8 • 20
14 • 20 = 160
280
8
14 = 160
280
4
18
4
18 = 4 : 2
18 : 2 = 2
9
4
18 = 2
9
Ciencias
Sociales
Las razones de
los tamaños de
los segmentos
de una concha
de nautilo son
aproximadamente
iguales a la razón
áurea, 1,618… Esta
razón se encuentra
en muchos lugares
de la naturaleza.
Puedes encontrar una razón equivalente al multiplicar el numerador y el
denominador de una razón por el mismo número o al dividirlos entre el
mismo número.
Escribe las razones con un denominador
común, como 24.
Divide ambos términos por un factor
común, como 2.
Escribe una proporción
Multiplica ambos términos por un
factor común, como 20.
Escribe una proporción
Porciones
de avena
Tazas de
avena
Tazas de
agua
8 2 4
12 3 6
Ejercicios
1
1
2
2
3
3
Determina si las razones son proporcionales.
1. 2
3 , 4
6 2. 5
10, 8
18 3. 9
12, 15
20 4. 3
4 , 8
12
Determina si las razones son proporcionales.
13. 5
8 , 7
14 14. 8
24, 10
30 15. 18
20, 81
180 16. 15
20, 27
35
5. 10
12, 15
18 6. 6
9 , 8
12 7. 3
4 , 5
6 8. 4
6 , 6
9
17. 2
3 , 4
9 18. 18
12, 15
10 19. 7
8 , 14
24 20. 18
54, 10
30
Halla una razón equivalente a cada razón. Luego usa las razones para escribir una proporción.
21. 5
9 22. 27
60 23. 6
15 24. 121
99
25. 11
13 26. 5
22 27. 78
104 28. 27
72
Encuentra una razón equivalente a cada razón. Luego usa las razones para escribir una proporción.
9. 1
3 10. 9
21 11. 8
3 12. 10
4
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
1–4
Completa cada tabla de razones equivalentes.
29. peces ángel 4 8 20
peces tigre 6 18
30. cuadrados 2 4 6 8
círculos 16
Halla dos razones equivalentes a cada razón.
31. 3 a 7 32. 6 : 2 33. 5
12 34. 8 : 4
35. 6 a 9 36. 10
50 37. 10 : 4 38. 1 a 10
39. Ecología Si reciclas una lata de aluminio, ahorras suficiente energía para mantener un
televisor encendido durante cuatro horas.
a. Escribe la razón de latas a horas.
b. La clase de Martín recicló suficientes latas de aluminio para mantener un televisor
encendido durante 2 080 horas. ¿Reciclaron 545 latas? Justifica tu respuesta con
razones equivalentes.
40. Razonamiento crítico La razón de niñas a niños que viajan en un bus es 15:12. Si en la
próxima parada desciende la misma cantidad de niñas y niños, ¿sigue siendo 15:12 la
razón de niñas a niños? Explica.
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
48. ¿Qué razón NO es equivalente a 32
48?
A 2
3 B 8
12 C 64
96 D 128
144
49. ¿Qué razón puede formar una proporción con 5
6 ?
A 13
18 B 25
36 C 70
84 D 95
102
Divide.
50. 14,35 : 0,7 51. –9 : 2,4 52. 12 505 : 3,05 53. 427 : (–5,6)
Compara. Escribe <, > o =.
54. 3 : 5 12 : 15 55. 33 : 66 1 : 3 56. 9 : 24 3 : 8 57. 15 : 7 8 : 3
?
43. Biología Los estudiantes de
una clase de biología estudiaron
cuatro lagunas para ver si
habitaban peces y ranas en el
área.
a. ¿Cuál fue la razón de peces a
ranas en la laguna 1?
b. ¿En qué dos lagunas la razón
de peces a ranas fue igual?
44. Marcos ganó $ 23 000 por 40 horas de trabajo. Felipe ganó $ 19 200 por 32
horas de trabajo. ¿Son proporcionales estas tasas de sueldo? Explica.
45. ¿Dónde está el error? Un estudiante escribió la proporción 13
20 = 26
60. ¿Qué error
cometió?
46. Escríbelo Explica dos formas diferentes de determinar si dos razones son
proporcionales.
47. Desafío Un paracaidista saltó desde un avión. Después de 0,8 segundos, cayó
300 m. Después de 3,1 segundos, cayó 150 m. ¿La razón a la que cayó los
primeros 300 m (en metros por segundo) es igual a la razón en los siguientes
150 m? Explica.
Laguna Cantidad de
peces
Cantidad
de ranas
Laguna 1 8 5
Laguna 2 15 10
Laguna 3 3 2
Laguna 4 2 7
41. Razonamiento crítico Escribe todas las proporciones posibles usando solo los
números 1, 2 y 4.
42. El año pasado, en una escuela de Temuco, la razón de estudiantes a profesores era
22:1. Escribe una razón equivalente para mostrar cuántos estudiantes y maestros
puede haber habido en la escuela de Temuco.
Repaso
2
5 = 6
15
La densidad es una propiedad física de
los cuerpos que relaciona la cantidad de
materia que contiene y el volumen que
ésta ocupa. Si te dan la densidad del
hielo, puedes resolver una proporción
para hallar la masa de 3 mL de hielo.
Para dos razones, el producto del primer
término de una razón y el segundo
término de la otra es un producto
cruzado. Si los productos cruzados de
las razones son iguales, entonces las
razones forman una proporción.
Puedes usar el producto cruzado para resolver proporciones con variables.
Aprender a resolver
proporciones mediante
productos cruzados.
Vocabulario
producto cruzado
EJEMPLO 1 Resolver proporciones mediante productos cruzados
Usa los productos cruzados para resolver la proporción p6
= 10
3 .
1–5 Cómo resolver proporciones
C A P Í T U L O
El hielo flota en el agua porque la densidad del
hielo es menor que la densidad del agua.
5 • 6 = 30
2 • 15 = 30
Teorema fundamental de las proporciones
En la proporción ab
= c
d (que se lee a es a b como c es a d), donde b ≠ 0 y d ≠ 0,
el producto de los medios es igual al producto de los extremos.
Si a, b, c, d son los términos de una proporción, a y d se consideran los extremos de
la proporción y b y c los medios de la proporción. Entonces se cumple que:
a · d = b · c
Es importante plantear correctamente las proporciones. Cada razón debe comparar
cantidades correspondientes del mismo orden. Supongamos que un bote navega
16 km en 4 horas y 8 km en x horas, a la misma velocidad. Cualquiera de estas
proporciones puede representar la situación.
p6
= 10
3
10 · 6 = p · 3
60 = 3p
60
3 = 3p
3
20 = p
Los productos cruzados son iguales.
Multiplica.
Divide cada lado por 3.
viaje 1 16 km
4 h = 8 km
p h viaje 2 16 km
8 km = 4 h
x h viaje 1
viaje 2
Razonar y comentar
1. Explica cómo el método del producto cruzado puede ayudarte a
recordar cómo se resuelve una proporción.
2. Describe el error en estos pasos: 2
3 = x
12; 2x = 36; x = 18.
3. Muestra cómo usar productos cruzados para decidir si las razones
6 : 45 y 2 : 15 son proporcionales.
EJEMPLO 2
1
4
Aplicación a la resolución de problemas
La densidad del hielo es 0,92 g/mL. ¿Cuál es la masa de 3 mL de
hielo?
Comprende el problema
Repasa
Vuelve a escribir la pregunta como enunciado.
• Halla la masa, en gramos, de 3 mL de hielo.
Haz una lista con la información importante:
• densidad = masa (g)
volumen (mL)
• densidad del hielo = 0,92 g
1 mL
Como la densidad del hielo es 0,92 g/mL, cada mililitro de hielo tiene
una masa un poco menor que 1 g. Por lo tanto, 3 mL de hielo deben
tener una masa un poco menor que 3 g. Como 2,76 g es un poco
menor que 3 g, la respuesta es razonable.
RESOLUCIÓN
DE PROBLEMA
2 Haz un plan
Usa la información que se da para establecer una proporción. Sea m la
masa de 3 mL de hielo.
0,92 g
1 mL = m
3 mL
← masa
← volumen
3 Resuelve
Resuelve la proporción.
m · 1 = 0,92 · 3
m = 2,76
La masa de 3 mL de hielo es 2,76 g.
Escribe la proporción.
Los productos cruzados son iguales.
Multiplica.
0,92
1 = m3
Ejercicios
1
1
2
2
Usa productos cruzados para resolver cada proporción.
1. 6
10 = 36
x 2. 4
7 = 5p
3. 12,3
m = 75
100 4. t
42 = 1,5
3
Usa productos cruzados para resolver cada proporción.
6. 4
36 = x
180 7. 7
84 = 12
h 8. 3
24 = r
52 9. 5
140 = 12
v
10. 45
x = 15
3 11. t6
= 96
16 12. 2
5 = s
12 13. 14
n = 5
8
5. Un montón de 2 450 billetes de $1 000 pesa 2,5 kg. ¿Cuánto pesa un montón de 1 470
billetes de $1 000?
14. El euro es la moneda usada por los países de la Unión Europea (Francia, Alemania,
España, Italia, Luxemburgo, Austria, entre otros). Las monedas de euro tienen ocho
denominaciones. Una denominación es la moneda de un euro, que vale 100 centavos.
Una pila de 10 monedas de un euro tiene una altura de 21,25 milímetros. ¿Qué altura
tendría una pila de 45 monedas de un euro? Redondea tu respuesta al centésimo de
milímetro más cercano.
15. Hay 555 mililitros de sopa en una lata. Esto es equivalente a 524 gramos. Si Ana tiene
270 mililitros de sopa, ¿cuántos gramos tiene?
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
1–5
16. 4h
= 12
24 17. x
15 = 12
90 18. 39
4 = t
12 19. 5,5
6 = 16,5
w
20. 1
3 = y
25.5 21. 18
x = 1
5 22. m4
= 175
20 23. 8,7
2 = q4
24. r
84 = 32,5
182 25. 76
304 = 81
k 26. 9
500 = p
2 500 27. 5j
= 6
19,8
28. Cierto tono de color se logra al mezclar 5 partes de pintura azul con 2 partes de pintura
blanca. Para obtener el tono correcto, ¿cuántos cuartos de pintura blanca deben
mezclarse con 8,5 cuartos de pintura azul?
29. Medición Si colocas un objeto que pesa 40 gramos en un lado de una balanza, tendrías
que poner aproximadamente 18 monedas de $10 en el otro lado para equilibrar la
balanza. ¿Aproximadamente cuántas monedas de diez pesos equilibrarían el peso de un
objeto de 50 gramos?
30. Sandra condujo 126,2 km en 2 horas a una velocidad constante. Usa una proporción para
hallar cuánto tiempo le llevaría conducir 189,3 km a la misma velocidad.
31. Varios pasos En junio, hay 325 acampantes y 26 visitas en un campamento. En julio, se
van 265 acampantes y llegan 215 acampantes nuevos. ¿Cuántas visitas debe haber en el
campamento en julio para mantener una razón equivalente de acampantes a visitas?
Resuelve las proporciones:
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
44. ¿Qué proporción es verdadera?
A 4
8 = 6
10 B 2
7 = 10
15 C 7
14 = 15
30 D 16
25 = 13
18
45. Halla una razón para completar la proporción 2
3 = ?
? de modo que los productos cruzados
sean iguales a 12. Representa gráficamente en tu cuaderno tu respuesta en forma de
fracción.
Resuelve.
46. 16,21 – 14,87 47. 3,82 · (–4,97) 48. –8,7 · (–20,1)
Halla cada valor unitario.
49. 128 kms en 2 horas 50. 9 libros en 6 semanas 51. $11 400 en 12 horas
Repaso
En tu cuaderno ordena cada grupo de números para formar una proporción.
32. 10, 6, 30, 18 33. 4, 6, 10, 15 34. 12, 21, 7, 4
35. 75, 4, 3, 100 36. 30, 42, 5, 7 37. 5, 90, 108, 6
38. Biología El lunes, una bióloga marina tomó una muestra al azar de 50 peces de
un estanque y los identificó con una marca. El martes, tomó una nueva muestra
de 100 peces. Entre éstos había 4 que había identificado el lunes.
a. ¿Qué comparación representa la razón 4
100?
b. ¿Qué razón representa la cantidad de peces identificados el lunes a la
cantidad total de peces en el estanque?
c. Usa una proporción para estimar la cantidad de peces en el estanque.
39. Química En la tabla se muestra el tipo
y la cantidad de átomos que hay en
una molécula de ácido cítrico. Usa una
proporción para hallar la cantidad de
átomos de oxígeno en 15 moléculas
de ácido cítrico.
40. Ciencias Puedes hallar la distancia
a la que estás de una tormenta contando los segundos que pasan entre un
relámpago y el trueno. Por ejemplo, si la diferencia de tiempo es 21 s, entonces
la tormenta está a 7 km de distancia. ¿A qué distancia está una tormenta si la
diferencia de tiempo es 9 s?
41. ¿Cuál es la pregunta? 900 gramos de pescado salteado contienen 20 gramos
de proteínas. Si la respuesta es 2 100 gramos, ¿cuál es la pregunta?
42. Escríbelo Da un ejemplo de tu propia vida que pueda describirse mediante una
razón. Luego, indica cómo te da información adicional una proporción.
43. Desafío Usa la propiedad de igualdad de la multiplicación y la proporción
ab
= cd
para demostrar que el método del producto cruzado funciona para todas
las proporciones. Comenta tu respuesta con tus compañeros.
?
Ciencias
Biológicas
¡Este pez gigante
mide 2,48
metros de largo
y pesa 112 kg!
Lo atraparon
y volvieron a
soltar en el rio
Ebro, cerca de
Barcelona, España.
Composición del ácido cítrico
Tipo de átomo Cantidad de átomos
Carbono 6
Hidrógeno 8
Oxígeno 7
Los estudiantes de 7° básico de una
escuela de la octava región están
fabricando ladrillos para un proyecto
de acción social que tiene la escuela.
Del total de los ladrillos, 23
se secaron
sin agrietarse. De esos ladrillos, 14
miden 5 centímetros de espesor.
¿Qué fracción del total de los
ladrillos no tienen grietas y miden 5
centímetros de espesor?
Entonces, 16
del total de los ladrillos no tiene grietas y mide 5 centímetros de espesor.
Por lo tanto, para multiplicar fracciones debes multiplicar los numeradores y luego
multiplicar los denominadores.
Para dividir fracciones es necesario usar el inverso multiplicativo. El inverso
multiplicativo de un número x es un número y con la condición que el producto entre
ellos sea 1, es decir, x • y = 1.
El inverso multiplicativo de 23
es 32
porque 23
• 32
= 66
= 1
Aprender
a multiplicar y
dividir fracciones
Vocabulario
mínima expresión
numerador
denominador
inverso multiplicativo
m.c.d.
EJEMPLO 1 Reduce las fracciones antes de multiplicar
Encuentra 1
6 · 9
10
.
1–6 Multiplicación y división de
fracciones
C A P Í T U L O
1
6
·
9
10
Busca un numerador y un denominador
con factores comunes. Halla el m.c.d.
El m.c.d. de 6 y 9 es 3.
Divide 6 y 9 entre el m.c.d. 3. Multiplica.
14
· 23
= 1 · 2
4 · 3 = 2
12 redúcela a su mínima expresión
2
12 = 16
16
· 9
10 = 1 · 3
2 · 10 = 3
20
Razonar y comentar
1. Explica cómo usar el inverso multiplicativo para dividir fracciones.
2. Describe si se puede multiplicar números mixtos. ¿Cómo se hace?
Da un ejemplo.
EJEMPLO
EJEMPLO
2
3
Usa el inverso multiplicativo
Divide 5
7 : 6
8
.
5
7
:
6
8
=
5
7
·
8
6
=
40
42
A =
1
2
· (a · b) =
A =
1
2
· (6 · 3) =
A =
1
2
· (18) =
A =
1 · 18
2 · 1
=
A =
18
2
=
A = 9
40
42
:
2
2
=
20
21
Para calcular el cociente entre dos fracciones se
multiplica el dividendo con el inverso multiplicativo
del divisor.
Reduce el resultado a su mínima expresión si es
posible.
Sustituye las letras por los datos dados
Desarrolla dentro de los paréntesis
Multiplica
Resuelve
El área del triángulo es 9 cm2
Aplicación a la Geometría
Para calcular el área de un triángulo usamos la fórmula:
A = 1
2 • (a • b) = (b · h)
2 .
Usa la fórmula para calcular el área de un triángulo de
base 3 cm y altura 6 cm.
Ejercicios
1
2
1
2
3
3
Reduce las fracciones antes de multiplicar.
1. 3
9 · 12
4 2. 1
4 · 2
5 3. 2
5 · 7
4 4. 9
4 · 16
3
Usa el inverso multiplicativo.
11. 3
2 : 5
6 12. 3
8 : 2
6 13. 8
9 : 4
3 14. 4
9 : 8
5
Reduce las fracciones antes de multiplicar.
7. 7
6 · 2
9 8. 1
3 · 1
16 9. 4
5 · 10
12 10. 3
8 · 2
10
5. Un pintor terminó las ocho novenas partes de una obra en cuatro días. Si todos los días
pintó la misma cantidad, ¿qué parte de la obra pintó cada día?
15. Un triángulo rectángulo tiene una base de 7 cm y su altura es de 5 cm, ¿cuál es el área
de dicho triángulo?
6. Calcula el área de un triángulo cuya base mide 3 cm y su altura mide 5 cm
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
1–6
16. Una encuesta escolar reveló que
27
50 de los estudiantes quieren tener una mascota. De los estudiantes que
quieren una mascota, 4
9 quieren tener un gato. ¿Qué fracción de los estudiantes quiere tener un gato?
17. Javier tiene que enviar 2 encomiendas que tienen una masa total de cuatro décimos de kg. ¿Qué fracción de
kg tiene cada una?
18. Pancho preparó 3
1
4 litros de leche con plátano. Si quiere servirlo en vasos de 1
4 litro, ¿cuántos vasos podrá llenar?
19. Un queque tiene una masa de tres cuartos de kilógramo. Sonia ha repartido la mitad del queque. ¿Qué
fracción del total le queda a Sonia?
20. Desafío Para un desfile del cuerpo de bomberos de Linares, el carro de bomberos debe recorrer 8
9 de
kilómetros con 1 estanque de bencina. ¿Cuántos estanques de combustible necesitará el carro de bomberos
para hacer el recorrido de 5 km del desfile?
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
21. Encuentra el producto. Escríbelo en su mínima expresión.
A 7
12 · 8
9 B 16
25 · 5
8 C 14
25 · 5
7 D 7
8 · 9
10
22. ¿Cuánto es 5
6
: 2
5
?
A 2 1
6 B 2 1
12 C 2 D 1
3
Repaso
1 ¿Listo para seguir?
Prueba de las lecciones 1-4 a 1-6
1-4 Cómo identificar y escribir proporciones
Halla una razón equivalente para cada razón dada. Luego usa las razones para escribir una
proporción.
1. 10
16 2. 21
28 3. 12
25 4. 40
48
5. Raúl ganó $ 27 200 por 40 horas de trabajo. Juan ganó $ 22 400 por 32 horas de trabajo.
¿Son proporcionales estas tasas de sueldo? Explica.
6. En un día determinado, la razón de dólares a euros fue aproximadamente 1 : 0,735. ¿La razón
20 a 14,70 es una razón equivalente? Explica.
7. En una feria de intercambio, te daban 24 galletas por cada polera que entregaras. Si entregabas
dos pares de calcetines, te entregaban 6 galletas, y por cada 4 calcetines, te podías llevar
una polera. Las razones entre las poleras y los calcetines, comparada con la relación entre los
calcetines y las galletas, y las poleras y las galletas, son equivalentes? Explica.
8. En un supermercado, la razón de dulces a alimentos saludables es de 3 : 5. Si hay en total 500
dulces, ¿cuál es la cantidad de alimentos saludables?
9. En un invernadero hay 4 500 árboles frutales y 1 500 árboles ornamentales. ¿En qué
proporción se encuentran estas especies?
10. Crea un ejemplo de proporción para la siguiente razón 4 : 6
1-5 Cómo resolver proporciones
Usa productos cruzados para resolver cada proporción.
11. n8
= 15
4 12. 20
t = 2,5
6 13. 6
11 = 0,12
z 14. 15
24 = x
10
15. 3
4 = 9x
16. m6
= 30
180 17. 4
7 = 3x
18. 1
2 = x
106
19. Se dice que un año de un ser humano equivale aproximadamente a 7 años de un perro. El
perro de Pablo tiene 5,5 años en edad humana. Estima la edad de su perro en años de perro.
20. Por cada $ 10 que una persona dona en un supermercado para una institución benéfica, el
supermercado dona $ 2,5 extra. Estima la donación del supermercado cuando los clientes
donan en total $ 10 000.
C A P Í T U L O
¿Listo para seguir?
1-6 Multiplicación y división de fracciones
Multiplica o divide.
21.
3
10 • 4
9 = 22. 13
26 : 4
3 = 23. 25
35 :
1
5 = 24. 2
18 • 9 =
1 C A P Í T U L O
Anfibios y reptiles del zoológico de
Santiago
En el zoológico del Parque Metropolitano de Santiago existen diferentes
especies de reptiles, las que han sido ubicadas en reproducciones de sus
hábitats naturales para que se adecúen a un espacio diferente. En total,
el zoológico de Santiago tiene una población de más de mil animales
distribuidos en 158 especies nativas y
exóticas.
1. La mayoría de los reptiles sobrevive
solo a temperaturas que oscilen
entre los —4 °C y los 36 °C.
¿Cuál es la diferencia entre esas
temperaturas?
2. En el museo del zoológico hay 28
especies exóticas y 52 especies
nativas. Un empleado del museo
quiere colocar las fotos de estas
especies en una pared. Las fotos se
ordenarán en filas. Cada fila tendrá el mismo número de especies nativas
y el mismo número de especies exóticas.
a. El empleado quiere formar la mayor cantidad de filas de fotos que sea
posible. ¿Cuántas filas puede formar?
b. ¿Cuántas fotos de especies exóticas habrá en
cada fila? ¿Cuántas fotos de especies nativas
habrá en cada fila?
Usa la información de la tabla para resolver los
ejercicios del 3 a 5.
3. Escribe la longitud del monstruo de Gila como
decimal.
4. Escribe la longitud de la iguana del
desierto como número mixto en su
mínima expresión.
5. Ordena las cinco especies de lagartos
del menor al mayor según su longitud.
Explica por qué ordenaste las
especies de esa manera.
Conexiones con el mundo real Lagartos del mundo
Especie Longitud
Monstruo de Gila 353
5 cm
Iguana del desierto 14,6 cm
Escinco de las grandes
llanuras
133
10 cm
Chucuala común 22,9 cm
Lagarto cola de cebra 51
5 cm
Monstruo de Gila.
Materiales
• 2 platos de papel
• tijeras
• marcadores
Esta “libreta con escalones” es un excelente lugar para anotar
ejemplos de problemas de álgebra.
Instrucciones
1
2
3
4
5
Escribe el número y el nombre del capítulo
en la portada del libro. Luego repasa el
capítulo y usa las páginas interiores para
tomar notas sobre razones y proporciones.
B
C
D
A
B
C
D
PROYECTO Proporciones en
platos de papel
Dobla uno de los platos de papel por la mitad. Recorta
un rectángulo angosto a lo largo del extremo plegado. La
longitud del rectángulo debe ser igual al diámetro del círculo
interior del plato. Cuando abras el plato, tendrás una ventana
angosta en el centro. Figura A
Dobla por la mitad el segundo plato de papel y luego
desdóblalo. Recorta hendiduras a ambos lados del pliegue,
desde el borde del plato hasta el círculo interior. Figura B
Enrolla el plato con las hendiduras de manera que las
hendiduras se toquen. Luego desliza este plato a través de la
ventana angosta del otro plato. Figura C
Cuando hayas deslizado la mitad del plato enrollado a través
de la ventana, desenróllalo para que las hendiduras se
inserten en los costados de la ventana. Figura D
Cierra el libro de modo que todos los platos queden
doblados por la mitad.
C A P Í T U L O 1
Vocabulario
Guía de estudio: Repaso
EJEMPLOS EJERCICIOS
2
Completa los siguientes enunciados con las palabras del vocabulario.
1. Los ____________ son el conjunto de los números naturales más el cero y sus ____________.
2. El producto del primer término de una razón y el segundo término de la otra es un ____________.
1-1 Enteros
Usa una recta numérica para ordenar los
enteros del menor al mayor.
3, 4, –2, 1, –3
–3, –2, 1, 3, 4
–9, –6, –7, –10, 4, –1, 6
–10, –9, –7, –6, –1, 4, 6
–5, 1, 4, –3, 0
–5, –3, 0, 1, 4
Compara los enteros. Usa < o >.
3. –8 ____ –15
4. –7 ____ 7
5. 23 ____ –23
6. –16 ____ –4
En tu cuaderno dibuja una recta numérica
para ordenar los enteros del menor al mayor.
7. –6, 4, 0, –2,5
8. 8, –3, 2, –8, 1
9. 3, 2, –8, 1
10. 0, –5, 5, 8, –3
11. –1, 7, –4, 3, –2
En tu cuaderno dibuja una recta numérica
para encontrar cada valor absoluto.
12. |0|
13. |–17|
14. |6|
15. |–3|
16. |8|
17. |–1|
Guía de estudio: Repaso
–6 –4 –2 0 2 4 6
–10 –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 10
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
opuesto…………………………………..16
inverso aditivo………………………..16
entero…………………………………….16
valor absoluto…………………………17
diferencia……………………………….24
razones equivalentes………………30
proporción………………………………30
proporcionalidad inversa………..30
proporcionalidad directa ………..30
producto cruzado……………………34
mínima expresión……………………38
numerador………………………………38
denominador…………………………..38
inverso multiplicativo……………..38
m.c.d………………………………………38
EJEMPLOS EJERCICIOS
2
1–3
1-2
Cómo restar enteros
Cómo sumar enteros
Resta.
–5 – (–3)
–5 + 3 = –2 Suma el opuesto de –3.
–8 – (–2)
–8 + 2 = –6
–9 – (–4)
–9 + 4 = –7
Halla la suma.
–7 + (–11)
–7 – 11 Los signos son los mismos.
–18
–15 + (–9)
–15 – 9
–24
–16 + (–9)
–16 – 9
–25
Halla cada diferencia.
30. 8 – 2
31. 9 – 3
32. 10 – 19
33. –5 – 4
34. –6 – (–5)
35. –8 – (–3)
36. –5 – 4
37. –2 – 1
38. 6 – (–5) – 8
39. 7 – (–3) –2
40. 10 – (–3) – (–1)
41. 23 – (–15) – (–4)
Halla cada suma.
18. –8 + 5
19. –5 + 3
20. 7 + (–6)
21. 9 + (–8)
22. –16 + (–40)
23. –23 + (–23)
24. –9 + 18
25. –18 + 9
26. –2 + 16 + (–4)
27. –5 + 8 + (–3)
28. 12 + (–18) + 1
29. La temperatura era de –9 °C a las 5 a.m. y
aumentó 20 °C para las 10 a.m. ¿Cuál era la
temperatura a las 10 a.m.?
Prueba del capítulo
Guía de estudio: Repaso
EJEMPLOS EJERCICIOS
1-4
1-5
Cómo identificar y escribir proporciones
Cómo identificar y escribir proporciones
Multiplicación y división de fracciones
Determina si 5
12 y 3
9 son proporcionales.
5
12
3
9 = 1
3
5
12 ≠ 1
3
Usa productos cruzados para resolver p8
y 10
21.
p8
= 10
12
p · 12 = 8 · 10
12p = 80
12p
12 = 80
12
p = 20
3 , o 6 2
3
Reduce para resolver 45
100 · 7
15
45
100 · 7
15
3
100 · 7
1
21
100
Determina si las razones son proporcionales.
42. 9
27
, 6
20
43. 4
16
, 5
24
44. 15
25
, 20
30
45. 7
21
, 8
32
46. 21
14
, 18
12
47. 24
6
, 28
7
Halla una razón equivalente a la razón dada. Luego,
usa las razones para escribir una proporción.
48. 10
12 49. 8
32
50. 45
50 51. 81
90
52. 9
15 53. 3
4
Usa productos cruzados para resolver cada
proporción.
54. 4
6 = n3
55. 5
10 = s2
56. 2
a = 5
15 57. 5
b = 5
6
58. b
1,5 = 8
3 59. j
2,8 = 5
7
60. 16
11 = 96
x 61. 24
48 = 2x
62. 2y
= 1
5 63. 5y
= 2
6
64. 7
2 = 70
w
Reduce para resolver las multiplicaciones.
65. 21
63
· 15
3 = 66. 2
8
· 4
7
=
67. 108
14
· 28
9
= 68. 36
90
· 48
12
=
5
12 ya está en su mínima expresión.
Simplifica 3
9 .
Las razones no son proporcionales.
Multiplica los productos
cruzados.
Reduce 45 y 15
Resuelve
Divide cada lado entre 12.
3
1
1-6
Prueba del capítulo
1 Prueba de capítulo C A P Í T U L O
Usa una recta numérica para ordenar los enteros del menor al mayor.
1. –4, 3, –2, 0, 1 2. 7, –6, 5, –8, –3
Usa una recta numérica para hallar cada valor absoluto.
3. |11| 4. |–5| 5. |–74| 6. | –1|
Halla cada suma o diferencia.
7. –7 + (–3) 8. –6 – 3 9. 17 – (–9) – 8 10. 102 + (–97) + 3
11. 3 + (–20) 12. – 36 – 12 13. –400 + (–10) 14. –5 + (–2) –9
Resuelve.
15. w – 4 = –6 16. x + 5 = –5 17. –6a = 60 18. n
–4 = 12
19. El equipo de tenis de Carla ha ganado 52 partidos. Su equipo ha ganado 9 partidos más que el
equipo de Rebeca. ¿Cuántos partidos ha ganado el equipo de Rebeca esta temporada?
20. Sebastián encontró 12 monedas de $ 1,15 monedas de $ 5,7 monedas de $ 10 y 5 monedas de
$ 50. Indica qué razón es mayor: si la razón de monedas de $ 1 a monedas de $ 50 o la razón de
monedas de $ 5 a monedas de $ 10.
21. Leonardo vendió 576 “hot dogs” (completos) en 48 horas. ¿Cuál fue la tasa de venta de “hot dogs”
promedio de Leonardo?
22. En una tienda, una caja de 5 kg de ciruelas se vende a $ 525 y una caja de 10 kg de ciruelas se
vende a $ 975. ¿Qué tamaño de caja tiene el precio más bajo por kg?
Encuentra una razón equivalente para cada razón. Luego usa las razones para escribir una
proporción.
23. 22
30 24. 7
9 25. 18
54 26. 10
17
Usa los productos cruzados para resolver cada proporción.
27. 9
12 = m6
28. x2
= 18
6 29. 3
7 = 21
t 30. 5
p = 10
2
31. Una salsa se hace con 6 partes de tomate y 2 partes de pimentón. Para preparar correctamente
la receta, ¿cuántas tazas de tomate hay que mezclar con 1,5 tazas de pimentones?
1
1. En una ciudad de Chile, durante una semana de
Julio se registraron las siguientes temperaturas:
–4 °C, –2 °C, –12 °C, 5 °C, 12 °C, 16 °C y 20 °C.
¿Qué expresión representa la diferencia entre la
temperatura máxima y mínima de la semana?
A 20 – 2
B 20 – (–2)
C 20 – 12
D 20 – (–12)
2. De la siguiente lista: –23, –32, –15, –38 ¿Cuál
de los números es menor?
A –23
B –32
C –15
D –38
3. En una recta numérica, ¿entre qué pares de
fracciones está la fracción 3
5 ?
A 1
2 y 2
10
B 1
2 y 7
10
C 3
10 y 5
15
D 3
10 y 8
15
4. Al realizar una transferencia bancaria, Marcela
cometió un grave error. En vez de transferir 100 000
pesos transfirió 1 000 000 de pesos. Si en la cuenta
de Marcela había un saldo inicial de 568 000 pesos,
¿cuál será su saldo luego de la transferencia?
A –432 000
B 432 000
C 460 000
D –468 000
5. Los números que se muestran en la siguiente
tabla corresponden a las profundidades de
algunas de las fosas oceánicas más profundas,
en metros, del mundo:
Fosa de Filipinas –10 540
Fosa de Puerto Rico –8 800
Fosa de Bougainville –9 140
Fosa de Las Marianas –11 033
Fosa de Tonga –10 882
Estos números ordenados de mayor a menor
quedarían como:
A –11 033, – 10 882, –10 540, – 9 140, – 8 800
B –11 033, –10 540, –10 882, – 9 140, – 8 800
C –8 800, – 9 140, –10 540, –10 882, –11 033
D – 9 140, –8 800, –10 540, –10 882, –11 033
6. ¿En cuál de las siguientes opciones se muestra
una lista de números ordenados del menor al
mayor?
A –1,05; –2,55; –3,05
B –2,75; 25
6 ; 2,50
C –0,05; –0,01; 3 1
4
D –12
8 ; –1 4
8 ; 1,05
7. ¿En cuál de las siguientes opciones se muestra una
lista de números ordenados del mayor al menor?
A –1,05; –2,55; –3,05
B –2,75; 25
6 ; 2,50
C –0,05; –0,01; 3 1
4
D –12
8 ; –1 4
8 ; 1,05
8. ¿Cuál de las siguientes opciones es un ejemplo
de la propiedad asociativa?
A 5 + (4+1) = (5 + 4) +1
B 32 + (2 + 11) = 32 + (11 + 2)
C (2 • 10) + (2 • 4) = 2 • 14
D 4(2 • 7) = (4 • 2) + (4 • 7)
C A P Í T U L O Evaluación acumulativa
Capítulo 1
9. La escala de un mapa es de 1 centímetro:
70 kilómetros. Si la distancia entre dos
ciudades en el mapa es 8,2 centímetros, ¿cuál
es la mejor estimación de la distancia real
entre las dos ciudades?
A 85 kilómetros
B 471 kilómetros
C 117 kilómetros
D 574 kilómetros
10. En un dibujo a escala, una torre de telefonía
celular mide 1,25 metros de alto. Si el factor
de escala es 1:150, ¿Cuál es la altura de la
torre de telefonía celular real?
A 37,5 metros
B 120 metros
C 148 metros
D 187,5 metros
11. La grúa de un edificio en construcción pesa
2 080 kilogramos. ¿Cuántas toneladas pesa?
12. Halla el cociente de –51,03 y –8,1.
13. Un dibujo a escala de un jardín rectangular
tiene una longitud de 4 centímetros y un
ancho de 2,5 centímetros. Si la escala es
1 centímetro = 3 metros, ¿cuál es el perímetro
del jardín real, en metros?
14. Un florista prepara ramos de flores para una
exposición. Tiene 84 rosas y 56 claveles. Cada
ramo tendrá la misma cantidad de rosas y la
misma cantidad de claveles. ¿Cuántos ramos
puede preparar el florista para su exposición?
15. A principios de mes, Javiera tenía $ 10 250 en
su alcancía. Durante el mes, echó en ella
$ 850 más y luego sacó $ 975 para comprar
unos materiales para el colegio, volvió a guardar
$ 500 que se encontró en la calle y luego
sacó $ 650 para comprar un cuaderno que le
gustaba. Usando los valores entregados, escribe
y resuelve una expresión para estimar el dinero
que tendría Javiera en su alcancía a fin de mes.
16. La grúa de un edificio en construcción proyecta
una sombra que mide 18 metros de largo. En el
mismo momento del día, mi casa proyecta una
sombra que mide 4,2 metros de largo. Si mi casa
mide 5,3 metros de altura, haz un dibujo de la
situación. Establece y resuelve una proporción
para hallar la altura de la grúa redondeada el
metro más cercano. Muestra tu trabajo.
17. Rafael traza un mapa de la manzana donde vive.
De Este a Oeste, la mayor distancia a lo largo
de la manzana es de aproximadamente 430
metros. De Norte a Sur, la mayor distancia es
aproximadamente 200 metros.
a. Rafael usa una escala de 1 centímetro = 24
metros para su mapa. Halla la longitud del
mapa de Este a Oeste y la longitud de Norte
a Sur. Redondea tus respuestas al centímetro
más cercano.
b. La distancia entre dos casas es 9 cm. ¿Cuál
es la distancia real entre las casas, en metros?
c. Si una persona camina aproximadamente
a 5 200 centímetros por minuto,
¿Aproximadamente, cuántos minutos tardará
Rafael en cruzar la manzana donde vive
de Este a Oeste, es decir, por la parte más
ancha? Muestra tu trabajo.
Responde verdadero (V) o falso (F)
18. ______ Las razones equivalentes son aquellas
que identifican la misma comparación.
19. ______ Una recta numérica no nos sirve
para sumar enteros, porque solo los
representa.
20. ______ Un producto cruzado es el producto
del primer término de una razón y el
segundo término de otra.
Solucionario

EN ESTA UNIDAD PODRÁS…
Latinstock
La miel que producen las abejas es una mezcla compuesta sobre todo
por dos azúcares: glucosa y fructosa. En la mayoría de las mieles, la
fructosa predomina sobre el resto de los azúcares por lo que la miel
se siente más dulce que el azúcar común.
¿Sabías que los carbohidratos aportan 4 kilocalorías por gramo y
que la miel líquida contiene alrededor de 82 g de carbohidratos
por cada 100 gramos de miel?
Piensa y responde:
1. ¿Cuántos gramos de carbohidratos habrá en 150 g de miel?,
¿cómo lo supiste?
2. Si una cucharada de miel contiene 21 gramos de miel, ¿cuántos gramos
de carbohidratos contiene?, ¿cómo lo calculaste?
3. Claudia dice que una cucharada de miel con 21 gramos aporta
68 kilocalorías, ¿estás de acuerdo con ella?, ¿por qué?
4. ¿Cuántas kilocalorías contienen 50 gramos de miel?
5. Si se quisiera obtener solo 38 kilocalorías consumiendo miel,
¿cuántos gramos de miel se debería consumir?
CONVERSEMOS DE…
¿CUÁNTO SABES?
Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve los ejercicios en tu cuaderno.
1. Simplifica las siguientes fracciones.
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
2. ¿Qué entiendes por fracciones equivalentes?
3. Escribe dos fracciones equivalentes en cada caso.
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
4. Transforma las siguientes fracciones a número decimal y explica cómo lo hiciste.
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
5. Transforma los siguientes números decimales a fracción y explica paso a paso
cómo lo hiciste.
a) 0,34 d) 0,0006 g) 0,6
b) 0,72 e) 0,0045 h) 0,284
c) 0,0068 f) 0,375 i) 1,25
6. Compara las siguientes fracciones, utilizando el signo <, > o =, según corresponda.
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i) 7
25
8
27
25
100
10
100
15
1000
6
5
25
33
4
12
35
42
24
30
6
8
13
39
9
27
10
28
11
15
7
14
4
8
18
36
12
25
4
5
4
9
3
7
8
32
72
90
48
80
65
50
5
6
21
91
24
64
16
36
12
17
120
45
13
65
27
81
560
640
400
500
1
8
4
5
3
4
4
9
8
15
5
6
24
28
48
32
25
35
¿QUÉ DEBES RECORDAR?
• En una fracción, el denominador indica en cuántas partes se dividió la unidad, y el
numerador, cuántas de estas partes se han considerado.
• Una manera de comparar dos fracciones de distinto denominador es amplificando cada
una por el denominador de la otra.
Ejemplo: Para comparar y , amplificamos: = = y = = , luego como
< , se tiene que < • Para transformar una fracción a número decimal se debe dividir el numerador de la fracción por su denominador. • Algunas equivalencias entre unidades de medida de longitud son: 1 km = 1000 m 1 m = 100 cm 1 m = 1000 mm 5 9 3 7 5 • 7 9 • 7 3 • 9 7 • 9 35 63 35 63 5 9 3 7 5 9 3 7 27 63 27 63 7. Resuelve las siguientes operaciones: a) d) g) b) e) h) c) f) i) 8. Expresa en kilómetros y explica cómo transformaste las unidades de medida en cada caso. a) 2400 m c) 5835 m e) 365 000 cm b) 70 000 cm d) 1 400 000 mm f) 72 300 mm 9. Expresa en metros y explica cómo transformaste las unidades de medida en cada caso. a) 300 km c) 1,25 km e) 0,032 km b) 450 cm d) 12 850 mm f) 642 500 cm Compara tus respuestas en tu curso. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio. 42 • 15 21 = 12 • 27 36 = 25 • 8 200 = 33 • 35 77 = 16 • 72 18 = 45 • 6 54 = 50 • 9 75 = 64 • 21 32 = 12 • 15 18 = Razones y proporciones Los alumnos y alumnas de un séptimo básico están organizando una convivencia con sus familias. Para esto han arreglado un salón ubicando 60 sillas y 10 mesas. En muchas situaciones cotidianas es necesario comparar cantidades. Por ejemplo, si queremos comprar un producto, cotizamos en varios lugares y comparamos dónde está a menor precio y cuánto menor es, para que nuestra compra sea conveniente. En la situación inicial, al ordenar el salón era importante saber cuántas sillas había que ubicar en cada mesa. Este dato se puede obtener dividiendo la cantidad de sillas por la de mesas que hay. Este cálculo corresponde a una comparación por cuociente entre dos cantidades, que se denomina razón. Así, la razón entre la cantidad de sillas y mesas es: 60 : 10 = = = 6 Se lee “60 es a 10”, o bien, “6 es a 1”, y se puede interpretar como “hay 6 sillas por cada mesa”. 6 1 60 10 PARA DISCUTIR • ¿Qué relaciones podrías establecer entre la cantidad de sillas y mesas?, ¿cómo obtuviste estas relaciones? • ¿Hay más sillas o mesas?, ¿cuántas más?, ¿cómo lo supiste? • Marcela dice que por cada mesa deben colocar 5 sillas, ¿estás de acuerdo?, ¿por qué? • ¿Es correcto decir que en el salón por cada 12 sillas hay 4 mesas?, ¿por qué? • Si a la convivencia asistieran 84 personas y se dispusieran 6 sillas por cada mesa, ¿cuántas mesas se necesitarían?, ¿cómo lo supiste? 1. Escribe la razón entre los siguientes pares de números y simplíficala si es posible. a) 20 y 60 b) 35 y 25 c) 16 y 64 d) 18 y 81 2. Determina si las razones dadas son equivalentes. a) y b) y c) y d) y 3. Determina en cada caso si las dos razones forman una proporción. Explica cómo lo supiste. a) y b) y c) y d) y 4. Encuentra el valor de x, en cada caso, para que las razones formen una proporción. a) y b) y c) y d) y 5. En el primer estudio nacional de la discapacidad en Chile, realizado el año 2004 se obtuvo que en nuestro país (www.ine.cl, consultado en marzo de 2008): • Hay 2 068 072 discapacitados. • 1 de cada 8 chilenos o chilenas presenta algún tipo de discapacidad. • De un total de 4 481 391 hogares en Chile, en 1 549 342 hogares vive al menos una persona con discapacidad. Según los datos anteriores, responde: a) ¿Cuál sería la población aproximada de Chile? Explica paso a paso cómo lo calculaste. b) ¿Es correcto decir que en 1 de cada 3 hogares chilenos vive al menos una persona con discapacidad?, ¿por qué? 25 x 15 6 8 x 2 11 x 21 5 3 17 12 51 36 35 20 14 8 x 8 8 32 23 46 17 34 8 15 32 17 8 11 7 9 12 18 8 12 6 16 26 36 12 15 4 5 EN TU CUADERNO • Se llama razón a la comparación por cuociente entre dos cantidades a y b cualesquiera. La razón entre a y b se puede expresar como a : b o bien y se lee “a es a b”, donde a es el antecedente y b, el consecuente. • El valor de la razón es el cuociente entre las cantidades. Si los valores de dos razones son iguales, estas son razones equivalentes. Por ejemplo, la razón es equivalente a la razón , porque = 0,5 y = 0,5. • Una proporción es una igualdad entre dos o más razones. La proporción entre cantidades a, b, c y d se puede expresar a : b = c : d o bien = y se lee “a es a b como c es a d”. • En toda proporción se cumple que: = si y c d a c b d a b 5 4 10 8 5 10 4 8 a b NO OLVIDES QUE... solo si a • d = b • c. Ejemplo: = 3 forma una proporción, porque 6 • 2 = 4 • 3. 2 6 4 Variaciones proporcionales y no proporcionales Felipe tomó fotografías en un paseo que hizo junto a algunos amigos y amigas. Imprimieron la que más les gustó en su tamaño normal: 3 cm de ancho y 4 cm de largo, pero decidieron ampliarla. Agrandaron sus lados y al imprimirla notaron que se veía extraña. Volvieron a la fotografía original y la agrandaron de otra manera, la imprimieron y nuevamente se veía extraña. Lo intentaron otra vez, pero asegurándose que las razones entre las medidas de los lados de la fotografía original y la ampliada, fuesen equivalentes. Al imprimirla, su ancho medía 9 cm y su largo, 12 cm. PARA DISCUTIR • Si el valor de la razón entre dos variables se mantiene constante (no cambia) estas variables son proporcionales. NO OLVIDES QUE... • ¿Cuál es la razón entre las medidas de los lados de la fotografía que tomó Felipe en tamaño normal?, ¿cuánto es el valor de esta razón? • Si en la segunda impresión el ancho de la fotografía medía 4 cm y su largo, 6 cm, ¿cuál es la razón entre las medidas de sus lados?, ¿cuánto es el valor de esta razón? • Si en la tercera impresión el largo de la fotografía medía 9 cm y el valor de la razón entre la medida de sus lados es 0,7, ¿cuánto mide su ancho?, ¿cómo lo supiste? • Si en la cuarta impresión el ancho de la fotografía medía 12 cm y su largo, 18 cm, ¿cuál es la razón entre las medidas de sus lados?, ¿cuánto es el valor de esta razón? • ¿Cuáles de las razones entre las medidas de los lados de las fotografías que imprimieron forman una proporción?, ¿por qué? • Si la razón entre el largo y el ancho es de 3, ¿qué medidas podría tener el largo y ancho de la fotografía? Explica. • Si la fotografía original se amplía en la razón 1 es a 4, ¿qué dimensiones tiene la fotografía ampliada? Explica. 1. Determina si las variaciones que se observan en las siguientes situaciones son proporcionales o no. Explica tu decisión en cada caso. a) El número de habitantes de un país y la extensión de su territorio. b) El número de gallinas en un gallinero y la cantidad de huevos que producen al día. c) Los intereses de un préstamo y el plazo fijado para pagarlo. d) La cantidad de hijos de una mujer y la cantidad de nietos que tiene. e) La hora del día y la altura de la marea. f) El número de panes que se va a cocinar y la cantidad de harina que se va a utilizar en su preparación. g) El número del calzado y el largo del pie de una persona, en centímetros. h) Distancia recorrida y tiempo utilizado (a velocidad constante). i) La estatura de una persona (en centímetros) y su masa (en kilogramos). 2. En el colegio a Carlos le pidieron recopilar distintos tipos de información para luego analizarla. La información la recopiló en las siguientes tablas: a) Dada la tabla 1, si Carla tiene 13 años y pesa 50 kg, ¿es posible determinar que cuando tenga 26 años pesará 100 kg?, ¿por qué? b) Según la tabla 2, ¿es posible determinar cuánto se tendrá que cancelar por 12 minutos hablados?, ¿por qué? c) La relación de las variables de la tabla 1 y de la tabla 2, ¿corresponde a una variación proporcional o no? Justifica. 3. Completa la siguiente tabla en tu cuaderno, y luego responde. • El lado de un cuadrado, ¿es proporcional a su área?, ¿y a su perímetro?, ¿por qué? 4 cm Nombre No de minutos hablados Perímetro Costo ($) 840 50 60 EN TU CUADERNO Tabla 1 Edad (años) Masa (kg) María 13 Carla 13 Marcelo 13 65 Ángela 12 54 Tabla 2 1 210 2 420 3 630 4 Lado del cuadrado Área 3 cm 7 cm Proporcionalidad directa En el centro de una ciudad, el arriendo de un estacionamiento cuesta $ 500 por hora. Observa el gráfico que representa la relación que existe entre tiempo y precio. Luego, completa la tabla. PARA DISCUTIR • ¿Qué pasa con el total a pagar cuando aumenta la cantidad de horas de arriendo? • ¿Cuánto gastarías por 3 horas de estacionamiento?, ¿y por 5? • ¿Cuál es la razón entre el total a pagar y el tiempo? • La razón entre los tiempos de arriendo del estacionamiento y la razón entre los precios, ¿forman una proporción? 2000 1500 1000 500 0 1 2 3 4 Total a pagar ($) Tiempo (horas) Tiempo (h) 1 Total a pagar ($) 500 2 1000 3 1500 4 5 6 7 8 4000 1. En los días de calor, el dueño de un quiosco vende muchos helados, por eso diseña una tabla con los posibles pedidos. Complétala. a) ¿Cómo calculaste la cantidad de helados?, ¿y cada precio? b) ¿Cuántos helados puedes comprar con $ 3640? c) ¿Cuál es el valor de la razón entre el precio y la cantidad de helados? EN TU CUADERNO Cantidad de helados Precio ($) 1 260 2 520 780 4 2080 9 10 2. Con los datos de la tabla de la actividad anterior, construye el gráfico en tu cuaderno. 3. El siguiente gráfico indica la distancia recorrida por dos autos, uno rojo y uno verde, en un tiempo determinado sin que cambien sus velocidades en el tiempo. a) Completa las tablas en tu cuaderno según el gráfico. b) ¿Qué auto va más rápido?, ¿por qué? c) ¿En cuánto tiempo el auto verde recorrerá 60 km? d) ¿Cuál es la razón que se mantiene constante para el auto rojo?, ¿y para el verde? e) ¿Cuánto tiempo se demorará el auto rojo en recorrer 480 km? f) A medida que el tiempo transcurre, ¿los autos recorren más o menos kilómetros? Explica. 0 260 520 780 1040 1300 1560 1820 2080 2340 2600 2860 Venta de helados Cantidad Precio ($) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Distancia (km) Trayectoria de 2 autos 1 2 3 Tiempo (h) Distancia (km) Tiempo (h) 30 1 Distancia (km) Tiempo (h) 80 2 4. Indica si las siguientes magnitudes se relacionan de manera directamente proporcionales. a) El número de hojas de un libro y su peso. b) El lado de un cuadrado y su perímetro. c) Los lados de un triángulo y su área. d) El número de trabajadores y los días que se demoran en terminar un trabajo. 5. Observa el rectángulo, completa la tabla y, con estos datos, construye el gráfico correspondiente. • ¿Qué sucede con el perímetro si la medida de b aumenta?, ¿y si disminuye? 6. Si A y B son dos variables que forman una proporción directa, completa la siguiente tabla. • Construye un gráfico a partir de los datos. Si unes los puntos, ¿qué resulta? a b Perímetro 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 • 2 + 2 • 3 = 10 A B 8 2 12 4 20 24 b 2 • Dos variables son directamente proporcionales si al aumentar (o disminuir) una de ellas, la otra aumenta (o disminuye) en un mismo factor. • Dos variables son directamente proporcionales si la razón entre las cantidades correspondientes se mantiene constante. Por ejemplo: = = 500 En general: = = k constante de proporcionalidad directa • La gráfica de cantidades directamente proporcionales es un conjunto de puntos que están en una línea recta que pasa por el origen de un sistema de coordenadas cartesianas. c d a b 1500 3 1000 2 NO OLVIDES QUE... 7. Resuelve los siguientes problemas utilizando el procedimiento que tú quieras. No olvides seguir los pasos aprendidos: comprender, planificar, resolver, responder y revisar. a) Los séptimos años de un colegio están juntando dinero para su paseo de fin de año. Hasta el momento llevan recaudado $ 270 000. Este dinero será repartido en forma proporcional al número de estudiantes que tenga cada curso. El 7º A tiene 42 estudiantes, el 7º B tiene 38 y el 7º C tiene 44 estudiantes. ¿Cuánto dinero le corresponde aproximadamente a cada curso en este momento? Explica paso a paso cómo lo calculaste. b) La suma de las medidas de los ángulos interiores del triángulo dibujado están en la razón α: β : γ = 2 : 4 : 6. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos del triángulo dibujado? c) Las edades de Gabriel, Andrea y Rodrigo están en la razón 1 : 2 : 3. Además, la suma de sus edades es 30 años. ¿Cuál es la edad de cada uno? d) Tres hermanas deben reunir $ 480 000 para mantener su hogar, aportando proporcionalmente los ingresos de cada una. Antonia gana $ 240 000, Alejandra gana $ 300 000 y Andrea $ 280 000. ¿Cuánto dinero debe aportar cada una, para que su aporte sea proporcional a su sueldo? En la familia de Javiera, varias personas cumplen años en julio y generalmente lo celebran todos juntos. Este año Javiera cumple 9 años, Jorge cumple 36 años, Andrés cumple 63 años y Ana cumple 81 años. Generalmente celebran en una misma fiesta todos los cumpleaños. 1. Javiera estuvo calculando las relaciones entre las edades. Escribe la razón entre las edades de: a) Javiera y Jorge b) Andrés y Ana c) Javiera y Ana 2. La tía Nena quería ponerles velitas a todos, pero como eran muchas disminuyó la cantidad de velas lo más posible, de modo que cada vela representa una cantidad de años. ¿Cuál es la menor cantidad de velas que podría usar? 3. El tío Pepe dice que les va a buscar regalos con un costo proporcional a los años que cumplen, pero que solo tiene $ 19 845 para todos los regalos. Calcula cuánto debiera destinar a cada uno. MI PROGRESO α β γ Aplicaciones: semejanza y escala Observa las figuras geométricas con sus respectivas medidas. En la situación anterior se obtiene el mismo cuociente al comparar las medidas respectivas de los rectángulos naranja y morado, entonces diremos que estos son semejantes. En cambio, los cuocientes entre las medidas respectivas de los rectángulos verde y morado no son iguales, es decir, estos rectángulos no son semejantes. • ¿Qué relación encuentras entre las medidas de cada figura?, ¿cuál es la razón entre las medidas del ancho y del largo de cada rectángulo? • Al comparar las medidas respectivas de los rectángulos verde y morado, ¿cómo son los cuocientes?, ¿y los de los rectángulos naranja y morado? • Si el cuociente entre las medidas respectivas de dos rectángulos es 2, ¿cómo interpretarías este número?, ¿qué información entrega? • Si el rectángulo morado se obtuvo luego de una transformación aplicada al rectángulo naranja, ¿qué características tiene esta transformación? PARA DISCUTIR • Dos figuras son semejantes si tienen exactamente la misma forma y conservan las mismas proporciones con respecto a la medida de sus lados, alturas, diagonales, aunque sus tamaños sean diferentes. • Dos figuras A y B son semejantes si para cada uno de los segmentos asociados a ellas (lados, alturas, diagonales, etc.) cumplen: = k donde k es un número constante que indica cuánto se agrandó la figura. • Una transformación de puntos en el plano que mantiene la forma pero no el tamaño, aunque modifica todas las medidas en la misma proporción, es una semejanza. longitud del segmento de la figura A longitud del segmento de la figura B NO OLVIDES QUE... 3 cm 5 cm 5,4 cm aproximadamente 4 cm 2 cm 5 cm 8 cm 10 cm 6 cm a) ¿Cuáles son las dimensiones del terreno en el plano? b) ¿Cuáles serán las dimensiones del terreno en la realidad? c) ¿Cuáles son las dimensiones reales de cada sala nueva? d) ¿Cuál es la razón entre el área del plano y el área real?, ¿están en la razón de la escala del plano? Explica. 5. En un mapa la distancia entre 2 ciudades es de 6,1 cm. Si la escala del mapa es 1 : 2 500 000, ¿cuál es la distancia real entre estas dos ciudades? 3. Si tienes dos cuadrados de distinto tamaño, ¿son siempre semejantes?, ¿qué otras figuras cumplen esta misma condición? Justifica. 4. Todos los mapas o planos debieran señalar la escala a la que están construidos, la cual indica la razón entre la medida en el mapa o plano y su medida real. Por ejemplo, el siguiente dibujo es el plano de la construcción de las nuevas salas y del gimnasio de un colegio, usando una escala de 1 : 1000, es decir, por cada 1 centímetro que midas en el plano, tendrás 10 metros reales. 1. Determina todos los rectángulos que sean semejantes al verde. 2. Construye en tu cuaderno un cuadrilátero A’B’C’D’ semejante al cuadrilátero ABCD de la figura, cuya razón de semejanza respecto a ABCD sea 0,75. EN TU CUADERNO 2 cm 2 cm 1 cm 2,25 cm 5,5 cm 2,5 cm 4 cm 4,5 cm 2,8 cm 5 cm A B D C 45º Salas antiguas Patio Gimnasio Salas nuevas Proporcionalidad inversa Para terminar la cosecha en un fundo, la agrónoma a cargo ha calculado que con 10 temporeras trabajando diariamente termina la cosecha en 30 días. La tabla muestra la relación que existe entre la cantidad de temporeras y los días que tardan en terminar la cosecha. Complétala en tu cuaderno, considerando que todas trabajan a un mismo ritmo. Esta situación la podemos representar por una curva llamada hipérbola. Observa. PARA DISCUTIR • ¿Qué sucedería si se contratara a 10 temporeras más?, ¿se demorarían más o menos tiempo?, ¿por qué? • ¿Cuántos días se demorarían 15 temporeras?, ¿cómo lo supiste? • En cada caso, ¿qué sucede con el producto entre ambas cantidades? • Observa el gráfico que se obtiene con los datos de la tabla. ¿En qué se diferencia del gráfico en que se representa una proporcionalidad directa? Cantidad de temporeras Cantidad de días 70 60 50 40 30 20 10 Nº de días Nº de temporeras 10 20 30 40 50 En la situación presentada, podemos observar que al aumentar la cantidad de temporeras, disminuye el tiempo que demoran en terminar la cosecha. Si consideramos que todas las temporeras trabajan a un mismo ritmo e igual cantidad de horas diarias, esta variación es proporcional; es decir, si trabaja el doble de las temporeras, el tiempo disminuye a la mitad, y si es el triple de temporeras, el tiempo disminuye a la tercera parte. Cuando las variables varían de esta manera se dice que son inversamente proporcionales. 5 10 30 20 30 40 50 6 1. En una fábrica de alimentos envasados, se embala una producción mensual de aceitunas en 6 000 cajas que pueden contener 36 latas cada una. Se quiere variar el tamaño de las cajas por otras con capacidad para 12 latas y otra para 72 latas. a) Suponiendo que la producción mensual es constante, ¿en cuántas cajas, de las nuevas, se puede embalar la producción mensual?, ¿cómo lo calculaste? b) Si la cantidad de latas disminuye a su tercera parte, ¿qué sucede con la cantidad de cajas, aumenta o disminuye?, ¿en cuánto? c) Si la cantidad de latas aumenta al doble, ¿cuántas cajas se necesitarán? Explica. 2. Andrés se demora 30 minutos en llegar a la casa de su abuela caminando a una velocidad constante. a) ¿Cuánto se demorará si en un día decide ir a la mitad de la velocidad que de costumbre? b) ¿Qué tipo de relación hay entre la velocidad a la que camina Andrés y el tiempo que demora en llegar a la casa de su abuela? 3. Un automovilista recorre un camino a 50 km/h demorándose 2 horas en llegar a la ciudad de destino. ¿Cuánto tiempo tardará en hacer el mismo trayecto a una velocidad de 100 km/h?, ¿cómo lo calculaste? 4. Un gran acuario se puede llenar vaciando en él el agua contenida en 24 bidones de 18 litros cada uno. ¿Cuántos bidones se necesitarán para llenar el mismo acuario con bidones de 3 litros? 5. Se tiene un rectángulo de 90 cm de largo y 40 cm de ancho. a) Si se mantiene constante su área, ¿cuánto tendría que medir el ancho, si el largo mide 120 cm? b) Y si el ancho midiera 45 cm, ¿qué medida tendría el largo? Explica. 6. Para llenar una pileta de 250 litros se utilizan mangueras cuya salida para el agua tiene un diámetro que varía en función del tiempo de llenado. Por lo que, mientras mayor es el diámetro de la manguera, mayor es la cantidad de agua que sale por ella. La siguiente tabla resume la información anterior: a) ¿Qué ocurre con el tiempo de llenado si se aumenta el diámetro de la manguera?, ¿y si se disminuye? b) Tomando como referencia la manguera de 15 cm, si se aumenta al quíntuplo (cinco veces su valor) su medida, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse la pileta? Tiempo de demora EN TU CUADERNO Diámetro de la manguera 2,5 cm 5 cm 15 cm 30 cm 90 minutos 45 minutos 15 minutos 7,5 minutos c) Construye en tu cuaderno el gráfico correspondiente. Si unes los puntos del gráfico, ¿qué obtienes? d) ¿A qué velocidad debe ir el vehículo para tardar 8 horas en llegar? e) Si el vehículo fuese a una velocidad de 30 km/h, ¿cuánto tiempo tardaría en llegar a destino? f) Si la velocidad promedio de una persona al caminar es de 5 km/h, ¿cuánto demoraría una persona en realizar el mismo viaje? 8. El volumen que ocupa y la presión que ejerce un gas a igual temperatura son inversamente proporcionales. Si 2 metros cúbicos de aire ejercen una presión de 1,5 atmósferas, ¿qué presión habría si el aire se expande y ocupa un volumen de 6 metros cúbicos? 9. Determina si las siguientes variables son inversamente proporcionales. a) La longitud de los lados de un triángulo equilátero y su perímetro. b) La cantidad de alimento para perros y el número de perros. c) Litros de bencina y kilómetros recorridos. 7. Para las próximas vacaciones, el 7º A de un colegio irá a un lugar sorpresa del sur de Chile. La única información que tienen es que si el bus va a 100 km/h, tardarían 5 horas en llegar al destino. a) ¿A qué distancia se encuentra esta ciudad? b) Completa la siguiente tabla que indica posibles velocidades del vehículo y el tiempo que utilizarían con cada una de ellas para llegar a la ciudad. • Dos variables son inversamente proporcionales si al aumentar o disminuir una de ellas un cierto número de veces, la otra disminuye o aumenta, respectivamente, en la misma proporción. • Dos variables son inversamente proporcionales si el producto entre las cantidades correspondientes se mantiene constante. En general: a • b = c • d = k constante de proporcionalidad inversa • La gráfica de cantidades inversamente proporcionales es un conjunto de puntos que están en una curva, llamada hipérbola. NO OLVIDES QUE... Velocidad (km/h) 100 Tiempo (h) 5 10 25 30 40 5 10 15 20 25 30 35 40 100 120 80 60 40 20 0 Tiempo (h) Velocidad (km/h) 1. Completa la tabla sabiendo que el área de cada rectángulo es 6 cm2 y construye el gráfico correspondiente. a) ¿Los lados a y b varían directa o inversamente proporcionales?, ¿por qué? b) Si dibujaras rectángulos usando las medidas dadas en la tabla, obtendrías rectángulos semejantes?, ¿por qué? 2. Si la medida de cada uno de los lados de un rectángulo se multiplica por 1,5, ¿en cuánto aumenta su área?, ¿cómo lo calculaste? 3. Si la siguiente figura representa un terreno rectangular y está dibujado a una escala de 1 : 10 000 cm, ¿cuáles son sus medidas reales en metros? 1 8 24 0,5 1 2 10. Si C y D son dos variables que forman una proporción inversa, completa la siguiente tabla. a) ¿Qué obtienes al calcular el producto en cada fila? b) Construye el gráfico correspondiente a esta tabla. 11. ¿En cuáles de las siguientes tablas las variables son inversamente proporcionales? Justifica tu respuesta. C D Producto entre C y D 6 8 48 12 48 x y 4 5 10 20 40 16 13 10 x y 7 8 11 14 17 5 25 50 x y 100 51 2 4 20 0,5 6 1,5 x y 1,2 5 4 1 40 MI PROGRESO Lado a (cm) Lado b (cm) 1,5 2 3 4 6 a b Nueve personas pintan una casa en 12 días, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos días demoran 18 personas en pintar la misma casa trabajando al mismo ritmo 6 horas diarias? Comprender • ¿Qué sabes del problema? 9 trabajadores pintan una casa en 12 días, trabajando a un mismo ritmo 8 horas diarias. El número de días de trabajo y la cantidad de personas que pintan la casa son variables inversamente proporcionales, cuando la jornada de trabajo es la misma. El número de días de trabajo y el número de horas de trabajo diario son variables inversamente proporcionales, cuando el número de personas que pintan la casa es la misma. ¿Qué debes encontrar? El número de días que demoran 18 personas en pintar la misma casa trabajando al mismo ritmo 6 horas diarias. Planificar • ¿Cómo resolver el problema? Como ambas proporciones son inversas, una posibilidad es contabilizar cuántas horas de trabajo en total son necesarias para terminar la obra, pintar la casa en este caso, y luego distribuirlo según las nuevas cantidades. Resolver • Horas que trabajó cada persona: 12 • 8 = 96 Horas de trabajo totales: 12 • 8 • 9 = 864 Para obtener el número de horas que trabajaría cada persona, podemos dividir el número total de horas de trabajo por el número de personas que pintarían la casa: 864 : 18 = 48 Para obtener el número de días en que se pintaría la casa, podemos dividir el resultado anterior por la cantidad de horas diarias de trabajo: 48 : 6 = 8. El número de días que demoran en pintar la casa. Revisar • Verificamos que 12 • 9 • 8 = 8 • 18 • 6, es decir, se cumple la condición de las proporciones inversas, que el producto de las cantidades es constante. BUSCANDO ESTRATEGIAS Unidad 4 1. Resuelve los siguientes problemas, aplicando la estrategia de la página anterior. a) 24 temporeras, trabajando al mismo ritmo, cosechan un predio de uva en 14 días, trabajando 6 horas diarias. ¿Cuántas temporeras se necesitan si se quiere terminar la cosecha en 12 días, trabajando 8 horas diarias? b) Si van 12 niños al campamento, los alimentos durarán 10 días, si consumen 3 raciones diarias cada uno. ¿Cuántos días durará la comida si van 15 niños, y consumen 4 raciones diarias cada uno? c) Si 25 telares producen cierta cantidad de tela en 12 turnos de 8 horas cada uno, ¿cuántos turnos de 10 horas demoran 60 telares iguales en producir la misma cantidad de tela? 2. Ahora resuelve el problema de la página anterior utilizando otra estrategia de resolución, explicándola paso a paso y compárala con las usadas por tus compañeros y compañeras. 3. Resuelve los siguientes problemas utilizando la estrategia que tú quieras. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a) En la fabricación de la pólvora se utiliza carbón, salitre y azufre, de manera que: el carbón y el salitre están en la razón 16 : 5, y el salitre con el azufre en la razón 10 : 3. ¿Cuántos kilogramos de carbón, salitre y azufre se usan para fabricar 5940 kilogramos de pólvora? b) Tres máquinas iguales trabajando 6 horas cada día fabrican 1800 piezas. ¿Cuántas piezas pueden fabricar 5 máquinas trabajando 8 horas cada día? c) Doce animales consumen 300 kilogramos de alimentos en 30 días. ¿En cuántos días, 60 animales consumirán 600 kilogramos de alimentos? d) Ocho llaves llenan un estanque de 6000 litros en 4 horas. ¿En cuántas horas llenan 6 llaves un estanque de 4000 litros en iguales condiciones? e) El siguiente plano muestra las medidas a escala y la forma de un terreno que está en venta. • ¿Cuál es el valor del terreno en UF, si el metro cuadrado cuesta 1,5 UF? escala 1 : 1000 2 cm 2 cm 10 cm 4 cm CONEXIONES La máscara áurea Las máscaras arquetípicas del rostro humano son el resultado de las investigaciones sobre el atractivo del rostro humano del Dr. Stephen R. Marquardt. Se cree que estas máscaras representan la esencia de las preferencias en la forma de un rostro humano universal de toda nuestra especie. Las máscaras no representan un ideal o preferencia particular de una raza o etnia. Las máscaras, para cada expresión facial (neutra, felicidad, tristeza, miedo, ira, asco, etc.), utilizan la razón áurea para establecer la distancia ideal entre los diferentes elementos de un rostro. Su invento tiene aplicaciones directas en cirugía plástica y reparadora, así como para maquillarse. La máscara tiene derechos reservados (copyright) del Dr. Stephen R. Marquardt y “Marquardt Aesthetic Imaging Inc.” y son cortesía de nuestro sitio web: www.beautyanalysis.com. Máscara Marquardt de mujer adulta en la expresión de reposo, vista frontal. CIENCIA 1. Averigüen: a) ¿Cuál es la proporción correspondiente a la proporción áurea? b) ¿Cuál es el valor del número áureo (), correspondiente a la razón áurea? c) ¿En qué elementos de la naturaleza se aprecia la proporción áurea? d) ¿En qué obras arquitectónicas se aprecia la proporción áurea? 2. Ingresen a http://www.beautyanalysis.com/index2_mba.htm observen y comenten: a) ¿Creen que esta máscara es buena referente para determinar la belleza de un rostro? b) ¿Para qué situaciones puede ser beneficioso basarse en los cánones presentados en esta máscara? 1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según corresponda. Luego, comparen y comenten sus respuestas. 2. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo? Respeté las opiniones de los demás integrantes. Cumplí con las tareas que me comprometí. Hice aportes interesantes para desarrollar el trabajo. EVALUAMOS NUESTRO TRABAJO Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3 SÍNTESIS Unidad 4 A continuación se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la unidad. Construye con ellos un mapa conceptual, en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que indican las relaciones que hay entre los conceptos. Utilizando los contenidos aprendidos en la unidad y apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno. 1. ¿Qué es una razón? Explica con dos ejemplos. 2. ¿Qué es el valor de una razón? 3. ¿Qué es una proporción? Da dos ejemplos. 4. Menciona dos situaciones en las cuales las magnitudes varíen proporcionalmente y dos en las cuales no varíen proporcionalmente. 5. ¿Qué tipo de situaciones puedes resolver con proporcionalidad directa?, ¿y con proporcionalidad inversa? Da dos ejemplos para cada caso. 6. Comenta tus respuestas con tus compañeros y compañeras, y aclara tus dudas. Razones y proporciones Variaciones no proporcionales Recta que pasa por el origen Proporcionalidad directa Proporcionalidad inversa Variaciones proporcionales Hipérbola Cuociente Producto 1. Si un árbol tiene una sombra que es el triple del tamaño de su altura, ¿en qué razón están el árbol y su sombra? A. 1 : 4 B. 1 : 3 C. 4 : 1 D. 3 : 1 2. Un auto viaja a 85 kilómetros en una hora. Si mantiene esta velocidad y no para, ¿cuántos kilómetros puede recorrer en 4 horas? A. 320 km B. 330 km C. 340 km D. 350 km 3. En una florería el precio de cada rosa es de $ 1200. ¿Cuánto cuestan 8 rosas? A. $ 8600 B. $ 9660 C. $ 9600 D. $ 10 600 4. ¿Cuál de las siguientes cantidades son directamente proporcionales? A. La edad de una persona adulta y su altura. B. El lado de un hexágono regular y su perímetro. C. Los lados de un rombo y su área. D. El número de trabajadores y los días que se demoran en terminar un trabajo. 5. Si 5 pintores logran pintar una casa en dos días, ¿cuántos días se demorarán 10 pintores al mismo ritmo? A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 6. Si 1 kg de manjar se puede envasar en 4 frascos de 250 g, ¿cuántos frascos de 100 g son necesarios para envasar 1 kg de manjar? A. 8 B. 15 C. 10 D. 25 7. ¿Cuál de las siguientes cantidades son inversamente proporcionales? A. Litros de bencina y kilómetros recorridos. B. La altura de una persona y la longitud de su sombra. C. La cantidad de alimento para perros y el número de perros. D. La cantidad de llaves abiertas en un estanque y el tiempo que demora en llenarse ese estanque, manteniendo constante el flujo de agua en cada llave. 8. Un mapa está trazado a una escala de 1 : 100 000. Si la distancia en el plano entre una ciudad A y B es de 7,8 cm, ¿cuál es la distancia real? A. 780 km B. 7800 cm C. 7800 km D. 7,8 km ¿QUÉ APRENDÍ? Marca, en tu cuaderno, la alternativa correcta en las preguntas 1 a la 8. 9. El plano de una ciudad está dibujado usando una escala de 1 : 10 000. ¿Con qué longitud se representa en el plano la distancia de 2500 m entre dos lugares de la ciudad?, ¿cómo lo calculaste? 10. Una llave llena una piscina en cinco horas. Si se abre otra llave con igual flujo, ¿cuánto tiempo demora en llenarse la piscina? 11. Un ganadero tiene 30 vacas y alimento para ellas durante 8 días. Vende 18 vacas. Si a todas le da la misma cantidad de alimento, ¿cuántos días puede alimentar las vacas que le quedan con el alimento que tiene? 12. El perímetro de un triángulo es 240 cm y sus lados están en la razón 3 : 5 : 7. ¿Cuánto mide cada lado? 13. La suma de tres números es 300 y ellos están en la razón 3 : 4 : 5. ¿Cuáles son los números? 14. Don Miguel desea repartir $ 560 000 entre sus cuatro hermanos de modo que sus partes estén en la razón 1 : 2 : 3 : 4. ¿Cuánto recibe cada uno? Explica paso a paso el procedimiento que utilizaste. Compara tus respuestas en tu curso. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio. 1. Marca según tu apreciación. Razones y proporciones. Variaciones proporcionales y no proporcionales. Proporcionalidad directa. Aplicaciones: semejanza y escala. Proporcionalidad inversa. Resolución de problemas. 2. Reflexiona y responde. a) ¿Qué dificultades tuviste en la unidad?, ¿cómo las superaste? b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la unidad?, ¿por qué? c) Vuelve a la página 92 y revisa el recuadro “En esta unidad podrás…”, ¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica. ¿QUÉ LOGRÉ? No lo entendí Lo entendí Puedo explicarlo Lado del cuadrado Página 91 9. Sí, con cualquier triángulo y cualquier cuadrilátero se puede teselar el plano, ubicándolos de manera adecuada. 10. Pregunta abierta. Página 94 ¿CUÁNTO SABES? 1. a) d) g) b) e) h) c) f) i) 3. Una de las opciones de fracciones equivalentes puede ser: a) d) g) b) e) h) c) f) i) 4. a) 0,75 d) 0,833333... g) 0,8 b) 0,8 e) 1,3 h) 0,25 c) 0,125 f) 0,6 i) 0,25 5. a) d) g) b) e) h) c) f) i) 6. a) < d) = g) < b) > e) > h) >
c) < f) = i) >
Página 95
7. a) 30 d) 15 g) 6
b) 9 e) 64 h) 42
c) 1 f) 5 i) 10
8. a) 2,4 km c) 5,835 km e) 3,65 km
b) 0,7 km d) 1,4 km f) 0,0723 km
9. a) 300 000 m c) 1250 m e) 32 m
b) 4,5 m d) 12,85 m f) 6425 m
Página 97
1. a) 1 : 3 b) 7 : 5 c) 1 : 4 d) 2 : 9
2. a) Sí b) No c) Sí d) Sí
3. a) No b) No c) Sí d) Sí
4. a) 2 b) 35 c) 44 d) 10
5. a) 16 554 576 habitantes.
b) No.
Página 99
1. a) No c) No e) No g) Sí i) No
b) No d) No f) Sí h) Sí
2. a) No
b) Sí
c) Los datos de la tabla 2 son proporcionales.
3.
El lado del cuadrado no es proporcional a su área.
El lado de un cuadrado es proporcional a su
perímetro.
Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve los ejercicios en tu cuaderno.
1. Compara los siguientes números y escribe los signos <, > o =, según corresponda:
a) 12 21 d) 89 98 g) 860 950
b) 10 24 e) 345 354 h) 64 751 62 751
c) 33 32 f) 5732 5645 i) 143 538 143 358
2. Ordena los siguientes números de menor a mayor.
a) 465; 523; 235; 654; 645; 253; 653; 526; 546
b) 587; 564; 598; 589; 543; 528; 509; 506; 548
c) 712; 724; 780; 795; 786; 719; 725; 781; 777
d) 3675; 3796; 3734; 3802; 3654; 3808; 3662
3. Dibuja una recta numérica para cada caso, gradúala en forma conveniente y ubica
en ella los siguientes números:
a) 565; 560; 585; 540; 555; 570 c) 444; 440; 420; 424; 422; 442
b) 239; 236; 224; 237; 220; 235 d) 1486; 1483; 1490; 1495; 1481; 1492
4. Resuelve las siguientes operaciones:
a) 42 + 101 + 9 = h) 64 – 28 – 13 =
b) 80 + 15 – 35 = i) 673 + 723 – 962 =
c) 42 + 17 – 23 = j) 175 + 834 – 347 =
d) 32 – 17 + 9 = k) 894 – 324 + 55 =
e) 132 – 25 – 91 = l) 927 – 716 + 24 =
f) 84 – 12 – 48 = m)635 – 490 + 212 =
g) 90 – 18 – 12 = n) 922 – 523 – 219 =
¿QUÉ DEBES RECORDAR?
• El conjunto de los números naturales tiene un número infinito de elementos. Se denota
con el símbolo N y sus elementos son: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…}
• El conjunto de números cardinales se denota por N0 y sus elementos son: N0= {0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7,…}
• Todo número natural tiene un sucesor y un antecesor (excepto el 1). El sucesor de un
número natural se obtiene sumando uno (n + 1) y el antecesor se obtiene restando uno (n – 1).
• La adición y multiplicación de dos números naturales siempre da como resultado un
número natural.
• Los términos de una adición se llaman sumandos y el resultado, suma o total.
n + a = b
• Los términos de una sustracción se llaman minuendo y sustraendo, y el resultado, resta o
diferencia. a – b = d
• Decimos que un número a es menor que un número b cuando existe otro número positivo n
que sumado con a nos da b, o sea, a < b, si existe un número n > 0, tal que n + a = b.
• De igual forma, decimos que un número a es mayor que un número b cuando existe otro
número positivo n que sumado con b nos da a, o sea, a > b, si existe un número n > 0,
tal que a = n + b.
5. Thales de Mileto, sabio de la antigua Grecia, nació alrededor del año
640 a. C. y murió cerca del año 560 a. C. ¿Cuántos años vivió,
aproximadamente? Explica paso a paso cómo lo calculaste.
6. El Aconcagua es el cerro más alto de la cordillera de los Andes con una
altura de 6959 metros sobre el nivel del mar, y es además, el punto más
alto del hemisferio sur. Por otra parte, en el océano Pacífico, cerca de
nuestras costas se encuentra la fosa de Atacama con una profundidad
cercana a los 8000 metros (bajo el nivel del mar).
a) ¿Cuánto es la diferencia aproximada, en metros, entre la cima del
Aconcagua y la profundidad de la fosa de Atacama?
b) Si pudieras trasladar el cerro Aconcagua y apoyar su base en la fosa de
Atacama, ¿aparecería la cumbre por sobre el nivel del mar? Justifica.
c) ¿A qué distancia quedaría la cumbre del nivel del mar? Explica paso
a paso cómo lo calculaste.
Compara tus respuestas en tu curso. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue
el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.
sumandos suma o total
minuendo sustraendo resta o diferencia
PARA DISCUTIR
Números negativos
En muchas ocasiones de nuestra vida utilizamos números. Los números
naturales los has estudiado en años anteriores y se usan día a día en
múltiples situaciones para ordenar, contar o identificar. Pero ¿solo
existen estos números?
Lee atentamente la siguiente situación:
La señora Juana vende cubos de helado que prepara en
su casa.
Si al poner los cubos en el congelador su temperatura
es de 24 oC y suponiendo que esta disminuye cada hora
en 3 oC, completa en tu cuaderno una tabla como la
siguiente:
En la sustracción que resuelve la pregunta anterior se desea restar
de 24 una cantidad mayor, pero esta operación no tiene solución en
los números naturales. Como una forma de dar solución a este tipo de
sustracciones es que en Occidente, a fines del siglo XV, surgen los
números negativos.
Los números negativos se utilizan en diversos contextos, como la
representación de deudas, profundidades bajo el nivel del mar y
temperaturas bajo cero, entre otros. Observa algunos ejemplos:
– La cuenta de José en el banco registra un saldo de –$ 14 597.
– En Punta Choros hay un barco hundido, llamado Lynch, que
naufragó en 1912 y está aproximadamente a –30 metros.
• ¿Qué temperatura tendrán los cubos al transcurrir 7 horas?,
¿y en 8 horas?
• ¿Qué temperatura tienen los cubos cuando están listos?
¿Cómo representas esta temperatura?, ¿por qué?
• Si la temperatura de los cubos disminuye en 33 oC para que estén
listos, ¿qué sustracción plantearías para calcular la temperatura que
tienen los cubos cuando están listos?, ¿cómo la resolverías? Explica.
Tiempo
Después
de 1 hora
Después
de 2 horas
Después
de 3 horas
Después
de 4 horas
Después
de 5 horas
Después
de 6 horas
Temperatura
de los cubos
21 oC 18 oC
Después
de 3 horas
Después
de 4 horas
Después
de 5 horas
Después
de 6 horas
Son las 10 de la noche,
en consecuencia, a las
9 de la mañana los
cubos estarán listos.
En las situaciones presentadas se utilizan números con un signo “–”
delante, lo que significa que los valores son negativos, o sea, menores
que cero.
Analiza ahora la siguiente situación:
Felipe tiene, en su cuenta, $ 4000 pero debe pagarle $ 5000 a María
y los retira en un cajero. Al imprimir el saldo le sale –$ 1000.
¿Qué ocurrió?
Resolvamos la sustracción:
4000 – 5000 = … no se puede resolver en los números naturales.
Pero sabemos que 5000 se puede descomponer en 4000 + 1000.
Entonces nos queda:
4000 – (4000 + 1000) = 4000 – 4000 – 1000 = 0 – 1000
Felipe al sacar del cajero el dinero que le debe a María, no solo se
queda sin dinero, sino que todavía mantiene una deuda, pero ahora
con el banco. Esta deuda se representó anteponiendo a la cantidad
de dinero el signo “–”, es decir, –$ 1000.
1. Rodrigo va a visitar a su prima que vive en el 7º piso de un edificio. Deja su auto en un estacionamiento
para visitas que está en el segundo subterráneo.
a) Al llegar debe anunciar su visita al conserje del edificio que está en el primer piso. ¿Cuántos
pisos sube?
b) ¿Cuántos pisos sube en total Rodrigo para llegar del estacionamiento al departamento de su prima?
c) Cuando se va debe bajar al segundo subterráneo, ¿qué botón aprieta, el 2 o –2?
2. Un albatros va volando a 25 m sobre el mar. Observa un pez nadando y se lanza en picada para
cazarlo. Si desde que se lanza hasta que llega al pez hay una distancia de 29 m, ¿a qué profundidad
estaba el pez cuando lo cazó el albatros?
3. Resuelve cada sustracción y explica paso a paso la estrategia utilizada.
a) 150 – 220 = b) 459 – 624 = c) 1343 – 3218 =
EN TU CUADERNO
Una sustracción donde el minuendo es menor que el sustraendo no tiene solución en los
números naturales, porque su resultado es un número negativo, que es siempre menor
que cero. Para resolverla puedes restar al sustraendo el minuendo y anteponer a la
diferencia el signo “–”.
NO OLVIDES QUE…
Números enteros en nuestra vida
¿Sabías que todos los lugares de la Tierra que están en el mismo
meridiano tienen igual hora solar? Esto se debe a que todos los puntos
que atraviesa tienen al Sol en la vertical a mediodía.
Como la circunferencia que representa el diámetro de la Tierra mide
360º y el día solar se divide en veinticuatro horas, la Tierra se puede
dividir en veinticuatro franjas imaginarias de una hora, llamadas
husos horarios. Esto significa que cada 15º de longitud hay una hora
de diferencia. Observa el mapa:
Sin embargo, cada país tiene su propia hora oficial, que en muchas
ocasiones no coincide con la hora solar.
En la imagen anterior puedes observar que se utilizan números con
signo “+” (números positivos), otros con signo “–” (números negativos)
y el cero. Estos números forman el conjunto de los números enteros.
PARA DISCUTIR
• Cecilia vive en Madrid y llama a su primo Miguel, que vive en Chile,
a las ocho de la noche (de Madrid). ¿A qué hora de Chile recibe la
llamada Miguel?, ¿cómo lo supiste?
• ¿Cuántas horas de diferencia hay entre Santiago y Sídney?
• A las 12:00 p.m. de Alaska, ¿qué hora es en Nueva York?
• Manuel viaja de Santiago a Miami y el avión en que sale parte a las
9:00 a.m. Si se estima que el viaje demora 10 horas, ¿a qué hora
(de Miami) llega?
Diferencias horarias en nuestro planeta
Los números enteros se utilizan también en situaciones en las que
tenemos que distinguir entre una deuda y una ganancia, entre
temperaturas bajo cero y sobre cero; entre estar bajo o sobre el
nivel del mar.
1. Observa la ilustración. ¿Qué elementos se encuentran sobre el nivel del mar y cuáles por debajo?
a) Si el buzo está a 110 m de profundidad,
¿es correcto decir que está a 110 m?, ¿por qué?
b) Si la gaviota vuela a una altura aproximada de
200 m, ¿es correcto decir que está a +200 m?,
¿por qué?
2. Expresa usando números positivos o negativos las
siguientes situaciones:
a) Un termómetro marca 7 °C bajo cero.
b) El mar Mediterráneo tiene una profundidad máxima de 5000 m.
c) En 1864 se creó la Cruz Roja.
d) Roberto tiene una deuda de $ 300 000.
e) El pozo tiene 14 m de profundidad.
f) El monte Aconcagua tiene 6959 m de altura sobre el nivel del mar.
3. Lee y resuelve los siguientes problemas:
a) Inicialmente un termómetro marca 10 °C, en dos horas aumenta 20 grados y luego disminuye
en 35 grados. ¿Cuál es la temperatura final que marca el termómetro?
b) En un edificio de 20 pisos y tres subterráneos, el ascensor realiza el siguiente recorrido: del piso
15 baja al 2, luego va al primer subterráneo, subiendo nuevamente al tercer piso. Si el piso cero
corresponde a la entrada principal del edificio donde está la recepción, ¿cuántos pisos recorrió
el ascensor en el trayecto descrito?
EN TU CUADERNO
El signo “–” delante de un número indica que es un número negativo, es decir, menor que
cero. El signo “+” delante de un número o la ausencia de este indica que es un número
positivo, es decir, mayor que cero. El cero no es un número negativo ni positivo. El conjunto
de los números enteros se simboliza por  y responde a la necesidad de dar solución a la
sustracción que no tiene solución en el conjunto de los números naturales (N), es decir,
cuando el sustraendo es mayor o igual que el minuendo.
NO OLVIDES QUE…
Valor absoluto y recta numérica
Observa la posición del avión
y del submarino que aparecen
en el dibujo.
Debes tener presente
que para hablar de
distancias no importa
el signo del número.
A yuda
1. Un hombre nació el año 8 a. C. y una mujer el año 17 a. C.
a) ¿Cuál de los dos nació más próximo al nacimiento de Cristo?
b) ¿Qué edad tiene cada uno a la fecha en que nace Cristo?
2. Determina los siguientes valores absolutos:
a) |–10| = c) |23| = e) |–23| = g) |–53| =
b) |8| = d) |–2| = f) |0| = h) |–35| =
EN TU CUADERNO
PARA DISCUTIR
• La distancia que hay entre un número y el cero la representaremos a través del valor
absoluto. El valor absoluto de un número a lo escribiremos |a|. Por ejemplo:
La distancia entre –200 y cero en la recta numérica es 200, entonces |–200| = 200.
La distancia entre 200 y cero en la recta numérica es 200, entonces |200| = 200.
• Dos números son opuestos si tienen el mismo valor absoluto y distinto signo.
Por ejemplo, –2 y 2 son opuestos.
• ¿Cuál es la distancia entre el avión y el nivel del mar?
• ¿Cuál es la distancia entre el submarino y el nivel del mar?
• ¿Cómo son las distancias que hay entre cada objeto y el nivel del mar?
NO OLVIDES QUE…
200 m
–200 m
Para representar los números enteros en una recta numérica, trazamos
una recta, ubicamos en ella los números naturales, agregamos el cero
y, a su izquierda, los números negativos.
Es decir, se continúa la recta hacia la izquierda del cero y, respetando la
medida que tiene la unidad, ubicamos primero el –1 (a la izquierda
del 0), luego el –2 (a la izquierda del –1), el –3 (a la izquierda del –2),
y así sucesivamente.
Un número y su opuesto
se encuentran a la misma
distancia del cero.
A yuda
1. Si tienes la siguiente recta y un compás, ¿cómo ubicarías los números negativos –2, –4 y –5? Explica.
2. Dibuja una recta numérica, gradúala en forma conveniente para cada caso y ubica en ella los
siguientes números enteros:
a) 3; –8; –1; 7; –12 b) 42; –32; 28; 20; –48 c) 12; –35; –24; –25; 6
EN TU CUADERNO
En esta actividad deberán construir una recta numérica para representar números
enteros, y establecer relaciones de orden entre ellos.
Instrucciones:
1. Dibujen, usando la regla, una recta a lo largo de la hoja de papel milimetrado.
2. Usen 1 cm como una unidad y dividan la recta numérica en unidades.
3. Elijan la marca que haya quedado cercana al centro de la hoja para ubicar el cero.
4. Anoten los números positivos a la derecha del cero. Recuerden que cada marca que hicieron
corresponde a una unidad.
5. Cada uno elige 3 números negativos y los ubica en la recta numérica a la izquierda del cero.
Pueden utilizar el compás, si es necesario.
6. Comparen los procedimientos que utilizó cada uno. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué?
7. Si deseo ubicar el número –1000 en la recta numérica, ¿qué debo hacer? Expliquen paso a
paso cómo lo harían.
EN EQUIPO
• En la recta numérica, un número, positivo o negativo, es mayor que todos los números que
están a la izquierda de él y es menor que cualquier numero que esté a la derecha de él.
0 1 2 3 4 5 6 7
Materiales:
• 1 hoja de papel
milimetrado
• Regla
• Compás
NO OLVIDES QUE…
Orden y comparación en números enteros
Observa la posición del buzo y de la red que
aparece en el dibujo. Ambos se encuentran bajo
el nivel del mar. Pero ¿cuál de ellos está más
cerca de la superficie?
En el dibujo, podemos representar gráficamente
las distancias entre el buzo, la red y la superficie
del mar con una recta numérica, donde el cero
corresponde al nivel del mar.
1. Completa con los signos <, > o =, según corresponda:
a) –25 –27 c) –45 –45 e) –33 –32 g) –5 –15
b) –42 –39 d) –10 –24 f) –89 –98 h) –12 –21
EN TU CUADERNO
• ¿Cuál es la distancia entre el buzo y el nivel del mar?
• ¿Cuál es la distancia entre la red y el nivel del mar?
• ¿El buzo está a menor o mayor distancia que la red del nivel del mar?
• ¿Qué número es mayor: –1 o –3? Justifica.
• En los números negativos, para determinar cuándo un número es mayor que otro hay
que considerar sus valores absolutos. El de menor valor absoluto corresponde al número
que está más cerca del cero, por lo tanto, al número mayor.
Por ejemplo, para comparar –4 y –7 se consideran los valores absolutos de cada número:
|–4| = 4
|–7| = 7
Gráficamente tenemos:
–7 –4 0
Como 4 < 7, entonces –4 > –7.
NO OLVIDES QUE…
PARA DISCUTIR
0
–1
–3
2. Ordena los siguientes números de menor a mayor:
a) 56; 28; –98; –14; 37 c) 35; –48; –19; –18; 27
b) –64; 93; –20; 5; –67 d) –13; –17; 11; –19; –12
3. Remplaza el valor de a y completa la tabla con los resultados que se obtienen en cada caso.
4. Completa escribiendo mayor o menor, según corresponda:
a) Cualquier número negativo es que un número positivo.
b) El cero es que cualquier número negativo.
c) El valor absoluto de un número es siempre o igual que el mismo número.
a – 1 a a + 1
7
–5
–1
–100
–19
Jorge y María están analizando el dinero que van a recibir y lo que deben pagar este mes:
• Dividendo: $ 90 000 • Sueldo María: $ 160 000
• Alimentación: $ 80 000 • Locomoción: $ 32 000
• Sueldo Jorge: $ 120 000 • Medicamentos y doctor: $ 25 000
• Cuentas de la casa: $ 65 000 • Otros gastos: $ 5 000
1. Representa las entradas y gastos de Jorge y María utilizando números enteros.
2. Ordena todos sus gastos de menor a mayor.
3. Compara el total de entradas y el total de gastos. ¿Pueden pagar sus gastos o les
falta dinero este mes?
4. Si no hubiesen tenido que ir al doctor ni comprar los medicamentos y no hicieran
ningún gasto extra, ¿podrían ahorrar?, ¿cuánto?
MI PROGRESO
• Tal como hablamos del conjunto de los números naturales (N), podemos hablar ahora
de un nuevo conjunto numérico: el conjunto de los números enteros (), que está
compuesto por los números naturales, el cero y los números negativos.
• Los números enteros, excepto el cero, son números con signo, ya sea positivo o negativo.
Usualmente cuando el número es positivo, no se escribe el signo +.
NO OLVIDES QUE…
Adición de números enteros
En un campeonato de fútbol, el 7º A ganó el primer partido con un
marcador de 2 goles a favor.
El partido siguiente lo ganó también, esta vez con 3 goles a favor.
¿Cuántos goles a favor lleva en total?
Esto lo escribimos así: 2 + 3 = 5
En el siguiente partido, el equipo tuvo peor suerte y perdió por
7 goles en contra. ¿Cuál es la diferencia de goles para este equipo,
hasta el momento?
Lo expresamos así: 5 + (–7) = –2
En el último partido, aún afectados por la derrota anterior, volvieron
a perder, esta vez por 2 goles en contra. ¿Cuál es, finalmente,
la diferencia de goles para este equipo?
Lo indicamos así (–2) + (–2) = –4
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2
2
–2 –2
–7
3
1. Responde, ayudándote con el termómetro.
a) Si había 8 ºC bajo cero y la temperatura subió 14 grados, ¿cuál es la temperatura?
b) Si había 2 ºC bajo cero y la temperatura subió 5 grados, ¿cuál es la temperatura?
c) Si había 10 ºC bajo cero y la temperatura subió 8 grados, ¿cuál es la temperatura?
2. Calcula usando la recta numérica.
a) 20 + 20 = f) (–3) + 7 = k) (–18) + 25 =
b) 20 + 10 = g) (–3) + 4 = l) (–18) + 7 =
c) 20 + 0 = h) (–3) + 0 = m) (–18) + 0 =
d) 20 + (–10) = i) (–3) + (–4) = n) (–18) + (–7) =
e) 20 + (–20) = j) (–3) + (–7) = ñ) (–18) + (–25) =
EN TU CUADERNO
• ¿Qué significa el resultado –4 en el contexto del problema?
PARA DISCUTIR
3. Completa los cuadrados mágicos de modo que la suma de cada fila, columna y diagonal sea la misma.
a) b) c) d)
4. Completa cada pirámide respetando la regla dada en la pirámide de color.
a) b)
5. Remplaza cada letra por los valores dados y completa la tabla con el resultado en cada caso.
9 5
3
1 –3
–9 –5
–3
–1 3
–6 –2
4 0
6
6 2
–4 0
–6
a + b
a b
–2
–5
–2 –3 15
0
–10 0
–7 –8
a b c a + b a + c c + b
2 –3 –4 a + b a + c c + b
–1 4 2 a + b a + c c + b
1 2 3 a + b a + c c + b
–2 –2 –3 a + b a + c c + b
Con las siguientes secuencias de teclas, se obtienen números negativos. Observa y luego practica formando
otras secuencias que te den como resultados los números propuestos.
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
a)
b)
c)
d)
2 – 5 + 2 =
9 – 3 – 6 – 3 =
2 + 7 – 1 5 + 2 =
–1
–3
–4
–3
–7
–4
–12
¿En cuántos grados varió la temperatura cada día?
Para responder esta pregunta podemos plantear las
siguientes sustracciones:
Variación del día lunes: 13 – (–4) = ¿?
Variación del día martes: 10 – (–2) = ¿?
Antes de resolverlas recordemos que para calcular el
resultado de: 15 – 6, tienes que buscar el número
que sumado con 6 es igual a 15.
Y ese número es 9, porque 9 + 6 = 15.
Aplicando la misma estrategia, para calcular la
sustracción 13 – (–4), buscamos un número que
sumado con –4 dé como resultado 13.
–4 + ¿? = 13 Y la respuesta es 17, porque –4 + 17 = 13.
Observa ahora cómo obtener el resultado de las sustracciones
planteadas.
Variación del día lunes:
13 – (–4) = 13 + 4 = 17
Ahora respondemos la pregunta:
El lunes la temperatura varió 17 ºC y el martes, 12 ºC.
Sustracción de números enteros
Observa la siguiente conversación:
Ayer lunes,
la mínima fue de
–4 oC y la máxima
de 13 oC.
En cambio, hoy
martes, la mínima
fue de –2 oC y la
máxima de 10 oC.
Nosotros utilizamos los
grados Celsius (ºC) para
medir temperaturas. Sin
embargo, en otros lugares
como Norteamérica
utilizan los grados
Fahrenheit (ºF).
Los científicos, en cambio,
miden las temperaturas en
Kelvin (K).
0 ºC equivale a 32 ºF.
0 K equivale a –273 ºC.
D ato interesante
Variación del día martes:
10 – (–2) = 10 + 2 = 12
PARA DISCUTIR
• ¿Cuál es la variación entre las temperaturas mínimas de los días lunes
y martes?, ¿y entre las temperaturas máximas?
• ¿Qué indican los signos en cada caso?
• Para restar dos números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.
Ejemplos:
–4 – (–1) = –4 + (+1) = –3 –3 – 7 = –3 + (–7) = –10
En general, si a y b son números enteros, se cumple que:
a – b = a + (–b)
NO OLVIDES QUE…
EN TU CUADERNO
1. Resuelve las siguientes sustracciones utilizando la recta numérica. Observa el ejemplo.
–3 – (–4) = –3 + 4 –3 – (– 4) = 1
a) –5 – (–3) = c) –5 – (–1) = e) –9 – 2 =
b) –7 – 5 = d) –5 – 8 = f) –4 – (–8) =
2. Resuelve las siguientes sustracciones sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.
a) –6 – 16 = c) 3 – (–4) = e) 4 – (–7) =
b) –7 – (–7) = d) –12 – (–6) = f) –9 – (–2) =
3. Completa la tabla con la variación de temperaturas en cada día.
4. Remplaza cada letra por los valores dados en cada caso y completa la tabla.
5. El esquema muestra los pilares de un puerto.
a) Considerando el muelle del puerto, ¿cuál
es la longitud aproximada de cada pilar?
b) ¿Cuánto más largo es el pilar de mayor
longitud que el de menor longitud?
–3 –2 –1 0 1 2
+ 4
Lunes
Máxima Mínima
12 oC
Variación de temperaturas
22 oC
17 oC –2 oC
16 oC –4 oC
19 oC 12 oC
20 oC –3 oC
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
a b c a – b b – a b – c c – b a – c
–3 –8 5 a – b
10 –9 –4 a – b
6 –15 3 a – b
0 –1 1 a – b
+ 1 m
Nivel 0
– 1 m
– 2 m
– 3 m
– 4 m
Adiciones y sustracciones combinadas
Algunos países de Europa,
como Holanda, son llamados
Países Bajos, debido a que
gran parte de sus territorios
se encuentran bajo el nivel
del mar, y no porque la
gente que ahí habita sea
pequeña.
En la ilustración aparece un
esquema de niveles muy
frecuentes en estos países y un
buzo recorriendo sus costas.
Esta situación se puede expresar matemáticamente de la siguiente
manera:
0 + (–4) + 2 + (–5)
Para resolver problemas como estos, te sugerimos agrupar todos
los números positivos y sumarlos; luego, agrupar todos los números
negativos y sumarlos. Finalmente, sumar los valores obtenidos.
0 + (–4) + 2 + (–5) = (0 + 2) + ((–4) + (–5)) = 2 + (–9) = –7
1. Calcula.
a) 7 – (–4) – (–3) = e) –6 – 3 – (–8) + (–5) – 17 =
b) –3 + (–8) – 4 = f) 7 – (–9) – (–11) – 13 – 1 =
c) 10 – (–19) + (–29) = g) –15 – 10 – 25 – 50 + 100 =
d) 18 – 6 – 8 + 5 – 3 + 7 = h) –100 – 500 – (–400) + 600 =
2. Resuelve calculando primero lo que está dentro de los paréntesis.
a) –(–2 + 6) + (9 – 4) = e) (–24) + 43 = i) –(–1 + 4) – (–7 + 1) =
b) –2 – (–6 – 4 + 3 – 2) = f) 8 – (–4 – 6) = j) –3 – (–5 + 7 – 2) =
c) –4 – 9 + (–6 – 2) –1 = g) –(–2 + 8) – (9 – 5) = k) –3 – (4 – 7 – 2) =
d) –10 – (7 – 9) = h) (4 – 17) – (17 – 4) = l) [–4 – (–2 – 3) + 5] –1 =
EN TU CUADERNO
PARA DISCUTIR
• Si un buzo se sumerge 4 metros, luego sube 2 metros y finalmente
desciende 5 metros más, ¿a qué profundidad se encuentra al final de
su recorrido?
3. Resuelve las siguientes operaciones con una recta numérica. Guíate por el ejemplo.
3 + (–4) – (–8) = 3 + (–4) + 8 = 7
a) (–4) + 5 – (–4) = c) 20 + (–3 – 5) + (–3) – (–2) = e) 2 + (–2) – (13 – 4) + 9 =
b) (–6) – (–8) – (–1) = d) 10 – (–3) – 4 – (3 – 4) = f) (–3) – 3 + (–2 + 5) – (2 + 1) =
4. Resuelve los siguientes problemas y explica qué estrategia utilizaste en cada caso.
a) Claudio tiene $ 5000 y su mamá le regala $ 10 000. Si con ese dinero paga
$ 3000 por fotocopias y su amigo le devuelve $ 6000 que le había prestado. ¿Cuánto dinero tiene
ahora?
b) Patricia prefiere bajar por las escaleras en lugar de usar ascensor. Si bajó desde el piso 12 al tercer
subterráneo, ¿cuántos pisos bajó?
Para resolver sustracciones de números enteros puedes:
1o Resolver los paréntesis, expresando 3o Sumar todos los números negativos.
los números como adiciones.
2o Sumar todos los números positivos. 4o Calcular el número resultante.
Por ejemplo: (–2) + 3 – (–4) + (–5) –2 = (–2) + 3 + 4 + (–5) + (–2) = 3 + 4 + (–2) + (–5) + (–2) = 7 + (–9) = –2
ESTRATEGIA MENTAL
Calcula mentalmente utilizando la estrategia anterior y escribe, en tu cuaderno, los pares de operaciones
con resultados iguales.
3 + (4 – 3) –2 – (–4 + 5) (3 – 5) – (–7 + 6) 3 – (4 – 3) –2 + (–4 + 5)
–2 – 4 + 5 3 – 5 + 7 – 6 3 + 4 – 3 3 – 4 + 3 –2 + –4 + 5
–1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Andrés, Camilo, Felipe, Ignacio y Nicolás están postulando a la selección de básquetbol
de su colegio. El entrenador y su técnico decidieron asignar puntajes a cada uno según su
desempeño para facilitar su decisión final. Para quedar seleccionados, la suma de los
puntajes debe ser positiva.
1. ¿Qué jugadores son seleccionados?
2. ¿Cuál es el puntaje total que recibió cada jugador?
3. ¿Cuál es el menor puntaje que otorgó el entrenador?, ¿y el técnico?
4. Calcula las discrepancias de puntajes entre lo asignado por el entrenador y lo
asignado por el técnico. ¿Qué jugador tiene la mayor diferencia de puntajes?
MI PROGRESO
Andrés Camilo Felipe Ignacio Nicolás
5 –5 –10 6 –7
–4 –1 –3 –2 4
Entrenador
Técnico
Un termómetro marca –10 ºC a las 8:00 horas. Si la temperatura aumenta
2 ºC cada 20 minutos, ¿qué temperatura marcará a las 11:00 horas?
Comprender
• ¿Qué sabes del problema?
La temperatura a las 8:00 h: –10 ºC.
Los grados que aumenta cada 20 minutos: 2 ºC.
• ¿Qué debes encontrar?
La temperatura que marcará a las 11:00 h.
Planificar
• ¿Cómo resolver el problema?
Una posible solución es ir paso a paso marcando la temperatura cada 20 minutos, es decir,
–10 ºC a las 8, –8 ºC a las 8:20, –6 ºC a las 8:40, etc., hasta llegar a las 11:00 horas. ¿Habrá
otra manera más fácil? Por lo general, un problema se puede resolver de distintas maneras,
por ejemplo, en este caso, calcular cuántas veces hay 20 minutos entre las 8:00 y las 11:00 y
multiplicar este valor por el aumento de temperatura; una vez obtenido este valor, sumarle la
temperatura inicial de –10 ºC.
Resolver
• Entre las 8 y las 11 hay 3 horas de diferencia.
Hay: 60 • 3 = 180 minutos entre las 8 y 11 horas.
Hay: 180 : 20 = 9. Entre las 8 y las 11 horas, hay 9 veces 20 minutos.
Luego, –10 + 18
La temperatura que marcará a las 11 horas es 8 ºC.
Revisar
• Para comprobar el resultado puedes desarrollar el problema de otra manera.
BUSCANDO ESTRATEGIAS
20 min
1 hora
20 min 20 min 20 min
1 hora
20 min 20 min 20 min
1 hora
20 min 20 min
–10 + 18 = 8
–10 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
Unidad 1
1. Resuelve los siguientes problemas, aplicando la estrategia de la página anterior.
a) Ángela decidió ordenar sus deudas en un solo crédito que
comenzó a pagar en marzo. Si la deuda es de $ 2 000 000,
y cada cuota a pagar es de $ 180 000, ¿cuánto estará
debiendo aún en diciembre?
b) Un caracol está en un pozo a 24 m de profundidad. Si cada
día avanza 2 m hacia la superficie, ¿a qué profundidad se
encuentra luego de una semana?
c) Un submarino que se encuentra a 200 m de profundidad
sube hacia la superficie del mar a una velocidad de 15 m
cada 8 minutos. Si comenzó a subir a las 12:00, ¿a qué
profundidad se encuentra a las 13:20 horas?
d) El administrador de un antiguo edificio contrató a una
empresa de aseo para que puliera todos los escalones de
las escaleras. Cada escalera tiene 15 escalones. Si comienzan
a las 9:00 en el segundo subterráneo y demoran 6 minutos
en pulir cada escalón, ¿entre qué pisos estarán trabajando a las 14:00 horas?
2. Ahora resuelve el problema de la página anterior utilizando otra estrategia de resolución. Explica paso
a paso cómo lo resolviste y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras.
3. Resuelve los siguientes problemas utilizando la estrategia que tú quieras. Compara el procedimiento
que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué?
a) Al enchufar un congelador por
primera vez, baja la temperatura
al interior del congelador 3 ºC cada
20 minutos. Si a las 10:00 horas
la temperatura ambiente es de
20 ºC, ¿qué temperatura tiene
el congelador a las 14:00 horas?
b) Un edificio tiene diez pisos y cinco
subterráneos. Uno de sus habitantes
decide entrenarse subiendo y
bajando las escaleras de todo el
edificio. Se da cuenta de que en
subir un piso demora 24 segundos
y 16 en bajarlo. Él comienza desde su departamento, ubicado en el 5º piso, a las 6:30 horas,
subiendo primero. Sube hasta el décimo piso, baja al quinto subterráneo y así, continúa subiendo
y bajando todos los pisos. A las 7:25 horas, ¿va subiendo o bajando? ¿En qué piso está?
24 m
CONEXIONES
¡El año 2007 fue el más frío en 4 décadas!
Las heladas arrasaron con las cosechas de al
menos siete regiones, dejando en situación de
riesgo a miles de personas y animales.
Las pérdidas superaron los 200 millones de
dólares. Son los efectos de la peor ola de frío
que hubo en 40 años.
Temperaturas
En regiones, el frío superó los –5 ºC. Las bajas
temperaturas se mantuvieron hasta septiembre.
8 ºC Es el promedio aproximado de
temperaturas en 2007, el más bajo
de los últimos 40 años.
–3 ºC Es la temperatura más baja
aproximada en la Región
Metropolitana en 2007.
–19 ºC La temperatura mínima aproximada
más baja del año, se registró en
Balmaceda.
Fuente: diario El Mercurio, Santiago,
12 de agosto de 2007, pág. D 17
NACIONAL
Las temperaturas bajo cero entre mayo y agosto del 2007 batieron los récords. Los consultorios de urgencias
están llenos de pacientes por enfermedades respiratorias y 15 personas murieron por hipotermia en el país.
1. Durante la próxima semana, cada uno debe registrar las temperaturas máximas y mínimas de 3 ciudades
de Chile, de distintas regiones. Para esto pueden visitar el sitio: www.meteochile.cl
2. Observando todos los datos, determinen:
a) ¿En qué ciudad se produjo la mayor variación de temperaturas a lo largo de la semana?
b) ¿En qué ciudad se produjo la mayor variación de temperaturas dentro de un mismo día?
3. Decidan un criterio que les permita ordenar las ciudades según sus datos respecto de la temperatura,
aplíquenlo a los datos que tienen y justifiquen el criterio utilizado.
4. ¿Creen que los datos obtenidos corresponden a valores normales para esa época del año? Justifiquen.
1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según corresponda.
Luego, comparen y comenten sus respuestas.
2. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo?
Respeté las opiniones de los demás integrantes.
Cumplí con las tareas que me comprometí.
Hice aportes interesantes para desarrollar el trabajo.
EVALUAMOS NUESTRO TRABAJO
Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3
Unidad 1 SÍNTESIS
A continuación, se presenta un esquema, llamado mapa conceptual, que relaciona los principales
conceptos trabajados en la unidad. Cópialo en tu cuaderno y complétalo con los siguientes términos: