EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES CONCEPTOS Y EJEMPLOS PDF

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Objetivos
• Identificar y comprender las propiedades,
operaciones y relaciones en cada uno de los
conjuntos numéricos.
• Realizar operaciones de suma, producto,
división, potenciación y radicación de
números reales.
• Utilizar las propiedades y las operaciones
en los conjuntos numéricos para simplificar
expresiones aritméticas.
• Identificar los axiomas de orden y utilizarlos
para demostrar algunas propiedades.
Fracciones
Fracciones decimales
Otros conjuntos numéricos
El conjunto de los números racionales
Densidad de los racionales
Números irracionales
Conjunto de los números reales
Axiomas de la adición y la multiplicación
Otras operaciones
Propiedades
Propiedades de la radicación
Potencias con exponente irracional
Potencia de un número positivo
Propiedades
Potenciación y la relación ( < ) Resumen Estructura de los numeros reales Axiomas de los números reales suma y producto Potenciación Propiedades Radicación Propiedades de la radicación El conjunto de los números naturales La actividad práctica de contar es anterior a la aparición de la escritura; por ejemplo, para saber si un rebaño estaba completo se asociaba cada oveja con una piedra, en el montón de piedras había tantas piedras como ovejas; para verificar posteriormente, si el rebaño estaba completo, se hacía el proceso inverso; si sobraban piedras, hacían falta ovejas; si sobraban ovejas, era posible que de otro rebaño se hubieran introducido sin darse cuenta; si coincidían, estaban completas; implícitamente se estaba comparando el número de piedras con el número de ovejas. Pues bien, este proceso se ha ido decantando con la aparición de la escritura y se van creando en las diferentes culturas símbolos para representar los diferentes numerales. Cuando las necesidades son mayores, como contar y representar cantidades grandes, se mejora la simbología hasta obtener los sistemas de numeración posicional cuyas representaciones más adoptadas son el decimal, el binario, el octal y el hexadecimal. El desarrollo y evolución de las actividades diarias del hombre, lo conlleva a hacer intercambios comerciales, entre otras, y lo obliga, a efectuar operaciones con los números como adición, sustracción, multiplicación y división; esto induce a encontrar algoritmos para simplificar los cálculos y a un estudio sistemático de las propiedades. Esto se sintetiza en los sistemas de números, en principio el sistema de los números naturales. El sistema de numeración usual para la representación de números naturales es el decimal; los avances tecnológicos requieren otros sistemas de numeración como el binario, el octal y el hexadecimal. En el sistema de numeración decimal, el proceso de contar se comienza con el uno (1). Una vez escogido el número 1, se halla el sucesor de este:     ; el sucesor de ;     , y así sucesivamente se obtiene el conjunto de los números naturales.  = { , , , , . . . } En general, dado un número natural cualesquiera , podemos hallar siempre su sucesor ; dos números naturales  y  tienen el mismo sucesor, si y solo si son iguales; es decir: Fracciones Además de contar es necesario medir (tiempo, rapidez, longitud etc.). La forma usual de medir es elegir una unidad de medida y contar el número de unidades contenidas en la cantidad que queremos medir. Es posible que el número de unidades no sea exacto; por ejemplo, el peso del cuerpo puede ser mayor de 70 kg, pero menor de 71 kg, por lo que el proceso de contar se hace insuficiente, es necesario subdividir la unidad en cierto número de partes iguales ; una de estas partes la notamos   ; si una cantidad contiene  de estas partes, su medida la notamos   ; a esta expresión se le llama una fracción. En el proceso de medir, una vez hecha la subdivisión, si el número de estas no es exacta, volvemos a subdividir hasta obtener la cantidad exacta o una aproximación deseable de ella (o hasta donde lo permita el dispositivo de medición). Ejemplo Una longitud se puede expresar en metros, si el número de metros no es exacto, se subdivide en decímetros, a su vez si este no es exacto lo subdividimos en cms hasta donde lo permita el instrumento de medición. Desde otra perspectiva, podemos ver las fracciones como números sin referencias concretas y definir las operaciones adición, multiplicación y establecer relaciones que tengan por lo menos, las mismas propiedades de los números naturales. Si  es un número natural tal que >, se designa 

; como la
 − esima parte de uno.
Si esta parte se toma  veces, obtenemos el número .

; se nota
también 
 .
Los números obtenidos de esta manera determinan las fracciones,  se
llama el numerador y  el denominador.

Observemos que en la definición de 

,  es mayor que , si  la fracción
no está definida; y si   

= 
Si > la fracción es mayor que , y se denomina impropia.
Si < la fracción es menor que , y se denomina propia. Fracciones decimales En el sistema de numeración que utilizamos, el decimal. El valor de cada una de las cifras depende de su posición, por ejemplo: 7456  71034102  5×101  6100 (7 miles, 4 centenas, 5 decenas y 6 unidades); pues bien, al extender esta notación a fracciones cuyo denominador sea una potencia de 10, obtenemos las fracciones decimales Otros conjuntos numéricos El conjunto de los números enteros Para hallar expresiones numéricas que representen, por ejemplo: una deuda de $800, una temperatura de 10 oC bajo cero, 20 metros bajo el nivel del mar, estados de pérdidas, déficit, saldos en rojo, podemos observar que los números naturales no son suficientes para representar estas situaciones; por lo cual se hace necesario ampliar el sistema de los números naturales incluyendo los números negativos. Al conjunto ampliado se denomina conjunto de los números enteros y se representa por .  = { . . . 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . . } Otra forma de introducir el conjunto de los números enteros es: Sea  + = . Esta igualdad se puede resolver en el sistema de los números naturales, puesto que  ≥ , pero en general, al hallar  en  +   , no siempre tiene solución en los números naturales. El conjunto de los números racionales Para que la sustracción de fracciones sea siempre posible es necesario introducir fracciones negativas. Densidad de los racionales Ejemplo Entre  y  existe un número racional, por ejemplo, /, entre  y / existe un número racional, por ejemplo, /, entre  y / existe al menos un número racional / y así sucesivamente. Entre dos números racionales  y ,  <  existen infinitos números racionales. Esta propiedad se expresa diciendo que los racionales son un conjunto denso con respecto a los racionales. Geométricamente podemos representar los racionales en la recta si partimos de la propiedad de que un segmento de recta se puede dividir en cualquier número  de partes iguales (∈+). A cada número racional corresponde un único punto de la recta. Números irracionales Al expresar las fracciones en forma decimal encontramos dos posibilidades: o tienen finitas cifras decimales o infinitas cifras decimales periódicas; existen números con infinitas cifras decimales no periódicas; por ejemplo 0,10110011100011110000. . . (un uno un cero, dos unos dos ceros, tres unos tres ceros etc.); estos números no son racionales porque no se pueden expresar como el cociente de dos enteros, este hecho sugiere la necesidad de ampliar el conjunto de los números racionales de tal forma que contengan estos nuevos números. Otra situación, al hallar la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 nos muestra que los racionales son insuficientes para medir. La medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1 equivale a encontrar  tal, que:   , y se nota √ . Existen otros números irracionales como π, e, √, √ etc. En los irracionales no se estudia su estructura algebraica, porque la suma y el producto de dos números irracionales no siempre son un número irracional. Ejemplo Si a =   √ y b   − √2 , entonces     y . =  Conjunto de los números reales El conjunto de números que puede representarse por expresiones decimales finitas o infinitas periódicas (racionales) o infinitas no periódicas (irracionales), junto con las operaciones (,), la relación de orden menor que (< ), cumple ciertas propiedades que presentaremos más adelante. Se denomina el sistema de los números reales. Se nota entonces (, , . , <) y lo simplificamos como . Geométricamente la representación de los números reales se hace usualmente por medio de los puntos de una recta; se elige un punto para representar el cero y otro a la derecha del cero, para representar el 1, como se indica en la figura. Esta elección determina la escala y a cada número real corresponde uno y solo un punto de la recta y, recíprocamente, a cada punto de la recta un número real y solo uno. Por esta razón la recta se denomina frecuentemente recta real; es costumbre utilizar las palabras número real y punto como sinónimos. Intuitivamente la recta nos da la idea de orden. Un número  es mayor que , si en la recta está  la derecha de . El cero parte el conjunto de los números reales en: el 0; los reales positivos , +  { |  >  } y los reales negativos, − = { |  <  } El proceso de construcción que se ha desarrollado se sintetiza en el sistema de los números reales de manera axiomática, así: Tenemos en el conjunto de los números reales dos operaciones llamadas adición y multiplicación, tales, que para cada par de números reales  e  podemos formar la suma de  e , que es otro número real único designado por , y el producto de  por y designado por  o .  que es otro número real único que cumplen las siguientes propiedades o axiomas: Axiomas de la adición y la multiplicación Axioma 1 Propiedad asociativa   (  ) = (  )   y, (∙) = ( ∙) Axioma 2 Propiedad conmutativa    =  y,  ∙ =  ∙ Axioma 3 Existencia de elementos idénticos o módulos 0 =  0 y,  ∙  =  ∙ =  Existen dos números reales distintos,  y  tales, que para cada número real se tiene: Axioma 4 Existencia de negativos Para cada número real , existe un número real , tal que:  =    0 Axioma 5 Existencia del inverso multiplicativo o recíproco. Para cada número real  ≠  existe un número real , tal, que:  ∙  =  ∙  =  Axiomas de orden Este grupo de axiomas se refiere a un concepto por el que se establece una ordenación entre los números reales. Según esta ordenación se puede decidir si un número real es mayor o menor que otro. Se introducen aquí las propiedades de orden, como un conjunto de axiomas referentes al nuevo concepto primitivo de positivo, para definir después los conceptos de mayor que y menor que; a partir del positivo. Supongamos que existe un cierto subconjunto  de , llamado conjunto de números positivos, que satisfacen los tres axiomas de orden siguientes: Axioma 7 Si  e  pertenecen a +, entonces:  y  ∙  pertenecen a  (La suma y el producto de números reales positivos es positivo). Axioma 8 Para todo número real   , ó  ∈  ó  ∈ ; pero no ambos. Axioma 9  ∉  Ahora se pueden definir los símbolos , , ,  llamados respectivamente menor que, mayor que, menor o igual que, y mayor o igual que; de la manera siguiente:    Significa que  pertenece a +    Significa que       Significa que ó    ó       Significa que ó    ó    Por lo tanto, se tiene que    si y solo si  es positivo Si   0 se dice que  es negativo. Si   0 se dice que  es no negativo