CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS EJERCICIOS EN PDF Y VIDEOS

Share Button

CLICK AQUI PARA VER PDF 1   ****
CLICK AQUI PARA VER PDF 2   ****
 
CLICK AQUI PARA VER PDF 3   ****
**
CLICK AQUI PARA VER PDF 4   ****
**


CLICK AQUI PARA VER PDF 1   ****
CLICK AQUI PARA VER PDF 2   ****
 
CLICK AQUI PARA VER PDF 3   ****
**
 
CLICK AQUI PARA VER PDF 4   ****
**
 
CLICK AQUI PARA VER PDF 5   ****

Los números enteros positivos y negativos, son el resultado natural de las operaciones suma y resta. Su empleo, aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad.
El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre representaban una cantidad de unidades no divisibles (por ejemplo, personas).
No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por los matemáticos de la India.
Aplicación en contabilidad
Encuentran aplicación en los balances contables. A veces, cuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba a la cantidad poseída o activo, se decía que el banquero estaba en “números rojos”. Esta expresión venía del hecho que lo que hoy llamamos números negativos se representaban escritos en tinta roja así: 30 podía representar un balance positivo de 30 sueldos, mientras que 3 escrito con tinta roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de 3 sueldos.

MENOS POR MENOS ES MÁS
Hoy , una de las preguntas más repetidas en las clases de MATEMÁTICA es ¿ por qué menos por menos es más?.
Es difícil encontrar una respuesta sencilla y convincente, ya que la regla es puramente arbitraria y se adopta sólo para que no aparezcan contradicciones, pero existen varias justificaciones claras y aceptables, como por ejemplo:
En el mundo hay ciudadanos buenos a los que le asignamos el signo (+) y malos con el signo (–). También acordamos que salir del Perú es negativo (–) y entrar al Perú es positivo (+). Entonces diremos que:

I) Si un ciudadano bueno (+) entra (+) al Perú, el resultado para el Perú es positivo: (+) (+) = (+)
II) Si un ciudadano malo (–) sale (–) del Perú, el resultado para el Perú es positivo (+): (–) (–) = (+)
III)Si un ciudadano bueno (+) sale (–) del Perú, el resultado para el Perú es negativo (–): (+) (–) = (–)
IV)Si un ciudadano malo (–) entra (+) al Perú, el resultado para el Perú es negativo: (–) (+) = (–)

• Ejemplos:

+4; -3; -5; 9; -3; 0; -10

Los números enteros se representan en una recta numérica:

* Recoerdemos que el “0” no tiene signo positivo ni negativo

VALOR NUMÉRICO DE UN NÚMERO ENTERO

Imaginemos que estamos en una competencia de dos autos, donde:

– Ambos autos parten de un mismo lugar.
– Viajan en sentido contrario.
– Viajan a una misma velocidad.

¿La distancia recorrida para un mismo tiempo será la misma?

Rpta.: ___________________

Concepto: El valor absoluto de un número entero es la distancia que hay de dicho número a cero.

• Ejemplo:

a. |- 3| = 3 ; se lee: valor absoluto de ” – 3 ” es 3.
b. |+3| = 3 ; se lee: valor absoluto de ” + 3 ” es 3.
c. |-7| = 7 ; se lee: valor absoluto de ” – 7 ” es 7.
d. |+9| = 9 ; se lee: valor absoluto de ” 9 ” es 9.

• Completa correctamente según el ejemplo:

– El valor absoluto de -5 __________ = __________
– El valor absoluto de 7 __________ = __________
– El valor absoluto de -10 __________ = __________
– El valor absoluto de 17 __________ = __________
– El valor absoluto de -39 __________ = __________
– El valor absoluto de 52 __________ = __________
– El valor absoluto de 325 __________ = __________
– El valor absoluto de -125 __________ = __________
– El valor absoluto de -33 __________ = __________
– El valor absoluto de 1 232 __________ = __________
– El valor absoluto de -11 526 __________ = __________
– El valor absoluto de -20 205 __________ = __________

EL OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO
Es el número entero cambiado de signo como por ejemplo:

– El opuesto de +7 es -7
– El opuesto de -3 es +3

• Completar correctamente:

– El opuesto de +13 es :____________
– El opuesto de -17 es :____________
– El opuesto de -19 es :____________
– El opuesto de +63 es :____________
– El opuesto de -8 es :____________

Relación de orden (>, <) * Un número entero es mayor que otro, si se encuentra a la derecha del otro en la recta numérica. * Todo número entero positivo es mayor que su antecesor. * Todo número entero negativo es menor que su sucesor. Ejemplos: * 6 es mayor que 1 porque: * 4 es mayor que 0 porque: * 0 es mayor que -3 porque: * -2 es mayor que -6 porque: EJERCICIOS 1. Indica la relación: >, < ó =, en cada uno de los siguientes casos: a. 0 1 b. 4 0 c. -8 0 d. 0 -3 e. -1 0 f. 0 -4 g. |-1| 0 h. 0 -60 i. +49 0 j. +3 +7 k. -8 -9 l. +1 -1 m. -7 +8 n. -12 +12 o. +7 -20 p. +14 -100 q. -27 -32 r. +45 |-50| s. |-8| +12 t. |-13| |-58| 2. Completa las siguientes expresiones: a. 36 es opuesto de: _______ b. - 73 es opuesto de: _______ c. 87 es opuesto de: _______ d. - 128 es opuesto de: _______ e. 325 es opuesto de: _______ f. El valor absoluto de - 124 es: _______ g. El valor absoluto de 340 es: _______ h. El valor absoluto de - 73 es: _______ i. El valor absoluto de + 68 es: _______ j. El valor absoluto de 0 es: _______ 3. Coloca (V) si la afirmación es verdadera y (F) si es falsa. a. El opuesto de un número entero negativo es negativo. ( ) b. El opuesto del opuesto de un entero positivo es negativo. ( ) c. La distancia entre dos números opuestos es el doble de la distancia entre uno de los números y el cero. ( ) d. El valor absoluto de un número entero siempre es positivo. ( ) e. El opuesto de un número entero negativo es positivo ( ) f. La suma de los valores absolutos de dos números opuestos es cero. ( ) 4. Traza una recta numérica para cada caso y marca en ella los números opuestos correspondientes. (En el cuaderno) a. - 5 ; + 5 b. + 6 ; - 6 c. - 7 ; + 7 d. 8 ; - 8 e. - 3 ; 3 5. Completa el siguiente cuadro: Reglas de juego * Números negativos, indicarán movimientos hacia la izquierda de la recta, con respecto a cero. * Números positivos, indicarán movimientos hacia la derecha de la recta, con respecto a cero. * El punto de partida es cero "0". Ejemplo: Representar sobre la recta: - 2 - 5 + 17 Representar: a. -2 - 3 - 1 b. 3 + 5 + 4 c. 5 - 2 - 1 + 3 d. +4 - 5 - 2 e. +8 - 2 + 4 Adición de números enteros Caso I: "Sumandos del mismo signo" Se suman los valores absolutos y la suma tiene el mismo signo. Ejemplo: * (+5) + (+7) = +12 * (+3) + (+7) + (+10) = ___________ * (-8) + (-10) = -18 * (-7) + (-3) + (-2) = ___________ * (-9) + (-19) = - 28 * (+15) + (+23) + (+8) = ___________ * (+16) + (4) = +20 = 20 * (-21) + (-3) + (-5) = ___________ * (3) + (7) = +10 = 10 * (+8) + (+50) + (+20) = ___________ Caso II: "Sumandos de signos diferentes" Se restan los valores absolutos y la suma tiene el signo del sumando de mayor valor absoluto Ejemplos: * (-16) + (+16) = 0 * (-100) + (+50) = ___________ * (-13) + (+2) = -11 * (+30) + (-16) = ___________ * (+18) + (-6) = +12 * (-120) + (42) = ___________ * (32) + (-16) = +16 * (+17) + (-33) = ___________ * (-15) + (+10) = -5 * (-43) + (+12) = ___________ Sustracción de Números Enteros Para restar dos números enteros se suma el minuendo con el opuesto del sustraendo es decir: "se transforma la resta en suma". Ejemplo: * * (+3) - (-2) = (+3) + (+2) = + 5 * (10) - (+ 10) = (10) + (-10) = 0 * (-5) - (-3) = (-5) + (+3) = - 2 * (-16) - (+16) = _______________ * (+25) - (-10) = _______________ * (-100) - (+20) = _______________ * (+4) - (4) = _______________ ¡AHORA HAZLO TÚ! 1. Sumar los siguientes números enteros en el cuaderno: a. 8 ; 7 f. -12 ; -12 b. 20 ; -6 g. -9 ; +10 c. -11 ; +12 h. -30 ; -30 d. -9 ; -15 i. +18 ; +18 e. 30 ; +15 j. -3 ; +3 2. Efectuar las siguientes restas de números enteros: a. b. (15) - (- 8) = c. (- 36) - (+ 23) = d. (-36) - (-11) = e. (-25) - (35) = f. (-100) - (-100) = g. (+8) - (-8) = h. (+9) - (+9) = i. (+20) - (+20) = j. (16) - (16) = 3. Escribir: >, < ó =, según corresponde: a. (-9) - (-4) ______ (-3) - (+6) b. (+13) - (-6) ______ (-14) - (-2) c. (-8) - (+13) ______ (-7) - (+14) d. (-47) - (+25) ______ (+15) - (-22) e. (-18) - (-6) ______ (-9) - (+3) f. (+43) - (+14) ______ (-20) - (- 49) g. (-20) - (+33) ______ (+18) - (-36) h. (-39) - (-6) ______ (+72) - (+8) i. (+65) - (+7) ______ (-7) - (-65) j. (-60) - (-3) ______ (+30) - (+54) 4. Desarrolla los cálculos en el cuaderno y luego completa la tabla. 5. Afina tu cálculo mental. a. + 4 + 6 + 9 b. + 11 + 15 + 12 c. - 8 - 3 - 6 d. - 5 - 12 - 9 e. + 8 - 5 + 4 f. - 5 + 16 - 14 g. + 4 - 8 + 11 - 6 h. - 10 + 10 - 12 + 12 i. - 13 + 8 - 18 + 6 6. Realiza los siguientes desplazamientos. Para cada caso elabora una recta numérica. a. - 1 + 2 - 6 b. + 5 - 10 c. - 13 + 16 d. - 8 - 2 + 10 e. 3 + 2 + 7 - 6 - 2 f. + 2 + 7 - 10 + 5 OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN EN Z Para poder efectuar operaciones combinadas de números enteros, debemos realizar los siguientes pasos: • Ejemplo: Efectuar: P = (+7) + (-2) - (+4) + (+10) - (-3) Primero : Transformamos las sustracciones en adiciones por el opuesto: P = (+7) + (-2) + (-4) + (-10) + (3) Segundo : Escribimos los enteros positivos como números naturales: P = (7) + (-2) + (-4) + (10) + (3) Tercero : Suprimos los paréntesis: P = 7 - 2 - 4 + 10 + 3 Cuarto : Agrupamos los números positivos y los números negativos: P = 7 + 10 + 3 - 2 - 4 Quinto : Sumamos los positivos y los negativos por separado. P = +20 - 6 P = +14 ¡AHORA HAZLO TÚ! I. Resuelve las siguientes operaciones combinadas en tu cuaderno: a. (-5) + (-2) - (-1) + (+4) - (+6) b. (-7) - (+2) + (+8) - (-4) c. (-10) + (-2) + (-7) d. (-12) + (-11) - (+10) - (-3) e. (-6) - (-3) + (-2) - (-8) f. (-5) + (+8) - (-3) - (+2) g. (-4) - (+7) + (-1) - (+10) h. (-9) + (-10) - (-11) - (-1) i. (+5) - (+3) + (+2) - (+30) j. (-10) - (-3) + (-18) - (+2) k. (-7) - (-6) + (-2) - (-3) + (-10) l. (-12) + (-18) - (-1) + (-7) - (+28) m. (-25) - (25) + (-5) - (-11) + (+7) n. (+8) + (-13) - (-12) + (-17) - (-3) MULTIPLICACIÓN EN Z Es la operación que conociendo dos o más números enteros, llamados factores, nos permite calcular otro número entero llamado producto. Ley de signos - El producto de dos números enteros de igual signo es positivo. Ejemplo: a. (+6) × (+7) = +42 b. (-4) × (-2) = +8 c. (+8) × (+10) = ______ d. (-5) × (-9) = ______ e. (+10) × (+20) = ______ f. (-5) × (-10) = ______ - El producto de dos enteros de diferente signo es negativo. Ejemplo: a. (-12) × (+6) = -72 b. (+12) × (-12) = -144 c. (-9) × (+8) = ______ d. (+12) × (-10) = ______ e. (-4) × (+8) = ______ f. (-10) × (30) = ______ Nota: Recordar que los factores también se pueden encerrar con paréntesis. AHORA HAZLO TÚ 1. Calcular teniendo en cuenta la ley de signos para la multiplicación. a. (+8) (+6) = ___________________________________ b. (-7) (-4) = ___________________________________ c. (-9) (-11) = ___________________________________ d. (2) (1) (-3) (-4) (-9) = ___________________________________ e. (+3) (+4) (-5) (-6) = ___________________________________ f. (+2) (+4) (-8) (+7) = ___________________________________ g. (-11) (-20) = ___________________________________ h. (+12) (+12) = ___________________________________ i. (+5) (+4) (-8) (-10) = ___________________________________ j. (+7) (-6) (-9) = ___________________________________ k. (+9) (+9) (+8) (-7) = ___________________________________ l. (+7) (-8) (+2) (-3) = ___________________________________ 2. De las afirmaciones: i. ( - ) ( - ) ( + ) ( - ) ( + ) = + ii. (-3) (-4) = -2 iii. 2 (-5) = -0 iv. (-1) (1) = 1 ¿Cuántos son verdaderos? a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. N.A. 3. Completar el siguiente cuadro efectuando las multiplicaciones indicadas: DIVISIÓN EN Z La división nos permite encontrar un número llamado cociente, conociendo a otros dos llamados dividendo y divisor respectivamente. Ley de signos - El cociente de dos números enteros de igual signo es positivo. Ejemplo: a. (+144) ¸ (+12) = +12 b. (-48) ¸ (-6) = +8 c. +28 ¸ +4 = ______ d. 30 ¸ -10 = ______ e. (72) ¸ (+9) = ______ f. (-26) ¸ (-2) = ______ - El cociente de dos números enteros de diferentes signos es negativo. Ejemplo: a. (-18) ¸ (+2) = -9 b. (+169) ¸ (-13) = -13 c. -24 ¸ +4 = ______ d. 15 ¸ -5 = ______ e. -96 ¸ +3 = ______ f. +60 ¸ -5 = ______ ¡AHORA HAZLO TÚ 1. Completar el siguiente cuadro efectuando las divisiones indicadas: 2. Calcular teniendo en cuenta la ley de signos para la división. a. (-60) ¸ (+5) = ______________________________ b. (+10) ¸ (+2) = ______________________________ c. (+32) ¸ (+4) = ______________________________ d. (-48) ¸ (-8) = ______________________________ e. (+72) ¸ (-9) = ______________________________ f. (+36) ¸ (-4) = ______________________________ g. (+144) ¸ (-12) = ______________________________ h. (7 - 5 + 8) ¸ (3 - 2) = ______________________________ i. (-11 + 3 - 9 + 2) ¸ (4 - 7 + 8) = ______________________________ j. (+12 + 4 - 6) ¸ (20 - 15) = ______________________________ k. (+121) ¸ (-11) = ______________________________ l. (+42) ¸ (+7) = ______________________________ 3. Sabiendo que: a = 18; b = -10; c = 55; d = -30; e = -2 y f = -5; hallar: a) b ¸ e b) d ¸ b c) a ¸ e d) d ¸ f e) d ¸ e ANÁLISIS DE PROBLEMAS SOBRE NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS EN PRIMARIA Consigna: A continuación incluimos algunos enunciados de problemas y ejercicios que han sido tomados de libros de texto de primaria. Para cada uno de ellos: 1. Resuelve los problemas propuestos. 2. Indica los conceptos y procedimientos matemáticos que se ponen en juego en la solución. 3. Identifica diferencias y semejanzas entre los distintos problemas. 4. Para cada problema enuncia otros dos del mismo tipo, cambiando las variables de la tarea, de manera que uno te parezca más fácil de resolver y otro más difícil. 5. ¿Piensas que los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles para los alumnos de primaria? Propón un enunciado alternativo para aquellos ejercicios que no te parezcan suficientemente claros para los alumnos. 6. Consigue una colección de libros de texto de primaria. Busca en ellos tipos de problemas no incluidos en esta relación. Explica en qué se diferencian. Enunciados de problemas incluidos en libros de primaria: 1.  ¿Qué temperatura marca el termómetro?  ¿En qué planta está el ascensor?  ¿Qué botón hay que pulsar para bajar al tercer sótano? 2. Escribe con números negativos:  Siete grados bajo cero.    El coche está en el segundo sótano. Nació el año 73 a. C. Veinte metros bajo el nivel del mar. 3. Hace una hora el termómetro marcaba 2 ºC. Si la temperatura ha descendido 7 ºC, ¿qué temperatura marca a hora el termómetro? 4. ¿Cuántas plantas hay entre el tercer sótano y el cuarto piso?   5. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre -2 ºC y 3 ºC? 6. Fíjate en el dibujo y contesta: ¿A qué altura está el castillo ¿A qué profundidad se encuentra el buzo? 7. Ayúdate del esquema de esta mina y completa.     Estaba en el nivel +1 y subí un nivel. Ahora estoy en el nivel ... Estaba en el nivel +2 y bajé cinco niveles. Ahora estoy en el nivel .... Estaba en el nivel –3 y subí cuatro niveles. Ahora estoy en el nivel ... Estaba en el nivel –1 y bajé dos niveles. Ahora estoy en el nivel ... Contesta.    Juanjo estaba en el nivel –1 y ha subido. ¿En qué niveles puede estar Juanjo. Ana estaba en el nivel 0 y ha bajado. ¿En qué niveles puede estar Ana? Pedro estaba en el nivel –1 y ha bajado más de un nivel. ¿En qué niveles puede estar Pedro? 8. Dibuja, en cada caso, los termómetros que marquen la temperatura indicada. 9. En cada caso, dibuja un termómetro, marca la temperatura y contexta. Hoy a las 10 de la mañana el termómetro marcaba +8º. Dos horas después la temperatura subió 5º y 7 horas después la temperatura bajó 9º. ¿Qué temperatura marcará el termómetro a las 7 de la tarde?   Ayer a las 8 de la mañana el termómetro marcaba –2º. Tres horas después la temperatura subió 4º y 8 horas después la temperatura bajó 10º. ¿Qué temperatura marcará el termómetro a las 7 horas de la tarde? 10. Completa las siguientes series. 11. Piensa y escribe.             Cinco números enteros mayores que –3. Cinco números enteros menores que –8. Cinco números enteros mayores que –5 y menores que +5. Cinco números enteros mayores que –9 y menores que +9. 12. Escribe mayor o menor, según corresponda. Cualquier número entero positivo es ....... que 0. Cualquier número entero negativo es ....... que 0. Un número entero positivo es ...... que cualquier número entero negativo. 13. Utiliza un papel cuadriculado y traza de rojo unos ejes perpendiculares. Después dibuja los polígonos que se indican. Un triángulo cuyos vértices son los puntos (+1, +1); (-2,+1) y (-1, +2). Un cuadrilátero cuyos vértices son los puntos (+1, +2); (-3, +1); (-2, -2) y (+3, +1). Un pentágono cuyos vértices son los puntos (+4, +1); (-3, 0); (-1, -1); (+2, +3) y (+5, -2). 14. Dibuja en una cuadrícula los caminos que pasan por los puntos indicados. Camino rojo: (-3, +1), (-2, +1), (-1, +1), (+3, +2) Camino verde: (+1, -2), (+1, -1), (0, -1), (-2, -2) Camino azul: (-1, +1), (+1, 0), (+2, -1), (+2, +3) Camino amarillo: (+5, -1), (+3, -2), (0, -3), (-2, -2) Observa los caminos dibujados y contesta: ¿Qué caminos pasan por el punto (-1, +1)? ¿Qué caminos pasan por el punto (-2, -2)? B: Conocimientos Matemáticos 1. INTRODUCCIÓN En los capítulos anteriores hemos presentado los números naturales, fraccionarios y decimales como medio de expresión del tamaño o numerosidad de los conjuntos finitos, del lugar que ocupa un elemento dentro de un conjunto ordenado y de la medida de diferentes cantidades de magnitud. Además, entre dichos números se definen las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división entera (también las de potenciación y radicación) que se corresponden con cierto tipo de acciones que hacemos sobre las cantidades de magnitudes: agrupar, separar, reiterar, repartir, etc. Hasta ahora, la invención de los números se justifica y motiva inicialmente como respuesta a estas necesidades de descripción y manipulación de ciertas situaciones de tipo empírico. Por esta razón, el estudio de los números naturales, fraccionarios y decimales y de sus operaciones se apoya sobre situaciones concretas que proporcionan ejemplos de la estructura formal a la que en última instancia se reducen. Ahora bien, es importante resaltar que los objetos matemáticos, una vez inventados y fijadas unas primeras relaciones entre ellos, adquieren una "vida propia" y plantean nuevos problemas internos, distintos de los problemas empíricos que motivaron su introducción. Como respuesta se inventan nuevos objetos matemáticos que son conectados de manera consistente con todo el sistema ya construido. A medida que progresamos en el estudio de las matemáticas nos vamos encontrando con objetos más complejos que son inventados o construidos respondiendo a necesidades internas de la propia matemática. Y así sucede con los números con signo -positivos y negativos-, cuya construcción se debe, no tanto a la necesidad de modelizar matemáticamente situaciones del mundo sensible, como a la problemática que plantea el desarrollo de una rama de las matemáticas: el álgebra. Es en el entorno del álgebra donde aparecen las condiciones que hacen posible y deseable la introducción de los números con signo. Por tanto, antes de hablar de las situaciones que motivan el uso de los números positivos y negativos necesitamos comentar algunas de las características del ámbito algebraico. 2. OTRA MANERA DE RESOLVER LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS: EL MÉTODO ALGEBRAICO 2.1. Características del método algebraico de resolución de problemas aritméticos Un problema aritmético se caracteriza porque tanto los datos como las incógnitas son números y las relaciones entre unos y otras pueden expresarse en términos de operaciones aritméticas. El método aritmético de resolución de estos problemas, del que ya hemos hablado en capítulos anteriores, consiste en construir una secuencia de operaciones que ligue los datos numéricos conocidos hasta obtener las incógnitas buscadas. Para establecer cada paso de la secuencia hay que tener en cuenta el contexto definido en el enunciado del problema. Así, por ejemplo, la resolución del problema siguiente: En un taller de confección disponen de 3 piezas de tela de 50 m. cada una. Con ellas van a confeccionar 30 trajes que necesitan 3 m. de tela cada uno. Con el resto de la tela piensan hacer abrigos que necesitan 4 m. de tela cada uno. ¿Cuántos abrigos pueden hacerse? exige la secuencia de operaciones aritméticas que detallamos a continuación: 3 x 50 = 150 m. de tela disponible 30 x 3 = 90 m. de tela empleada en trajes 150 – 90 = 60 m. de tela sobrante 60 : 4 = 15 abrigos pueden hacerse. Como puede verse, el método aritmético consiste en analizar el contexto para determinar una primera operación entre dos datos que da como resultado otro dato, anteriormente desconocido, que nos acerca a las incógnitas buscadas. La repetición de este proceso el número de veces que haga falta nos permite encontrar la solución del problema. Para ello es necesario estar en todo momento pendientes del contexto, pues la decisión sobre cuál es la operación siguiente a efectuar depende totalmente del significado de los datos numéricos. Ahora bien, existe otro método de resolución de problemas aritméticos que funciona de manera muy distinta: el método algebraico. Consiste dicho método en indicar operaciones entre las cantidades citadas en el enunciado del problema, sin distinguir entre cantidades conocidas y desconocidas (representando estas últimas por medio de letras), hasta encontrar una nueva cantidad que pueda expresarse de dos maneras diferentes en función de los datos y las incógnitas, lo que permite establecer una relación de igualdad entre esas expresiones. Una vez establecidas una o varias igualdades, se procede a sustituirlas por igualdades equivalentes hasta llegar a una que contenga en uno de sus miembros una de las incógnitas y en el otro, una cantidad conocida. El siguiente problema y su solución ilustran bien las características del método algebraico: En un corral hay gallinas y conejos. Hay 35 animales en total. Entre todos tienen 108 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en el corral? - Para solucionarlo, llamamos x a una de las cantidades desconocidas: el número de gallinas, y la tratamos como si fuese conocida. En esas condiciones, el número de conejos será 35 – x. Como las gallinas tienen 2 patas y los conejos 4, tenemos que 2x y 4(35 – x) representan, respectivamente, el número de patas de gallina y de conejos. La suma 2x + 4(35 – x) nos dará el número total de patas que hay en el corral. Pero por otro lado sabemos que son 108 patas, lo que nos permite escribir la igualdad1 2x + 4(35 – x) = 108. Hasta aquí se desarrolla la fase contextualizada de la resolución del problema. Para poder establecer la ecuación anterior hay que estar pendientes del significado de los números y letras que intervienen en ella, es decir, hay que mantener un control semántico sobre nuestras decisiones. Pero, a partir del momento en que la ecuación queda establecida, el proceso de resolución se descontextualiza: las transformaciones 1 A esta igualdad se le llama ‘ecuación’ porque sólo es cierta para algunos valores particulares de la incógnita (en este caso, para un solo valor) a los que se les llama ‘soluciones’ de la ecuación. que sufre la ecuación ya no dependen del significado de sus términos en el contexto del problema, sino de la interpretación correcta de unos códigos escritos y de una manipulación que respete las propiedades de las operaciones aritméticas y de las igualdades. Aparece, por tanto, una fase de resolución descontextualizada sobre la que se ejerce un control sintáctico, no semántico, cosa que no sucede en el método aritmético. Será como sigue: - Eliminamos el paréntesis de la ecuación, 2x + 140 – 4x = 108, reducimos términos semejantes, 140 – 2x = 108, pasamos términos de un miembro a otro de la ecuación, 140 – 108 = 2x, 2x = 32, y, por último, dividimos la ecuación por 2, x = 16, y obtenemos el número 16 como solución de la ecuación inicial. Durante la fase anterior no es necesario recurrir al significado que tienen los números y las letras en el enunciado del problema que nos ocupa, basta poner en juego unas reglas sintácticas, unas reglas de manipulación de ecuaciones o, más en general, de manipulación de escrituras algebraicas. Finalmente, una vez obtenida una incógnita, hay que referirse de nuevo al contexto para darle significado y poder terminar diciendo que en el corral hay 16 gallinas y 19 conejos. 2.2. Las reglas de prioridad en las operaciones combinadas La necesidad, propia del método algebraico, de expresar operaciones entre números y letras2, así como de indicar simultáneamente una sucesión de operaciones a realizar, obliga a definir unos códigos escritos mucho más complejos que los usuales en aritmética. En ésta, todas las operaciones son efectuables y, por tanto, puede hacerse una detrás de otra de manera independiente, indicándolas por medio de la grafía del algoritmo correspondiente. La disposición de los cálculos es, básicamente, vertical: se escribe el algoritmo de una operación y debajo el de la siguiente. En cambio, en el cálculo algebraico nos encontramos con una escritura en horizontal en la que quedan trabadas distintas operaciones que a priori no se han efectuado. Además, durante la fase descontextualizada el control sobre la validez del cálculo algebraico no puede basarse en el significado que los números y letras tengan en el particular contexto en el que se trabaje. Todo esto obliga a establecer reglas muy precisas de lectura, escritura y manipulación de estas expresiones que en aritmética no son necesarias. Por ejemplo, en la expresión 3 + 2·5, si se empieza sumando 3 + 2 y multiplicando después por 5, se obtiene 25, mientras que si se multiplica primero 2·5 y después se le suma 3, se obtiene 13. Esta duplicidad de resultados, y el hecho de no poder recurrir a un contexto para decidir qué operación conviene efectuar en primer lugar, obliga a ponerse de acuerdo sobre unas reglas de escritura que definan, sin ambigüedad posible, el orden en que deben realizarse las operaciones indicadas en la expresión algebraica3. Y así, se conviene que en la ejecución del cálculo 3 + 2·5 hay que entender que el producto tiene prioridad frente a la suma y que, por tanto, 3 + 2·5 = 3 + 10 = 13. Para 2 Números (y letras que los representan) que de momento son naturales, fracciones de números naturales o raíces positivas de los anteriores, como corresponde a un álgebra que es una mera técnica de resolución de problemas aritméticos elementales, a un álgebra entendida como “aritmética generalizada”. 3 Entendemos que 3 + 2·5 es una expresión algebraica porque, aun cuando no contiene letras y las dos operaciones que aparecen en ella son efectuables, la manera de presentarlas, como operaciones indicadas ligadas entre sí, es típica del método algebraico. En una resolución estrictamente aritmética, estas operaciones se presentarían por separado: primero el producto 2·5, después la suma, 3 + 10. indicar a nuestro interlocutor que la suma debe efectuarse antes que el producto tendríamos que escribir (3 + 2)5, y entonces resultaría (3 + 2)5 = 5·5 = 25. Las reglas de prioridad que se definen para la ejecución de las operaciones combinadas son las siguientes: - En ausencia de paréntesis: a) se realizan en primer lugar las raíces y potencias, después los productos y cocientes y, por último, las sumas y restas4. b) la realización de varias operaciones de un mismo rango5 se hará de izquierda a derecha. Este orden podrá modificarse si existen propiedades de los números (propiedades aritméticas) que justifiquen el cambio. - Si hay paréntesis: a) la realización de los paréntesis es prioritaria, salvo que se eliminen o modifiquen de acuerdo con las propiedades aritméticas. b) en el caso de paréntesis encajados tienen prioridad los interiores respecto a los exteriores. Además, en la realización de los cálculos rige el siguiente principio de economía: - A la hora de realizar operaciones combinadas se elegirá el camino más económico en cuanto al número de operaciones a realizar o al tamaño de los números intermedios obtenidos. Por ejemplo, con la escritura siguiente: 3 + 2(7 – 22) – 1 queremos indicar que primero debe efectuarse la potencia 22 = 4, después la resta contenida en el paréntesis, 7 – 4 = 3, a continuación, el producto de 2 por el número resultante del paréntesis, 2·3 = 6, después la suma, 3 + 6 = 9, y, por último, la resta, 9 – 1 = 8. En conclusión, 3 + 2(7 – 22) – 1 = 8. 3. SITUACIONES QUE MOTIVAN EL USO DE LOS NÚMEROS CON SIGNO En las expresiones 3 + 2·5 ó 3 + 2(7 – 22) – 1 todas las operaciones parciales son efectuables por lo que, siguiendo las reglas de prioridad de operaciones, obtenemos un número natural como resultado final de dichos cálculos. Pero podemos construir fácilmente expresiones algebraicas numéricas que no sean parcialmente efectuables. Por ejemplo, la expresión 10 + (3 – 5) propone un cálculo imposible en el ámbito de la aritmética, 3 – 5, porque “donde hay 3 objetos (ó 3 unidades de una cantidad de magnitud) no se pueden quitar 5”. Sin embargo, si utilizamos una propiedad de la aritmética que dice que “sumar una diferencia equivale a sumar el minuendo y restar el sustraendo” podemos transformar esa expresión en una equivalente, 10 + 3 – 5, compuesta por operaciones que ya son efectuables, 10 + 3 – 5 = 13 – 5 = 8, y dan como 4 Esta regla afecta a los números o letras que estén ligados a otros dos números o letras por medio de operaciones de distinto rango. Por ejemplo, en la operación 2 + 3·5, el número 3 está ligado al 2 por una suma y al 5 por un producto, luego tiene prioridad el producto. 5 Se considera que las raíces tienen el mismo rango que las potencias, los productos el mismo rango que los cocientes, y las sumas el mismo que las restas. resultado un número natural. Otro ejemplo: si nos proponen el cálculo 371 + 452 – 453 lo más económico es pensar que “sumar 452 y restar 453 equivale a restar 1” ya que las 452 unidades que se suman se neutralizan con las 452 unidades que contiene el segundo número y que hay que restar. Por tanto, lo más sencillo es escribir 371 + 452 – 453 = 371 – 1 = 370. Sin embargo, esto significa que, de alguna manera, hemos efectuado una resta con un sustraendo mayor que el minuendo, lo que en aritmética no es admisible. En resumen, la naturaleza del cálculo algebraico, incluso como mero instrumento de apoyo a la aritmética, desborda el marco aritmético y hace aparecer como deseable la prolongación de las operaciones a casos que la aritmética no contempla. En particular, la manipulación de restas (o diferencias) en las que el minuendo sea menor que el sustraendo. Y ¿cómo hacer esto? Pues sustituyendo el cálculo entre números (o letras que los representan) - bien por un cálculo entre sumandos y sustraendos, es decir, entre números en los que, a la hora de operar, se tiene en cuenta su papel en la expresión algebraica en tanto que números que suman o restan a otros; - bien por un cálculo entre diferencias, unas con minuendo mayor o igual que el sustraendo y otras con minuendo menor que el sustraendo. Para ello, habrá que establecer las reglas de cálculo, no ya entre números, como veníamos haciendo hasta ahora, sino entre números precedidos de un signo + ó – que indica su condición de sumandos o sustraendos, o entre diferencias a-b, con a mayor, igual o menor que b. Y esto habrá que hacerlo de manera que dichas reglas sean compatibles con el cálculo entre números ya conocido de antemano, es decir, de forma que conserve las propiedades de las operaciones aritméticas, lo que se conoce como “principio de permanencia de las leyes formales de la aritmética”. 4. LAS REGLAS DE CÁLCULO DE LOS NÚMEROS CON SIGNO 4.1. Las equivalencias entre sumandos y sustraendos, diferencias y números Para toda diferencia con minuendo mayor o igual que el sustraendo podemos encontrar otras muchas que se comportan exactamente igual que ella: todas aquellas que dan el mismo resultado. Por ejemplo, en un cálculo podemos sustituir la diferencia 5-3 por la diferencia 8-6 sin que eso modifique el resultado final. Eso es debido a que en ambos casos la diferencia, una vez efectuada, es 2. Por eso se dice que esas dos diferencias son equivalentes. Pero 5-3 es equivalente a otras muchas diferencias, por ejemplo: 5-3 = 4-2 = 2-0 = 6-4 = 17-15 = ... Todas dan el mismo resultado y todas ellas se obtienen sumando o restando un mismo número al minuendo y el sustraendo. Pero además, también podemos sustituir cualquiera de ellas por el número natural 2, sabiendo que esto no va a afectar al resultado final de las operaciones. Si extendemos estos razonamientos al caso de diferencias con minuendo menor que el sustraendo, en un primer momento nos encontramos con que aquí no podemos establecer una equivalencia entre diferencias basada en que al efectuarlas se obtiene el mismo resultado, porque estas diferencias ya no son efectuables en el ámbito de los números sin signo. Por ejemplo, la diferencia 3-5 no tiene solución en los números naturales. Sin embargo, lo que sí podemos hacer es establecer la equivalencia entre dos diferencias cuando una de ellas se obtiene sumando un mismo número a minuendo y sustraendo de la otra. De esa manera podemos considerar como equivalentes las diferencias 3-5 = 1-3 = 0-2 = 4-6 = 28-30 = ..., aun cuando no sean efectuables en N. Además, cualquier diferencia con minuendo menor que el sustraendo siempre tendrá como equivalente una diferencia del tipo 0-a, lo que en la práctica es un sustraendo. Por tanto, toda diferencia con minuendo menor que el sustraendo es equivalente a un sustraendo. Por otro lado, cuando se desarrollan las reglas de cálculo de los sumandos se comprueba que en todo momento se comportan como los números sin signo, por lo que se les puede considerar equivalentes. En resumen, la familiarización con el cálculo con sumandos y sustraendos y diferencias permite ver que, por una parte, el número sin signo n (natural o fraccionario), el sumando +n y las diferencias con el minuendo mayor o igual que el sustraendo que dan como resultado n, son equivalentes entre sí (+n = n-0 = n); por otro lado, el sustraendo -n es equivalente a la diferencia con el minuendo menor que el sustraendo 0-n y a todas las equivalentes a ella (-n = 0-n). 4.2. Adición y sustracción de números con signo Supongamos que tenemos dos sumandos, por ejemplo, +3 y +2. Podemos representarlos por medio de diferencias equivalentes a ellos, por ejemplo, 3-0 y 2-0. Si tenemos en cuenta las reglas de la aritmética6, la suma de estos dos sumandos o diferencias será: (+3)+(+2) = (3-0)+(2-0) = (3+2)-(0+0) = 5-0 = +5 En el caso de que tengamos dos sustraendos, -3 y –2, podemos representarlos también en términos de diferencias, 0-3 y 0-2. Si extendemos la regla de suma de diferencias a este caso, obtendremos: (-3)+(-2) = (0-3) +(0-2)= (0+0)-(3+2)= 0-5 =-5 Y, por último, si tenemos un sustraendo y un sumando podemos establecer su suma del siguiente modo: (+3)+(-2) = (3-0)+(0-2) = (3+0)-(0+2) = 3-2 = 1-0 = +1 (-3)+(+2) = (0-3)+(2-0) = (0+2)-(3+0) = 2-3 = 0-1 = -1 En la práctica, esto se traduce en la regla siguiente: para sumar dos números con el mismo signo, se suman los números y se mantiene el signo; para sumar dos números con distinto signo, se restan los números y se pone el signo del número mayor. La suma entre números con signo, además de cumplir las propiedades asociativa y conmutativa, igual que la suma entre números, tiene la ventaja de que todo número con signo tiene un opuesto, es decir, otro número con signo que sumado con él da como resultado cero. La suma, (+n)+(-n) = (n-0)+(0-n) = (n+0)-(0+n) = n-n = 0, nos muestra que +n es el opuesto de -n y, recíprocamente, -n es el opuesto de +n. Y esto tiene una consecuencia importante: la de que toda resta se puede expresar en términos de suma. En efecto, efectuar la sustracción - , donde y representan números con signo 6 En este caso, la regla que dice que “la suma de dos diferencias es otra diferencia cuyo minuendo es la suma de los minuendos y cuyo sustraendo es la suma de los sustraendos”. cualesquiera, equivale a encontrar la solución de la ecuación x+ = . Y aplicando las propiedades aritméticas7, se tiene que x+ +op( ) = +op( ), x+0 = +op( ), x = +op( ) y, por tanto, - = +op( ). La consecuencia inmediata es que, en la práctica, las restas se reducen a sumas y lo que en los números naturales o fraccionarios se interpretaba como dos operaciones distintas, en los números con signo se convierte en una única operación. Esto facilita grandemente la manipulación de las expresiones algebraicas porque la suma es una operación que se comporta mucho mejor que la resta, dado que cumple las propiedades asociativa y conmutativa, lo que no sucede con esta última. Ejercicio 1. Justificar las propiedades asociativa y conmutativa de la adición de números con signo, interpretándolos como diferencias de números. 4.3. Valencias y usos de los signos + y – La aparición de los números con signo hace que los signos + y - adquieran nuevos significados o valencias. En el campo de la aritmética los signos + y - se usan para indicar las operaciones binarias de adición y sustracción entre números. En el ámbito algebraico, mantienen su sentido como indicadores de operaciones binarias, aunque ya no entre números, sino entre números con signo, pero aparece un nuevo sentido como signo predicativo, es decir, como signo que indica la cualidad de sumando o sustraendo de un número. Pero además, el hecho de que - = +op( ) hace deseable la interpretación de - como el opuesto de . Así pues, en la escritura algebraica los signos + y - pueden indicar: a) la cualidad de sumandos o sustraendos de los números con signo (signos predicativos). b) las operaciones binarias de suma y resta entre números con signo (signos operativos binarios). c) la operación unaria que mantiene un número con signo o lo transforma en el opuesto (signos operativos unarios). Sin embargo, la práctica habitual en la manipulación de las escrituras algebraicas pasa por la supresión de todos los signos operativos binarios, no sólo los que afectan a sumas y restas, también los que se refieren a productos y cocientes. Los signos que indican restas y cocientes no se usan porque estas operaciones se expresan en términos de suma con el opuesto o producto por el inverso, respectivamente; la suma se representa colocando los números con signo uno a continuación del otro (por ejemplo, –4-5+3 indica la suma de los términos -4 y -5 y +3) y el producto, colocando los términos uno a continuación del otro y envueltos en paréntesis (por ejemplo, (-4)(- 5)(+3) indica el producto de los términos -4, -5 y +3). 7 En este caso, la propiedad de que “si a los dos miembros de una igualdad se le suma o resta un mismo número, la igualdad se conserva”. La multiplicidad de significados de los signos + y - junto con la supresión de los signos operativos binarios permite una gran flexibilidad y comodidad de interpretación y manejo de las expresiones algebraicas. Por ejemplo, la expresión 10-5-8+5-10-4, entendida como suma de los términos +10 (hay costumbre de suprimir también el signo + en su sentido predicativo cuando afecta al primer término de una expresión o de un paréntesis), -5, -8, +5, -10 y –4, permite cambiar de lugar cualquiera de los términos y asociarlo en la forma que resulte más eficaz para obtener el resultado, puesto que la suma tiene las propiedades asociativa y conmutativa (10-5-8+5-10-4 = -8-4 = -12). Otro ejemplo: en la expresión 3a+(-5a+7-2b)-(8-b) los signos que preceden a los paréntesis deben interpretarse como signos operativos unarios: el primero de ellos, al ser un signo +, deja invariable el paréntesis, el segundo, al ser un signo -, indica que hay que transformar el paréntesis en su opuesto. Teniendo en cuenta que “el opuesto de una suma es la suma de sus opuestos8”, podemos escribir 3a+(-5a+7-2b)-(8-b) = 3a-5a+7- 2b-8+b. Como ahora se trata de una suma entre los términos +3a, -5a, +7, -2b, -8 y +b, podemos asociar y conmutar los términos en la forma que nos resulte más cómoda y obtenemos la expresión equivalente -2a-b-1. 4.4. Ordenación de números con signo La ordenación de los números con signo viene dada por la necesidad de definir una relación de orden compatible con la suma. Esta compatibilidad exige que si a los dos miembros de una desigualdad se les suma un mismo número con signo, la desigualdad se conserve. Si tenemos en cuenta las siguientes desigualdades aritméticas: 8+3 < 8+5, 8-3 < 8+5 y 8-5 < 8-3, donde los signos + y - indican operaciones binarias entre números naturales o fraccionarios sin signo, vemos que todas ellas pueden reinterpretarse en términos de sumas entre números con signo sin más que considerar los signos + y - como predicativos. Si ahora sumamos a los dos miembros de las desigualdades el término –8 y exigimos que las desigualdades se conserven, se obtiene que +3 < +5, -3 < +5 y -5 < -3. En general, la regla de ordenación de números con signo nos dice que: -n < +m cualesquiera que sean n y m, +n < +m si n < m y -n < -m si n > m.
4.5. Multiplicación y división de números con signo
Dados dos sumandos, por ejemplo, +3 y +2, siempre podremos representarlos por
medio de diferencias equivalentes a ellos, por ejemplo, 3-0 y 2-0. Si tenemos en cuenta
las reglas de la aritmética9, la multiplicación de estos dos sumandos o diferencias puede
expresarse como:
(+3)(+2) = (3-0)(2-0) = (3-0)2-(3-0)0 = 3.2-0.2-3.0+0.0 = 6-0 =+6
Si tenemos dos sustraendos, por ejemplo, -3 y -2, también podemos representarlos
en términos de diferencias como, por ejemplo, 0-3 y 0-2. Si efectuamos ahora la
multiplicación de esos dos sustraendos o diferencias, obtendremos:
8 Esta propiedad se demuestra fácilmente porque (a+b)+(op(a)+op(b)) = a+b+op(b)+op(a) = a+ op(a) = 0.
Esto nos hace ver que op(a)+op(b) es el término que sumado con a+b da cero. Por tanto, es el opuesto de
a+b, op(a+b) = op(a)+op(b).
9 En este caso, las propiedades asociativa y conmutativa del producto y la propiedad distributiva del
producto respecto a la resta.
(-3) (-2) = (0-3)(0-2)= (0-3)0-(0-3)2 = 0.0-3.0-0.2+3.2 = 6-0 = +6
Por último, si tenemos un sumando y un sustraendo, por ejemplo, +3 y -2, podemos
establecer su producto del siguiente modo:
(+3).(-2) = (3-0)(0-2) = (3-0)0-(3-0)2 = 3.0-0.0-3.2+0.2 = 0-6 = -6
En la práctica, esto se traduce en la regla siguiente: para multiplicar dos números
con el mismo signo, se multiplican los números y se coloca delante del resultado el
signo +; para multiplicar dos números con distinto signo, se multiplican los números y
se coloca delante del resultado el signo -.
En cuanto a la división de números con signo, hay que tener en cuenta que, en el
campo de los números fraccionarios, la división por un número distinto de cero se
reduce a la multiplicación del dividendo por el inverso del divisor, con lo que toda
división entre fracciones se convierte en una multiplicación. De acuerdo con esto, a la
división de números con signo le son de aplicación las reglas establecidas para la
multiplicación de números con signo: para dividir dos números con el mismo signo, se
dividen los números y se coloca delante del resultado el signo +; para dividir dos
números con distinto signo, se dividen los números y se coloca delante del resultado el
signo -. Sucede aquí lo mismo que en el caso de la suma y la resta
Como consecuencia, en los números fraccionarios con signo las cuatro operaciones
típicas de la aritmética elemental se reducen a dos: la suma y la multiplicación, ya que
la resta se transforma en una suma con el opuesto del sustraendo y la división por un
número distinto de cero en un producto por el inverso del divisor.
Ejercicios
2. Justificar las propiedades asociativa y conmutativa del producto de números con signo,
interpretándolos como diferencias de números.
3. Justificar la propiedad distributiva del producto de números con signo respecto a la suma,
interpretándolos como diferencias de números.
5. LA CONDICIÓN DE NÚMEROS DE LOS NÚMEROS CON SIGNO
5.1. ¿Son números los números con signo?
Hasta ahora, hemos hablado de los números con signo pero no hemos discutido si
son o no números. Desde luego, son números precedidos de un signo + ó -, pero, a ese
nuevo objeto matemático formado por un número y un signo, ¿podemos darle también
la consideración de número? La respuesta no es trivial, ni siquiera fácil. Si
interpretamos los números con signo como sumandos o sustraendos no hay ninguna
razón para considerarlos números. En el ámbito de la aritmética elemental, la
caracterización de los números viene dada porque expresan cardinales de conjuntos o
medidas de cantidades de magnitud. En este sentido 5 ó 4/7 son números porque pueden
expresar el resultado de una medida. Pero +5 y -4/7 solo indican que en una
determinada expresión los números 5 ó 4/7 tienen un papel como sumandos y
sustraendos que conviene tener en cuenta a la hora de ejecutar los cálculos, dado que
eso los facilita. Son, por tanto, objetos intermediarios del cálculo que dejan de tener
sentido cuando éste termina, pues el resultado final de las operaciones deja ya de
cumplir un papel como sumando o sustraendo
Si interpretamos los números con signo como diferencias, parece evidente que los
números precedidos de un signo + sí que son números, desde el momento que son
diferencias con minuendo mayor que el sustraendo y, por consiguiente, perfectamente
efectuables en el campo numérico. Pero ¿que pasa con las diferencias con minuendo
menor que el sustraendo? Desde el punto de vista aritmético esas diferencias no son
efectuables, ya que la operación de restar se identifica con las acciones de quitar,
separar, sustraer, etc., y nunca se puede quitar de donde no hay, por lo que resulta
imposible aceptar que esas diferencias constituyan un número.
Durante muchos siglos –desde Diofanto (siglo III d.C)– los matemáticos usaron los
números con signo en sus cálculos sin pretender que, a su vez, fueran números. Sin
embargo, diversas circunstancias históricas hicieron cada vez más deseable su
consideración como números. El desarrollo de una teoría general de ecuaciones fue
haciendo necesaria la aceptación como soluciones de las ecuaciones de los números con
signo y de sus raíces. El teorema fundamental del álgebra que dice que toda ecuación
polinómica tiene, al menos, una solución, solo puede establecerse si se trabaja en un
campo numérico que contenga los números con signo y sus raíces (lo que, hoy en día,
conocemos como conjunto de los números complejos). Por otra parte, a partir de
Descartes (siglo XVI) el álgebra se convierte en una herramienta al servicio de la
geometría. Hasta entonces, las manipulaciones algebraicas se hacían para resolver
problemas aritméticos y, por consiguiente, las letras representaban siempre medidas de
cantidades.
La geometría analítica fue desarrollando la noción de abscisa que terminó por
identificar los números con signo con los puntos de la recta, permitiendo que una misma
ecuación representase una curva situada en diferentes cuadrantes. La identificación
entre los números con signo y los puntos de la recta se establece a partir de la elección
de dos puntos arbitrarios a los que se les adjudica los números 0 (al de la izquierda) y
+1 (al de la derecha). La concatenación a derecha e izquierda del segmento (0,+1),
permite definir los puntos +2, +3, +4, etc., a la derecha de cero, y los puntos -1, -2, -3, –
4, etc., a la izquierda de cero. Después, mediante técnicas de fraccionamiento de
segmentos se van identificando los puntos que corresponden a números fraccionarios
con signo.
Fig. 1
La interpretación de los números con signo como puntos de la recta permite
interpretar el orden entre ellos desde un punto de vista espacial: un número con signo
es menor que otro si está situado a la izquierda de sobre la recta numérica.
Por otro lado, la aparición de magnitudes vectoriales y relativas contribuyó también
al afianzamiento de los números con signo como números. En las magnitudes
vectoriales: velocidades, aceleraciones, fuerzas, etc., para caracterizar una cantidad de
magnitud no basta con un número que exprese su medida sino que es necesario un
vector que incorpora además especificaciones sobre su dirección y sentido. En las
magnitudes relativas: temperaturas, etc., la medida cero no indica ausencia de cantidad
de magnitud, sino que representa la medida de una cierta cantidad de magnitud a la que
convencionalmente se le atribuye ese valor para que sirva de referencia a la medida de
otras cantidades de la misma magnitud. La existencia de magnitudes vectoriales y
relativas permitió utilizar los números con signo para expresar cantidades de magnitud
unidireccionales (en las que los signos expresan uno u otro sentido dentro de la misma
dirección) y relativas (en las que el signo indica si la cantidad de magnitud es mayor o
menor que la cantidad de magnitud tomada como origen).
Sin embargo, y a pesar de todos estos avances, fue necesario esperar a la revolución
matemática que se produjo en el primer tercio del siglo XIX para que, definitivamente,
los matemáticos asumieran que los números con signo eran números. Para ello, hubo
que despojar al número de su sentido originario como medida de cantidades de
magnitud y aceptar como definiciones válidas en matemáticas, no solo aquellas que
“dan sentido físico” a los objetos matemáticos (definiciones esencialistas), sino también
aquellas que definen los objetos matemáticos estableciendo sus reglas de manipulación
(definiciones funcionales). En este nuevo marco teórico Peacock estableció en 1830 que
los números con signo eran números (positivos los precedidos de un signo + y negativos
los precedidos de un signo -). A los números naturales precedidos de un signo se les
llamó números enteros, Z, y a las fracciones y los naturales precedidos de un signo,
números racionales, Q.
5.2. Definición axiomática de Q
Vamos a dar ahora una definición funcional del conjunto de los números
racionales, entendiendo por tal el conjunto de números naturales y fraccionarios
precedidos del signo + ó -.
Un conjunto será considerado el “conjunto de los números racionales”, Q, si:
a) está dotado de dos operaciones binarias, suma y producto, que cumplen las
siguientes propiedades:
Suma Producto
Asociativa: (x+y)+z = x+(y+z) Asociativa: (xy)z = x(yz)
Commutativa: x+y = y+x Conmutativa: xy = yx
Elemento neutro para la suma, 0
x+0 = x
Elemento unidad para el producto, 1
x.1 = x
Cada racional tiene un opuesto único
x+(-x) = 0
Cada racional distinto del elemento neutro
tiene un inverso único
x.(1/x) = 1
Distributiva del producto respecto a la suma
x(y+z) = xy+xz
b) tiene definida una relación de orden total que cumple las siguientes propiedades:
Si x  y entonces x+z  y+z,
Si x  0 e y  0 entonces xy  0
De un conjunto que cumple las propiedades enunciadas en los apartados a) y b) se
dice que es un cuerpo conmutativo totalmente ordenado. Por lo tanto, Q es un cuerpo
conmutativo totalmente ordenado. Pero esto no basta para caracterizar al conjunto de los
números racionales, es necesario añadir la siguiente propiedad:
c) No existe ningún otro cuerpo conmutativo totalmente ordenado contenido
estrictamente en Q. Dicho de otra manera, el conjunto de los números racionales es el
mínimo cuerpo conmutativo totalmente ordenado que existe.
De la misma manera, se puede definir el conjunto de los números enteros, Z, como
el mínimo anillo conmutativo con unidad totalmente ordenado, entendiendo por tal un
conjunto que cumple todas las propiedades de los apartados a) y b), salvo la que se
refiere a la existencia de inverso, y que no tiene ningún anillo conmutativo con unidad
totalmente ordenado estrictamente contenido en él.
Ejercicios:
3. Demostrar la propiedad de cancelación de la suma:
Si x+y = x+z, entonces y = z.
4. Demostrar las propiedades multiplicativas del cero:
a) 0. x = 0, para cualquier racional x.
b) Si xy = 0, donde x e y son racionales, entonces x = 0 ó y= 0.
6. TALLER MATEMÁTICO
1. El modelo de las fichas bicolores
Una representación concreta de los enteros se tiene mediante colecciones de fichas
de dos colores, por ejemplo, negras y blancas, usando el convenio de que cuando se
tiene un par de fichas de colores distintos se anulan mutuamente. Cada una de las
configuraciones de fichas de la figura 2 sirve para representar el entero -5 porque en
cada conjunto hay 5 fichas blancas en exceso respecto de la cantidad de fichas negras.
Las tres primeras configuraciones se pueden reducir a la última formada sólo por cinco
fichas rojas descartando los pares que se pueden formar con fichas de colores distintos.
Se puede pensar que las fichas negras son pequeñas piezas de materia y las blancas de
antimateria, que al juntarse desaparecen; también se puede pensar que las negras son
cargas positivas (o ingresos en una contabilidad) y las blancas son cargas negativas (o
retiradas de efectivo)
Fig. 2





   
    

 

 

 
   
   
  
Definir las operaciones de adición y multiplicación mediante el modelo concreto de
las fichas bicolores. Comprobar las propiedades estructurales de los números
enteros mediante ejemplos de situaciones referidas a la manipulación de
colecciones de fichas bicolores.
2. Resolver los siguientes problemas explicando la solución mediante representaciones
gráficas sobre la recta numérica.
a) Un misil se ha disparado a 30 metros bajo el nivel del agua; 5 segundos después
está a 90 metros sobre el nivel del mar. ¿Cuántos metros ha ascendido en los 5
segundos?
b) La temperatura era de -4 grados esta noche; desde entonces ha bajado 9 grados.
¿Cuál es la temperatura ahora?
c) Hace tres años un kg de azúcar costaba 42 céntimos. Desde entonces, su precio
anual ha sufrido los cambios -3, +21, -9 céntimos. ¿Cuánto cuesta ahora?
d) El saldo contable de un comerciante en las últimas seis semana ha registrado las
siguientes variaciones: -4, -2, 0, +1, -1, +3. ¿Cuál ha sido su ganancia o pérdida
neta?
e) En aguas quietas un barco puede moverse a la velocidad de 16 km por hora. ¿A
qué velocidad puede ir en un río cuyas aguas fluyen a 5 km por hora, si va en la
dirección del río. ¿Y si va contracorriente?
f) Un avión vuela a 190 km/h si va en contra del viento, mientras que si va a favor
del viento vuela a 220 km/h. ¿Cuál es la velocidad del viento? ¿A qué velocidad
puede volar el avión en atmósfera quieta?
3. Las temperaturas en grados Celsius se relacionan con las temperaturas en grados
Fahrenheit mediante la ecuación
5.( 32)
9
C F 

Encontrar las temperaturas Celsius correspondientes a las siguientes temperaturas
Fahrenheit.
a) 104ºF b) 212ºF c) 14ºF d) 21ºF e) -4ºF f) –40ºF
4. Realiza las siguientes operaciones de la forma más económica posible:
a) 15-(17-6)+2(15-13)
b) 28-(-8-4):(33-29)
c) (28-(-8-4)):(33-29)
d) 32-12+20-50-20+75-(-8)3
e) (28-3)-5(3-9)-(6+2):4·5
f) -15-(12-20)+(-10+14)
g) -[(-8)+(-7)]-[(-5)+(+3)]
h) (-6)[(+9)-(+2)]-(-3)(-4)
i) (7-5-1)3(4+5)2
j) (1-2(-3+2)):3-(-1+2·4+3)-2+1
k) 7-2·62:4-32
l) (7-2)62:(4-3)2
m) 7-(2·6)2:4-32
n) 7(-2)·62:4(-3)2
ñ) 7(-2·6)2:(4(-3)2)
5. Si x representa un entero distinto de cero cualquiera, ¿cuáles de las siguientes
expresiones son negativas?
a) -x b) -(-x) c) (-x)2 d) -(x2) e) x3
f) (-x)3 g) x h) – x
6. Justificar los diferentes pasos de la siguiente demostración:
a = 0 +a
= [-(-a) + (-a)] +a
= -(-a) + [(-a) +a]
= -(-a) + 0
= -(-a)
7. Usar la definición algebraica de la relación “menor que” para probar la siguiente
propiedad: Si a < b y c > 0, entonces c.a < c.b 8. Encontrar el conjunto de soluciones en Z de cada una de las siguientes desigualdades: a) (x +3)(x-2) > 0 (Observación: ¿Bajo qué condiciones puede ser positivo un
producto de dos enteros . ?)
b) (x-1)(5-x) >0