EJERCICIOS DE GEOMETRIA PLANA DE SEXTO DE PRIMARIA : SEGMENTOS , ANGULOS , TRIANGULOS Y CUADRILATEROS PDF

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. Segmento – Mediatriz de un segmento

. Ángulos: construcción

. Bisectriz de un ángulo

. Ángulos complementarios y suplementarios

. Problemas sobre ángulos

. Existencia de triángulos

. Clasificación de triángulos

. Propiedades de ángulos
. Cuadriláteros
Recordar:
Los segmentos son porciones de rectas. Ellos se encuentran en LÍNEAS POLIGONALES y POLÍGONOS.

Ejemplo:

Observación:
Si dos segmentos tienen igual medida, se dice que son congruentes, y se denota por: “@”

Ejemplo:

AHORA HAZLO TÚ

1. Mide cada segmento con ayuda de una regla graduada y luego completa.

2. Dibuja en tu cuaderno un polígono de cuatro lados, donde se observen cuatro segmentos congruentes. Denótalos.

3. Dibuja en tu cuaderno tres segmentos consecutivos, sobre una misma línea (colineales), que sean congruentes. Denótalos.

4. Dibuja en tu cuaderno un triángulo, donde se observen dos segmentos congruentes. Denótalos. ¿Cuál es el nombre que recibe este triángulo?

5. Traza cuatro segmentos consecutivos en tu cuaderno, colineales congruentes. Denótalos.

6. Observa los datos que se dan en cada figura, luego plantea una ecuación y calcula lo que se pide.
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO

Es una recta perpendicular (90º) que divide a un segmento en dos partes iguales.

AHORA HAZLO TÚ

1. Traza la mediatriz de los siguientes segmentos (usa el compás)

2. Traza la mediatriz de cada uno de los lados de los siguientes polígonos. Usa compás.

3. Para cada segmento dado traza la mediatriz y marca el punto medio de dicho segmento. (Usa compás)

Definición: Es la unión de dos rayos con un origen común llamado vértice.
Observación: Dos rectas secantes dividen el plano en cuatro regiones angulares.

Luego:

¿Sabes cómo medir los ángulos?
® Paso 1: Coloca el transportador de manera que el centro coincida con el vértice del ángulo y uno de los lados del ángulo pase por “O°”.

® Paso 2: Después observa en el transportador el número por el que pasa el otro lado del ángulo. Así habrás encontrado la medida del ángulo.
Si tenemos el ángulo ABC, trazamos el rayo que divide en partes iguales al ÐABC, entonces este rayo recibe el nombre de BISECTRIZ.

Construcción de la bisectriz

AHORA HAZLO TÚ

1. Usa el compás para trazar la bisectriz de cada uno de los siguientes ángulos.

a. b.

c. d.

e. f.

2. En los siguientes casos determinar el valor de “xº”

a. b.

c. d.

e. f.
A. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS:
Es aquel par de ángulos cuyas medidas suman 90º.

AHORA HAZLO TÚ

1. Calcular el complemento de:

• 20º = _________ • 0º = _________
• 50º = _________ • 90º = _________
• 60º = _________ • 80º = _________

2. Si el complemento de un ángulo es 20º, ¿cuál es el ángulo?

3. La medida de un ángulo es 30º. Calcular el doble de su complemento.

4. Calcular “A + B”
A = Complemento de 50º
B = Complemento de 60º

5. Si al complemento de un ángulo se le aumenta 30º, resulta igual al doble del ángulo.

6. La diferencia entre el complemento de un ángulo y el mismo ángulo es 50º. Hallar dicho ángulo.

7. Calcular “A + B – C”
A = Complemento de 20º
B = Complemento de 50º
C = Complemento de 30º

B. Ángulos Suplementarios
Es aquel par de ángulos cuyas medidas suman 180º

* Como 120º y 60º suman 180º, se les llaman ángulos suplementarios.
* Se deduce que el suplemento de 120º es 60º y viceversa.

AHORA HAZLO TÚ

1. Hallar el suplemento de:

• 180º = _________ • 150º = _________
• 120º = _________ • 80º = _________
• 90º = _________ • 0º = _________

2. Si el suplemento de un ángulo es 100º, ¿cuánto mide el ángulo?

3. Hallar “A – B”
A = Suplemento de 80º
B = Suplemento de 150º

4. Si al suplemento de un ángulo se le resta el mismo ángulo el resultado es 80º. Hallar dicho ángulo.

5. El suplemento de un ángulo es igual al doble del mismo ángulo. Hallar dicho ángulo.

6. Hallar “M + N – R”
M = Suplemento de 60º
N = Suplemento de 100º
R = Suplemento de 120º
1. Indicar el tipo de ángulo en:

• 20º ____________________________
• 40º ____________________________
• 90º ____________________________
• 100º ____________________________
• 120º ____________________________
• 150º ____________________________
• 180º ____________________________

2. Calcular el complemento de:

• 20º = _______ • 60º = _______
• 0º = _______ • 70º = _______
• 80º = _______ • 90º = _______

3. Calcular el suplemento de:

• 100º = _______ • 120º = _______
• 130º = _______ • 90º = _______
• 80º = _______ • 110º = _______

4. Indicar con una (V) si es verdadero, y con una (F) si es falso, en los siguientes enunciados:

• 30º y 60º son complementarios ( )
• 100º y 80º son suplementarios ( )
• 40º; 30º y 20º son complementarios ( )
• 100º; 50º y 30º son suplementarios ( )
• 100º y -10º son complementarios ( )

5. El complemento de un ángulo es 60º. ¿Cuánto mide el ángulo?

6. El suplemento de un ángulo es 100º. ¿Cuánto mide el ángulo?

7. Calcular “A + B”
A = suplemento de 100º
B = complemento de 50º

8. Si al complemento de un ángulo se le resta 30º el resultado es el mismo ángulo. Hallar dicho ángulo.

9. El complemento de “x” más el suplemento de “x” es 150º. Calcular “x”.

10. El complemento de “x” es el doble de “x”, hallar “x”

11. Calcular el complemento del suplemento de:

a. 120º b. 100º

c. 150º d. 130º

e. 170º f. 110º

Observa que:

• 2 – 2 < 3 < 2 + 2 • 3 - 2 < 2 < 3 + 2
0 < 3 < 4 1 < 2 < 5

Propiedad fundamental
En todo triángulo se cumple que la medida de uno de sus lados es mayor que la diferencia de los otros dos pero menor que la suma de sus lados.

AHORA HAZLO TÚ

1. A continuación se proporciona tres segmentos para cada caso. Verifica aplicando la propiedad si es posible la construcción del triángulo. Si es así constrúyela.

1. Clasifica cada triángulo como rectángulo, obtusángulo, acutángulo. Además determina si es equilátero, isósceles, escaleno. Usa regla y transportador para una mejor precisión.

2. Dibuja el triángulo indicado, de ser posible, si no, explica porqué sucede esto. Resuelve en el cuaderno.

a. Rectángulo e isósceles b. Escaleno y rectángulo

c. Escaleno y obtusángulo d. Acutángulo e isósceles

e. Acutángulo y equilátero f. Rectángulo y equilátero

3. En todo triángulo rectángulo se cumple el importante teorema de PITÁGORAS.

Ejemplo:

Ahora con ayuda de una regla, toma la medida de cada lado del triángulo, anota el resultado y comprueba el teorema de Pitágoras en cada caso: (Prueba los resultados con una calculadora)

a.

b.

c.

4. Hallar la medida de los ángulos internos de cada triángulo, anota los resultados en la figura y luego completa la oración.

* En todo triángulo: la suma de los ángulos internos es igual a _____________.

5. ¿Puede existir un triángulo rectángulo equilátero? ¿Por qué?
__________________________________________________________________

6. ¿Puede existir un triángulo rectángulo isósceles? ¿Cuánto medirá sus ángulos iguales?
__________________________________________________________________
¿Qué es un cuadrilátero?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________

AHORA HAZLO TÚ

1. En los siguientes gráficos, indicar sus elementos.

2. Indicar el nombre de cada figura mostrada:

3. Dibuja un cuadrado cuyo lado mida 4 cm.

4. Dibujar un rectángulo cuyos lados midan 3 cm y 4 cm.

5. Dibuja un cuadrado cuyo perímetro sea 12 cm.

6. Dibujar un cuadrado y mide con tu transportador los ángulos formados por sus diagonales.

7. Dibuja un cuadrado y mide con tu transportador el ángulo formado por una diagonal y uno de sus lados.
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1. Observa cada una de las figuras del recuadro anterior (clasificación) y luego señala a cada vértice con una letra mayúscula (usa las iniciales de tu nombre si prefieres), a continuación determina los lados que son paralelos y sus diagonales. Denota sus elementos.

Ejemplo:

2. Mide cada uno de los ángulos internos de los cuadriláteros dados y luego completa la oración.

a. b.

c. d.

En todo cuadrilátero la suma de los ángulos internos es igual a ____________.

3. ¿Qué diferencia encuentras entre un paralelogramo y un trapecio?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________

4. Si un trapecio tuviera dos ángulos internos de 90º, ¿qué nombre le pondrías? Ilustra tu respuesta.
_________________________________________________________________
A: Contextualización Profesional
ANÁLISIS DE PROBLEMAS SOBRE FIGURAS GEOMÉTRICAS EN PRIMARIA
Consigna:
Los enunciados que se incluyen a continuación han sido tomados de libros de texto de
primaria. Para cada uno de ellos,
a) Resuelve los problemas propuestos.
b) Indica los conceptos y procedimientos matemáticos que se ponen en juego en la
solución.
c) Clasifica los enunciados en tres grupos según el grado de dificultad que les atribuyes
(fácil, intermedio, difícil).
d) Para cada problema enuncia otros dos del mismo tipo, cambiando las variables de la
tarea, de manera que uno lo consideres más fácil de resolver y otro más difícil.
e) ¿Piensas que los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles para los
alumnos de primaria? Propón un enunciado alternativo para aquellos ejercicios que no
te parezcan suficientemente claros para los alumnos.
Enunciados de problemas incluidos en libros de primaria:
1. ¿En cuántos puntos pueden cortarse cuatro rectas?
2. Dibuja un polígono convexo de siete lados y traza sus diagonales. ¿cuántas diagonales
tiene?
3. ¿Cuántos grados mide el ángulo central de un decágono regular?
4. Repite esta plantilla seis veces y colorea en cada caso
a) Un triángulo equilátero
b) Un triángulo isósceles
c) Un triángulo escaleno
d) Un trapecio
e) Un rectángulo
f) Un rombo
5. Corta un cuadrado y construye un romboide con las partes.
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6. En cada uno de estos
polígonos traza las diagonales
que parten del vértice A. Cuenta
el número de triángulos en que ha
quedado dividido cada uno de los
polígonos y completa la tabla
A
A

A  A

Número de lados 4 5 6 7 8 9 10
Número de triángulos 2
7. Dibuja en papel cuadriculado:
a) Un cuadrilátero que tenga dos ángulos agudos, dos ángulos obtusos y dos pares de
lados paralelos.
b) Un cuadrilátero que tenga los cuatro ángulos rectos y los lados iguales dos a dos.
8. Cuenta el número de caras, aristas y vértices de cada uno de estos poliedros y comprueba
que: nº de caras + nº de vértices = nº de aristas + 2.
CARAS VÉRTICES ARISTAS
A
B
C
D
9. Dibuja el desarrollo de estos
poliedros
10. ¿Qué figura obtendrías a partir de cada uno de estos desarrollos?
11. Escribe el nombre de cada uno de estos cuerpos geométricos
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12. a) ¿Cuántas caras laterales tiene cada
uno de estos prismas ?
b) ¿A cuál de los cuerpos de la
izquierda corresponde el recortable?
c) Dibuja todos los polígonos que forman
las caras de este poliedro construido con
ocho cubos iguales:
d) Escribe en qué se parecen y en qué
se diferencia estos dos polígonos:
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B: Conocimientos Matemáticos
1. LA GEOMETRÍA Y SUS APLICACIONES
1.1. Naturaleza de los objetos geométricos
Antes de comenzar a estudiar la geometría y de ver cómo podemos ayudar a los niños
a que aprendan geometría, consideramos necesario aclarar de qué trata esta rama de las
matemáticas y reflexionar sobre la naturaleza de sus objetos. El significado etimológico de la
palabra geometría, “medida de la tierra”, nos indica su origen de tipo práctico, relacionado
con las actividades de reconstrucción de los límites de las parcelas de terreno que tenían que
hacer los egipcios, tras las inundaciones del Nilo. Pero la Geometría dejó hace ya hace
mucho tiempo de ocuparse de la medida de la tierra. Con los griegos la geometría se interesó
por el mundo de las formas, la identificación de sus componentes más elementales y de las
relaciones y combinaciones entre dichos componentes.
La geometría se ocupa de una clase especial de objetos que designamos con palabras
como, punto, recta, plano, triángulo, polígono, poliedro, etc. Tales términos y expresiones
designan “figuras geométricas”, las cuales son consideradas como abstracciones, conceptos,
entidades ideales o representaciones generales de una categoría de objetos. Por tanto, hay que
tener en cuenta que la naturaleza de los entes geométricos es esencialmente distinta de los
objetos perceptibles, como este ordenador, una mesa o un árbol. Un punto, una línea, un
plano, un círculo, etc., no tienen ninguna consistencia material, ningún peso, color, densidad,
etc.
Un problema didáctico crucial es que con frecuencia usamos la misma palabra para
referimos a los objetos perceptibles con determinada forma geométrica (“el triángulo es un
instrumento de percusión”) y al concepto geométrico correspondiente (el triángulo isósceles).
Además, en la clase de matemáticas, y en los textos escolares no se diferencian los dos planos
(objeto abstracto, realidad concreta) y encontramos expresiones como: “Dibuja una recta (un
triángulo, etc)”. Como entidades abstractas que son, parece obvio que no se puede dibujar una
recta o un triángulo. Lo que se dibuja es un objeto perceptible que evoca o simboliza el objeto
abstracto correspondiente. La recta, como entidad matemática, es ilimitada y carece de
espesor, no así los dibujos que se hacen de ella. Del mismo modo, un triángulo no es una
pieza de material de una forma especial, ni una imagen dibujada sobre el papel: Es una forma
controlada por su definición.
Las entidades matemáticas y también las geométricas son creadas en última instancia
mediante definiciones, reglas que fijan el uso de los términos y expresiones. Ciertamente que
no serán reglas arbitrarias, sino que se harán de manera que sean útiles para la descripción del
mundo que nos rodea –o de mundos imaginarios-, pero su naturaleza es la que hace que
establecer una propiedad geométrica (por ejemplo, que la suma de los ángulos interiores de
cualquier triángulo plano sea un ángulo llano) sea un acto esencialmente distinto a descubrir
que todos los leones son carnívoros. Esta naturaleza es de tipo “gramatical” (puesto que se
deriva de las reglas de uso de las palabras y expresiones) y es la que concede a las entidades
matemáticas su carácter necesario, universal y atemporal.
El “lenguaje” geométrico tiene su origen en nuestra necesidad de describir el mundo
de las formas de los cuerpos perceptibles que nos rodean, su tamaño y posición en el espacio.
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Pero superada la primera fase de clasificación de las formas, de identificación de las
propiedades de las clases de objetos y la creación de un lenguaje que permita su descripción
de manera precisa, la actividad geométrica se ocupa de estructurar el mundo de entidades
geométricas creadas y de deducir las consecuencias lógicas que se derivan de los convenios
establecidos. Rápidamente somos arrojados fuera del cómodo mundo de nuestras
percepciones para entrar en el mundo del lenguaje, de la gramática y de la lógica. Cuando
pedimos a un niño que entre una colección de paralelogramos identifique los rectángulos, no
le exigimos que discrimine la forma perceptible de los rectángulos de entre las restantes
figuras, sino que sea capaz de aplicar los convenios que hemos establecido para el uso de la
palabra ‘rectángulo’. Siendo un poco exigentes, incluso podemos criticar la pertinencia de esa
tarea, ya que visualmente es imposible saber si un romboide cuyos ángulos miden 89º (y 91º)
debemos considerarlo o no como un rectángulo. La respuesta correcta que un niño debería dar
sería algo así como,
“si estos ángulos de estas figuras son
efectivamente rectos, entonces decimos que
son rectángulos”; también debería incluir
los cuadrados entre los rectángulos.
Fig. 1
Como conclusión, debemos tener claro que cuando hablamos de “figuras o formas
geométricas” no nos referimos a ninguna clase de objetos perceptibles, aunque ciertamente los
dibujos, imágenes y materializaciones concretas son, al menos en los primeros niveles del
aprendizaje, la razón de ser del lenguaje geométrico y el apoyo intuitivo para la formulación
de conjeturas sobre las relaciones entre las entidades y propiedades geométricas.
1.2. Aplicaciones de la geometría
La Geometría estudia las formas de las figuras y los cuerpos geométricos. En la vida
cotidiana encontramos modelos y ejemplificaciones físicas de esos objetos ideales de los que
se ocupa la Geometría, siendo muchas y variadas las aplicaciones de esta parte de las
matemáticas.
Una de las principales fuentes de estos objetos físicos que evocan figuras y cuerpos
geométricos está en la propia Naturaleza. Multitud de elementos naturales de distinta especie
comparten la misma forma, como ocurre con las formas en espiral (conchas marina, caracoles,
galaxias, hojas de los helechos, disposición de las semillas del girasol, etc.). Igualmente
encontramos semejanzas entre las ramificaciones de los árboles, el sistema arterial y las
bifurcaciones de los ríos, o entre los cristales, las pompas de jabón y las placas de los
caparazones de las tortugas. La Naturaleza, en contextos diferentes, utiliza un número reducido
de formas parecidas, y parece que tuviese predilección por las formas serpenteantes, las
espirales y las uniones de 120º. Pensemos en la disposición hexagonal perfecta de las celdillas
de los panales de las abejas, siendo su interior poliedros que recubren el espacio, como el
rombododecaedro.
El ser humano refleja en su quehacer diario y en sus obras de arte esas imágenes ideales
que obtiene de la observación de la Naturaleza: realiza objetos de cerámica, dibujos, edificios
y los más diversos utensilios proyectando en ellos las figuras geométricas que ha
perfeccionado en la mente. El entorno artístico y arquitectónico ha sido un importante factor
de desarrollo de la Geometría. Así desde la construcción de viviendas o monumentos
funerarios (pirámides de Egipto), hasta templos de los más diversos estilos han impulsado
constantemente el descubrimiento de nuevas formas y propiedades geométricas.
Muchas profesiones, además de los matemáticos, arquitectos e ingenieros necesitan y usan la
Geometría: albañiles, ceramistas, artesanos (objetos de taracea, trabajos de cuero, repujados
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de latón, tejedores de alfombras, bordadoras, encajes de bolillos, etc.), decoradores,
coreógrafos, diseñadores de muebles, etc. Todos ellos de una forma más o menos consciente,
utilizan el espacio y las formas geométricas.
También se encuentra la geometría en los juegos: billar (bolas y mesa en forma de doble
cuadrado, con rombos en los bordes), parchís, ajedrez, la rayuela, el juego de los barcos, así
como multitud de juegos de ordenador. El mundo de los deportes está repleto de figuras
geométricas: fútbol (el rectángulo del campo, las áreas, el balón, las porterías, etc.),
baloncesto (canastas, zonas, campo, etc.), tenis, rugby, béisbol, etc.
Seguramente el lector puede completar estas listas de situaciones y ámbitos donde
podemos encontrar objetos geométricos, y cuyo manejo facilita el conocimiento de tales
ámbitos.
Ejercicio:
1. Hacer una lista de figuras y conceptos geométricos que encuentres en: Naturaleza; artes;
música; la calle; la casa; el deporte; los juegos; las profesiones.
1.3. Situaciones introductorias
A. Lista mínima de propiedades
En la figura adjunta hay representados diversos rectángulos. Listar todas las posibles
propiedades de los rectángulos. Por
ejemplo:
- tiene cuatro lados
- los lados opuestos son paralelos
- etc.
Elaborar una lista mínima de propiedades de tal manera que si una figura tiene esas
propiedades podemos decir que es un rectángulo.
Fig. 2
B. Deducción informal
Demostrar si los enunciados siguientes son verdaderos o falso:
- Si una figura (F) es un cilindro, entonces es un prima.
- Si F es un prisma, entonces es un cilindro.
- Si F es un cuadrado, entonces es un rombo.
- Todos los paralelogramos tienen diagonales congruentes.
- Todos los cuadriláteros con diagonales congruentes son paralelogramos.
- Si dos rectángulos tienen la misma área, entonces son congruentes.
. Todos los prismas tienen un plano de simetría.
- Todos los prismas rectos tienen un plano de simetría.
- Si un prisma tiene un plano de simetría, entonces es un prisma recto.
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2. COMPONENTES ELEMENTALES DE LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS
2.1. Puntos, rectas, planos y espacio
En el cuadro adjunto hemos escrito las letras A, B, P, Q a la derecha de una diminuta
marca redondeada. Decimos que dichas marcas son puntos. Igualmente diríamos que se trata
de puntos si en lugar de usar una impresora láser para hacer la impresión usáramos un lápiz
con una punta gruesa, o un lápiz imaginario que dibuja puntos tan finos que sean
prácticamente imperceptibles.
. A . P . Q
Fig.3 . B
El punto, como objeto o figura geométrica, se considera que no tiene dimensiones y se usa
para indicar una posición en el espacio.
En el cuadro siguiente decimos que hay representadas dos líneas rectas designadas con
las letras r y s:
Fig. 4
r
s
Pero al objeto o figura geométrica línea recta se le atribuyen unas características que
realmente no tienen los trazos marcados en el cuadro. Se considera que las rectas son
ilimitadas por ambos extremos, así como que no tienen ningún espesor, lo que hace imposible
"representar" las rectas. La característica de ser ilimitadas por ambos extremos se suele
indicar marcando flechas en cada extremo. Otras experiencias que sugieren la idea de recta
pueden ser un hilo tirante, el borde una regla, etc.
Se considera que dos puntos determinan una y sólo una línea recta que contiene a
dichos puntos. Tres o más puntos pueden determinar varias rectas, pero si están contenidas en
una recta se dice que son colineales.
Tres puntos no colineales se dice que determinan un plano, figura geométrica que
suele ser evocada por una hoja de papel apoyada sobre una mesa, la propia superficie de una
mesa, la pizarra, etc. De nuevo al objeto o figura geométrica designada con la palabra ‘plano’
se le atribuyen unas características ideales que no tienen tales objetos perceptibles, como no
tener límites en ninguna dirección, ni tampoco ningún espesor.
Se dice que las rectas y los planos son conjuntos de puntos. Se considera el espacio
como el conjunto de todos los puntos. Cualquier subconjunto de puntos del espacio se
considera como una figura geométrica. El objetivo de la geometría será describir, clasificar y
estudiar las propiedades de las figuras geométricas.
Dos rectas contenidas en el plano que no tienen ningún punto en común se dice que son
paralelas. Si tienen un punto en común se dice que son concurrentes. Una recta que corta a
otras dos se dice que es una transversal.
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Todo punto P divide a una recta que lo contiene en dos subconjuntos formados por los
puntos que están situados a un mismo lado respecto de P. Estos subconjuntos se dice que son
semirectas o rayos de extremo P.
También se habla de semiplanos: cada una de las dos partes en que queda dividido un
plano al quitar una recta del mismo. También serán semiplanos abiertos o cerrados, según que
se incluya o no la recta a partir de la cual se forma.
B
C
A D
Ejercicios:
2. ¿En cuántas partes queda dividido un plano al quitarle:
a) Dos rectas paralelas; b) Dos rectas concurrentes; c) Tres rectas, dos de las cuales son
paralelas; d) Tres rectas concurrentes.
3. ¿Se puede separar un plano en cinco partes quitando: a) tres rectas; b) cuatro rectas?
4. ¿Cuál es el máximo número de partes en que se puede cortar un plano por 7 rectas?
5. Describir el interior de la siguiente figura como
intersección o unión de semiplanos:
5. Describir el interior de un tetraedro como
intersección de semiespacios abiertos.
Fig. 5
2.2. Segmentos y ángulos
En el siguiente cuadro decimos que está representado el segmento AB, conjunto de
puntos comprendidos entre los puntos A y B, que se dice son los extremos del segmento.
A B
Fig. 6
La distancia entre los puntos A y B se dice que es la longitud del segmento AB. Dos
segmentos AB y CD se dice que son congruentes si tienen la misma longitud.
Un segmento se puede definir también como la intersección de dos semirectas contenidas
en una misma recta. Los segmentos pueden ser abiertos o cerrados según que en las
semirectas se consideren incluidos o no los extremos.
Un ángulo se puede considerar como la intersección de dos semiplanos cerrados,
obtenidos a partir de dos rectas incidentes. Ambas semirectas son los lados del ángulo y el
punto de concurrencia es el vértice. También se usa la palabra ángulo para designar a la figura
geométrica formada solamente por el conjunto de los lados y el vértice. La figura siguiente
representa el ángulo formado por las semirectas AB y AC; se suele designar como ángulo
#BAC o tambien como #CAB
B
A
C
Fig. 7
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Un ángulo cuyos lados no están sobre la misma recta separa al plano en dos partes, el
interior y el exterior del ángulo. El subconjunto de puntos del plano formados por todos los
segmentos que unen puntos situados sobre los lados AB y AC forman el interior del ángulo, y
su complementario respecto del plano será el exterior.
El tamaño de un ángulo se mide por la cantidad de rotación requerida para girar uno de
los lados del ángulo, tomando como centro de giro el vértice, para que coincida con el otro
lado. Como unidad de medida habitual se usa el grado, la 360 ava parte de la abertura de la
circunferencia. La medida de un ángulo # A la indicaremos por m(# A )
Clasificación de los ángulos por su medida
ángulo nulo, m(# A) =0º
A
ángulo agudo,
0< m(# B) < 90º
B
ángulo recto,
m(# C) = 90º
C
ángulo obtuso,
90 < m(# D) < 180º
D
ángulo llano, m(# E) = 180º
E
ángulo reflejo,
180º< m(# A) < 360º
F
Pares de ángulos y teoremas relacionados
 Dos ángulos con medidas m1 y m2 se dice que son complementarios si y sólo si m1 + m2 =
90º. Se dice que son suplementarios si m1 + m2 = 180º.
 Dos ángulos que tienen un lado común y cuyos interiores no se solapan se dice que son
adyacentes.
2 1
# 1 y # 2 son ángulos adyacentes
suplementarios
4
3
# 3 y # 4 son ángulos adyacentes
complementarios
 Dos ángulos se llaman verticales cuando sus cuatro lados forman dos rectas que se cortan
 Cuando dos líneas l y m se cortan en dos puntos por otra recta transversal t se forman
cuatro pares de ángulos que se llaman ángulos correspondientes (Fig. 8).
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2
3 1
4
# 1 y # 3 son ángulos verticales
# 2 y # 4 son ángulos verticales
1 l
2
3 4
6 5 m
7 8
t
Ángulos correspondientes:
# 1 y # 5 ; # 2 y # 6 ; # 3 y # 7 ; # 4 y # 8
Fig. 8
Ejercicios:
6. Intenta probar los siguientes teoremas sobre ángulos:
1) Si dos rectas paralelas se cortan por una transveral los ángulos correspondientes son iguales.
2) Si dos rectas del plano son cortadas por una transversal de manera que los ángulos
correspondientes son iguales, entonces las rectas son paralelas.
3) Dos rectas cortadas por una transveral son paralelas si y sólo si un par de ángulos alternos
internos son congruentes.
4) Las bisectrices de dos ángulos suplementarios adyacentes forman un ángulo recto.
5) Medida de los ángulos de un triángulo: la suma de los ángulos interiores de cualquier
tríangulo es un ángulo llano.
3. CURVAS Y POLÍGONOS EN EL PLANO
3.1. Curvas y regiones
Una curva plana se puede describir de manera intuitiva e informal como el conjunto de
puntos que un lápiz traza al ser desplazado por el plano sin ser levantado. Si el lápiz nunca
pasa dos veces por un mismo punto se dice que la curva es simple. Si el lápiz se levanta en el
mismo punto en que comenzó a trazar se dice que la curva es cerrada. . Si el único punto por
el que el lápiz pasa dos veces es el del comienzo y final del trazado se dirá que la curva es
cerrada y simple. Se requiere que las curvas tengan un punto inicial y otro final, por lo que las
rectas, semirecta y ángulos no son curvas.
Ejemplos de curvas
C
A
B
Teorema de la curva de Jordan:
Una curva cerrada simple separa los puntos del plano en tres subconjuntos disjuntos: la
propia curva, el interior, y el exterior de la curva. Esta propiedad parece obvia en casos
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sencillos, pero enunciada en términos generales requiere una demostración matemática nada
fácil. Incluso la demostración dada por el matemático francés Camile Jordan (1838-1922) que
enunció este teorema era incorrecta.
El interior y el exterior de una curva cerrada simple se designan también como regiones.
De manera más general el conjunto complementario, respecto del plano que las contiene, de
conjuntos de rectas, semirectas y curvas está compuesto de una o más regiones. Por ejemplo,
una recta separa al plano en dos regiones llamadas semiplanos. Un ángulo, si no es nulo o
llano, separa al plano en dos regiones llamadas el interior y el exterior del ángulo.
Curvas y figuras convexas
Una figura se dice que es convexa, si y sólo si, contiene el segmento PQ para cada par de
puntos P y Q contenidos en la figura. Las figuras no convexas se dice que son cóncavas.
Figuras convexas: Figuras cóncavas:
Fig. 9
La circunferencia es una curva cerrada, convexa, tal que la distancia de cualquiera de sus
puntos a otro fijo es constante. El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia
constante se llama radio (también se llama radio al segmento que uno el centro con cualquier
punto de la circunferencia; un diámetro es cualquier segmento que une dos puntos de la
circunferencia pasando por el centro.
diámetro
tangente
sector
circular
segmento
circular
círculo
Fig. 10
3.2. Curvas poligonales y polígonos
Una curva simple que está formada por segmentos unidos por sus extremos se dice que
es una curva poligonal . Si dicha curva es cerrada se dice que es un polígono: a los segmentos
que la forman se llaman lados y a los extremos de esos segmentos, vértices. Si todos los lados
de un polígono son iguales se dice que es regular.
En principio, nada se dice sobre si las curvas poligonales, y los polígonos, han de ser
planos. También se puede hablar de poligonales y polígonos espaciales, aunque el estudio de
los polígonos se suele restringir a los polígonos contenidos en el plano.
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Los polígonos se nombran según el número de lados o vértices que tienen (triángulo,
cuadrado, pentágono, hexágono, etc).
Las semirectas que contienen a dos lados concurrentes en un vértices determinan un
ángulo del polígono. En un polígono convexo el interior del polígono será la intersección de
los interiores de los ángulos del polígono. Si en un ángulo interior de un polígono sustituimos
una de las semirectas por su opuesta se obtiene otro ángulo distinto llamado ángulo exterior.
Polígonos regulares
 Un polígono que tiene todos sus lados iguales se dice que es equilátero (todos sus lados
son congruentes).
 Un polígono convexo cuyos ángulos interiores son todos congruentes se dice que es
equiángulo.
 Un polígono convexo que es tiene sus lados y sus ángulos iguales se dice que es regular.
 En un polígono regular de n lados, cualquier ángulo con vértice en el centro y cuyos lados
contienen vértices adyacentes del polígono se dice que es un ángulo central del polígono.
Hexágono Hexágono Hexágono
equilátero equiángulo regular
Fig. 11
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
Ejercicios:
7. Un material didáctico conocido como geoplano es una herramienta útil
en el estudio de los polígonos. Un geoplano 5x5 consiste en una plancha
de madera y 25 clavos dispuestos según una malla cuadrada, como se
indica en la figura. Se emplean gomas de colores para formar diversos
polígonos tomando los clavos como sus vértices. ¿Cuántos cuadrados se
pueden formar en este geoplano?
8. Probar que en un polígono regular de n lados,
a) cada ángulo interior mide: (n-2). 180º/n
b) cada ángulos exterior mide: 360º/n
c) cada ángulo central mide: 360º/n
9. Un rectángulo ha sido dividido en dos partes congruentes. ¿Qúe forma pueden tener las partes
formadas?
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4. LOS TRIÁNGULOS Y SU CLASIFICACIÓN
4.1. Definiciones y propiedades
Es un polígono de tres lados, es decir, una porción de plano limitada por tres
segmentos unidos, dos a dos, por sus extremos. Los tres segmentos que limitan el triángulo se
denominan lados, y los extremos de los lados, vértices.
En un triángulo se consideran dos tipos de ángulos: interior (formado por dos lados) y
exterior (formado por un lado y la prolongación de otro).
Algunas propiedades
1. En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos.
2. En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no
adyacentes.
3. Dos triángulos son iguales cuando tienen iguales un lado y sus dos ángulos adyacentes.
4. Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ángulo comprendidos.
5. Dos triángulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales.
6. En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo.
7. Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos son también iguales.
8. En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su
diferencia.
4.2. Clasificación de triángulos
Los triángulos se clasifican atendiendo a sus lados y a sus ángulos.
Atendiendo a sus lados
a) Equiláteros: Son los que tienen sus 3 lados iguales.
b) Isósceles: Son los que tienen dos lados iguales.
c) Escalenos: Son los que sus 3 son lados desiguales.
Atendiendo a sus ángulos:
a) Rectángulos: Son los que tienen un ángulo recto (90°).
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b) Acutángulos: Son los que tienen sus 3 ángulos agudos.
c) Obtusángulos: Son los que tienen un ángulo obtuso.
4.3. Elementos notables de un triángulo. Construcción de triángulos
Bisectriz es la semirrecta que divide a
un ángulo en dos partes iguales.
Las bisectrices de un triángulo se
cortan en un punto llamado Incentro, que es el
centro de la circunferencia inscrita.
Mediatriz de un segmento es la recta
perpendicular al mismo en su punto medio.
Las mediatrices de los lados de un
triángulo se cortan en un punto llamado
Circuncentro, que es el centro de la
circunferencia circunscrita.
Altura es el segmento perpendicular
comprendido entre un vértice y el lado
opuesto.
Las alturas de un triángulo se cortan
en un punto llamado Ortocentro.
Mediana es el segmento comprendido
entre un vértice y el punto medio del lado
opuesto.
Las medianas de un triángulo se cortan
en un punto llamado Baricentro, que es el
centro de gravedad del triángulo.
Construcción de triángulos
Para poder dibujar o construir un polígono basta con conocer algunos de sus
elementos. Los diferentes casos que pueden plantearse para el triángulo son:
I. Conocidos los tres lados
II. Conocidos los tres ángulos (se pueden construir infinitos triángulos)
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III. Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (el tercer lado viene
automáticamente determinado por situarse en los extremos de los otros dos)
IV. Conocido un lado y los dos ángulos contiguos
En la siguiente página web del proyecto Descartes tienes la posibilidad de construir
diversos triángulos en los supuestos anteriores, así como la de comprobar experimentalmente
las propiedades citadas más arriba.

http://www.cnice.mecd.es/Descartes/1y2_eso/Triangulos/Triangu1.htm

Triángulos imposibles
No todas las medidas de lados y ángulos son buenas para construir triángulos. Existen
unas reglas que se deben cumplir para ello.
Reglas
1. En todo triángulo se cumple:
a + b > c
b + c > a
a + c > b
2. En cualquier triángulo acutángulo se
cumple:
c2 < a2 + b2.
3. En todo triángulo rectángulo se cumple:
c2 = a2 + b2.
4. En todo triángulo obtusángulo se cumple:
c2 > a2 + b2.
5. En cualquier triángulo es cierto que, a < b, si
y solo si
ángulo A < ángulo B.
6. Los tres lados de un triángulo son iguales si y
solo si los tres ángulos lo son.
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Ejercicio:
10. He aquí una serie de triángulos con unas medidas determinadas. Trata de construirlos. Señala
cuál de las reglas anteriores no cumplen aquellos que no se puedan construir:
5. LOS CUADRILÁTEROS Y SU CLASIFICACIÓN
Después de los triángulos, los polígonos más sencillos, por tener menor número de lados,
son los cuadriláteros. Todos conocemos dibujos de diversos tipos de cuadriláteros (cuadrados,
rectángulos, rombos, etc.) pero realizar clasificaciones de estos objetos geométricos no solo
ayuda a entender mejor sus propiedades sino a establecer relaciones entre ellos. Para clasificar
hay que estudiar las características comunes que tienen estas figuras, lo que dependerá a su
vez de los criterios o variables que observemos:
- Paralelismo de lados
- Igualdad de lados
- Igualdad de ángulos
- Número de ángulos rectos
- Posición relativa de las diagonales
- Concavidad y convexidad
5.1. Situación introductoria: Clasificación de los cuadriláteros
Realiza un dibujo de cada uno de los cuadriláteros que conozcas y escribe el nombre.
Da una definición de cada cuadrilátero y realiza una clasificación de ellos. Escribe el criterio
utilizado para su clasificación. La figura 1 representa una clasificación de cuadriláteros.
- ¿Conoces algún cuadrilátero que no esté en esa clasificación?
- ¿Qué criterios crees que se han utilizado para hacer la clasificación?
- ¿Cómo interpretas las flechas que unen cada grupo de cuadriláteros?
Teniendo en cuenta las flechas dibujadas
- ¿Cómo definirías el rombo? ¿Y el cuadrado? ¿Se pueden definir de otra forma?
- ¿Qué cuadrilátero responde a la condición de “tener dos pares de lados no consecutivos
iguales”?
- ¿Y si le pedimos que tenga dos pares de lados consecutivos iguales?
Haz un dibujo de uno de estos cuadriláteros a los que llamaremos cometas. Sitúalo en
el esquema de la figura 12.
- ¿Qué forma tienen los cuadriláteros que solamente tienen un par de lados consecutivos
iguales? Añádelo al esquema de la figura 1 con el nombre de cometas oblicuos.
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Cuadriláteros
Trapecios
Paralelogramos
Rectángulos Rombos
Cuadrados
Figura 12: Clasificación de cuadriláteros
Si añadimos los cometas oblicuos y los cometas al esquema de la figura 12,
obtendremos una clasificación más completa (figura 13). Observa la flecha que une las
cometas con los rombos.
- ¿Qué relación encuentras entre estos dos tipos de cuadriláteros? ¿Cómo defines un rombo
partiendo de una cometa?
Observa el paralelismo que existe entre trapecios y paralelogramos por una parte y
cometas oblicuos y cometas por otra..
- ¿Qué hay que exigirle a un paralelogramo (romboide) para que se convierta en un
rectángulo?
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Cuadriláteros
Trapecios
Paralelogramos
Rectángulos Rombos
Cuadrados
Cometas oblicuos
Cometas
Figura 13: Cometas y cometas oblicuos
- ¿Cómo sería una cometa con uno, dos o tres, ángulos rectos? Llamemos a estos
cuadriláteros cometas rectangulares. Completa el diagrama de la figura 2 añadiendo estas
nuevas cometas (figura 3).
Teniendo presente el diagrama de la figura 14:
- ¿Qué criterios se han utilizado para clasificar los cuadriláteros?
- ¿De cuántas formas podrías ahora definir un cuadrado?
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Cuadriláteros
Trapecios
Paralelogramos
Rectángulos Rombos
Cuadrados
Cometas oblicuos
Cometas
Cometas rectangulares
Figura 14: Clasificación de cuadriláteros
La figura 15 representa otra forma de clasificar los cuadriláteros. Observa las inclusiones
e intersecciones de conjuntos de cuadriláteros. Añade los que falten siguiendo los criterios en
cuanto a la forma de dibujar los contornos de los conjuntos, respetando la forma de cada
conjunto de cuadriláteros.
Otra forma de clasificar los cuadriláteros es atendiendo a las diagonales (se cortan en el
punto medio, son perpendiculares).
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(rombóide)
Figura 15: Clasificación figurada de cuadriláteros
5.2. Descripciones y propiedades de los cuadriláteros
Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros tienen distintas
formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales. En todos los cuadriláteros la
suma de los ángulos interiores es igual a 360º. Los paralelogramos son los cuadriláteros que
tienen paralelos los dos pares de lados opuestos.
Entre las propiedades de los cuadriláteros que se derivan de las de los polígonos en
general tenemos,
- La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a cuatro ángulos
rectos.
- La suma de los ángulos exteriores es igual a cuatro rectos.
- Los cuadriláteros son los únicos polígonos para los cuales la suma de los ángulos
exteriores es igual a la suma de los ángulos interiores.
Propiedades de los paralelogramos:
En todo para1elogramo:
- los lados opuestos son congruentes.
- los ángulos opuestos son congruentes
- las diagonales se cortan mutuamente en partes congruentes
Rectángulo
Se llama rectángulo al paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos rectos.
El conjunto de los rectángulos está incluido en el conjunto de los
paralelogramos.
Propiedades del rectángulo:
El rectángulo tiene una propiedad que le es característica.
- Las diagonales de un rectángulo son congruentes.
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Rombo
Se llama rombo al paralelogramo que tiene sus cuatro lados
congruentes.
La condición necesaria y suficiente para que un paralelogramo
sea rombo es que tenga dos lados consecutivos congruentes.
El rombo tiene una propiedad que le es característica.
Las diagonales de un rombo son perpendiculares y bisectrices de
los ángulos cuyos vértices unen
Cuadrado
Se llama cuadrado al paralelogramo que tiene sus cuatros ángulos
y sus cuatro lados congruentes.
Cuadrado ABCD AB = BC = CD = DA A = B = C = D
El cuadrado es rectángulo y rombo a la vez
Propiedades del cuadrado
- Por ser el cuadrado un paralelogramo tiene las propiedades de los paralelogramos en
general, es decir:
- Sus diagonales se cortan en partes congruentes.
- Por ser el cuadrado un caso particular del rectángulo, tiene las propiedades especiales de este
último, es decir:
- Sus diagonales son congruentes.
- Por ser el cuadrado un caso particular del rombo tiene las propiedades especiales de este
último, es decir:
- Sus diagonales son perpendiculares y bisectrices de los ángulos cuyos vértices unen.
Trapecio y Trapezoides
Los cuadriláteros que no son paralelogramos se clasifican en
trapecios y trapezoides.
Trapecio
Se llama trapecio al cuadrilátero que tiene únicamente dos lados
opuestos paralelos.
Así, el cuadrilátero de la figura es un trapecio, porque tiene paralelos únicamente los
lados AD y BC.
Los lados paralelos se llaman bases del trapecio.
AD es la base mayor del trapecio; BC es la base menor del trapecio.
Clasificación de los trapecios
Cuando el trapecio tiene los lados no paralelos congruentes, se llama trapecio isósceles; en
caso contrario, trapecio escaleno. Dentro de los trapecios escalenos, puede ocurrir que uno de
los lados no paralelos sea perpendicular a las bases, y en tal caso se dice que el trapecio es
rectángulo.
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Trapecio isósceles Trapecio escaleno Trapecio escaleno rectángulo
Trapezoide
Es el cuadrilátero que no tiene ningún par de lados paralelos.
El cuadrilátero MNPQ es un trapezoide, pues no tiene ningún par de lados paralelos.
Cometa
Se llama así al trapezoide que tiene dos lados consecutivos congruentes y los otros dos lados
distintos de los anteriores, pero también congruentes entre sí.
El cuadrilátero ABCD de la figura es una cometa, por no tener lados paralelos y ser:
AB = BC
AD = CD
La diagonal de la cometa que une los vértice a que concurren los pares
de lados congruentes se llama diagonal principal.
En la cometa considerada, BD es la diagonal principal.
Propiedad de la cometa: La diagonal principal de la cometa es bisectriz de
los ángulos cuyos vértices une, y corta perpendicularmente a la otra diagonal en el punto
medio.
Ejercicios
11. Subraya la respuesta correcta:
a) Las diagonales del rectángulo ...
 Tienen igual medida.
 No son perpendiculares.
 Se cortan en el punto medio.
b) Los ángulos opuestos de un rombo son ...
 De igual medida.
 Distinta medida.
c) Cuadrilátero que tiene sus lados opuestos congruentes ...
 Cuadrado.
 Cometa.
 Paralelogramo.
12. Clasifica los cuadriláteros siguientes:
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Completa la tabla, colocando en cada columna la letra correspondiente al cuadrilátero que
cumpla la condición indicada:
Con los lados paralelos
Un solo par Dos pares
Sin lados paralelos
13. Marca con una X las propiedades que cumplen las diagonales
Trapecio Romboide Rombo
Paralelogramo
Rectángulo Cuadrado
Son congruentes
Son
perpendiculares
Una de ellas
corta a la otra en
punto medio
Cortan
mutuamente
en el punto
medio
14. Completa la tabla siguiente:
Propiedad
Cuadrilátero(s) que cumple(n)
dicha propiedad
Diagonales iguales
Todos sus lados iguales
Lados opuestos iguales
Sus diagonales se cortan en el punto medio
Diagonales perpendiculares
Ángulos opuestos iguales
Sus diagonales son bisectrices
Una diagonal corta a la otra en su punto medio y
viceversa
Todos sus lados desiguales
Sólo dos ángulos interiores congruentes
La suma de sus ángulos exteriores es 360º
Sin ángulos interiores congruentes
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6. RECUBRIMIENTOS DEL PLANO CON POLÍGONOS
El arte de los recubrimientos, o teselaciones, del plano mediante figuras poligonales tiene
una historia tan antigua como la propia civilización. Diversos e imaginativos patrones han
decorado las construcciones y objetos más diversos (muros, alfombras, ventanales, etc.). En
tiempos recientes el interés por las teselaciones ha ido más allá de su interés puramente
decorativo. Por ejemplo, en metalurgia y cristalografía interesa saber cómo se disponen de
manera natural de una forma periódica. En arquitectura interesa conocer cómo se pueden
combinar componentes estructurales simples para crear complejos constructivos más grandes,
y los fabricantes de ordenadores esperan poder integrar los patrones de circuitos electrónicos
simples para formar potentes procesadores, como son las redes neuronales. El análisis
matemáticos de los patrones de recubrimientos es una respuesta a estas necesidades
contemporáneas. Al mismo tiempo la creación y exploración de las teselaciones o
recubrimientos del plano proporciona un contexto interesante para la investigación geométrica
y la resolución de problemas en las clases de matemáticas de educación primaria y secundaria.
Fig. 16: Ejemplos de teselaciones
El diccionario de la Real Academia Española de la Lengua indica que la palabra tesela
(del latín, tessella) significa "Cada una de las piezas cúbicas de mármol, piedra, barro cocido
o cualquier otra material, con que los antiguos formaban los pavimentos de mosaico"
Desde un punto de vista matemático más general consideramos que una tesela es
“cualquier curva cerrada simple, con su interior”. Un conjunto de teselas forma una teselación
de una figura si dicha figura está completamente cubierta por las teselas sin solapamientos de
puntos interiores de dichas figuras.
El caso particular de recubrimientos del plano que nos interesa son los formados por
polígonos; la figura que se recubre suele ser el plano completo.
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6.1. Teselaciones poligonales del plano
¿Qué polígonos, por sí mismos, cubren el plano sin dejar huecos ni solapamientos? La
respuesta a esta pregunta pasa por estudiar los ángulos de tales polígonos, y tratar de sumar
con ellos 360º en torno a un vértice. Empecemos por el triángulo. Sabemos que la suma de los
ángulos interiores de un triángulo cualquiera es de 180º. Dibujemos un triángulo en el que
marcamos los ángulos con 1, 2 y 3, y hagamos suficientes copias de él. La experiencia
consiste en recortar dichos triángulos y colocarlos de forma que, en torno a un vértice,
obtengamos 360º para cubrir el plano sin dejar huecos ni solapamientos.
Tres de ellos los podemos unir colocando en torno a un vértice cada uno de los tres
ángulos del triángulo, que sabemos suman 180º y repetirlo dos veces (Fig. 17)
Fig. 17:
Repitiendo el proceso se consigue una teselación triangular (Fig. 18).
Fig. 18:
Ejercicio:
15. Repite el proceso anterior con un cuadrilátero cualquiera (trapezoide), marca los ángulos y
comprueba si cualquier cuadrilátero tesela por sí mismo el plano.
¿Qué ocurre con el pentágono? Dibujemos un pentágono cualquiera. Después de
marcar los ángulos y recortarlo,
coloquemos los ángulos de
manera contigua, como indica
la figura 19. Veremos que no
es posible obtener 360º en
torno a un vértice.
Fig. 19:
¿Le ocurre lo mismo a
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todos los pentágonos? ¿Qué ocurre con el pentágono regular? El ángulo interior vale 108º, y
por tanto no podemos conseguir 360º. ¿Significa esto que no existen teselaciones
pentagonales? La figura20 nos sacará de dudas.
Fig. 20: Teselaciones pentagonales (no regulares)
Una forma de obtener hexágonos es uniendo dos cuadriláteros. Sabemos que los
cuadriláteros sí teselan el plano por sí mismos. Partiendo de una teselación de cuadriláteros,
podemos remarcar parejas de cuadriláteros contiguos y borrar el lado común (Fig. 21).
Podemos comprobar así que estos
hexágonos especiales, obtenidos uniendo dos
cuadriláteros, también teselan el plano.
¿Qué características tienen estos
hexágonos? ¿Qué ocurre con el caso del hexágono
regular? Dado que el ángulo interior de un
hexágono regular es de 120º, con tres de ellos
podemos obtener 360º alrededor de un vértice. A
este tipo de teselaciones con un solo tipo de
polígonos regulares se les llama teselaciones
regulares.
Fig. 21: Teselación de cuadriláteros
Ejercicio:
16. Investiga otras teselaciones regulares distintas de las descritas.
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6.2. Teselaciones semirregulares
Si utilizamos diversos tipos de polígonos
regulares, podemos indagar las
combinaciones de ellos que producen un
cubrimiento del plano. Para ello debemos
conocer los ángulos interiores de algunos
polígonos regulares, valores que tienes en la
tabla siguiente:
Polígono
Nºde
lados
Ángulo
interior
Triángulo 3 60
Cuadrado 4 90
Pentágono reg. 5 108
Hexágono reg. 6 120
Heptágono reg. 7 128 4/7
Octógono reg. 8 135
Nonágono reg. 9 140
Decágono reg. 10 144
Dodecágono reg. 12 150
Pentadecágono reg. 15 156
Octadecágono reg. 18 160
Icógono 20 152
Fig. 22: Teselación de hexágonos formados
con dos cuadriláteros
Algunas de esas combinaciones dan lugar a teselaciones con todos los vértices iguales.
Esas teselaciones les llamamos semirregulares, y son 8 (Fig. 23). Las series de números
puestos debajo de cada figura indican el orden de colocación de los distintos polígonos
(3.3.3.4.4, quiere decir que se unen tres triángulos seguidos y a continuación dos cuadrados)
En cambio existen otras combinaciones de polígonos regulares que cubren el plano
pero no producen vértices idénticos. Algunas de esas combinaciones están en la figura 24.
Fig. 23.Combinaciones de polígonos regulares que originan teselaciones semirregulares
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Fig.24. Combinaciones de polígonos regulares que NO originan
teselaciones semirregulares
Un recubrimiento del plano formado por más de un tipo de polígono regular y con
idénticos vértices de figura se dice que es un recubrimiento semirregular. Esta condición
adicional sobre los vértices de figura supone que los mismos tipos de polígonos deben
concurrir en cada vértice, y deben ocurrir en el mismo orden.
Se puede demostrar que existen 18 modos de formar vértices de figuras con polígonos
regulares de dos o más tipos. De estas 18 formas, ocho corresponden a teselaciones
semiregulares, que son las indicadas en la figura 25.
Fig. 25: Las ochos teselaciones semiregulares
Ejercicio:
17. ¿Cuáles de los siguientes polígonos recubren el plano? (Reproduce en cartulina las figuras y
experimenta con ellas)
(a) Triángulo escaleno:
(b) Cuadrilátero convexo:
(c) Cuadrilátero no convexo
(d) Pentágono con un par de lados parelelos:
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7. FIGURAS EN EL ESPACIO
7.1 Planos y líneas en el espacio
Cada plano separa los puntos del espacio en tres conjuntos disjuntos: el propio plano y
dos regiones llamados semiespacios. Dos planos en el espacio pueden tener una interección
común, que será una recta, o bien ser disjuntos, en cuyo caso se dice que son paralelos. El
ángulo formado por dos planos que se cortan se llama ángulo diedro. La medida de dicho
ángulo es la correspondiente al ángulo formado por dos semirectas contenidas en los
semiplanos que lo forman y que sean perpendiculares a la recta de intersección
correspondiente.
Fig. 26: Ángulos diedros y sus medidas
Dos líneas que no se cortan en el espacio se dice que son paralelas si están contenidas en el
mismo plano; si no están en el mismo plano se dice que se cruzan. Una línea l que no corta a
un plano P se dice que es paralela al plano. Una línea m es perpendicular a un plano Q en el
punto A si cada línea del plano que pasa por A forma con m un ángulo recto.
línea l paralela a P
líneas paralelas líneas que se cruzan línea m perpendicular
a Q
Fig. 27 : Líneas y planos en el espacio
7.2. Curvas, superficies y sólidos
El concepto intuitivo de curva se puede extender del plano al espacio imaginando figuras
dibujadas por un lápiz "mágico" cuyos puntos dejan un trazo visible en el aire.
Cualquier superficie sin agujeros y que encierra una región hueca -su interior- se dice que
es una superficie cerrada simple.
La unión de todos los puntos de una superficie cerrada simple y todos los puntos de su
interior forman una figura espacial llamada un sólido.
Una superficie cerrada simple es convexa si el segmento que une cualquier par de puntos
de la superficie está contenido en el interior de dicha superficie; esto es, el sólido limitado por
la superficie es un conjunto convexo en el espacio. Por ejemplo, la esfera, que es el conjunto
de puntos situados a una distancia constante de un punto fijo (el centro), es convexa.
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7.3. Los poliedros y su clasificación
En la Naturaleza existen objetos con formas poliédricas. Por ejemplo, en cristalografía
(cristales), biología (virus, radiolarios), las colmenas de las abejas en forma de
rombododecaedros, con la fachada hecha de celdillas hexagonales, etc. También encontramos
poliedros en obras y actividades realizadas por el hombre, como en el Arte, Arquitectura,
Escultura, Artesanía, ... Los poliedros fueron estudiados por filósofos y matemáticos célebres
como Platón, Euclides, Arquímedes, Kepler, Poincaré, Hilbert, Coxeter, ...
Definición:
Un poliedro es el sólido delimitado por una superficie cerrada simple formada por
regiones poligonales planas. Cada región poligonal se dice que es una cara del poliedro, y los
vértices y lados de las regiones poligonales se dicen que son los vértices y lados del poliedro.
En las figura 28 se muestran tipos de pirámides y primas que son ejemplos de poliedros.
Pirámides:
Prismas rectos y oblicuos:
Fig. 28
Ejercicio:
18. Imagínate un prisma hexagonal regular recto.
a) ¿Cuáles son las medidas de los ángulos diedros formados por las caras que se cortan?
b) ¿Cuántos pares de planos paralelos contienen a las caras de este prisma?
Para clasificar los poliedros podemos atender a diversos criterios, como por ejemplo, la
regularidad y número de caras que concurren en los vértices.Otros criterios de clasificación de
los poliedros son:
Inclinación (rectos y oblicuos)
Poliedros con bases (con una base, o varias bases)
Según la construcción del modelo
o Con polígonos regulares (Poliedros regulares, semirregulares, deltaedros)
o Con polígonos iguales (Poliedros de caras iguales: Poliedros regulares,
deltaedros, bipirámides de base regular)
o Con vértices iguales (Poliedros. regulares, semirregulares, prismas rectos de
base regular, ...)
Combinaciones de distintos criterios
Ejes y planos de simetría, diagonales, ángulos.
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7.3.1. Poliedros regulares:
Un poliedro regular es un poliedro con las siguientes características:
- la superficie es convexa;
- las caras son regiones poligonales regulares congruentes;
- concurren el mismo número de caras en cada uno de los vértices.
La suma de los ángulos interiores de los polígonos que forman las caras de un poliedro
regular que concurren en un mismo vértice debe ser menor de 360º, de lo contrario no podrían
cerrar un espacio interior. Los ángulos interiores del triángulo equilátero miden 60º; por tanto,
podemos formar poliedros regulares cuyas caras son triángulos cuando ponemos 3, 4 o 5 de
tales triángulos concurriendo en cada vértice, ya que la suma de sus ángulos cumple la
condición indicada. Esos poliedros son el tetraedro, el cubo y el icosaedro.
Con caras que sean cuadrados sólo se puede formar el hexaedro o cubo, en el que
concurren 3 cuadrados en cada vértice. Si utilizamos pentágonos regulares como caras de un
poliedro se obtiene el dodecaedro.
Ejercicio:
19. Completa el cuadro adjunto y responde a las siguientes cuestiones:
Tipo de
caras
(ángulo
interior)
nº de
caras
por
vértice
Suma
de los
ángulos
en cada
vértice
Símbolo
del
poliedro
nº de
caras
nº de
vértices
nº de
aristas
C+VA
Nombre
3 180º {3,3,3} 4 4 6 2 Tetraedro
4
5
Triángulo
equilátero
(60º)
6
Cuadrado 3
(90º) 4 360º Cubo
Pentágono 3
(108º) 4
Hexágono
(120º)
3
a) ¿Cómo varía el ángulo de los polígonos regulares a medida que aumenta el número de lados?
b) ¿Podrías formar un poliedro uniendo 4 cuadrados por cada vértice? ¿Por qué?
c) ¿Qué condición crees que se debe exigir a este proceso para poder obtener un poliedro
regular?
d) ¿Qué ocurre en el caso de los hexágonos regulares?
e) ¿Puede existir un poliedro regular formado solamente con hexágonos regulares? ¿Y con
heptágonos regulares? ¿Por qué?
f) ¿Cómo es en cada caso la columna que mide C+V-A (nº de caras +nº de vértices menos el de
aristas)? ese número constante se llama característica de Euler. Calcula ese número para otros
poliedros que conozcas que no sean regulares. ¿Qué obtienes?
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Ejercicio:
20. Demuestra que sólo existen cinco poliedros regulares basándote en la suma de
los ángulos de las caras que concurren en los vértices.
Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro
La fórmula de Euler para los poliedros:
Teorema:
En cualquier poliedro se cumple que la suma del número de vértices y el de caras es igual al
número de aristas más 2.
Ejercicio:
21. Comprueba que el teorema de la fórmula de Euler es cierto para los poliedros regulares, para una
pirámide pentagonal y un prisma hexagonal.
Utilizando el teorema de Euler, vamos a demostrar que solo existen 5 poliedros regulares
convexos.
Llamemos:
C = nº de caras de n lados ( n> 2)
V = nº de vértices de orden m (m>2)
A = nº de aristas
Debido al teorema de Euler se cumple
(1) C + V – A = 2;
El número de aristas A lo podemos expresar de dos formas, en función de las caras C y de los
vértices V:
(2)
2
A  nC (cada arista pertenece a 2 caras)
2
A  mV (cada arista une 2 vértices)
Sustituyendo (1): 2
2 2   A 
m
A
n
A $ 2mA + 2nA –mnA =2mn;
Sacando factor común y operando:
A (2m + 2n –mn) = 2mn ;
2m + 2n –mn>0 por ser A>0 y 2mn>0
2m + 2n –mn –4 > -4 $ -(m-2)(n-2) > -4;
(m-2)(n-2) < 4
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Dando valores enteros a n y m (con n >2; m>2):
n M Resultados en (m-2)(n-2) < 4
Poliedro
(nº de polígonos por
vértice)
Figura
3
Tetraedro
(3 triángulos)
4 Octaedro
(4 triángulos)
3
5
1(m-2)< 4; m<6
m =3, 4, 5
Icosaedro
(5 triángulos)
4 3 2(m-2)<4 $ m<4 $ m=3 Cubo
(3 cuadrados)
5 3 3(m-2)<4 $ m<4/3 + 2=10/3 $
m=3
Dodecaedro
(3 pentágonos)
6 (m-2)4<4$ 4m<12 $ m<3 no existe
Vemos que para 6 o más caras por vértice obtenemos que debe ser m<3, es decir, el
número de vértices por cara es menor que 3, lo que no es posible, ya que 3 es el número
mínimo de vértices de una cara.
7.3.2. Dualidad de poliedros
Compara el número de caras del cubo con el número de vértices del octaedro. Vemos
que coinciden. Es decir, si intercambiamos caras por vértices, obtenemos los mismos datos
numéricos, ya que el número de aristas es el mismo en ambos poliedros. Si encajamos un
poliedro en el otro (Fig. 29) vemos que los vértices de uno se sitúan en los centros de las caras
del otro. Estos dos poliedros, que pertenecen a la misma familia, se dicen que son duales.
Ejercicio:
22. Observa la tabla anterior y obtén otros pares de poliedros duales.
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7.3.3. Deltaedros
La letra griega delta mayúscula (%) recuerda la forma
de los triángulos, por ello se le da el nombre de deltaedros a
los poliedros que se forman solamente con caras triangulares.
Si los triángulos son equiláteros se dice que el deltaedro es
regular.
Ejercicios:
23. Identifica los deltaedros regulares que ya conozcas.
Ayúdate de troqueles de cartulina de triángulos equiláteros para construir deltaedros convexos,
completa la tabla y responde a las siguientes preguntas:
Orden de los vértices Caras Vértices Aristas
3 4 5 6
Nombre Figura
4 4 6 4 0 0 0 Tetraedro
5
6 5 9 2 3 0 0
Bipirámide
triangular
7
8
9
10
11
12
¿Existen deltaedros convexos con un número impar de caras?
¿Existen deltaedros convexos con más de 20 de caras?
¿Existe un deltaedro convexo con 18 caras?
¿Has desarrollado algún procedimiento para construir un deltaedro partiendo del inmediato
anterior?
Fig. 29: Cubo y octaedro. Dos
poliedros duales
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7.3.4. Poliedros semirregulares o Arquimedianos
Los poliedros regulares cumplen las tres condiciones de regularidad (caras regulares e
iguales y vértices iguales). Si prescindimos de la condición de igualdad de caras, los poliedros
resultantes tienen un grado menor de regularidad, y se llaman semirregulares o arquimedianos
(en honor de Arquímedes).
Ejercicio:
24 ¿Conoces algún poliedro semirregular? ¿Puedes imaginar un prisma que sea semirregular?
Existen solamente 13 de ellos (además de los infinitos prismas y antiprismas que son
semirregulares). Un método para conseguir algunos de estos poliedros partiendo de los
poliedros regulares es mediante el proceso de truncamiento.
Un tipo de truncamiento consiste en cortar las
aristas que concurren en cada vértice por un plano
de manera que la sección producida sea un polígono
regular cuyo lado sea de la misma longitud que el
resto de las aristas. Así, por ejemplo, al truncar el
tetraedro de esta manera se obtienen triángulos de
cada vértice y hexágonos de cada una de las caras
(Fig. 30).
Fig. 30: Del tetraedro se obtiene el
tetraedro truncado
Ejercicio:
25. ¿Qué poliedro obtenemos si cortamos las aristas del tetraedro por sus puntos medios?
Este mismo proceso lo podemos hacer con el cubo. Se obtienen triángulos equiláteros
de cada vértice y octógonos de cada cara.
Ejercicio:
26. ¿Qué poliedro obtenemos si cortamos las aristas del cubo por sus puntos medios? Y si
hacemos ese proceso con el octaedro?
Fíjate en la figura 31 y comprueba cómo se obtiene un poliedro, el cuboctaedro,
igualmente del cubo que del octaedro.
Fig.31: Partiendo del cubo y del octaedro se obtienen el cubo truncado, el octaedro truncado y el
cuboctaedro.
En la figura 32 puedes ver unos modelos de poliedros semirregulares obtenidos del
truncamiento de poliedros regulares, y en la figura 33 puedes contemplar toda la colección de
los 13 poliedros arquimedianos.
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Figura 32
Fig. 33. Poliedros semirregulares
7.4. Conos y cilindros
Los conos y los cilindros son sólidos o cuerpos geométricos que generalizan las
pirámides y los prismas, respectivamente. Un cono tiene una base que es cualquier región
limitada por una curva cerrada simple contenida en un plano. La superficie lateral está
generada por los segmentos que unen un punto fijo (el vértice ) no situado en el plano de la
base con los puntos de la curva
que delimita la base. La figura
34 muestra un cono circular
recto, oblicuo y un cono general.
La altura del cono es el
segmento AB que une el vértice
A del cono y un punto B de la
base de manera que AB es
perpendicular al plano que
contiene la base.
Cono circular recto Cono circular oblicuo Cono general
Fig. 34: Conos
Un cilindro es el sólido cuya superficie se genera trasladando los puntos de una región
cerrada simple contenida en un plano hacia un plano paralelo. La figura 35 muestra ejemplos
de cilindros. Los puntos que unen puntos correspondientes en las curvas que limitan las bases
formal la superficie lateral. Si los segmentos que unen puntos correspondientes en las dos
bases son perpendiculares a los planos de las bases se dice que el cilindro es recto, en caso
contrario se trata de un cilindro oblicuo.
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Cilindro circular C. c. oblicuo Cilindro general
recto
Figura 35. Cilindros
8. TALLER MATEMÁTICO
1. Determinar la medida del #P si las rectas AB y CD son paralelas.
2. ¿Qué proposición se está demostrando en la siguiente secuencia de dibujos? Explícalo con
un breve párrafo.
3. En la llamada “geometría del taxi” (taxi-geometría) los “puntos” son los vértices de una
rejilla cuadrangular que representa en el plano los “bloques de la ciudad” . En la figura
adjunta el viaje más corto para ir de A a B debe recorrer 5 bloques, y por esto la “taxidistancia”
de A a B es 5. Un “taxi-segmento” es el conjunto de puntos
situados sobre un trayecto de mínima distancia desde A hasta B, por lo
que {A, W, X, Y, Z, B} es un taxi-segmento de A a B.
a) ¿Cuántos taxi-segmentos unen A y B?
b) Encontrar todos los puntos que están a una taxi-distancia de 5 desde
A. ¿Se parecen los “taxi-círculos” a los círculos trazados con el compás?
c) Utilizar lápices de diferentes colores para dibujar los taxi-círculos concéntricos de radios 1,
2, 3, 4, 5 y 6. Describir el patrón que aparece.
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4. Resuelve los siguientes ejercicios sobre medidas de los lados y ángulos en los
cuadriláteros:
1. En un trapecio rectángulo la medida de uno de sus ángulos interiores es 58º. ¿Cuánto miden los
otros ángulos interiores?
2. En un romboide la medida de uno de sus ángulos exteriores es 137º. Determina la medida de todos
los ángulos interiores de ese romboide.
3. ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado cuya diagonal mide 12 cm.?
4. Determina la diagonal del rectángulo cuyos lados miden 5 cm. y 12 cm.
5. Determina la suma de las diagonales del cuadrado cuyo lado mide 8 cm.
6. Señala el tipo de triángulo que se determina al trazar las diagonales de un cuadrado.
7. En un rombo, una diagonal es el doble de la otra. Determina el perímetro del rombo sabiendo que la
diagonal menor mide 6 cm.
8. Dos cuadrados de 80 cm. de perímetro se unen de manera que forman un rectángulo. Determina la
medida de la diagonal del rectángulo formado.
5. Dibujar figuras que satisfagan las siguientes condiciones:
a) Una curva cerrada no simple poligonal de 4 lados
b) Un pentágono no convexo
c) Un cuadrilátero equiángulo
d) Un octógono convexo
6. La media aritmética de la medida de los ángulos interiores de polígono de n lados es de
175º.
a) ¿Cuántos lados tiene)
b) Supongamos que el polígono tiene uniones flexibles en los vértices. Si el polígono se
deforma de manera rígida, ¿qué ocurre con la medida media de los ángulos interiores? Explica
tu razonamiento.
7. El polígono de la izquierda de la figura adjunta contiene un punto S en su interior que se
puede unir a los vértices mediante
segmentos interiores al polígono. Al
trazar todos estos segmentos obtenemos
una triangulación del interior del
polígono. Trazando un punto S en el
interior de un polígono de n lados,
explicar cómo usar la triangulación que
se obtiene para deducir la fórmula (n-2).180º para la suma de las medidas de los ángulos
interiores de un polígono.
 S  S
8.Un espacio unidimensional está formado por los puntos de una única recta. Si quitamos un
punto de la recta se forman dos partes disjuntas, y al quitar dos puntos se forman tres partes
disjuntas de la recta. En un espacio de dos dimensiones (un plano), si suprimimos una recta se
obtienen dos regiones disjuntas (semiplanos). Al suprimir dos líneas no paralelas el plano
queda dividido en cuatro regiones disjuntas.
Número de puntos suprimidos de la recta o número de
líneas suprimidas del plano
0 1 2 3 4 5 6 7 …. n
Número de partes de la
recta que se forman
1 2 3
Número de partes del
plano que se forman
1 2 4
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a) Completar la primera fila de la tabla.
b) Trazar tres, cuatro o cinco rectas en el plano que tengan una posición general, de manera
que ningún par de líneas sean paralelas, ni tres líneas sean concurrentes. Contar el número de
regiones que determinan y completar las tres casillas siguientes en la segunda fila de la tabla.
c) Encontrar cuántas regiones se forman a partir de diez rectas en una posición general (tratar
de encontrar un patrón en la tabla)
d) Encontrar una fórmula para el número de regiones que determinan n líneas en posición
general.
9. Un tetraminó es una tesela formada uniendo cuatro cuadrados congruentes, de manera que
los cuadrados adyacentes deben tener un lado común.
a) Formar los cinco tetraminós con formas diferentes.
b) ¿Se puede recubrir un rectángulo de 4 por 5 con los cinco tetraminós?
10. Recortar en cartulina varias copias de un hexágono convexo no regular que tenga cada par
de lados opuestos congruentes y paralelos.
a) ¿Se puede recubrir el plano con estas teselas? ¿Es necesario rotar el hexágono para ponerlo
en las posiciones sucesivas?
b) Repetir la actividad anterior pero tomando un hexágono convexo con sólo un par de lados
opuestos que sean congruentes y paralelos.
11. Para cualquier entero n, n  3, demostrar que existe algún polígono de n lados que recubre
el plano.
12. El patrón dibujado en la parte izquierda de la figura permite construir el cubo de la
derecha.
Dibujar la letra, en su posición correcta, que debe aparecer en cada una de las caras del cubo
que se muestra que ha sido obtenido usando el mismo patrón:
13. El vértice de la pirámide que muestra en la figura adjunta está en el
centro del cubo trazado en líneas de puntos. ¿Cuál es el ángulo diedro que
forma cada cara lateral de la pirámide con (a) la base cuadrangular (b) una
cada lateral adyacente?
14. La intersección de un plano y una figura tridimensional produce una figura plana que se
llama sección transversal. Por ejemplo, la sección transversal de una esfera es un círculo
como se muestra en la figura.
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15. La figura adjunta (a la izquierda) muestra el desarrollo de una pirámide cuadrangular y a
la derecha el desarrollo de una pirámide cuya
base es un cuadrilátero. El punto P en cada
desarrollo corresponde a la posición en el plano
de la base de la proyección vertical del vértice
de la pirámide.
a) Explicar por qué AB = BC, CD = ED, …, GH
= HA en los desarrollos y por qué las líneas de
trazos que parten de P son perpendiculares a los
lados de la base del polígono.
b) La figura adjunta es parte de un desarrollo de una pirámide
pentagonal. Completar el desarrollo sobre una cartulina. Recortar y
doblar el patrón para ver el cuerpo que resulta.
16. Considera las siguientes tres afirmaciones sobre un poliedro:
X = Todas las caras son regulares
Y = Todas las caras son iguales
Z = Todos los vértices son iguales (mismo nº y tipo de cara)
Escribe en cada una de las casillas del cuadro siguiente el nombre de algunos poliedros que
conozcas:
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no X
X
Y no Y
17. Repite el ejercicio anterior en el cuadro siguiente,
Y no Y
no X
X Z
Identifica cada zona del dibujo mediante una serie de tres unos o ceros, según cumpla o no las
propiedades X, Y, Z. Así la región 111 se distingue por cumplir X, Y, Z, mientras que la
región 010 cumple NO X, Y, y No Z.
Escribe cada una de las 8 regiones y cita ejemplos de poliedros que situarías en ellas.
Bibliografía
Alsina, C., Burgués y Fortuny, J. M. (1987). Invitación a la didáctica de la geometría.
Madrid: Síntesis.
Alsina, C., Burgués y Fortuny, J. M. (1987). Materiales para construir la geometría. Madrid:
Síntesis.
Brousseau, G., Duval, A. y Vinrich, G. (1995). Thèmes mathématiques pour la préparation
du concours CRPE. Talence: IREM d’ Aquitaine.
Cañizares, M. J. (2001) Elementos geométricos y formas espaciales. En, Enr. Castro (Ed.),
Didáctica de la matemática en la educación primaria (pp. 401-426). Madrid: Síntesis
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Dickson, L., Brown, M. y Gibson, O. (1991). El aprendizaje de las matemáticas. Madrid:
MEC y Ed. Labor.
Godino, J. D. y Batanero, C. (1985). Microordenadores en la escuela. Madrid: Rama.
Guillén, G. (1991). Poliedros. Madrid: Síntesis.
Long, C. T. y DeTemple, D. W. (1996). Mathematical reasoning for elementary teachers.
New York: Harper Collins.
Martínez, A. M. y Juan, F. R. (Coord.) (1989). Una metodología activa y lúdica para la
enseñanza de la geometría. Madrid: Síntesis.
Serrano, L. (2001). Elementos geométricos y formas planas. En, Enr. Castro (Ed.), Didáctica
de la matemática en la educación primaria (pp. 379-400). Madrid: Síntesis
Van de Walle, J. A. (2001). Elementary and middle school mathematics. Teaching
developmentally (4ª edición). New York: Longman.
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Geometría para Maestros
TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS.
SIMETRÍA Y SEMEJANZA
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A: Contextualización Profesional
ANÁLISIS DE PROBLEMAS SOBRE TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS
EN PRIMARIA
Consigna:
Los enunciados que se incluyen a continuación han sido tomados de libros de texto de
primaria. Para cada uno de ellos,
1. Resuelve los problemas propuestos.
2. Indica los conceptos y procedimientos matemáticos que se ponen en juego en la
solución.
3. Clasifica los enunciados en tres grupos según el grado de dificultad que les atribuyes
(fácil, intermedio, difícil).
4. Para cada problema enuncia otros dos del mismo tipo, cambiando las variables de la
tarea, de manera que uno te parezca más fácil de resolver y otro más difícil.
5. ¿Piensas que los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles para los
alumnos de primaria? Propón un enunciado alternativo para aquellos ejercicios que
no te parezcan suficientemente claros para los alumnos.
Enunciados de problemas incluidos en libros de primaria:
1. ¿Cuáles de estas figuras tienen eje de
simetría?
2. Calca esta figura, dobla por la línea
gruesa y recorta. ¿Qué se obtiene?
3. ¿En qué poligonos de la figura la línea de trazos no es un eje de simetría? (4º Curso)
4. Dibuja un triángulo y un cuadrilátero que no tengan eje de simetría.
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5. Dibuja la otra mitad de estas
figuras para que sean simétricas
6. Dibuja la figura simétrica respecto
del eje de simetría señalado
7.
8.
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9.
Dibuja el tablero y la posición del cuadro de cartulina tras los siguientes
movimientos:
a) Giro de 90º alrededor del punto A en sentido de las agujas del reloj.
b) Giro de 45º alrededor del punto E en sentido contrario a las agujas del reloj.
c) Giro de 90º alrededor del punto D en sentido contrario a las agujas del reloj.
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B: Conocimientos Matemáticos
1. MOVIMIENTOS RÍGIDOS: TRASLACIONES, GIROS, SIMETRÍAS,
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS
Imaginemos que cada punto P del plano se “mueve” hasta una nueva posición P’
sobre el mismo plano. P’ es la imagen de P y éste el original o preimagen de P’. Si a
puntos P y Q distintos les corresponden imágenes P’ y Q’ distintas, y todo punto tiene
una única preimagen decimos que la correspondencia establecida entre los puntos del
plano es una transformación del plano.
Movimientos rígidos del plano
Una transformación del plano se dice que es un movimiento rígido si y sólo si la
distancia entre cualquier par de puntos P y Q es la misma que la distancia entre sus
imágenes en dicha transformación, esto es, PQ = P’Q', para todo par de puntos P y Q.
Los movimientos rígidos también se llaman isometrías debido a que conservan la
forma y medidas de las figuras. Un modelo físico que permite materializar los
movimientos rígidos del plano se puede hacer mediante una hoja de transparencias. Si
tenemos cualquier figura sobre una hoja y hacemos una transparencia de dicha figura, el
original y la transparencia son congruentes. La transparencia la podemos mover en una
dirección, girar sobre un punto fijo, o darle la vuelta alrededor de una recta fija. En
todos estos casos se obtiene una nueva figura colocada en una posición diferente, pero
la forma y dimensiones de la figura original no cambian.
Hay tres movimientos rígidos del plano básicos: traslaciones, giros y simetrías.
1.1. Traslaciones
Una traslación es el movimiento rígido en el que todos los puntos del plano se
mueven en la misma dirección
y la misma distancia. En la
figura 1 el triángulo ABC se
transforma en el A’B’C’ como
consecuencia de la traslación
definida por el vector de
origen el punto A y extremo A’. Una traslación queda determinada dando un vector que
especifique la dirección en la que se trasladan todos los puntos del plano y la distancia a
la cual se trasladan, que es el módulo del vector (distancia entre el origen y el extremo)
C
C’
A B
B’
Fig. 1 A’
1.2. Giros
El giro o rotación es otro de los movimientos rígidos básicos. Consiste en girar
todos los puntos del plano alrededor de un punto fijo (centro del giro) un cierto ángulo
que será el ángulo de giro. En la figura 2 hemos representado sobre una supuesta hoja
de papel el triángulo ABC, el segmento PQ y el dibujo de una mano (EGF) . Al aplicar
un giro a dicha hoja alrededor del punto fijo O y de amplitud 120º en el sentido
contrario a las agujas del reloj se obtienen como imagenes transformadas las figuras
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A’B’C’, P’Q’, y la mano E’G’F’. Esta transformación se puede ejemplificar usando una
hoja de transparencias para materializar las imágenes obtenidas al girar la hoja
manteniendo fijo el punto O.
Fig. 2
Un giro queda determinado al dar el centro O y la amplitud del ángulo orientado
correspondiente. Se considera que el giro es positivo si se produce en sentido contrario a
las agujas del reloj y negativo cuando se hace en el sentido de las agujas del reloj. En un
giro sólo se tienen en cuenta las posiciones iniciales y finales de los puntos.
Ejercicio:
1. Encontrar la imagen de cada figura al aplicarle el giro indicado:
a) Giro de 90º alrededor de P b) Giro de 180º sobre Q c) Giro de –90º sobre R
1.3. Simetrías
La simetría o reflexión sobre un espejo es el
movimiento rígido del plano que se produce fijando
una recta r del plano y hallando para cada punto P
otro punto P’ de tal manera que la recta r es mediatriz
del segmento PP’. Esto quiere decir que r es
perpendicular a PP’ y que pasa por el punto medio del
segmento PP’.
r
P P’
Fig. 3
Se puede observar que una simetría invierte la orientación de las figuras: los puntos
que están a la derecha del eje de simetría pasan a estar a la izquierda después de la
transformación, y los que están a la izquierda pasan a la derecha.
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Ejercicio:
2. Trazar la figura simétrica de la “bandera” respecto de la recta m:
1.4. Composición de isometrías: la simetría con deslizamiento
Cualquier par de los movimientos considerados hasta ahora, traslaciones, giros y
simetrías se pueden aplicar sucesivamente, esto es, primero se aplica uno y a la figura
transformada se le aplica el segundo movimiento. La transformación que única que
permite pasar de la primera figura a la última se dice que es la composición de los
movimientos dados. Se llama simetría con deslizamiento a la composición de una
simetría y una traslación.
Ejercicio:
3. Comprobar y demostrar las siguientes proposiciones:
a) El resultado neto de dos simetrías sucesivas es una traslación si las ejes de simetría son
paralelos, o un giro, si los ejes se cortan.
b) El resultado neto de la aplicación de tres simetrías de ejes e1, e2 y e3 es equivalente a:
- una simetría, si e1, e2 y e3 son paralelos o concurrentes, o bien,
- una simetría con deslizamiento, si e1, e2 y e3 no son paralelos ni concurrentes.
c) Cualquier movimiento rígido del plano es equivalente a uno de los cuatro movimientos
rígidos básicos: una traslación, un giro, una simetría o una simetría con deslizamiento.
Los movimientos rígidos tienen muchas aplicaciones en geometría. Por ejemplo, la
definición informal de congruencia, “tener la misma forma y tamaño” se puede precisar
del siguiente modo:
Definición: Figuras congruentes
Dos figuras son congruentes si y sólo sí, una figura es la imagen de la otra
mediante un movimiento rígido.
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2. PATRONES Y SIMETRÍAS
La simetría es un principio universal de organización y de la forma. El arco de
circunferencia formado por el arco iris y las simetrías exagonales de los cristales de
hielo son expresiones visibles de la simetría de muchos procesos físicos del universo.
La simetría es una especie de norma en la naturaleza y no una excepción. Todas las
culturas humanas, hasta las más primitivas han desarrollado una comprensión intuitiva
de los conceptos básicos de la simetría. Las decoraciones encontradas en las cerámicas,
paredes de templos, armas, instrumentos musicales, etc. Incorporan, con mucha
frecuencia, elementos simétricos. Incluso la música, la poesía y la danza incorporan
frecuentemente la simetría en su estructura interna.
Simetría de una figura plana
Una simetría de una figura plana es cualquier movimiento rígido del plano que
hace coincidir todos los puntos de la figura con otros puntos de la misma figura. Esto es,
todos los puntos P de la figura son transformados por el movimiento en otros puntos P’
que son también puntos de la figura. El movimiento identidad es una simetría de
cualquier figura, pero en general interesa identificar otros movimientos de simetría que
no sean la identidad. Como consecuencia de una simetría que no sea la identidad
algunos puntos de la figura se mueven hacia otras nuevas posiciones en la propia figura,
aunque la figura en su conjunto aparezca inalterada en el movimiento.
El teorema de clasificación que hemos enunciado nos dice que existen cuatro
movimientos rígidos básicos del plano (traslaciones, giros, simetrías y simetrías con
deslizamiento). Por tanto, toda simetría de una figura es uno de estos cuatro
movimientos básicos, y las propiedades de simetría de una figura se pueden describir
completamente listando las simetrías de cada tipo.
2.1. Simetría axial
Se dice que una figura tiene simetría por reflexión si hay una recta que pasa por la
figura que es un eje de simetría de la figura, esto es, el movimiento de simetría sobre
dicho eje hace coincidir la figura consigo misma de manera global.
Ejercicio:
4. ¿Cuántas líneas de simetría tienen las siguientes letras?:
2.2. Simetría rotacional
Se dice que una figura tiene simetría rotacional si la figura coincide consigo misma
cuando se gira un cierto ángulo entre 0º y 360º alrededor de un cierto punto. El centro
de giro es el centro de rotación de la figura.
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Ejercicio:
5. Determinar los ángulos de las simetrías rotacionales de estas figuras:
2.3. Simetría central
Una figura tiene simetría puntual si existe una simetría por rotación de 180º sobre
algún punto O. Esto implica que al darle media vuelta a la figura coincide consigo
misma de manera global, y cada punto P de la figura tiene un punto correspondiente P’
de la figura que está en dirección opuesta en el giro de centro O.
Ejercicio:
6. ¿Qué letras, escritas en mayúscula, tienen simetría puntual?
2.4. Cubrimientos regulares del plano. Frisos y mosaicos
Llamamos cubrimiento regular del plano al resultado de someter a una figura dada
a repeticiones (isometrías planas) de forma que el plano quede recubierto de dichas
figuras sin dejar huecos y sin que haya solapamientos. Si a una figura la sometemos a
traslaciones en una sola dirección obtenemos los frisos, y si la sometemos a dos
traslaciones de direcciones distintas se obtienen los mosaicos. Tanto los frisos como los
mosaicos constituyen patrones geométricos, es decir, formas que se obtienen mediante
una figura generadora (figura mínima) a la que se le aplica un grupo de
transformaciones.
Los patrones geométricos son usados frecuentemente en motivos decorativos de
paredes, alfombras, etc. Es necesario mostrar un fragmento de tamaño suficiente para
mostrar el motivo que se repite indefinidamente.
Un patrón puede tener otras simetrías además de la simetría por traslación. Sin
embargo, las posibilidades son limitadas. Por ejemplo, la única simetría rotacional de un
friso es media vuelta. El hecho de que sólo ciertas simetrías pueden coexistir en un
patrón hace posible clasificar los tipos de simetrías de los patrones. En particular, se ha
demostrado que hay sólo siete tipos de frisos, y diecisiete tipos de mosaicos.
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Frisos:
Mosaicos:
Clasificación de frisos y mosaicos
Existen diversas notaciones para nombrar los siete tipos de cenefas o frisos que
existen. Una de ellas viene dada por un par de caracteres cuyo significado resumimos en
la tabla siguiente:
Primera letra Segunda letra
m = simetría vertical  m = simetría horizontal
1 = no simetría vertical g = simetría con deslizamiento
 2 = simetría central 
 1 = no simetría adicional
Mostramos un ejemplo de cada uno de los siete tipos de frisos realizados por niños:
mm (reflexión vertical y horizontal)
mg (reflexión vertical y deslizamiento)
m1 (solamente reflexión vertical )
1m (solamente reflexión horizontal)
1g (solamente deslizamiento)
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12 (solamente simetría central)
11 (sin simetría)
De igual modo, si en lugar de efectuar traslaciones en una sola dirección lo
hacemos en dos direcciones distintas, obtenemos los llamados grupos cristalográficos
planos, pues éste es un problema que se origina en la Cristalografía, habiendo sido
estudiado por el cristalógrafo ruso Fedorov. Solamente existen 17 formas de cubrir el
plano indefinidamente de manera periódica regular. Estos mosaicos también se llaman
en inglés “grupos de papel pintado” (wallpaper groups) ya que los empapelados de
paredes pertenecen a alguna de estas clases. Encontramos un ejemplo al menos de estos
teselados en la Alhambra. El artista holandés M.C. Escher se interesó mucho por la
“división regular del plano”, y en su obra se pueden apreciar ejemplos de diversos
grupos cristalográficos.
La notación de cada una de estas formas es algo más compleja, y tiene en
cuenta, además de las transformaciones que intervienen, las retículas poligonales
subyacentes.
Algunos ejemplos de mosaicos que existen en la Alhambra:
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3. PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA. TEOREMA DE THALES
3.1. Medida y razón de segmentos
En la figura 4 vemos que los niños
están midiendo la sombra del árbol, la
distancia entre A y C. Supongamos que
la longitud de la sombra mide 6 metros.
Esto quiere decir que necesitamos
poner, de manera contigua y alineados,
6 trozos de una longitud que llamamos
metro.
En esta situación de medida
podemos decir que la razón entre la
longitud de la sombra y la longitud del
metro es de 6 a 1.
En general, el proceso de medir
una longitud consiste en encontrar el
número de veces que tenemos que usar
otra longitud, tomada como unidad,
para cubrir la longitud dada siguiendo
una técnica precisa. La medida que se
obtiene depende de la unidad elegida, y puede ser un número natural, racional, o
irracional, como ocurre cuando tratamos de medir la longitud de la diagonal de un
cuadrado usando el lado como unidad.
Fig. 4
Razón de segmentos
Si elejimos un segmento u como unidad de medida podemos asignar a
cualquier otro segmento un número real, que será su medida con la unidad u. La
razón entre dos segmentos se define como la razón numérica entre sus
respectivas medidas usando una unidad determinada. Simbólicamente,
(
( )
u
u
PQ m PQ)
RS m RS
 , donde mu(PQ) , mu(RS) indica las medidas de los
segmentos PQ, RS con la unidad u.
En el caso de la figura 5 la medida de PQ
usando la unidad u es 8, y la del segmento RS
es 5. Por tanto la razón entre ambos segmentos
es 8/5, que será la medida racional de PQ
usando RS como unidad, o sea, se puede
escribir: PQ =(8/5).RS
Fig. 5
Ejercicio:
7. Supongamos que dos segmentos cualesquiera se miden con una unidad u1 y se
calcula la razón entre ambos. ¿Qué le ocurre a dicha razón si ambos segmentos se
miden con otra unidad u2 tal que u2= 2.u1?
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En la figura 4 los niños están midiendo la longitud de la sombra del árbol
y también la longitud de la sombra de un bastón. ¿Qué pretenden hacer? ¿Qué
harán con las medidas? Parece que han estudiado geometría y saben que existe
una relación entre la razón de las longitudes de las sombras y los objetos que las
proyectan: Ambas razones son siempre iguales:
AB DE
AC DF

En este tipo de situaciones decimos que las longitudes de las sombras son
proporcionales a las longitudes de los objetos: si un objeto tiene doble, triple, …,
altura que otro, su sombra también será doble, triple, …, que la del otro.
En nuestro ejemplo, si el bastón mide 1 m., su sombra 1’2 m. y la sombra
del árbol 6 m., tendremos,
1
1’2 6
 x , de donde se obtiene que la altura del árbol, x = 5 metros.
Se dice que dos pares de segmentos son proporcionales si las razones que se
establecen entre cada par son iguales.
La proporcionalidad entre las longitudes de los objetos y sus sombras se
basa en que los rayos del sol se pueden considerar que inciden de forma paralela,
dada la gran distancia a que se encuentra el sol. Veamos, a continuación, la
explicación matemática de la propiedad que permite calcular distancias y
longitudes de objetos en circunstancias similares a la descrita.
3.2. Proyecciones paralelas
Consideremos dos rectas concurrentes a y a’ en el punto O, y sea b otra
recta en una dirección cualquiera, no
paralela ni a a ni a a’, como se muestra en
la figura adjunta. Sean los puntos P, Q, R,
S de la recta a situados a distancias
arbitrarias de O. Tracemos rectas
paralelas a la recta b que pasen
precisamente por los puntos P, Q, R, S.
Esas rectas cortan a la recta a’ en los
puntos P’, Q’, R’, S’, respectivamente.
Para cualquier punto de la recta a se
puede trazar una paralela a b que cortará a a’ en otro punto. De esta manera se
establece una aplicación biyectiva que asocia a cada punto de la recta a un punto
de la recta a’. La proyección paralela de un segmento es el segmento formado
por las proyecciones de los extremos del segmento original.
Fig. 6
Designemos esta aplicación biyectiva con la notación pp (abreviatura de
proyección paralela). Esta aplicación cumple las siguientes propiedades:
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1) Si dos segmentos son iguales, también lo serán sus proyecciones paralelas,
o sea, si PQ = QR entonces
pp(PQ) =pp(QR)
O
P
Q
R
S
S’ R’ Q’ P’
a
a’
Esta propiedad se justifica
observando la figura 7. Si las rectas
están igualmente espaciadas los
triángulos sombreados obtenidos
trazando por P’, Q’, R’, rectas
paralelas a a son iguales, lo que
implica que P’Q’ = Q’R’.
2) La proyección paralela de la suma
de dos segmentos de la recta a es igual a la suma de las proyecciones paralelas
de dichos segmentos sobre la recta a’, o sea,
Fig. 7
pp(PQ + QR) = pp(PQ) + pp(QR) = P’Q’ + Q’R’
En efecto, pp(PQ+QR) = pp(PR) = P’R’ = P’Q’+Q’R’ = pp(PQ) +pp(QR)
De estas propiedades se deriva que si la serie de segmentos PQ, QR, RS,
… son congruentes, también lo serán los segmentos P’Q’, Q’R’, R’S’, …, y que
si la razón de las longitudes entre dos segmentos es r, la razón entre los
segmentos proyectados también será r.
En general se cumple que la proyección paralela del segmento obtenido
al multiplicar la longitud del segmento PQ por cualquier número real r es el
segmento que se obtiene al multiplicar por r la longitud del segmento P’Q’.
Simbólicamente, pp(r.PQ) = r.P’Q’.
Si sobre la recta a hemos
elegido una unidad de medida u y
sobre la recta a’ la unidad u’
podemos establecer una proyección
paralela que haga corresponder
dichas unidades. Las propiedades
mencionadas de las proyecciones
paralelas permiten afirmar que si la
medida del segmento PQ es
mu(PQ), la medida del segmento
proyectado P’Q’ con la unidad u’, mu’(P’Q’), será la misma, ya que tales
medidas son las razones entre los segmentos y las unidades de medida
correspondientes.
Fig. 8
3.3. Teorema de Thales
Los segmentos homólogos en la
proyección paralela que se establece
cuando dos rectas distintas a y a’ son
cortadas por un haz de rectas paralelas son
proporcionales (ver figura adjunta).
Simbólicamente,
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‘ ‘
‘ ‘
PQ P Q
RS RS

En efecto, la razón entre los segmentos PQ y RS quiere decir que existe un
número real k tal que PQ =k.RS; este número k no es sino la medida de PQ
usando RS como unidad. Si aplicamos una proyección paralela a los segmentos
de la recta a, se verificará,
pp(PQ) = pp(k.RS) = k.pp(RS); o sea, P’Q’ = k.R’S’, relación que se
expresa también en forma de razón:
‘ ‘
‘ ‘
P Q k
R S
 , lo que prueba el enunciado del
teorema de Thales.
Una consecuencia del teorema de Thales
Toda paralela a un lado de un triángulo determina con los otros dos un
nuevo triángulo cuyos lados son proporcionales a los del primero.
En efecto, si en el triángulo ABC trazamos
una paralela MN al lado BC, por el teorema de Thales
se cumple:
(1) AM AN
AB AC

Trazando por N una paralela AB, por el mismo
teorema de Thales, tenemos:
(2) AN BP MN
AC BC BC
 
De las expresiones (1) y (2) se deduce,
AM AN MN
AB AC BC
 
que es el expresión simbólica de la propiedad enunciada.
Ejercicios:
8. Encontrar la medida del segmento EC conociendo que:
BC||DE, |AB|=9cm, |DA|=6cm, |AC|=15cm
9. Encontrar la medida del segmento AC conociendo que:
DE||BC, medida del ángulo EDA=90º, |AD|=2cm, |DE|=3cm y
|BC|=18cm
Fig. 10
Fig. 9
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10. Dividir un segmento en 3 partes de igual medida.
11. Dividir un segmento AB en la razón 2:3
12. Calcula la medida del segmento EF si E y F dividen respectivamente los lados AC y BC del
triángulo ABC, en la razón 2:3 siendo AE más largo que EC.
13. Si la razón entre la diagonal de un rectángulo y su lado mayor es 5:4, entonces ¿en qué
razón están el lado mayor con el lado menor del rectángulo?. Explicar el procedimiento
realizado.
14. La sombra de un rascacielos en un determinado momento del día mide 192 m. Si en el
mismo instante y lugar la sombra de una señal de tráfico de 2’5 m de altura, mide 1’5 m, ¿Cuál
es la altura del rascacielos?
15. A un incendio producido en un hospital acude la unidad de bomberos con una escalera de 32
m de longitud que consta de 80 peldaños distribuidos uniformemente. Al apoyar la escalera
sobre la fachada del edificio se observa que el primer peldaño se encuentra a 30 cm del suelo.
a) ¿Qué altura del edificio alcanzará la escalera?
b) Si el fuego se halla en la quinta planta, y cada planta tiene 4’5 m de altura, ¿podrán ser
rescatados los enfernos que allí se encuentren?
c) Puesto que las llamas ascienden hacia arriba, ¿es posible con dicha escalera evacuar las siete
plantas de que consta el hospital?
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4. TRANSFORMACIONES DE SEMEJANZA
El concepto de movimiento rígido se ha usado para definir de manera precisa la
noción de congruencia de figuras, que suele describirse de manera informal como
“figuras que tienen el mismo tamaño y la misma forma”. La noción informal de figuras
semejantes como las que tienen la misma forma puede ser precisada utilizando las
transformaciones del plano que se conocen como homotecias y semejanzas.
4.1. Homotecias (transformaciones de tamaño)
Definición:
Sea O un punto del plano y k un número real positivo (Fig. 11). Una homotecia de
centro O y factor de escala k es la transformación geométrica que transforma cada punto
P del plano, distinto de O en el punto P’ situado en la semirrecta OP de tal manera que
OP’ = k.OP, y deja invariante el punto O. La figura adjunta muestra dos ejemplos de
tales transformaciones. En la a) el factor de escala es mayor que 1 y en la b) es menor
que 1.
Fig. 11
(a)
‘ ‘
, 1 OP OQ k k
OP OQ
  & (b)
‘ ‘ ‘
… , 1 OA OB OG k k
OA OB OG
    ‘
Cuando el factor de escala es mayor que 1, la imagen de una figura por la
transformación será de mayo tamaño que el original, y se dirá que la transformación es
una expansión. Si k < 1 la transformación de tamaño es una contracción. Si k = 1, todos
los puntos permanecen en su misma posición, o sea, P = P’ para todos los puntos, y la
transformación de tamaño es la identidad.
Teorema: Cambio de distancia bajo una homotecia
La d istancia entre las imágenes de cualquier par de puntos es k veces la distancia entre
sus respectivas preimágenes. Esto es, para cualquier par de puntos P y Q, P’Q’ = k.PQ.
Demostración:
Fig. 12 Q’
Q
O
P
P’
Por la definición de homotecia se tiene que OQ’ =kOQ,
y que OP’ = kOP. Los triángulos formados tienen dos
lados comunes y el mismo ángulo en O, luego son
semejantes. De aquí se deduce que Q’P’ = kQP.
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Ejercicio:
16. Demostrar las siguientes propiedades de invariancia de las homotecias:
a) Los segmentos se transforman en segmentos paralelos.
b) Las rectas y semirectas se transforman en rectas y semirectas paralelas
c) La imagen de un ángulo es otro ángulo congruente.
d) Se conserva la razón entre distancias.
4.2. Semejanzas
Definición:
Diremos que una transformación es de semejanza si y sólo si es una secuencia de
homotecias (transformaciones de tamaño) y movimientos rígidos.
La figura 13 muestra la transformación de semejanza del triángulo ABC obtenida
como composición sucesiva de la homotecia de centro O, seguida de la simetría de eje l,
y seguida finalmente por otra homotecia de centro P.
Fig. 13
Definición: Figuras semejantes
Dos figuras F y G se dice que son semejantes, lo que se escribe F  G, si y sólo si,
existe una transformación de semejanza que transforma una figura en la otra.
Ejercicio:
17. Mostrar que la letra F pequeña de la figura es semejante a la letra F grande
girada:
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5. MOVIMIENTOS Y GEOMETRÍA DE COORDENADAS. ESTUDIO
DINÁMICO CON RECURSOS EN INTERNET
En la página web del Proyecto Descartes, http://www.cnice.mecd.es/Descartes/ ,
encontramos recursos dinámicos que permiten explorar las propiedades de las
traslaciones, giros y simetrías. En el índice del proyecto,

http://www.cnice.mecd.es/Descartes/indice_ud.htm

encontramos tres entradas para el estudio de la semejanza, movimientos en el plano y
las teselaciones. En el apartado de Aplicaciones,

http://www.cnice.mecd.es/Descartes/indice_aplicaciones.htm#movimientos

encontramos los siguientes recursos:
TÍTULO
Teorema de Thales
Semejanza de triángulos
Vectores y traslaciones
Movimientos en el plano
Movimientos en el plano (sobre puntos, segmentos, rectas y
ángulos)
Movimientos en el plano (sobre un cuadrado). Coordenadas
Movimientos en el plano (vectores)
Semejanzas en el plano
Semejanzas
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6. TALLER MATEMÁTICO
1. Dibujar polígonos con las siguientes simetrías, si es posible.
a) Un eje de simetría pero ninguna simetría rotacional.
b) Simetría rotacional pero ninguna simetría axial.
c) Un eje de simetría y una simetría rotacional.
2. ¿Cuál es el movimiento rígido equivalente a dos medias vueltas (giros de 180º)
realizadas sucesivamente sobre dos puntos O1 y O2?. (Explica mediante esquemas la
solución; puede ser útil representar con una letra la distancia entre los centros de giro).
3. Para cada una de las figuras adjuntas determinar:
a) los ejes de simetrías;
b) los ángulos de las simetrías de rotación que tengan
4. Dibuja la figura adjunta de tal manera que el triángulo ABC sea congruente al
A’B’C’.
A
A’
B
C’
C B’
a) Usar un espejo (u otra herramienta de dibujo) para trazar la recta m1 de manera que
A’ sea el punto simétrico del A. Dibujar también las imágenes del B y C mediante m1 y
nombrarlas como B1 y C1.
b) Dibujar la recta m2 de manera que B1 sea el simétrico de B’. ¿Cuál es la imagen de C1
sobre m2?.
c) Usar las rectas m1 y m2 para describir el movimiento rígido que transforma el
triángulo ABC en el A’B’C’.
5. Describir las simetrías en los siguientes patrones planos formados repiendo letras
mayúsculas. Para las simetrías de rotación dar el centro de giro y la amplitud del ángulo
de giro. Para las simetrías y simetrías con deslizamiento dar las direcciones de los ejes y
los vectores correspondientes.
a) A A A A
A A A A
A A A A
A A A A
B) E E E E
E E E E
E E E E
E E E E
C) N N N N
N N N N
N N N N
N N N N
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d) Z N Z N
N Z N Z
Z N Z N
N Z N Z
e) p q p q
d b d b
p q p q
d b d b
f) E E E E
E E E E
E E E E
E E E E
6. En la figura adjunta se representa un fragmento de un recubrimiento del plano
elaborado por M. C. Escher. Se han marcado tres peces grandes con las letras F, G. y H.
a) ¿Qué tipo de movimiento rígido hace coincidir F con G?
b) Qué tipo de movimiento rígido hace coincidir F con H?
B
F G
A’ B’
E H
A x O C
L I
D’ K J C’
D
7. En la figura adjunta, el cuadrado A’B'C’D’ se ha obtenido girando el cuadrado ABCD
45º alrededor del punto O. (el segmento AB =
A’B')
Propiedades de la figura:
a) ¿Cómo son los triángulos FBG, GB’H, HCI,
IC’J, JDK, ….?
b) Desmostrar que los puntos A, A’, B, B’, C,
C’, D, D’ están sobre una misma
circunferencia.
c) ¿Es regular el octógono EFGHIJKL?.
Justificar la respuesta.
d) ¿Cuántos ejes de simetría tiene esta figura?
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8. Una empresa ha diseñado un juego para niños que permite armar figuras como la del
dibujo a). Las piezas y sus medidas son las indicadas en b)
a)
b)
Por diversas razones, la empresa decide agrandar estas piezas con el siguiente
criterio: lo que mide 5 cm pasará a medir 8 cm; el resto de las medidas se deben ajustar
a ese criterio para mantener la proporción. Diseñar en cartulina las piezas del juego ya
ampliado. Analizar y comentar los procedimientos utilizados. ¿Cuál fue la pieza que
ofreció mayor (o menor) dificultad para rehacerla?
9. Distancias o alturas aplicando la semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras, utilizadas habitualmente por los
guías y scouts, para estimar alturas y distancias. Justificar los distintos procedimientos.
En este caso, es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del árbol
reflejado en el espejo.
Mirando con un solo ojo, se cubre la altura del árbol con una varita o un lápiz
que se sostiene en la mano. Girar la mano en 90º y que una persona se ubique en el
punto que corresponde al extremo libre de la varita.
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Colocar al pie de un poste una persona o vara de altura conocida. Ubicarse a una
distancia adecuada, mirando con un solo ojo y recurriendo a un lápiz o varita que se
sostiene con la mano, cubrir la persona y contar cuántas veces cabe en la altura de dicho
poste.
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden
alineados el extremo superior del árbol y el de la vara de longitud conocida.
Con el brazo estirado, utilizar como mira el dedo pulgar para ubicar dos puntos
sobre el edificio, mirando primero con un ojo y después con el otro. Estimar la distancia
entre ambos puntos, multiplicarla por 10 para obtener una estimación de la distancia que
los separa del edificio. El factor 10 deriva de la razón entre la medida aproximada de la
distancia entre ambos ojos (6 cm) y la longitud de los brazos (60 cm) un promedio
aproximado y cómodo para hacer los cálculos.
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10. Copiar en papel pautado el cuadrado ABCD de la
figura adjunta. Dibujar las imágenes del cuadrado en las
siguientes transformaciones. Hacer un dibujo separado
para cada uno de los casos a), b) y c).
a) Homotecias con centro O y cada uno de los factores
de escala, 1/3, 2/3, 4/3.
b) Homotecias con centro A y cada uno de los factores
de escala, 1/3, 2/3 y 4/3.
c) Homotecias con centro P y cada uno de los factores
de escala, 1/3, 2/3 y 4/3.
11. Describir una semejanza que transforme el
cuadrilátero ABCD en el cuadrilátero A’B’C’D’
según se indica en la figura adjunta. Dibujar las
imágenes intermedias de la homotecia y el
movimiento rígido que compone la semejanza.
12. Un pantógrafo es un dispositivo mecánico que se usa para hacer ampliaciones o
reducciones de dibujos. Se puede construir una versión simple usando tiras de cartulina
que se unen de manera articulada con algún tipo de remache formando un
paralelogramo con dos lados prolongados, como se indica en la figura. El punto O se
mantiene fijo en la superficie en la que se van a trazar los dibujos mientras que el P se
mueve sobre la figura a copiar. El lápiz situado en P’ traza la ampliación. (Si se invierte
la función de los puntos P y P’ se obtiene una
reducción).
a) Explicar por qué el pantrógrafo permite hacer
homotecias de manera mecánica.
b) ¿Cuál es el factor de escala de la homotecia?
Considerar que todos los puntos adyacentes a lo
largo de una banda están a la misma distancia.
Bibliografía
Alsina, C., Pérez, R. y Ruiz, C. (1988). Simetría dinámica. Madrid: Síntesis.
Carrillo, J. y Contreras, L. C. (2001). Transformaciones geométricas. En, Enr. Castro
(Ed.), Didáctica de la matemática en la educación primaria (pp. 427-448). Madrid:
Síntesis.
Dickson, L., Brown, M. y Gibson, O. (1991). El aprendizaje de las matemáticas.
Madrid: MEC y Ed. Labor.
Long, C. T. y DeTemple, D. W. (1996). Mathematical reasoning for elementary
teachers. New York: Harper Collins.
Jaime, A. y Gutiérez, A. (1996). El grupo de las isometrías del plano. Madrid: Síntesis.
Martínez, A. M. y Juan, F. R. (Coord.) (1989). Una metodología activa y lúdica para la
enseñanza de la geometría. Madrid: Síntesis.
Van de Walle, J. A. (2001). Elementary and middle school mathematics. Teaching
developmentally. New York: Longman.
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Geometría para Maestros
ORIENTACIÓN ESPACIAL.
SISTEMAS DE REFERENCIA
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A: Contextualización Profesional
ANÁLISIS DE PROBLEMAS SOBRE ORIENTACIÓN ESPACIAL Y SISTEMAS
DE REFERENCIA EN PRIMARIA
Consigna:
Los enunciados que se incluyen a continuación han sido tomados de libros de texto de
primaria. Para cada uno de ellos,
a) Resuelve los problemas propuestos.
b) Indica los conceptos y procedimientos matemáticos que se ponen en juego en la
solución.
c) Identifica diferencias y semejanzas entre los distintos problemas.
d) Para cada problema enuncia otros dos del mismo tipo, cambiando las variables
de la tarea, de manera que uno te parezca más fácil de resolver y otro más difícil.
e) ¿Piensas que los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles para
los alumnos de primaria? Propón un enunciado alternativo para aquellos
ejercicios que no te parezcan suficientemente claros para los alumnos.
f) Consigue una colección de libros de texto de primaria. Busca en ellos tipos de
problemas no incluidos en esta relación. Explica en qué se diferencian.
Enunciados de problemas incluidos en libros de primaria:
1. Copia y completa en tu cuaderno las frases siguientes:
 La iglesia está al ….. de la fuente.
 El ayuntamiento está al …. del castillo
y al …. de la fábrica.
 El castillo está al …. de la iglesia y al
…. de la fábrica.
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2. Observa el plano de la vivienda de la familia de Pedro:
 ¿Cuántos dormitorios tiene? ¿Y camas?
 ¿Qué te encuentras nada más entrar a la derecha?
 ¿Cuántas ventanas tiene el salón?
3. Abel ha ido al zoo. Al entrar le han dado un croquis con la distribución de los
animales. El elefante está en la casilla (F, 3)
 ¿En qué casilla está el canguro?
 Indica la posición que ocupan en el plano del zoo: a) El pavo real; b) El
cocodrilo; c) El león
 ¿Qué animal ocupa la casilla (A, 1); ¿Y la casilla (F, 5); ¿Y la casilla (I, 2)?
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4. ¿Por qué no está bien dibujado este
sistema de coordenadas?
5. Dibuja los ejes de coordenadas que
correspondan al punto A.
6. Completa la ruta desde el punto A al punto B como en el ejemplo: Dos al este (2 E),
dos al sur (2 S) …
 Traza en tu cuaderno la siguiente ruta,
desde el punto C al D: (3 S), (4 E), (6 S),
(5 O), (2 S), (7 E), (3 N), (1 E), (4 N).
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7. Observa el mapa:
 Dibuja los croquis de itinerarios más
cortos para ir desde Vallehermoso a
Vistabella y desde Miramar a Zanuí.
 Escribe las coordenadas de las
poblaciones: Vallehermoso, Las Lomas,
Estrada, Zanuí.
 Contesta:
¿Qué población está en el punto (6, 5)?
¿Y en el punto (2, 1)?
8. Victoria, Gabriel, Carmen y Pilar están dibujando la catedral, cada uno desde la
posición en la que están situados. ¿Qué dibujo ha realizado cada uno?
. Este es el dibujo de un pueblo “a vista de pájaro”. ¿Cuál de estos tres planos es el
0. En general, en los mapas de carreteras, las distancias entre poblaciones se indican
9
correcto? Justifica tu respuesta.
1
con números situados entre dos señales.
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 Mira el mapa y di cuál es la
a y Medida
¿Qué itinerarios se pueden
ás largo?
ne?
distancia más corta por carretera
entre:
- Lazam
- Cubillo y La Tejera

realizar para ir desde Cubillo a
La Tejera?
¿Cuál es el m
¿Cuántos kilómetros tie
11. Fíjate en esta escala gráfica y completa en tu cuaderno.
1 cm en el plano representa …. m la realidad
3 cm en el plano representan …. m la realidad
10 cm en el plano representan …. m en la realidad.
12. ¿Cuántos kilómetros representan 5 cm en un mapa a escala 1: 500.000? ¿Y ocho
centímetros?
13. En un mapa, la distancia entre dos poblaciones es de 4 cm. Si en la realidad están
separadas 40 km. ¿Cuál es la escala del mapa?
14. Las dimensiones de un campo de fútbol son 110 m de largo y 60 m de ancho.
Representa este campo en tu cuaderno de tal forma que 1 cm del plano corresponda a 10
m del terreno. Calcula el área del campo en metros cuadrados y el área del plano en
centímetros.
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B: Conocimientos Matemáticos
1. ESPACIOS Y GEOMETRÍAS
1.1. Situación introductoria: modelizar el espacio
Un profesor ha preparado en el patio de la escuela la siguiente actividad:
En el jardín, a los bordes de dos calles convergentes
(Fig. 1) hemos puesto dos banderines. Disponéis de
una cinta métrica. ¿Cuál es la distancia entre los dos
banderines? Podéis desplazaros y medir por cualquier
sitio, salvo por el césped (espacio entre los
banderines). Comprobaremos la estimación tendiendo
un hilo entre los dos banderines y midiendo después
el hilo.
Describir la solución del problema suponiendo
a)Que se dispone de un plano del jardín.
b)Que no se dispone de plano.
Fig. 1
1.2. Espacio sensible y espacio geométrico
En el apartado 1.1, “Naturaleza de los objetos geométricos”, del Capítulo 1 de este
bloque temático dedicado a la geometría hemos aclarado que los objetos de que se
ocupa la geometría no pertenecen al mundo perceptible. Cuando hablamos de “figuras o
formas geométricas” no nos referimos a ninguna clase de objetos perceptibles, aunque
ciertamente los dibujos, imágenes y materializaciones concretas son, al menos en los
primeros niveles del aprendizaje, la razón de ser del lenguaje geométrico y el apoyo
intuitivo para la formulación de conjeturas sobre las relaciones entre las entidades y
propiedades geométricas.
El espacio del que se ocupa la geometría debe ser distinguido del espacio de
nuestras sensaciones y representaciones materiales para poder entender las diversas
geometrías, su razón de ser y utilidad. El espacio euclídeo es continuo, infinito, con tres
dimensiones, homogéneo e isótropo (con iguales propiedades en cualquier dirección).
Por el contrario, el espacio sensible está compuesto de elementos visuales, táctiles,
motores y no es homogéneo ni isótropo. Sin embargo, el dominio de este espacio
sensible, es decir la posibilidad de tener un control eficaz del mismo se ve facilitado si
el sujeto posee conocimientos sobre el espacio geométrico.
Cuando una persona tiene conocimientos geométricos se puede servir de ellos para
razonar sobre el espacio sensible. “Cuando un topógrafo quiere estimar el área de un
terreno, no puede pensar en medirlo directamente, es decir, contar el número de
unidades cuadradas que contiene. De hecho, el único método usable consiste en operar
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indirectamente, medir, no áreas, sino longitudes y ángulos y deducir el valor del área
gracias a los teoremas y fórmulas obtenidas por métodos deductivos en Geometría y
Trigonometría”.1 Para medir la distancia entre los banderines de la situación
introductoria que hemos propuesto tenemos que hacerlo usando conocimientos
geométricos sobre la representación del espacio sensible mediante figuras y relaciones
geométricas. La realización efectiva de las medidas requiere la aplicación de
conocimientos sobre el espacio sensible: Si no disponemos de un instrumento de
medida de longitudes suficientemente largo tendremos que controlar la alineación de las
sucesivas extremidades en la aplicación sucesiva de la cinta métrica. En cada instante el
topógrafo recurre a conocimientos relativos al control del espacio sensible y los
instrumentos materiales y al modelo geométrico.
Un punto conflictivo de la enseñanza de la geometría es sin duda el de la
articulación entre el dominio del espacio sensible y del espacio geométrico. En el
espacio sensible el alumno controla sus relaciones efectivas de manera continua con la
ayuda de los sentidos. En el trabajo con la geometría, el alumno también entra en
relación con objetos del espacio sensible, las figuras (en el sentido de dibujos o trazos).
Estas figuras no son representaciones “imperfectas” de unas “verdaderas” figuras
geométricas. El alumno debe abandonar el control empírico de sus afirmaciones y pasar
a un control por medio de razonamientos. No se trata por tanto solo de cambiar de
cuadro, de pasar de un mundo “imperfecto” a un mundo “perfecto”, mediante una
especie de paso al límite. Se trata de cambiar radicalmente la manera de controlar sus
relaciones con el espacio2. Sin embargo, no se trata sencillamente de que el sujeto
abandone el mundo perceptible y pase a un mundo intelectual, porque este nuevo
mundo no es otra cosa que el mundo de las reglas y convenios que nos imponemos para
organizar y controlar el mundo sensible. “Se trata de pasar de las relaciones efectivas y
contingentes con un cierto espacio a la modelización de las relaciones con este espacio”.
Estas reflexiones muestran que para progresar en la comprensión de las dificultades
de la enseñanza de la geometría, enseñanza que hace intervenir necesariamente a la vez
el modelo geométrico y la realidad física que modeliza, es necesario ir más allá de la
simple consideración del tipo de espacio en el que se quiere colocar al sujeto, y estudiar
las relaciones establecidas entre el sujeto de una parte y cada uno de los espacios por
otra.
1.3. Diversos tipos de geometrías
En los capítulos anteriores hemos estudiado las figuras geométricas y un tipo de
transformaciones que se pueden aplicar a las figuras: las isometrías (traslaciones, giros y
simetrías). Estas transformaciones conservan las distancias y los ángulos de las figuras a
las que se aplican y su estudio constituye lo que se denomina la geometría euclídea.
En el 2º capítulo hemos incluido también un tipo de transformaciones que no
conservan la distancia, como son las homotecias (dilataciones o contracciones). Estas
transformaciones conservan la forma de las figuras, y por tanto, los ángulos y la
proporción entre los elementos correspondientes; su estudio constituye la denominada
geometría de la semejanza.
1 Frechet (1955), citado por Berthelot y Salin (1992, p. 28)
2 Berthelot, R. y Salin, M. H. (1992). L’enseignement de l’espace et de la geométríe dans la scolarité
obligatoire. Tesis Doctoral. Universidad de Burdeos. (p. 32).
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Mencionamos, a continuación, brevemente otros tipos de geometrías indicando los
tipos de transformaciones y propiedades invariantes que las caracterizan.
La geometría afín estudia las transformaciones denominadas proyecciones afines,
que de manera intuitiva se refieren a las transformaciones inducidas en las figuras al ser
proyectas mediante haces de rayos paralelos. En este caso las propiedades que se
conservan son el paralelismo de rectas o segmentos, el punto medio de segmentos y la
razón de la distancia entre puntos sobre una misma recta (proyecciones paralelas
estudiadas en la sección dedicada al teorema de Thales).
La geometría proyectiva estudia las propiedades de las figuras que se conservan al
ser transformadas mediante una proyección desde un punto. Como ejemplo de tales
propiedades está la colinealidad (puntos que están alineados, continúan estando
alineados tras la transformación) y la convexidad de las figuras.
1.4. Topología
Es posible aplicar otro tipo de transformaciones a las figuras y cuerpos geométricos
distinto de los indicados hasta ahora que da lugar a una rama de las matemáticas que es
la Topología. Estas transformaciones son las deformaciones, estiramientos y
contracciones sin “rotura” de las figuras, como si estuvieran dibujadas sobre una lámina
de goma, y ésta se estirase o encogiese. Reciben el nombre de transformaciones
topológicas y como propiedades invariantes tenemos, la continuidad, las intersecciones,
el orden, el interior y exterior, la frontera. En la construcción de esquemas y croquis
espaciales se ponen en juego propiedades topológicas del espacio.
En Topología no interesan distancias, ángulos ni áreas. En términos de geometría
euclídea el círculo, cuadrado y triángulo mostrados en la figura 2 son completamente
diferentes. Sin embargo, tienen una propiedad común: cada una de esas figuras posee un
interior y un exterior; para ir desde un punto exterior a otro interior es preciso cruzar el
contorno: se trata de curvas cerradas simples.
B
A
Fig. 2
Si estas figuras se dibujaran sobre una lámina de goma, estirándola se deformarían
perdiendo las propiedades que las definen como circunferencia, cuadrado y triángulo,
pero conservarían la propiedad de ser curvas cerradas simples. No está permitido, sin
embargo plegar, cortar o agujerear ya que en este caso esa propiedad también se
perdería.
Un problema célebre de naturaleza topológica es el denominado de los Siete
Puentes de Königsberg. Esta ciudad está situada cerca de la desembocadura de un río y
parte de ella está construida sobre una isla (Fig. 3). Esta isla y el resto de la ciudad están
unidos por siete puentes. El problema propuesto consistía en ver si era posible ir a
pasear y volver al punto de partida habiendo cruzado todos y cada uno de los puentes
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una sola vez. En 1736 el matemático suizo Euler estudió esta cuestión. Descubrió que
este problema topológico se conserva en lo esencial si se reemplaza el mapa de la figura
3a por el diagrama más simple o “red” de la figura 3b.
Fig.3a
El problema inicial equivale a preguntar si es posible partir de uno de los puntos
seña
jercicios:
problema de los puentes de Königsberg
ientes redes (empezando en uno de los
vértices a tu elección, recorriendo cada línea una vez y sólo una, y volviendo al punto de
Fig. 3b
lados (“vértices”) de la red, recorrer ésta con un lápiz, sin levantarlo del papel,
siguiendo cada línea una vez y sola una, y volver al punto de partida
E
1. Estudia el
2. Ver si es posible recorrer análogamente las sigu
partida).
3. Experimenta con otras redes. Si en un vértice se cortan un número par de segmentos se llama
vértice par; si es un número impar de líneas el que concurre, se llama vértice impar. Trata de
hallar alguna regla para decidir si uno de los caminos de “pasar sólo una vez” es posible o no.
Puede servir de ayuda marcar el número de vértices impares de cada red. [Solución, este número
debe ser 0 o 2]
tro problema topológico célebre referido a superficies es el de coloración de
map
O
as. El problema es hallar el menor número de colores necesarios para colorear
cualquier mapa que represente varios países, con la condición de que países vecinos (o
sea, los que comparten una frontera) deben llevar colores diferentes. Recientemente se
ha demostrado que cuatro colores son suficientes para colorear un mapa.
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Ejercicio:
4. Trata de dibujar mapas como el de abajo, usando cuatro colores para aplicarlos a los
diferentes países.
LOCALIZACIÓN Y RELACIONES ESPACIALES
tal se centra en las formas y
figu
as de coordenadas que permiten representar puntos en un
espa
.1. Localización de puntos: Sistema de coordenadas cartesianas
que
plean dos rectas perpendiculares numeradas para elaborar un
método de localización de puntos en el plano. El punto de intersección de las rectas se
llama origen. Un par de números llamados coordenadas indican la ubicación de cada
2.
Con frecuencia el estudio de la geometría elemen
ras geométricas. Sin embargo, una parte relevante de la geometría se ocupa de la
posición y el movimiento en el espacio. ¿En qué lugar estás? ¿Estás delante o detrás de
la mesa? ¿Estás entre el sofá y la mesa? ¿Dónde estarás si avanzas cinco pasos?
¿Dónde estarás si avanzas cinco pasos y después retrocedes tres pasos? La reflexión
sobre las localizaciones y movimientos nos proporciona una manera de describir el
mundo y poner un cierto orden en el entorno. También proporciona una oportunidad de
construir conceptos matemáticos como los números positivos y negativos (hacia delante
y atrás) y destrezas que se relacionan con otros temas, como la realización e
interpretación de planos y mapas. Estas experiencias sirven de base para introducir los
sistemas de coordenadas.
Existen diversos sistem
cio de dos o tres dimensiones. René Descartes (1596-1650) introdujo el sistema de
coordenadas bien conocido basado en el par de ejes ortogonales que definen un origen y
un segmento unidad para medir distancias sobre los ejes. Es el conocido como sistema
de coordenadas cartesianas. Un sistema similar, aunque basado sobre ángulos medidos a
partir de una línea base es el sistema de coordenadas polares.
2
¿Cómo puede decirse a una persona
vaya de una parte de una ciudad a
otra?. Una manera puede ser indicando
que recorra cierta distancia en una
dirección y luego otra distancia en otra
dirección. Por ejemplo, para dar
direcciones de manera que se pueda ir
del punto A al punto B de la cuadrícula
de la derecha, podría decirse: “Ir una
calle al este, ocho al norte, cinco al este
y dos al sur”. Otra manera más sencilla
puede ser decir, “Ir seis calles al este y
cinco al norte”.
En matemáticas se em
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punt
puntos y
o. En general, un punto se representa por un par ordenado de puntos, las
coordenadas (x, y). La notación P(x,y) se usa para referirse a un punto cualquiera, x es
la abscisa del punto e y la ordenada. Este método de determinación de puntos se llama
sistema de coordenadas cartesianas. Una variante de sistema de referencia de
regiones en el plano es el usado en los planos y mapas, combinando el uso de números
para las abscisas y letras para ordenadas o viceversa, como se muestra en este plano.
Ejercicios:
. Dos vértices de una figura son (0,0) y (6,0).
les son las coordenadas del tercer vértice si la figura es un triángulo
6. C s e sitúa
un o on las
coordenadas (x, y, z) del centro del cubo?
5
a) ¿Cuá
equilátero?
b) ¿Cuáles son las coordenadas de los otros dos vértices si la figura es un
cuadrado?
c) ¿Cuáles son las coordenadas de los otros dos vértices si la figura es un
paralelogramo de altura 4?
on idérese un sistema tridimensional de coordenadas, con los ejes x, y, z. S
cub de aristas 4 unidades sobre los ejes y un vértice en el origen. ¿Cuáles s
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2.2. Sistema de coordenadas polares
Además del uso de las coordenadas cartesianas,
ay otra forma de encontrar puntos en un plano. Por
jemplo, si estamos en el punto O orientados hacia
rse, “girar 45º
h
e
M, para localizar el punto P podría deci
y avanzar 4 unidades”. La notación usada para esta
manera de localizar un punto en el plano es también
mediante un par de números (r, (); el primero indica
la distancia que hay que avanzar y el segundo el giro
que se debe dar para llegar al punto deseado.
O M
P
45O
Ejercicio
7. Considérese un sistema de coordenadas tridimensionales con los ejes x, y, z. En él se
oloca un cubo cuyas aristas están sobre los ejes y un vértice en el origen. Encontrar la
rmula que permite calcular la longitud de la diagonal del cubo en función de las
as del vértice opuesto al origen.
c

coordenad
2.3. Sistemas globales de coordenadas para el posicionamiento de puntos sobre la
perficie de la tierra
as más usado en
la actualidad es la latitud, longitud y
altura. El meridiano origen (Greenwich)
cuador son los planos de referencia
su
El sistema de coordenad
y el E
usados para definir la latitud y la
longitud.
La longitud geodésica de un punto es el ángulo que forma con el plano del ecuador
la recta que pasa por dicho punto y es normal al elipsoide de referencia.
La longitud geodesia de un punto es el ángulo entre un plano de referencia y el
plano que pasa por dicho punto, siendo ambos planos perpendiculares al plano del
ecua
eferencia al
punt
3. M
nos
dor.
La altura geodésica de un punto es la distancia desde el elipsoide de r
o en la dirección normal al elipsoide.
APAS Y PLANOS TOPOGRÁFICOS
3.1. Utilidad práctica de los mapas y pla
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Imagina que te has perdido en un bosque. ¿Qué necesitarías para resolver ese
a brújula podrías hacerlo. Si no tuvieras
conociendo la posición del Sol o de las
estre
eras. Cuando ha sido necesario indicar un lago, el contorno de una costa,
o cu
e un continente, de un país o de un estado, sino de una ciudad o parte de ella, lo
que
curvas de nivel o isohipsas. Las curvas de
nive
matemático hasta el uso o las
aplic
dos con más imaginación que
reali
o los instrumentos
de o
nflicto, imagínate lo siguiente; si tomas una hoja de papel y
trata
problema?. Con la ayuda de un mapa y de un
una brújula, pero sí un mapa, podrías orientarte
llas. Sin embargo, si te falta el mapa, sería muy difícil decidir hacia dónde tienes
que dirigirte.
A la humanidad le ha tomado muchísimos años representar la superficie de la
Tierra. A medida que se han explorado nuevos territorios, se han ido dibujando de
diferentes man
ando se ha querido señalar algún lugar importante, se han trazado croquis, planos o
mapas.
Un mapa es una representación de la Tierra, o de una parte de ella, generalmente
hecha sobre una hoja de papel. Cuando la superficie que se representa es pequeña y no
se trata d
se dibuja no es un mapa, sino un plano.
Un mapa topográfico es aquel en el que además de estar dibujadas las posiciones
relativas de los objetos está representado el desnivel en altura. Estos desniveles se
representan dibujando unas líneas llamadas
l unen todos los puntos que están a la misma altura sobre el nivel del mar. Cuando
las curvas de nivel están por debajo de la superficie marina se llaman isobatas. En el
caso de España el nivel del mar se mide en Alicante.
La cartografía es la ciencia relacionada con la elaboración e interpretación de
mapas. Los recursos empleados en la confección de mapas son objeto de interés para la
Cartografía; desde el conocimiento astronómico y
aciones cromáticas de la impresión y los programas informáticos utilizados para el
tratamiento espacial. Todo ello es parte de la Cartografía.
A lo largo de la historia se han elaborado muchos mapas. Al principio, se hicieron
en tabletas de barro cocido, en pergaminos o sobre planchas de metal. Hubo algunos
bellísimos, decorados por verdaderos artistas, pero realiza
dad. En muchos mapas se observaban los nombres de países fantásticos habitados
por seres quiméricos. Los cartógrafos que los dibujaban estaban influidos por relatos
fantásticos y leyendas. Muchos de ellos señalaban la situación geográfica de la
Atlántida, fabuloso continente que se creía sepultado en el océano.
Los mejores mapas fueron los que representaban las costas. Antes de conocer la
brújula, los navegantes casi no se aventuraron a perder de vista la tierra por temor a
extraviarse en el mar. Se guiaban por el Sol y las estrellas, pero com
bservación que tenían eran deficientes y no permitían calcular las distancias con
exactitud, los mapas no podían ser precisos. Con el uso de la brújula se abrió una nueva
era en la exploración de los mares y se hizo posible la navegación trasatlántica. Así, se
conocieron nuevos territorios y fue posible elaborar mapas que representaban mayores
extensiones del planeta.
Cuando se demostró que la Tierra era redonda, los cartógrafos se enfrentaron a un
gran problema: ¿cómo representar la redondez del planeta en una hoja de papel?. Para
comprender mejor este co
s de cubrir la superficie de una pelota, verás que es imposible hacerlo sin arrugar el
papel. Algo parecido sucede con los mapas: es difícil representar la Tierra sin
deformaciones en una superficie plana.
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3.2. Bases para la realización de los mapas: triangulación y proyección
La realización de un mapa de la Tierra requiere proyectar una superficie esférica
bre un plano, dibujar el relieve y demás características del terreno. Se trata de
e mediante
ulación está
form
niversal Transversal Mercator), en la que un cilindro
como base los términos municipales. La información obtenida se pasaba a
borr
mite la localización exacta de todos los puntos
presentados en el mapa. Esta red de coordenadas está formada por los paralelos y
Long
e veinte minutos (20′) de paralelo. A partir de 1970 se tomó como
igen el de Greenwich. Hasta entonces se tomada el origen en el meridiano
or el Observatorio Astronómico de Madrid. Al N y S de la hoja aparece la
so
representar un espacio de tres dimensiones en otro de dos, lo que se consigu
procedimientos de triangulación del territorio a cartografiar. La red de triang
ada por un conjunto de señales construidas sobre el terreno, a fin de determinar
sobre él los vértices de posición. La red geodésica española está formada por tres redes
o triangulaciones constituidas por vértices colocados a tres tipos de distancias. La red de
primer orden consta de 10 cadenas de triángulos de 50 kms de lado orientadas según el
sentido de los paralelos y meridianos. Su base se midió en 1858 en la localidad de
Madridejos (Toledo). Los 285 vértices de esta red se apoyan en las cumbres más
elevadas de las cadenas montañosas. Esta red de primer orden se complementa con otras
que cubre los 19 cuadriláteros formados por las intersecciones de las cadenas
principales. Los 288 vértices de las redes están unidos por triángulos de 30 kms de lado.
La red de segundo orden, que se apoya en la anterior, tiene 2.150 vértices, y sus
triángulos están formados por lados de 20 kms. La red de tercer orden tiene 8.000
vértices y el lado de los triángulos mide de 5 a 10 kms. Por último, hay 9.000 vértices
auxiliares a diferentes distancias.
La proyección utilizada para el Mapa Topográfico Nacional (MTN) ha variado
desde su inicio en 1858. Primero se utilizó la proyección poliédrica. Cada cara del
poliedro es tangente en el centro a la superficie esférica. Actualmente se utiliza la
proyección denominada UTM (U
es tangente al elipsoide a lo largo de un meridiano y el eje del cilindro está contenido en
el plano del Ecuador. Los husos considerados miden 6º. España está entre los husos 29-
30 y 31.
A esta base geodésica de proyección ha de unirse otra serie de trabajos que
permitan la medida del relieve y su representación, que son los trabajos topográficos.
Para el MTN se comenzó haciendo levantamientos topográficos de forma tradicional
tomando
adores a escala 1:25.000. Desde 1956 se utiliza la fotografía aérea. Actualmente la
cartografía automática por medio de ordenador supone un progreso decisivo en la
confección de las hojas topográficas.
3.3. La red de coordenadas geográficas
La red de coordenadas nos per
re
meridianos.
itudes:
Una hoja del MTN está limitada por dos arcos de meridiano entre los que existe una
separación d
meridiano or
que pasaba p
medida de la longitud de minuto a minuto, cada uno de los cuales está dividido en seis
partes iguales que representan diez segundos (10”) cada una.
Latitudes:
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Una hoja está limitada por dos arcos de paralelo entre los que existe una separación de
10′ de meridiano. Todas las hojas del MTN de España tienen latitud Norte (ya que el
el origen de las latitudes). Los bordes E y W de las hojas llevan las medidas
d en grados y minutos. Cada minuto aparece dividido en seis unidades de
apa o de un plano indica la razón existente entre la medida de las
istancias en él representadas y las distancias reales sobre el terreno. Por ejemplo, si 2
representa 1 km sobre el terreno, la escala será 2 cm = 1 km, lo que se
ente en forma de razón:
Ecuador es
de la latitu
diez segundos (10”) cada una.
La localización de cualquier punto de la hoja se puede hacer con exactitud, trazando con
una regla una recta hacia su borde N o S y E o W más p´roximo y leyendo su longitud y
latitud en los mismos.
3.4. Las escalas
La escala de un m
d
cm sobre el mapa
expresa habitualm
Distancia sobre el mapa
Distancia sobre el terreno
=
2cm
1 km
= 2 cm
100.000 cm
= 1
50.000
r
La escala puede expresarse por palabras, por ejemplo, 1 cm por 1 km, por números,
ya sea en forma de fracción cuyo numerador es siempre la unidad, po ejemplo1/50.000,
en forma de división indicada 1:50.000, o bien gráficamente,
Si la escala viene dada de forma gráfica puede utilizarse para medir directamente
las distancias en el mapa y leerlas en distancia real.
Las diferentes escalas nos permiten estudiar fenómenos diferentes. A escala de
1:1.000 y 1:5.000 se pueden estudiar fenómenos de mucho detalle. Se puede dibujar una
casa. Se llaman específicamente planos, y es que a una escala tan grande no es necesaria
una proyección y se puede considerar la Tierra plana. Con escalas entre 1:5.000 y
1:20.000 podemos representar planos callejeros de ciudades. Entre 1:20.000 y 1:50.000
podemos estudiar comarcas y municipios. Entre el 1:50.000 y el 1:200.000 podemos
estudiar provincias y regiones, y las carreteras. Entre 1:200.000 y 1:1.000.000 podemos
ver las comunidades autónomas y los países. A escalas inferiores a 1:1.000.000
podemos ver continentes y hasta el mundo entero.
El mapa que mejor permite el análisis geográfico es el de escala 1:50.000, mapas más
pequeños permiten una visión de conjunto, y los más grandes un mayor detalle. A esta
escala está representado el Mapa Topográfico Nacional.
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Ejercicios
8. La superficie de una explotación agraria de forma rectangular es de 80 cm2 en un
mapa de escala 1:50.000. ¿Cuál es la superficie real en hectáreas.
9. ¿Qué superficie ocupará en un mapa a escala 1:50.000 una superficie real de 26
hectáreas.
3.5. Representación cartográfica: altimetría y planimetría
La representación del relieve del terreno es una característica de mucha
portancia en los mapas topográficos. En los mapas más antiguos sólo se indicaba la
osición de las montañas, a la que se añadía algunos símbolos que daban idea de su
todo consiste en el dibujo
tal. Mapas babilónicos,
egip
as de nivel de 5 o 10 m. En el Mapa
Top
, las profundidades
im
p
altitud; el más utilizado fue el de los perfiles abatidos. Este mé
del perfil de las montañas abatido sobre el plano horizon
cios y romanos tienen ya este sistema de representación y continúa utilizándose,
con algunos retoques de perfeccionamiento hasta el siglo XVIII. Posteriormente, a
finales de dicho siglo, tras la aparición del barómetro y el perfeccionamiento de los
teodolitos, fue posible la determinación de las cotas, y la calidad de la representación
del relieve mejoró con ello. Otros métodos para representar el relieve han sido utilizados
hasta generalizarse en el siglo pasado el uso de las curvas de nivel o isohipsas.
Una curva de nivel o isohipsa es una línea imaginaria que une los puntos de un
relieve situados a la misma altura sobre el nivel del mar. También se puede describir
como el trazo de una línea de un plano horizontal que corta las superficies inclinadas
constituidas por las pendientes de un relieve.
Dentro de un mismo mapa las curvas de nivel son equidistantes, esto es, la
distancia vertical que separa dos curvas consecutivas es constante. Esto es
imprescindible puesto que de otra forma no representarían fielmente las pendientes del
terreno. Esta equidistancia está en función de la escala. Un mapa a escala 1:20.000
puede tener una equidistancia entre las curv
ográfico Nacional a escala 1:50.000 la equidistancia es de 20 m.
En los mapas actuales, las curvas de nivel suelen estar numeradas, al menos las
curvas maestras, indicando la altitud absoluta. También algunas cimas o crestas llevan
indicada su altura absoluta para que se aprecie mejor los desniveles del relieve.
Las curvas de nivel permiten medir las alturas de las montañas
de los fondos marinos y la inclinación de las laderas.
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El relieve del terreno se muestra con las curvas de nivel
Además del relieve los mapas llevan impresas una serie de signos convencionales
que representan otros tantos hechos o aspectos de la realidad. Estos signos
convencionales podemos dividirlos en dos grandes grupos:
1. Indicadores de aspectos naturales (ríos, barrancos, arroyos, lagunas, vegetación,
…)
2. Indicadores de aspectos no naturales, es decir, relativos a la ocupación del medio
por el hombre. Estos a su vez se pueden dividir en dos subgrupos:
- aspectos que no se dan en la realidad (como los límites administrativos)
- aspectos que aparecen en la realidad y se deben a la acción del hombre
(caminos, carreteras, líneas de ferrocarril, casas, pueblos, cultivos, usos
del suelo, etc.)
El cálculo de la pendiente
La pendiente es la relación que existe entre el desnivel que debemos superar y la
distancia en horizontal que debemos recorrer. La distancia horizontal se mide en el
mapa. La pendiente se expresa en tantos por ciento, o en grados.
Para calcular una pendiente en tantos por ciento basta con resolver la siguiente regla
de tres: Distancia en horizontal es a 100 como distancia en vertical es a X
Distancia en vertical · 100/Distancia en horizontal = Pendiente%
Para calcular la pendiente en grados basta hallar la tangente del ángulo conocidos los
dos catetos:
Tangente A = Altura/Distancia
Un ángulo de 45º es una pendiente del 100% ya que cada 100 metros en horizontal se
recorren 100 metros en altura.
Cuando medimos una distancia en el mapa lo hacemos sobre una superficie plana. La
que medimos en el mapa se llama distancia planimétrica, que no es otra cosa que la
proyección en el mapa de la distancia real. La distancia planimétrica coincide con la real
sólo si en la realidad hay una llanura, pero si hay una pendiente la diferencia entre la
distancia real y la planimétrica puede ser notable.
Para calcular la distancia real debemos hallar el valor de la hipotenusa de un triángulo
rectángulo. El valor de un cateto es la distancia en metros entre dos puntos, el valor del
otro cateto es el valor en metros de la diferencia en altitud entre los dos puntos.
La distancia real es pues:
r2 = h2 + a2
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Donde:
r = distancia real
h = distancia horizontal en la realidad entre los dos puntos
a = diferencia de altura en la realidad entre dos puntos
Para medir la distancia entre dos puntos en línea recta basta con usar una regla, en un
plano pocos trazados son rectos. Para medir trazados sinuosos entre dos puntos se
pueden usar dos métodos, uno rudimentario, que consiste en colocar un hilo sobre el
recorrido y luego medir la longitud del hilo, el otro es usando un instrumento creado al
para esto llamado curvímetro.
El corte topográfico
El corte topográfico sirve para hacerse una idea de cómo es el relieve que está
dibujado en el mapa. Para levantarlo debemos partir de la información que nos
proporciona el mapa, es decir, las curvas de nivel, la distancia horizontal entre dos
puntos y la escala.
Para hacer un corte topográfico debemos seleccionar dos puntos del mapa. Trazar una
línea recta entre ambos. Luego sobre un papel colocado encima de la línea marcamos
todas las curvas de nivel que nos encontremos. Si las curva de nivel están muy juntas
basta con que marquemos las curvas maestras. Con esta información nos vamos al
papel.
Dibujamos un eje de coordenadas.
El eje horizontal (abscisas) tendrá la misma escala que el mapa. Si se
quiere variar habrá que hacer los cálculos oportunos. Sobre esa línea
trasladamos las distancias entre las curvas de nivel que tenemos en la
hoja.
El eje vertical (ordenadas) tendrá una escala diferente. Lo normal, para
poder ver cómodamente el relieve es que esté en la escala 1:10.000, pero
podemos elegir cualquiera. Es decir, cada centímetro en el papel serán
100 metros en la realidad.
A continuación levantamos cada punto del eje de abscisas en vertical
hasta alcanzar la altitud correspondiente en el eje de ordenadas. Y lo
marcamos. Cuando lo hayamos hecho unimos todos los puntos y
tendremos un perfil del relieve en línea recta entre los puntos
seleccionados.
Para completar el corte debemos poner como mínimo: la hoja en el que se encuentra
la zona seleccionada, el nombre de los puntos de los extremos del corte, y si es posible
el nombre de las cotas, los ríos y los pueblos por donde pasa, la escala que hemos
empleado y el rumbo del corte.
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Se pueden hacer también cortes que nos den la imagen del perfil de un trayecto
sinuoso. Para ello debemos tomar la distancia entre las curvas de nivel que vayamos
atravesando, para poder marcarlas sobre el eje de abscisas. Los cortes sinuosos más
habituales son los del trayecto de una carretera (famosos por las vueltas ciclistas) y el
perfil de un río, que es siempre descendente.
Si en lugar de hacer un solo corte hacemos varios paralelos y resaltamos las líneas
que sobresalen tendremos un corte compuesto, que nos da una idea del aspecto del
paisaje.
3.6. El rumbo y la orientación del mapa
Ningún mapa sirve para nada si no podemos identificar el lugar donde nos
encontramos dentro de él. Pero una vez situados debemos orientar el mapa, para que las
direcciones que se marcan en él sean las mismas que en la realidad. Esto vale tanto para
un mapa topográfico como para un plano callejero o un mapa de carreteras.
Para situarnos dentro de un mapa debemos estar en un lugar conocido, en la
intersección de dos líneas del mapa que sabemos a qué corresponden en la realidad. Por
ejemplo dos calles.
Para orientar un mapa podemos usar dos procedimientos. El primero es colocar el
plano paralelo a esas líneas que hemos reconocido. Este método es suficiente en la
mayoría de los casos. Se usa mucho para orientar planos callejeros. Una vez orientado
podemos saber la dirección que debemos tomar, el rumbo, con sólo saber a qué punto
del mapa queremos llegar. El rumbo que marque el mapa es el mismo que debemos
tomar en la realidad.
No obstante, en ocasiones no disponemos de esas ayudas, por ejemplo si estamos en
una habitación cerrada, y para orientar el mapa necesitamos de la brújula. En una
brújula debemos distinguir dos partes importantes: la aguja magnética, que siempre
señala al norte magnético, y el limbo que es la rueda donde están marcados los grados
de la circunferencia, y el norte.
En todo mapa, a no ser que se diga lo contrario, el norte está en la parte superior de la
hoja, el sur en la inferior, el este a la derecha y el oeste a la izquierda. En los mapas en
los que esto no es así aparece una rosa de los vientos indicando cual es la dirección del
Norte. Para orientar el mapa colocamos la brújula paralelamente a los meridianos, o el
borde derecho o izquierdo de la hoja si no hay dibujados meridianos. Entonces giramos
la hoja hasta que el limbo de la brújula coincida con la dirección que marca la aguja. En
ese momento tenemos el mapa orientado.
El rumbo es la dirección en línea recta, medida en grados de circunferencia, entre dos
puntos. En un mapa para conocer los grados del rumbo entre dos puntos basta con usar
un transportador de ángulos. En la realidad ese transportador de ángulos es la brújula.
Se comienza a contar desde el Norte y en sentido de las agujas del reloj. Distinguimos
tres tipos de norte, el norte geográfico o verdadero, que es el punto de intersección entre
el eje de rotación de la Tierra y su superficie. El norte magnético, que es el que señala la
brújula. A esta diferencia se le llama declinación magnética y su valor depende de
dónde estemos situados. Los buenos mapas indican cuál es el valor de la declinación
magnética para el centro de la hoja, y cuál es su variación anual. El tercer norte es el que
indica el mapa. Como hemos visto en la mayoría de las proyecciones el norte no es un
punto sino toda la línea superior del mapa, y eso hay que tenerlo en cuenta a la hora de
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hacer cálculos precisos. La diferencia en el centro de la hoja, en los mapas con
proyección UTM, entre estos tres tipos de norte es muy pequeña.
Esta diferencia entre el norte geográfico y el magnético ya la detectó Colón, pero no
fue hasta 1831 cuando se encontró el polo norte magnético. Este punto se reconoce
porque además de la declinación magnética también esixte la inclinación magmética,
que señala el centro de la Tierra. Es cero en el ecuador y de 90º en el polo magnético.
Otra manera de conocer el rumbo en la realidad, sin necesidad de orientar el mapa, es
la siguiente. Las brújulas suelen tener un lado recto y un limbo móvil. Colocamos la
parte recta entre el lugar donde nos encontramos y el lugar donde queremos ir, con la
parte posterior en el lugar donde nos encontramos. Hacemos girar el limbo hasta que
quede paralelo a los meridianos y señalando el norte del mapa. Cogemos la brújula en la
mano y la giramos hasta que la aguja magnética coincida con el norte que hemos
marcado. Entonces el lado recto de la brújula indicará la dirección que debemos seguir.
Ejercicio
10. En el mapa de una parte de la provincia de Granada, que se incluye a continuación,
identifica los distintos elementos descritos de los mapas topográficos.
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4. TALLER DE MATEMÁTICAS
1. Construcción de un panel de orientación. Coordenadas polares3
Practicar el juego que se describe a continuación. Analizar y discutir las estrategias
posibles de solución.
Material:
- Varias copias de un mapa de la región, provincia, o municipio
- Discos recortados en papel no cuadriculado
- Instrumentos de dibujo
Descripción:
Los alumnos se distribuyen en equipos. Unos reciben un mapa y otros un disco
de papel. La actividad consiste en realizar, sobre el disco, un “panel o cuadro de
orientación” para un lugar dado (marcado sobre el mapa por un punto bien visible). Este
punto se elige por los propios alumnos. Puede ser el mismo para todos o no.
Cada uno de los equipos que dispone de un mapa se asocia con un equipo de los
que tienen un disco. Los que tienen el mapa deben proporcionar a los otros los datos que
les permitan construir el panel de orientación. Se eligen primero los lugares o
localidades que figurarán sobre el panel. Se discute entre los equipos o en toda la clase,
¿Qué datos proporcionar?; ¿Qué instrumentos utilizar? ¿Cómo realizar el panel a partir
de estos datos? Una vez construido el panel, ¿cómo se debe colocar sobre el terreno?
2. El barco perdido. Coordenadas cartesianas y bipolares
Practicar el juego que se describe a continuación. Analizar y discutir las estrategias
posibles de solución según la variable didáctica “forma de la hoja”.
Material:
- Hojas de papel blanco, no rayadas, trasparentes o traslúcidas, rectangulares o con
formas irregulares. Sobre cada una de estas hojas se marca un punto en distintos lugares
en las diversas hojas.
- Instrumentos de medida.
M M
Descripción:
Se organiza la clase en equipos, en situación de comunicación entre ellos, es decir,
la actividad supone un intercambio de mensajes entre unos emisores y receptores.
3 Aides Pédagogiques pour le Cycle Moyen. (1983, p. 63)
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Se imagina que el punto marcado sobre la hoja representa un barco perdido en el mar.
El capitán (alumno o equipo) envía mensajes para señalar su posición con el fin de que
le localicen y presten ayuda.
El receptor del mensaje puede solicitar al emisor informaciones complementarias,
aclaraciones de los mensajes emitidos, precisiones, etc. Para mostrar que el mensaje se
comprende y las informaciones son “pertinentes” el receptor debe colorar un punto (de
color diferente) sobre su hoja con el fin de marcar la posición del barco que debe
identificar. La superposición de las hojas debe permitir el control de los resultados.
3. Puntos de vista
Tres objetos (una caja p, una botella, q y una jarra r) se disponen sobre una mesa
como se indica en la figura. Las imágenes que hay debajo representan vistas, según
diferentes puntos de vista. Por ejemplo, la imagen I es la vista de la dirección marcada
con ’5′.
Determinar el punto de vista de cada una de las imágenes. Algunas vistas son
FALSAS. ¿Cuáles? ¿Por qué?
4. Orientación en el espacio
1. Tres sólidos diferentes están representados en diversas posiciones: Determinar qué
sólidos son equivalentes.
Respuestas: Sólido A: 1, 3, 5,
Sólido B : ______________
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Sólido C: ______________
5.
Disponemos de una red compuesta
cubos. Cinco vértices están marcad
un cuadrado, un triángulo, una estr
círculo y un rectángulo.
de 4
os por
ella, un
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A continuación aparece la misma red en posiciones distintas. Sitúa el círculo, la estrella y el
rectángulo en cada uno de ellas.
6. Esta red de dos cubos aparece en diferentes
posiciones
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Dibuja el camino que lleva a
7 Estudiar las seis posiciones dadas de este cubo y completar su desarrollo:
8. Copiar a la derecha en el espacio punteado la figura dibujada a la izquierda,
empezando por la señal establecida:
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9. Observar bien el dibujo situado a la izquierda y plegarlo mentalmente hasta llegar a
obtener la posición indicada en el dibujo de la derecha. Completar la figura plegada
dibujando lo que le falta.
10. Problemas de escalas4
1) Busca un artlas o u mapa de carreteras que esté dibujado a una escala comprendida
entre 1:5.000.000 y 1:1.000.000.
a) Con la regla y un curvímetro (o un cordel si no tienes), mide las distancias que te
piden en el cuadro siguiente. A continuación calcula las dimensiones reales.
Madrid-Granada Valencia-Sevilla Burgos- Ávila
4 Fiol, M. L. y Fortuny, J. M. (1990). Proporcionalidad directa. La forma y el número. Madrid: Síntesis.
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Plano
Realidad
b) ¿Cuál es la población de la costa peninsular que está más cerca de Palma de
Mallorca? Expresa la distancia en millas marinas. (Una milla marina = 1.852
metros)
2) Calcula la escala en que ha sido construido un coche miniatura respecto al de verdad
si la distancia entre los ejes es de 2 cm y 280 cm, respectivamente.
3) Haz un plano a escala 1:20 de tu habitación y de los elementos más importantes.
4) ¿Cuál es la distancia real entre estas poblaciones?
Barcelona – Madrid (escala 1:1.000.000), distancia en el plano: 18,4 cm
Lérida – Viella (escala 1:500.000), distancia en el plano: 32 cm
Manresa – Vic (escala 1: 200.000), distancia en el plano: 18,4 cm
BIBLIOGRAFÍA
Aides Pédagogiques pour le Cycle Moyen. (1983), Elem-Math VII. Publication de
l’A.P.M.E.P., nº 49.
Fiol, M. L. y Fortuny, J. M. (1990). Proporcionalidad directa. La forma y el número.
Madrid: Síntesis.
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