EJERCICIOS DE ARITMETICA DE SEXTO DE PRIMARIA : RAZONES Y PROPORCIONES , REGLA DE 3 , TANTO POR CIENTO , ESTADISTICA Y PROBABILIDADES

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Razones y Proporciones

. Propiedad fundamental de proporcionalidad
. Regla de tres

. Porcentaje o tanto por ciento

. Iniciación a la estadística

. Elaboración e interpretación de gráficos estadísticos

. Medidas de tendencia central y probabilidades
I. RAZÓN
Es el resultado de comparar 2 cantidades. Estas dos cantidades pueden compararse de dos maneras hallando en cuanto excede una a la otra, es decir, restándolas, o hallando cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas.

Hay 2 clases de razones: razón aritmética o por diferencia y razón geométrica o por cociente.
Así tenemos

a. Razón aritmética o por diferencia
Razón o relación de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades. Dos cantidades pueden compararse hallando cuanto excede una a la otra, es decir, restándolas, diremos entonces calculando su razón aritmética.
Para 2 cantidades “a” y “b”, se tiene:

Ejemplo: Si tenemos 12 rosas y 9 margaritas, al compararlas por diferencia, podemos afirmar:
* 12 rosas – 9 margaritas = 3 rosas más que margaritas, o
* 9 margaritas – 12 rosas = 3 margaritas menos que las rosas.

b. Razón geométrica o por cociente
La razón de dos cantidades es el resultado obtenido al comparar dichas cantidades. Podemos compararlas dividiendo ambas cantidades, diremos entonces que estamos calculando su razón geométrica.
Para 2 cantidades: “a” y “b”, se tiene:

Ejemplo: Si tenemos 12 rosas y 9 margaritas, al compararlas por cociente, se tiene:
*
Þ Por cada 4 rosas hay 3 margaritas, o

*
Þ Por cada 3 margaritas hay 4 rosas.

En ambos casos de razones, al primer término se le llama ANTECEDENTE y al segundo término se le llama CONSECUENTE.

EJERCICIOS

1. Cite 2 números cuya razón aritmética sea 6; dos números cuya razón geométrica sea:

2. Hallar la razón aritmética y geométrica de:

a. 60 y 12 b.

c 5,6 y 3,5 d.

3. Hallar la relación entre las edades de 2 niños de 10 y 14 años.

4. La razón de dos números es . Si el menor es 20, ¿cuál es el mayor?

5. El mayor de dos números es 42 y la relación entre ambos es de 5 a 7. Hallar el número menor.

II. PROPORCIÓN
Es la igualdad de 2 razones que tienen el mismo valor o relación, así tenemos:

a. Proporción aritmética o equidiferencia
Es la igualdad de dos diferencias o razones aritméticas.

Ejemplo: Si: 7 – 4 = 3 y 16 – 13 = 3, entonces: 7 – 4 = 16 – 13 = 3
luego, si tenemos que: a – b = R.A. y c – d = R.A. podemos decir que:

Los términos de la equidiferencia se llaman EXTREMOS al primer y cuarto elemento de la proporción y MEDIOS al segundo y tercero. También de lo visto anteriormente se llaman ANTECEDENTES al primer y tercer término y CONSECUENTES al segundo y cuarto término.

Entonces en: a – b = c – d ANTECEDENTES: a y c;
CONSECUENTES b y d
EXTREMOS a y d; MEDIOS. b y c
Se observa además que:
a – b = c – d (haciendo transposición de términos)

de donde podemos tener como propiedad fundamental que “la suma de los extremos es igual a la suma de medios:
Ejemplo: 7 – 4 = 16 – 13 Þ 7 + 13 = 4 + 16 = 20

b. Proporción geométrica o equicociente
Es la igualdad de dos cocientes o razones geométricas

Ejemplo:
Si:

Luego si tenemos que:

Þ

Entonces:

luego:

de donde podemos tener como propiedad: “el producto de los extremos es igual al producto de los medios”

Ejemplo:

III. TIPOS DE PROPORCIÓN

a. Proporción discreta
Cuando los medios no son iguales, entonces tenemos:

* P.A. Discreta: 9 – 3 = 11 – 5

* P.G. Discreta:

A cualquier término se le llama CUARTA DIFERENCIAL en la PROGRESIÓN ARITMÉTICA y CUARTA PROPORCIONAL en la PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.

b. Proporción continua
Cuando los términos medios son iguales, entonces

* P.A. continua: 18 – 12 = 12 – 6

* P.G. continua:

Al término medio se le llama MEDIA DIFERENCIAL en la P. ARITMÉTICA y se llama MEDIA PROPORCIONAL en la P. GEOMÉTRICA, y a cualquiera de los extremos se le llama: TERCIA DIFERENCIAL en la P. ARITMÉTICA y TERCIA PROPORCIONAL en la P. GEOMÉTRICA.
PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Hallar el término desconocido en:

a. 50 – 42 = 25 – x b. 45,3 – x = 18 – 0,03 c.

d. e f.

g. h. i.

2. Hallar el término MEDIA DIFERENCIAL entre:

a 26 y 14 b 25,02 y 0,004 c

d. e. 8,04 y 4

3. Hallar el término MEDIA PROPORCIONAL entre:

a. 81 y 4 b. 49 y 0,25 c 0,16 y 169

d. e

En las siguientes relaciones, hallar lo que se pide

4. , además: x + y = 10; x = ?; y = ?

5. , además: a – b = 30; a = ?; b = ?

6. Si: , además: a + m = 45; b + n = 40 y m = 5. ¿Cuánto vale “n”?

7. La relación entre dos números es de 5 a 2. Hallar los números sabiendo que su suma es 49.

8. La razón de 2 números es y su diferencia 55. Hallar los números.

9. Si: , hallar: a, m y n, sabiendo que: a + m + n = 86

10. Tres números cuya suma es 240 guardan entre sí la relación de los números 2, 3 y 5. Hallar los números.

TAREA DOMICILIARIA

1. Hallar “x” en:

2. Hallar “x” en:

3. Hallar “x” en:
50 – x = x – 14,26

4. La media diferencial entre:
es:

5. La media diferencial entre: 8,16 y es:

6. Hallar “x” en:

7. Hallar “x” en:

8. Hallar la media proporcional entre:

9. Si: , siendo x – m = 20;
y – n = 45 y n = 6,
¿cuánto vale “m”?

10. Siendo: , sabiendo que:
c + d + e = 120.
Hallar “c”, “d” y “e”
“En toda proporción geométrica el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios”

• Ejemplo 1:

luego: 6 × 6 = 2 × 18

• Ejemplo 2:

luego: 2 × 25 = 5 × 10

¡AHORA HAZLO TÚ!

1. Comprueba si es o no una proporción geométrica.

a. b. c.

d. e. f.

g. h. i.

j. k. l.

m. n.

2. Aplica en cada caso la propiedad fundamental para determinar el valor de “x” en cada caso:

a. b. c.

d. e. f.

g. h. i.

j. k. l.

m. n. o.

p. q. r.

s. t. u.

CONCEPTO
Es una operación que tiene por objeto hallar el cuarto término de una proporción, cuando se conocen tres.

SUPUESTO Y PREGUNTA
En una regla de tres, el SUPUESTO está constituido por los datos del problema que ya se conoce y la PREGUNTA por los datos de la parte del problema que contiene la incógnita.

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
La más utilizada es la comparación de MAGNITUDES, según esto la Regla de Tres puede ser DIRECTA o INVERSA, si son 2 magnitudes es REGLA DE TRES SIMPLE y cuando hay 3 o más se denomina compuesta.

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

• Ejemplo:
Si 4 libros cuestan $8, ¿cuánto costarán 15 libros?

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

• Ejemplo: Si 4 hombres hacen una obra en 12 días, ¿en cuántos días podrían hacer la misma obra 6 hombres?

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Si 4 libros cuestan S/.20, ¿cuánto costarán 3 docenas de libros?

2. Si una vara de 2,15m de longitud da una sombra de 6,45m, ¿cuál será la altura de una torre cuya sombra, a la misma hora, es de 51m?

3. Los de capacidad de un estanque son 500 litros. ¿Cuál será la capacidad de los del mismo estanque?

4. Dos individuos arriendan una finca, el primero ocupa los de la finca y paga S/.6 000 de alquiler al año. ¿Cuánto paga de alquiler anual el segundo?

5. Una cuadrilla de obreros emplea 14 días, trabajando 8 horas diarias, en realizar cierta obra. Si hubiera trabajado una hora menos al día, ¿en cuántos días habrían terminado la obra?

6. Nueve hombres pueden hacer una obra en 5 días, ¿cuántos hombres más harían falta para hacer la obra en un día? ¿Cuántos hombres menos para hacerla en 15 días?

7. Un obrero tarda días en hacer de una obra. ¿Cuánto tiempo necesitará para terminar la obra?

8. Una guarnición de 500 hombres tiene víveres para 20 días a razón de 3 raciones diarias ¿Cuántas raciones diarias tomará cada hombre si se quiere que los víveres duren 5 días más?

9. Una travesía en un barco de 1 300 hombres tiene víveres para 4 meses. Si se quiere que los víveres duren 10 días más, ¿cuántos hombres habrá que dejar de lado?

10. Dos hombres han cobrado 350 soles por un trabajo realizado por los dos. Si el primero trabajó durante 20 días a razón de 9 horas diarias y recibió 150 soles, ¿cuántos días, a razón de 6 horas diarias, trabajó el segundo?

TAREA DOMICILIARIA

1. Una torre de 25,05m da una sombra de 33,40m. ¿Cuál será, a la misma hora, la sombra de una persona cuya estatura es 1,80?

2. Los de la capacidad de un estanque son 8 136 litros. Hallar la capacidad del estanque.

3. Si docena de una mercancía cuestan S/.14,50, ¿cuánto importarán 5 docenas de la misma?

4. Una casa es de 2 hermanos. La parte del primero, que es los 5/13 de la casa, está valuada en $15 300. Hallar el valor de la parte del otro hermano.

5. Una fuente dá 1 200 litros de agua en 10 minutos. ¿Cuántos litros más dará en minutos?
Se llama tanto porciento o porcentaje de un número a una o varias de las cien partes iguales en que se puede dividir dicho número; es decir, una o varias centésimas de un número. El signo para designar el tanto por ciento es “%” y se empezó a utilizar en 1685.
¡AHORA HAZLO TÚ

1. Calcular:

a. El 30% de 600 b. El 4% de 50 000
c. El 2% del 6% de 35 000 d. El 10% del 30% de 50 000
e. El 5% de 40 f. El 50% de 600
g. El 15% de 60 h. El 25% de 2 000

2. El precio de una computadora es 2 800 nuevos soles. Si compro con el 15% de descuento, ¿cuánto pagué?

3. El precio de un Play Station IV es de 750 nuevos soles. Si se compra con un descuento del 10%, ¿cuánto se paga?

4. Robert gana 1800 nuevos soles mensuales. Si el 9% de su sueldo lo destina a pagar los servicios de teléfono, ¿qué cantidad de dinero le queda para otros gastos?

5. En una granja hay 1 600 aves. Si el 45% son gallinas y el resto pavos, ¿cuántas gallinas y cuántos pavos hay?

6. En una colecta para la Cruz Roja se fija recaudar como meta 700 000 nuevos soles. Si se recaudó 630 000 nuevos soles, ¿qué porcentaje representa lo recaudado?

7. Rafael gasta 84 nuevos soles que representa el 30% del dinero que tenía. ¿Cuánto tenía?

8. En el primer concurso de TRILCE 2 006, Renzo respondió 25 preguntas correctas de una prueba de 30 preguntas. ¿Qué porcentaje de preguntas respondió correctamente?

Interés Simple

El interés es la ganancia que produce un capital a un porcentaje acordado en un tiempo determinado.

Usaremos las siguientes fórmulas:

• Ejemplo 1:
¿Cuál es el interés que produce un capital de 15 000 nuevos soles en 4 años al 25%?

Solución:
; reemplazando: Þ i = 15 000

Respuesta: S/.15 000 será el interés producido.

• Ejemplo 2:
Un capital colocado al 30% produce un interés de 6 000 durante ocho meses. ¿Cuál fue el capital?

Solución:

¡AHORA HAZLO TÚ!

1. Jackeline ahorró en un banco 2 000 nuevos soles durante 4 meses al 5%. ¿Cuánto ganó?

2. José Luis ahorró en el mismo banco 3 000 nuevos soles durante 7 meses, ¿cuál fue su ganancia? (porcentaje = 5%)

3. Alejandro ahorró por 5 años un capital de 10 000 y después retiró su capital y sus intereses. ¿Cuánto retiró en total? (porcentaje = 5%)

4. Flor depósito 8 000 nuevos soles, ¿cuánto obtuvo de interés al cabo de 120 días? (porcentaje = 15%)

5. Al 7% anual un capital de 8 000 nuevos soles, ¿cuánto generará de interés?

6. Hallar el tiempo en que estuvo colocado un capital de 15 000 nuevos soles que al 10% produjo intereses por 12 000.

7. ¿Cuál será el capital que ha producido un interés de 360 nuevos soles, al 30% mensual durante 8 meses?

I. Recolectar y luego organizar los datos en cada uno de los siguientes casos:

a. Anotar las calificaciones del curso de aritmética de la sección del sexto grado. Luego ordénalas en esta tabla.

1. ¿Cuál fue el total de alumnos encuestados?
Rpta.: ________________

2. ¿Cuántos alumnos tienen calificación AD?
Rpta.: ________________

3. ¿Cuántos alumnos tienen más la calificación A que la calificación B?
Rpta.: ________________

b. Aplicar la siguiente encuesta a tus compañeros de aula y profesores, la pregunta es: ¿en qué mes del año cumplen años? Anota los resultados en la tabla.

1. ¿Cuál es el mes en qué más personas cumplieron años?

Rpta.: ________________

2. ¿Cuál es el mes o meses en qué no hubo cumpleaños?

Rpta.: ________________

3. ¿Cuál es el número de personas que cumplen años en el mes de julio?

Rpta.: ________________

4. ¿Cuántos alumnos y profesores fueron encuestados?

Rpta.: ________________

¡AHORA HAZLO TÚ!

1. Elabora en tu cuaderno una tabla que contenga las distancias de los planetas al Sol y luego contesta las siguientes preguntas.

a. ¿Qué planeta se encuentra más alejado del Sol?
b. ¿Qué planeta se encuentra más próximo al Sol?
c. ¿Cuál es la distancia de la Tierra al Sol?

2. Aplica una encuesta a los alumnos de primaria, con la siguiente pregunta: ¿cuál es su edad? Anota los resultados en una tabla que contenga los siguientes campos: edad, conteo, total. Luego responde:

a. ¿Cuántos alumnos tienen la mayor edad?
b. ¿Cuántos alumnos tienen la menor edad?
c. ¿Cuántos alumnos superan los 9 años?
d. ¿Cuál fue el total de alumnos encuestados?

3. Elabora una tabla que contenga la población mundial por continentes. Luego responde las siguientes preguntas:

a. ¿Cuál es el continente más poblado?
b. ¿Cuál es el continente que presenta la menor población?
c. ¿Cuál es la población de América?
d. Halla la diferencia entre el número de habitantes del continente asiático y el continente americano.
e. ¿Cuál es el número de habitantes del continente europeo?
I. GRÁFICA DE BARRAS
Ejemplo:
A continuación se muestra el sueldo de una persona durante el año 2005.

3. ¿Qué procentaje de los consumidores prefieren más el producto “C” que el producto “E”?
_____________________________________________

4. ¿Cuántos de los encuestados prefieren los productos “D” y “E”?
_____________________________________________

¡AHORA HAZLO TÚ!

* La siguiente gráfica muestra el volumen de venta obtenido durante los seis primeros meses del año, de un equipo de vendedores.

1. ¿Cuál es el volumen total de venta, durante esta “Campaña de medio año”?

a. 160 000 b. 220 000 c. 200 000
d. 190 000 e. 242 000

2. Indica el promedio (aprox.) de venta mensual durante esta campaña.

a. 28 828 b. 33 300 c. 33 333
d. 30 300 e. 30 000

3. Durante cuántos meses el volumen de venta estuvo sobre el promedio mensual.

a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 1

4. ¿Cuál es el máximo volumen de venta logrado a lo largo de toda la campaña, durante un mes?

a. 35 000 b. 40 000 c. 45 000
d. 50 000 e. 60 000

5. ¿Entre qué meses el volumen de venta tuvo la caída más apreciable?

a. mayo y junio b. enero y febrero c. marzo y abril
d. abril y mayo e. mayo y enero

* La inflación en un país mostró la siguiente evolución entre febrero y junio:

6. Halla la inflación promedio durante el periodo febrero – junio (aprox.)

a. 30% b. 40% c. 45,5% d. 66,5% e. 36%

7. ¿Cuál será la inflación de julio según la tendencia mostrada?

a. 100% b. 120% c. 130% d. 150% e. 180%

* El gráfico muestra la producción (en toneladas) de dos tubérculos, en tres meses del año.

8. ¿En qué porcentaje desciende la producción de camote entre febrero y marzo?

a. 40% b. 25% c. 33% d. 45% e. 20%

9. ¿Cuál fue la producción total de papa en los tres meses?

a. 60 t b. 50 t c. 80 t d. 70 t e. 45 t

10. ¿Qué porcentaje más de camote, con respecto a la papa, se produce en enero?

a. 40% b. 50% c. 45% d. 30% e. 10%

* El gráfico muestra la producción (en toneladas) de arroz y cebada, en tres meses del año:

11. ¿En qué porcentaje desciende la producción de arroz entre febrero y marzo?

a. 40% b. 25% c. 33,3% d. 45% e. 20%

12. ¿Cuál fue la producción total de cebada en los tres meses?

a. 60 t b. 50 t c. 80 t d. 70 t e. 45 t

* Sony analiza las ventas de TV’s de 43″ en Lima Metropolitana, en las últimas 8 semanas. La información se muestra a continuación:

13. ¿Cuántos TV’s se vendieron en las tres primeras semanas?

a. 55 b. 60 c. 65 d. 70 e. 75

14. ¿En qué semana se vendió un mayor número de televisores?

a. segunda b. tercera c. cuarta
d. quinta e. sexta

15. ¿En qué semana hubo una mayor variación en las ventas?

a. 3ra y 4ta b. 5ta y 6ta c. 1ra y 2da
d. 6ta y 7ma e. 2da y 3ra

16. ¿Cuál es el promedio de TV’s que se vende por semana?

a. 19,75 TV’s b. 19,25 c. 18,25 d. 18,75 e. 19,5

* La siguiente gráfica muestra la temperatura de un paciente en el Hospital del Niño, durante el transcurso de 12 horas.

17. ¿A qué hora alcanzó el paciente la temperatura máxima observada?

a. 1 p.m. b. 2 p.m. c. 3 p.m. d. 4 p.m. e. 5 p.m.

18. ¿Durante qué periodo tuvo el paciente más de 37º de temperatura?

a. De 10 a.m. a 6 p.m. b. De 8 a.m. a 6 p.m.
c. De 2 p.m. a 6 p.m. d. De 11 a.m. a 5 p.m.
e. De 8 a.m. a 4 p.m.

19. ¿Cuál fue aproximadamente la temperatura del paciente a las 11 a.m.?

a) 37º b. 38,5º c. 37,5º d. 36º e. 38º

20. ¿Cuál fue la temperatura que más veces se presentó en el paciente?

a. 36º b. 37º c. 38º d. 39º e. 40º

21. ¿A qué hora alcanzó el paciente la temperatura mínima observada?

a. 6 a.m. b. 8 a.m. c. 12 m. d. 2 p.m. e. 10a.m.

* En el siguiente gráfico circular se muestra los resultados de una encuesta acerca de las preferencias de ciertos géneros musicales, sobre un total de 800 encuestados.

22. ¿Cuántos más prefieren salsa que rock?

a. 280 b. 240 c. 256 d. 80 e. 40

23. ¿Cuántos de los encuestados prefieren más salsa y rock, que los demás géneros musicales?

a. 280 b. 520 c. 480 d. 360 e. 240

A. MEDIA ARITMÉTICA
Viene a ser la suma de todos los datos dividida entre el número total de datos.

Ejemplo: Sean las notas de un grupo de alumnos, las siguientes:
12; 15; 12; 11; 16; 19; 12

La media aritmética es:

B. MODA
Es el número que más se repite o de mayor frecuencia en un conjunto de datos ordenados.

Ejemplo: Del ejemplo anterior: 11; 12; 12; 12; 15; 16; 19

La moda: es: 12

C. MEDIANA
Es el número ubicado en el centro de la ordenación cuando el número de datos es impar y la semisuma de los dos centrales, cuando el número de datos es par.

Ejemplo: Del ejemplo anterior: 11; 12; 12; 12; 15; 16; 19

La mediana es: 12
En la actualidad se ha inventado juegos en donde interviene el azar, es decir donde no se sabe quien va a ganar solamente se dan resultados probables.

Fórmula:

• Ejemplo 1:
Si lanzo un dado al aire, ¿cuál es la probabilidad de que me salga el número 5?

Solución:

• Ejemplo 2:
En una caja tengo 6 bolas de color verde y 4 amarillas. Sin mirar saco una, ¿cuál es la probabilidad de que me salga verde? ¿y amarilla?

Solución:

¡AHORA HAZLO TÚ!

1. Calcular la media aritmética de las notas obtenidas por un alumno de secundaria en la asignatura de aritmética en el tercer bimestre.
Nota: 12; 14; 12; 15; 12; 11; 10;11; 12; 14 y 14

2. Los ahorros mensuales, en nuevos soles, de Gabriel son:
20; 25; 20; 20; 20; 25; 40; 50; 40; 50; 40 y 30.

a. Calcula la media aritmética.
b. ¿Cuál es la moda?
c. Hallar la mediana.

3. Indica cuál es la moda del siguiente conjunto de datos:
9; 7; 5; 4; 3; 4; 9; 3; 4; 7; 8; 10; 7; 11; 7; 6; 2; 10; 7; 2; 3; 4

4. Dados los siguientes valores de las edades de algunos niños de primaria:
5; 6; 7; 7; 7; 8; 8; 9
la media aritmética, la mediana y la moda son:

5. Se lanza un dado al aire, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número par? ¿y un número impar?

6. En una bolsa hay 4 bolas azules, 5 bolas verdes y 2 negras.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola al azar salga una bola azul?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar al azar salga una bola verde?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar al azar salga una bola negra?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola al azar salga una bola azul o una bola verde?

7. En una bolsa hay 12 bolas señaladas con los números:
1; 2; 3; 4; 5; 6; . . . . ; 12

a. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola, esta tenga un divisor de 12?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola, esta tenga un múltiplo de 3?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola, esta tenga un número menor que 10?

8. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número:

a. múltiplo de 2.
b. divisor de 5.
c. menos que 4.

9. Si lanzamos una moneda al aire:

a. ¿Qué probabilidad hay de qué salga cara?
b. ¿Qué probabilidad hay de que salga sello?