EJERCICIOS DE ALGEBRA PARA NIÑOS DE SEXTO DE PRIMARIA

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. Operaciones combinadas en Z
(Multiplicación y División)

. Repaso de operaciones combinadas en Z
. Potenciación y Radicación utilizando variables
. Igualdades exponenciales

. Simbología algebraica

. Expresiones algebraicas

. Términos semejantes

. Reducción de términos semejantes
. Monomios, Grado relativo y absoluto

. Adición y sustracción algebraica de monomios
. Polinomios, grado relativo y absoluto,
homogeneidad

. Adición de polinomios

. Sustracción de polinomios

. Repaso (monomios, grados y reducción)

. Repaso (reducción de términos semejantes)
. Multiplicación de un monomio por un polinomio
. División de un polinomio entre un monomio

. Notación polinómica – Valor numérico

. Resolución de ecuaciones en Z – I

. Resolución de ecuaciones en Z – II

. Repaso de ecuaciones I

. Repaso de ecuaciones II
CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 – 1855)

“El príncipe de los matemáticos”

La apacible vida de un genio precoz
El viejo párroco de la iglesia de Wendergraben, en Brunswick, Alemania, procede a inscribir en el registro parroquial al más reciente de sus nuevos feligreses: Johann Friedrich Carl; se trata de un niño varón, nacido cuatro días antes del mes de abril, el hijo de un humilde matrimonio, la pareja formada por Geghard Dietrich Gauss y Dorothea Benze, ambos de 33 años.

Con el paso de los años, este niño abandonará su primer nombre Johann y será conocido en toda Europa como Carl Friedrich Gauss, así es como firmará sus obras.

A los siete años, tras serios esfuerzos de Dorothea para convencer al padre, Gauss ingresa en la escuela primaria, una vieja escuela, la Katherinen Volkschule, dirigida por J.G. Büttner, donde compartirá aula con otros cien escolares. La disciplina férrea parecía ser el único argumento pedagógico de Büttner, y de casi todos los maestros de la época.

A los nueve años, Gauss asiste a su primera clase de Aritmética, Büttner propone a su centenar de pupilos un problema terrible: calcular la suma de los cien primeros números. Nada más terminar de proponer el problema, el jovencito Gauss traza un número en su pizarrín y lo deposita en la mesa del maestro exclamado: “Ligget se!” (¡Ahí está!). Había escrito 5 050. La respuesta correcta.

Ante los ojos atónitos de Büttner y del resto de sus compañeros, Gauss había aplicado, por supuesto sin saberlo, el algoritmo de la suma de los términos de una progresión aritmética. Se había dado cuenta de que la suma de la primera y última cifra daba el mismo resultado que la suma de la segunda y la penúltima, etc., es decir: 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ….. = 101

Como hay 50 parejas de números de esta forma el resultado se obtendrá multiplicando: 101 × 50 = 5 050
“Ligget se!”

1 + 2 + 3 + 4 + …………………. + 100 = 5 050

“El álgebra es generosa:
a menudo da más
de lo que se le pide”
Jean le Rond D’alembert
Filósofo, físico y matemático francés del siglo XVIII
A lo largo de la historia, la Matemática ha mantenido una evolución en todas sus áreas permitiendo al hombre hacer fuerte a problemas que en cuyo inicio fueron originado por situaciones cotidianas y que posterior-mente surgieron a raíz de la propia evolución de esta ciencia.

El Álgebra, siendo una de las principales áreas de la Matemática, tuvo un inicio que se remonta aproximadamente al año 3000 a.C. Fue la cultura babilónica la que dejó indicios en sus “tablas cuneiformes” sobre las nociones básicas para la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado.

Posteriormente, Diofanto (325 – 410 d.C.) en su obra “Aritméticas”, difunde la teoría sobre las ecuaciones de primer y segundo grado influenciado por los trabajos de los babilonios.

Luego, durante la Edad de Oro del mundo musulmán, a la cual corresponde la Edad Media del Mundo Occidental, aproxima-damente 700 – 1200 d.C., el árabe fue la lengua internacional de las matemáticas. Los matemáticos árabes conservaron el patrimonio matemático de los griegos, divulgaron los conocimientos matemáticos de la India, asimilaron ambas culturas e hicieron avanzar tanto el Álgebra como la Trigonométria.

Es durante esta época que surge la fi-gura de Mohammed ibn Musa Al – Khwarizmi (780 – 850 d.C.) llamado por algunos “Padre del Álgebra”. Escribió varios libros sobre Geografía, Astronomía y Matemáticas.
En uno de sus libros “Al – jabr – wa’l muqäbala”, aparece la palabra “Al Jabr” de la cual deriva la palabra “ÁLGEBRA”. “Al Jabr” significa “restauración”, refiriéndose al equilibrio de una ecuación mediante la transposición de términos. “Muqäbala” significa “simplificación”, refiriéndose a la reducción de términos semejantes en cada miembro de una ecuación.

Otros matemáticos que dieron gran impulso al desarrollo del Álgebra, fueron: Niccolo Fontana, llamado TARTAGLIA (“El Tartamudo”), matemático italiano que centró su trabajo en la ecuación cúbica.

Girolamo Cardano, en su obra “Ars Magna” publica un resultado similar a TARTAGLIA. Ludovico Ferrari, trabajó investigando las ecuaciones de cuarto grado. Francois Vietté emplea las letras en el Álgebra, utilizando las primeras (a, b, c, …) para representar cantidades conocidas, y las últimas (z, y, w, x, ….) como incógnitas.

Como habrás visto, todos los matemáticos mencionados son extranjeros, sin embargo, también existieron matemáticos peruanos que trabajaron para el desarrollo del Álgebra; podemos mencionar a Cristóbal de Losada y Puga, Godofredo García, José Tola Pasquel y principalmente Federico Villareal.

1. ¿Qué cultura es considerada como la iniciadora del Álgebra?
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2. ¿En qué temas basó su investigación DIOFANTO?
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3. ¿Cuándo nació aproximadamente Al – Khwarizmi?
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4. Del año 700 al 1200 d.C., la lengua internacional de la Matemática fue:
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5. ¿Quién es considerado “Padre del Álgebra”?
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6. ¿Sobre qué materias escribió Al – Khwarizmi?
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7. ¿De dónde se deriva la palabra ÁLGEBRA?
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8. ¿Qué significa la palabra “Al – jabr”?
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9. ¿Qué otros matemáticos impulsaron el desarrollo del Álgebra?
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Reducción de términos semejantes I

I. Completa lo siguiente:

1. El __________________ es una de las partes de la Matemática que estudia a las cantidades haciendo uso de números y letras a la vez.

2. Las ___________________ se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas.

3. ____________________________, son aquellos que tienen la misma parte literal, afectado de los mismos exponentes.

4. Son ______________________ o signos de __________________ los corchetes, ______________________ y ________________________.

Términos semejantes
Son aquellos que presentan la misma parte literal, es decir, las mismas variables elevados a los mismos exponentes.

Son los únicos que se pueden sumar o restar.

Ejemplos:

a. 4a2b3x4 ; – 6a2b3x4 ; a2b3x4 ; -8a2b3x4

b. 6x2m4 ; 5m4x2 ; m4x2

c. 7×3 ; x3 ; -7×3 ; -5×3 ; 6×3

d. 5x ; -9x ; 17x ;

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Reducir dos o más términos semejantes, significa expresar a todos ellos mediante un slo término, mediante la adición o sustracción.
Ejemplos:

a) 2a + 5a = 7a b) 8b – 3b = 5b c) 5×2 – 2×2 = 3×2

Reducir dos o más términos semejantes, significa expresar a todos ellos mediante un sólo término.

Ejemplos:

1) – 6ax + 9ax – ax – 2ax + 18ax = – 9ax + 27ax
= + 18ax
2) 4x + 9x + 7x = 20x
3) 12×5 – 7×5 + 3×5 = 8×5
4) 14x2y3 + 12x2y3 – 25x2y3 = x2y3

Reducción de términos semejantes suprimiendo signos de agrupación

– Se suprimen sucesivamente dichos signos empezando de preferencia por el signo de agrupación más interior.
– Si en una expresión al suprimir signos de agrupación precedidos del signo más deberá escribirse con su mismo signo cada uno de los términos que se encuentran dentro de él.
– Si en una expresión al suprimir signos de agrupación precedidos del signo
menos deberá escribirse con signo cambiado cada uno de los términos que se encuentran dentro de él.

Ejemplos:

a. 3x + (4x + 6x) b. 3m – (6m – 4m) + 2m
3x + 10x 3m – 6m + 4m + 2m
13x 3m

c. -2m – [3m + 4m – (6m + 8m) – 4m + m]
-2m – [3m + 4m – 6m – 8m – 4m + m]
-2m – 3m – 4m + 6m +8m + 4m – m]
8m
1. MONOMIOS
Un monomio es un polinomio de un solo término, donde los exponentes de sus variables son números naturales.

Ejemplo:
12x7y3 ; -3x4z ;

2. GRADOS DE UN MONOMIO
Cuando el monomio presenta dos o más variables, se consideran dos grados, que son:

a. Grado absoluto (GA)
Cuando se refiere a todas las variables y está dada por la suma de los exponentes de las variables.

b. Grado relativo (GR)
Cuando se refiere a una sola variable y está dado por el exponente de la variable indicada.

Ejemplo:

En: M(x;y) = 2x8y5 En: P(x;y;z) = 3ax4y6z9
GA = 8 + 5 = 13 GA = 4 + 6 + 9 = 19
GR(x) = 8 GR(x) = 4
GR(y) = 5 GR(y) = 6
GR(z) = 9

En: F(x;y) = -5x10y6 En: R(x;y;z) = 2a4xy3z6
GA = 10 + 6 = 16 GA = 1 + 3 + 6 = 10
GR(x) = 10 GR(x) = 1
GR(y) = 6 GR(y) = 3
GR(z) = 6

Observación: Si el monomio presenta una sola variable el grado absoluto y el grado relativo son iguales.

M(x) = 3×8 P(x) = -12×5
GA = 8 GA = 5
GR(x) = 8 GR(x) = 5

¡AHORA HAZLO TÚ!
1. Dados los siguientes monomios, determinar el valor pedido:

a. M(x) = 3×7 GA = ____

b. P(x;y) = -4x3y6 GA = ____

c. GA = ____

d. J(x;y;z) = 15x2y8z3 GA = ____

2. Dados los siguientes monomios, determinar el valor pedido:

a. M(x) = 13×5 GR(x) = ____

b. P(x;y) = -4x2y7 GR(x) = ____
GR(y) = ____

c. R(x;y) = 2×3(y4)2 GR(x) = ____
GR(y) = ____

3. Para el siguiente monomio:
Q(x;y) = -5x3a + 1y2a + 1
se sabe que GR(y) = 11, determinar el valor de “a”

Rpta.: ________
4. Hallar “a” si el G.A. en:
P(x;y) = 7xa + 3y7
es 16

Rpta.: ________

5. Para el siguiente monomio:
A(x;y) = xa + 1ya – 1
hallar “a” si el GA = 12

Rpta.: ________

6. Si en el siguiente monomio:
P(a;b) = 5anb3n
hallar “n” si el GA = 20

Rpta.: ________

7. Si en el siguiente monomio:
P(a;b) = 2a5bn + 3
se sabe que GA = 12, calcular GR(b)

Rpta.: ________

8. Para el siguiente monomio:
Q(x;y) = xnyn + 5
se cumple que: GA = 9, calcular GR(x)

Rpta.: ________
9. Para el siguiente monomio:
Q(x;y) = 2xa + 1yb + 6
se cumple que: GR(x) = 5; GR(y) = 8, calcular “ab”

Rpta.: ________

10. Calcular el grado absoluto del siguiente monomio:

Rpta.: ________

11. Si en el siguiente monomio:
P(a;b) = 5a2n + 1bn
se sabe que: GA = 10, calcular: GR(b)

Rpta.: ________

12. Si: GR(y) = 5, determinar el GA de M(x;y), si: M(x;y) = 2axa + 6ya

Rpta.: ________

13. Si: GR(x) = 30, determinar el GA de P(x;y), si: P(x;y) = x3aya + 1

Rpta.: ________

14. Hallar el grado del siguiente monomio:
M(x;y;z) = (x2y3)5z2

Rpta.: ________

15. Para el siguiente monomio:
P(x;y) = 2xn + 1y4n + 1
se cumple que: GA = 12. Calcular GR(x)

Rpta.: ________
16. Calcular el valor de “m”, si el monomio:
M(x;y;z) = xmy2mz10
es de GA = 36

Rpta.: ________

17. Si los monomios:
M(x;y) = xa + 3y2 ; N(x;y) = x4y4
poseen el mismo grado absoluto, indicar el valor de “a”

Rpta.: ________

18. Si los monomios:
M(x;y) = xa + 5y7 ; N(x;y) = x2ay4
poseen el mismo grado absoluto, indicar el valor de “a”

Rpta.: ________

19. En el monomio:
P(x;y) =xa + 2y2a + 5
se tiene que GA = 10, hallar GR(x)

Rpta.: ________

20. Si: GR(y) = 6, determinar el GA de M(x;y), si:
M(x;y) = -5x2a + 1y2a

Rpta.: ________

21. Si: GR(x) = 8, determinar el GA de M(x;y) si:
M(x;y) = -4a2xa + 5ya + 2

Rpta.: ________

22. Si: GR(z) = 4, determinar el GA de M(x;y;z), si:
M(x;y;z) = -7xa + 2y2az3a + 1

Rpta.: ________

23. Si: GR(x) = m + 2, determinar el GA de M(x;y), si:
M(x;y) = 2006x16ym – 10

Rpta.: ________

24. Si: GR(y) = n + 5, determinar el GA de M(x;y), si:
M(x;y) = 2a4xn + 5y16

Rpta.: ________

25. Encontrar el valor del coeficiente del siguiente monomio:
R(x;y) = (a + 2)x3y5 + a
si: GA = 12

Rpta.: ________

26. Determinar el GA del siguiente monomio:
M(x) = 2006x1x2x3x4…..x20

Rpta.: ________

27. Si:
hallar el G.A.

Rpta.: ________
î ADICIÓN DE MONOMIOS
Para sumar dos o más monomios se escriben uno a continuación de otro, con sus respectivos signos, luego se reducen términos semejantes. Ejemplo:

1. Sumar: 3a ; 8b y c 2. Sumar: 9a y -5b
3a = +3a ; 8b = +8b ; c = +1c 9a = +9a ; -5b = -5b
La suma sera: 3a + 8b + 1c La suma será: 9a + (-5b)
9a – 5b

3. Sumar: 3xy2 y 5xy2
La suma será: 3xy2 + 5xy2
8xy2

î SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS
Para restar dos monomios, se escriben en primer lugar el monomio minuendo con su respectivo signo y a continuación se escribe el monomio sustraendo, con el signo cambiado, si son semejantes se reducen. Ejemplo:

1. (5a2b2) – 2a5b 2. Restar: 3×2 de 10×2
5a2b2 – 2a5b 10×2 – 3×2
7×2

3. De 8xy restar 2xy 4. Restar: 7x de 5x
8xy – 2xy 5x – (7x)
6xy -2x

5. Restar -6x de -2x 6. De 4×3 restar -15×3
POLINOMIO
Un polinomio es una expresión algebraica racional entera, siendo los exponentes de sus variables enteros positivos incluido el cero. Ejemplo:

* P(x;y) = 2×2 + y3
* Q(x;y) = 8×4 + 2xy3 – y2

Nota:
– El polinomio de un término recibe el nombre de monomio.
– El polinomio de dos términos recibe el nombre de binomio.
– El polinomio de tres términos recibe el nombre de trinomio.

GRADOS DE UN POLINOMIO

a. Grado absoluto
Es cuando se refiere a todas sus variables, está dado por el mayor grado absoluto de un término del polinomio.

b. Grado relativo
Cuando se refiere a una sola variable, está dado por el mayor exponente de la variable en el polinomio.

Ejemplo:

a. Dado el siguiente polinomio

GA = 11

Exponentes de la variable “x”: 4 y 6
GR(x) = 6

Exponentes de la variable “y”: 7 y 3
GR(y) = 7

b. Dado el polinomio:

GA = 24

Exponentes de la variable “x”: 6, 3 y 5
GR(x) = 6

Exponentes de la variable “y”: 12, 11 y 19
GR(y) = 19

POLINOMIO HOMOGÉNEO
Es aquel polinomio cuyos términos están constituidos por más de una variable y presentan el mismo grado.

Ejemplo:

a. Dado el polinomio:

Es homogéneo de grado “8”

b. Dado el polinomio homogéneo

indicar “a + b”

se cumple: a + 9 = b + 5 = 17
a = 8
b = 12
1. Indicar el grado relativo de “x” en el siguiente polinomio:
P(x;y) = -3×6 + 2x4y7 + 5x7y2

Rpta.: __________

2. Indicar el grado relaltivo de “y” en el siguiente polinomio.
Q(x;y) = 7x6y5 – 20x9y3 + 13xy6

Rpta.: __________

3. Dado el polinomio: S(x;y;z) = x9 + 12x7y4 – 3z8y5 + 7x11y3z7
indicar el valor de: E = GA + GR(y) – GR(z)

Rpta.: __________

4. Dado el polinomio: U(x;y) = 25x4y16 + 13x7y12z2 + 4x16y2z5
indicar el GA

Rpta.: __________

5. Sea: P(x;y) = 3xa + 2 + yb – 1
si: GR(x) = 7 y GR(y) = 4; calcular “ab”

Rpta.: __________

6. Sea: P(x;y) = -3xa + 5 – y2b
si: GR(x) = 6, GR(y) = 12; calcular “a + b”

Rpta.: __________
7. Sea: P(x;y) = 4x2yb + 7x4y7 – 5x5y3
se sabe que: GR(y) = 10. Determinar el GA de P(x;y)

Rpta.: __________

8. Dado el polinomio homogéneo: P(x;y) = x20y10 + x19y11 + x5ya + x4yb
hallar el valor de “a + b”

Rpta.: __________
9. Indicar el grado absoluto del siguiente polinomio:
F(x;y) = (x2y3)1 + (x2y3)2 + (x2y3)3 + (x2y3)4 + ……….. “20 términos”

Rpta.: __________

10. Hallar el GR(x) en el siguiente polinomio de 2006 términos:
A(x;y) = y + yx + yx2 + yx3 + yx4 + …

Rpta.: __________

11. Dado el polinomio homogéneo: P(x;y) = x5y3 + x4yd + x3ya + (xyb)2 + xyc
indicar el valor de “a + b + c + d”

Rpta.: __________

12. Hallar “2m + n”, si en el siguiente polinomio:

se cumple que: GR(y) = 8 Ù GR(x) = 3

Rpta.: __________

13. Hallar “m”, si el polinomio: P(x) = 5mxm + 1 – 2xm + 3 – xm + 5
posee GA = 12

Rpta.: __________

14. Si: GR(y) = 15 en el siguiente polinomio: M(x;y) = 3x2aya + 2 + 5x10ya + 9
hallar el GR(x)

Rpta.: __________

15. Dado el polinomio: P(x;y) = xm + 30yn + xm + 25y10 – n
si: GR(x) = 35, hallar el GA si el exponente de “y” es el mismo en ambos términos.

Rpta.: __________

16. Dado el siguiente polinomio homogéneo: P(x;y) = xa + by5 + c + x5 + by10 + a + x30
indicar el valor de “a + b – c”

Rpta.: __________

17. Encuentre el grado absoluto de: P(x;y) = xn + 4yn + 5 + xn + 1yn + 7; n Î N
si: GR(x) = 10

Rpta.: __________

18. Si tenemos el polinomio:
calcular GR(a) + GR(b)

Rpta.: __________

19. Hallar “m” Î N, sabiendo que el polinomio “P(x)” es de grado 36.
P(x) = 3(x5m + 3)2 + 7(xm + 1)3

Rpta.: __________

20. Indicar la suma de coeficientes del polinomio: P(x;y) = axa – 2yb – 3 + bxa + 1yb
siendo: GR(x) = 10 y GA = 16

Rpta.: __________

21. Si el polinomio es homogéneo: P(x;y;z) = xm + 4yn + 6 + xm + zz15 + xn – 1z32
hallar “n – m”

Rpta.: __________1. Considerando los siguientes polinomios:
A(x) = 3×2 – 5x + 2
B(x) = 4×3 + 3×2 + 2x – 5
C(x) = -4x + x3 + 3
D(x) = 2×4 + 5×2 – 7
Calcular:

a. B(x) + C(x)
b. A(x) + D(x)
c. B(x) + D(x)
d. A(x) + C(x)
e. A(x) + B(x) + C(x)
f. B(x) + 2C(x)
g. D(x) + 3C(x)
h. 2D(x) + C(x)
i. 2A(x) + 5B(x)
j. 2C(x) + D(x) + A(x)

2. Si: A = 4a + 3b – 2c + 6d
B = 5a – 2b + c – 4d
hallar: 2A + 3B

Rpta.: _______

3. Dados los polinomios:
A = x2 + x + 1
B = x2 – x + 1
C = -x2 + 1
hallar: A + B + 2C

Rpta.: _______
4. Sumar:
3a + 5b + c ; 4a + 2b – c

Rpta.: _______
5. Sumar:
p + q + r ; -2p – 6q + 3r ; p + 5q – 8r

Rpta.: _______

6. Resuelve las siguientes adiciones de polinomios:

a. El resultado de sumar: 3×2 – 8x + 1 con el doble de: x2 + 4x + 2 es:

Rpta.: _______

b. ¿Cuál será el resultado de sumar el triple de: a2 – 4ab – b2 con el doble de: a2 + 3ab + b2

Rpta.: _______

7. Si: P(x) = x3 + 3×2 + 2x + 3
Q(x) = -2×3 – 4×2 – 4x + 2
determinar el valor de:
A = 2P(x) + Q(x)

Rpta.: _______

8. Si: P(x) = 5 – 9x + 8×2 – 7×3 + 6×4
Q(x) = – 5×4 + 8×3 – 7×2 + 3x – 4
Para restar polinomios, se escribe el polinomio minuendo con sus respectivos signos y a continuación el polinomio sustraendo, cambiando el signo de cada uno de sus términos; si hay términos semejantes se reducen. Ejemplo:

a. De: 4x – 2y + 5z restar: 3x + 4y + z

b. Restar: 4a3 + 6b2 + a – 5 de: 8a3 + 10b2 + 6a

c. Si: P(x) = 4×3 + 3×2 – 2x – 1 ; Q(x) = -5×2 + 3x + 2
determinar el valor de: P(x) – Q(x)

d. Si: P(x) = x2 + 3x + 2 ; Q(x) = x2 + x – 1
determinar el valor de: P(x) – 3Q(x)

¡AHORA HAZLO TÚ!

1. Considerando los siguientes polinomios:
A(x) = 3×2 + 4x – 6
B(x) = x2 – 2x + 3
C(x) = 2×2 + x + 2

calcular:

a. A(x) – B(x) b. C(x) – B(x) c. A(x) – C(x)
d. A(x) – B(x) – C(x) e. 3C(x) – 2B(x) f. 2A(x) – 3C(x)
g. A(x) – 3B(x) h. A(x) – 4C(x) i. 2A(x) – 4B(x) – C(x)
j. A(x) – [B(x) – C(x)]

2. Efectuar: (6a3b4 + 2×3 + 3mn) – (-mn + 2×3 – a3b4)

3. Efectuar las siguientes restas de polinomios.

a. De 5m3 – 9n3 + 6m2n – 8mn2 restar 14mn2 – 21m2n + 5m3 – 18
b. De -a5b + 6a3b3 – 18ab5 + 42 restar -8a6 + 9b6 – 11ab5 – 11a5b

4. Resuelve las siguientes sustracciones de polinomios:

a. Restar el polinomio: 2×4 + 3×3 + 2×2 + 3x + 2 del polinomio:
3×4 + 2×3 + 3×2 + 2x + 3
b. Indicar el resultado de restar la suma de x3 + 3×2 + x + 2 con: x2 – 3×2 + x – 2; de la suma de 2×3 + x2 + x + 1 con: x3 + x2 + 2x – 6

5. Si: A = x2 + 6x + 1 ; B = 3×2 – 5x + 2 ; C = 4×2 – 6x – 1
calcular: C – A – B

6. Si: P(x) = 5×4 + 2×3 – 3×2 + x + 5 ; R(x) = -5×3 + 2×2 – 6x – 6
calcular: B = P(x) – R(x)

7. Si: P(x) = 4×2 – 5×2 + x ; R(x) = 6×2 – 3x – (y2 – x)
calcular: P(x) – R(x)
Reducir dos o más términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes de los términos, dependiendo del signo, transformándolo en un solo término. Ejemplo:

1. 9x + 7x + 3x = 19x 2. 13x – 7x = 6x
Signos iguales se suman Signos diferentes se restan
queda el mismo signo queda el signo del mayor

3. 8x + 3y – 2 + (7 + x – y) 4. 7x + 2y – 3 – (9 – 4x + y)
8x + 3y – 2 + 7 + x – y 7x + 2y – 3 – 9 + 4x – y
9x + 2y + 5 11x + y – 12

¡AHORA HAZLO TÚ!

I. Reducir los siguientes términos semejantes:

1. 3x + 2x + x – 5x + (3x – 2x – x)

2. 4a + (7a – a + 5a)

3. -2x – (3x + 2x – x) + 8x

4. -4y3 – [2y3 + y3 + (3y3 – 4y3)]

5. -3z – {-2x + 8z} + [8x – 5m + 9z] – 15x

6. – { – [3a + 6x – (2m – 5x)] – [-5z – 8m + 6a – (7x – 6m)]}

7. 2×3 – {3×3 + 5x – (2×3 + x3 – 3x)} – [5×3 – x + (2x – 3×3 + x)]

8. [a + b + (2a – 3b)] + [5b – 4a – (3b – 7a)]

9. {10a2 – 3a + 1 – (5a2 – a – 4)} – {5a2 – 1 + a2 – [6a2 – a + 1 – (5a + 7 – a2)]}

10. {a2 + 2ab + 1 – [3a2 – 5ab – 1 – (6a2 + 7ab – 6)] – 2ab} – [3a2 – 6 + (ab – a2)]

II. Reducir los siguientes términos semejantes:

1. – a + {2a – 3b + [4a – 5b – (6b – 7a)]}

2. 3a2 – 2a + 1 – {3 – 2a + a2 – [3a + a2 – 1 + (3a2 – 2 + a)]}

3. x2y3 + 2x2y3 – { – [3x2y3 + 4x2y3 + … + 20x2y3]}

4. 5a2b + 7ab2 – 2a2b – 8ab2 – [9a2b – 6ab2 – (a2b – ab2)]

5. – { – [3a + 6x – (2m – 5x)] + [-5z – 8m + 6a – (7x + 6m)]}

6. 5a + 4b + 3a + 2b + a – a – 2b – 3a – 4b – 5a

7. +10x – 20x + [3×5 – 10x + 3×5] – 6×5 + 20x

III. Comparar:

1. Sean “t1″ y “t2″ dos términos semejantes, ¿qué valor debe tener “m”?

Rpta.: ___________

2. Sean “t1″ y “t2″ dos términos semejantes, ¿qué valor debe tener “a”?
t1 = xa + 5y7;

Rpta.: ___________

3. En la siguiente expresión se tienen tres términos semejantes:
5xa + b + 3×3 – 7xb + 1
al reducir a un solo término se obtiene:

Rpta.: ___________
NOTACIÓN POLINÓMICA
Un polinomio cuya única variable es “x” puede ser representado así: P(x)
Se lee: “P de x” o “P en x”
Significa: Polinomio cuya única variable es “x”

Por lo tanto:
1. M(x;y) = -2x4y5
será un monomio de variables: “x” e “y”

2. P(x;y;z) = 3a2bx4y5z3
será un monomio de variables: “x”, “y”, “z”

Nota: “a” y “b” se llaman constantes y forman parte del coeficiente del monomio.

3. P(x) = 3×4 + 2×3 – 2×2 + x – 7
será un polinomio de 5 términos, cuya variable es “x”.

4. P(x,y) = -x2 + y3x4 – 7x2y7 – m
será un polinomio de 4 términos cuyas variables son “x” e “y”

VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO (V.N.)
Se llama así al número que se obtiene al reemplazar su variable o variables, por los valores numéricos que se dan.

Ejemplo:
a. Si: P(x) = 3×2 + 1; hallar P(2)
Solución: como: P(x) = 3×2 + 1
entonces: P(2) = 3.(2)2 + 1 = 13

b. Si: P(x;y) = -x2y + 3x; hallar P(1;2)
Solución: como: P(x;y) = -x2y + 3x
entonces: P(1;2) = -(1)2(2) + 3(1) = 1

c. Si: M(x) = 7b2x3; hallar: M(5)
Solución: como: M(x) = 7b2x3
entonces: M(5) = 7b2(5)3 = 875b2

AHORA HAZLO TÚ

1. Sean los polinomios:
P(x) = 2×2 – x + 1
Q(x) = x + 3
H(x) = 2x – 3×2
calcula cada siguiente caso:

a. P(2) = b. Q(-1) =

c. H(2) = d. A = P(1) + Q(1)

e. B = Q(6) – H(3)

Ahora en el cuaderno:

2. Si: P(x) = 3x – 4; halla: P(0) + P(2) + P(4)

3. Conocido: F(x) = 5x – 3; calcula: F(3) + F(1)

4. Si: Q(x;y) = 2xy – y2, calcula: Q(3;2)

5. Sabiendo que: M(x) = 3×2 – x + 1 y N(x) = 5x – x2 + 3, calcula: M(3) + M(4)

6. Si: P(x) = 3×2 – x – 3 y Q(x) = x2 – x + 1; calcula: P(3) + P(1) – Q(3)

7. Sabiendo que: G(x;y) = 2x + xy – y2
calcula: G(0;1) + G(1;2) + G(-1;-1)

8. Si se sabe que: P(x) = 2x – 3 y G(x) = 3x + 2
calcula: M(P(1) + P(2)), donde M(x) = x

9. Dado: H(x) = 3x – (x – 2)2; halla: H(4) – H(12)

10. Para que valor de “n” se cumple que: F(0;3) = n + G(2;5)
donde: F(x;y) = x10 + y; G(x;y) = 3x – 5y

11. Sabiendo que el monomio: M(x;y) = 3xn + 1ym + 2
tiene grado relativo respecto de “x” igual a 6 y grado relativo respecto de “y” igual a 9. Halla “m + n”

12. Se sabe que el monomio: N(x;z) = 25xa + 2z2a – 1
es de grado relativo respecto de “x” igual a 12. Halla el grado relativo respecto de “z”.

13. Sabiendo que el polinomio: P(x) = 2xn + 3 + xn + 2 + x
es de grado absoluto igual a 5. Calcula el valor de “n”.

14. Halla el valor de “a + b” si: GR(x) = 8 y GR(y) = 6, si:
P(x;y) = 2xa + 2 + 3xy3 + b

15. Si el polinomio: P(x) = 3(x2)3(2xn)
es de grado relativo respecto a “x” igual a 13, halla: 2n + 6.

* Ecuación
Es una igualdad condicional que presenta una o más incógnitas.

Solución: Valor que verifica a toda la ecuación.

* Ejemplo:
Sabiendo que la solución de la ecuación en “x” es 3, calcular “a”
2(2a + x) = -[-(3a – x)] + 4

Resolución:
Del dato: x = 3, ahora reemplazamos en la ecuación:

* Ahora para resolver una ecuación se trabaja:

– 1er paso
Se trabajan los paréntesis, llaves, corchetes.

– 2do paso
Se transponen términos (hacia el mayor)

– 3er Paso
Se reducen términos semejantes.

– 4to Paso
Se despeja la incógnita.

AHORA HAZLO TÚ

I. Resuelve en tu cuaderno

1. 3x + (5 – 2x) + 4 = 6
2. 4x – (5 – 7x) – 6 = 11
3. -3x + 2 – (x + 3) = -5x + 4
4. 4 + 5x – (3 – 3x) = 6x – 7
5. 8 – 5x + 3(2 + x) = -(x + 6)
6. 9 – 3x + 2(3 – x) = -5(x + 4) – x
7. 5 – (3y – 6y – 8) – 7y = 2y + 16 – 9
8. 3(y – 4) = (3y – 5 – 4y) – (2 – 5y + 10)
9. 2m – (3 – 9m + 8) = 35 – (3m – 62 + 4m)
10. 8 – (7m – 4) – 36 = -5m – [4m – (8 – 2m)]
11. 3(x + 1) – 5(x + 5) = 4(1 – 2x) – 2(x – 3)
12. 5z – 7(z – 1) = -{2(z – 3) + z}
13. 3(x + 6) + 3 = 3 + 5(x – 4)
14. 11 + [3(x + 2) + 4] = [6(-2x – 2) + 1] – 13
15. 4 + 12(2x + 1) = 2 + 3(-2x + 8)

II. Resuelve los siguientes problemas:

1. Si: x = 3; es la solución de la ecuación: 3(x + a) – (5x + 2a) = 8
calcular “a”

2. La solución de la ecuación en “x”: 2x – a + (5x – a) = 3x – a; es 1
calcular “a”

3. Hallar “a”, si la solución de la ecuación en “x”: 4 – (5x – 3a) = 3 – 4(x + a)
es -2

4. Calcular “m” si la ecuación en “x”: 3(x – 4m) + 4m = 6x – 7m
tiene como solución: x = 4

Para resolver este nuevo tipo de problemas se trabajará:

– 1er paso
Se calcula el m.c.m. de los denominadores

– 2do paso
Se multiplica a cada uno de los términos por el m.c.m.

– 3er Paso
Se reducen términos semejantes (transponiendo términos)

– 4to Paso
Se despeja la incógnita.

AHORA HAZLO TÚ

I. Hallar el valor de “x” en cada caso: