ECUACIONES Y PROPORCIONALIDAD EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICA 8 – OCTAVO AÑO PDF

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• Variables dependientes e independientes
• Relación directamente proporcional
• Representación de una relación
directamente proporcional
• Relación inversamente proporcional
• Representación de una relación
inversamente proporcional
• Modelos matemáticos de proporcionalidad
directa
• Modelos matemáticos de proporcionalidad
inversa
• Funciones
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En esta unidad aprenderás a:
Identificar variables dependientes e independientes.
Reconocer cuándo dos variables están relacionadas en forma directa o inversamente
proporcional.
Construir tablas y gráficos de relaciones directa e inversamente proporcionales.
Distinguir relaciones proporcionales de relaciones no proporcionales.
Reconocer modelos matemáticos de proporcionalidad directa e inversa.
Identificar relaciones que son funciones.
Actividad inicial
Cotidianamente nos vemos en la necesidad, muchas veces sin darnos cuenta, de
dar solución a situaciones que relacionan variables que se condicionan una a la otra
bajo determinadas pautas matemáticas. Amplificar la cantidad de ingredientes en
una receta de cocina, calcular la cantidad de provisiones necesarias para una semana,
conociendo la requerida para un día, o determinar el costo de una visita al cine
si un grupo de amigos aparece a última hora, son situaciones que la mayoría de las
veces resolvemos por métodos meramente intuitivos. Pero, ¿existe un procedimiento
matemático formal para resolverlas?
Formen grupos de tres personas y luego realicen las actividades que se presentan
a continuación.
A Lean la historieta y luego contesten las preguntas de la página siguiente:
Los niños, además de muchos huevos, disponen de:
a) Escriban la razón entre la cantidad de cada uno de los ingredientes de la receta
y las correspondientes cantidades de ingredientes que tienen los niños.
¿Qué características observan en estas razones?
b) ¿Cuántas galletas pueden hacer los niños con los ingredientes que tienen?
c) Si los niños quisieran preparar 75 galletas, ¿qué cantidad de cada ingrediente
necesitarían?
d) Completen la siguiente tabla con la cantidad que se necesita de cada ingrediente,
según la cantidad de galletas que se desea preparar:
Cantidad de
galletas
Harina (g) Azúcar (g)
Chocolate
en polvo (g)
Margarina
(g)
10
20
40 500 g 250 g 200 g 200 g
80
e) Luego de analizar la tabla anterior,
y teniendo en cuenta la
cantidad de galletas a preparar y
la masa de harina necesaria para
cada cantidad, señalen los pares
de valores en el gráfico como
muestra el ejemplo y luego unan
los puntos. ¿Qué obtienen?
B Supongamos que las galletas que
harán los alumnos y alumnas se
repartirán entre ellos en partes
iguales. Respondan las siguientes
preguntas:
a) Si hay 40 galletas de chocolate y
20 estudiantes, ¿cuántas galletas
comerá cada uno?
b) Si hay 40 galletas de chocolate y 40 estudiantes, ¿cuántas galletas comerá
cada uno?
c) Si hay 40 galletas de chocolate y 80 estudiantes, ¿cuántas galletas comerá
cada uno?
Galletas
Harina (gramos)
0 10 20 30 40 50 60 70 80
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
• 625 g de harina.
• 250 g de margarina.
• 312,5 g de azúcar.
• 250 g de chocolate.
HIPERTEXTO
Variables dependientes e
independientes
La junta de vecinos de una población está reuniendo fondos para
refaccionar su centro social. Los fondos se obtendrán de dos fuentes:
una donación de $ 400 000 que realizará una empresa del sector y una
rifa organizada por la comunidad. Cada número de la rifa tendrá un
valor de $ 500.
ff¿De qué depende el monto de los fondos que reunirá la junta de
vecinos?
ff¿Qué ecuación expresa los fondos que obtendrá la junta de
vecinos?
ffSi se venden 400 números para la rifa, ¿cuál será el monto que
reunirá?
El monto de los fondos que la junta de vecinos reúna en la rifa depende
de cuántos números se vendan.
Si llamamos y a los fondos que reunirá la junta de vecinos y x a la
cantidad de números de la rifa que se vendan entonces:
y = 500x + 400 000
donde x e y pueden tomar distintos valores.
Se llama variable independiente a aquella variable cuyo valor
solo depende de sí misma.
Se llama variable dependiente a aquella cuyo valor depende del
valor de otra variable.
En este caso los fondos que reunirá la junta de vecinos (y) dependen
de la cantidad de números de rifa que se vendan (x). Por lo tanto, x es
la variable independiente e y la variable dependiente.
Si se venden 400 números de la rifa, el dinero que reunirá la junta
de vecinos será:
y = 500 · 400 + 400 000
y = 600 000
Si se venden 400 números de la rifa, la junta de vecinos reunirá
$ 600 000.
Marcela es amante de
los animales y en su casa
tiene varias mascotas. De
estas, todas son perros
menos dos, todas son
gatos menos dos y todas
son loros menos dos.
¿Cuántos animales tiene
Marcela en su casa?
Desafío
al ingenio
Los valores de una variable
independiente se
ubican en el eje horizontal
(abscisas), mientras
que los valores de una
variable dependiente se
ubican en el eje vertical
(ordenadas).
Ejercicios individuales
Calcula el valor de la variable dependiente cuando el valor de la variable a. independiente es igual
a 5:
a) y = 2x – 5
y =
b) w = 5z + 8
w =
c) n = 10 – 2m
n =
d) c = 5a – 20
c =
e) y = 5 · (x – 10)
y =
f) -2x + 6 = y
y =
b. Señala en cada caso cuál es la variable dependiente (D) y cual la variable independiente (I):
a) La cantidad de personas que asiste a un partido de fútbol.
La recaudación del partido de fútbol.
b) El número de años cursados por un estudiante universitario.
Los años que le restan por cursar.
c) El perímetro de un cuadrado.
La medida de los lados del cuadrado.
d) El precio del producto terminado.
El precio de los materiales necesarios para fabricar el producto.
e) El volumen de un cuerpo al irlo calentando.
El tiempo durante el que va aplicándose calor.
Problemas
1. Don Pedro vende helados a $ 200.
a) ¿De qué depende la cantidad de dinero que recauda por
las ventas?
b) ¿Qué ecuación expresa la cantidad de dinero que don
Pedro recaudará en la semana?
c) Si don Pedro vende 420 helados en una semana, ¿cuánto
dinero recaudará?
2. Fernando es 28 años más joven que su padre.
a) ¿Qué edad tendrá Fernando cuando su padre tenga 56,
67 y 81 años?
b) Señala la variable dependiente y la independiente y explica
cómo las identificaste.
Relación directamente proporcional
Los estudiantes del 8° C han decidido pintar la pared de la sala
donde está ubicado el diario mural, cuya área es de 16 m2. Según lo
que averiguaron con sus compañeros del 8º B, estiman que con 1 tarro
de pintura pueden pintar 4 m2 de pared.
ff¿Cuántos tarros de pintura se necesitan para pintar la pared?
ffEscribe la ecuación que relaciona el número de tarros de pintura y
la superficie que puede ser pintada.
ff¿Qué superficie se podrá pintar con 9 tarros de pintura?
La siguiente tabla relaciona el área de pared que se puede pintar
con un número determinado de tarros de pintura:
Tarros 1 2 3 4
Área [m2] 4 8 12 16
Existe una relación directamente proporcional entre dos variables
cuando ambas varían en la misma razón, es decir, el cociente
entre ellas es siempre el mismo. A este cociente se le llama
razón o constante de proporcionalidad directa.
De la tabla se lee que con 4 tarros de pintura pueden pintarse los
16 m2 de la pared.
El área de la pared y el número de tarros de pintura necesarios para
pintarla, son dos variables que establecen una relación directamente
proporcional.
Metros pared
Tarros pintura
=
y
x
=
4
1
=
8
2
=
12
3
=
16
4
= 4
La razón de proporcionalidad es 4.
Como
y
x
= 4, podemos despejar y obtener la ecuación que relaciona
la cantidad de metros cuadrados de pared y el número de tarros de
pintura, que se necesitan para pintarla.
y = 4 · x
Si tenemos 9 tarros de pintura, x = 9. Por lo tanto:
y = 4 · 9 = 36
Con 9 tarros de pintura se pueden pintar 36 m2.
Una cantidad y el porcentaje
que representa
de una cantidad fija, corresponden
a variables
directamente proporcionales.
Por ejemplo:
Cantidad %
48 100
36 75
24 50
12 25
6 12,5
Recuerda que cuando
entre dos variables existe
una relación directamente
proporcional, puedes
ocupar la regla de tres
directa para calcular algún
valor desconocido.
Si A y B son directamente
proporcionales y
A B
a1 b1
a2 X
Entonces:
X = a2 · b1
a1
Ejercicios individuales
Calcula la constante de proporcionalidad en las sig a. uientes situaciones:
a) Un joven recorre 2 cuadras en 10 minutos y 5 cuadras en 25 minutos.
b) Clara hizo 20 galletas con 200 g de harina, María 30 galletas con 300 g de harina y Antonia
60 galletas con 600 g de harina.
c) Un bus recorre 225 km en 2,5 horas y 378 km en 4,2 horas.
b. Resuelve las siguientes situaciones planteando la ecuación correspondiente:
a) Marcelo utiliza cada día una mina para su porta-mina. ¿Cuántas minas utilizará en una semana?
b) Una máquina puede fabricar 5 000 ladrillos en 4 horas. ¿Cuántas podrá fabricar en 6 horas?
c) Un taxista cobra $ 280 por cada 300 m recorridos. ¿Cuánto debería cobrar por un recorrido
de 3 800 m si aplicara una tarifa proporcional?
d) Un taxista cobra $ 270 por cada 3 minutos de recorrido. ¿Cuánto debería cobrar por un recorrido
de media hora si aplicara una tarifa proporcional?
e) Miguel se demoró 10 días en leer 1 libro. ¿Cuántos días se demoraría en leer 4 libros similares?
Problemas
1. Un artesano necesita 8 días para construir un barco de madera.
a) Si un coleccionista le ha encargado 5 barcos, ¿en cuántos
días podrá terminarlos?
b) ¿Cuántos barcos podrá construir en 24 días? Calcula la
razón de proporcionalidad.
c) Escribe la ecuación de proporcionalidad que relaciona
el número de barcos hechos y el número de días que
necesita el artesano para hacerlos.
2. Un perro consume 3 raciones de alimento al día.
a) ¿Cuántas raciones de alimento consume el perro a la
semana?
b) ¿Cuántas raciones de alimento consumirá el perro en
12 días?
c) Escribe la ecuación de proporcionalidad que relaciona el
número de meses transcurridos y el número de raciones
que el perro consume en esos meses. Considera meses
de 30 días.
Representación de una relación
directamente proporcional
Los alumnos y alumnas de octavo básico han organizado una obra de
teatro para representar Noche de Reyes de W. Shakespeare en el gimnasio
del colegio, cuya capacidad es de 700 personas. Tras analizar la relación
costo-beneficio, decidieron cobrar $ 3 000 la entrada por persona.
ff¿Qué relación existe entre las entradas que se vendan y el dinero
que genera su venta?
ff¿Cuánto dinero esperan reunir los estudiantes?
Entre el dinero generado y el número de entradas vendidas existe una
relación directamente proporcional. Los estudiantes pueden construir una
tabla con el número de entradas que vendan y el ingreso respectivo:
Número de
entradas
Ingreso
Número de
entradas
Ingreso
0 $ 0 400 $ 1 200 000
100 $ 300 000 500 $ 1 500 000
200 $ 600 000 600 $ 1 800 000
300 $ 900 000 700 $ 2 100 000
Otra herramienta útil es un gráfico con los datos de la tabla:
Entradas
Ingresos [$]
0 100 200 300 400 500 600 700
2 500 000
2 000 000
1 500 000
1 000 000
5000 000
0
Gráfico de proporcionalidad directa
La tabla de una relación directamente proporcional contiene los
valores de las variables relacionadas. El gráfico de una relación
directamente proporcional es el que representa los datos de esta
tabla y corresponde a una línea recta en la que siempre el valor
del cociente entre las variables X e Y es constante.
La gráfica de una relación
directamente proporcional
es una línea recta que
debe, necesariamente,
pasar por el origen.
Noche de Reyes o la Duodécima
noche es una comedia
teatral escrita por el poeta y
dramaturgo inglés William
Shakespeare (1564 – 1616)
alrededor del 1600. Es
una de las comedias más
populares de este autor y
ha sido llevada al cine y a la
televisión en innumerables
oportunidades.
La Literatura
Enlace con…
Ejercicios individuales
Completa las tablas de relaciones directamente proporcionales entregadas a. en las siguientes
situaciones. Calcula la constante de proporcionalidad y grafica:
a) Un carpintero construye una puerta de madera en 1 día. Dos carpinteros construyen 2 puertas
en 2 días.
Número de carpinteros
Puertas por día
0 1 2 3 4 5 6
6
5
4
3
2
1
0
Número de
carpinteros
Puertas por
día
1 1
2
3
4
5
6
b) Un ciclista viaja con rapidez constante.
Distancia [km] Tiempo [h]
6 1
12
3
4
5
36
7 Tiempo [h]
0 1 2 3 4 5 6 7
42
36
30
24
18
12
6
0 Distancia [
km]
2. Los ingredientes necesarios para preparar un
pastel de choclo para cuatro personas son: 6
choclos, 4 presas de pollo, 0,25 kg de posta
picada, 2 cebollas, 1 taza de leche, 2 dientes de
ajo, 8 aceitunas, pasas, sal, comino y pimienta.
a) En la figura adjunta se muestra el gráfico de
proporcionalidad directa para los choclos.
Construye la tabla de proporcionalidad
directa a partir del gráfico.
b) Construye la tabla y el gráfico de proporcionalidad
directa para todos los ingredientes
del pastel de choclo considerando 1, 2, 4,
10 y 20 personas.
Personas
0 1 2 3 4 5 6 7 8
14
12
10
8
6
4
2
0
Choclos
N° de choclos vs N° de personas
Relación inversamente proporcional
Los alumnos y alumnas de un curso quieren ir de paseo por un fin de
semana a un camping. El dueño del camping cobrará al grupo $ 50 000
por el fin de semana. El curso tiene 30 estudiantes y cada uno de ellos
no puede pagar más de $ 5 000 para ir al camping.
ffSi van todos los estudiantes del curso, ¿cuánto debe pagar cada uno?
ffSi va solo la mitad, ¿cuánto deberá pagar cada estudiante?
ff¿Cuántos estudiantes deben ir como mínimo para que cada uno
gaste $ 5 000 o menos?
Podemos observar que mientras más estudiantes vayan al campamento
menos dinero tendrá que pagar cada uno, pero que siempre el producto
del número de alumnos y alumnas que vayan y el dinero que tienen que
pagar individualmente, debe ser 50 000. Esto quiere decir que existe una
relación inversamente proporcional entre el costo a cancelar por cada
uno y la cantidad de estudiantes que asistan al campamento.
La constante o factor de
proporcionalidad inversa
se obtiene calculando el
producto de las dos variables
involucradas.
Existe una relación inversamente proporcional entre dos variables
cuando al aumentar una, la otra disminuye en la misma razón. Es
decir, cuando el producto de las dos variables es el mismo. A este
producto constante se le llama factor o constante de proporcionalidad
inversa.
Si van todos los estudiantes tenemos que dividir 50 000 : 30 ≈ 1 667,
entonces, podemos decir que cada uno tendrá que pagar $ 1 667.
Si va la mitad tenemos que dividir 50 000 : 15 = 3 333, es decir, cada
uno tendrá que pagar $ 3 333.
Por último, tenemos que dividir 50 000 por 5 000 para averiguar
cuántos estudiantes deben asistir para que cada uno pague $ 5 000 o
menos. Es decir, deberán asistir al menos 50 000 : 5 000 = 10 estudiantes
para que el precio a pagar sea inferior que $ 5 000.
Si multiplicamos el número de estudiantes que asistirá al paseo por
lo que debe pagar cada uno, siempre obtendremos 50 000. Podemos
deducir entonces que la ecuación que relaciona el número de estudiantes
que asiste al campamento y lo que tendrán que pagar cada uno es:
y · x = 50 000
y: cantidad de estudiantes que asistirán al campamento.
x: dinero que deberá cancelar cada estudiante.
Recuerda que cuando
entre dos variables existe
una relación inversamente
proporcional, puedes
ocupar la regla de tres
inversa para calcular algún
valor desconocido.
Si A y B son inversamente
proporcionales y
A B
a1 b1
a2 Y
Entonces:
Y = a1 · b1
a2
Ejercicios individuales
Calcula la constante de proporcionalidad inversa de las variables relacionadas a. en los siguientes
enunciados:
a) Dos cargadores demoran 5 horas en cargar un camión con escombros. Cuatro cargadores
demoran 2,5 horas en realizar el mismo trabajo.
b) Si tengo un gato, el alimento me alcanza para un mes; si tengo dos gatos, el alimento alcanza
para medio mes; si tengo tres gatos, el alimento alcanza para un tercio de mes.
b. Las siguientes expresiones relacionan las variables a y b. Señala con un ✓ los casos en que las
variables se relacionan en forma inversamente proporcional:
a)
a
b
= 2
b) a · b = 10
c)
1
a
· b = 3
d) 5a · 5b = 5
e) a =
1
b
f) b = 10a
Problemas
1. Veinte obreros demoran 3 meses en construir el piso de un
edificio.
a) Trabajando a igual ritmo, ¿cuánto se demorarían 15
obreros en construir el mismo piso?
b) ¿Cuántos obreros se necesitan para que tarden dos
meses en construir el piso del edificio?
c) Escribe la ecuación que relaciona el número de obreros con
el tiempo que tardan en construir el piso del edificio.
d) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad inversa entre
el número de obreros y el tiempo que tardan en construir
el piso del edificio?
2. Manuel tiene un hámster en su casa y una bolsa de alimento
le alcanza para un mes. ¿Para cuánto tiempo le alcanzaría
la bolsa si tuviera 3 hámsteres?
3. Tres andinistas perdidos en la montaña tienen alimento suficiente
para que una persona sobreviva 9 días. ¿Cuánto tiempo
podrán sobrevivir los tres con este alimento?
4. Un grupo de 7 estudiantes realiza un trabajo de investigación
y demoran 4 horas en escribir el informe. ¿Cuánto se demorarían
10 estudiantes en escribir el mismo informe?
5. Un grupo de 10 personas ha contratado un microbús de turismo
por $ 30 000 para recorrer el sur de Chile. Si deciden
repartirse el gasto en partes iguales, ¿cuánto pagará cada
persona?, ¿cuánto deberían pagar si fueran 8 personas?
Representación de una relación
inversamente proporcional
Los estudiantes de octavo básico de un colegio organizarán un campeonato
de futbolito con los octavos de otros colegios de su ciudad. Para
esto arrendarán un gimnasio que tiene capacidad para 5 000 personas
a un costo de $ 5 000 000. La idea del Centro de estudiantes es costear
el arriendo del gimnasio y generar una utilidad de $ 10 000 000 con
la venta de entradas.
ff¿Cómo puedes visualizar la relación existente entre la cantidad de
asistentes y el precio de las entradas?
ff¿Cuál será el costo de cada entrada si el gimnasio se llena? ¿Y si
asisten 3 000 personas?
Entre el precio de la entrada y el número de asistentes al evento
existe una relación inversamente proporcional.
Una herramienta útil para visualizar esta relación es una tabla como
la siguiente:
Personas Precio Personas Precio
100 $ 150 000 2 000 $ 7 500
500 $ 30 000 3 000 $ 5 000
1 000 $ 15 000 4 000 $ 3 750
También es de gran utilidad graficar los datos de la tabla:
Personas
Precio [$]
Gráfico de proporcionalidad inversa
0 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000
160 000
140 000
120 000
100 000
80 000
60 000
40 000
20 000
0
Las variables A y B son
inversamente proporcionales,
tal que A · B = K. Las
variables A y C también son
inversamente proporcionales,
verificando A · C = L.
¿Qué relación existe entre
las variables B y C? Si
esta relación es de proporcionalidad,
¿cuál es
la constante?
Desafío
al ingenio
Una hipérbola es una curva
que resulta de la intersección
de un plano con dos
secciones de cono circular
recto.
Archívalo
Ejercicios individuales
Completa las tablas de relaciones inversamente proporcionales a. entregadas en los siguientes
problemas. Calcula la constante de proporcionalidad inversa y grafica.
a) 1 persona demora 24 horas en pintar una casa. 2 personas demoran 12 horas en pintarla.
b) 1 manguera demora 6 días en llenar una piscina. 2 mangueras demoran 3 días en llenarla.
Número de
mangueras
Tiempo [días]
1 6
2
2
4
5
1 Número de mangueras
Tiempo [días]
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6
2. Luis celebrará su cumpleaños con sus amigos. Para agasajarlos compró una torta.
a) ¿Qué fracción de la torta comerá cada invitado si asisten 3 amigos de Luis?
b) ¿Qué fracción de la torta comerá cada invitado si asisten 5 amigos de Luis?
c) Confecciona una tabla en la que se indique la fracción de torta que come cada participante
considerando que no hay invitados, que acude 1 invitado, que acuden 2, etc.
d) Construye un gráfico de líneas con los datos de la tabla anterior.
La tabla de una relación inversamente proporcional contiene los
valores de las variables relacionadas. El gráfico de una relación
inversamente proporcional es el que representa los datos de esta
tabla y corresponde a una curva llamada hipérbola.
Si el gimnasio se llenara, la entrada costaría $ 3 000; y si asisten 3 000
personas, costaría $ 5 000.
Número de
personas
Tiempo [h]
1 24
2
8
4
5
4 Número de personas
30
25
20
15
10
5
0
0 1 2 3 4 5 6
Tiempo [h]
Modelos matemáticos de
proporcionalidad directa
En la naturaleza existen muchas magnitudes que están relacionadas
en forma directamente proporcional. Dos magnitudes que guardan tal
relación son la masa y el peso.
La masa m es una medida de la cantidad de materia que contiene un
cuerpo, mientras que el peso p es una medida de la fuerza con que la
Tierra atrae a este cuerpo. A mayor masa del cuerpo, mayor también
es la fuerza con que el cuerpo es atraído por la Tierra.
La relación entre masa y peso queda definida por la fórmula:
p = mg
Donde:
p: peso, medido en Newton [N].
m: masa, medida en kilogramos [kg].
g: aceleración de gravedad, medida en [m/s2].
Evidentemente la constante de proporcionalidad directa es g, que
como sabemos, es prácticamente constante en las cercanías de la superficie
de nuestro planeta y supondremos que vale 10 m/s2:
p
m
= g
ff¿Cuál es el peso de un gato cuya masa es de 4 kg?
Sustituyendo el valor de la masa queda:
p = 4 · 10 = 40 N
El peso del gato es de 40 N.
La tabla y el gráfico que describen la relación entre masa y peso son:
Masa [kg] 1 2 3 4 5 6
Peso [N] 10 20 30 40 50 60
Tras una serie de mediciones
de dos variables relacionadas
A y B, se elaboró la
siguiente tabla de datos:
A B
-2 1,2
-1 0,6
0 0
1 0,6
2 1,2
¿Cómo puedes modelar
esta relación?
Desafío
al ingenio
Masa [kg]
Peso [N]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Gráfico Masa vs Peso
La aceleración de gravedad
varía de planeta en planeta. Su
valor depende de la masa del
planeta y de su tamaño.
Se calcula por la fórmula:
g =
G · M
R2
Donde:
G= 6,67 · 10-11 (constante).
M: masa del planeta (kg).
R: radio del planeta (m).
Los valores de la aceleración
de gravedad (medida
en [m/s2]) en la superficie
de los planetas del Sistema
Solar son:
Mercurio: 4,0
Venus: 8,2
Tierra: 9,8
Marte: 3,9
Júpiter: 26,0
Saturno: 11,2
Urano: 10,3
Neptuno: 13,9
La Ciencia
Enlace con…
En la naturaleza existen muchas magnitudes que están ligadas
por una relación directamente proporcional, cuya expresión matemática
es del tipo:
y = Kx
Con x e y las variables relacionadas y K la constante de proporcionalidad
directa.
Ejercicios individuales
Modela mediante la expresión matemática correspondiente las relaciones a. y completa las tablas
que están más abajo. Considera g = 10 m/s2:
a) Para un cuerpo cuya masa (m) permanece constante, la fuerza que se le aplica (F) y la aceleración
que adquiere debido a ella (a) son magnitudes directamente proporcionales entre sí.
Considera que dispones de un bloque de 12 kg.
Variable dependiente: Variable independiente: Constante:
F [N] 96 126 220,8 288
a [m/s2] 8 14,2 22
b) La energía potencial gravitatoria es aquella magnitud que posee un cuerpo debido a su posición
respecto a la Tierra. Para un cuerpo cuyo peso (mg) permanece constante, la energía
potencial gravitatoria (U) y la altura respecto a la superficie del planeta (h) son magnitudes
directamente proporcionales entre sí. Considera que dispones de un bloque de 26 kg.
Variable dependiente: Variable independiente: Constante:
U [J] 1 040 3 380 8 580
h [m] 1 7 25
c) Las equivalencias entre unidades monetarias corresponden a relaciones directamente proporcionales.
Considera un día en que el valor del euro (€) es de 750 pesos chilenos ($).
Variable dependiente: Variable independiente: Constante:
€ 1 4,5 12
$ 1 875 5 400 11 625
b. Unos investigadores realizaron dos experimentos, obteniendo los resultados que están en las
tablas. Modélalos y determina si corresponden a relaciones directamente proporcionales:
a) b)
Fórmula matemática:
Constante:
Fórmula matemática:
Constante:
C 175 231,25 300 393,75
D 14 18,5 24 31,5
Fórmula:
F = m · a
Fórmula:
U = mgh
Fórmula:
$ = k€
A 12 18 21,4 38
B 4,8 7,2 8,56 15,2
La letra N representa
la unidad de fuerza
Newton.
Archívalo
Modelos matemáticos de
proporcionalidad inversa
Cuando presionamos un cuerpo con la suficiente intensidad, este tiende
a disminuir su tamaño o bien a deformarse. Por ejemplo, si presionas
un globo verás que puedes disminuir su volumen hasta cierto límite y
si continúas apretándolo, estallará. Estas son experiencias cotidianas
que fueron modeladas matemáticamente para sustancias gaseosas hace
algunos siglos por el científico inglés Robert Boyle.
La “Ley de Boyle” dice que para una cantidad de masa gaseosa
fija, la presión ejercida sobre él (P) y el volumen que ocupa (V) son
magnitudes inversamente proporcionales entre sí.
Matemáticamente esta relación la escribimos así:
PV = K
ff¿Cuál es el volumen de un gas (K = 30) si lo sometemos a una presión
de 1,5 atm?
Sustituyendo el valor de la presión queda:
1,5 · V = 30
V = 30
1,5
= 20 L
El volumen del gas es de 20 L.
De esta manera, la tabla de la relación entre presión y volumen es:
Presión [atm] 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Volumen [L] 60 30 20 15 12 10
Y el gráfico es:
La disposición de las
hipérbolas en el plano
depende del valor del
factor de proporcionalidad
K. Observa:
H1: Y =
K1
X
H2: Y =
K2
X
H3: Y =
K3
Y
En este caso K3 > K2 > K1.
0 x
H1 H2 H3
Presión [atm]
Volumen [L]
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
70
60
50
40
30
20
10
0
Gráfico Volumen vs Presión
El químico británico Robert
Boyle (1627 – 1691)
fue uno de los primeros
científicos que describió
en forma exhaustiva sus
procedimientos, técnicas
y observaciones, marcando
una diferencia con los
químicos anteriores a su
época que realizaban sus
experiencias en condiciones
secretas y poco claras. Se
dice que “aplicó el método
científico a la alquimia”, y
que esto sentó las bases
para el enorme desarrollo
de la química de los siglos
XVIII y XIX.
La Ciencia
Enlace con…
Ejercicios individuales
a. Indica con un ✓ cuál o cuáles de las siguientes situaciones que involucran dos magnitudes pueden
ser modeladas mediante una fórmula de proporcionalidad inversa:
a) _____ La rapidez de un bus (v) y el tiempo (t) que demora en recorrer una distancia fija.
b) _____ El número de vigas (n) distribuidas uniformemente que mantienen una construcción
y el peso que soporta cada una (p).
c) _____ La cantidad de habitantes de una ciudad (N) y la cantidad de atenciones de urgencia
(M) que hay en el único centro hospitalario de ella.
d) _____ El peso de un automóvil (p) y la rapidez con que se desplaza por la carretera (v).
e) _____ La cantidad de camiones de una flota de transportes (N) y el tiempo (t) que demoran
en transportar una carga fija.
Ejercicios grupales
a. En grupos de dos estudiantes determinen los valores que debe adquirir la variable B dados los
valores de A, de manera que las variables A y B estén ligadas por una relación inversamente
proporcional a través de la constante que se indica en cada caso:
En la naturaleza existen muchas magnitudes que están ligadas
por una relación inversamente proporcional, cuya expresión matemática
es del tipo:
xy = K
Con x e y las variables relacionadas y K la constante de proporcionalidad
inversa.
A B
1
2
3
4
5
a) K = 0,5
A B
0,5
1
1,5
2
2,5
b) K = 3
A B
12
24
48
96
192
c) K = 120
b. Expresen la fórmula matemática que relaciona las variables E y F a partir de las tablas de datos
que están a continuación:
E F
4 3
8 1,5
12 1
16 0,75
a)
E F
1,8 2,5
3 1,5
4 1,125
20 0,225
b)
E F
0,2 24
0,25 30
0,3 36
0,35 42
c)
Funciones
A un arquitecto se le ha encargado construir una casa en un balneario.
El tiempo que demore en construir la casa dependerá del
número de obreros que contrate. La cantidad de obreros y el tiempo
que se demorarán en construir la casa están ligados por una relación
inversamente proporcional. Según las estimaciones del arquitecto, si
contrata 6 obreros demorarán 10 días en terminar la casa. Por razones
de presupuesto, el arquitecto no puede contratar más de 6 obreros y
por razones de tiempo, no puede emplear menos de 2 obreros.
ffEscribe la ecuación que relaciona el número de obreros y el tiempo
que demorarán en construir la casa.
ffEscribe algunos valores de la relación y dibuja un diagrama con
ellos.
La ecuación que relaciona el número de obreros (N) y el tiempo que
demorarán en construir la casa (T) es:
N · T = 60
Número de obreros
N
Tiempo [días]
T
2 30
3 20
4 15
5 12
6 10
El conjunto de los valores que puede tomar N es {2, 3, 4, 5, 6} y el
conjunto de valores que puede tomar T es {10, 12, 15, 20, 30}.
Observa el siguiente diagrama:
Si te fijas, cada elemento del conjunto N está relacionado con uno
y solo uno de los elementos del conjunto T.
N T
30
20
15
12
10
ƒ
2
3
4
5
6
Las funciones pueden
ser representadas en un
gráfico. Por ejemplo la
función f de X en Y:
X Y
0 1
1 3
2 5
3 7
La gráfica es:
ƒ
0 1 2 3 4 5 x
8
7
6
5
4
3
2
1
0
y
Las condiciones formales
que debe cumplir una función
de un conjunto A en
un conjunto B son:
Existencia: todos los elementos
de A están relacionados
con elementos
de B.
Unicidad: cada elemento
de A está relacionado solo
con un elemento de B.
Archívalo
Ejercicios individuales
Determina el dominio y el r a. ecorrido de cada función.
Diremos que la relación inversamente proporcional existente entre
la cantidad de obreros y el tiempo que demoran en construir la casa,
corresponde a una función f del conjunto N en el conjunto T.
El dominio (Dom) de una función son todos los valores desde los
que sale una flecha y su recorrido (Rec) son todos los valores a los que
llega una flecha. En el caso del ejemplo tenemos:
Dom ƒ = {2, 3, 4, 5, 6} Rec ƒ = {10, 12, 15, 20, 30}
Dados dos conjuntos A y B, una función ƒ es una relación entre
estos dos conjuntos tal que cada elemento del conjunto A está
relacionado con un único elemento del conjunto B.
a) b)
El dominio de una función
coincide con el conjunto
desde el que parte la
función (en el ejemplo,
el conjunto N), pero el
recorrido no siempre
coincide con el conjunto
al que llega la función (en
el ejemplo, el conjunto T).
En el problema estudiado
sí coinciden, pero esto no
es una generalidad.
Dom ƒ = { }
Rec ƒ = { }
Dom g = { }
Rec g = { }
b. Determina el dominio y el recorrido de las funciones que se describen. Dibuja un diagrama que
represente cada función.
a) Un artículo vale $ 10. En el almacén solo
quedan 6 artículos.
b) y = 3x + 1, donde x solo puede adquirir valores
enteros mayores que 7 y menores que 14.
Dom ƒ = { }
Rec ƒ = { }
Dom g = { }
Rec g = { }
1
2
3
4
5
ƒ
a
b
c
d
e
4
8
12
16
20
24
g
1
2
3
4
5
ƒ Artículos $
1 10
g
x y
8 25
HIPERTEXTO
Resolución de problemas
Problema modelo
Un alumno está estudiando la relación que existe entre el volumen y la
temperatura en un gas cuando la presión de este se mantiene constante.
Para esto, llenó un globo con el gas y fue variando la temperatura,
registrando los datos que están en la tabla.
Grafica los datos de la tabla. ¿Qué tipo a) de relación hay entre el volumen
y la temperatura?
b) Plantea y resuelve la ecuación que permite predecir la temperatura
cuando el volumen es de 800 ml.
Temperatura
[K]
Volumen
[ml]
293,80 452
323,70 498
365,95 563
416,65 641
458,25 705
a) Entiende: ¿qué sabes del problema?
• Las variables volumen y temperatura están relacionadas y esta relación se expresa en la
tabla.
b) Planifica tu estrategia: ¿cómo puedes resolver el problema?
• Graficamos las variables volumen y temperatura. Si obtenemos una recta, la relación es directamente
proporcional y si obtenemos una hipérbola, la relación es inversamente proporcional.
• Calculamos la constante de proporcionalidad y planteamos la ecuación correspondiente.
• Para calcular la temperatura desconocida reemplazamos V = 800 ml y despejamos T.
d) Responde: contesta las preguntas del problema
• Entre el volumen y la temperatura de un gas existe una relación directamente proporcional.
• La temperatura para un volumen de 800 ml es de 520 K.
e) Comprueba: aplica otra estrategia para comprobar el resultado
• Podemos verificar que para todos los datos de la tabla, el cociente
T
V
es igual a 0,65.
c) Resuelve: desarrolla el problema para llegar a una respuesta
k = 293,8
452
= 0,65
T
V
= 0,65
Si V = 800 ml, entonces
T
800
= 0,65.
Por lo tanto:
T = 800 · 0,65 = 520 K
Temperatura QKU
Volumen QmlU
0 100 200 300 400 500
800
700
600
500
400
300
200
100
0
Gráfico Volumen vs Temperatura
Problema 1
La siguiente tabla muestra distintos valores de presión y temperatura
para un gas cuando su volumen se mantiene constante.
a) Grafica los datos de la tabla. ¿Qué tipo de relación hay entre la temperatura
y la presión?
b) Calcula la constante de proporcionalidad según corresponda.
c) Plantea y resuelve la ecuación que permite predecir la presión cuando
la temperatura es de 380 K.
Temperatura
[K]
Presión
[Pa]
295,00 103,25
323,70 113,295
365,95 128,0825
416,65 145,8275
Problema 2
El director de un colegio contrató a un actor profesional para hacer clases
de teatro a los estudiantes. El actor aceptará un mínimo de 10 alumnos
y alumnas y un máximo de 30. La tabla muestra cuánto debería pagar
cada estudiante según la cantidad de inscritos en la clase de teatro.
a) Grafica los datos de la tabla y descubre qué tipo de relación hay entre
las dos variables.
b) Calcula la constante de proporcionalidad.
c) Si se permitiera que 40 estudiantes tomaran el curso de teatro, ¿cuánto
debería pagar cada uno?
Número de
estudiantes
Precio por
estudiante
10 $ 3 000
15 $ 2 000
20 $ 1 500
25 $ 1 200
30 $ 1 000
Problema 3
El gráfico muestra la relación existente entre la cantidad de
harina necesaria para preparar un pastel y la cantidad de
personas que podrían comerlo.
a) ¿Qué tipo de relación hay entre las dos variables que se
muestran en el gráfico?
b) A partir del gráfico construye una tabla y luego calcula la
constante de proporcionalidad.
c) ¿Qué cantidad de harina se necesitaría para que 25 personas
comieran del pastel?
Harina [g]
Personas
0 100 200 300 400 500
10
8
6
4
2
0
Pastel
Problema 4
En el acelerador de partículas europeo CERN un joven físico experimenta
con una nueva partícula –que ha llamado partícula qoppa–. Sus
estudios le han permitido deducir que el número de partículas qoppa
que aparecen por centímetro cuadrado y por segundo, es directamente
proporcional a la rapidez con que se mueve la partícula de alta energía
a partir de la que se generan. Para una rapidez de 0,75c, se generan
18 partículas qoppa.
a) Calcula la constante de proporcionalidad.
b) Si la partícula de alta energía se mueve a 0,875c, ¿aproximadamente,
cuántas partículas qoppa se generarán por segundo y por centímetro
cuadrado?
c) Si se generan 16 partículas por segundo y por centímetro cuadrado,
¿con qué rapidez se mueve la partícula de alta energía?