ECUACIONES TRIGONOMETRICAS PROBLEMAS RESUELTOS DE NIVEL UNI PDF

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objetivos :
Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de:
* Reconocer una ecuación trigonométrica.
* Hallar la solución general y solución principal de una ecuación trigonométrica elemental.
* Hallar la solución general y solución principal de una ecuación trigonométrica no elemental.
* Resolver ecuaciones trigonométricas mediante factorización o utilizando la fórmula general de la cuadrática.
* Reducir cualquier ecuación trigonométrica , mediante el uso de las identidades trigonométricas, a una ecuación elemental.
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introducción :
Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. No puede especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las funciones que aparecen allí en una sola función (es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos de una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo.
En las soluciones pueden aparecer valores extraños (debido a la manipulación de las ecuaciones al tratar de reducirlas) , por ejemplo: nos puede resultar un cosx = 2 , el que debemos descartar, obviamente, pues el codominio del coseno se limita a [-1;1]. También, debemos verificar todas las respuestas obtenidas y aceptar sólo aquellas que satisfacen la ecuación original.
Como las funciones trigonométricas repiten su valor y signo en dos de los cuadrantes, hay que tener presente que siempre habrá por lo menos dos ángulos distintos en la solución de una ecuación trigonométrica de la forma f(x)= a (donde f(x): es una de las seis funciones trigonométricas y a número cualquiera en el codominio de la función). Además, debido a que cuando el lado terminal de un ángulo realiza un giro completo se genera otro ángulo equivalente, es necesario añadir a las soluciones obtenidas un múltiplo de 360°, esto es, k360°, y k es un entero.
ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Son igualdades entre funciones trigonométricas que se cumple para algunos valores de la variable , a dichos valores se les llaman soluciones de la ecuación; que pueden ser representados por una fórmula general, en la que intervienen la variables “n” o “k”.
Ejemplo de las ecuaciones trigonométricas:
* 2senx–1 = 0
* cos2(5x)=1
* cos2x – 2cosx + 3 = 0
* senx + sen3x + sen5x = 0

* tg3x = x–1 ; no es una ecuación trigonométrica

¿ Qué es resolver una ecuación trigonométrica ?
Resolver una ecuación trigonométrica significa encontrar todos los valores que toma la incógnita; que verifican la ecuación convirtiéndola en una igualdad absoluta. Pero, debido al carácter periódico de las Funciones Trigonométricas; no solo se encontrarán una o dos soluciones, sino que generalmente existirá una cantidad ilimitada de soluciones, motivo por el cual se hace necesario el uso de fórmulas que permitan encontrar el conjunto global de soluciones de la ecuación trigonométrica, llamadas solución General de la Ecuación Trigonométrica.

* Por ejemplo, si tuviéramos que resolver una ecuación sencilla como:

* Estas son solo dos soluciones; pero si quisiéramos encontrar soluciones adicionales, tan solo tendríamos que sumarle o restarle múltiplos de 360°, de la siguiente manera, a los indicados.
* Esto es:

* Es decir:

Ésta serían solo algunas soluciones particulares de Ecuación Trigonométrica, y en lo sucesivo tendremos que aplicar este criterio para determinarlas. (La explicación es por que los ángulos a obtener son coterminales con los primeros).

Ecuaciones Trigonométricas
Elementales R.T.(x)=n
Para este tipo de ecuaciones se encuentran generalmente dos primeras soluciones; y se les va agregando o restando múltiplos de 360°; como en el apunte anterior.

Por ejemplo:

Pero la pregunta evidente es, ¿cómo determino las dos primeras soluciones?, se aplica el siguiente criterio.
MÉTODO DE SOLUCIÓN :
Planteemos un método de solución para el caso más sencillo: la ecuación trigonométrica elemental.

1)Calcular el menor ángulo agudo que cumpla la igualdad en valor absoluto.

2) Calcula los ángulos en cada cuadrante que cumplan la igualdad.

3)Se eligen los cuadrantes donde pueden estar (que nos presenta la parte angular), de acuerdo al signo que toma “N” en la ecuación trigonométrica (*).

4)Luego de encontrar la soluciones elementales, evaluamos las demás soluciones agregando un número entero de vueltas.
Nota:
Para el caso en el que (1°) los ángulos no sean agudos (cuadrantales) nos trasladaremos directamente al caso 4°una vez obtenidos los cuadrantes que satisfagan la ecuación.

* Es decir:
I) Si es de la forma: R.T.(x)= n; n < 0 En este caso; resuelva, a modo de ayuda; la ecuación R.T.(x)=|n| y calcule la solución aguda de dicha ecuación. Con esa solución se calculan las verdaderas con la misma idea anterior , solo que ahora la R.T.(x)es negativa. ejemplo 1 : Resolver : RESOLUCIÓN: * Resolvemos: Pero como el “senx” es negativo, las dos primeras soluciones deberían ser del IIIC y IVC, luego: * Luego: ejemplo 1 : Resolver : RESOLUCIÓN: * Resolvemos : * Como el “cosx” es negativo en el IIC y IIIC, tendríamos: * Luego: ejemplo 3 : Resolver : RESOLUCIÓN: * Como la “tanx” es negativa en el IIC y IVC, tendríamos : * Luego: x = 150° ; 330° ; 510° ; 690° ;........ * Observación: Cuando el valor de R.T.(x) corresponde al de un ángulo cuadrante se debe recordar. ejemplo : * (note que entre 0° y 360°, no hay otro) II) Si es de la forma : R.T.(x) = n ; n > 0
Normalmente habrá una solución para agudo; sí esta es , entonces la otra solución dependerá del cuadrante en el que se ubique; esto es:
Si la solución aguda es:
y si hubiera otra en el:

ejemplos:
1)

* Como la “tanx” es positiva, la otra solución debería ser del IIIC, es decir:

* Luego: x = 60° ; 240°…..aquí le agregamos o restamos múltiplos de 360°

2)

* Como el “cosx” es positivo; la otra solución debería ser del IVC, es decir:

* Luego:

3)
* La otra solución debe ser del IIIC (ya que “cotx” es positivo), es decir:

* Luego:

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Los valores que verifiquen la ecuación, son las soluciones de la ecuación. Toda ecuación trigonométrica tiene infinitas soluciones.

ejemplos:
Al resolver:
1)

2) tgx = 1

OBSERVACIÓN :
Es importante encontrar las dos primeras soluciones positivas de la ecuación; en ese sentido se puede considerar lo siguiente: Si la solución del , entonces si hubiese otra solución en el:

Las otras soluciones se obtienen adicionales (o restando) multiplos de 360°
OJO:

Ejemplos :
1) Resolver:
RESOLUCIÓN :

2) Resolver:

RESOLUCIÓN :

Ejemplo 3:
Resuelva la siguiente ecuación
para

RESOLUCIÓN:

* Analizando en la circunferencia trigonométrica la ecuación

* Se observa los valores de que satisfacen

Ejemplo 4:
Resuelva la ecuación : sen 2x = 0
RESOLUCIÓN:
* Haciendo el cambio de variable
Se tiene
* Analizando los valores de en la circunferencia trigonométrica que verifica la ecuación

* Se observa del gráfico que todos los valores de son los cuales en forma general se expresan:
Por consiguiente

Ecuaciones Trigonométricas
No Elementales
La ecuaciones trigonométricas no elementales son aquellas que operan diferentes razones trigonométricas de la incógnita o de variable que involucran a dicha incógnita. En estos casos, la idea es simplificar la ecuación aplicando toda la teoría del curso ya desarrollado (identidades de una misma variable, de la suma y/o diferencia de variables, de la variable doble, mitad, triple; así como transformaciones trigonométricas y teoría de funciones trigonométricas inversas); reduciendo a la forma Elemental o quizás de la forma:

Para aplicar lo ya expuesto en la resolución de una E.T. Elemental.
ejemplos :
resolver e indicar algunas soluciones de:
1)
RESOLUCIÓN:
* Por identidades trigonométricas, reducimos:

* Quedaría: ; note que;

* Luego;

2) sen3xcos2x – sen2xcos3x=1

RESOLUCIÓN:
* Recuerde:

* Luego:

3)
RESOLUCIÓN:
* En este caso no hay nada que reducir, pues la ecuación tiene la forma elemental, así que se resuelve de manera similar; pero tenga en cuenta como se despeja la incógnita:

4)
RESOLUCIÓN:

5)
RESOLUCIÓN:
* Tenemos que reducir la expresión, pero recuerde que:

* Tenemos:

* Luego:

Observación:
Las consideraciones algebraicas acerca de la resolución de ecuaciones, que tiene que ver con el perder soluciones o agregar soluciones; se mantienen, así que debemos tener cuidado con la simplificación de términos que contienen a la incógnita.

6) 1+sen2x = senx + cosx
RESOLUCIÓN:
* En este caso , recuerde que:
(senx + cosx)2 = 1 +sen2x
* Luego la ecuación, quedaría así :
(senx + cosx)2 = senx + cosx
* Cancelado:
(senx + cosx)

* Luego:

* ¡Pero! Para no perder soluciones, el factor cancelado se debe igualar a cero (0), esto es:

* Recuerde que primero resuelve:

* Luego las soluciones serían:

7) senx + cos2x = 1

RESOLUCIÓN:
* En este ejemplo, homogenizamos la variable, esto es, colocamos la expresión en términos de una misma variable (x), para ello recuerde que:

* Luego; quedaría así:

* Reduciendo: Senx = 2Sen2x
* Cancelando:

* ¡Pero! como cancelemos “senx”, lo igualamos a cero (0), para no perder soluciones esto es:

OBTENCIÓN DE LA SOLUCIÓN GENERAL
Generalmente vamos a tener que resolver ecuaciones trigonométricas no elementales; así que la idea central es reducir la ecuación dada y llevarla a la forma elemental; para ello es bueno recordar:
1) Es preferible una sola variable a diferentes variables.
2) Es preferible una R.T. a diferentes R.T.
3) Cancelar términos que involucran a la incógnita en numeradores de miembros diferentes, implica igualarlo a cero para no perder soluciones.
4) Si hay varios senos y/o cosenos de múltiplos muy grandes de la variable; hay una posibilidad de aplicar transformaciones para reducirlas.
5) Si el valor de la R.T. encontrada no es notable, se aplica la notación de F.T. inversas.

* Ahora, para la determinación de la solución general, se aplicarán las siguientes fórmulas:

* Donde:

* También se emplean las mismas fórmulas en radianes:

Demostración:
Las soluciones de la ecuación tanx = N , serán las abscisas de los puntos de intersección entre las gráficas de las funciones: y = tanx y = N
Considerando que N es positivo, tenemos la siguiente gráfica:

Del gráfico, x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x6 son soluciones de: tanx = N, donde:
x1= arctanN ; x2 = p +arctanN ; x3 = 2p + arctanN ; x4 = 3n + arctanN ; x5 = -p + arctanN ; x6 = – 2p + arctanN , generalizando se pueden obtener todas las soluciones para la ecuación:
tanx = N; las cuales toman la forma:
x = kp + arctanN ó x=kp +xp.
Siendo

ejemplos :
resolver y dar la solución general de:
8)
RESOLUCIÓN:
* Tenemos:

* Si queremos algunas soluciones les damos valores enteros a “A”, así:

9) cos3x= 1
RESOLUCIÓN:
* Tenemos:

* Luego:

* En radianes:

* Luego:

* Normalmente se trabaja en radianes.

10) tan5x = 1

RESOLUCIÓN:
* Tenemos:

* Luego:

11)

RESOLUCIÓN:
* Tenemos:

* Luego:

12) sen2x = senx
RESOLUCIÓN:
* En este caso habría que reducir la ecuación , para ello recuerda que:

* En la expresión:

* Cancelando “senx” queda:
2cosx = 1

* Pero el factor cancelado se iguala a cero, esto es:

* Luego la solución general es:

13) sen5x = senx

RESOLUCIÓN:
* Aplicamos transformaciones trigonométricas de esta manera:

* Recuerde:

* En este caso, cada factor se iguala a 0; así:

* Luego la solución general es:

OBSERVACIÓN:
Para resolver algunas ecuaciones se trata de expresar ésta como un producto igual a cero; luego cada factor se iguala a cero; teniendo o más ecuaciones elementales. Para que esto sea posible usaremos conceptos algebraicos y trigonometría anteriormente estudiados.

14) Resolver: 2cos2x–cosx–1=0

RESOLUCIÓN:
2cos2x – cosx – 1 =0

* Luego:

* El conjunto solución es:

CASOS ESPECIALES :

EJERCICIO :
Resuelva:
RESOLUCIÓN:

* Luego: