ECUACIONES TRIGONOMETRICAS EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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Una ecuación se llama TRIGONOMÉTRICA si ella contiene la incógnita “x” solo bajo los operadores trigonométricos
¿CÓMO RECONOCER UNA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA?
En una ecuación trigonométrica se verifica que los arcos o ángulos de la forma x, ax ó (ax + b) se encuentran afectados siempre de algún operador trigonométrico, como “sen, cos, tg”, etc.
La mayor parte de este capítulo está abocado a resolver ecuaciones trigonométricas. Para esto, partimos de la ecuación trigonométrica elemental.


 Reconocer una ecuación trigonométrica básica.
 Resolver ecuaciones trigonométricas básicas.
 Resolver ecuaciones trigonométricas utilizando las expresiones de solución general.
LECTURA DE MOTIVACIÓN.

Un poste de alumbrado público ha sufrido un impacto de choque y debido a ello ha quedado inclinado. De los puntos A y B equidistantes de P se observan al foco F con ángulos respectivamente. Si se cumple la relación:

¿Puedes obtener la inclinación del poste?
TEORÍA
¿CÓMO RECONOCER UNA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA?
En una ecuación trigonométrica se verifica que los arcos o ángulos de la forma x, ax o (ax + b) se encuentran afectados siempre de algún operador trigonométrico, como “sen, cos, tg”, etc.
Ejemplos:
1) sen x + cos 2x =1 ………… Sí es ecuación trigonométrica.
2) x2+cosx=2 ………… No es ecuación trigonométrica (porque x2 no está afectado por ningún operador trigo- nométrico).
3) ……… … Si es ecuación trigonométrica.
4) sen2x+cos2x=1 ………… Es identidad, ya que la igualdad se cumple
5) sen(cos x)–x=0 ………… No es ecuación trigonométrica.

La mayor parte de este capítulo está abocado a resolver ecuaciones trigonométricas. Para esto, partimos de la ecuación trigonométrica elemental.
Es de la forma:
donde a, b y “N” son constantes reales y x es la variable o incógnita; además y “N” debe tomar valores correspondientes a la FT (por ejemplo, si FT fuese el operador seno, entonces ).
A continuación se presentan ejemplos de ecuaciones trigonométricas elementales:

Antes de plantear reglas generales para resolver una ecuación trigonométrica elemental, resolveremos algunas de éstas sin necesidad de ninguna regla (utilizaremos definiciones en circunferencia trigonométrica).
EJERCICIO 1
Resuelva la ecuación:

Resolución:
Los valores de x que resuelven la ecuación están dados por y sus respectivos coterminales,

es decir:

En general:

Las soluciones de la ecuación son las abscisas de los puntos de intersección entre las gráficas de las funciones: f(x) = sen x y ; veamos:

Expresiones generales para todos los casos en una ecuación trigonométrica elemental:
I. Si: sen q = N, entonces un valor de q es arc sen (N), en general el valor q se puede expresar por:

II. Si: cos q = N, entonces un valor de q es arc cos (N), en general el valor de q se puede expresar por:

III. Si: tg q = N, entonces un valor de q es arc tg (N), en general el valor de q se puede expresar por:

1. Deducir la solución general para:

Resolución:
Tomemos una circunferencia trigonométrica y tracemos .
Entonces los ángulos cuya tangente es n serán:

Como se observa los ángulos cuya tangente es n tendrán como lados final el radio OA ó OB por lo tanto la solución general será:

el valor principal donde este comprendido entre
2. Deducir la solución general para:

Resolución:

1. Calcular x agudo si:

Rpta………………………………………………….

2. Calcular agudo si:

Rpta………………………………………………….

3. Determine los valores de , 0°<<360° si:

Rpta………………………………………………….

4. Determine los valores de , 0°<<360°, si:

Rpta………………………………………………….

5. Determine la menor solución positiva de:

Rpta………………………………………………….

6. Determine el número de soluciones positivas, donde 0°

Rpta………………………………………………….

7. Determine el número de soluciones, donde 0°<<150°

Rpta………………………………………………….

8. Determine los tres primeros valores positivos de:

Rpta………………………………………………….

9. Determine los cuatro primeros valores positivos de:

Rpta………………………………………………….

10. Encuentre la segunda solución positiva de:

Rpta………………………………………………….

11. Resolver:

Rpta………………………………………………….

12. Resolver:

Rpta………………………………………………….

13. Determine la cuarta solución positiva de:

Rpta………………………………………………….

14. Determine la solución general de:

Rpta………………………………………………….

15. Determine la solución general de:

Rpta………………………………………………….

16. Determine la suma de las menores raíces positivas de:

Rpta………………………………………………….

17. Determine la diferencia de las menores raíces positivas de:

Rpta………………………………………………….

18. Determine el número de soluciones para que cumple:

Rpta………………………………………………….

19. Determine el número de soluciones para

Rpta………………………………………………….

20. Determine la solución general de:

Rpta………………………………………………….

1. Resolver:

A) B)
C) D)
E)

2. Resolver:

A) 0° B) 180° C) 360°
D) 0°, 180° E) 0°, 360°

3. Resolver:

A) B)
C) D)
E)

4. Determine las primeras soluciones de:

A) B)
C) D)
E)

5. Determine la tercera solución de:

A) 410° B) 275° C) 405°
D) 465° E) 395°
• Resolver ecuaciones trigonométricas utilizando identidades trigonométricas.
• Transformar una ecuación no básica en una ecuación básica.
MOTIVACIÓN:
¿Cuántos hijos y de que edades tengo?

Verás, los tengo de tres edades distintas. El mayor es todavía menor de edad y sus años son múltiplos de seis. La suma de los años de mis hijos es 28. El más pequeño será el primero en celebrar su cumpleaños y cumplirá la mitad de los que cumple el mayor.
¿sabes ya sus edades?
TEORÍA:

¿CÓMO RESOLVER UNA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA QUE NO ES ELEMENTAL?
Si una ecuación trigonométrica no es de la forma elemental, aplicaremos las identidades trigonométricas para obtener un mismo tipo de arco trigonométrico (en lo posible); luego se realizan operaciones algebraicas para reducirle y finalmente aplicamos los procedimientos para resolver una ecuación trigonométrica elemental.
No existen reglas generales para transformar una ecuación trigonométrica dada la forma de una ecuación trigonométrica elemental.
Cuando se haya logrado una solución por medio de una elevación a alguna potencia de los dos lados de la ecuación o por medio de multiplicaciones o divisiones de expresiones que comprenden a la variable, debemos comprobar cada solución potencial por medio de sustituciones dentro de la ecuación. Las soluciones potenciales que no satisfagan la ecuación son rechazadas, éstas se denominan soluciones extrañas.
Los ejercicios que se dan a continuación muestran algunas clases de soluciones de ecuaciones trigonométricas.

EJERCICIO 1
Resuelva la ecuación:
Resolución:
A partir de la ecuación sen x + cos x = –1
(sen x + cos x)2 = (–1)2 elevando al cuadrado se obtiene
1 + sen 2x = 1 para su mayor comprensión revise identidad de arco doble
sen 2x = 0

ya que arc sen (0) = 0
Despejando x se obtiene:

Como tenemos , como posible soluciones.
A continuacón, dichas soluciones tendrán que ser comprobadas en la ecuación original:
(sen x + cos x = 1)
…………..
…………..
………………….
………………….
………………….
Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación sen x + cos x = –1; tal que

Ecuaciones trigonométricas usuales con sus respectivas soluciones generales
I. IV.
II. V.
III. VI.

1. Resolver:

Resolución:
Tenemos una diferencia de cuadrados

simplificando:

luego:

Por lo tanto el conjunto solución será:

2. Resolver:

Resolución:

1. Resolver para

Rpta………………………………………………….

2. Resolver para

Rpta………………………………………………….

3. Indique la solución general de:

Rpta………………………………………………….

4. Indique las tres primeras soluciones de:

Rpta………………………………………………….

5. Indique el menor valor positivo en:

Rpta………………………………………………….

6. Calcular la suma de soluciones para en:

Rpta………………………………………………….

7. Determine la menor solución positiva en:

Rpta………………………………………………….

8. Determine la segunda solución positiva si:

Rpta………………………………………………….

9. Determine la menor solución positiva si:

Rpta………………………………………………….

10. Resolver para , si:

Rpta………………………………………………….

11. Determine la solución principal de:

Rpta………………………………………………….

12. Determine la solución general de:

Rpta………………………………………………….

13. Indique el número de soluciones en el intervalo si:

Rpta………………………………………………….

14. Determine la solución principal de:

Rpta………………………………………………….

15. Determine la solución principal de:

Rpta………………………………………………….

16. Resolver para

Rpta………………………………………………….

17. Resolver para

Rpta………………………………………………….

18. Encuentre la solución principal de:

Rpta………………………………………………….

19. Encuentre la segunda solución de:

Rpta………………………………………………….

20. Determine la tercera solución de:

Rpta………………………………………………….

1. Determine la segunda solución positiva de:

A) 60° B) 65° C) 70°
D) 75° E) 85°

2. Determine la solución principal de:

A) 30° B) 15° C) 20°
D) 25° E) 32°

3. Determine la segunda solución de:

A) 60° B) 70° C) 65°
D) 75° E) 90°

4. Determine la menor solución positiva:

A) 180° B) 90° C) 270°
D) 360° E) 450°

5. Determine la menor solución positiva de:

A) 60° B) 30° C) 45°
D) 75° E) 37°