ECUACIONES POLINOMIALES EJERCICIOS DE TERCERO DE SECUNDARIA EN WORD

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OBJETIVOS ESPECIFICOS:

 Reconocer una ecuación polinomial e indicar la relación existente entre solución y raíz.
 Resolver ecuaciones de cualquier grado aplicando los teoremas y técnicas adecuada.

COMENTARIO PREVIO:
Al – Guarismi, el año 1 100 estudia ecuaciones del tipo:

ax 2+ e = bx
ax2 + bx = e
ax? + bx + c = d; etc y da soluciones para cada caso.

La época de oro de las matemáticas Italianas se da en el siglo XVI, en Scipiene del Ferro, Nicola Tartaglia, Girolamo Cardano, Ludovico Ferrari, Frencois Viette, ete, quienes resolvieron las ecuaciones del tercer y cuarto grado. Hecho de trascendental importancia en esa época.
La historia da cuenta de que el profesor Scipiene del Ferro logré resolver la ecuación de tercer grado en 1515, pero no la dio a conocer siguiendo las normas científicas de su época. Aún así, confió sus resultados a Antonio Fiore.

En 1541 Antonio Fiore se bate en duelo matemático con el profesor Nicola Trataglia para ver quién resuelve la ecuación de tercer grado, saliendo vencedor este último.
Cardano quien era médico, adivino y matemático logra con tretas y promesas, que tartaglia le hiciera conocer la solución de la ecuación de tercer grado. El mismo año Cardano publica su libro “Arte Mayor” en donde da la solución de la ecuación de tercer grado como suya y menciona que tartaglia no es sino un redescubridor ya que del Ferro había dado la primera prueba hace 30 años.
En la misma obra aparece la solución de la ecuación de cuarto grado, debido a Ludovico Ferrari, discípulo de Cardano. Posteriormente se dieron otras pruebas tanto de la ecuación de tercer grado (F. Viette) como de la ecuación de cuarto grado (R- Descartes)

Después de los rotundos éxitos de los matemáticos Italianos viene nuevamente un largo periodo de estancamiento en la tarea de la solución de ecuaciones de quinto grado. Recién en 1825, el joven matemático noruego Niels Henrick Abel demostró que la ecuación general de quinto grado no es resoluble mediante la extracción de raíces y las operaciones aritméticas conocidas.

Por otro lado en 1929 Evaristo Galois, probaría que las ecuaciones de grado superior a cuatro no son resolubles por radicales y dio las condiciones necesarias y suficientes para que una ecuación de cualquier grado sea resoluble por radicales. Actualmente existen técnicas que permiten resolver ecuaciones de cualquier grado.

CONTENIDO TEÓRICO:

ECUACION POLINOMIAL EN UNA INCÓGNITA
Es aquella ecuación que tiene la siguiente forma general:

P(X) = a0 xn +a1xn-1 + ……… + an-1 x+ an = 0

Donde: a0 : a1 : a2 :………….. : an-1 ; an  son sus coeficientes
Si: a 0 # 0 el grado de la ecuación es “n” (n N)
X  es la incógnita

RAIZ DE UN POLINOMIO.-
Dado el polinomio P(x). Se denomina raíz o cero del polinomio, al número “a” si y solo si el polinomio P(x) es divisible entre (x – a).

El polinomio P(x) tiene una raíz de valor “a”
P(x) = (x – a) q (x)

Ejemplo hallar las raíces de:
P(x) = x3 – 6×2 + 11x – 6

Factorizando se tiene : P(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3)

Luego las raíces o ceros de P(x). Son: ( 1, 2, 3)

Observación: Una manera práctica de hallar las raíces de un polinomio P(x), es formar la ecuación: P(x) = 0
Así: (x – 1) (x – 2) (x – 3) = 0 CS = {1, 2, 3}
En este ejemplo las raíces del polinomio P(x) coinciden con las soluciones de la ecuación P(x)=0, lo cual no ocurrirá siempre.

Raíz de Multiplicidad “k”:
Dado el polinomio P(x) se denomina raíz de multiplicidad “k” (k  Z+) del polinomio P(x). Al número “a”, si y sólo si el polinomio P(x) es divisible entre (x – a)k, pero no es divisible entre (x – a)k+1, es decir si:
P(x) = x4 – x3 – 3×2 + 5x – 2

Factorizando se tiene: P(x) = (x – 1)3 (x + 2)

Luego las raíces de P(x) son: {1 . 1 . 1 . – 2}
y se dice que:
“1” es una raíz de multiplicidad 3 (raíz triple)
“2” es una raíz de multiplicidad 1 (raíz simple)

Formemos la ecuación : P(x) = 0
(x – l)3 (x + 2) = 0

* (x – 1)3 = 0 x = 1
* x + 2 = 0 x = -2

Luego: CS {1 . -2}

Observación:
Cuando un polinomio tiene raíces múltiples el número de raíces y el número de soluciones no coincide.

Ejercicio:
En la ecuación polinomial:
x3 (x – 2)2 (x2 + 9) (x + ) = 0

Señale:

a) El número de raíces
b) El número de soluciones
c) Su conjunto solución

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA

Toda ecuación polinomial con cualquier tipo de coeficientes numéricos tiene por lo menos una raíz que generalmente es compleja.

Corolario:
Toda ecuación polinomial de grado n > 1. Tiene exactamente “n” raíces complejas en general.
• Luego dada la ecuación polinomial

P(x) = a0 xn + a1xn-1+…….+an-1- x+an= 0: a0  0
Se tiene : P(x) = a0(x – x1) (x – x2) …… (x – xn) = 0
Donde: {x1 : x2: x3: ………. : xn) son raíces de P(x)

TEOREMA DE CARDANO – VIETTE

Sea la ecuación polinomial:
P(x)=a0 xn+a1xn-1+ a2xn-2 +…+an-1x+an = 0 : a0 0
Cuyas raíces son: {x1 : x2 : x3 : ………… : xn}
Se cumple las siguientes relaciones

• Suma de Raíces:
Si = x1 + x2 + x3 + …………… + xn = –
• Suma de Productos Binarios:
S2=x1 x2+ x1 x3 + x2 x3 +…… + xn-1 xn = –
• Suma de Productos Ternarios:
S3= x1 x2 x3 + x1 x2 x + …… xn-2 xn-1 xn = –
• Producto de Raíces:
Sn = x1 x2 x3 ………….. xn-1 xn =(-1)n

Ejemplo:
• En: 4×4 + 3×3 – 2×2 + 3x – 1 = 0
Calcular :
En: 3×5 + 10×12 – 2×10 – 25×5+ 15 = 0
Calcular: S10

TEOREMA SOBRE LA ECUACIÓN POLINOMIAL

1. Toda ecuación polinomial de coeficientes racionales y de grado n  2. Que tenga una raíz de la forma: “a + ”, donde:
a y b  Q (b > 0)  I : tendrá como raíz necesariamente al número “a – ”

2. Toda ecuación polinomial de coeficientes racionales y de grado n 4: que tenga una raíz de la forma” , donde:

a y b  Q+ . Tendrá como raíces necesariamente a los números:

:

3. Toda ecuación polinomial de coeficientes reales y de grado n  2 que tengan una raíz compleja de la forma ,”a + bi”

Donde a y b  R (b  0). Tendrá necesariamente como raíz al complejo conjugado de dicha raíz es decir otra raíz será: “a – bi”

Observación:

Q : conjunto de los números racionales
I : conjuntos de los números irracionales

Ejemplos

• En la siguiente ecuación:
P(X) = . a, b Q
Hallar (a + b) si su raíz es : 3 +
• Formar la ecuación de menor grado posible sabiendo que una raíz es y además sus coeficientes son racionales.
• Dadas la ecuación:
x3 + x2 + mx + n = 0. m, n  R
Donde : 1 + i es una de las raíces.
Hallar 1 asuma de coeficientes de la ecuación

TRANSFORMACIONES DE ECUACIONES:
Sea la ecuación polinomial:

con raíces: { x1 . x2 ……………. xn }entonces

1. La ecuación de raíces aumentados o disminuidos en un valor “k”, es decir con raíces: : es:

Ejemplos:

* Halle la ecuación cuyas raíces son las de la ecuación: x2 – 2x – 8 = 0, pero aumentadas en 1
La ecuación es: (x – 1)2 – 2(x – 1) – 8 =O
• Encuentre la ecuación cuyas raíces son los de la ecuación x3 – 2×2 + x – 5 = 0 disminuidas en 2.
La ecuación es:

(x + 2 )3 – 2(x + 2)2 + (x + 2) – 5 0.

Efectuando se obtiene: x3 + 4×2 + 5x – 3 = 0 También se puede usar el siguiente método:

x=2 1 – 2 1 – 5
 2 0 2
x= 2 1 0 1 – 3
 2 4
x=2 1 2 5
 2
1 4

Luego la ecuación es:

• Encontrar la ecuación cuyas raíces son las de la ecuación: x5 – 3×3 + 2×2 + 1 = 0, disminuidas en 1.

2. La ecuación de raíces multiplicadas por un valor “k” (k  0) : es decir con raíces:

o también:

Ejemplos:

• Encuentre la ecuación, cuyas raíces son las de la ecuación: x2 – x – 6=0. Multiplicadas por 2

La ecuación es : x2 – 21 x – 22 . 6 = 0

• Halle la ecuación cuyas raíces son las de la ecuación: x3 + 2×2 – 5 x 6 = 0 multiplicadas por 3. La ecuación es:

x3+2 . 31 x2 + 5 . 32 x – 6 . 33 = 0

x3 + 6×2 – 45x – 162 = 0

3. La ecuación de raíces invertidas es decir con raíces:

es :

Ejemplo:
Dada la ecuación: x3 – 5×2 + 7x + 2 = 0. De raíces {a, b, c) entonces la ecuación cuyas raíces son:

: es

2×3 + 7×2 – 5x + 1 = 0

TEOREMA DE BOLZANO

Dada la ecuación polinomial F(x) = 0. Donde F(x) es una función continua definida en [a : b]
Si F(a) . F(b) < 0. Entonces existe al menos una solución real: x0  < a. b > / F(xo) = 0

PRÁCTICA DE CLASE

01. Sean: x1 . x2 . x3 raíces de la ecuación:

2×3 – x + 5 = 0

Calcular:

a) 1 b) 2 c) -2
d) – 3/2 e) 4/3

02. Sean: a, b, y c raíces de la ecuación:
x3 – 4×2 + 2x + 4 = 0
Calcular:

a) 5 b) – 5 c) – 4
d) – 7 e) 2

03. En la ecuación : x3 – 63x +  = 0
Determinar un valor de  para que una de las raíces sea el doble de otra.

a) 162 b) 180 c) 400
d) 800 e) N.a.

04. En la ecuación polinomial:
P(x)=x3+(m + 2) x2 + (m2 – 3) x + m2 + 2 = 0
De raíces x1 , x2 , x3. Calcular el valor de “m” de tal manera que la expresión:
A= tenga el máximo valor.

a) l b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

05. Hallar la relación que debe existir entre los coeficientes de la ecuación:

ax3 + bx2 + cx + d = 0 : a  0

Si una de sus raíces es el negativo de otra

a) ab = cd b) ac = bd
c) ad = bc d) a+b = c+d
e) a+d = b+c

06. Sabiendo que: x = c es una raíz de la ecuación
ax5 + (b-ac)x4 – bcx3 – bx2-(a-bc)x+ac = 0:(a>0)
¿Qué condición deben cumplir a , b y c para que las otras raíces sean reales?

a) |b|  a b) |b|  a c) |b|  2a
d) |b|  2a e) 2 c = a + b

07. Indicar el menor valor que debe tener el grado del polinomio P(x). Con coeficientes reales, tal que:
(2 + ) sea una raíz simple, (3 + 2i) sea una raíz de multiplicidad 2 y ( + ) sea una raíz triple.

a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9

08. Hallar un polinomio mónico P(x) con coeficientes enteros y de menor grado posible una de cuyas raíces sea: .
Indicar la suma de los coeficientes de este polinomio.

a) 34 b) 24 e) – 24
d) 62 e) – 34

09. Encontrar un polinomio mónico en “x” de coeficientes en Z que acepte a como raíz. Hallar la suma de coeficientes de dicho polinomio.

a) 165 b) 168 e) 170
d) 174 e) 162

10. Formar la ecuación de menor grado posible con coeficientes racionales, en la que una de sus raíces sea.

a) x4 – 2×2 + 25 = 0 b) x4 + 2×2 – 25 = 0
c) x4 + 2×2 + 25 = 0 d) x4 + x2 + 25 = 0
e) x4 + 2×2 + 5 = 0

11. Hallar el valor de “k” si las raíces de la ecuación:
x3 – 9×2 + kx – 24 = 0
Están en progresión aritmética.

a) 12 b) 13 c) 24
d) 26 e) 28
12. Sea el polinomio: F(x) = x3+ 3×2 – 9

Además : F(m) = F(n) = F(p)= 0
Calcular: F

a) – 5 b) – 1 c) 2
d) – 2 e) 4

13. Si: (2 + i) es una raíz de multiplicidad dos del siguiente polinomio:
P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 25
Hallar: a + b + c + d
Además: a , b , c , d  R.

a) 17 b) 18 c) 19
d) –18 e) –17

14. La ecuación: x4 – 12x – 5 = 0. Contiene 2 raíces cuya suma es 2. Calcular la suma de las inversas de las otras dos.

a) 0,2 b) 0,4 c) – 0,2
d) – 0,4 e) 5

15. Sea la ecuación polinomial:
P(x) = ax3 + x2+ x + b = 0: a  0
Determinar los valores de “a” de modo que P(x) admita una raíz real “r” de multiplicidad 2.

a)
b)
c)
d)
e)   R

16. Si la ecuación: x4 + mx3 + 2x + n = 0 m  n  R; admite una raíz triple.
Hallar: m2 + n3

a) 3 b) 4 c) 5
d) – 3 e) –1

17. Se sabe que : x1 , x2 y x3 son las raíces de la ecuación. x3 – x2 – 1 = 0. Encontrar una nueva ecuación cuyas raíces son:
x1 + x2 ; x2 + x3 ; x3 + x1

a)
b)
c)
d)
e)

18. ¿Cuál será la ecuación cúbica cuyas raíces sean el duplo de los recíprocos de cada una de las raíces de la ecuación polinomial?

Ax3 – Bx + C = 0 ; C  0

a) Cx3 – Bx + A = 0
b) Cx3 + 2Bx2 + 4A = 0
c) Cx3 + 2Bx2 – 4A = 0
d) Cx3 – 2Bx2 + 8A = 0
e) Ax3 – 2Bx + 4C =O

19. Si: P(x) = (x – 1)(x – 3)(x – 5)+(x – 2)(x – 4)
Indicar la alternativa más correcta:

a) Tiene 3 raíces reales
b) Tiene 3 raíces reales negativas
c) Tiene 3 raíces reales positivas
d) Tiene 2 raíces reales positivas y una es negativa
e) N.a.

20. Sea el polinomio : P(x) = x3 – 3×2 + 5
Indicar si es verdadero o falso:

I. Sólo tiene una raíz real positiva
II. Tiene 2 raíces complejas
III. Tiene una raíz comprendida entre <-2; - 1>
IV. Tiene un mínimo absoluto en x= 2

a) VVVF b)VFVF c)VFFF
d) FVVF e)FFFV

TAREA DOMICILIARIA

01. Si: F(x) = 1 / (x3 – 1)2 y además a, b y c son raíces de la ecuación: x3 – 3x – 1= 0
Calcular S = F(a) + F(b) + F(c)

a) 1 b) 3 c) 1 / 3
d) 9 e) N.a.

02. Halle las raíces r1 , r2 , r3 , r4 de la ecuación:

4×4 – ax3 + bx2 – cx + 5 = 0

a) 1/2 b) 1/4 c) 5/4
d) 1 e) N.a.

03. Halle las raíces r1 , r2 , r3 , r4 de la ecuación:
4×4 – ax3 + bx2 – cx + 5 = 0
sabiendo que son reales positivos y que:

Indique el valor de: r4

a) 1/2 b) 1/4 c) 5/4
d) 1 e) 2

04. Determinar el polinomio P(x) de grado 7. Sabiendo que:

I) Para: x = 3 : P(x) =PI (x)=PII (x)= PIII (x)=0 y PIV (x)  0
II) Para: x = – 2 : P(x) = 0 : PI (x)  0
III) Para: x = 4 : P(x) = 0 : PI (x) =0 : PII (x)  0
IV) P(2) = – 32

Dar como respuesta el valor de P(5)

a) – 112 b) 224 e) 32
d) – 32 e) – 224

05. Si la ecuación:
x5 – 10a3x2 + b4x + c5 = 0 tiene 3 raíces iguales.

Hallar el valor de: ab4 – 9a5

a) c b) – c5 c) 0
d) c2 e) 1

06. Sean a . b y c raíces de la ecuación:
x3 + px + q = 0 (a, b, c diferentes) expresar en términos de p y q a:
M=(a – b)2 (b – c)2 (a – c)2

a) b)
c) d)
e)

07. Sabiendo que: a b y c son raíces de la ecuación:
x3 – 7×2 + 5x + 6 = 0
Calcular:
M = (a + b – c) –1 + (b+c – a)–1 + (c + a – b) –1

a) 31/55 b) 9/55 e) 7/155
d) 29/155 e) 27/55

08. Sobre la ecuación:
P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + c = 0
Donde: 2a2 < 3b  {a, b, c, d, e} R Indicar (V) o (F) I) Todas sus raíces son reales II) Al menos dos raíces son complejas III) Una raíz es real a) VFF b) FFV c) FVF d) FFF e) VVV 09. El producto de los coeficientes de la función polinomial de menor grado que pasa por los puntos: ( 0 ; 0) ; (1 ; 1) ; (2 ; 0) y (3 ; -1) es: a) –15/4 b) –14/9 c) 5/9 d) –15/9 e) –16/9 10. La única raíz real de: x5 + x – 10 = 0 se encuentran en: