ECUACIONES PARAMETRICAS EJERCICIOS RESUELTOS PDF

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Ecuaciones Paramétricas de una curva
, Derivada de una función dada paramétricamente
, Sean / , g dos funciones continuas definidas en /, / c R, / ^ 0. Las ecuaciones
de la forma
m , t G / (1)
(y = g ( t)
se llaman ecuaciones param étricas y t se llama parám etro.
Si se considera que los valores de x e
y son las coordenadas de un punto en
el plano coordenado xy, a cada valor
de t le corresponde el punto
p ( / ( 0 ; s ( 0 ) del plano xy (Fig.
10.1). Cuando t varía en /, este punto
describe una curva.
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Supongamos que x = / ( t ) tiene inversa t = f J (x). Entonces y es función de x,
pues
y = 5 ( / _1W )
En este caso, y está en función de x y se dice que la función se representa en
forma paramétrica por (1).
Para expresar y en términos de x, es necesario eliminar el parámetro t de las
ecuaciones (1). Al eliminar el parámetro (si es posible), obtendremos una ecuación
de la forma y = /i(x) ó de la forma £(x; y) = 0.
El dominio de una ecuación paramétrica, si no se indica, se determina por
/ = D o m (/) n D om (^)
TOPICOS DE CALCULO – VOLUMEN I
E jem plo 1. Elimine el parámetro t de las siguientes ecuaciones paramétricas y
obtenga la correspondiente ecuación cartesiana.
x = h + r e o s t
k + r sen t
Si |a | + |6|
í:
t £ [0; 2n] (Circunferencia)
x = h + a eos t r„ _ ,
k, +. b, sen t. , t 6 [0; 2n]
x = h + a cosh t
k + b senh t ‘ t e
(x = t + 1
d> \ y = t 2 + 2 t + 2 ‘ ‘ f £
(Elipse)
(H ipérbola)
(Parábola)
Solución
a) Tenemos x — h = r eos £ A y — k = r sen l, t 6 [0; 2n], Entonces
(x — h ) 2 + (y — k ) 2 = r 2(cos2t + sen 2t) = r 2
En conclusión, las ecuaciones paramétricas dadas representan una
circunferencia de centro C ( h \ k ) y de radio |r |. En particular, si h = k = 0,
representan a la circunferencia de centro en el origen y de radio |rj (Fig. 10.2).
yi Ik
r/ í \
Z i \
/ V ! 1 *
1 0 x J X
Fig. 10.2
b) Procediendo de manera similar al ejemplo anterior, se obtiene
(x – h) 2 (y – k ) 2
= 1.
Esta ecuación representa a una elipse de centro C(h; k) y semiejes ¡a| y ¡b|.
cx – h y (y – k y
c) Del mismo modo,
b 2
= 1 .(Hipérbola de centro C(h; /c)).
d) Como t = x – l = > y = ( x – l ) 2 + 2(x – l ) + 2<=>yy =; x 2 + l
(Parábola de vértice K(0; 1))
436
ECUACIONES PARAM ÉTRICAS
Ejem plo 2. Trace la gráfica de la curva cuyas ecuaciones paramétricas son:
í ; : í – +22 t .
Solución
Los valores de x e y para los valores dados de t se muestran en la tabla siguiente.
t 0 1 2 3 4 5 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5
X 0 3 8 15 24 35 – 1 0 3 2 15
y – 2 – 1 0 1 2 3 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7
La gráfica es una parábola de vértice K(— 1 ,;— 3) (Fig. 10.3) y su ecuación
cartesiana es x = y 2 + 6y + 8.
Ejem plo 3.
Cuando una circunferencia de radio a rueda sin resbalar sobre una línea recta, la
curva descrita por un punto fijo en la circunferencia se llama cicloide. Esta curva
está formada por una sucesión de arcos, cada uno de los cuales corresponde a una
vuelta completa de la circunferencia. Encuentre las coordenadas (x; y ) de
cualquier punto de la cicloide en función del ángulo t (parámetro) que ha girado
la circunferencia.
Solución
Supongamos que F (el punto fijo) coincide, al principio del movimiento, con el
origen de coordenadas. Sean (x; y ) las coordenadas de F después de haber girado
la circunferencia un ángulo t (Fig. 10.4). Entonces, se tiene
FB = OB ==> OB = a t ) x = OB — AB = a t – a sen í
y = AF = BD = BC — CD = a — a eos t
Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la cicloide son:
f * – a ( t – s e n O ( 6 R
(.y = a ( l – eos t)
Cuando 0 < t < 2n, el punto F describe un arco de la cicloide. Ejem plo 4. Si una cuerda que está enrollada alrededor de una circunferencia (fija) de radio a comienza a desenrollarse de tal manera que la cuerda siempre se mantenga tirante y en el mismo plano de la circunferencia, entonces el extremo libre de la cuerda describe una curva llamada involuta de la circunferencia. Halle las ecuaciones paramétricas de la involuta de la circunferencia de radio a. 437 Consideremos la circunferencia de radio a y centro en (0; 0). Sea i 4 ( a ; 0 ) el extremo libre de la cuerda (Fig. 1 0 .5 ). Entonces NP = A N = a t , OM = a eos t , MN = a s e n t , CP = Ñ~P sen t = a t sen t y CN = NP eos t = a t eos t. Luego, se tiene x = OM + CP = a eos t + a t sen í y — MN — CN = a sen t — a t eos t Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la involuta de la circunferencia de radio a son: ( x = a(co s t + t sen t) (y = a (se n t — t eos í ) ' f E TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I Solución Definición 1 Se dice que una curva dada en ecuaciones paramétricas presenta un lazo (es decir, se interseca a sí misma) si a dos valores tt =£ t2 les corresponde un mismo punto P (Fig. 10.6). Ejem plo 5. Halle las coordenadas cartesianas del punto en el cual la curva cuyas ecuaciones paramétricas son x = t 3 + 2 12 A y = t 3 — t, t £ R presenta un lazo. Solución. Sean a y b dos valores distintos del parámetro t para los cuales se tiene el mismo valor para x e y . Entonces ( x = a 3 + 2 a 2 ( x = b 3 + 2 b 2 [ y = a 3 - a [y = b 3 - b Luego, a 3 + 2 a 2 = b 3 + 2 b 2 A a 3 - a = b 3 - b <=* a 3 — b 3 + 2 ( a 2 — b 2) = 0 A a 3 — b 3 — (a — b) = 0 <=> (a — b ) ( a 2 + ab + b 2 + 2a + 2b) = 0 A
(a – b ) ( a 2 + ab + b 2 – 1) = 0
Como a * fe, se tiene
a 2 + ab + b 2 4- 2 a + 2b = 0 (2)
a 2 + ab 4- b 2 — 1 = 0 (3)
1
De (2) — (3) se tiene: 2a 4- 2b 4-1 = 0 <=* b = — a — - ... (4) Reemplazando (4) en (2), se tiene a 2 4 - ^ a - ^ = 0 => a = – ( – l ± V l 3 )
1 , 9 – 7 + V13
Si a i = – ( – 1 4 – V T 3 ) => x = – . y = 16 –
1 9 – 7 4-V Í3
Si a2 = – { – 1 – V 1 3 ) => x = – , y = ^ –
( 9 – 7 4- V l3
Por tanto, el lazo se corta en el punto P I – ; —–^ r—
ECUACIONES PARAMETRICAS
10.2 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DADA EN SU FO RM A
PA R A M ÉTR IC A
Supongamos que la representación paramétrica de una curva es
ly = a i t )
donde / y g son funciones derivables en I y / ‘ ( t ) ^ 0 , V t e 1.
Aplicando la regla de cadena, se tiene
d y _ d y / d t dy^ _ g ‘( t )
d x d x / d t ° d x f ‘( t )
439
TÓPICOS DE CÁLCULO – VOLUMEN I
d 2y
Para obtener la segunda derivada — , se aplica nuevam ente la regla de la
d x ¿
cadena. De este modo, tenem os
d y _ d_ / d y \ _ d t \ d x
d x 2 d x \ d x ) d x
d t
d ny
En general, se tiene ——
5 d x n
d t L /'(t)
f i t )
d d n~l y
dt d x n~1
d x
dt
[ / ‘( t ) ] 2
Ejem plo 6. Encuentre la ecuación cartesiana de las rectas tangente y normal a la
curva cuyas ecuaciones paramétricas son x = t 2 + 1 A y = t 3 + 2t, en el punto
donde t = — 2.
Solución
d y 7d7t/” 3 1 2 + 2
d x
d t
d x
La pendiente es m
2 t
dy _ 14 _ 7
d x t = – 2 – 4 2
Para t = —2, el punto de tangencia es P ( 5; —12) y las ecuaciones de las rectas
tangente y normal son
Lt : 7 x + 2y – 11 = 0 y LN\ 2 x – 7y – 94 = 0
O bservación 1.
Para trazar la gráfica de una curva dada en su forma paramétrica, se debe tener
en cuenta las siguientes estrategias:
1) Determinar los números críticos para t, es decir, los valore<• t 1( t 2, t 3, ... para los cuales p o r lo menos una de las derivadas f ' ( t ) ó g \ t ) se anulan o no existen, i d y g ' ( t ) 2) Mediante la f ó r m u l a — = — . se halla el signo de 'la deriv ad a en cada d x /'( £ ) a uno de los intervalos (tx; t 2), ( t 2) t 3, e t c . De esta manera, quedan determinados los intervalos de crecimiento. d 2y g " ( t ) ■ f \ t ) - f " ( t ) ■ g'{t) 3) Mediante la f ó r m u l a —— = ---------------------- --------------- , se de te rmi na la d x l ( n o ) 1 concavidad en cada intervalo de la recta. 4 4 0 dx 4) Si existe t 0 para el cual — = 0, entonces ha y una recta t a ng e nt e vertical a la g r á fi c a en el punt o correspondiente a t0 (si empr e que en ese punto ECUACIONES PARAMÉTRICAS 5) Para hallar las asíntotas verticales y horizontales, debemos determinar los valores de t en cuyas proximidades x ó y tienden al infinito. Ejem plo 7. Trace la curva dada por las ecuaciones paramétricas ( x = a cos33 t ^ _ , a > 0 (y = a sen ót
Solución
Dado que las funciones periódicas cos3t y sen3t tienen período 2n, será
suficiente considerar la variación del parámetro t en [0; 2n\.
Luego, [- a; a] es el dominio de definición tanto para x como para y. Por lo tanto,
la curva no tiene asíntotas horizontales.
Se cumple:
d x , d y
— = —3a eos t sen t , — = 3 a s e n t c o s t
d t d t
n 3n
Estas derivadas se reducen a cero cuando t = 0, t = —, t = n, t = — y t = 2n,
dy
Además, — = —tan t.
dx
dy
El análisis de los signos de — se m uestra en la tabla siguiente.
Intervalo
para t
Intervalo
para x
Intervalo
para y
d y
Signo de ——
dx
Crecimiento
de y = h ( x )
(0; n / 2 ) <0; a) (0; a) - decreciente (n/2-, n) ( - a ; 0) (0; a) + creciente (n; 3 n / 2 ) { - a - 0) ( - a ; 0} - decreciente <3tt/2; 2n) (0; a) < -a;0> + creciente
d y dy
Por otro lado, lim —- = 00 y lim — = 00.
t-4 d x * dx
n 3n
Luego, en los puntos correspondientes a t = ^ y t::= ‘ y ‘ ^ a tangente a la curva es
vertical.
441
TÓPICOS DE CÁLCULO – VOLUMEN I
dy dy
Además: —
dx £ = 0 dx t = n
d y
°- -dxf t = 2n
= 0.
Luego, en los puntos correspondientes a t = 0, t = n y £ = 2n, la tangente es
horizontal.
La segunda derivada es
d 2y 1
d x 2 3 a eos4t s e n £
Esta segunda derivada se reduce a cero en
n 37r
t = 0, t = – , t = n, t = — y t = 2 n
d^x
El análisis de los signos de — – se ilustra en la tabla siguiente.
Intervalo
para £
d 2x
Signo de — 2 Concavidad para y = h ( x )
<0; 7r/2) + ü (n/2-, n) 4- U (n-, 3 n / 2 ) - ñ (3n/2-,2n) - n La gráfica de la curva se llama astroide y se muestra en la Fig. 10.7. Su ecuación cartesiana es x 2^ 4- y 2¡3 = a 2^3. y i k y V. 0 ^ ►x !-a Fig. 10.7 4 4 2 Ejemplo 8. Trace la gráfica de la curva cuyas ecuaciones paramétricas son 1 x = t + - A y = t 3 — 3 t £ Solución i) Dom = (—oo; 0) U ( 0 ;+ o o ) ii) Asíntotas verticales: no tiene (pues no existe ningún valor de £ para el cual x -* a A y - » ± o o ) Asíntotas horizontales: y = L es asíntota horizontal si lim y = L. X - * ± o o Como x -* + o o cuando t -* + c o v t -> 0 T, entonces se tiene
lim y = lim y = 0
*_oo £-.0+
Luego, y = 0 es asíntota horizontal a la derecha.
Para el caso en que í -» +co, no existe asíntota horizontal.
Análogamente,
lim y = lim y = 0
X – » —00 t – * 0
Luego, y = 0 es asíntota horizontal a la izquierda.
ECUACIONES PARAMETRICAS
No tiene asíntotas oblicuas, pues arl-i.m±o o -x = + co.
d x 1 d y d y .
111) — = 1 —- – . — = 3 t z – 3 A — = 3 r
’ d t t 2 d t d x
Puntos críticos: t = 0, t = ± 1 .
d y
El análisis de los signos de — se m uestra en la tabla siguiente.
dx
Intervalo
para £
Intervalo
para x
Intervalo
para y
d y
Signo de —
dx
Crecimiento
de y = h ( x )
( – o o ;- 1 ) ( – o o ;- 2 ) (-oo; 2) + crece
<—1 :0> ( – c o ; – 2 ) (0:2) + crece
(0 :1 ) (2; +oo) ( – 2 : 0 ) + crece
(1; 4-oo) <2;+oo) (—2; +oo) + crece iv) No tiene tangentes verticales ni horizontales, pues d y d x d y ± o o si t -» ± o o , y cuando t -> ± o o , x -> ±oo
—— * O si £ -* O, y cuando £ -» O, x -> co
d x
4 4 3
TÓPICOS DE CÁLCULO – VOLUMEN I
d 2y 6 t 3
v) d x 2 = t 2 – 1
Puntos críticos de inflexión: t = – 1 , t = 0 y t = 1.
El análisis de los signos de se m uestra en la tabla siguiente.
Intervalos
para t
d zx
Signo de —
d x 2
Concavidad para
y = h(*)
( – o o ;- 1 ) – n
< - l ;0 > + ü
(0; 1) – n
+ ü
La gráfica de la curva se muestra en la figura 10.8.
Ejem plo 9. Mediante la primera derivada, trace la gráfica de la curva dada por
3a t 3 a t 2
X = A y = T T t » ( a > 0 )
Solución
i) Dominio: t e M — {— 1}
ii) Asíntotas.
a) No tiene asíntotas verticales ni horizontales, pues ninguno de los límites
siguientes se ajustan a su definición.
lim x = +oo a Iim y = —oo
t — i –
lim. x = —co A lim y = +°o
t— 1+ t— 1+ ‘
lim x = O A lim y = O
t-*o t-» o
lim x = O A lim y = O
t – * ± OO £ —* + 0 0
y
b) Oblicuas: m = lim – = lim t = – 1
X -* + a > X
b = lim (y — m x ) = l im ( y + x) = lim ————- – = – a
X – > + m x – * + o o 1 — t + t
Luego, la rectá y = — x — a es asíntota oblicua cuando x -» +oo.
y
m = lim – = lim t = – 1
x – * – o o X
= lim ( y – m x ) = lim ( y + x ) = lim —————- = – a
X – > – c o x – * – 0 0 t – * – l + 1 — t + t
Luego, la recta y = — x – a es también asíntota oblicua cuando x -» -oo.
444
d x 3 a ( l — 2 t 3) dy 3 a t(2 – t 3) d y _ t ( t 3 – 2)
‘U) d t ~ ( l + t 3) 2 ‘ d i ” (1 + 13) 2 ‘ d x ~ 2 t 3 — 1
Puntos críticos: t = O, t = 1 /2 y t = V2.
ECUACIONES PARAMÉTRICAS
El análisis de los signos de — se m uestra en la tabla siguiente.
dx
Intervalo
para t
Intervalo
p arax
Intervalo
para y
dy
Signo de —
dx
Crecimiento
de y = h (x)
( – o o ;- 1 ) (0; +oo) (-oo; 0) – decrece
<—1; 0> (—oo; 0) (0; +oo) — decrece
(0; y i7 2 > (0; a V í) <0;aV2> + crece
(VT72; V2> (a V 2; a V í) (a V 2; aV 4) – decrece
< V2; +oo) (0; aV2> (0; aV 4) + crece
Como — = 0 cuando £ = 0 y t = \ Í 2 , entonces en los puntos PjCOjO)
dx 3 3 3
(correspondiente a £ = 0) y P2(aV 2 ;aV 4 ) (correspondiente a t = V2J, ia
tangente a la recta es horizontal.
Por otro lado, — oo cuando t — co y t -» Í / I 7 2 . Entonces, en los puntos
dx
P1(0 ;0 ) ( c o r r e s p o n d i e n t e a t -» o o ) y P3(aV 4 ;aV 2 ) (correspondiente a
t -> y 1/2. la tangente a la curva es vertical.
Luego, la curva pasa dos veces por P^OjO): una vez con la tangente horizontal
igual al eje x y otra con la tangente vertical igual al eje y.
La gráfica se muestra en la figura 10.9.
yi k.
0, •x
Vv\
Fig. 10.9
445
TÓPICOS DE CÁLCULO – VOLUMEN I
EJERCICIOS
En los siguientes ejercicios del 1 al 10, dibuje la gráfica de la curva en cada caso y
elimine el parámetro para obtener su ecuación cartesiana.
1) * = 2 t , y = 3 t – 4 2) x = t 2 4- 1 , y = –
t
3) x = 3V t – 2 , y = 2 V 4 ^ 7 4 ) x = — ^ , y = —
1 + t 3 ‘ 7 1 + t 3
r \ C-l
} * “ 4 + t 2 ‘ y ~ 4 4- 1 2 6) x = e 1 , y = e _t
2 0 t _ _ 5 (4 — t 2)
~ ” 4 4 -12 ‘ y ~ ” 4 4 -12
7) x — 3 sen 0 , y = 5 eos 6 8) x = 4 sec 9 , y = 3 tan 9
9) x — 3 sen t , y = 4 tan t sec t 10) x = 2 tan h t , y = 3 sech t
En los ejercicios del 11 al 24, obtenga Dxy , Dy x, D2y A D2x.
11) x = ( t 4- l ) 2 , y = ( t – l ) 3 12) x = e _ f2 , y = t e t2
13) x = í – sen í , y = ( t – n ) 2 14) x = t 2 , y = t 3 4- 2 t
15) x = 4 eos t , y = 2 sen 2t 16) x = 2 cosh t , y = senh t
17) x = c o s h t, y ^ e “ * i 8) x = + eos í , y = – sen t
19) x = a9 – asen 0 , y = a – a eos 9 20) x = V i – t 2 , y = aresen t
21) x = t – tan h í , y = sech t 22) x = e 2t + 1 , y = 1 – e -t
23) x = t 2 – t , y = t 3 – 3 t 24) x = t 2(t – 2) , y = t ( t – 2 )2
En los siguientes ejercicios, hasta el N° 32, halle las ecuaciones de la tangente y
de la normal a la curva en el punto correspondiente al valor del parámetro que se
indica.
25) x = t 2 4- 1 , y = t 3 4- 2 t , t = – 2
26) x = —-3–í- — , y = —3–(-2— t = 0
t 3 + l y t 3 4- 1 ‘
27) x = 4 eos t , y = 2 sen t , t = 0 A t = –
2
28) x = 4 e o s t , y = 2 s e n 2í , t = –
3
C j j –
29) x = 3 sen (t) — 4 , y = 5 4- 2 eos t , t — —
4
30) x = 3 eos39 , y = 3 sen 3i9 , t = –
4
31) x = a e t eos t , y = a e í s e n t , t = 0
32) x = a ( 1 – sen t ) , y = a ( l – eos t) , t = – A t = n
4
4 4 6
En los siguientes ejercicios, hasta el N° 40, trace la gráfica de cada una de las
curvas dadas de forma paramétrica.
33) x — t 2\ t \ , y = sen h 3t 34) x = t 2/3 , y = ( t 2 4- í ) 1/í3
eos t sen t
35) x = í — tan h t , y = sech t 36) x = —-— , y = —-—
1 3 t 3 t 2
37) x = – , y = ln |t| 38) x = — – – , y =
ECUACIONES PARAMETRICAS
t ‘ 11 ” 1 + t 3 ‘ 7 1 4- t 3
t + 1 1
39) x = — , y — ~ 40) x – t 2 – 2 t , y = t 3 – 1 2 t
41) Dadas las funciones
/ ( x ) = sen h 3(V x — 3) — 1 , h ( x ) = arctan (x 4- 6) — 1 y
9 4- x 4- x 2\ 1
9 W = 2 – t a n h – ( ^ 7 T 1 ? j + j l n 6
y las ecuaciones paramétricas de la curva
6 t 6 12
C: x = ——- – , y ,
1 – t 3 ‘ t 3 – 1
a) Halle las asíntotas oblicuas de la curva C.
b) Halle el área del trapecio isósceles con bases paralelas al eje x, de manera
que el primer vértice es el punto de inflexión de h( x) , el segundo es el
punto de extremo relativo de g ( x ) , el tercero está sobre la asíntota oblicua
de la curva C y es punto de extremo de / ( x ) , y el cuarto es un punto que
está sobre la asíntota oblicua de C.
42) Dadas las funciones
/ ( x ) = – 2 4- tan h (x – 1 ), ^ (x ) = 4 – arccot + ^ 2) + arco t ,
. ( x 2 4- 5x 4- 4 \ 1 1 /4 \
‘, M = t a ” h – ( I 2 _ s , + 4 J — ; — 2 . ” f e ) – 2
y las ecuaciones paramétricas de la curva
8
C: x = t 2 + 4 t 4- 2 , y = 2ü2 4- –
t
a) Determine los vértices y el área del triángulo PQR, donde P es el punto de
inflexión de / ( x ) , Q es el punto máximo relativo de g ( x ) y R es el punto
de tangente vertical de la curva C.
b) ¿Cuál es el área del rectángulo PQRS tal que P, Q y R están determinados
por la parte (a) y S es el punto de extremo relativo de h ( x ) l
R. (a) 9u 2 (b) 1 8 u 2
4 4 7
43) Halle las asíntotas de la curva cuyas ecuaciones paramétricas son