ECUACIONES DIOFANTICAS EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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ECUACIONES DIOFÁNTICAS
Es una ecuación donde tanto los términos constantes (coeficientes), como las variables son números enteros; puede ser de una sola ecuación de dos, tres o más incógnitas, de primer, segundo o mayor grado.

Examinaremos particularmente la ecuación diofántica de dos variables: ax+by=c; en la cual la incógnita a hallar son x e y. que son enteros y que tienen infinidad de valores, pero para nuestra aplicación solo consideraremos los positivos.
Las ecuaciones diofánticas fueron estudiadas de manera intensiva por los matemáticos indúes medievales, quienes fueron los primeros en buscar sistemáticamente métodos para la determinación de soluciones enteras. Estas tenían su aplicación en la Astronomía en la determinación de los periodos de los planetas. Aryabhata en su texto Aryabhatiya (año 499) dio la primera descripción explícita de la solución entera general de la ecuación diofántica lineal ax+by=c, llamó Kuttaka a dicho algoritmo de solución. Kuttaka, que significa pulverise, consistía en romper el problema convirtiéndolo en nuevos problemas en los cuales los coeficientes eran más y más pequeños con cada paso; el método es básicamente el uso de algoritmo de Euclides para encontrar el mayor factor común de a y b, pero también está relacionado con las fracciones continuas.
La teoría de las ecuaciones diofánticas ha llegado con el tiempo a contarse entre las más bellas y difíciles áreas de la Matemáticas. Un problema matemático muy famoso que se resuelve de ecuaciones diofánticas es el del mono y los cocos.


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MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
DE ECUACIONES DIOFÁNTICAS
Mediante las actividades que se desarrollaran en el taller, se busca que los participantes
se involucren en la resolución y planteamientos de problemas contextualizados a la realidad
del estudiante y que involucren aritmética entera.
También en el taller, se pretende construir en forma conjunta una propuesta metodológica
con el fin de que se considere como una alternativa a ser incluida dentro del plan de estudios
a nivel de secundaria en el área de matemática.
Justificación del taller
La estrategia basada en la resolución de problemas, se ha convertido desde hace
algunas décadas en una importante contribución a la educación matemática en el mundo.
Tal vez la obra de Polya, que aunque escrita en los años 40 del siglo XX, fue la pionera en este
tipo de propuestas. Él planteó una sucesión de pasos en la resolución de problemas: entender
el problema, configurar un plan, ejecutar un plan y mirar hacia atrás.
Introducción
En la sesión inaugural del 2º Congreso Internacional de Matemáticas, celebrado en París
en 1990 David Hilbert planteo una lista de veintitrés problemas, con la intensión de resaltar
los más importantes problemas matemáticos no resueltos que el siglo XX iba a heredar del
siglo XIX. En dicha lista aparecería un único problema de decisión, el Problema Décimo: Su
enunciado original es
Entscheidung der Lösbarkeit einer diophantischen Gleichung
Eine diophantische Gleichung mit irgendwelchen Unbekannten und mit ganzen rationalen
Zahlkoecienten sei vorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchen sich mittels einer
endlichen Anzahl von Operationen entscheiden lä t, ob die Gleichung in ganzen rationalen
Zahlen lösbar ist.
Es decir, dada una ecuación diofántica con cualquier número de incógnitas y con
coeficientes numéricos racionales enteros:
Idear un proceso de acuerdo con el cual puede determinarse, en un número finito de
operaciones, si la ecuación es resoluble en números racionales enteros.
En términos más modernos, Hilbert solicitaba a sus colegas del futuro un algoritmo capaz
de admitir como entrada (input) una ecuación diofántica cualquiera, y de devolver Si como
resultado (output) si la ecuación procesada tenia soluciones en los enteros o No si la ecuación
procesada carecía de soluciones en los enteros. Por ejemplo, la ecuación x2+y2=z2 obtendría
un Si, puesto que tiene soluciones enteras, empezando con x=3, y=4, z=5 y siguiendo con
otros infinitos tripletes. En cambio, cualquier ecuación xn+yn=zn con n>2 obtendria un No,
puesto que no tiene soluciones enteras.
-2-
El problema no se resolvió hasta 70 años después, y en sentido negativo. En 1970 Yuri
Matiyasevich1 culminó más de veinte años de trabajo de varios matemáticos, entre ellos Martin
Davis, Julia Robinson y Hillary Putnam, con la demostración de imposibilidad del décimo
problema: ningún algoritmo es capaz de determinar la resolubilidad de cualquier ecuación
diofántica. El planteamiento, desarrollo y demostración del problema tienen gran interés en
matemática moderna, porque en ellos participan conceptos de teoría de números y de lógica
matemática, y se abren nuevos campos de investigación en ambas disciplinas.
Definiciones
Se llama ecuación diofántica (en recuerdo a Diofanto2 de Alejandría) a cualquier ecuación
algebraica con coeficientes enteros, generalmente de varias variables, planteada sobre el
conjunto de los números enteros Z o los números naturales N, es decir, se trata de ecuaciones
cuyas soluciones son números enteros.
Ejemplos
• 3x + 8y = 5
• x2 + y2 = z2
• x4 + y4 = z4
• x3 + y3 = z4
• x2 + y2 = 7z2
• x2 + 1 = y2
• x6 + y6 + z6 + u6 + v6= w6
• x5 + y5 + z5 = w5
• xk + yk = n! zk , k  2, n >1
• xn + yb = zc, a, b, c > 2, mcd(a, b,c)=1
Veremos cómo resolver las ecuaciones diofánticas, dividiéndolas en diferentes tipos.
Métodos nta s para r so v r cuac on s d ofánt cas
Método de factorización
El método de factorización consiste en expresar una de las partes como un producto y
teniendo en cuenta el otro lado analizar los casos posibles.
1 Yuri Matiyasevich (1947) Matemático ruso. En 1964 obtuvo el primer lugar de la 6º Olimpiada
Internacional de Matemática que tuvo lugar en Moscú. Es muy conocido por su solución negativa
del décimo problema de Hilbert, presentada en su tesis doctoral, en LOMI, el Departamento de
Leningrado del Instituto de Matemática Steklov.
2 Diofanto fue un matemático griego famoso en su tiempo, quien estudio especialmente la resolución
de ecuaciones en enteros. La mitad de su obra principal, Aritmética, sobrevivió hasta nuestros
días. Muy poco se sabe de su vida, excepto unos datos aparecidos en una colección posterior de
rompecabezas griegos, que nos dicen que vivió hasta la edad de 84 años y tuvo un hijo que murió
cuando Diofanto tenía 42 años.
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Ejemplo 1
Halle todos los números naturales n y los números primos p que sean soluciones de la siguiente
ecuación.
n3 + 7n2 + 14n + 8 = 6p
Resolución
Factorizando el primer miembro
n3 + 7n2 + 14n + 8 = n2 + 6n2 + n2 + 6n + 8n + 8
= n3(n+1)+6n(n+1)+ 8(n+1)
= (n+1) (n2+6n+8)
= (n+1) (n+2) (n+4)
Además 6p=1.2.3.p y n+4>n+2>n+1>1, de donde n+1=2, n+2=3 y n+4=p; por lo cual
n=1 y p=5; es decir la solución es (1,5).
Ejemplo 2
Halle todas las soluciones enteras de la ecuación diofántica 3xy + 2y =7
Ejemplo 3
Halle todas las soluciones de la ecuación diofántica 2×2 + xy – 3y2 =17
Ejemplo 4
Resuelva la ecuación diofántica (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3=35
Ejemplo 5
Determine los valores enteros positivos de n para que el número n2 – 4n +16 sea el cuadrado
de un número natural.
Método del cociente
La idea básica de este método es similar al método de factorización, solo que ahora en un
lado vamos a tener un número en forma de cociente y por otro lado un número entero.
Ejemplo 1
Halle todos los valores naturales de n para que n4+2 sea divisible por n+2.
Resolución
Aplicando el método de Ruffini
1 0 0 0 2
2 2 4 8 16
1 2 4 8 18
−  − −
− −
-4-
Es decir n
n
n n n
n
4
2 3 2
2
2 4 8
18
2
+
+
= − + − +
+
De donde 18
n + 2
debe ser un entero y n+2≥3 (pues n≥1); de lo cual se obtiene que
n+2{3,6,9,18} , es decir n  {1,4,7,16}.
Ejemplo 2
Halle todos los números de dos cifras que son iguales a tres veces su producto.
Método de la suma
El método de la suma es similar al método de factorización, solo que ahora en un lado
vamos a tener suma de potencias (la mayoría de las veces no negativo) de números enteros, y
se discutirá los casos que pueden resultar.
Ejemplo 1
Halle dos números con la propiedad de que la suma de sus cuadrados sea igual al doble de de
la suma de los números.
Resolución
Sean x e y los números, entonces se debe cumplir
x2 + y2=2(x + y)
De donde
x2 – 2x + 1+y2 – 2y +1=2
(x – 1)2 + (y – 1)2 =2
La única forma de que 2 se exprese coma la suma de dos cuadrados es que sea la suma
de dos unidades, es decir
(x – 1)2 =(y – 1)2=1
De donde x –1=±1 y y – 1=±1, es decir x e y pueden ser 0 o 2, y los números que cumplen
con lo requerido son {(0,0), (0,2), (2,0), (2,2)}.
Ejemplo 2
Encuentre los números x, y  Z que cumplen
5×2 + 5y4 + 4x + 4xy2 = 5
Método de los últimos dígitos
Ejemplo 1
Halle todos los números enteros x e y de modo que x2 + 10y = 1234567
Resolución
Se sabe que el cuadrado de un número siempre termina en uno de los dígitos 0,1,4,5,6,9.
Como 10y siempre termina en 0, de ello se desprende que x2+10y puede terminar en uno de
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los digitos 0,1,4,5,6,9. Pero el número 1234567 termina en 7, de lo cual se desprende que la
ecuación no tiene soluciones.
Ejemplo 2
¿Existen números enteros m y n que sean soluciones de la siguiente ecuación?
n! + 5m2=147926
Ejemplo 3
Determine las soluciones enteras de la ecuación 5x + y4 = 194482
Método de paridad
Ejemplo 1
¿Existen números enteros m y n que satisfacen la siguiente igualdad?
n4 + 16m =7993
Resolución
Si el número n fuese par entonces la ecuación no tendría solución pues 7993 es impar. Por lo
tanto, si existe una solución, necesariamente n=2k+1 para un entero k. Entonces reemplazando
en la ecuación se tiene
(2k+1)4+16m = 7993
(4k2+4k+1)2 +16m = 7993
16k4+16k2+1+32k3+8k2+8k+16m = 7993
8(2k4+2k2+4k3+k2+k)+16m = 7992
2(k4+k2+2k3+m)+k(k+1) = 999
Debido a que k(k+1) es el producto de dos números consecutivos, siempre es divisible
por 2 y por tanto el número del lado izquierdo es par, mientras que 999 es impar. Esto significa
que la ecuación no tiene solución.
Método de los restos
Observar los restos que se obtiene en ambos lados de la ecuación en discusión.
Ejemplo 1
Pruebe que la ecuación x2 + y2 = 2006 no tiene solución en los enteros.
Resolución
En primer lugar, si los números son pares, entonces la suma de cuadrados siempre es divisible
por 4(4|4k2=(2k)2 ); y si uno de ellos es impar, entonces la suma de cuadrados deja resto 1 al
ser dividido por 4((2k+1)2=4(k2+k)+11(mod4)). La ecuación no tendrá solución pues 2006
deja resto 2 al ser dividido por 4. Falta comprobar cuando x e y son impares. Sea x=2m+1,
y=2n+1 (m,n  Z ), reemplazando en la ecuación.
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( ) ( )
( )
( ) ( )
2 1 2 1
4
1 1
2006 2 2
2 2
m n
m m n n
m m n n
par
+ + +
+ + +
+ + +
=
=

2004
= 501
Vemos que el lado izquierdo y el lado derecho son de diferente paridad, de donde se
deduce que la ecuación no tiene solución.
Ejemplo 2
¿Existen números enteros x e y de modo que el resto que se obtiene al dividir x4+y4 por 25 es 3?
El método de la desigualdad
Este método se utiliza com frecuencia para reducir el conjunto de posibles soluciones, y
luego analizar los posibles casos al conjunto reducido. El método de la desigualdad se utiliza a
menudo en combinación con otros métodos para resolver ecuaciones diofánticas no lineales.
Ejemplo 1
Halle todas las soluciones naturales de la ecuación: a! + b! =c!
Resolución
Es evidente que a ecuación a! + b! – c! =0
a
b
a
c
a
!
!
!
!
!
1+ − 0
 

 
=
Como a!>0, entonces
1+ − = 0
b
a
c
a
!
!
!
!
de donde
1 = − =  −1
 

 
 
c
a
b
a
b
a
c
b
!
!
!
!
!
!
!
!
Z Z

Para a a
!
!
>1 con lo cual, la igualdad no se verifica, y por tanto, es necesario
que a=b, de donde
c
b
!
!
= 2
Como c>b≥1 no tendría ninguna solución para c>2, y la única solución es c=2, b=1.
Entonces a=1, y por tanto tenemos una única solución que es la terna ordenada (1;1;2).
Ejemplo 2
Halle todos los números naturales que satisfacen la ecuación a+b+c=abc
Ejemplo 3
Halle todos los números naturales a,b,c para que
1 1 1
1
a b c
+ + =
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Ecuac on s d ofánt cas xpon nc a s
Aunque no existe un único método para resolver estos tipos de ecuaciones, veremos a
través de diferentes ejemplos como se describen los diferentes enfoques para resolver una
ecuación diofántica exponencial.
Ejemplo 1 (Método de los factores)
Halle todos los números naturales x (si existen) que sean soluciones de la siguiente ecuación.
4x+3.2x=88
Resolución
La ecuación es equivalente a 2x (2x+3)=23.11
Como 2x+3 es impar y 2x es una potencia de 2, entonces se debe tener
2x=23 y 2x+3=11
El único número natural que verifica estas dos ecuaciones a la vez es x=3. Por lo tanto, la
única solución es 3.
Ejemplo 2 (Método de los factores)
¿Existen números naturales x e y que sean soluciones de la siguiente ecuación?
3×2 +y−1 − 3x 2+1=1944
Ejemplo 3
¿Existen números naturales x que son soluciones de la siguiente ecuación?
5x+2x+1 . 3x =32x +22x
Resolución
La ecuación es equivalente a
5x=32x – 2.3x . 2x + 22x
5x=(3x – 2x )2
Por lo tanto, 5x es un cuadrado perfecto; es decir x=2m, mN. Entonces, en la ecuación
52m=(32m – 22m )2
5m=32m – 22m =(3m – 2m) (3m+2m)
De donde se debe verificar que 3m – 2m=5a y 3m+2m=5b para algunos valores a,bN0, con
a 3m+2m≥5(3m –2m)
Es decir
6.2m ≥ 4.3m o
3
2
3
2
 
 

 
m
Lo cual implica que 1≥m, es decir m=1, por lo tanto x=2 es la única solución.
Ejemplo 4
Halle todas las soluciones de la siguiente ecuación diofántica, si existen x2=3y+7.
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Ejemplo 5
¿Existen números naturales x e y que sean soluciones de la siguiente ecuación?
3x – 2y=1
Resolución
Analicemos dos casos: cuando x es un número impar y cuando x es par.
I. Sea x un numero impar, x=2m+1, m  N0. Entonces
3x=32m+1=(32)m . 3 = 9m . 3
Como 91 (mód 4), entonces 9m . 3  3 (mód 4), de donde
2y=3x –1  2 (mód 4)
que solo es posible para x=y=1.
II. Sea x un numero par, x=2m, mN. Entonces
2y=32m – 1=(3m – 1)(3m +1)
De donde los factores 3m –1 y 3m+1 deben ser potencias del número 2. Esto es posible
solo cuando 3m – 1=2 y 3m+1=4, es decir cuando m=1, del cual x=2 y y=3. Es decir, la
única solución de la ecuación diofántica es (2;3).
Ejemplo 6 (Método de contradicción)
¿Halle todos los números naturales k y n que sean soluciones de la siguiente ecuación?
2k + 1=5n
Resolución
Se nota que una solución es (k;n)=(2;1). Vamos a demostrar que no existe otra solución.
Supongamos lo contrario, es decir que existe k,nN, k>2, n>1, que satisfacen la ecuación
2k+1=5n.
Si el número k es impar, entonces al dividir 2k entre 5 se obtiene como resto 2 o 3, y al dividir
2k+1 entre 5 se obtiene como resto 3 o 4. Por lo tanto, k debe ser par.
Sea k=2l, lN – {1}. Luego 2k=4l es múltiplo de 16. Pero
2k=5n – 1=(4+1)n – 1
= + + +

 

 
4 4 − +
2
n n n 1 42 4
n
. … . n
Debe ser múltiplo de 16, de lo cual n=4m, mN. También
2k=5n – 1=54m – 1=(52m – 1)(52m+1)
Pero 52m – 1 y 52m+1 son números pares consecutivos, también lo es su producto 2k solo para
k=3. Sin embargo k es un número par, lo que genera una contradicción. Así, que no hay otra
solución salvo el par ordenado (k;n)=(2;1).
Ejemplo 7
Demuestre que no existen números naturales x,y,z,n de tal manera que z≤n, que sean soluciones
de la ecuación: xn + yn=zn
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Ejemplo 8
Halle todos los números naturales n que son soluciones de la siguiente ecuación.
5n + 7n + 11n=6n + 8n + 9n
Ejemplo 9
Demuestre que no existen números naturales x,y,z,t de modo que
xx + yy + zz=tt
f r nt s tar as
Ejemplo 10
Demuestre que no existen números naturales x, y y z que verifican la siguiente ecuación.
2x + 5y =19z
Resolución
Como 19  1 (mód 3), entonces 19z  1 (mód 3). Por otra parte, 2  –1 (mód 3) de donde
2x(–1)x (mód 3). También, 5  –1 (mód 3) del cual 5y (–1)y (mód 3). Por lo tanto
2x + 5y  (–1)x + (–1)y (mód 3)
Si x e y son números pares, entonces 2x + 5y  2 (mód 3), y si son de diferente paridad, entonces
2x + 5y  0 (mód 3). Por lo tanto, en estos casos la ecuación no tiene solución.
Si x e y son números impares, entonces 2x + 5y  –2 (mód 3), es decir, 2x + 5y 1 (mód 3).
Demostraremos que en este caso tampoco hay solución.
Sea x=2k+1, k  N0. Entonces
2x=22k+1=4k . 2  (–1)k . 2 (mód 5)
19z  (–1)z (mód 5)
Además
5y=19z – 2x  (–1)z + (–1)k . 2 (mód 5)
 / 0 (mód 5)
Como 5y  0 (mód 5), entonces la ecuación no tiene solución.
Ecuac on s ofánt cas L n a s
Ecuaciones con una incógnita
La ecuación ax=c con a,c  Z y a≠0 tiene solución entera si y solo si c es múltiplo de a.
Ejemplo
Resuelva la ecuación diofántica 3x=6
Como 6 es múltiplo de 2, entonces la ecuación 3x=6 tiene solución y es igual a x=2.
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Ecuaciones con dos incógnitas
La ecuación ax + by=c
Si a, b y c son enteros y ab≠0, toda ecuación lineal de la forma
ax+by=c,
donde los valores de x e y estan restringidos al conjunto de los enteros, se llama ecuación
diofántica lineal en dos variables. El matemático griego Diofanto fue el primero en estudiar
tales ecuaciones extensivamente.3
Teorema
La ecuación diofántica lineal ax+by=c o Identidad de Bézout3 tiene solución si y solo si
d|c, donde d=mcd(a,b). En este caso la ecuación tiene una infinidad de soluciones.
Demostración
Sea d=mcd(a,b). Existen enteros a’ y b’ tales que a=da’ y b=db’. Así,
da’ x + db’ y = c
d(a’ x + b’ y) = c.
Si existe una solución de esta ecuación, entonces d|c ya que d es un factor del miembro
izquierdo de la ecuación.
Recíprocamente, si d|c, entonces existe un entero c tal que c=dc’. Pero se sabe que
existen enteros x’ e y’ tales que
ax’ + by’=d.
Entonces, multiplicando ambos miembros de esta ecuación por c’,
ax’ c’ + by’ c’ = dc’
a(x’ c’ ) + b (y’ c’ )=c
a(x0 ) + b(y0 )=c
donde x0 e y0 son enteros. De aquí que la ecuacion diofántica lineal ax+ by=c tiene una solución
particular x0 e y0.
Teorema
Si d=mcd(a,b), d|c, y x0 e y0 es una solución particular de la ecuación diofántica lineal.
ax + by = c …(*)
entonces toda solución x e y esta dada por las ecuaciones
x x
b
d
t y y y
a
d
= 0 + = 0 − t
donde t es un número entero.
3 Étienne Bézout (1730 – 1783) Matemático francés. Escribió una “Teoría General de Ecuaciones
Algebraicas” publicada en París en 1779. Esta obra contiene muchos resultados novedosos y de
importancia acerca de la teoría de eliminación y funciones simétricas de las raíces de una ecuación.
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Demostración
Probaremos primero que las expresiones dadas para x e y representan soluciones de la
ecuación diofántica lineal. Por sustitución,
a x0  +
 

 
+  −
 

 
= + = b
d
t b y
a
d
0 t ax0 by0 c
ya que x0 e y0 es una solución particular de la ecuación (*). Luego la ecuación (*) es
satisfecha.
Sean ahora x e y cualquier solución de la ecuación (*). Entonces
ax + by = c y ax0 + by0=c
Por sustitución,
ax by ax by
ax ax by by
a x x b y y
a
d
x x
b
d
y y
+ = +
− = −
− = −
− = −
0 0
0 0
0 0
0 0
( ) ( )
( ) ( )
Pero, como d=(a,b), entonces a
d
b
d
 ,
 

 
= 1 ; esto implica que
b
d
x x y
a
d
( − 0 ) (y0 − y)
De donde
x x
b
d
t y y y
a
d
− 0 = 0 − = t
Esto es
x x
b
d
t y y y
a
d
= 0 + = 0 − t
donde t es un número entero.
Ejemplo 1
Determine la solución general de la ecuación diofántica lineal
14x + 22y = 50
Como 28+22=50, se desprende que x0=2 y y0=1 representan una solución particular de la
ecuación diofántica dada. También d=(14;22)=2, a=14 y b=22. Luego, la solución general de
la ecuación diofántica lineal 14x+22y=50 esta dada por las ecuaciones
x=2+11t y y=1 – 7t
Donde t es un número entero.
-12-
Geométricamente se tiene algunas soluciones:
Ejemplo 2
Determine una solución particular de la ecuación diofántica lineal
39x + 36y = 105
Como mcd(39,26)=13 y 13×105, entonces la ecuación diofántica lineal 39x+36y=105 no
tiene solución.
Ejemplo 3
Determinar las soluciones enteras positivas de la ecuación 18x + 5y = 48
Sean a=18 y b=5. Entonces, por el algoritmo de Euclides,
18 = 3.5 + 3
5 = 1.3 + 2
3 = 1.2 + 1
2 = 2.1
Así, (18,1)=1. Usando los pasos del algoritmo de Euclides, 1 puede escribirse como función
lineal homogénea de 18 y 5:
3 = 18 + (–3) . 5
2 = 5 + (–1) . 3 = (–1) . 18 + (4) . 5
1 = 3 + (–1) . 2 = (2) . 18 + (–7) . 5
Como 18 . (2) + 5 . (–7)=1, entonces
18 . (96) + 5 . (–336) = 48
Una solución general de la ecuación diofántica lineal 18x+5y=48 esta dada por las
ecuaciones
x=96 + 5t e y=–336–18t
Donde t es un entero. Las soluciones enteras positivas pueden ser obtenidas considerando
el sistema de desigualdades
96 5 0
336 18 0
+
− −

t
t
>
>
-13-
De donde obtenemos t≥–19 y t≤–19; es decir t=–19 y x=1 e y=6.
Por lo tanto, la única solución entera positiva de la ecuación 18x+5y=48 es (1; 6).
Congruencias lineales y ecuaciones diofánticas lineales
La teoría de las congruencias lineales puede ser usada para obtener la forma de las
soluciones, si ellas existen, de la ecuación diofántica lineal
ax + by = c …(α)
El determinar las soluciones de esta ecuación diofántica equivale a determinar las
soluciones de la congruencia lineal
ax  c (mód b) …(β)
Como se sabe, si d=(a,b), entonces existe una solución de esta congruencia lineal cuando
d|c. Toda solución de la congruencia lineal (β) es de la forma
x
b
d
0 = t …(γ)
donde x0 es una solución particular y t es un entero. Sustituyendo el entero expresado en (γ) por
x en la ecuación ( ), podemos obtener la forma de los valores de y que satisfacen la ecuación
diofántica. Por lo tanto,
a x
b
d
t by c
y
c a x
b
d
t
b
c ax
b
a
d
t
y
a
d
t
0
0
0
0
 +
 

 
+ =
=
−  +
 

 
= − −
= −
donde y0 es tal que ax0+by0=c. De aquí que si x0 e y0 satisfacen la ecuación diofántica lineal
ax+by=c, entonces toda solución (x; y) está dada por las ecuaciones
x x
b
d
t y y y
a
d
= 0 + = 0 − t …(Δ)
donde d=(a,b) y t es un entero.
Ejemplo 1
Usar congruencias lineales para determinar una solución particular de la ecuación diofántica
48x+7y=17
Como (48;7)=1, existen soluciones de la ecuación diofántica 48x+7y=17. Para determinar
una solución particular de la ecuación, determinaremos primeramente una solución de una
congruencia lineal equivalente:
-14-
48x  17 (mód 7)
–x  17 (mód 7)
–x  3 (mód 7)
x  –3 (mód 7)
x  4 (mód 7)
Ahora, sustituyendo 4 por x en la ecuación diofántica dada, obtenemos
48 . (4) + 7y = 17
192 + 7y = 17
7y = –175
y = –25
Por lo tanto, 4 y –25 es una solución particular de la ecuación diofántica lineal
48x+7y=17.
Ejemplo 2
Usar congruencias lineales para determinar la solución general de la ecuación diofántica
11x – 30y=29
Como (11,–30)=1, existen soluciones de la ecuación diofántica lineal 11x – 30y=29. Ahora
–30y  29 (mód 11)
11x – 30 . (6) = 29
11x – 180 = 29
11x = 209
x = 19
Por lo tanto, por (Δ), la solución general de la ecuación diofántica lineal 11x–30y=29 esta dada
por las ecuaciones
x=19 – 30t y y=6 – 11t
Donde t es un número entero.
Ecuaciones con dos incógnitas
La ecuación x2 – y2=a
Dada la ecuación x2 – y2=a con a∈Z, se puede escribir como (x+y)(x–y)=a; si hacemos
m=x+y y n=x–y se tendría m.n=a; donde m y n deben ser ambos pares o ambos impares,
pues la suma de dos números y su diferencia son ambos pares o ambos impares. Entonces al
resolver el sistema.
x y m
x y n
se obtiene
x
m n
y
m n
+ =
− =

= +
= −

 
 
2
2
3y  29 (mód 11)
3y  18 (mód 11)
y  6 (mód 11)
Sustituyendo 6 por y en la ecuación diofántica dada,
-15-
Ejemplo 1
Resuelva la ecuación x2 – y2=8.
Tenemos m.n=8 de donde
m=4 y n=2, entonces x=3 e y=1
Ejemplo 2
Resuelva la ecuación x2 – y2=98
Tenemos m.n=98=2.72 de donde
m=2 y n=49, no habría solución.
m=14 y n=7, no habría solución.
Esto implica que si a∈Z tiene un factor 2 con multiplicidad 1, no puede haber una
descomposición como se requiere para la ecuación. Por lo tanto, la ecuación no tiene solución.
La ecuación de Pell
La ecuación de John Pell4 es:
x2 – dy2=N donde N y d son enteros.
Realmente nunca fue considerada por Pell, sino que fue una equivocación de Euler el que se
le haya asociado el nombre de Pell a dicha ecuación. Los primeros matemáticos griegos e
hindúes consideraron casos especiales, pero Fermat fue el primero en tratarla sistemáticamente.
Este dijo que había demostrado, en el caso especial en que N=1 y d>0 no es un cuadrado
perfecto, que existe una infinidad de soluciones enteras x, y; pero como ya es usual, no dió una
demostración.
Esta ecuación tiene gran importancia ya que cualquier ecuación cuadrática de dos variables
se puede reducir a ella. Veámoslo:
Sea la ecuación
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 con a,b,c,d,e, f ∈ Z
Si la escribimos como un polinomio en x tenemos
ax2 + (by + d)x + (cy2 + ey + f) = 0,
que es una ecuación de segundo grado en x. Tendrá solución si su discriminante es un cuadrado
perfecto
(by+d)2 – 4a(cy2+ey+f)=w2 con w∈Z
(b2 – 4ac) y2+(2bd – 4ae) y+(d2 – 4af–w2 )=0
Sea
p=b2– 4ac, q=2bd – 4ae y r=d2– 4af
Y entonces podemos escribir
py2 + qy + r–w2=0
que es una ecuación de 2do grado en y, y tendrá soluciones si su discriminante es una cuadrado
perfecto
q2– 4p(r–w2 )=z2 con z∈Z
4 John Pell (1611-1685) Matemático ingles. Se dice que Pell introdujo el signo de la división a Inglaterra.
-16-
Y la ecuación anterior, escrita como z2– 4pw2=q2– 4pr es una ecuacion de Pell con d=4p
y N=q2 – 4pr.
En 1768, Lagrange demostró que si N=1 y d no es un cuadrado perfecto con d>0,
la ecuación tiene solución no trivial, es decir distinta de x=1 e y=0 (anterior a esta, Euler
demostró que existe una infinidad de soluciones si es que existe una). La solución no trivial la
calculo mediante fracciones continuas de d .
También podría mencionarse que la ecuación de Pell comparte con la ecuación lineal
ax+by=c, una posición única entre las ecuaciones diofánticas en dos variables. En 1929 fue
demostrado por C. L. Siegel, que estas dos ecuaciones junto con las ecuaciones derivables de
ellas por ciertas transformaciones, son las únicas ecuaciones algebraicas en dos variables que
tienen una infinidad de soluciones enteras.
La ecuación
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f=0
El término ecuación diofántica significa que las soluciones (x;y) deben ser números enteros.
Por ejemplo, la ecuación 4y2 – 20y+25=0 tiene soluciones dadas por la línea horizontal y=2,5,
pero como 2,5 no es un número entero, diremos que la ecuación no tiene soluciones.
Hay algunos casos que dependen de los valores de a, b y c. Los nombres de estos casos
se toman de las figuras que la ecuación representa en el plano XY: una línea, una elipse, una
parábola o una hipérbola (o dos líneas). Estas figuras son el conjunto de soluciones reales. En
nuestro caso, el conjunto de soluciones está representado por puntos aislados en el plano XY.
a) Caso lineal: a=b=c=0.
b) Caso hiperbólico simple: a=c=0; b≠0.
c) Caso elíptico b2 – 4ac<0
d) Caso parabólico b2 – 4ac=0
e) Caso hiperbólico b2 – 4ac>0
Ecuaciones con más de dos incógnitas
Método general para resolver ecuaciones diofánticas homogéneas de segundo grado
Se descomponen “en cruz” en dos cocientes de funciones lineales, igualados a m/n
irreducible y que da lugar, con las dos fracciones, a dos ecuaciones entre las que se elimina m y n.
Ejemplo 1
Resuelva la ecuación pitagórica
x2 + y2=z2
(Debido a Pitágoras5)
5 Pitágoras (582 – 500 a.n.e.) Filósofo y matemático griego nacido en la isla de Samos. Entre las
amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos esta el teorema de la hipotenusa,
conocida como teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triangulo
rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
-17-
Resolución
x2+y2=z2  x2=z2 – y2
 x2=(z+y)(z–y)
Acomodando se obtiene
x
z y
z y
x
m
n
nx mz my
− mx nz ny
= + = 
= −
= +

 m2z – m2 y=n2z+n2 y
 (m2 – n2 )z=(m2+n2 )y
De donde z=m2+n2, y=m2 – n2 , x=2mn
Hay infinitas soluciones con la libre elección de m y n. Además (x,y) intercambian sus
valores.
Ejemplo 2
Resuelva la ecuación
x2 – xy + y2=z2.
Resolución
x2 – xy + y2=z2  x(x–y)=z2 – y2
 x(x – y)=(z+y)(z – y)
Es decir
x
z y
z y
x y
m
n
nx mz my
− mx my nz ny
= +

= 
= −
− = +

 m2 z – m2 y = n2 z+n2 y+mny
 (m2 – n2 )z = (m2+n2+mn)y
De donde z=m2+n2+mn, y=m2 – n2, x=m2+mn.
En forma parecida se resuelven los siguientes ejemplos.
Ejemplo 3
x2 + xy + y2=z2
Ejemplo 4
x2 – zy = y2
Ejemplo 5
x2 + y2 = 5z2
-18-
Nota
Las cinco ecuaciones anteriores son las que se plantean para resolver el problema de
hallar los lados enteros de un triangulo en cada uno de los cinco casos siguientes:
a) Un ángulo es recto.
b) Un ángulo es de 60º
c) Un ángulo es de 120º
d) Un ángulo es doble de otro.
e) Dos de las medianas son perpendiculares.
Las soluciones a estos problemas han de cumplir la ecuación correspondiente y además
las restricciones propias de los lados de un triángulo.
Descenso de Fermat y ecuaciones sin solución
Las ecuaciones analizadas arriba son, en un cierto sentido, privilegiadas, pues poseen una
infinidad de soluciones. Nuestro próximo ejemplo será el de una ecuación que solo admite la
solución entera x=y=z=0. Ella ilustra un método que puede ser extendido a otras ecuaciones,
a fin de probar que ellas no poseen soluciones enteras no nulas.
Ejemplo
Demuestre que la ecuación 3×2 + y2=2z2 no posee soluciones enteras no nulas.
Demostración
Supongamos lo contrario. Entonces la ecuación posee una solución (x,y,z) en enteros positivos.
Entonces, dentro de todas las soluciones (x,y,z), con x,y y z enteros positivos, existe una
(x,y,z)=(a,b,c) para el cual z=c es el menor posible. Trabajemos con tal solución.
Vamos a usar el siguiente hecho, que se puede probar fácilmente: si un entero u no es
múltiplo de 3, entonces u2 deja resto 1 cuando es dividido por 3. Entonces, si b no es múltiplo
de 3, tendremos de 3a2+b2=2c2 que c tambien no sería múltiplo de 3. Mirando los restos de
cada término de la ecuacion por 3, tenemos que 3a2+b2 deja resto 1 y 2c2 deja resto 2.1=2.
Luego, no puede ser 3a2+b2=2c2.
Así, b debe ser múltiplo de 3, digamos b=3b1. De ahí se tiene que 3a2+9b1
2=2c2, y c tambien
es múltiplo de 3, digamos c=3c1. Sustituyendo en la ecuación, llegamos a 3b1
2+a2=6c1
2.
Entonces, a tambien es múltiplo de 3. Siendo a=3a1, la ecuación de arriba nos da
b1
2+3a1
2=2c1
2, y (b1,a1,c1) es otra solución de la ecuación original, con c1=c/3 es una contradicción, pues partimos de una solución en el cual el valor de z era c, el mínimo
posible. Luego, la ecuación no posee soluciones no nulas.
Esquemáticamente, el método del descenso (debido al matemático francés Pierre de
Fermat) consiste en lo siguiente:
i. Suponer que dada una ecuación posee una solución en enteros no nulos.
ii. Concluir de ahí que ella posee una solución en enteros positivos que sea, en algún sentido,
mínima.
iii. Deducir la existencia de una solución positiva menor que la mínima, llegando a una
contradicción.
-19-
Ya que determinamos la solución de la ecuación pitagórica, nada más natural es intentar
estudiar la ecuación más general, denominada ecuación de Fermat o el último teorema de
Fermat:
xn + yn = zn
Donde n es un entero fijo y mayor que dos.
Todos estos tipos de investigaciones, tanto teóricas como numéricas se han aplicado
al último Teorema de Fermat. Las investigaciones numéricas, con las últimas tecnologías
computacionales no han podido encontrar una contradicción al teorema de Fermat. En tanto
las investigaciones teóricas no lograron una demostración general sino para ciertos números
particulares.
La ecuación de ermat xn + yn = zn
Último teorema de Fermat (Conjetura de Fermat)
El enunciado del último Teorema de Fermat (1601 - 1665) quedo anotado en un margen
de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto de Alejandría (150 a.n.e.) traducida al latín por
Claude Gaspar Bachet (1581 - 1638) publicado en 1621. Este libro, con las numerosas notas
marginales de Fermat, fue publicado en 1670 por su hijo Clemente Samuel.
El enunciado del teorema dice lo siguiente:
La ecuación xn + yn=zn no tiene solución entera no trivial (es decir, distinta de x=y=z=0)
cuando n≥3.
Para n=2, las soluciones son las ternas pitagóricas.
Fermat enunció su conjetura en 1637, escribiendo en el margen de su ejemplar de la
Arithmetica de Diofanto de Alejandría lo siguiente (en latín):
Es imposible dividir un cubo en suma de otros dos o un bicuadrado en otros dos
bicuadrados, en general una potencia cualquiera superior a dos en dos potencias del mismo
grado; he descubierto una demostración maravillosa pero en este margen es demasiado
estrecho para contenerla.
Tres siglos y medio después, tras haber inventado un dominio entero de las matemáticas
alrededor del tema (la geometría algebraica) es razonable poner en duda tal afirmación...
asos particulares de la ecuación de ermat
Teorema. Se n es múltiplo de 4 entonces no existen enteros no nulos x,y,z tales que
xn+yn=zn.
Prueba. Sea n=4k donde k∈N. Si xn+yn=zn, entonces tenemos (xk )4+(yk )4=(z2k)2, o sea
(xk, yk, z2k ) será una solución de la ecuación a4+b4=c2. Asi, basta mostrar que esta última
ecuación no admite soluciones no nulas. Por el absurdo, supongamos que existan enteros
positivos a,b,c tales que a4+b4=c2. Podemos también suponer que a,b y c son escogidos de
tal modo que no hay otra solución positiva a’,b’, c’ con c’ del descenso). Entonces a y b son primos entre si, y el ejemplo 1 garantiza la existencia de
enteros positivos primos entre si u y v tales que a2=u2 – v2, b2=2uv, c=u2+v2. Como a2+v2=u2,
-20-
se sigue nuevamente del ejemplo 1 la existencia de enteros positivos primos entre si p y q
tales que a=p2 – q2, v=2pq, u=p2+q2. Pero b2=2uv=4pq(p2+q2). Como p y q son primos
entre si, tenemos que ambos son también primos con p2+q2. Por tanto, siendo 4pq(p2+q2) un
cuadrado debemos tener p, q y p2+q2 cuadrados, digamos p= 2, q= 2, p2+q2=γ2, con α,β,γ
positivos. De donde se obtiene que 4+ 4=γ2, con c=u2+v2>u=p2+q2=γ2≥γ, contrariamente
a la minimalidad de c. Luego, no hay soluciones no nulas de xn+yn=zn cuando n es múltiplo de
4.
tras ecuaciones diofánticas
La conjetura de Catalan
En una carta al editor de la revista Journal fur die reine und angewandte Mathematik, el
matemático belga Eugene Catalan6 se preguntaba sobre la posibilidad de que dos números
consecutivos pudiesen ser potencias perfectas, aparte de 8 y 9 que son un cubo y un cuadrado
respectivamente. Esta proposición, lanzada en 1844, equivale a decir que no existen soluciones
en números enteros para la ecuación
xu – yv=1, x, y, u, v > 1
salvo la mencionada 32 – 23=1. En su nota el joven profesor de la École Polytechnique de Paris
que debe su fama a este problema y a sus aportaciones dentro del campo de la combinatoria,
afirmaba creer que era cierta, aunque no podía demostrarla en todos sus casos.
El matemático suizo, de origen rumano, Preda Mihailescu la demostró en abril de 2002,
con lo que se convierte en teorema (el teorema de Mihailescu). La demostración radica en que
las soluciones posibles de la ecuación de Catalan son incompatibles con las propiedades de los
cuerpos ciclotómicos.
Aplicación
Demuestre que la ecuación diofántica
2x + 5y = z2 …(1)
tiene exactamente dos soluciones en los enteros no negativos, que son (x;y;z)∈{(3;0;3),(2;1;3)}.
Demostración. Si x=0, entonces la ecuación se reduce a 5y=z2–1 o (z – 1)(z+1)=5y
Donde z–1=5u y z+1=5y–u, y>2u, u∈N.
De aquí, restando las ecuaciones obtenemos
5y–u – 5y=2 o 5u (5y–2u – 1)=2
Donde u=0 y 5y=3, lo cual es imposible.
Si y=0, entonces la ecuacion se reduce a z2–1=2x o (z – 1)(z + 1)=2x
Donde z–1=2v y z+1=2x – v, x>2v, v∈N.
De aquí, restando las ecuaciones obtenemos
2x – v – 2v=2 o 2v (2x –2v – 1)=2
6 Eugene Charles Catalan (1814-1894) Matemático belga que trabajo en Teoría de Números. Introdujo
los números de Catalan para resolver un problema combinatorio.
-21-
De donde v=1 y 2x – 2=2, y de aquí x=3.
Por tanto, una solución es (3;0;3).
Ahora consideremos x≥1 y y≥1.
Se desprende de (1) que el número z es impar y no es divisible por 5. Si z  1 (mód 5)
entonces z2  1 (mód 5) y si z ±2 (mód 5) entonces z2  4 (mód 5)=–1 (mód 5).
Pero, se sabe que
22k=4k=(5 – 1)k  (–1)k (mód 5) y
22k+1=2.4k 2.(–1)k (mód 5), k∈N
De donde el número x es par.
Entonces consideremos x=2k, k∈N. De (1) obtenemos
z2 – 22k=5y o (z – 2k )(z+2k )=5y
Donde z – 2k=5w y z+2k=5y – w, y>2w. De donde se obtiene
5w (5y – 2w –1)=2k+1
Lo que implica w=0 y
5y – 2k+1=1 …(2)
Obteniéndose una ecuación diofántica de tipo Catalan
ab – cd=1
Que tiene por soluciones en números enteros positivos (>1) solo a a=3, b=2, c=2 y d=3.
La ecuación diofántica (2) tiene solución solo si y=1; de donde 2k+1=22, es decir k=1. Por
tanto, x=2, y=1, z=3.
Esto concluye que la ecuación diofántica (1) tiene las soluciones: (x;y;z)∈{(3;0;3),(2;1;3)}.
La ecuación generalizada de ermat – atalan y la conjetura de Beal
¿Qué ocurre cuando en la ecuación de Fermat (xn+yn=zn), permitimos que los exponentes
sean números cualesquiera superiores a 1 y no necesariamente iguales?, se obtiene la Súper
Ecuación de Fermat
xa + yb = zc, a,b,c>1 …
Podemos ver que la ecuación de Catalan es un caso particular de esta última, si la ponemos
en la forma xa+1b=zc. Aquí tenemos que hacer una distinción importante que no hacíamos
en el caso de la ecuación de Fermat. Si x, y y z comparten un factor común en la ecuación
de Fermat, debido a que los tres exponentes son iguales, este factor se puede eliminar. Sin
embargo, la ecuación  no es homogénea y este caso no se puede obviar sin más.
Desde principios de los años noventa, se han estado buscando ejemplos con el ordenador.
En diciembre de 2002, Henri Cohen anunciaba el resultado de una búsqueda sistemática con
potencias debajo de 293 que ha encontrado únicamente doce ejemplos que van desde el simple
25+72=34 hasta el mas complicado 438+962223=300429072. En todos los casos, uno de los
exponentes es 2, lo que según se afirma, no paso desapercibido desde un principio. No sin
cierta polémica entre medias, el matemático aficionado Andrew Beals, propuso la conjetura
de que no existe ningún caso en el que todos los exponentes sean superiores a 2, con x, y y
-22-
z coprimos. Beals, empresario y poseedor de un banco en Texas, hizo algo más. Ofrece 100
000 dólares USA al que encuentre una demostración para su conjetura, que sea aceptada en el
mundo académico o para aquel que encuentre un contraejemplo que demuestre su falsedad.

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