ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Y FUNCION CUADRATICA EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMATICA 3 SECUNDARIA – MEDIA PDF

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EN ESTA UNIDAD
APRENDERÁS A:
1 Resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita por
completación de cuadrados, por factorización o por inspección,
con raíces reales o complejas.
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2 Interpretar las soluciones y determinar su pertenencia al
conjunto de los números reales o complejos.
3 Deducir la fórmula de la ecuación general de segundo grado y
discutir sobre sus raíces y su relación con la función cuadrática.
4 Resolver problemas asociados a ecuaciones de segundo grado
con una incógnita.
5 Analizar la existencia y pertinencia de las soluciones de acuerdo
con el contexto en que se plantea el problema.
6 Representar y analizar el gráfi co de la función
f ( ) =a x 2 +bx+c, para distintos valores de a, b y c.
7 Discutir de las condiciones que debe cumplir la función
cuadrática para que su gráfi ca intersecte el eje x (ceros de
la función).
8 Usar algún software para el análisis de las variaciones de la
gráfi ca de la función cuadrática a partir de la modifi cación de
los parámetros.
9 Modelar situaciones o fenómenos asociados a funciones
cuadráticas.

Concepto de ecuación
cuadrática.
Distinguir ecuaciones cuadráticas. Reconoce una ecuación cuadrática y la
diferencia con una ecuación lineal.
Ecuaciones cuadráticas
incompletas.
Reconocer ecuaciones cuadráticas incompletas.
Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas,
decidiendo el método adecuado.
Reconoce una ecuación cuadrática incompleta.
Resuelve ecuaciones cuadráticas incompletas
usando el método adecuado.
Ecuaciones cuadráticas
completas factorizables.
Reconocer ecuaciones cuadráticas
completas factorizables.
Resolver ecuaciones cuadráticas factorizables.
Reconoce ecuaciones cuadráticas que puedan
factorizarse y las resuelve usando este método.
Resolución de
ecuaciones cuadráticas
por completación de
cuadrados.
Utilizar el método de completación de
cuadrados para resolver ecuaciones
cuadráticas.
Resuelve ecuaciones cuadráticas mediante el
método de completación de cuadrados.
Ecuaciones cuadráticas
completas y fórmula
general.
Conocer la fórmula general para la resolución
de ecuaciones cuadráticas.
Resolver ecuaciones cuadráticas mediante la
fórmula general.
Reconoce la fórmula de resolución de ecuaciones
cuadráticas como fórmula general para resolver
cualquier tipo de ecuaciones cuadráticas.
Resuelve ecuaciones cuadráticas usando la
fórmula general.
Analizar la naturaleza de las soluciones según el
conjunto numérico al que pertenecen.
Aplicación de
ecuaciones cuadráticas
a problemas.
Plantear y resolver problemas que involucran
ecuaciones de segundo grado.
Explicitar sus procedimientos de solución.
Analizar la existencia y pertinencia de las
soluciones obtenidas.
Resuelve problemas de planteo que involucren
ecuaciones cuadráticas.
Analiza la pertinencia de las soluciones
obtenidas.
Concepto de función
cuadrática.
Reconocer una función cuadrática. Reconoce una función cuadrática según su
forma algebraica.
Análisis de la función
cuadrática según sus
principales
características.
Analizar la función cuadrática en el marco de
la modelación de algunos fenómenos
sencillos, estableciendo concavidad, puntos
de corte con los ejes coordenados, vértice, eje
de simetría.
Analiza la función cuadrática determinando sus
principales características: concavidad, vértice,
puntos de corte con los ejes coordenados, eje
de simetría y gráfico.
Intersección de la
parábola con el eje x.
Determinar los puntos de corte de una
parábola con el eje x estableciendo
condiciones para ellos.
Determina los puntos de corte con el eje x.
Establece las condiciones necesarias para que
una parábola corte al eje x en uno, dos o ningún
punto.
Gráfico de la función
cuadrática y análisis de
funciones del tipo:

como un lugar geométrico,
reconocer su gráfica e identificar aquellas que
corresponden a una función cuadrática.
Analizar las funciones del tipo:

Asocia la parábola con el gráfico de una función
cuadrática.
Analiza los gráficos de las funciones de la forma:

Aplicación de función
cuadrática a problemas.
Aplicar la función cuadrática en diversos
ámbitos de la tecnología y situaciones que se
puedan modelar a través de ella.
Resuelve problemas cotidianos que
se modelan a través de funciones cuadráticas.
Uso de herramientas
tecnológicas apropiadas
para los contenidos de la
unidad.
Utilizar algún programa computacional
(graficador) para graficar y analizar las
funciones cuadráticas.
Utiliza el programa Graphmatica u otros similares
para graficar y analizar funciones cuadráticas y
también como ayuda para resolver problemas
que involucren funciones cuadráticas.
La resolución de la ecuación de segundo grado se remonta a los
comienzos del desarrollo de la matemática en general y a los del
álgebra en particular. La ecuación de segundo grado y su solución
tiene antiguo origen. En el 2000 a. C., los ingenieros chinos, egipcios
y babilónicos se topaban con un problema. Sabían el valor del área
de un terreno rectangular o en forma de T, pero no podían
encontrar las longitudes del terreno en cuestión. Es decir, lo que en
nuestros días se resolvería usando una ecuación cuadrática.
En Egipto, los ingenieros se dedicaban a calcular el valor de las áreas
de los posibles cuadrados y rectángulos por utilizar, construyendo
así tablas como una forma de resolver el problema de las longitudes.
En China se usó una doble comprobación de operaciones simples
matemáticas para resolver este problema, las que fueron
asombrosamente fáciles por el empleo extendido del ábaco. En
Babilonia, la tablilla cuneiforme BM13901 contiene abundante
material relativo a la resolución de ecuaciones de segundo grado
con una incógnita, donde se pueden apreciar los conocimientos
que, sobre el particular, tenían los matemáticos babilonios.
En Grecia, la ecuación de segundo grado fue desarrollada por el
matemático Diofanto de Alejandría. Por el año 628 d. C. en la India,
una ecuación de segundo grado equivalente a la actual
x 2 −10x=−9 fue tratada por el matemático indio Brahmagupta,
quien propuso una forma de resolverla. Posteriormente, en el siglo
IX, el matemático árabe Mohamed ibn Musa al-Khowarizmi utilizó
una estrategia para resolver la ecuación x 2 +10x=39.
La solución de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en
Europa por el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya en su
Liber embadorum.
Ahora bien, con el desarrollo de las funciones, se fue estudiando un
tipo especial de ellas: las llamadas funciones polinómicas, es decir,
aquellas que están definidas por un polinomio. Por ejemplo,
f ( x) = x 3 +1, que es una función polinómica de tercer grado.
En esta ocasión conoceremos las funciones cuadráticas, es decir,
aquellas de grado dos; estudiaremos su gráfica y nos valdremos de
ellas para profundizar más en su análisis. También conoceremos qué
situaciones se modelan con este tipo de funciones. Emprendamos
este viaje al mundo de las ecuaciones y funciones cuadráticas.

El estudio de las ecuaciones ha sido una parte fundamental en el desarrollo de
la matemática y de todas las disciplinas que dependan de ella.
Entre todas las ecuaciones, las cuadráticas juegan un papel importantísimo en
la resolución de muchos problemas de la vida diaria y, unida a ellas, la función
cuadrática nos ayuda a modelar situaciones cotidianas en variados campos.
Se invita al docente a establecer una relación entre la imagen de la construcción
al inicio de la unidad, y los contenidos que estudiarán a continuación.
A través de esta unidad los alumnos aprenderán la importancia de estos temas
y su utilidad. En esta guía didáctica, al igual que para la unidad anterior, se
continuará con el apoyo al docente para el trabajo de la presente unidad.
La unidad se inicia con una referencia, breve pero significativa, de la historia
de la matemática (Página 77 del Texto del Estudiante) con respecto a las
razones de la aparición de la ecuación de segundo grado, la manera en que
se fue abordando su resolución a través del desarrollo del tiempo, su uso, y
cómo se relacionan estos conceptos con el de función. De esta manera, se
ayuda a los alumnos a entender que los descubrimientos matemáticos se
suceden en la historia humana concatenadamente con ella.
Ecuaciones cuadráticas: ¿qué son, cómo se
resuelven y para qué sirven?

Después de su experiencia con el Señor 3 i, Paulina miraba de otra En esta sección aprenderás
manera la matemática, de hecho, se interesaba por ella con más
entusiasmo. En su clase de artes visuales, el profesor que estaba
muy interesado en aplicar conocimientos de otras asignaturas a la
suya, les pidió que fabricaran una caja, con el material que ellos
eligieran, cuya altura tuviera una medida de  y la medida de su
largo tuviera cinco  más que su ancho. También les pidió que la
medida de su volumen fuera de al menos 3 . Luego, debían
decorarla de modo que quedara estéticamente atractiva.
Esta actividad debían realizarla en grupos de tres integrantes, y para
ello, Paulina se reunió con sus amigos Daniel y Mauricio con quiénes
realizaba trabajos a menudo y con los que compartía una gran
amistad.
Para comenzar, hicieron los cálculos para fabricar la caja y
decidieron que la fabricarían de madera…
– Mira Daniel, creo que para fabricar nuestra caja, debemos calcular
el volumen de esta conociendo los valores de la medida de sus
lados -decía Mauricio.
– Es decir, si le asignamos el valor x a la medida de su ancho, ya que
no conocemos su medida, su volumen medirá:
5 ⋅ x ⋅ ( x + 5 ) = 
⇒ 5 x 2 + 25x =  / − 
⇒ 5 x 2 + 25x −  = 0
– Pero no entiendo Mauricio, creo que esta ecuación no se puede
resolver – decía Paulina.
Daniel le dijo que estas eran un tipo de ecuaciones distintas y que
este año las estudiaría en el colegio.
Definiremos ecuación cuadrática como aquella ecuación en la
que al menos una de las incógnitas involucradas está elevada
al cuadrado, siendo la mayor potencia de ella.
Así, una ecuación cuadrática será toda ecuación de la forma
a x 2 +bx+c=0, con a, b y c números reales y a≠0.
Resuelvan en parejas los siguientes problemas y
comparen sus resultados con los otros grupos.

revisar sus respuestas en el solucionario.
a. El profesor de Lenguaje de Macarena le
pidió como tarea que hiciera un poema que
tuviera rima e integrara las asignaturas de
Lenguaje y Matemática. A Macarena le
gustaban los desafíos, así que después de
un rato escribió:
Un número entero soy y qué cansado estoy.
Ocho veces han multiplicado mi sucesor
por mi antecesor hoy
y nadie entiende cómo he terminado
ocho unidades
menor que yo mismo, aquí donde estoy…

b. A Bastián le dijo su mamá que se puede
encontrar un número que al sumarle 6 y 8,
se forman otros dos cuyo producto es 48.