ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO PROBLEMAS RESUELTOS PDF

Share Button


CLICK AQUI PARA PDF
CLICK AQUI PARA VER  VIDEOS

OBJETIVOS :
* Conocer los mecanismos para resolver ecuaciones de segundo grado.
* En el nivel elemental, hacer notar que de las ecuaciones polinomiales, la más importante, es la ecuación cuadrática; por su conformación característica y sus propiedades inherentes , bastante usuales en todas las ramas de la matemática.
CLICK AQUI PARA VER PDF 1   ****
CLICK AQUI PARA VER PDF 2   ****
introducción :
En el anterior capítulo estudiamos la ecuación de primer grado , la cual es una igualdad condicional entre dos expresiones algebraicas que queda satisfecha sólo para algunos valores asignados a sus letras (incógnitas). La búsqueda de estos valores se llama Resolución de una Ecuación. Las expresiones de cada lado de la igualdad se llaman miembros de la ecuación. Así por ejemplo:

Al sustituir las variables de una ecuación por valores numéricos, puede resultar que la igualdad sea cierta o falsa. En el ejemplo anterior, si sustituimos x = –13; obtenemos en el primer miembro: 3(–13) + 4 = –35 y en el segundo miembro: 2(–13) – 9 = –35 entonces la igualdad es cierta; en cambio si sustituimos x = 2, el primer miembro vale: 3(2) + 4 = 10 y el segundo miembro vale: 2(2) – 9 = –5 entonces la igualdad entre los miembros es falsa. Resolver una ecuación es entonces encontrar los valores numéricos que al sustituirlos en el lugar de las variables hacen cierta la igualdad. Por ello debemos dejar la variable sola en un lado de la ecuación. A esto se le llama despejar la variable. Ahora prepárate para estudiar las ecuaciones de 2do grado.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Es aquella ecuación polinomial de una incógnita de la forma :

* Donde : ax2 : término cuadrático
bx : término lineal
c : término independiente
Ejemplo :
3×2 +5x – 7 =0
Toda ecuación de segundo grado o cuadrática tiene dos soluciones o raíces, a las que se le asigna los símbolos x1 y x2; respectivamente, de modo que el conjunto solución de toda ecuación de segundo grado es: {x1 ; x2}

De la ecuación ax2 + bx + c=0 (forma estándar) se deducen otras formas de ecuaciones cuadráticas, así tenemos :

* Si b = 0, tenemos la ecuación ax2 + c = 0

* Si c = 0, tenemos la ecuación ax2 + bx = 0

* Si b0 y c0, tenemos la ecuación ax2+bx+c= 0

I) ecuaciones de la forma : ax2+c=0
Se resuelve despejando x2 y se aplica la propiedad de la raíz cuadrada. Esto es :

Ejemplos :
Resolver :
2×2 – 18 = 0

Resolución :
* Despejando :

Resolver : 4×2 – 100 = 0
Resolución :
* Despejando :

II) ecuaciones de la forma: ax2+bx=0
Para hallar las raíces, se factoriza y se aplica el principio del producto cero; esto es :

Ejemplo 1 :
Resolver : 6×2 + 12x = 0
Resolución :
* Factorizando : 6x(x +2) = 0
* Igualamos cada factor a cero :

Ejemplo 2 :
Resolver : 5×2 – 20x = 0
Resolución :
* Factorizando : 5x(x – 4) = 0
* Igualamos cada factor a cero :

III) resolución de ecuaciones de la forma : ax2+bx+c=0
A) Por el método de factorización :
Factorizamos el trinomio por el método de aspa simple, quedando dos factores, los cuales igualamos a cero cada uno, resultando dos ecuaciones de primer grado que resueltas nos permiten obtener las dos raíces de la ecuación cuadrática inicial.
Ejemplo 1 :
I) Resolver : x2 – 5x – 24 = 0
Resolución :
* Factorizando por ASPA SIMPLE (x – 8)(x + 3)=0

* Igualamos cada factor a cero :

Ejemplo 2 :
Resolver : x2 + 8x + 7 = 0

* Factorizando por ASPA SIMPLE

(x + 7) (x + 1) = 0

* Igualamos cada factor a cero :

b) Por la fórmula General :
Si el trinomio, no es factorizable por el método del aspa simple , lo mejor es utilizar la fórmula general, teniendo mucho cuidado con los signos de los coeficientes a, b y c.

* Donde :

Ejemplo :

Resolver : x2 – 7x + 2 = 0

Resolución :
* Identificando : a = 1 ; b = – 7 ; c = 2

* Reemplazando en la fórmula general :

* Por lo tanto :

estudio acerca de
la naturaleza de las raíces
Dada la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c, donde sus raíces se hallan mediante la siguiente fórmula general:
El binomio que figura bajo el radical se llama “discriminante”. Este nos permitirá conocer la naturaleza de las raíces sin necesidad de resolver la ecuación, y se denotará mediante el símbolo . Es decir:

Ejemplo :
Hallar la discriminante en : x2 + 7x + 10 = 0
Resolución :
* Identificando : a = 1 ; b = 7; c = 10
* La discriminante será:

* Sabemos ya que la naturaleza de las raices viene dada por el valor discriminante. Según esto tenemos que :
I) Las raíces son reales y diferentes

II) Las raíces son reales e iguales x1 = x2

III)Las raíces son imaginarias y conjugadas.

Ejemplos :
¿Cuál es la naturaleza de las raíces en las siguientes ecuaciones?

´
Las raíces son reales y diferentes por ser

Las raíces son reales e iguales por ser

Las raíces son imaginarias y conjugadas por ser
propiedades de las raíces
Sean x1 y x2 las raíces de la ecuación :

A) Suma de Raíces :

Ejemplo :
Hallar la suma de raíces de la siguiente ecuación :
2×2 + 6x + 3 = 0
Resolución:
* Por propiedad :

B) producto de Raíces:

Ejemplo :
Hallar el producto de raíces de la siguiente ecuación:
2×2 + 11x + 16 = 0
Resolución :

* Por propiedad :

C) Diferencia de raíces:

Ejemplo :
Hallar la diferencia de raíces de la siguiente ecuación:
2×2 – 5x + 3 = 0
Resolución :
* Por propiedad :

formación de una ecuación cuadrática a partir de sus raíces
Sea “S” y “P” la suma y el producto de raíces respectivamente, la ecuación de segundo grado se reconstruirá de la siguiente manera :

Ejemplo 1 :
Sea :

Reconstruir la ecuación cuadrática.
Resolución :
Por definición :

Ejemplo 2 :
Sea : x1 = 3 ; x2 = – 2
Reconstruir la ecuación cuadrática.
Resolución:

* Por definición :

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA CON COEFICIENTES REALES
Sean las funciones : y = f(x) = ax2 + bx + c; a ¹ 0
y = g(x) = 0
Si : f(x) = g(x) … (I)
Se obtiene la ecuación cuadrática :
ax2 + bx + c = 0 ; a ¹ 0
De la igualdad de funciones (I), se deben calcular aquellos x (x1 y x2) para los cuales las ordenadas de ambas funciones (y1 y2) son las mismas; es decir, geométricamente, hallar los puntos de intersección de las gráficas de éstas funciones, como se muestra en la figura :

donde y1 = y2 = 0 y x1¹ x2
Siendo las abcisas de los puntos de intersección (x1 ; 0) y (x2 ; 0) de las gráficas de f y g, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática :
ax2 + bx + c; a ¹ 0
Ejemplo :
Resolver gráficamente : 2×2 – x – 15 = 0
Esbozemos la gráfica de la función cuadrática.
y = f(x) = 2×2 – x – 15

las abcisas de los puntos P y Q de intersección de la gráfica de f y el eje horizontal, nos representan las raíces o soluciones de la ecuación.
Observar que, para :

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DISCUSIÓN DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA DE COEFICIENTES REALES
En la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0 ;a ¹ 0. Sabemos que la naturaleza de sus raíces viene dada por el valor del discriminante D. Según esto, geométricamente, se obtienen gráficamente lo siguiente:

Problema 1 :
Resolver : (x + 1)(x – 2) = 4
E indicar el conjunto solución
A) {1 ; –1} B){2 ; –2} C){3 ; –1} D){3 ; – 2}
Resolución :
* Efectuando el producto y pasando el 4 al primer miembro.

* Factorizando por Aspa Simple :

* Igualando cada factor a cero :
x – 3 = 0 ó x + 2 = 0
x1 = 3 y x2 = – 2
* Luego el conjunto solución, será : C.S.={3 ; – 2}
rpta : ‘‘D’’
Problema 2 :
Resolver :

E indicar una raíz
A)10 B)–1 C)0 D)2 E)“A” ó “C”
Resolución :
* Reducimos y pasamos todo al primer miembro :

* Igualando cada factor a cero :
x1 = 0 ó
* Luego las raíces, serán : 0 ó 10.
RPTA : ‘‘E’’
Problema 3 :
La diferencia de las raíces de la ecuación :

A) 3 B) 0 C) 0,6 D)1,5 E) 2,2
Resolución :
* Operando, se obtendrá :

* Entonces :

* Se pide :
RPTA :‘‘C’’
Problema 4 :
La ecuación : , tiene :
A) Dos raíces reales.
B) Una raíz real y una imaginaria.
C) Dos raíces imaginarias.
D) Una raíz real solamente.
E) Una raíz imaginaria solamente.
Resolución :

* De la ecuación :

* Elevando al cuadrado :

* Ordenando
x2 – 9x + 18 = 0 (x – 6)(x – 3) = 0
* Entonces : x1 = 6 y x2 = 3
* Verificando :
Para x1 = 6 :
Para x2 = 3 :
* Luego existe solo una raíz real
rpta : ‘‘D’’
Problema 5 :

La ecuación : ; tiene
A) Dos raíces reales
B) Una raíz real y una imaginaria
C) Dos raíces imaginarias
D) Una raíz real solamente
E) Una raíz imaginaria solamente
Resolución :
* De la ecuación :

* Entonces :

* Ahora elevamos al cuadrado:

* Aplicando la fórmula :
* En este caso : a=2, b= – 2 y c= – 3
* Luego :

rpta:‘‘D’’
Problema 6 :
En la ecuación :

una de las raíces es :

Resolución :
* Haciendo una transformación conveniente :

* De donde :

* Luego :

rpta : ‘‘E’’
Problema 7 :
Si : puede decirse, que :

A)x = 1 B)0 < x < 1 C)1 < x < 2 D)x es infinitamente grande. E)x es mayor que 2 pero no infinitamente grande. Resolución : * Elevando al cuadrado : * Aplicando la fórmula general : * Pero como “x” es positivo, luego : rpta: ‘‘C’’ Problema 8 : Si la ecuación : x2 + 12x – 3m = 0 tiene raíces iguales; el valor de “m” es : A) –12 B)14 C)16 D)18 E) 20 Resolución : * Si las raíces son iguales se cumple que: rpta : ‘‘A’’ Problema 9 : Calcular los valores de “m” que hacen que la ecuación: 2x2 – mx+(m + 6)= 0; tenga raíces iguales: A)2 ó 3 B)8 ó – 6 C)12 ó – 4 D)6 ó 2 E)4 ó 12 Resolución : * Las raíces de la ecuación serán iguales, si el discriminante * De la ecuación : * Reemplazando en (I): * Finalmente: rpta : ‘‘C’’ Problema 10 : Determinar la suma de los valores de “k” que hacen que la suma de las raíces de la ecuación: x2+kx+2x–k2+4=0, sea igual al producto de las mismas. A) 2 B) 21 C) 1 D) –1 E) 0 Resolución : * Dando forma a la ecuación : 1x2 + (k + 2)x + (4 – k2) = 0 * Según el problema : x1 + x2 = x1× x2 * Pero por propiedad de suma y producto de raíces, se obtendrá : (k – 3)(k + 2) = 0 * De donde : k – 3=0 k+2=0 k=3 k= – 2 * Se pide : 3+ (–2) = 1 RPTA : ‘‘C’’ Problema 11 : Si : p y q son las raíces de la ecuación : ax2 + bx + c = 0 el valor de : es : Resolución : * Por propiedad : * Reemplazando : RPTA : ‘‘B’’ Problema 12 : Determinar el valor de “p” en la ecuación: x2 – 6x+4+p=0 ; sabiendo que la diferencia de sus raíces es 2. A)1 B)2 C)3 D)4 E) –1 Resolución : * Por propiedad : * Dato del problema : x1 – x2 = 2 * Reemplazando datos : * Elevando el cuadrado : 20 – 4p = 4 4p = 16 p = 4 RPTA : ‘‘D’’ Resolver: x2 + 5x - 6 = 0 é indicar su menor raíz: a)1 b) – 6 c)3 d) – 2 e) – 3 Luego de resolver: x2 + 3x = 28 indicar su mayor raíz: a)4 b)7 c) – 7 d) – 4 e) – 3 Luego de resolver la ecuación: 5x – 2x2 = 2 Calcular el producto de sus raíces: a) b) c)1 d)2 e) – 2 Resolver la siguiente ecuación: 4(x – 4) + 4(x+1) = 5(x – 1)(x – 4) é indicar su raíz entera: a)5 b)8 c) – 8 d) – 5 e) – 13 Si: "a" y "b" representan a las raíces de la siguiente ecuación: x2+8=6x; Hallar: "ab" (a>b)
a)8 b)16 c)32 d)64 e)271
Calcular la suma de raíces reales en la siguiente ecuación: 3×2 + x + 4 = 0
a)5 b) – 3 c) – d) –
Calcular el discriminante correspondiente a la siguiente ecuación: 7×2 + 35x – 3 = 0
a)89 b) – 89 c)1309 d) – 109 e) – 106
Hallar el valor de “m” para el cual la ecuación sgte. tiene raíces iguales: x2 + 8x + m = 0
a)2 b)16 c) – 2 d)8 e)6
Calcular el valor de “p” para el cual la diferencia de raíces de la ecuación: 4×2 + 8x + (p – 1) = 0; sea igual a cero.
a)5 b) c) d) e) – 5
Hallar la suma de raíces de la siguiente ecuación:

a) – 2 b) c) – d) e)2
La ecuación: 2×2 + 3x + 5 = 0
Calcular: (1 + x1)(1 + x2)
a)2 b)1 c) – 1 d)3 e)
Dada la ecuación: 5×2 + 6x + 8 = 0
Calcular: “”
a) – b) c) – d) e) –
Dada la ecuación: 2×2 – 3x + 4 = 0
Calcular:
a) – b) c) d) – e)1
Formar una ecuación de 2do grado cuyas raíces son: x1= – 9; x2=7
A)x2 – 2x – 63 = 0 B)x2 + 2x – 63 = 0
C)x2 – 2x + 63 = 0 D)x2 + 2x + 63 = 0
E)x2 – 63 = 0
Hallar “x” en: (x + 5)2 – (x + 6)(x + 4) = 2x – 17
a)13 b)5 c)7 d)9 e)11
Hallar la menor raíz de la ecuación cuadrática:
x2 + 5 = 6x
a) – 5 b) – 4 c) – 2 d)1 e)2
Hallar el producto de raíces de la siguiente ecuación cuadrática: x(x – 3) = 2(x – 3)
a)3 b)5 c)6 d) – 5 e) – 6
Hallar una raíz de la siguiente ecuación:
(x – 4)2 + 5(x – 3) = 11
a) – 2 b) – 5 c)2 d)3 e) 7
Hallar la suma de raíces de la siguiente ecuación cuadrática: (2x + 1)2 – 3(x + 3)(x + 2) + 8 = 9
a)7 b)9 c)11 d)15 e)– 13
Si las raíces de la ecuación cuadrática:
x2 + 3x + 5 = 0 son: x1 y x2
Hallar: R = x1x2 + 3(x1 + x2) + 5
a) – 1 b)0 c)1 d)2 e)3

Calcular “x” en :x2 + 1 = 2x
A)–1 B) 1 C) 2 D) 0 E) –2

(x + 1)(x – 1) = 3
Indicar una de sus raíces
A)2 B)1 C)–8 D)3 E) –1

(x–3) (x + 4) = x+13
Indicar una de sus raíces
A)3 B)– 5 C)7 D)– 4 E) – 13
2×2+3x+4=(x+1)(x+2)+3
Indicar una de sus raíces.
A)1 B) – 1 C) – 2 D)0 E) 2

4×2+3x–2 = x2+3(x + 6)+7
Indicar una de sus raíces.
A) – 6 B)4 C)2 D) – 2 E) – 3
(x+1)(x + 2)+(x+2)(x+3)=(x+3)(x+4)– 4 Indicar una de sus raíces .
A) – 2 B) – 3 C)0 D)1 E) 2
5x(x+4) – (x+3)(x+2)=(x+1) x – 6
Indicar una de sus raíces.
A)14 B)14/3 C)3 D)2 E) 3/4
x2+(x+3)(x – 3)= – 3(x+3)
Indicar una de sus raíces.
A) – 3/2 B)2/3 C)3/2 D) – 2/3 E) 3
(x+1) (x–2)=4
Indicar la suma de sus raíces.
A)5 B)3 C) – 2 D)1 E) –1
(x+2)(x+3)=2(12 – x)

Indicar la suma de sus raíces.
A) – 7 B)11 C) – 9 D)2 E) 7
x2+9x+20 = 0
Indicar el producto de sus raíces
A) – 9 B)9 C)20 D) – 20 E) 4
– x2+10x + 24=0
Indicar la menor de sus raíces
A)2 B) – 2 C)12 D) – 12 E) 10
x2+3x + 1=0
Indicar la menor de sus raíces.

5×2 – 8x + 2 = 0
Indicar la suma de sus raíces.

10×2+37ax – 36a2 =0
Hallar la suma de sus raíces.

a2x2 +abx – 2b2 = 0
Hallar la suma de sus raíces.

x2 – 11x + 28 = 0
Indicar la suma de raíces.
A)7 B)4 C)11 D) –11 E) –7

x2 – 8x – 20 = 0
Indicar el producto de raíces.
A)8 B) 20 C) –20 D) –8 E) 12

– x2 + 7x – 10 = 0
Indicar la menor de sus raíces.
A)2 B) 5 C) – 2 D) – 5 E) –1

8×2+18x – 5 = 0
Indicar una de sus raíces.
A)5/2 B) –1/4 C) 2/5 D)4 E)–9/4

Indicar la suma de sus raíces.

A)8 B)–16 C)16 D)4 E) –8

Indicar una de sus raíces.
A)11/3 B) 3/11 C) – 11/3 D)11 E) 3

4×2– (x – 3)(x–2)=x – 6
Indicar una de sus raíces.
A) – 4/3 B) 4/3 C) 3/4 D) – 3/4 E) 3

Indicar la suma de sus raíces.
A) – 3 B)2 C) – 1 D)1 E) – 2

Indicar la suma de sus raíces.
A) – 3 B) – 15 C)5 D)0 E) – 3
x2 + 7x + 4 = 0
Indicar la mayor de sus raíces.

x2 – 10x + 1 = 0
Indicar la suma de raíces.
A)10 B) C) D)5 E)7
x2 – 7x + 3 = 0
Indicar la menor solución.