ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO EJERCICIOS DE TERCERO DE SECUNDARIA EN WORD

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DEFINICIÓN:
Se llama ecuación de 2do grado a toda ecuación que admite ser reducida a la siguiente forma:

ax2 + bx + c = 0 , {a; b; c}  R / a  0

Frecuentemente a dicha ecuación se le llama: Ecuación Cuadrática y se caracteriza por presentar 2 soluciones (su incógnita “x” asume dos valores)

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN.
Toda ecuación de 2do grado podrá resolverse por al menos una de las siguientes formas:
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A) Por Factorización
Este método se aplica únicamente si el trinomio : ax2+bx+c es factorizable, para lo cual se debe tener en cuenta la siguiente propiedad:

Si : m . n = 0  m = 0  n= 0

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación:
x2 – x–12=0

Solución:

La ecuación dada es: x2 – x–12=0

Factoricemos al trinomio: x2 – x–12

Según el criterio del aspa x2 – x – 12= (x – 4)(x+3)
simple tendremos: x – 4
x 3

Luego la ecuación dada será: (x-4) (x+3) = 0

Finalmente de acuerdo a la propiedad señalada líneas arriba; se tendrá:

x – 4 = 0  x + 3 = 0  x = 4  x = -3

Es decir el conjunto solución de la ecuación :

x2 – x – 12= 0, es : C.S. = {4; – 3}
B) Por la Fórmula de Carnot
Dada la ecuación : ax2 + bx + c = 0, sus raíces se obtienen utilizando la fórmula deducida por Sadi Carnot:

Donde las raíces son:

;

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación:
x2 + 3x – 1= 0
Solución:
De la ecuación se deduce que: a=1  b=3  c=-1
Reemplazando en la fórmula tenemos:

Efectuando y reduciendo:
Finalmente las raíces de la ecuación son:
;

En consecuencia el conjunto solución es :

ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN.

Para la ecuación : ax2 + bx + c = 0 , se tiene:

I) Si : a  0  {b ; c}  R , la ecuación es : Compatible Determinada.x

II) Si : a = 0  b = 0  c = 0 , la ecuación es : Compatible Indeterminada.

III) Si : a = 0  b = 0  c  0 , la ecuación es : Incompatible.

NATURALEZA DE LAS RAÍCES.

A) DISCRIMINANTE ()
Llamamos discriminante a la expresión subradical contenida en la fórmula de Carnot :

 = b2 – 4ac

De este modo la fórmula que da solución a una ecuación de 2do grado queda así :

B) ANÁLISIS DEL DISCRIMINANTE
Observando la relación anterior, resulta previsible que el valor y/o signo del discriminante determinará la naturaleza de las raíces de una ecuación de 2do grado. Veamos los siguientes casos:

Primero : Si :  > 0

En este caso las raíces de la ecuación serán reales y diferentes.

Segundo : Si :  = 0

En este caso las raíces de la ecuación serán reales e iguales. Este caso se presenta cuando el trinomio “ax2+bx+c” es un cuadrado perfecto.

Tercero : Si :  < 0 En este caso las raíces de la ecuación serán imaginarias y conjugadas. Debe notarse que las raíces imaginarias y conjugadas. Debe notarse que las raíces imaginarias siempre se presentan en parejas, siendo una la conjugada de la otra. Cuarto : Si :  = k2 (cuadrado perfecto) Siendo a, b  c números racionales, las raíces de la ecuación serán reales racionales. Pero si   k2, las raíces de la ecuación serán reales irracionales y conjugadas. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES: Para la ecuación : ax2 + bx + c = 0 / a  0, de raíces x1  x2 , tenemos: I) Suma de Raíces : s = x1 + x2 = II) Producto de Raíces : p = x1 . x2 = III) Diferencia de Raíces : d =| x1 – x2 |= A) RAÍCES PARTICULARES: En algunas ecuaciones las raíces se condicionan de tal modo que efectuando alguna operación elemental entre ellas, se podrá deducir alguna propiedad particular como por ejemplo: Raíces Simétricas: Si x1  x2 son raíces simétricas, se podrá establecer lo siguiente: x1 = m  x2 = – m  x1 + x2 = 0 Raíces Recíprocas: Si x1  x2 son raíces recíprocas, se podrá establecer lo siguiente: x1 = m  x2 =  x1 . x2 = 1 B) RAÍCES ESPECIALES: Llamaremos así a las siguientes raíces: Raíz Nula: Dada la ecuación cuadrática ax2+bx+c = 0 / a  0, si ésta presenta una raíz nula (x=0), se cumplirá que : c = 0. Raíz Unidad: Dada la ecuación cuadrática ax2+bx+c = 0 / a  0, si ésta presenta una raíz unidad (x=1), se cumplirá que : a+b+c = 0. RECONSTRUCCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA: Considerando a x1  x2 como raíces de la ecuación tal que: S = Suma de raíces P = Producto de raíces Entonces la ecuación que originó a dichas raíces se determina así: x2 – Sx + P = 0 PROPIEDADES IMPORTANTES. A. De las Ecuaciones Equivalentes Sean: a1 x2 + b1 x + c1 = 0 ...... (1) a2 x2 + b2 x + c2 = 0 ...... (2) dos ecuaciones equivalentes, luego entre ellas se cumplirá la siguiente relación: PRÁCTICA DE CLASE Bloque I: 01. Resolver las siguientes ecuaciones a) = b) x - c) 02. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas: a) (x+1)(x+2)(x+3) = x(x+4)(x+5) b) c) - = 2 d) 03. Completar: a) 2x2 – 7x – 3 = 0  = …………………… b) 7x2 – 11x – 14 = 0 S = …………………… c) x2 – 5x + 6 = 0 ……………… d) 2x2 + 7x + 1 = 0 = …………… e) 2x2 + x – 1 = 0 = ………… f) x2 + 2x – 1 = 0 = ………… 04. Relaciona correctamente : I) x2- 4 x+12=0 a) Raíces reales iguales II) x2 – 2x – 1 = 0 b) Raíces reales diferentes III) x2 – 2x + 3 = 0 c) Raíces complejas a) I A – II B – III C b) I C – II B – III A c) I B – II C – III A d) I A – II C – III B e) I C – II A – III B 05. Calcular “m” para cada uno de los siguientes casos, siendo la ecuación cuadrática : (m+1)x2 – (3m - 5)x + 2m – 5 = 0 a) Suma de raíces es 5/2 m = …………...... b) Producto de raíces es 9/4 m = …………...... c) Raíces recíprocas. m = …………...... d) Raíces simétricas m = …………...... e) Una raíz es – 2 m = …………...... 06. Calcular “n” para cada uno de los siguientes casos, siendo la ecuación cuadrática : (2n - 5)x2 + (3n - 5)x + n + 1 = 0 a) Raíces iguales m = …………..... b) Suma de las inversas de las raíces es – 5/2 m = …………..... c) Diferencia de raíces es 0,5 m = …………..... d) Suma de los cuadrados de las raíces es 5/4 m = …………..... 07. Formar una ecuación cuadrática con coeficientes enteros para cada uno de los siguientes casos: a) x1 = 7 x2 = 4 b) x1 = 2/3 x2 = - 3/5 c) x1 = 3 - d) x1 = 4 + i e) x1 + x2 = - 7/3 x1 . x2 = 5/9 Bloque II 01. Indicar la mayor raíz de la ecuación : x2 – 3x + 2,16 = 0 a) 1,2 b) 0,8 c) 1,8 d) 0,3 e) 1,2 02. En la siguiente ecuación: determine el valor de “y”. a) 1 b) 0,1 c) 0 d) –3 e) a y d 03. Si : x = , puede decirse que: a) x= b) 02
d) x=2 e) x es infinitamente grande

04. Cuál o cuáles de las siguientes ecuaciones:

I. x2 – x – 1 = 0 II. x2 – 2x + 3 = 0
III. 3×2 + x – 2 = 0

no admite raíces reales.

a) Solo I b) Solo II c) Solo III
d) II y III e) I y II

05. Halle la menor raíz de la siguiente ecuación mónica de 2do grado:
(m – 2) x2 – (3m-8) x + m – 9 = 0

a) -2 b) -3 c) 2
d) 3 e) -1

06. Calcular el valor de “m – 2n” si la ecuación cuadrática:
5 (m + n + 18)x2 + 4(m – n) x+ 3mn = 0
es incompatible.

a) –9 b) –18 c) 9
d) 18 e) –13

07. Calcular la mayor solución de la ecuación:
(m – 2) x2 – (2m – 1) x + m – 1 = 0
sabiendo que su discriminante es 25.

a) 3 b) 0,5 c) 2,5
d) 1,5 e) N.a.

08. Calcular “m” para que la ecuación :
6×2 + (2m+3x) + m = 0
tenga solo una raíz.

a) 3 b) 3/4 c) 1/2
d) 3/2 e) 5/3

09. Si “r” y “s” son las raíces de la ecuación : ax2+bx+c=0 ; el valor de : , es:

a) b2 – 4ac b) c)
d) e) b2 + 4ac

10. Si la ecuación : x2 – nx + 36 = 0, admite como raíces a : x1  x2, tal que:

; encontrar el valor de “n”.

a) 25 b) 18 c) 12
d) 24 e) 15

11. Siendo : x1  x2 las raíces de la ecuación :
5×2 – 23x + 11 = 0 , el valor de:
; es:

a) b) c)
d) e)

12. ¿Para qué valores de “m” la ecuación:

x2 – 2(3m+1) x + 7(2m+3) = 0

tendrá sus dos raíces iguales?

a) 5 ; 2 b) 1 ; – 3 / 2 c) 4 ; – 2
d) 3 ; – 1 e) 2 ; – 10 /9
13. La ecuación cuadrática cuyas raíces son :
2+  2 – , es:

a) x2 + 2x – 1= 0 b) x2 + 4x +2= 0
c) 2×2 – 4x + 1= 0 d) x2 – 4x + 2= 0
e) x2 – 8x + 2= 0

14. Si “” y “” son las raíces de la ecuación:
x2 – 2x – 5 = 0, encontrar una ecuación cuadrática cuyas raíces sean: 2 y 2.

a) x2 +14x + 25= 0 b) x2 +14x +15= 0
c) x2 – 2x – 1= 0 d) x2 – 14x – 25= 0
e) x2 – 14x + 25= 0

15. ¿Para qué valor de “m” las raíces de la ecuación: x2 – (m+3)x + +1=0; se diferencian en 2?

a) – b) c) –
d) e)

16. La ecuación de 2do grado una de cuyas raíces es la fracción :
x = ; está dada por:

a) 3×2 – 5 = 0 b) 5×2 – 3 = 0
c) 3×2–x–5 = 0 d) 5×2 – x – 3 = 0
e) 2×2 – 4 = 0

17. Determine la suma de los valores que puede tomar “a” para que la ecuación:

(a+1) x2+ax+1 = 0

tenga una sola solución si “a” es un número real y diferente de –1.

a) 12 b) 4 c) 4
d) 5 e) 6

18. Sea : {x1 ; x2} el conjunto solución de :
3×2 – x – 1 = 0. A continuación se establece que:
P(n) = ; calcular : P(2)

a) 7 b) c) 3
d) e)

19. Si la ecuación : x2 – 6x + n + 1 = 0 , admite como raíces a x1  x2 , tal que :

;

encontrar el valor de n:

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

20. ¿Para qué valor de “n” el discriminante de la ecuación : x2 – 8x + n = 0, es igual a 20?

a) 44 b) 11 c) 33
d) 22 e) 17

TAREA DOMICILIARIA

01. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones, en base a la ecuación:
x(x – 1)2(2x – 3)3(x2 – )2 = 0

( ) Posee 4 raíces o soluciones
( ) Su conjunto solución posee 5 elementos
( ) Posee a x = 0 como raíz simple y a x = 3/2 como raíz triple.

a) VVV b) FVV c) FFV
d) VFV e) VVF

02. En la ecuación cuadrática : ax2+bx+c=0
afirmamos :

I) Si la suma de sus raíces es igual a su producto entonces b + c = 0
II) Si una raíz es la opuesta de la otra entonces b = 0
III) Si una raíz es el doble de la otra, entonces 2b2 = 9ac
a) Las 3 afirmaciones son verdaderas
b) I y II son verdaderas
c) I y III son verdaderas
d) II y III son verdaderas
e) Sólo II es verdadera

03. Sea la ecuación :
indicar el valor de verdad de las proposiciones:

( ) Si la ecuación admite solución, ésta debe estar en [-1; 0]
( ) La ecuación tiene dos soluciones reales
( ) La ecuación tiene una única solución

a) VFV b) VFF c) VVF
d) VVV e) FVV

04. Resolver: (1+x)(1+2x)(1+3x) = – 15
Indicar la suma de las raíces no reales :

a) 0 b) 1/2 c) – 1/2
d) – 1 e) 1/6

05. Sea el polinomio cuadrático:
P(x)  (n+1)! x + n! (x) + (n-1)!; n  N, indicar verdadero o falso, si P(x) = 0, según corresponda:

( ) P(x) tiene raíces reales y diferentes  n  N
( ) P(x) tiene siempre raíces imaginarias y conjugadas
( ) Para algún n  N, P(x) tiene raíces iguales

a) FFV b) FVV c) VFV
d) VVV e) FVF

06. Si x1 y x2 son raíces reales de : ax2+bx+c=0 (a  0), calcular el valor de “m” para que la ecuación de raíces (x1 + m) y (x2 + m); carezca de término lineal

a) – b / 2a b) b / 2a c) b / a
d) – b / a e) b / 3a

07. Determinar la ecuación de segundo grado cuyas raíces sean: una la suma y la otra el producto de las raíces de: ax2 + bx + c = 0; a  0

a) a2x2 – a(b – c)x – bc = 0
b) a2x2 – a(b + c)x – bc = 0
c) a2x2 – a(b + c)x + bc = 0
d) a2x2 + a(b – c)x + bc = 0
e) a2x2 + a(b – c)x – bc = 0
08. Siendo x1 y x2 las raíces de la ecuación :

ax2 + bx + b = 0; a  b  0

tales que x1 es a x2 como “b” es a “a” calcular:

a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4

09. La ecuación x2+bx+c=0 ……… (1); tiene raíces reales positivas distintas, entonces de las raíces de la ecuación : +b +c=0; se puede afirmar :

a) Son las mismas de (1)
b) Algunas son negativas
c) Algunas son complejas
d) Son todas positivas
e) Son todas negativas

10. Hallar la ecuación de segundo grado de coeficiente principal 1 y de raíces m y n se sabe que :

i) x2+(m – 1) x + m – 2 = 0; tiene una sola solución real
ii) x2 – (n+1)x + 2n = 0; tiene una raíz igual a 3.

a) x2+9x+18 = 0 b) x2 – 6x + 18 = 0
c) x2 – 9x – 18 = 0 d) x2 – 9x + 18 = 0
e) x2 – 6x – 18 = 0

11. En la ecuación: 2×2 – (m – 1)x + m + 1 = 0, ¿qué valor positivo debe darse a “m” para que las raíces difieran en uno?

a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11

12. Sabiendo que : (p+q)2 y (p – q)2 son raíces de cierta ecuación cuadrática recíproca donde “p” y “q” son raíces de la ecuación : ax2+bx+c=0; a  b  0, calcular a4 – b4

a) 2abc b) – 2abc2 c) 4abc2
d) – 4 ab2c e) – 4abc2

13. Sabiendo que la ecuación : x4 – 9x+ = 0 admite dos raíces que suman 3, calcular el producto de todas las raíces

a) 3 b) 6 c) 9
d) 12 e) 18

14. Si las raíces de la ecuación en “x”
x2 – 3x + m + 1 = 0
3×2 + 5x + m = 0

Son imaginarias y reales respectivamente determine el valor entero de “m”

a) 0 b) 1 c) – 1
d) 4 e) 2

15. Determine a + b +c de modo que la ecuación :
x3 – ax2 + bx + c = 0
admita por raíces : a, b, c; abc  0

a) 1 b) – 1 c) 0
d) 4 e) 8

16. Resolver :

indicar la raíz de mayor valor

a) +1 b) 3-2 c) ( +1)2
d) 2+3 e) (3+ )/2

17. Si r y s son raíces de la ecuación cuadrática :
mx2 – 2(m-1)x+m=0 y cumplen =4, halle la suma de todos los valores “m” que satisfacen la condición

a) 1 b) – 4 c) – 1
d) 0 e) 4

18. El producto de multiplicar el término independiente con el coeficiente del término cuadrático de la ecuación que tiene por raíces el cuadrado de la inversa de las raíces de :

ax2 + bx + c = 0, a  0, es :

a) ac b) a2c2 c) a/c
d) 1/a2c2 e) c/a
19. Hallar la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación polinomial :

F(x) = x3 – 3x + 6 = 0

a) 1 b) – 1 c) 4
d) 8 e) 6

20. Si x1, x2, x3 son las raíces de la ecuación :
4×3 + mx2 – 4x + m2 = 0
además :

x1 = ; x2 = ;
x3 = , calcule un valor de “m”

a) 0 b) – 1 c) 2
d) – 2 e) 1

21. Resolver las ecuaciones:

1) x2 = 7
2) (x + 1) (x – 3) = 12
3) 15×2 – 34x + 15 = 0
4) (x + 3) (x + 5) = 13×2
5) x (x – 1997) = (x – 1997)

Indicar la ecuación que posee la menor raíz

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

22. Sea la ecuación :
[(m+n)2 – (m – n)2]x2+[(m – 1)2]x – [(m+n)2+(m – n)2] = 0
siendo m  0  n  0 y x1 y x2 son sus raíces. ¿En cuántas unidades es necesario disminuir dichas raíces para que sean simétricas?

a) 1/n b) – 1/n c) 1/2 n
d) – 2n e) – 1/2 n

23. Hallar una de las raíces de la ecuación :
a(b – c)x2 + b(c – a)x + c (a – b) = 0
si x es la incógnita

a) b) c)
d) e)
24. Dada la ecuación : x2 – 2x + m 0
Calcular “m” si una de las raíces es 1 + 2i,

(i = ); m  R

a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 8

25. Si la ecuación: x2+px+q = 0; tiene por conjunto solución

(r, s) si: r – s = 4 y r3 – s3 = 208

entonces p / q es:

a) 2/3 b) 3/2 c) 2/5
d) 2/7 e) 1/7

26. Hallar el valor de “a” para que las raíces de la ecuación: x2– (a+3)+ =0 se diferencien en 5

a) 5/3 b) 7/3 c) 10/3
d) 5/6 e) 20/3

27. Resolver e indicar la solución :

a) 7 b) 13 c) 15
d) 5 e) 16

28. Calcular “m” para que la ecuación :
6×2 + (2m+3)x+m=0 tenga una raíz solamente

a) 3 b) 3/4 c) 1/2
d) 3/2 e) 5/3

29. Sabiendo que las raíces de la ecuación :

x2 – (3n – 2)x + n2 – 1 = 0

son números enteros y una de ellas es el triple de la otra, calcular éstas

a) 4 y 12 b) 2 y 6 c) 5 y 15
d) 3 y 2 e) 1 y 3

30. Sabiendo que las ecuaciones:

x2 + mx + n = 0
x2 + nx + m = 0

presentan una raíz común, formar otra ecuación cuadrática cuyas raíces sean las no comunes de las anteriores

a) x2 + x – 1 = 0
b) x2 + (m – n)x + mn = 0
c) x2 – x + 1 = 0
d) x2 – (m + n)x + mn = 0
e) x2 – mn = 0