ECUACIONES DE PRIMER GRADO EJERCICIOS DE TERCERO DE SECUNDARIA EN WORD

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ECUACIONES LINEALES

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

 Reconoce y clasifica una ecuación algebraica desarrollando la percepción y acumulando experiencias que servirán de soporte para futuras formalizaciones
 Dado un conjunto de Ecuaciones de Primer Grado, trabaja creativamente y con actitud crítica situaciones problemáticas, utilizando una variedad de técnicas de cálculo y aplicando correctamente las propiedades que correspondan.
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COMENTARIO PREVIO:
Una de las mayores aportaciones a la teoría de las ecuaciones se debe al matemático Joseph Luis Lagrange (1736 – 1813). Lagrange fue uno de los mayores analistas de su época. Su mayor aportación al álgebra es su famosa memoria “sobre la resolución de las ecuaciones numéricas” escrita en 1767.
La interpretación de los fenómenos físicos de la naturaleza se realiza en general mediante modelos matemáticos, los cuales se expresan por ecuaciones algebraicas. De ahí la gran importancia del estudio de la teoría de ecuaciones.

En este módulo aprenderemos a resolver ecuaciones de primer grado, de segundo grado, sistemas de ecuaciones, ecuaciones bicuadráticas y demás ecuaciones polinomiales.

CONTENIDO TEÓRICO:
1. IGUALDAD DE NUMEROS REALES
Es la relación matemática donde nos indica que dos cantidades tienen el mismo valor. Se denota por el signo =, que se lee igual. Veamos:

27 = 27
|9| = |- 9|
A = B

Axiomas de la igualdad.- Enunciaremos los siguientes axiomas sobre la Igualdad de Números Reales.

Axioma de Reflexividad: Todo número real es igual a si mismo.
SI a  R  a = a

Axioma de Simetría: Si un número real es igual a otro , entonces el segundo es igual al primero.

Si a = b  b = a, a; b  R

Axioma de Transitividad: Si un número real es igual a otro, y este otro es igual a un tercero, entonces el primero es igual al tercero.
Si a= b  b = c  a = c; a; b; c  R

Axioma de Sustitución o Principio de Sustitución: En cualquier preposición referente a los números reales todo número puede ser reemplazado por su igual sin alterar el valor veritativo de tal proposición.

Si a = b  c = d  a+c= m
a+d= m

Si a = b  c = d  a . c= m
a . d= m

2. ECUACIÓN
Una ecuación es una igualdad condicional entre dos expresiones matemáticas definidas sobre un mismo conjunto numérico, donde participa por lo menos una variable (cantidad desconocida llamada variable). Es todo enunciado abierto en que aparece el signo “=” y cuyo valor de verdad se determina mediante su correspondiente conjunto de valores admisibles para la variable (conjunto solución).

Notación: A(x) = B(x)

OBSERVACIÓN:
Enunciado abierto: es toda expresión que contiene por lo menos una variable, que para determinados valores de su dominio se convierte en un enunciado verdadero o falso llamado proposición.

Variable: es el símbolo que puede tomar un valor cualquiera de un determinado conjunto llamado dominio. A las variables que intervienen en la ecuación se les llama incógnitas

Conjunto Solución:
El conjunto solución de una ecuación es el conjunto de valores (soluciones) que permiten que la ecuación sea una proposición verdadera.
Si una ecuación no posee solución alguna, entonces definiremos a su conjunto solución como el vacío y lo denotaremos por  o {}

Ejemplo 1. Sea la ecuación: x3= 4x.

Si x=1 : 13= 4(1)  1= 4 Proposición falsa

Si x=2 : 23= 4(2)  8= 8 Proposición verdadera

Si x=- 2 : (- 2)3=4(- 2)  – 8= – 8 Proposición verdadera

Si x=0 : 03= 4(0)  0= 0 Proposición verdadera

De lo expuesto; vemos que 2, – 2, 0 son soluciones de la ecuación de acuerdo a la definición, luego:

CS= {2, – 2, 0}

Ejemplo 2: La ecuación 3x – 5 = 0, tiene como raíz o solución a: x = 5/3.

Luego, su conjunto solución es:

C.S. =

3. CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS

3.1. De acuerdo a su forma:
Ecuación polinomial: Es una ecuación algebraica racional entera.
P(x)=ax+b= 0
P(x)=ax2+bx+c= 0
P(x)=ax3+bx2+cx+d= 0
P(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+a3xn-3+…+an–1x+an= 0
n  Z+  {a0; a1; a2; a3; …an – 1;an}  R
a0; a1; a2; a3; …; ; an – 1; an son los coeficientes.
Nota: El conjunto de valores admisibles en una ecuación polinomial son todos los reales.

Ecuación fraccionaria: Es una ecuación algebraica racional fraccionaria.

P(x)= – 5x+11= 0 …….CVA= R –{– 2}

P(x)= …CVA= R–{–1, –3,1}

Ecuación Irracional:

P(x)=

Restricción de la ecuación: x – 2  0  x  2

Luego C V A= x  [2,+>

Nota: El hecho de haber establecido el conjunto de valores admisibles (CVA), no implica haber resuelto la ecuación, sólo se le ha restringido.

3.2 De acuerdo a su conjunto solución:

Ecuaciones consistentes o compatibles: Son aquellas que tienen o aceptan por lo menos una solución. A su vez se dividen en:

– Determinadas.- Son aquellas que tienen un número limitado de soluciones. Ejm:

x3= x, CS={1, 0, – 1}

– Indeterminadas.- Son aquellas que tienen un número ¡limitado de soluciones. Ejm:

x+1= x+1, CS= R

Ecuaciones inconsistentes o incompatibles.- Son aquellas que no tienen solución, también se les denomina absurdas o imposibles.

= 0 CS= 

4. ECUACIONES DE PRIMER GRADO 0 LINEALES EN UNA VARIABLE:
Son aquellas ecuaciones que tienen la forma:

P(x)= ax + b = 0

Donde: a, b son los coeficientes, “x” es la incógnita.
Para obtener la única raíz o solución de la ecuación, basta con despejar la incógnita, así tendremos que: x= (presentación única solución).

5. ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN PARAMÉTRICA EN VARIABLE “X”.

ax= b ………( * )

Caso I:
– Si: a  0 (no importa el valor de b), reemplazamos en (*), obteniéndose x=b/a una sola solución, con lo cual su conjunto solución es finito, luego (*) es compatible determinada.

Caso II:
– Si: a=0 , b=0, evaluando en (*) se tiene 0x=0, indicando que existen infinitas soluciones, luego (*) es compatible indeterminada

Caso III:
– Si: a=0 , b  0, al reemplazar en (*) se obtiene 0x= b que carece de soluciones, con lo cual su conjunto solución es vacío, luego (*) es incompatible.

Ejemplo: En la ecuación paramétrica en “x”:

(a – 5)(a+3)x= (a+2)(a+3)

Halle los valores de a para que sea:

I) Determinada
II) Indeterminada
III) Incompatible

Resolución:
I) (a – 5)(a+3) 

a  R -{- 3, 5}

II) (a – 5 ) (a+3)= 0  (a+2)(a+3)= 0
(a=5; a=- 3)  (a=- 2; a= – 3)

 a= – 3

III) (a – 5)(a+3)= 0  (a+2)(a+3)  0
(a=5; a=- 3)  (a  – 2; a  – 3)

 a= 5

6. ECUACIONES EQUIVALENTES: Dos o más ecuaciones de las mismas variables son equivalentes, si y solo si poseen el mismo conjunto solución.

Ejemplos:
P1=  CS= {12}
P2= 5x – 36= 24  CS= {12}

Como los conjuntos solución son iguales, entonces P1 y P2 son equivalentes:

Para resolver una ecuación de primer grado es fácil, bastará con aplicar algunas propiedades básicas de los números reales hasta hallar el valor de la incógnita.

Se debe tener cuidado, cuando la variable aparece en el denominador o cuando se presenta un término radical; es justamente en estos casos que aparece una raíz extraña en algunas ecuaciones.

Luego, para resolver ecuaciones en general y de primer grado en particular es necesario tener en cuenta lo siguiente:

a) Si se divide ambos miembros de una ecuación por una misma expresión que contenga a la incógnita, entonces se perderán soluciones. Esto se puede evitar si la expresión que se divide (simplifica) se iguala a cero. Ejemplo:

Resolver: (x + 3) (x – 2) = 4 (x – 2)
Solución:
Simplificando: (x – 2)  x – 2=0
Para no perder solución x = 2
Luego, tendremos: x+3=4  x=1
La ecuación tiene 2 soluciones x=2 y x=1 (de no haber igualado a cero, hubiéramos perdido la solución x=2).

b) Si se multiplican ambos miembros de una ecuación por una misma expresión que contenga a la incógnita, entonces se puede introducir soluciones extrañas.
Esto se puede evitar si previamente se simplifica por separado cada miembro de la ecuación. Ejemplo:

Resolver:

Solución:

Primero simplificamos (x – 2), y tendremos; x+3= 4  x= 1

Observación:
Si hubiésemos trasladado (x – 2) a multiplicar, tendríamos que una solución sería x=2, que es una solución extraña, pues no verifica la igualdad.

c) Si se eleva ambos miembros de una ecuación a un mismo exponente, entonces se pueden introducir soluciones extrañas.

Ejemplo:
Resolver

Solución: Elevando al cuadrado:

x2 + 7 = x2 – 14x + 49
14x = 42
x = 3

Pero si reemplazamos; x = 3 en la ecuación dada tendremos:

(Proposición Falsa)
(No cumple), luego: x = 3 es una solución extraña, y la ecuación es incompatible, pues no tiene solución:

Observación:
Siempre que se potencie los dos miembros de una ecuación. El valor o los valores obtenidos para “x” deben comprobarse en la ecuación original pues pueden no ser soluciones verdaderas.

d) Si a ambos miembros de una ecuación le sumamos un mismo número o un mismo polinomio, la nueva ecuación es equivalente a la inicial.

Observación:
Si a ambos miembros se suma o resta una función arbitraria la ecuación resultante no necesariamente es equivalente a la inicial.

La ecuación: x2 – 12= 2x+3 tiene por raíces:

x= 5; x= – 3

Sumando a los dos miembros:
Obtenemos: x2 – 12+ = 2x+3+

Para lo cual x= 5 no es solución.

Observaciones:

1. El conjunto solución de una ecuación depende del conjunto numérico en que se quiere resolver la ecuación, por ejemplo:

Se queremos resolver en el conjunto de los racionales (Q), entonces el conjunto solución de la ecuación: x2= 2, es vacío; pues no existe número racional cuyo cuadrado es 2. Si embargo si resolvemos en el conjunto de los reales (R), entonces el conjunto solución es { , }.
De la misma manera, la ecuación x2=- 1, no tiene en R, pero si la tiene en el conjunto C. Al despejar x se obtiene: x= ó x= – .
Si definimos =i( i es la unidad imaginaria del conjunto C), el conjunto solución es: {- i, i}.
2. Si p y q son expresiones algebraicas en una variable “x”, entonces un enunciado de la forma “p=q” se llama una ecuación algebraica en “x”. Si obtenemos una proposición verdadera cuando reemplazamos x por x0; entonces x0 es llamada una solución de la ecuación. x0 es un valor del dominio (conjunto de valores admisibles) para x.

3. Si el conjunto solución de una ecuación es todo el dominio para x, entonces la ecuación se llama una IDENTIDAD, por ejemplo:
La ecuación: = es una identidad; pues es cierta para todo número en el dominio para x, esto es, en el intervalo cerrado: [- 1, 1].

4. Si en el dominio para “x” existen números que no son soluciones, entonces la ecuación se llama ecuación condicional o un enunciado abierto. Por ejemplo; en la ecuación: x2= , cuyo dominio para x es: [0, > existen números en el dominio que no son soluciones, por ejemplo x= 4  [0, +>, y no es solución, luego se trata de una ecuación condicional.

PROBLEMAS EXPLICATIVOS

01. Sayumi tenía 120 nuevos soles. Si gastó los de lo que no gastó. ¿Cuánto dinero gastó Sayumi?

Solución:
Sea x la cantidad de nuevos soles que gastó Sayumi. Entonces (120 – x) nuevos soles es lo que no gastó.
Luego: Gasto = (No gastó)
Entonces: x= (120 – x)  7x= 600 – 6x
 7x+5x= 600
 12x= 600
 x=
 x= 50 .

Respuesta: Sayumi gastó 50 nuevos soles.
02. Walter llega tarde al colegio cuando había pasado un de la clase de álgebra; 6 minutos después llega Jimmi y sólo escucha los de la clase. Si la clase empezó a las 8:00 de la mañana. ¿A que hora terminó?

Solución:
Sea t el tiempo (en minutos) que duró la clase. Jimmi se pierde ( ) de la clase, que equivale a t (pues Jimmi sólo escuchó los t).

Luego: t = t + 6  t – t= 6
 = 6
 t=
 t= 80’

Respuesta: Como la clase empezó a las 8:00 a.m. y duró 80 minutos entonces término a las 9:20 a.m.

03. Un río tiene una corriente de 3 kilómetros por hora. Si el bote de Aly Boydi tarda el mismo tiempo en ir 18 kilómetros río abajo y 15 km. río arriba. Calcule la velocidad del bote en aguas tranquilas.

Solución:
Sea V la velocidad del bote en aguas tranquilas, entonces (V+3) es la velocidad del bote río abajo (con la corriente a favor) y (V – 3) es la velocidad del bote río arriba (contra la corriente), entonces tenemos:

Distancia Velocidad Tiempo
Río Abajo 18 V+3

Río Arriba 15 V- 3

Como el tiempo es el mismo: = .

 18 (V – 3)= 15 (V+3)
 18V – 54= 15 V+45
 18V – 15V= 45+54
 3V= 99
 V=
 V=33

Respuesta: La velocidad del bote en aguas tranquilas es 33 kilómetros por hora.

PRÁCTICA DE CLASE

01. Clasificar las siguientes ecuaciones algebraicas de acuerdo a su forma.

a) = 0
……………………………………………………..

b) = 0
……………………………………………………..

c) = 0
……………………………………………………..

d) = 0 ……………………………………………………..

02. Clasificar las siguientes ecuaciones algebraicas en función de soluciones:

a) x3= 9x …………………………………………….
b) 2x+5= 2x+5 ……………………………………..
c) x+ …………………………………………..
d) x(x – 2)= (x – 1)2 …………………………………
e) 5x = 5x ……………………………………………
f) – ……………………………..

03. Encierra en una circunferencia V(Verdadero) o F(Falso).

– El conjunto de valores admisibles en una ecuación algebraica implica que la ecuación ha sido resuelta. V – F
– En una ecuación polinomial sus coeficientes son números naturales V – F
– Una ecuación es una proposición matemática
V – F
– Una ecuación compatible indeterminada tiene infinitas soluciones. V – F

04. Una ecuación compatible:

a) Tiene 2 incógnitas
b) No tiene solución
c) Tiene un número finito de soluciones
d) Tiene un número infinito de soluciones
e) c y d

05. Toda ecuación lineal presenta:

a) 1 solución b) 2 soluciones
c) 3 soluciones d) 4 soluciones
e) N.a.

06. Se llama ecuación polinomial a la:

a) Ecuación algebraica racional entera
b) Ecuación algebraica racional fraccionaria
c) Ecuación trascendente
d) Ecuación irracional
e) N.a.

07. Una ecuación se llama incompatible si:

a) Tiene infinitas soluciones
b) Tiene 3 incógnitas
c) Tiene un número finito de soluciones
d) Es irracional
e) No admite solución

08. Resolver:

x + 5 +

a) 6
b) – 6
c) 6 y – 6
d) Indeterminado
e) Incompatible

09. Resolver:

x – 4+2

a) 6
b) – 6
c) 6 y – 6
d) Indeterminado
e) Incompatible

10. Resolver:

Marque lo correcto:

a) Tiene una raíz b) Tiene dos raíces
c) Tiene tres raíces d) Indeterminado
e) Incompatible

11. Resolver: .

a) Incompatible b) 0
c) 5 d) 5, – 5
e) Indeterminado

12. Resolver: .
Indique la suma de sus raíces.

a) 0 b) 5 c) 6
d) 7 e) 9

13. Resolver:

Indique:

a) 4 b) 2 c) – 27
d) e)

14. Dada la ecuación en x:
Dar el valor de verdad:

I. La ecuación dada es lineal
II. La ecuación tiene infinitas soluciones
III. La ecuación tiene solución única
IV. x= es solución de la ecuación
V. La ecuación dada es ecuación polinomial

a) FVFVV b) FVFVF c) VVVFF
d) FFVVV e) VFVFV

15. Para que valor real del parámetro “n”, la ecuación del primer grado “x”:
(2n – 1)x+ 2= nx – 3n2
será compatible y determinada.

a) n  R b) 2 c) 3
d) n  R+ e)  n  R – {+1}
16. En la siguiente ecuación:
(x+1) + (x+2) + (x+3) +…+ (x + n) = n2,
n entero positivo, el valor de x es:

a) b) c)
d) e)

17. Si se define: P(n)= n+3; f(m)= 3m. Calcular “x” en: f(P(f(P(2)))) – P(f(P(x)))= 75.

a) 4 b) – 11 c) 12
d) – 15 e) – 1

18. Resolver:

a) 1 b) 4 c) 5
d) 2 e) – 1

19. Resolver: x+ = 7. ¿Cuántas soluciones tiene?

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 0

20. Hallar x en: = 5

a) 1 b) 4 c) 9
d) 16 e) 0

21. Si |– 9x|= 72. Calcular: |x – 3|.

a) 0 b) {1, 2} c) {5, 11}
d) 11 e) 5

TAREA DOMICILIARIA

01. Sea la ecuación en “x” :
a3x – a4+6a2=(3a – 2)x+8a – 3 e indicar el valor de a apara el cual la ecuación presenta infinitas soluciones:

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 0
02. Hallar el valor del parámetro “a” de modo que la ecuación a2x+2x+2=a2+a+3ax sea:

Compatible determinado compatible indeterminado incompatible

03. Resolver: 285 x= 285(1+4+9+16+ … +81)

a) 1 b) 7 c) 8
d) 9 e) 570

04. Si a  b, resolver en x. a(x – a2) – b(x -b2)= 0.

a)  b) {0} c) {1}
d) {a + b} e) {a2 + ab + b2}

05. Determinar el cardinal del conjunto solución de la ecuación: – 9.

a) 0 b) 1 c) 2
d) 4 e) N.a.

06. Al resolver la ecuación:
(x+1)+(x+2)+(x+3)+…+(x+20) = 420 – x .

a) 0 b) 5 c) 10
d) 12 e) 21

07. Hallar m y p para que la ecuación:

3mx – 4p = 2x + m.

Sea:

I) Incompatible II) Indeterminada

Señalar la suma de soluciones de m:

a) 2/3 b) 1/3 c) 1
d) 4/3 e) 5/3

08. Si: = 1 – x. El conjunto solución de la ecuación es:

a) x= 1 b) x= 3 c) x > 1
d) x < 1 e) x= 2 09. Resolver la ecuación: (m – 3)x2+5m+(m – 2)x – 14= 0 de primer grado a) 1 b) – 1 c) 0 d) 19 e) 15 10. Resolver: x – 7+ = 3 – x+ a) 5 b) 5; – 5 c) – 5 d) Indeterminado e) Incompatible 11. Compre cierto número de folletos de álgebra por 100 nuevos soles. Si el precio por el ejemplar me hubiese costado un nuevo sol menos, tendría 5 ejemplares más por el mismo dinero. ¿Cuántos folletos compre? a) 5 b) 4 c) 25 d) 20 e) 15 12. José tiene tres veces los años que tenía Ricardo cuando el tenía 16 años. Ricardo tiene 24. Hallar la edad de José. a) 25 b) 20 c) 40 d) 30 e) 35 13. En un reloj se lee: 8: 48 cuando en realidad son: 8:52, más tarde a las 9:42 se lee 9:34, y según esto; ¿A que hora deba una lectura correcta? a) 8:02 b) 8:00 c) 8:04 d) 8:25 e) 9:11 14. En una ala de juego para entrar se paga 1 dólar y para salir 1 dólar. Una persona juega en 3 salas y pierde en cada una la mitad de lo que tiene. ¿Cuánto tenía antes de empezar a jugar si al final se queda sin dinero? a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) N.a. 15. El conjunto solución de: , es: a) IR b) {3, – 3} c) {4, – 4} d) IR – {3, – 3} e) N.a. 16. Resolver: = 4 a) 12 b) 16 c) 25 d) 36 e) 9 17. Resolver la ecuación: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 18. Resolver la ecuación: a) 18 b) 9 c) 25 d) 16 e) 4 19. Resolver: . a) 1/2 b) 4/5 c) 2/3 d) 3/2 e) 3/4 20. Resolver: . a) b) c) d) e) 21. Indique que pares de ecuaciones son equivalentes: I. x= 4; x2 = 16 II. x= 4; x2 = 4x III. = 4; x = 16