ECUACIONES BINOMIAS, TRINOMIAS, BICUADRATICAS EJERCICIOS DE TERCERO DE SECUNDARIA EN WORD

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ECUACIÓN BINOMIA:
Se denomina así a las ecuaciones de dos términos que presenta la siguiente forma general:

Éstas se resuelven factorizando o utilizando la fórmula de “Abraham de Moivre”

Ejemplo: Resolver:

Factorizando:
C.S. =

Teorema: Las ecuaciones binomias sólo tienen raíces simples, no aceptan raíces múltiples.

ECUACIÓN TRINOMIA
Son aquellas ecuaciones de tres términos que presentan la siguiente forma general:

;  abc  0  n  N

Estas ecuaciones se resuelven factorizando o realizando el cambio de variable: ; lo que la convierte en una ecuación cuadrática después de resolver esta, se repone la variable original y se hallan las soluciones de la ecuación trinomia.
Resolver:
Factorizando:
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ECUACIÓN RECÍPROCA
Se denomina así a las ecuaciones cuyos coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son iguales en valor absoluto.

Ejemplo:

Propiedades:

1. Si “r” es raíz de la ecuación recíproca entonces “1/r” también es raíz de la ecuación.
2. Si la ecuación es recíproca de grado impar, tiene una raíz “1” ó “- 1” (se evalúa para determinar cual de ellas es la raíz)
3. Si P(x)= 0 es una ecuación polinómica recíproca de grado “n”, se cumple:

Para resolver la ecuación recíproca se consideran los siguientes casos:

Casos:

I. Si el grado es par:
– Se factoriza la parte literal del término central y se agrupa convenientemente; luego se realiza el cambio de variable respectivo:

Si: Si:

– Se resuelve la ecuación con la nueva variable luego se repone, la variable original y se resuelve, hallándose las soluciones de la ecuación recíproca.

Ejemplo: Resolver:
*

Agrupando:
…… ()

Realizando el cambio de variable en el corchete:

Fact. (aspa simple)
 (6a – 13)(a – 2) = 0

Reponiendo “x” y reemplazando en “”

Efectuando:

Igualando a cero cada factor el C.S.=

* También se puede factorizar por aspa doble especial

II. Si el Grado es Impar

– Se factoriza mediante el método de los divisores binómicos, evaluar para x=1 x=- 1
– Luego de obtener el factor lineal, el otro factor es un polinomio recíproco de grado par al cual se le aplica el método para resolver la ecuación recíproca de grado par.

Resolver:

Factorizando por divisores binómicos:

Igualando cada factor a cero:

Aplicando el método para la ecuación recíproca de grado par:

Se obtiene:

Fact: (2x – 1)(x – 2)(3x – 1)(x – 3) = 0

Igualando a cero cada factor el conjunto solución final es:

ECUACIÓN BICUADRADA
Se denomina así a las ecuaciones de cuarto grado que tienen la siguiente forma general:
;  abc  0

Para resolver esta ecuación se factoriza o se utiliza la resolvente de la bicuadrada:

Resolver:
Factorizando por aspa simple:

Igualando cada factor a cero:

 C.S. =

Resolver:

Por la fórmula:

Propiedades de:

1. Las raíces de la ecuación bicuadrada son opuestas dos a dos es decir:

2. Suma de productos binarios

3. Producto de raíces:

Reconstrucción de la ecuación bicuadrada

Ejemplo: Formar la ecuación bicuadrada, dos de cuyas raíces son: – 3 y 2¡

Por teoría sabemos que las otras dos son las opuestas:

Sean:

ECUACIONES FRACCIONARIAS
Son aquellas que se reducen a la forma:

 Q(x)  0

Para resolver estas ecuaciones se debe restringir el denominador (diferente de cero), luego resolver la ecuación y finalmente intersectar los conjuntos de valores obtenidos
Ejemplo: Resolver:
Restringiendo: x – 3  0  x – 2  0
x  3  x  2 …………. ()

Efectuando operaciones:

0 = (x – 2)2  x = 2 ……………. ()

De   : Vemos que x = 2 no satisface la ecuación:
 C.S. = 

TAREA DOMICILIARIA

01. Determinar los números enteros p; q; r de manera que las ecuaciones:

tenga tres raíces comunes e indicar el valor de:
p+ q + r

a) 1 b) – 2 c) 5
d) – 7 e) – 9
02. Indicar una raíz de:

a) b) c)
d) e) –

03. Indicar una de las soluciones de:

Si: a + b = b + c + d = d + e

a) ¡ b) c)
d) e) – ¡

04. Resolver la ecuación bicuadrada:

Si el producto de raíces es igual a 1. Dar como respuesta la raíz de mayor valor absoluto

a)2/ b) /2 c)
d) e)

05. Calcular los valores de “” para que la ecuación:
, tenga sólo dos raíces reales

a) ]- ; 3[ b) ]- ; 5[ c) ]- ; +4[
d) ]3; +[ e) ]4; +[

06. Sea la ecuación de coeficientes enteros:

Calcule: , si una de sus raíces es igual a: “b” toma su mínimo valor positivo

a) 1 b) – 1 c) 4
d) – 4 e) – 2

07. Indicar una raíz de:

a) b) c)
d) 1 + ¡ e) 1 – ¡

08. Luego de resolver:
podemos afirmar que:

a) x = 1 es una raíz
b) x = – ¡ no es una raíz
c) x = – 2002 es una raíz
d) Sólo posee una raíz imaginaria
e) x = ¡ es una raíz imaginaria

09. Si son las soluciones reales de la ecuación recíproca:

proporcione el valor de:

a) 1 b) 2 c) 4
d) 9 e) 36

10. En la ecuación bicuadrada:
, de raíces
si se cumple: a + c = 2b 

Calcular el valor de:
; si

a) 3 b) – 4 c) 5
d) – 3 e) 3,5

11. Calcular una raíz de:
m  R  m > 1

a) b)
c) d)
e)

12. Luego de resolver:

qué se puede afirmar de sus raíces:

a) Son reales y negativos
b) Una es real y la otra es imaginaria
c) Son irracionales
d) Son reales e iguales
e) Son dos números consecutivos

13. De las proposiciones:

I. De la ecuación: ; al resolver se obtienen sólo como raíces a 1 y 2
II. De la ecuación bicuadrada:
; la suma de sus raíces es
III. En toda ecuación bicuadrada de coeficientes reales A; B; C; A  0 siempre existirán 4 raíces

Son verdaderas:

a) Todas b) Sólo II c) I y II
d) Sólo III e) I y III

14. Calcular la suma de raíces reales de:

a) – 1 b) 0 c) 1
d) 3 e) 7

15. En la ecuación:
donde:
Calcular la suma de sus raíces si dos de ellas son a y b(a  b), si a + b = 10  ab = – 10

a) 3 b) – 2 c) 8
d) 1 e) 0

16. Luego de resolver:
si dos de sus raíces toman la forma: , calcular m + n

a) 12 b) 13 c) – 5
d) 0 e) 15
17. La ecuación: ; tiene una raíz “r” de multiplicidad 2. Calcular el valor de:

a) 1 / 2 b) 1 / 4 c) 4 / 3
d) 3 / 4 e) 5 / 4

18. Hallar la suma de las quintas potencias de las raíces de la ecuación:

a) 120 b) – 140 c) –110
d) 110 e) – 12

19. La ecuación bicuadrada:
tiene las raíces de la ecuación: , calcular “p” y “q” sabiendo que son reales. Indicar pq

a) 2 b) 6 c) – 4
d) – 8 e) 1

20. Al resolver:

Señale el denominador de la raíz obtenida:

a) a + b +c b) 1
c) – a – b – c d) ab + ac + bc
e) abc

21. Indicar una raíz de la ecuación:

a) b) c)
d) e)

22. Formar una ecuación bicuadrada cuyas raíces se pueden determinar a partir de:

……………. (1)
…………….. (2)

a)
b)
c)
d)
e)

23. Hallar el valor de “n” en la siguiente ecuación bicuadrada

Si el producto de sus raíces es 36

a) 48 b) 6 c) 9
d) 12 e) 4

24. Sabiendo que x = c es una raíz de la ecuación:
; a  0, ¿qué condición se debe cumplir entre “a” y “b”, para que las otras raíces sean reales?

a) a + 2b  0 b) a +  0
c) a  d)
e)

25. Si son las soluciones reales de la ecuación recíproca:

proporcionar:

a) 2 b) 2 c) 4
d) 9 e) 25

26. Al resolver la ecuación recíproca:

una de sus raíces es:

a) – 1 b) c)
d) e)

27. Una raíz real de:
es:

a) 1,5 b) 2 c) 0,6
d) 1 e) 3/4

28. Resolver: , dando enseguida la suma de sus soluciones enteras

a) – 3 b) – 2 c) – 1
d) 1 e) 2

29. En la ecuación polinomial:

sabiendo que sus raíces: satisfacen la condición:

Calcular el valor de m.

a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14