ECUACIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS CON RESPUESTAS DEL TERCER BIMESTRE DE MATEMATICA 5 DE SECUNDARIA EN WORD

Share Button






CLICK AQUI PARA VER EN WORD
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

• Reconoce y clasifica una ecuación algebraica desarrollando la percepción y acumulando experiencias que servirán de soporte para futuras formalizaciones
CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

• Dado un conjunto de Ecuaciones de Primer Grado, trabaja creativamente y con actitud crítica situaciones problemáticas, utilizando una variedad de técnicas de cálculo y aplicando correctamente las propiedades que correspondan.

COMENTARIO PREVIO:
Hace cinco mil años, en el país de los sumerios, cerca del Golfo Pérsico, se dieron las primeras dificultades matemáticas que necesitaban ser interpretadas bajo ciertas igualdades. Esto dio inicio a las primeras relaciones que, posteriormente, los matemáticos dieron el nombre de Teoría de Ecuaciones.

Con el afán de resolver las ecuaciones se han creado nuevas teorías, nuevos conceptos, nuevos conjuntos numéricos. El método de resolución de las ecuaciones de primer y segundo grado fueron descubiertos por los matemáticos sumerios y babilonios (3000 años a.C) y por Diofante (329 – 410 d.C) fundador del Álgebra, por los hindúes y, finalmente por los árabes (siglo IX). Este método forma parte del más antiguo patrimonio matemático de la humanidad. La ecuación de tercer grado dio ocasión a Cardano (1501–1576) y a Tartaglia (1499– 1557) para inventar los números complejos en el siglo XVI. Ludovico Ferrari (1522–1565), discípulo de Cardano, encontró el método general de la resolución de la ecuación de cuarto grado. Posteriormente, René Descartes (1596–1650), sabio y filósofo francés, inventor de la geometría analítica descubre otra forma de resolver la ecuación cuártica.

Como es lógico, los matemáticos trataron de resolver las ecuaciones de grado superior a cuatro (quinto grado, sexto grado,…., de grado n). Este estudio tenía un interés doble, ya que hubiera constituido un gran logro encontrar un método general de resolución para todas las ecuaciones de una incógnita, cualquiera sea su grado.

Tras muchos intentos se llegó a la conclusión de que las ecuaciones de quinto grado o superior eran imposibles de resolver sólo usando cálculos algebraicos. Un médico italiano de Bolonia, Paolo Ruffini (1765–1822), había tratado de demostrarlo en 1798, en su teoría general de las ecuaciones; pero la demostración resultó incompleta. Al cabo de unos años, el joven matemático noruego Abel (1802–1829) descubrió en 1824 el teorema que lleva su nombre y dice: “Es imposible resolver algebraicamente las ecuaciones generales de grado superior a cuatro”.

Este teorema fue reforzado por Evariste Galois (1811–1832), matemático francés, fundador de la teoría de los grupos.

Dado que los matemáticos no lograron encontrar métodos generales de resolución para ecuaciones de grado superior a cuatro; trataron de responder ciertas cuestiones como:

• ¿Cuántas raíces positivas posee una ecuación?

• ¿Cuántas raíces reales o complejas posee una ecuación?

• Dados dos números a y b, ¿cuántas raíces de una ecuación dada están comprendidas entre a y b? (problema de la separación de las raíces de una ecuación).

Desde este punto de vista los dos teoremas fundamentales son el de René Descartes y el teorema fundamental del álgebra (K. Gauss – DAlambert). Este teorema fue enunciado por Girard en 1625, sólo realizó una demostración incompleta por parte de DAlambert (1746). La primera demostración completa fue establecida por K. Gauss (1799). Después Cauchy, Weierstrass y Kronecker dieron otras demostraciones.

El teorema de Gauss – DAlambert se enuncia “Toda ecuación polinomial de grado n posee por lo menos una raíz (compleja o real)”.

CONTENIDO TEÓRICO:

1. IGUALDAD DE NÚMEROS REALES
Es la relación matemática donde nos indica que dos cantidades tienen el mismo valor. Se denota por el signo =, que se lee igual. Veamos: 27 = 27 ; |9| = |- 9| ; A = B

AXIOMAS DE LA IGUALDAD.-
Enunciaremos los siguientes axiomas sobre la Igualdad de Números Reales.

Axioma de Reflexividad: Todo número real es igual a si mismo.

Si a  R  a = a

Axioma de Simetría: Si un número real es igual a otro, entonces el segundo es igual al primero.

Si a = b  b = a, a; b  R

Axioma de Transitividad: Si un número real es igual a otro, y este otro es igual a un tercero, entonces el primero es igual al tercero.

Si a= b  b = c  a = c; a; b; c  R

2. ECUACIÓN
Una ecuación es una igualdad condicional entre dos expresiones matemáticas definidas sobre un mismo conjunto numérico, donde participa por lo menos una variable (cantidad desconocida llamada variable). Es todo enunciado abierto en que aparece el signo “=” y cuyo valor de verdad se determina mediante su correspondiente conjunto de valores admisibles para la variable (conjunto solución).

Notación: A(x) = B(x)

OBSERVACIONES.-
Enunciado abierto: Es toda expresión que contiene por lo menos una variable, que para determinados valores de su dominio se convierte en un enunciado verdadero o falso llamado proposición.

Variable: Es el símbolo que puede tomar un valor cualquiera de un determinado conjunto llamado dominio. A las variables que intervienen en la ecuación se les llama incógnitas

Conjunto solución:
El conjunto solución de una ecuación es el conjunto de valores (soluciones) que permiten que la ecuación sea una proposición verdadera.

Si una ecuación no posee solución alguna, entonces definiremos a su conjunto solución como el vacío y lo denotaremos por  o {}

Ejemplo 1. Sea la ecuación: x3= 4x.

Si x = 1: 13= 4(1)  1 = 4
Proposición falsa
Si x = 2: 23= 4(2)  8 = 8
Proposición verdadera
Si x = – 2: (- 2)3=4(- 2)  – 8 = – 8
Proposición verdadera
Si x = 0: 03= 4(0)  0= 0
Proposición verdadera

De lo expuesto; vemos que 2, – 2, 0 son soluciones de la ecuación de acuerdo a la definición, luego:

CS = {2, – 2, 0}

Ejemplo 2: La ecuación 3x – 5 = 0, tiene como raíz o solución a: x = 5/3.
Luego, su conjunto solución es: C.S. =

3. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS
3.1. DE ACUERDO A SU FORMA:
Ecuación polinomial: Es una ecuación algebraica racional entera.

P(x) = ax + b= 0
P(x) = ax2 + bx + c = 0
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0
P(x) = a0xn + a1xn–1 + a2 xn–2+ a3 xn–3 +…+ an – 1 x + an = 0
n  Z+  {a0; a1; a2; a3; …an – 1;an}  R ; a0; a1; a2; a3; …; ; an – 1; an son los coeficientes.

Nota: El conjunto de valores admisibles en una ecuación polinomial son todos los reales.

Ecuación fraccionaria: Es una ecuación algebraica racional fraccionaria.

P(x)= – 5x+11= 0 ……. CVA = R – {-2}
P(x)= ……. CVA = R – {-1,-3,1}

Ecuación Irracional:

P(x)= .Restricción de la ecuación: x – 2  0  x  2. Luego C V A= x  [2,+>

3.2. DE ACUERDO A SU CONJUNTO SOLUCIÓN:

Ecuaciones consistentes o compatibles: Son aquellas que tienen o aceptan por lo menos una solución. A su vez se dividen en:

– Determinadas: Son aquellas que tienen un número limitado de soluciones.

Ejemplo: x3 = x, CS = {1; 0; – 1}

– Indeterminadas: Son aquellas que tienen un número ilimitado de soluciones. Ejm:

Ejemplo: x + 1 = x + 1, CS = R
Ecuaciones inconsistentes o incompatibles.- Son aquellas que no tienen solución, también se les denomina absurdas o imposibles.
Ejemplo: = 0 CS = 

4. ECUACIONES DE PRIMER GRADO 0 LINEALES EN UNA VARIABLE Son aquellas ecuaciones que tienen la forma:

P(x) = ax + b = 0

Donde: a, b son los coeficientes, “x” es la incógnita.
Para obtener la única raíz o solución de la ecuación, basta con despejar la incógnita, así tendremos que: x = (presentación única solución).

5. ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN PARAMETRICA EN VARIABLE “X”.

ax= b………(*)

Caso I: Si: a  0 (no importa el valor de b), reemplazamos en (*), obteniéndose x = b/a una sola solución, con lo cual su conjunto solución es finito, luego (*) es compatible determinada.

Caso II: Si: a = 0, b = 0, evaluando en (*) se tiene 0x = 0, indicando que existen infinitas soluciones, luego (*) es compatible indeterminada.

Caso III: Si: a = 0, b  0, al reemplazar en (*) se obtiene 0x = b que carece de soluciones, con lo cual su conjunto solución es vacío, luego (*) es incompatible.

Ejemplo: En la ecuación paramétrica en “x”: (a – 5) (a + 3) x = (a + 2) (a + 3)
Halle los valores de a para que sea:
I) Determinada II) Indeterminada III) Incompatible

Resolución

I) (a – 5) (a+3)   a  R -{- 3, 5}

II) (a – 5) (a + 3) = 0  (a + 2) (a + 3) = 0

(a = 5; a = – 3)  (a = – 2; a = – 3)  a= – 3

III) (a – 5) (a + 3) = 0  (a + 2) (a + 3)  0

(a=5; a=- 3)  (a  – 2; a  – 3)   a= 5
6. ECUACIONES EQUIVALENTES: Dos o más ecuaciones de las mismas variables son equivalentes, si y solo si poseen el mismo conjunto solución.

Ejemplos:

P1 =  CS = {12}

P2 = 5x – 36= 24  CS = {12}

Como los conjuntos solución son iguales, entonces P1 y P2 son equivalentes:

Luego, para resolver ecuaciones en general y de primer grado en particular es necesario tener en cuenta lo siguiente:

a) Si se divide ambos miembros de una ecuación por una misma expresión que contenga a la incógnita, entonces se perderán soluciones. Esto se puede evitar si la expresión que se divide (simplifica) se iguala a cero.

Ejemplo:

Resolver: (x + 3) (x – 2) = 4 (x – 2)

Resolución

Simplificando (x – 2) para no perder solución: x – 2 = 0  x = 2
Luego, tendremos: x + 3 = 4  x = 1
La ecuación tiene 2 soluciones x = 2 y x = 1 (de no haber igualado a cero, hubiéramos perdido la solución x=2).

b) Si se multiplican ambos miembros de una ecuación por una misma expresión que contenga a la incógnita, entonces se puede introducir soluciones extrañas.
Esto se puede evitar si previamente se simplifica por separado cada miembro de la ecuación.

Ejemplo:

Resolver:

Resolución

Primero simplificamos (x – 2), y tendremos; x + 3 = 4  x = 1

Observación.- Si hubiésemos trasladado (x – 2) a multiplicar, tendríamos que una solución sería x = 2, que es una solución extraña, pues no verifica la igualdad.

c) Si se eleva ambos miembros de una ecuación a un mismo exponente, entonces se pueden introducir soluciones extrañas.

Ejemplo:

Resolver:

Resolución

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación propuesta:
x2 + 7 = x2 – 14x + 49  14x = 42  x = 3

Pero si reemplazamos; x = 3 en la ecuación dada tendremos:

Proposición Falsa

(No cumple), luego: x = 3 es una solución extraña, y la ecuación es incompatible, pues no tiene solución:

Observación: Siempre que se potencie los dos miembros de una ecuación. El valor o los valores obtenidos para “x” deben comprobarse en la ecuación original pues pueden no ser soluciones verdaderas.

d) Si a ambos miembros de una ecuación le sumamos un mismo número o un mismo polinomio, la nueva ecuación es equivalente a la inicial.

Observación: Si a ambos miembros se suma o resta una función arbitraria la ecuación resultante no necesariamente es equivalente a la inicial.

La ecuación: x2 – 12 = 2x + 3 tiene por raíces: x = 5; x = – 3
Sumando a los dos miembros de la ecuación original:
Obtenemos: x2 – 12 + = 2x + 3 + .
Para lo cual x = 5 no es solución.

Observaciones:

1. El conjunto solución de una ecuación depende del conjunto numérico en que se quiere resolver la ecuación, por ejemplo:

Si queremos resolver en el conjunto de los racionales (Q), entonces el conjunto solución de la ecuación: x2 = 2, es vacío; pues no existe número racional cuyo cuadrado es 2. Si embargo si resolvemos en el conjunto de los reales (R), entonces el conjunto solución es { , }.

De la misma manera, la ecuación x2 = – 1, no tiene solución en R, pero si la tiene en el conjunto C. Al despejar x se obtiene: x = ó x = – .
Si definimos =i (i es la unidad imaginaria del conjunto C), el conjunto solución es:
{- i; i}.

2. Si p y q son expresiones algebraicas en una variable “x”, entonces un enunciado de la forma “p = q” se llama una ecuación algebraica en “x”. Si obtenemos una proposición verdadera cuando reemplazamos x por x0; entonces x0 es llamada una solución de la ecuación. x0 es un valor del dominio (conjunto de valores admisibles) para x.

3. Si el conjunto solución de una ecuación es todo el dominio para x, entonces la ecuación se llama una IDENTIDAD, por ejemplo:

La ecuación: = es una identidad; pues es cierta para todo número en el dominio para x, esto es, en el intervalo cerrado: [- 1, 1].

4. Si en el dominio para “x” existen números que no son soluciones, entonces la ecuación se llama ecuación condicional o un enunciado abierto. Por ejemplo; en la ecuación: x2= , cuyo dominio para x es: [0, > existen números en el dominio que no son soluciones, por ejemplo x = 4  [0, +>, y no es solución, luego se trata de una ecuación condicional.

PROBLEMAS EXPLICATIVOS

01. Sayumi tenía 120 nuevos soles. Si gastó los de lo que no gastó. ¿Cuánto dinero gastó Sayumi?

Resolución

Sea x la cantidad de nuevos soles que gastó Sayumi. Entonces (120 – x) nuevos soles es lo que no gastó.
Luego: Gasto = (No gastó)
Entonces: x = (120 – x)  7x = 600 – 5x
 7x + 5x = 600
 12x = 600
 x =

 x = 50

Respuesta: Sayumi gastó 50 nuevos soles.

02. Walter llega tarde al colegio cuando había pasado un de la clase de álgebra; 6 minutos después llega Jimmi y sólo escucha los de la clase. Si la clase empezó a las 8:00 de la mañana. ¿A que hora terminó?

Resolución
Sea t el tiempo (en minutos) que duró la clase. Jimmi se pierde ( ) de la clase, que equivale a t (pues Jimmi sólo escuchó los t).
Luego: t = t + 6  t – t = 6
 = 6
 t =
 t = 80’

Respuesta: Como la clase empezó a las 8:00 a.m. y duró 80 minutos entonces terminó a las 9:20 a.m.

03. Un río tiene una corriente de 3 kilómetros por hora. Si el bote de Aly Boydi tarda el mismo tiempo en ir 18 kilómetros río abajo y 15 km. río arriba. Calcule la velocidad del bote en aguas tranquilas.

Resolución

Sea V la velocidad del bote en aguas tranquilas, entonces (V + 3) es la velocidad del bote río abajo (con la corriente a favor) y (V – 3) es la velocidad del bote río arriba (contra la corriente), entonces tenemos:

Distancia Velocidad Tiempo
Río Abajo 18 V+3

Río Arriba 15 V – 3

Como el tiempo es el mismo:

=  18 (V – 3) = 15 (V + 3)
 18V – 54 = 15 V + 45
 18V – 15V= 45 + 54
 3V = 99
 V =
 V = 33

Respuesta: La velocidad del bote en aguas tranquilas es 33 kilómetros por hora.

PRÁCTICA DE CLASE
01. Clasificar las siguientes ecuaciones algebraicas de acuerdo a su forma.

ECUACIÓN ALGEBRAICA CLASIFICACIÓN ECUACIÓN ALGEBRAICA CLASIFICACIÓN
= 0

= 0

02. Clasificar las siguientes ecuaciones algebraicas de acuerdo a sus soluciones:

ECUACIÓN ALGEBRAICA CLASIFICACIÓN ECUACIÓN ALGEBRAICA CLASIFICACIÓN
x3 = 25x x(x – 8) = (x – 4)2
3x + 7 = 3x + 7 5x = 5x
x +

03. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones con respecto a la ecuación en x:

.

I. Es determinado cuando n  1  n  -1
II. Es indeterminado cuando n = 1  n = -1
III. Es incompatible cuando n = 2

a) VVV b) VVF c) VFV d) FFV e) VFF

04. Luego de resolver la ecuación en “x”:

.

Es cierto que:

a) La solución depende de b (b  ) d) Tiene infinitas soluciones
b) Tiene una sola solución e) Tiene dos soluciones
c) No tiene solución

05. Luego de resolver la ecuación en “x”:

I. Si m + n + p = 0 la ecuación tiene infinitas soluciones con mnp  0.
II. Si m + n + p  0 siempre existe solución y es única.
III. Siempre la solución es m + n + p.

a) VVV b) VFV c) VFF d) FVV e) FFV

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01

01. Resolver: (x-9) (x-7) (x-5) (x-1) = (x-2) (x-4) (x-6) (x-10)

a) 4,5 b) 3,5 c) 5,5 d) 2,5 e) 1

02. Resolver:

a) 12345 b) 11365 c) 13564 d) 14395 e) 16345

03. Halle “n” de modo que la ecuación (n + 1) x = n2 + 3 sea compatible.

a) 3 b) 1 c) –{1} d) 5 e) –2

04. Halle “m” si la ecuación: (m – 1) x = m2 – 3m + 2 presenta infinitas soluciones.

a) 2 b) 1 c) 0 d) 3 e) 8

05. Resuelva la ecuación:

a) {3} b) {2} c) {–1} d) {4} e) {–6}

06. Si x0; es solución de: . Calcular 2×0

a) 1/2 b) –1 c) –2 d) 2 e) 4

07. Si x0; es solución de: . Donde {a; b; c} + Halle x0 – a – b.

a) 2 b) c c) a d) b e) 0

08. Resolver:

a) 1 b) – 1 c) 1 y – 1 d) Indeterminado e) Incompatible

09. Resolver:

a) 7 b) – 7 c) 7 y – 7 d) Indeterminado e) Incompatible

10. Resolver: . Marque lo correcto:

a) Tiene una raíz b) Tiene dos raíces c) Tiene tres raíces
d) Indeterminado e) Incompatible

TAREA DOMICILIARIA

01. Respecto a la ecuación de variable x: m (m2 – 1) x = 0, establezca el valor de verdad de cada proposición:

I. Es compatible para cualquier valor de m.
II. Si m = –1, tiene infinitas soluciones.
III. Si m = 0, tiene solución única.
IV. Si m  {0; 1; –1}, tiene una única solución e igual a cero.

a) VVVV b) VFVF c) FFVV d) FFFV e) FVFF

02. Resolver la siguiente ecuación:

a) a2 + b7 + c5 b) a + b + c c) abc d) 1 e) (abc)/4

03. Resolver la ecuación de primer grado en “x”

Sabiendo que el coeficiente principal es 17, mientras que el término independiente es 15 Hallar: (a + b – c)/x

a) –34/5 b) -34/6 c)-34/8 d) -34/3 e) -34

04. La siguiente ecuación es de primer grado y Mónica, considerando que “x” es la incógnita, hallar “a + b”

a) 1 b) 3 c) 5 d) 3 e) 2

05. Resolver:

a) –a-b-c b) a + b + c c) abc d) 3abc e) a + b – c

06. Determinar el parámetro “p” de modo que la ecuación:

. Se reduzca a una de primer grado.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Dado un conjunto de Ecuaciones de segundo Grado, resolverlos aplicando correctamente las propiedades que corresponden.

COMENTARIO PREVIO:

Una vez asimilado la parte del análisis matemático correspondiente al estudio de polinomios, y dentro de ello una definición fundamental para enmarcarnos en el desarrollo de este tema, la cual dice que, para un polinomio de una variable, el valor de la variable para el cual el polinomio se anula, se denomina raíz del polinomio.

Ejemplo:

Para el polinomio: P(x) = x3 – 6×2 + 11x – 6
Sus raíces son: {1; 2; 3}. Entonces:
P(1) = 0 ; P(2) = 0 y P(3) = 0

La finalidad de este módulo, es el análisis particular de los polinomios de segundo grado que constituirán las ecuaciones de segundo grado.

CONTENIDO TEÓRICO:

Toda ecuación completa de segundo grado o cuadrática con una incógnita, adopta la siguiente forma:

Donde: ax2  Término cuadrático
bx  Término lineal
c  Término independiente

FORMAS INCOMPLETAS DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO.

1. Si: b = 0 se tiene: ax2 + c = 0
2. Si: c = 0 se tiene: ax2 + bx = 0
3. Si: b = c = 0 se tiene: ax2 = 0

RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO:

Al estar un miembro igual a CERO se procede así:

I. POR FACTORIZACIÓN:

Consiste en descomponer el primer miembro en dos factores utilizando el método del aspa simple o completando cuadrados, luego, se iguala cada factor a cero y se obtiene las raíces de la ecuación.

Ejemplo:

x2 – 5x + 6 = 0
x – 3
x -2

Igualando cada factor a cero, se tiene como soluciones o raíces:

x = 3 y x = 2

Conjunto solución: {3; 2}

II. POR FÓRMULA:

Dada la ecuación: ax2 + bx + c = 0. Se puede obtener las raíces aplicando la siguiente fórmula:

Ejemplo: 2×2 + 9x – 5 = 0

De donde: a = 2; b = 9; c = – 5

Nota: Una ecuación de segundo grado tiene como máximo dos soluciones o raíces.

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES:

Dada la ecuación: ax2 + bx + c = 0 podemos enunciar las siguientes propiedades:

1. Suma de Raíces (S): Es igual al coeficiente del término lineal con signo cambiado, dividido entre el coeficiente del término cuadrático, es decir:

2.- Producto de Raíces (P): Es igual al término independiente, dividido entre el coeficiente del término cuadrático, es decir:

3.- Diferencia de Raíces (D): Se determina por la siguiente relación:

Ejemplo: Dada la ecuación:

4×2 – 12x + 5 = 0 donde a = 4 ; b = –12 ; c = 5

Suma de Raíces (S)

Productos de Raíces (P)

Diferencia de Raíces (D)

NATURALEZA DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO:

Para conocer la naturaleza de las raíces se analiza el valor de la cantidad subradical:

 = b2 – 4ac

Llamada “Discriminante”.
Se presentan los siguientes casos:

1.- Si:  > 0. Existen dos raíces reales y diferentes. CS = {x1; x2}
2.- Si:  = 0. Existen 2 raíces reales e iguales.
CS = {x1 }
3.- Si:  < 0. Existen 2 raíces complejas conjugadas. CS = {x1; x2} FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN CONOCIENDO SUS RAÍCES Primer Método: Ejemplo: Formar la ecuación de segundo grado si esta tiene como raíces: x = 7 y x = 3 se forman binomios y se efectúa el producto igualando a CERO, es decir: (x – 7) (x – 3) = 0 Entonces la ecuación pedida será: x2 – 10x + 21 = 0 Segundo Método: Consiste en calcular la Suma (S) y el producto (P) de las raíces, los resultados se sustituyen en la fórmula: Ejemplo: Formar la ecuación de segundo grado si esta tiene como raíces: x = 7  x = 3 Entonces: S = 7 + 3 = 10; P = (7) (3) = 21 Sustituyendo en la fórmula tendremos: x2 – 10x + 21 = 0 PRÁCTICA DE CLASE 01. Completar: Ecuaciones Discriminante (Δ) Naturaleza de raíces 02. Completar el cuadro: Ecuaciones Raíces (Δ) Conjunto solución 03. Completar el cuadro: Ecuaciones r y s raíces r + s = …  r.s = ……. r + s = …  r.s = ……. r + s = …  r.s = ……. r + s = …  r.s = ……. 03. Resolver: a) b) c) 04. Resolver: a) b) c) d) x4 - 10x2 + 21 = 0 e) 22x + 2x + 3 = 128 05. Dada la ecuación x2 – 3x – 5 = 0, si sus raíces son r y s, halla: a) r2 + s2 b) c) r – s d) e) r3 + s3 f) g) (2r + 3s + 1)(2s + 3r + 1) 06. Señale la suma de las inversas de las raíces de: 2x2 – 6x + 5 = 0 a) 1 b) 2 c) 3 d) 6/5 e) 5/2 07. Indicar el producto de las inversas de las raíces de: 3x2 + 4x = 12 a) 4/3 b) -4/3 c) –1/4 d) 4 e) –4 08. Calcular la diferencia de las raíces de: x2 – 6x + 5 = 0 a) 2 b) ± 2 c) 4 d) ±4 e) 3 09. Si la suma de sus raíces de la ecuación: (m – 2)x2 + mx + 1 = 0; es 2. Hallar “m” a) 4/3 b) 3/4 c) 4 d) 1/4 e) 2 10. Si el producto de las raíces de la siguiente ecuación: (m – 1)x2 + (2m+2)x + m + 4 = 0; es 9/4. Indicar lo correcto. a) m + 1= 3 b) m2 = 9 c) m – 1= 6 d) e) m –1 = 10 11. Si las raíces de la ecuación: (x – a)2 + (x – b)2 + 2c2 = (x + c)2 Son iguales. Podemos afirmar que: a) (-2a) es la media armónica de b y c b) (-2b) es la media armónica de a y c c) (-2c) es la media armónica de a y b d) ab + bc + ac = 0 e) Cualquiera de las anteriores 12. Hallar el valor de K para que la ecuación 9x2 – kx + 1 = 0 tenga raíces iguales. (k < 0) a) 6 b) –6 c) 6; –6 d) –1 e) –12 13. Determinar la condición para que la ecuación: x2 – 6mx + 9m2 – 2m + 2 = 0; posea raíces iguales o mayores que 3. a) m > 3 b) m > b c) m > 9
d) m > 11/9 e) m > 11

14. La ecuación cuadrática:
(m + 1)x2 – 4x + 1 = 0 se anula para un solo valor de “x”. Hallar m.

a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 1

15. Si se consideran las ecuaciones:

x2 + bx + c = 0; x2 + px + q = 0,
donde las raíces de la primera ecuación son la suma y el producto de las raíces de la segunda ecuación y recíprocamente. Señale Pb.

a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/3 e) 3

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02

01. Hallar “a” en: a2 x2 – (a + 2) x + 1 = 0. Sabiendo que sus dos raíces son iguales.

a) 2 b) –2/3 c) –2 d) 1/3 e) Hay dos correctas

02. Resolver la ecuación:

(n – 2)x2 – (2n – 1)x + n – 1 = 0. Sabiendo que el discriminante es 25.

a) b) c) d) e)

03. Sea la ecuación de segundo grado:
(m + 3)x2 – 3(m – 1)x + (6 – m) = 0
Indicar la suma de los valores de “m” que se obtienen en:

• La suma de las raíces es igual a 2.
• El producto de raíces es igual a cinco décimos.
• La suma de las inversas de sus raíces es doce.
• Las raíces son recíprocas.
• Una de sus raíces es 2.

a) 35/ 2 b) –66/ 5 c) 55/ 2 d) 53/ 2 e) 26

04. La ecuación: x2 – Ax + B = 0, tiene una raíz que es el triple de la otra. Luego A y B están relacionados por:

a) A2 = 16B b) 3A2 = 16B c) A2 = 3B
d) 2A2 = 3B e) A2 = 9B

05. Formar una ecuación de segundo grado de coeficientes reales, sabiendo que una raíz es:

; siendo:

a) 5×2 + 6x + 5 = 0 b) 5×2 + 6x + 1 = 0 c) 5×2 – 6x + 1 = 0
d) 5×2 – 6x + 5 = 0 e) N.a.

06. Calcular los valores de “m” y “n” de tal manera que las ecuaciones:

(n – 1)x2 + 2x + (m – 4) = 0 y (m + n)x2 + (m + 1)x + 3 = 0

Tengan las raíces iguales. Indicando la suma de la mayor “n” con la menor “m”.

a) 3 b) 20/3 c) 2 d) 17/3 e) 5

07. Dada la ecuación:

x2 + (m – 2)x – (m + 3) = 0, donde x1 , x2 son las raíces; además:
K = . Determinar el mínimo valor de K

a) 7 b) – 6 c) – 4 d) 9 e) 6

08. En la ecuación:
2×2 – (m – 1)x + (m + 1) = 0. ¿Qué valor positivo debe darse a “m” para que las raíces difieran en uno?

a) 7 b) 11 c) 5 d) 9 e) 17

09. En la ecuación cuyas raíces son x1 ; x2 : 2ax2 + (3a – 1)x + k + a = 0
Hallar el valor entero de k a fin de que exista un solo valor de “a” que permita que las soluciones x1 ; x2 sean iguales.

a) 3 b) – 2 c) 1 d) – 1 e) 0

10. Siendo x1 y x2 las raíces de la ecuación 2×2 – x + 3 = 0.
Hallar E = (x1 + 1) (x2 + 1)

a) 3 b) 1 c) 2 d) – 1 e) 4

11. Calcular la raíz x1 de la ecuación: ax2 + bx + c = 0. Sabiendo que:

a) b) – c) d) –1 e) n – 1

12. Si: m, n son las dos raíces de la ecuación: x2 – 2x + 2 = 0
Calcular: E = mm+n . nm n

a) – 2 b) – 4 c) 1 d) 2 e) 4

13. Dada la ecuación: (2x – 3)2 = 4(2x – m) y considerando que “x” es la incógnita. Halle los valores reales que debe tener “m” de manera que:

a) Las raíces de la ecuación sean reales y diferentes
b) La ecuación tenga raíces iguales
c) Las raíces de la ecuación no sean reales
d) Las raíces de la ecuación sean reales

¿Cuál de las siguientes alternativas no se relacionan?

a) m  <-  ; 4] b) m  <-  ; 4> c) m  <4 ;  >
d) {4} e) {8}

14. Determinar “m” en la ecuación:
x2 – 3mx + m2 = 0, sabiendo que sus raíces x1 ; x2 satisfacen la relación:

a)  ¼ b)  ½ c) ½ d) – 1 e) 1

15. Si x1 ; x2 son las raíces de: x2 + 10 = 5x
Calcular:

a) 0,25 b) 0,5 c) -0,5 d) 2 e) –2

TAREA DOMICILIARIA

01. Si las raíces de la ecuación cuadrática (m + 3) x2 + 6x – 2 = 0 son reales y diferentes.
Indique el menor valor entero de m.

a) –8 b) – 7 c) – 6 d) – 5 e) No existe

02. Después de resolver:

Dos de sus raíces toman la forma: 2m y 2n. Calcular (m + n)

a) 12 b) 13 c) – 5 d) 0 e) 15

03. Si tenemos que las raíces de la ecuación mx2 + 2(m + 3) x + m + 8 = 0 son complejos y conjugados. Hallar el menor valor entero de m.

a) 4 b) 5 c) 2 d) 6 e) No existe

04. Si se verifica que: cx1 = x2 (bx2 – c)
Siendo x1 y x2 raíces de la ecuación: ax2 + bx + c = 0 (abc  0), entonces podemos decir que:

a) Una de ellas es igual a cero b) Sus dos raíces son iguales
c) Sus raíces son recíprocas d) La suma de sus raíces es cero
e) Sus raíces son complejas

05. Formar una ecuación cuadrática de coeficientes reales siendo una de sus raíces , nota ¡2 = -1

06. Resolver las ecuaciones:

1) x2 = 7 2) (x + 1) (x – 3) = 12 3) 15×2 – 34x + 15 = 0
4) (x + 3) (x + 5) = 13×2 5) x(x – 1997) = (x – 1997)

Indicar la ecuación que posee la menor raíz

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

07. Sea la ecuación:

[(m + n)2 – (m – n)2] x2 + (m – 1)2x – [(m + n)2 + (m – n)2] = 0 siendo m  0  n  0 y x1 y x2 son sus raíces. ¿En cuántas unidades es necesario disminuir dichas raíces para que sean simétricas?

a) 1/n b) – 1/n c) 1/2 n d) – 2n e) – 1/2 n

08. Hallar una de las raíces de la ecuación:
a (b – c)x2 + b (c – a) x + c (a – b) = 0
Si x es la incógnita

a) b) c) d) e)

09. Dada la ecuación:
x2 – 2x + m = 0. Calcular “m” si una de las raíces es 1 + 2i, (i = ); m  R

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 8

10. Si la ecuación: x2 + px + q = 0; tiene por conjunto solución {r, s} si:
r – s = 4 y r3 – s3 = 208; entonces p/q es:

a) 2/3 b) 3/2 c) 2/5 d) 2/7 e) 1/7

11. Hallar el valor de “a” para que las raíces de la ecuación: x2 – (a + 3) + = 0 se diferencien en 5

a) 5/3 b) 7/3 c) 10/3 d) 5/6 e) 20/3

12. Resolver e indicar la solución:

a) 7 b) 13 c) 15 d) 5 e) 16

13. Calcular “m” para que la ecuación:

6×2 + (2m + 3) x + m = 0 tenga una raíz solamente

a) 3 b) 3/4 c) 1/2 d) 3/2 e) 5/3

14. Sea la ecuación:
Indicar el valor de verdad de las proposiciones:

( ) Si la ecuación admite solución, ésta debe estar comprendido en [-1; 0]
( ) La ecuación tiene dos soluciones reales
( ) La ecuación tiene una única solución

a) VFV b) VFF c) VVF d) VVV e) FVV

15. Resolver: (1 + x) (1 + 2x) (1 + 3x) = – 15
Indicar la suma de las raíces no reales:

a) 0 b) 1/2 c) – 1/2 d) – 1 e) 1/6

17. Si r y s son raíces de la ecuación cuadrática:
mx2 – 2(m – 1) x + m = 0 y cumplen =4, halle la suma de todos los valores “m” que satisfacen la condición

a) 1 b) – 4 c) – 1 d) 0 e) 4

18. El producto de multiplicar el término independiente con el coeficiente del término cuadrático de la ecuación que tiene por raíces el cuadrado de la inversa de las raíces de ax2 + bx + c = 0, a  0, es:

a) ac b) a2c2 c) a/c d) 1/a2c2 e) c/a

19. Hallar la ecuación de segundo grado de coeficiente principal 1 y de raíces m y n se sabe que:

• x2 + (m – 1) x + m – 2 = 0; tiene una sola solución real.
• x2 – (n + 1) x + 2n = 0; tiene una raíz igual a 3.

a) x2 + 9x + 18 = 0 b) x2 – 6x + 18 = 0 c) x2 – 9x – 18 = 0
d) x2 – 9x + 18 = 0 e) x2 – 6x – 18 = 0

20. Hallar “p” si las raíces de la ecuación:

Son: x1 = mm + 1 x2 = mm ; m  IR+

Rpta: ………………………..

21. Si la ecuación: P(x) = x2 – 3nx + 2n2 – n – 1 pose una raíz mayor que 4 y otra menor que 5 para un conjunto de valores de “n”. Halle dicho conjunto.

Rpta: ………………………..

22. En la ecuación:

Calcular un valor de “b” para que exista un solo valor de “a” que permita que las raíces de P(x) sean iguales.

Rpta: ………………………..

23. Si: (aa – 3) x2 + 5x + bb + 3 = 0
(aa – 2) x2 + 10x + 3bb + 2 = 0

Poseen un conjunto solución A y B respectivamente. SI al hallar el producto cartesiano A x B se obtuvo C y al hallar B x A se obtuvo C. Halle “a + b”/ {a; b}  Z

Rpta: ………………………..

24. Si las raíces de las ecuaciones en “x”:

x2 – 3x + m + 1 = 0
3×2 + 5x + m = 0
son imaginarias y reales respectivamente, determine los valores enteros de “m”.

Rpta: ………………………..

ECUACIÓN BINOMIA

Se denomina así a las ecuaciones de dos términos que presentan la siguiente forma general:

 a ; b  0  n  N

Éstas se resuelven factorizando o utilizando la fórmula de “Abraham de Moivre”

Ejemplo: Resolver:

Resolución

Factorizando:

 C.S. =

Teorema: Las ecuaciones binomias sólo tienen raíces simples, no aceptan raíces múltiples.

ECUACIÓN TRINOMIA

Son aquellas ecuaciones de tres términos que presentan la siguiente forma general:

;  abc  0  n  N

Estas ecuaciones se resuelven factorizando o realizando el cambio de variable: ; lo que la convierte en una ecuación cuadrática. Después de resolver ésta, se repone la variable original y se hallan las soluciones de la ecuación trinomia.
Ejemplo: Resolver:

Resolución

Factorizando:

ECUACIÓN RECÍPROCA

Se denomina así a las ecuaciones cuyos coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son iguales en valor absoluto.

Ejemplo: Observa las ecuaciones:

Propiedades:

1. Si “r” es raíz de la ecuación recíproca entonces “1/r” también es raíz de la ecuación.
2. Si la ecuación es recíproca de grado impar, tiene una raíz “1” ó “- 1” (se evalúa para determinar cual de ellas es la raíz)
3. Si P(x) = 0 es una ecuación polinómica recíproca de grado “n”, se cumple:

Para resolver la ecuación recíproca se consideran los siguientes casos:

Casos:

I. Si el grado es par:

Se factoriza la parte literal del término central y se agrupa convenientemente; luego se realiza el cambio de variable respectivo:

Si: Si:

Se resuelve la ecuación con la nueva variable luego se repone, la variable original y se resuelve, hallándose las soluciones de la ecuación recíproca.

Ejemplo: Resolver:

*

Resolución

Agrupando:

………….. ()

Realizando el cambio de variable en el corchete:

Factorizando por aspa simple
 (6a – 13)(a – 2) = 0

Reponiendo “x” y reemplazando en “”

Efectuando:

Igualando a cero cada factor el C.S.=

* También se puede factorizar por aspa doble especial

II. Si el Grado es Impar

• Se factoriza mediante el método de los divisores binómicos, evaluar para
x = 1  x = – 1

• Luego de obtener el factor lineal, el otro factor es un polinomio recíproco de grado par al cual se le aplica el método para resolver la ecuación recíproca de grado par.

Ejemplo: Resolver:

Resolución

Factorizando por divisores binómicos:

Igualando cada factor a cero:

Aplicando el método para la ecuación recíproca de grado par; se obtiene:

Factorizando cada factor por aspa simple: (2x – 1)(x – 2)(3x – 1)(x – 3) = 0

Igualando a cero cada factor el conjunto solución final es:

ECUACIÓN BICUADRADA

Se denomina así a las ecuaciones de cuarto grado que tienen la siguiente forma general:

;  abc  0

Para resolver esta ecuación se factoriza o se utiliza la relación de la bicuadrada:

Ejemplo: Resolver:

Resolución

Factorizando por aspa simple:

Igualando cada factor a cero:

 

 

 C.S. =

Ejemplo: Resolver:

Resolución

Por la fórmula:

Propiedades de:

1. Las raíces de la ecuación bicuadrada son opuestas dos a dos es decir:

2. Suma de productos binarios

3. Producto de raíces:

Reconstrucción de la ecuación bicuadrada

Ejemplo: Formar la ecuación bicuadrada, dos de cuyas raíces son: – 3 y 2¡

Resolución

Por teoría sabemos que las otras dos son las opuestas:
Sean:

ECUACIONES FRACCIONARIAS
Son aquellas que se reducen a la forma:

 Q(x)  0

Para resolver estas ecuaciones se debe restringir el denominador (diferente de cero), luego resolver la ecuación y finalmente intersectar los conjuntos de valores obtenidos

Ejemplo: Resolver:

Resolución

Restringiendo: x – 3  0  x – 2  0
x  3  x  2 …………. ()

Efectuando operaciones:

(x – 2)2 = 0  x = 2……………. ()

De   : Vemos que x = 2 no satisface la ecuación:

 C.S. = 

PRÁCTICA DE CLASE

01. Determinar los números enteros p; q; r de manera que las ecuaciones:

Tengan tres raíces comunes e indicar el valor de: p + q + r

a) 1 b) – 2 c) 5 d) – 7 e) – 9

02. Indicar una raíz de:

a) b) c) d) e) –

03. Indicar una de las soluciones de:

Si: a + b = b + c + d = d + e
a) i b) c) d) e) – i

04. Resolver la ecuación bicuadrada:

Si el producto de raíces es igual a 1. Dar como respuesta la raíz de mayor valor absoluto

a) 2/ b) / 2 c) d) e)

05. Calcular los valores de “” para que la ecuación: , tenga sólo dos raíces reales

a) ]- ; 3[ b) ]- ; 5[ c) ]- ; +4[ d) ]3; +[ e) ]4; +[

06. Sea la ecuación de coeficientes enteros:

Calcule: , si una de sus raíces es igual a: “b” toma su mínimo valor positivo

a) 1 b) – 1 c) 4 d) – 4 e) – 2

07. Indicar una raíz de:

a) b) c) d) 1 + i e) 1 – i

08. Luego de resolver:
Podemos afirmar que:

a) x = 1 es una raíz b) x = – i no es una raíz
c) x = – 2002 es una raíz d) Sólo posee una raíz imaginaria
e) x = i es una raíz imaginaria

09. Si son las soluciones reales de la ecuación recíproca:

Proporcione el valor de:

a) 1 b) 2 c) 4 d) 9 e) 36

10. En la ecuación bicuadrada:

, de raíces

Si se cumple: a + c = 2b 

Calcular el valor de:

; Si

a) 3 b) – 4 c) 5 d) – 3 e) 3,5

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 03

01. Calcular una raíz de:

m  R  m> 1

a) b) c)
d) e)

02. Luego de resolver:

Qué se puede afirmar de sus raíces:

a) Son reales y negativos b) Una es real y la otra es imaginaria
c) Son irracionales d) Son reales e iguales
e) Son dos números consecutivos

03. De las proposiciones:

I. De la ecuación: ; al resolver se obtienen sólo como raíces a 1 y 2
II. De la ecuación bicuadrada: ; La suma de sus raíces es
III. En toda ecuación bicuadrada de coeficientes reales A; B; C; A  0 siempre existirán 4 raíces.

Son verdaderas:

a) Todas b) Sólo II c) I y II d) Sólo III e) I y III

04. Calcular la suma de raíces reales de:

a) – 1 b) 0 c) 1 d) 3 e) 7
05. En la ecuación:

Donde:
Calcular la suma de sus raíces si dos de ellas son a y b (a  b), si a + b = 10  ab = – 10

a) 3 b) – 2 c) 8 d) 1 e) 0

06. Luego de resolver:
Si dos de sus raíces toman la forma: , calcular m + n

a) 12 b) 13 c) – 5 d) 0 e) 15

07. La ecuación: ; tiene una raíz “r” de multiplicidad 2. Calcular el valor de:

a) 1/2 b) 1/4 c) 4/3 d) 3/4 e) 5/4

08. Hallar la suma de las quintas potencias de las raíces de la ecuación:

a) 120 b) – 140 c) -110 d) 110 e) – 12

09. La ecuación bicuadrada:
Tiene las raíces de la ecuación: , calcular “p” y “q” sabiendo que son reales. Indicar pq

a) 2 b) 6 c) – 4 d) – 8 e) b y c

10. Al resolver:

Señale el denominador de la raíz obtenida:

a) a + b +c b) 1 c) – a – b – c d) ab + ac + bc e) abc

TAREA DOMICILIARIA

01. Indicar una raíz de la ecuación:

a) b) c) d) e)

02. Formar una ecuación bicuadrada cuyas raíces se pueden determinar a partir de:
……………. (1)
…………….. (2)

a) b) c)
d) e)

03. Hallar el valor de “n” en la siguiente ecuación bicuadrada

Si el producto de sus raíces es 36

a) 48 b) 6 c) 9 d) 12 e) 4

04. Sabiendo que x = c es una raíz de la ecuación:
; a  0, ¿qué condición se debe cumplir entre “a” y “b”, para que las otras raíces sean reales?

a) a + 2b  0 b) a +  0 c) a 
d) e)

05. Si son las soluciones reales de la ecuación recíproca:

Proporcionar:

a) 2 b) 2 c) 4 d) 9 e) 25

06. Al resolver la ecuación recíproca:

Una de sus raíces es:

a) – 1 b) c) d) e)

07. Una raíz real de:

Es:

a) 1,5 b) 2 c) 0,6 d) 1 e) 3/4

08. Resolver: , dando enseguida la suma de sus soluciones enteras

a) – 3 b) – 2 c) – 1 d) 1 e) 2

09. En la ecuación polinomial:

Sabiendo que sus raíces: satisfacen la condición:

Calcular el valor de m.

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
 Reconocer una ecuación polinomial e indicar la relación existente entre solución y raíz.
 Resolver ecuaciones de cualquier grado aplicando los teoremas y técnicas adecuadas.

COMENTARIO PREVIO

Al – Guarismi, el año 1 100 estudia ecuaciones del tipo:
ax 2 + e = bx , ax2 + bx = e , ax2 + bx + c = d; etc y da soluciones para cada caso.

La época de oro de las matemáticas Italianas se da en el siglo XVI, con Scipiene del Ferro, Nicola Tartaglia, Girolamo Cardano, Ludovico Ferrari, Frencois Viette, etc, quienes resolvieron las ecuaciones de tercer y cuarto grado. Hecho de trascendental importancia en esa época.

La historia da cuenta de que el profesor Scipiene del Ferro logré resolver la ecuación de tercer grado en 1515, pero no la dio a conocer siguiendo las normas científicas de su época. Aún así, confió sus resultados a Antonio Fiore.

En 1541 Antonio Fiore se bate en duelo matemático con el profesor Nicola Trataglia para ver quién resuelve la ecuación de tercer grado, saliendo vencedor este último.

Cardano quien era médico, adivino y matemático logra con tretas y promesas, que Tartaglia le hiciera conocer la solución de la ecuación de tercer grado. El mismo año Cardano publica su libro “Arte Mayor” en donde da la solución de la ecuación de tercer grado como suya y menciona que Tartaglia no es sino un redescubridor ya que del Ferro había dado la primera prueba hace 30 años.

En la misma obra aparece la solución de la ecuación de cuarto grado, debido a Ludovico Ferrari, discípulo de Cardano. Posteriormente se dieron otras pruebas tanto de la ecuación de tercer grado (F. Viette) como de la ecuación de cuarto grado (R- Descartes)
Después de los rotundos éxitos de los matemáticos Italianos viene nuevamente un largo periodo de estancamiento en la tarea de la solución de ecuaciones de quinto grado. Recién en 1825, el joven matemático noruego Niels Henrick Abel demostró que la ecuación general de quinto grado no es resoluble mediante la extracción de raíces y las operaciones aritméticas conocidas.

Por otro lado en 1929 Evaristo Galois, probaría que las ecuaciones de grado superior a cuatro no son resolubles por radicales y dio las condiciones necesarias y suficientes para que una ecuación de cualquier grado sea resoluble por radicales. Actualmente existen técnicas que permiten resolver ecuaciones de cualquier grado.

CONTENIDO TEÓRICO:

ECUACIÓN POLONOMIAL EN UNA INCÓGNITA

Es aquella ecuación que tiene la siguiente forma general:

Donde: a0; a1; a2;………….. : an – 1 ; an
Son sus coeficientes
x es la incógnita

Si: a 0  0, el grado de la ecuación es “n” (n N)
Si: a 0 = 1, La ecuación es mónica.

RAIZ O CERO DE UN POLINOMIO

Dado el polinomio P(x). Se denomina raíz o cero del polinomio, al número “a” si y solo si el polinomio P(x) es divisible entre (x – a).

El polinomio P(x) tiene una raíz de valor “a”
P(x) = (x – a) q(x)

Ejemplo:

Hallar las raíces de: P(x) = x3 – 6×2 + 11x – 6

Resolución

Factorizando se tiene: P(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3)
Luego las raíces o ceros de P(x). Son: {1; 2; 3}

Observación:

Una manera práctica de hallar las raíces de un polinomio P(x), es formar la ecuación: P(x) = 0. Así:
P(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3) = 0. CS = {1; 2; 3}

En este ejemplo las raíces del polinomio P(x) coinciden con las soluciones de la ecuación P(x) = 0, lo cual no ocurrirá siempre.

Raíz de Multiplicidad “k”:

Dado el polinomio P(x) se denomina raíz de multiplicidad “k” (k  Z+) del polinomio P(x). Al número “a”, si y sólo si el polinomio P(x) es divisible entre (x – a)k, pero no es divisible entre (x – a)k+1, es decir si:
P(x) = x4 – x3 – 3×2 + 5x – 2

Factorizando se tiene: P(x) = (x – 1)3 (x + 2)

Luego las raíces de P(x) son: {1; 1; 1; –2} y se dice que:

 “1” es una raíz de multiplicidad 3 (raíz triple)
 “2” es una raíz de multiplicidad 1 (raíz simple)

Formemos la ecuación:
P(x) =0  P(x) = (x – l)3 (x + 2) = 0

 (x – 1)3 = 0  x + 2 = 0
 x = 1  x = – 2

Luego: CS {1; –2}

Observación:

La ecuación antes expuesta tiene 4 raíces y dos elemento en su conjunto solución.

Cuando un polinomio tiene raíces múltiples el número de raíces y el número de soluciones no coincide.

Ejercicio:

En la ecuación polinomial:
x3 (x – 2)2 (x2 + 9) (x + ) = 0. Señale:

a) El número de raíces b) El número de soluciones c) Su conjunto solución

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA

Toda ecuación polinomial con cualquier tipo de coeficientes numéricos tiene por lo menos una raíz que generalmente es compleja.

Corolario:

Toda ecuación polinomial de grado n > 1. Tiene exactamente “n” raíces complejas en general.
Luego dada la ecuación polinomial:
P(x) = a0 xn + a1xn – 1 +…….+ an–1x + an = 0: a0  0
Se tiene: P(x) = a0(x – x1) (x – x2)…… (x – xn) = 0
Donde: {x1; x2; x3;……….; xn) son raíces de P(x)

TEOREMA DE CARDANO – VIETTE

Sea la ecuación polinomial:

P(x) = a0 xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 +…+ an – 1x + an = 0

a0  0. Cuyas raíces son: {x1; x2; x3;…………; xn}
Se cumple las siguientes relaciones

• Suma de Raíces:
S1 = x1 + x2 + x3 + ………… + xn = –
• Suma de Productos Binarios:
S2 = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 +…… + xn -1 xn = –
• Suma de Productos Ternarios:
S3 = x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + …… + xn – 2 xn – 1 xn = –
• Producto de Raíces:
Sn = x1 x2 x3 ………….. xn – 1 xn =(-1)n

Ejemplo:

01. En: 4×4 + 3×3 – 2×2 + 3x – 1 = 0

Calcular:

02. En: 3×5 + 10×12 – 2×10 – 25×5+ 15 = 0
Calcular: S10

TEOREMAS SOBRE LA ECUACIÓN POLINOMIAL

1. Toda ecuación polinomial de coeficientes racionales y de grado n  2. Que tenga una raíz de la forma: “a + ”, donde:
a y b  Q (b > 0)  I ; tendrá como raíz necesariamente al número (a – ).

2. Toda ecuación polinomial de coeficientes racionales y de grado n 4: que tenga una raíz de la forma , donde: a y b  Q+  . Tendrá como raíces necesariamente a los números:

3. Toda ecuación polinomial de coeficientes reales y de grado n  2 que tenga una raíz compleja de la forma, a + bi.
Donde a y b  R (b  0). Tendrá necesariamente como raíz al complejo conjugado de dicha raíz es decir otra raíz será: a – bi

Observación:

Q: conjunto de los números racionales
I: conjuntos de los números irracionales

Ejemplos:

 En la siguiente ecuación:
. a, b Q
Hallar (a + b) si su raíz es: 3 +

 Formar la ecuación de menor grado posible sabiendo que una raíz es y además sus coeficientes son racionales.
 Dadas la ecuación: x3 + x2 + mx + n = 0. m, n  R
Donde: 1 + i es una de las raíces.
Hallar 1a suma de coeficientes de la ecuación.

TRANSFORMACIONES DE ECUACIONES

Sea la ecuación polinomial:

Con raíces: {x1; x2; x3;…………….; xn} entonces:
1. La ecuación de raíces aumentados o disminuidos en un valor “k”, es decir con raíces:

Es:

Ejemplos:

 Halle la ecuación cuyas raíces son las de la ecuación:
x2 – 2x – 8 = 0, pero aumentadas en 1.

La ecuación es: (x – 1)2 – 2(x – 1) – 8 = O

 Encuentre la ecuación cuyas raíces son los de la ecuación x3 – 2×2 + x – 5 = 0 disminuidas en 2.
La ecuación es:

(x + 2 )3 – 2(x + 2)2 + (x + 2) – 5 = 0.

Efectuando se obtiene: x3 + 4×2 + 5x – 3 = 0. También se puede usar el siguiente método:

x = 2 1 – 2 1 – 5

 2 0 2
x = 2 1 0 1
– 3
 2 4
x = 2 1
2
5
 2
1 4

Luego la ecuación es:

• Encontrar la ecuación cuyas raíces son las de la ecuación: x5 – 3×3 + 2×2 + 1 = 0, disminuidas en 1.

2. La ecuación de raíces multiplicadas por un valor “k” (k  0); es decir con raíces:

O también:

Ejemplos:

• Encuentre la ecuación, cuyas raíces son las de la ecuación: x2 – x – 6 = 0.
Multiplicadas por 2.

La ecuación es: x2 – 21 x – 22 . 6 = 0

• Halle la ecuación cuyas raíces son las de la ecuación: x3 + 2×2 – 5 x 6 = 0 multiplicadas por 3. La ecuación es:

x3+2 . 31 x2 + 5 . 32 x – 6 . 33 = 0

x3 + 6×2 – 45x – 162 =O

3. La ecuación de raíces invertidas es decir con raíces:

Es:

Ejemplo:

Dada la ecuación: x3 – 5×2 + 7x + 2 = 0.
De raíces {a; b; c}, entonces la ecuación cuyas raíces son: es 2×3 + 7×2 – 5x + 1 = 0

TEOREMA DE BOLZANO

Dada la ecuación polinomial F(x) = 0. Donde F(x) es una función continua definida en [a; b]
Si F(a). F (b) < 0. Entonces existe al menos una solución real: x0  < a; b > /

PRÁCTICA DE CLASE
01. Calcular la suma de las raíces de: x3 + 2×2 = x – 1 .

a) 2 b) -2 c) 3 d) -1 e) 1

02. Calcular el producto de las raíces de: 2×3 +6×2 = 5x + 8 .

a) -1 b) -2 c) 4 d) -4 e) -6

03. Resolver la ecuación: x3 + 2×2 – 11x = 12. E indicar una de sus raíces

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

04. Resolver la ecuación: x3 + 2×2 – 15x – 36 = 0. E indicar su conjunto solución.

a) {-2;-2;3} b) {-3;-3;4} c) {-4;-4;5} d) {-5;-5;3} e) {-1;-1;4}

05. Si: x = 2 es una de las raíces de: P(x) = x3 + 4×2 –7x + a, a  . Indicar una de las otras dos raíces.

a) 1 b) 2 c) -3 d) 4 e) -5

06. Resolver: x3 – 5×2 – 2x + 6 = 0. E indicar la solución entera.

a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 3

07. Resolver: x(x2+ 9x) = -23x – 15. E indicar la menor solución:

a) 2 b) -1 c) –5 d) -1/2 e) –3

08. Si x1; x2; x3 son las raíces de: P(x)= x3 + 2×2 – 5x – 6. Además: x3  x2  x1 .
Calcular:

a) -1 b) 1 c) -2 d) 3 e) 4

09. Sabiendo que a; b; c, son las raíces de: x3 + 5×2 +2x = 3. Calcular:

a) 1 b) 0 c) 2/3 d) 3/2 e) ¾

10. Sea la ecuación: 2×3 + 3×2 = –4x + 3. Además: x1; x2; x3 son sus raíces.

Calcular: x1 x2 + x1 x3 + x2 x3

a) 1 b) 1/2 c) 2 d) 1/3 e) -1/3

11. Al resolver la ecuación: x3 + 6×2 = –3x + 10. Indicar lo correcto

I. Presenta dos raíces enteras negativas
II. Posee una raíz real.
III. La menor raíz real es –5

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y III e) II y III

12. Si una raíz de: 4×3 – x2 –16x + 4 = 0. Es el negativo de la otra. Determinar la tercera raíz.

a) –1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 2/3 e) -1/2

13. Determinar el valor de “k” en: x3 + 9×2 + kx – 24 = 0.
Si: x1; x2; x3 son sus raíces, verificar:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

14. Si: r1; r2; r3 son las raíces de la ecuación: 6×3 – 11×2 – 3x + 2 = 0

Calcular:

a) 2/3 b) 3/2 c) –1/6 d) 1 e) –2

15. Hallar la relación que debe existir entre los coeficientes de la ecuación:
x3 + cx2 + bx + a = 0, si sus raíces suman uno:

a) 2/3 b) 3/2 c) –1/6 d) 1 e) – 2

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 04

01. Sean: x1; x2; x3 raíces de la ecuación: 2×3 ¬– x + 5 = 0
Calcular:

a) 1 b) 2 c) -2 d) -3/2 e) 4/3

02. Sean: a, b, y c raíces de la ecuación: x3 – 4×2 + 2x + 4 = 0
Calcular:

a) 5 b) – 5 c) – 4 d) – 7 e) 2

03. En la ecuación: x3 – 63x +  = 0. Determinar un valor de  para que una de las raíces sea el doble de otra.

a) 162 b) 180 c) 400 d) 800 e) N.A.

04. En la ecuación polinomial:

P(x) = x3 +(m +2) x2 +(m2 –3) x +m2 +2 = 0
De raíces x1 ; x2 ; x3. Calcular el valor de “m” de tal manera que la expresión:
A = tenga el máximo valor.

a) l b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

05. Hallar la relación que debe existir entre los coeficientes de la ecuación:
ax3 + bx2 + cx + d = 0: a  0. Si una de sus raíces es el negativo de la otra.

a) ab = cd b) ac = bd c) ad = bc
d) a + b = c + d e) a + d = b + c

06. Sabiendo que: x = c es una raíz de la ecuación:

ax5 + (b- ac)x4 – bcx3 – bx2- (a- bc)x + ac= 0
(a>0). ¿Qué condición deben cumplir a; b y c para que las otras raíces sean reales?

a) |b|  a b) |b|  a c) |b|  2a d) |b|  2a e) 2 c = a + b

07. Indicar el menor valor que debe tener el grado del polinomio P(x). Con coeficientes reales, tal que:
(2 + ) Sea una raíz simple, (3 + 2i) sea una raíz de multiplicidad 2 y ( + ) sea una raíz triple.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

08. Hallar un polinomio mónico P(x) con coeficientes enteros y de menor grado posible una de cuyas raíces sea: . Indicar la suma de los coeficientes de este polinomio.

a) 34 b) 24 c) – 24 d) 62 e) – 34

09. Hallar el valor de “k” si las raíces de la ecuación: x3 – 9×2 + kx – 24 = 0
Están en progresión aritmética.

a) 12 b) 13 c) 24 d) 26 e) 28

10. Sea el polinomio: F(x) = x3 + 3×2 – 9

Además: F(m) = F(n) = F(p) = 0

Calcular:

a) – 5 b) – 1 c) 2 d) – 2 e) 4

11. Si: (2 + i) es una raíz de multiplicidad dos del siguiente polinomio:
P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 25
Hallar: a + b + c + d. Además: a ; b ; c ; d  R.

a) 17 b) 18 c) 19 d) -18 e) -17

12. La ecuación: x4 – 12x – 5 = 0. Contiene 2 raíces cuya suma es 2. Calcular la suma de las inversas de las otras dos.

a) 0,2 b) 0,4 c) – 0,2 d) – 0,4 e) 5

13. Sea la ecuación polinomial:
P(x) = ax3 + x2+ x + b = 0: a  0
Determinar los valores de “a” de modo que P(x) admita una raíz real “r” de multiplicidad 2.

a) b) c)
d) e)   R

14. Si la ecuación: x4 + mx3 + 2x + n = 0 m  n  R; admite una raíz triple. Hallar: m2 + n3

a) 3 b) 4 c) 5 d) – 3 e) -1

15. Se sabe que: x1 ; x2 y x3 son las raíces de la ecuación. x3 – x2 – 1 = 0. Encontrar una nueva ecuación cuyas raíces son: x1 + x2 ; x2 + x3 ; x3 + x1

a) b) c)
d) e)

16. ¿Cuál será la ecuación cúbica cuyas raíces sean el doble de los recíprocos de cada una de las raíces de la ecuación polinomial?

Ax3 – Bx + C = 0 ; C  0

a) Cx3 – Bx + A = 0 b) Cx3 + 2Bx2 + 4A = 0 c) Cx3 + 2Bx2 – 4A = 0
d) Cx3 – 2Bx2 + 8A = 0 e) Ax3 – 2Bx + 4C = O

17. El producto de los coeficientes de la función polinomial de menor grado que pasa por los puntos: (0; 0); (1; 1) ; (2; 0) y (3; -1) es:

a) -15/4 b) -14/9 c) 5/9 d) -15/9 e) -16/9

18. Sabiendo que: a b y c son raíces de la ecuación: x3 – 7×2 + 5x + 6 = 0. Calcular:
M = (a + b – c)-1 + (b + c – a)-1 + (c + a – b)-1

a) 31/55 b) 9/55 c) 7/155 d) 29/155 e) 27/55

19. Si la ecuación: x5 – 10a3x2 + b4x + c5 = 0 tiene 3 raíces iguales. Hallar el valor de: ab4 – 9a5

a) c b) – c5 c) 0 d) c2 e) 1

20. Encontrar un polinomio mónico en “x” de coeficientes en Z que acepte a como raíz. Hallar la suma de coeficientes de dicho polinomio.

a) 165 b) 168 c) 170 d) 174 e) 162

TAREA DOMICILIARIA

01. Si: y además a, b y c son raíces de la ecuación: x3 – 3x – 1= 0.
Calcular S = F(a) + F(b) + F(c)

a) 1 b) 3 c) 1/3 d) 9 e) N.a.

02. Halle las raíces r1 , r2 , r3 , r4 de la ecuación:

4×4 – ax3 + bx2 – cx + 5 = 0

a) 1/2 b) 1/4 c) 5/4 d) 1 e) N.a.

03. Halle las raíces r1 , r2 , r3 , r4 de la ecuación:

4×4 – ax3 + bx2 – cx + 5 = 0
Sabiendo que son reales positivos y que:

Indique el valor de: r4

a) 1/2 b) 1/4 c) 5/4 d) 1 e) 2

04. Sean a . b y c raíces de la ecuación: x3 + px + q = 0 (a, b, c diferentes) expresar en términos de p y q a: M=(a -b)2 (b – c)2 (a – c)2

a) b) c)
d) e)

05. Sobre la ecuación:
P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + c = 0
Donde: 2a2 < 3b  {a; b; c; d; e} R Indicar verdadero (V) o falso (F) I) Todas sus raíces son reales II) Al menos dos raíces son complejas III) Una raíz es real a) VFF b) FFV c) FVF d) FFF e) VVV 06. Si: P(x) = (x – 1)(x – 3)(x – 5)+(x – 2)(x – 4) Indicar la alternativa más correcta: a) Tiene 3 raíces reales b) Tiene 3 raíces reales negativas c) Tiene 3 raíces reales positivas d) Tiene 2 raíces reales positivas y una es negativa e) N.A 07. Formar la ecuación de menor grado posible con coeficientes racionales, en la que una de sus raíces sea. a) x4 – 2×2 + 25 = 0 d) x4 + 2×2 – 25 = 0 b) x4 + 2×2 + 25 = 0 e) x4 + x2 + 25 = 0 c) x4 + 2×2 + 5 = 0 08. Calcular la suma de las raíces de: x3 + 2×2 = x – 1 a) 2 b) –2 c) 3 d) – 1 e) 1 09. Calcular el producto de las raíces de: 2×3 + 6×2 = 5x + 8 a) –1 b) –2 c) 4 d) – 4 e) –6 10. Resolver: x3 + 2×2 – 11x = 12. E indicar una de sus raíces. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 SOLUCIONARIO Nº EJERCICIOS PROPUESTOS 01 02 03 04 01. C E A B 02. A C D D 03. C D D A 04. B B B B 05. E D C C 06. B C E C 07. B D D D 08. E B D E 09. E D E D 10. A A D A 11. D D 12. E D 13. E D 14. B A 15. D B 16. D 17. E 18. E 19. C 20. C