DIVISIBILIDAD Y CONGRUENCIAS PROBLEMAS RESUELTOS PARA PROFESORES PDF

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DivislbUidad en N , Criterios de divisibilidad ,Descomposicion de un número en producto de factores primos , Divisores de un número , Máximo común divisor , Algoritmo de Euclides, Mínimo común múltiplo , teorema fundamental, El retículo distributivo de los números naturales respecto a
D y M , Divisibilidlld en Z, Congruencias, Restos potenciales ,Criterios de diVisibilidad , EJERCICIOS RESUELTOS

1. División en N
INTRODUCCION En toda divISión entera se verifica
Dividendo
resto
divisor
cociente
Dividendo (divisor x cOciente) + resto
resto < divisor Ejemplo 1. En la división entera de 25 por 4 se verifica 25 1 25 - (4 x 6) + 1 1 < 4 Cuando el resto es cero la división se llama exacta Dividendo O I divisor cociente Dividendo = divisor X codente En una división exacta también se utiliza el signo: colocado entre el dividendo y divisor Dividendo divisor - cociente www.Matematica1.com Podemos expresar de tres formas una divisi6n exacta a) DivIdendo b) Dividendo cl Dividendo Ejemplo 2 = divisor x cociente. divisor ... cociente. cociente = divisor, La división 15 3 es una divisi6n exacta 15 3 - 5 que se puede expresar de estas formas al 15 - 3 >< 5 bl 15 3 - 5 el 15 5 - 3 Cuando se tiene un producto incompleto se puede proceder de la siguiente forma 18 - 9 x D a) El resultado del producto incompleto es el dividendo de la divisi6n, aquí es el 18. b) El factor que conocemos, e19, es el divisor de la divisi6n. e) El factor que desconocemos O es el cociente de la divisi6n Ejemplo 3. Si tienes 48 = D >< 6 48 es el dividendo de la división 6 es el divisor de la división D es el cociente de la división. 48 6 - 8 DEFINICION DE MUlTlPLO. El conjunto N de los números naturales está formado por N ~ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Si multiplicamos todos y cada uno de los elementos del conjunto N por el número 2 resulta 2N - {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, I www.Matematica1.com Si multiplicamos todos y cada uno de los elementos del conjunto N por el número 3 resulta 3N ~ 13. 6 . 9 . 12. 15. 18. 21. 24. 2730. Si multiplicamos todos y cada uno de los elementos del conjunto N por el número 4 resulta 4N - 14. 8. 12. 16. 20. 24. 28. 32. 36. 40. De esta forma se obtienen los múltiplos de 2, los múltiplos de 3 y los múltiplos de 4. Observando lo hecho se resume así: 1) Considerar un número natural. 2) Tomar el conjunto N de los números naturales. 3) Efectuar el producto de dicho número natural por elementos del conjunto N. Cada uno de los resultados obtenidos al multiplicar el número natural dado por los elementos de N recibe el nombre de múltiplo del número natural dado . En genera): .Dados dos números a, b E N se dice que a es múltiplo de b y 10 representamos por a=b - 3 nEN ! a bn Ejemplo 4. Dado el número natural 3 6 es múltiplo de 3 porque 6 ~ 3 x 2 pondremos 6 - 3 15 es múltiplo de 3 porque 15 - 3 x 5 pondremos 15 = 3 30 es múltiplo de 3 porque 30 "" 3 x 10 pondremos 30 - 3 Para comprobar si un número dado a es o no múltiplo de otro b se procede así a = b x O formando el producto anterior y como se puede expresar en forma de división exacta dividiendo a por b si la división es exacta el número a es múltiplo de b. www.Matematica1.com Ejemplo 5 Comprobar si los números 45 y 37 son múltiplos de 5 45 = 5 x O ... 45 . 5 - 15 como la divlsl6n es exacta' 45 - 5 37 - (5 x 7) + 2 como la divIsión no es exacta 37 *- 5 DEFINICION DE DIVISIBILIDAD. Dados dos números a y b pertene cientes a N se dice que a es divisible por b y lo representamos pOr b/ a ~ 3 n E N I a = bn También se dice que: b divide a a b es divisor de a a es múltiplo de b Ejemplo 6 3/6 porque 6 - 3 x 2 6 6 - 3 3/ 15 porque 15 3 x 5 Ó 15 - 3 ,)/30 porque 30 - 3 x 10 Ó 30 - 3 -El número 3 divide a 6, 3 es divisor de 6, 6 es múltiplo de 3 -El número 3 divide a 15, 3 es divisor de 15 15 es múltiplo de 3_ -El número 3 divide a 30, 3 es divisor de 30, 30 es múltiplo de 3 De las definiciones de múltiplo y divisor se puede decir: "Dados dos número!>
a y b si a es múltiplo de b entonces b es divisor de a
~~.~===e=s=,”~ú=lt~iP=I=o==d=e====!~
es divisor de
a b ~ b /a
La relación “ser múltiplo de» y la relación “ser divisor de» son
relaciones inversas
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Ejemplo 7
8 – 2 ~ 2/8 porque 8 – 4 x 2
10
5 _
5f10 porque 10 – 2 x 5
3& – 4 ~ 4/ 36 porque 36 9 x 4
PROPIEDADES
1 La relaci6n de divisibilidad en el conjunto N de los números naturales
es una relaci6n de orden pero no de orden total. Cumple las propiedades
a) Reflexiva : al a”‘” 3 I E N 1 a = 1 x a
b) Antisimétrica: Si a / b y b/ a – a – b
En efecto:
S; a / b ~ 3 P E N I b ~ ap
S; b/a ~ 3 q E N I a ~ bq
sustItuyendo: b = bpq ~ 1 = pq = p = q = 1 luego a = b
el Transitiva: Si a/ b y b/c => a/ c
En efecto:
S; a/b ~ 3 P E N I b ap
S; b/c ~ 3 q E NI c bq
de donde : e – bq = apq = a(pq) ,., a / c
No es relación de orden total porque dados dos números naturales cualesquiera
, no tiene por qué ocurrir que el primero divida al segundo o el segundo
divida al primero
2. El lE N divide a todos los números naturales
En efecto: 1/a porque :1 a E N I a = 1 x a
3 Todo número natural que divide a varios números noturales divide a
su sumo.
Si a, b, e, m E N Y m/ a. m/ b y m/ c – m/a + b + e
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En efecto.
De m/a =$ 3 P E N I a pm
De m/b ~ 3 q E N I b qm
De m/c ~ 3 r E N I c rm
sumando miembro a miembro: a + b + e ,. (p + q + r) m ~ m/a + b + C
Ejemplo 8
s; 5/15 , 5/20 y 5/25 ~ 5/15 + 20 + 25
En efecto
Si 5/15 ~ 3 3 E N I 15 – 5 x 3
Si 5/20 => 3 4 E N I 20 “” 5 x 4
S; 5/25 ~ 3 5 E N I 25 – 5 x 5
sumando m a m . 15 + 20 + 25 – 5 (3 + 4 + 5) => 60 –
– 5 x 12 “”” 5/60
4. Todo número natural que divide a otros dos, divide a su diferencia
Si m, a, b E N (a > b) Y m/a, m/b ~ m/a – b
En efecto·
Si m/a ~ 3 P E N I a pm
Si m/b ~ 3 q E NI b qm
restando miembro a miembro. a – b = (p – q) m ~ m/a – b
Ejemplo 9
En efecto
s; 2/24 y 2/6 ~ 2/18
Si 2/24 => 3 12 E N I 24 e 2 X 12
Si 2/6 => 3 3 E N I 6 – 2 x 3
restanto m. a m.. 24 – 6 “‘” 2 x 9 => 2/18
5. Todo número natural que divide a otro, divide a los múltiplos de éste
Si m, a, n E N y m/a =$ m/an
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En efecto:
Si m/ a … 3- p E N I a – pm
multiplicando los dos miembros por n , resulta
an “‘” pnm – (pn)m … m/ an
Ejemplo 10
SI 3/12 – 3/12 x 5
En efecto:
3/12 – , 4 E N I 12 – 3 x 4
multiplicando los dos miembros por 5 , resulta
12 x 5 – 3 x 4 x 5
12 x 5 ::. 60 – 3 x (4 x 5) .” 3 x 20 :> 3/ 60
6. Dados dos números naturales a y b J,I al b si c E N también se verifica
que oc/ be
En efecto:
Si a /b~3pENlb – ap
multiplicando los dos miembros por e
be – (ac) x p “”l- ac/ bc
Ejemplo JI ,
SI 2/14 Y 3 E N – 2 x 3/ 14 x 3
En efecto:
Si 2/14 también 6/ 42 pues ex.iste el número natural 7 tal que :
42 _ 6 x 7
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2. Criterios de divisibilidad
NUMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
a) Número primo. Un número natural a es primo si y s610 SI es divisible
por el mismo y por la unidad
C’I E N es primo ~ ala y l/a
EJemplo 1 El número nalural 3 es primo porque 3/ 3 y 1, 3
b) Número compuesto Es cualquier número natural que no es pnmo.
tiene más divisores que el mismo y la unidad.
Ejemplo 2 El número natural 8 no es primo porque
1/8 , 2/8 . 4/8 Y 8/8
tiene adem.ás del 1 y 8 como divisores el 2 y el 4
1/8 … 8- 1 x8
2/8_8_2x4
4/8 =- 8 4 x 2
8/8 _ 8 – 8 x 1
DIVISIBILIDAD POR 2. El conjunto formado por los múltiplos de 2 Jo
hemos obtenido multiplicando el conjunto N de los números naturales por 2,
resultando
2N ~ 12 . 4 . 6, 8. 10, 12, 14. 16, 18,20, “, 1
Los números del conjunto 2N acaban en cifra par o en cero, la cifra de
las unidades es siempre 0 , 2, 4 , 6 u 8
Un número es divisible por 2 cuando acaba en cero o cifra par La cifra
de las unidades es O. 2. 4. 6 u 8
Ejemplo 3 .
24 es divisible por 2 por acabar en cifra par
37 no es divisible por 2 por no acabar en cifra par.
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También se puede poner
24 – i ó 2124 po’rque 24 – 2 X 12
DIVISIBILIDAD POR 5, El conjunto formado por los múltiplos de 5 se
obtiene multiplicando el conjunto de los números naturales por 5, resultando
5N – 15. 10. 15. 20, 25, 30. 35. 40. 45, 50 . . )
Los números del conjunto 5N acaban en O o en 5, la cifra de las unida deses06
5
Un número es diuisible por 5 cuando acaba en O o en 5
Ejemplo 4
105 es divisible por 5 por acabar en 5
83 no es divisible por 5 por no acabar en O o en 5
Se puede poner
105 = 5 ó 5/ 105 porque 105 = 5 x 21
DIVISIBILIDAD POR 3. El conjunto formado por [os múltiplos de 3 estaba
fomado por
3N – 13.6.9, 12. 15, 18,21 . 24 . 27,30.33.36,39 . .. )
Estos elementos del conjunto 3N son múltiplos de 3. pero ¿qué tienen
en común? Sumando la cifra de las unidades con la cifra de las decenas en
cada uno de ellos resulla:
3 + O ~ 3 2 + 1 ~ 3
6 + O 6 5 + 1 6
9 + O 9 8 + 1 9
5 + 1 ~ 6
8 + 1 == 9
2 + 1 “” 3
4 + 2 = 6
7 + 2 – 9
O + 3 – 3
3 + 3 – 6
6 + 3 = 9
9 + 3 ~ 12
Observamos que se obtiene: 3, 6 , 9, 12 … . todos ellos pertenecientes al
conjunto 3N, todos ellos múltiplos de 3 .
Vamos a obtener esta regla que acabamos de observar y a generalizarla
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Sea el número n – cha
n .= eba = a + lOb + lOOc – a + (9 + Ilb + (99 + 11e
“”‘ a + b + e + 9b + 9ge = a + b + e + 3(3b + 33c) =
– (a + b + el + :3
Para que el número n – cba sea divisible por 3 debe de ocurrir que
a+ h+c=3
La suma de todas sus cifras ha de ser múltiplo de 3 .
Ejemplo 5 .
24 es divisible por 3 porque: 2 + 4 ‘” 3. ; 24 – 3 x 8 .
28 no es divisible por 3 porque ; 2 + 8 :j:. 3
DIVISIBILIDAD POR 11 . Formamos el conjunto de los múltiplos de 11 .
llN – 111. 22, 33, 44 , 55, 66, 77. 88. 99. 110, 121 .132. 143. 154 .. 1
¿que tienen en común los eleme nlos del conjunto l1N?
– Sumando las cifras que ocupan lugar impar.
– Sumando las cifras que ocupan lugar par .
-Restando estos dos números resulta siempre cero
1 – 1 – O (I + O) 1 – ()
2 – 2 – O (I + 1) 2 – O
…. ….. (I + 2) 3 – O
9 – 9 = O .. . …. … ..
Pero hay más números del conjunto llN que no se han escrito por ser
infinitos pero por ejemplo el número 4708 es múltiplo de 11 porque
4708 – 11 x 428
Vemos que. (7 + 8) – (4 + O) – 11
dando como resuhado 11
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El número 82709 es múltiplo de 11 porque
82709 ~ 11 x 7519
Vemo, que 18 + 7 + 91 – 12 + 01 ~ 22 – 11
También el número 9191919 es múltiplo de 11 porque
9191919 – 11 x 835629
Vemos que (9 + 9 + 9 + 9) – (1 + 1 + 1) – 33 – n
Todos los resultados obtenidos al sumar las cifras que ocupan lugar impar
y restarle la suma de las cifras que ocupan lugar par es O o n
Esto lo vamos a generalizar para obtener el criterio de divisibilidad
por 11
Sea el número natural n “‘” dcba
n – dcba – a + lOb + 100c + 1000d = a + (11 – 1) b + (99 + 1) c +
+ (1001 – 11 d – la – b + e – di + (l1b + 99c + 1001 di
la – b + c – di + 11lb + 9c + 91dl ~ la – b + C – di + 11
Para que el número n = dcba sea divisible por 11 debe de ocurnr que
a-b+c-d=i1
La suma de las cifras que ocupan lugar impar menos la suma de las cifras
que ocupan lugar par es cero o múltiplo de 11,
Ejemplo 6_
715 es divisible por 11 porque- (7 + 5) – 1 ‘” 11 , 715 – 11 x 65
713 no es divisible por 11 porque (7 + 3) – 1 T Ú
DIVISIBILIDAD POR 4. Sea el número natural
n – dcba
que descompondremos en suma de dos sumandos
n = dc x 100 + ba = deOO + ba 4. + ba
en donde el primer sumando es divisible por 4 por acabar en dos ceros
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Para que el número n = dcba sea divisible por 4 debe ocurrir
ba – 4
Un número es divisible por 4 si lo es el número formado por sus dos últimas
CIfras
428 es divisible por 4 porque 28 – 4
428 – 4 x 107 4
453 no es divisible por 4 porque 53 ‘* 4
DIVISIBILIDAD POR 25. Sea el número natural
n – dcba
que descompondremos en suma de dos sumandos
n = dc x 100 + ba = de 00 + ba – 2’5 + ba
en donde el primer sumando es divisible por veinticinco por acabar en dos
ceros
Para que el número n – dcba sea divisible por 25 debe ocurrir
ba – 25
Un número es divisible por 25 si lo es el número formado por sus dos últimas
cifras
875 es divisible por 25 porque 75 “” 25
875 – 25 x 35
685 no es divisible por 25 porque 85 ‘* 25
DIVISIBILIDAD POR 9. Sea el número natural
n = dcba
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deseompueto en suma de sumandos
n -deba – a + lOb + 100c + 1000d – a + 19 + 1) b + 199 + l)e +
+ 1999 + lId – la + b + e + d) + 19b + 990 + 999d) –
– la + b + e + dI + 9 lb + l1e + ll1dl – la + b + e + dI + 9
Para que el número n = deba sea divisible por 9 debe de ocurrir que
a + b + e + d – 9
La suma de todas sus cifras ha de ser múltiplo de 9.
Ejemplo 9_
234 es divisible por 9 porque. 2 + 3 + 4 – 9
234 – 9 x26
752 no es dIvIsIble por 9 porque· 7 + 5 + 2 * 9
TABLA DE NUMERaS PRIMOS. Aplicando los criterios de divisibilidad
establecidos anteriormente localizamos los números primos existentes entre
los 100 primeros números naturales.
Para su obtención ponemos los 100 primeros números naturales
CD @ < a' Si a' es compuesto, l a mbi~ n )0 podemos descomponer en el producto de uno primo b por otro número b' quedando n = a x a' = a x b x b ' Si b ' es compuesto , se puede descomponer en el producto de c por e ' riendo e un número primo n = a x b x b' - a x b x e x e' Siguiendo así llegaríamos a descomponer el número n en el producto de números primos n -a x b x c x x k Para ver la unicidad supongamos que el número n se puede descomponer de la forma Por la propiedad transitiva a >< b x e x ... x k = al x b1 x el x. x kl www.Matematica1.com Por el teorema de Euclides (que veremos más adelante ), el número primo a . que divide al segundo mie mbro o es igual a alguno de los factores o divide a alguno de ellos y como todos los factores del segundo miembro son primos. tiene que ser igual a alguno de ellos. por ejemplo a - al Suprimiendo este factor queda b x e x ... x k = b1 X el x ... X kl Repitiendo sucesivamente el razonamiento llegaríamos a que C e el ' .. : k "" k1 con lo que quedaría demostrado el teorema Corolario: -Todo número natural n distinto de 1 puede escribIrse de mo do único de la forma" n = PtQ", x Pzf1., x donde PI ' Pl . " , p. son primos y a; E N Para demostrarlo. basta tener en cuenta el teorema que acabamos de demostrar y agrupando los naturales primos iguales da lugar a la expresión puesta anteriormente 4, Divisores de un número CONDICION DE DIVISIBILIDAD . La condición necesaria V suficiente para que un número sea divisible por otro es que el primero contenga todos los factores primos del segundo. con exponentes iguales o mayores. Si consideramos el número n = PI 01, X pzO:, X www.Matematica1.com todo divisor de n es de la forma .. . n = p¡o, X P2U" x .. X p,o. La demostración de este teorema es inmediata a) Condlci6n necesaria: Sea n un número divisible por n' Decimos que n contiene todos los factores primos de n' con exponentes iguales o mayores. En efecto, siendo n divisible por n ' siempre existe un número natural k tal que n = k x n '. luego n contiene todos los factores primos de n y ade· mAs los de k. bJ Condición suficiente : Si un número n contiene lodos los factores pri· mos de otro número n ' con exponentes iguales o mayores. n es divisible por n' . En efecto: . . n = p¡u, x P2 u, X . . . X p,a. con a::S a ¡ - l . 2. 3. . , resulta que n ... ri'~n'!n OBTEN ClaN DE TODOS LOS DIVISORES DE UN NUMERO En una división exacta Dividendo "" divisor x cociente Cuando dados dos números a y b la división a : b es exacta , se dice que b es divisor de a. Un número puede ten er varios divisores. basta que al dividirlo por cada númerO el resto sea cero. Así el número 54 tiene varios divisores 54: 2 27 2 es divisor de 54 54 : 3 ~ 18 3 es divisor de 54 54 : 6 ~ 9 6 es divisor de 54 54 : 9 6 9 es divisor de 54 www.Matematica1.com Para conocer todos los divisores de un número tendríamos que hacer todas las divisiones del número dado por los números naturales inferiores o iguales a él. Pero cuando los números son grandes este procedimiento resulta muy largo para calcular todos los divisores, por eso hay otro más sencillo que consiste en descomponer el número dado en todos los productos posibles de dos números naturales; cada uno de los factores de los distintos productos realizados es un divisor del número dado. Ejemplo 1 Dado el número natural 60 todos los divisores se obtienen descomponiéndolo en factores 60 - 1 x 60 6O=2x30 60 - 3x20 60 4 x 15 60 = 5 x 12 60 6xlO D(60) - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60) Este procedimiento resulta apto para los cursos de Básica pero hay un procedimiento general cuyo desarrollo es el siguiente: Sea el número n descompuesto en factores primos Los divisores de n se obtienen asÍ' -Se colocan las potencias del primer factor, en este caso a, desde O hasta a, es decir como aO = 1 resulta 1, a, a2 , .•. , a" -Se multiplican estos números por las potencias sucesivas del segundo factor b, desde O hasta {j, resultando: multiplica por bO - 1 multiplica por b1 = b multiplica por b2 multiplica por b~ --- 1, a, a2 , ,a" --- b, ab, a2b, ... , a"b ___ b2 , ab2 , a2b2 , _., a<>b2
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-Se multiplican estos números por las potencias sucesivas del tercer factor
c, desde O hasta “Y , resultando
multiplica por eO
– 1
multiplica por el = e – —
multiplica por e2
multiplica por CT
1. a , a2
, . , a”
b,ab,a2b, “.,a ~b
b2 , ab2
, a2b2 , … , a”b2
e, ae, aZe, , a”‘C
be , abe, aZbe . ” , a”bc
b2e, ah2e, a2bze, . .. , aub2c
e2 , ae2, a2,2, . .. , a~, 2
bez, abe.2, a2tx:2, . •. • a”bcl
b2cl , ahZel , a2b2c2 , . , a”b2cl
e’ , ac’ , aleT, … , a”el
bc\ ach>, albcY, … , a”bcl
b2cl, ab2c), a2bzcl , .. . , a~ b2e>
Los divisores del número n son los productos realizados por las potencias
del último factor primo, aquí e
Ejemplo 2. Obtener los divisores del número natural 60
60 2
30 2
15 3
5 5
1
Se colocan las potencias de 2
Se multiplican por 30 y 31
Se multiplican por 5′ – 1
Se multiplican por 51 -5
60- 22x 3 x 5
-1 2
– 1 2
3 2 x 3
-1 2
3 2 x 3
-5 2 x 5
3 x 5 2 )( 3 x 5
2′
2′
2′ x 3
2′
2z x 3
2′ x 5
22 X 3 x 5
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Los divisores de 60 son
1
3
5
15
2
6
10
30
4
12
20
60
0160) – 11, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 601
Ejemplo 3 Obtener lodos los divisores de 540
540 2
270 2
135 3
45 3 540 22X33 x5
15 3
5 5
1
-Potencias de 2 1 2 2′
-Multiplica por 3° – 1–1 2 2′
-Multiplica por 31 3–3 2 x 3 2′ x 3
-Multiplica por 32 -3′ 2 x 3′ 2′ x 3′
-Multiplica por 50 _ 1–1 2 2′
3 2 x 3 2′ x 3
3′ 2 X 32 2′ X 32
-Multiplica por 51 “” 5-5 2 x 5 2′ x 5
3 x 5 2 x 3 x 5 2′ x 3
3′ x 5 2 x 3′ x 5 2′ X 32
x 5
X S
Los divisores de 540 son los productos realizados por las potencias
de 5, es decir
1
3
9
2
6
18
4
12
36
5
15
45
10
30
90
20
60
540
01540) – 11,2,3,4,5,6,9,10, 12, 15, 18,20,30,36,45,60,
90, 5401
NUMERO DE DIVISORES DE UN NUMERO Observando [os divisores
del número n = a” bd c) se han formado ‘Y + 1 cuadros y en cada cuadro
hay (a + 1) elementos en cada fila y ((3 + 1) elementos en cada columna,
resultando en total (a + 1) ((3 + 1) b +-1).
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El número de divisores del número n = a ” b~ el es
N ~ (a + 1) (~ + 1) (, + 1)
En general si el número n descompuesto en factores primos fuera de la
forma
n = Pt a, X P2 a, X
el número total de divisores vendrá dado por
Ejemplo 4 El número de divisores de 540 es
N – (2 + 1) (3 + 1) (1 + 11 ~ 24
SUMA DE TODOS LOS DIVISORES DE UN NUMERO El total de los
divisores de un número n = a'” biJ c> podría considerarse como los términos
del producto.
(1 + a + a2 + a”) (1 , + b + b2 + + bJ ) (1 + c + cl + + c~)
Cada paréntesis es una progresión geométrica y la suma de [os términos
de una progresión geométrica vale
S ~
a. , – 1 siendo aM , término general 1 r razón
Por tanto
S
a’<+ j -1 bfl + 1 -1 C>+l -1
~ x x
a – 1 b – 1 e 1
En general si el número n descompuesto en factores primos fuera de la
forma
n – Pi a, X P2 a, X
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la suma de todos Jos divisores vendría dada por
P10l • • 1 -1
S – -“-‘-p-,- _- jc’- x x … x
p,Q” •• 1 _ 1
p. – 1
Ejemplo S. La suma de todos los divisores de 540 es
5. Máximo común divisor
)( .9 – 1 _ 1680
5 – 1
OEFINICION. Dados dos números naturales a y b llamamos m6xlmo co·
mún divisor (m e d .) de dichos números, al moyor de sus diviso res comu·
nes y Jo indicamos poniendo
m . c. d. (a, b) = D
Para hallar el máximo común divisor de dos números a y b hacemos
1) Hallar todos Jos divisores de a: Ora)
2) Hallar todos los divisores de b: D(b)
3) Obtener los divisores comunes de a y b: Ora) () D(b)
4) El mayor de ellos es el máximo común divisor
Ejemplo 1 Obtener el máximo común divisor de 8 y 20
Hacemos
8 2
4 2
2 2
1
2Q 2
10 2
5 5
1
1) Los divisores de 8 son : D(8) = {l . 2, 4, 81
2) Los divisores de 20 son ‘ D(20) – 11.2 . 4.5,10. 20[
3) Los divisores comun€$ de 8 y 20 son: 0(8) n D(20) – 11 . 2. 4J
4) El mayor de ellos es el m. c . d .
m. c. d (8,20) “” 4
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Si en lugar de dos números naturales tuvieramos tres a, b y e, el procedimiento
es análogo
1) Hallar todos los divisores de a D(a)
2) Hallar todos los divisores de b: D(b)
3) Hallar todos los divisores de e: D(e)
4) Obtener los divisores comunes: D(a) n D(b) n D(c)
5) El mayor de ellos es el máximo común divisor
Ejemplo 2. Obtener el máximo común divisor de 45,60 y 75
Hacemos
D(451 ~ /1. 3, 5, 9, 15,45)
D(60) – 11,2,3,4,5,6, lO, 12, 15,20,30,60)
D(751 ~ /1, 3, 5, 15, 25, 75)
D(45) n D(601 n D(751 – 11. 3, 5, 151
m c d. (45, 60, 75) – 15
Otra forma de obtener el máximo común divisor es utilizando la representación
gráfica. Sobre dos líneas ponemos los factores primos de cada número
y el producto de los factores pertenecientes a la intersección de [as dos
líneas es el máximo común divisor de los números dados
Así los números 8 y 20
8=23 y 20 _ 22 x5
2
2 2
5
m. c. d. (8, 20) – 2 x 2 ~ 4
Si en lugar de tener dos números naturales tuviéramos tres, el procedimiento
es’ análogo.
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Ejemplo 3 Obtener el m c. d (45, 60, 75)
5
60 2 2 3 5
45 _ 32 x5
60 – 22 x3x5
75 “” 3 x 52
3
m. c. d. (45, 60, 75) – 3 x 5 = 15
También podemos determinar el m. c. d. de dos o más números sin necesidad
de hacer representaciones gráficas, ya que los elementos que pertenecen
a la intersección son aquellos factores primos comunes a los números
dados y además elevados al menor exponente
El máximo común divisor de dos o más números se obtiene multiplican do
los jactares primos comunes elevados al menor exponente.
Ejemplo 4 Determinar el m c. d. de 48 y 270
48 … 24×3 y 270 _ 2×31 x5
factores comunes son 2 y 3 elevados al menor exponente común es 1
m c. d (48, 270) – 2 x 3 0:= 6
Ejemplo 5 Determinar el m c, d de 180,420 y 900
180 = 22 x 32 X 5
420 = 22 x 3 x 5 x 7
900 _ 22X32 x52
factores comunes son 2, 3 y 5 elevados al menor exponente común
que es 2, 1 Y 1 respectivamente
Por tanto
m c. d. (180, 420, 900) – 22 X 3 x 5 – 60
PROPIEDADES
L Dados dos números naturales a y b, siendo O su m. c. d., se pueden
descomponer de la forma
a = a’ O y b = b’ D
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siendo a ‘ y b’ dos números naturales que no tienen ningún divisor común
pues si lo tuvieran O no sería el m c_ d.
Se verifica: m . c. d. (a’ . b’l ~ 1
A estos dos números a ‘ y b’ los llamamos primos entre sr.
“Dos números naturales son primos entre sí si su m. e d. vale la
unidad •.
Ejemplo 6.
m. c . d_ (8. 20) – 4
dividiendo
8 ‘ 4-2 y 20 4 -5
Por tanto
8 ,., 2×4 y 20 5 x 4
m e d (2. 5) – 1
Los números 2 1J 5 son primos entre sí
2 Si dos números se multiplican o dividen por un tercero que es diuisor
común. su m. c. d. O queda multiplicado o dividido por dicho número.
s; m c. d. (a. bl ~ D ~ m. c. d. ( ;. ~ ) ~ 1
En efecto: Acabamos de poner a = a ‘ D y b = b ‘ D
m c. d. (a. bl – m. c. d . (a’ D, b’ DI ~ D
dividiendo por D
m c. d. (a’. b’) – m . c. d
. a b
(- . _) – 1
D D .
No es necesario que se dividan los dos números a y b por su máximo común
divisor D sino por uno cualquiera de sus divisores.
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En cuanto a la multiplicación si a y b los multiplicamos por el número natural
n
an = a’ on y bn = b’ on
m c d. (an, bn) – m e d. (a’ Dn, b’ Dn) = Dn
Ejemplo 7
m c. d (8, 20) = 4
-Dividiendo por 2 los números 8 y 20 se cumple
‘8 20’ 4
m ,d, (-, -) – –
,2 2, 2
En efecto m. c. d (4, 10) = 2 pues 4 – 2 x 2 y 10 – 2 x 5
-Multíplicando por 3 los números 8 y 20 se cumple
m c d. (8 x 3, 20 x 3) = 4 x 3
En efecto
m e d (24, 60) = 12 pues 24 – 23 x 3 y 60 – 22 X 3 x 5
6. Algoritmo de Euclides
DEFINICION. Dados dos números naturales a y b, el mayor divisor común
de ambos es también el mayor divisor común del menor de ellos y del
resto de la división entera de ambos.
Sean a, b E N ya> b
a L-“.b_
r q a – bq+r con r r2) – m. c. d (r2. r3)
Siguiendo este procedimiento llegaríamos a obtener un resto cero, verificándose:
m e d (a. b) m. e d (b, TI) – m. e, d. (TI’ r2) – … =
– m. e d. (r~-2, r~-I) = m. c d. (r~_I’ O) = r~-l
El máximo común divisor es el último resto anterior al resto cero
La forma práctica de hacer los cálculos es la siguiente:
‘1, e¡, q, q. ” , q”-2 q”-l q”
a b e, e, e, ” r~-3 r”-2 r”-1
e, e, e, c. r”-1 O
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Ejemplo 2_ Hallar el m C. d. de 370 y 145
2 1 1 4 3
370 145 80 65 15 5
80 65 15 5 O
Juego m. c. d (370, 145) – 5
TEOREMA DE EUCLIDES, Si un número natural dfu/de a un producto
de dos números naturales y es primo con uno de ellos, diuide 01 aIro.
Si a , b E N Y n E N siendo a/ bn y m . c . d . (a, bl = 1 – al n
En efecto:
Si m. c. d (a . bl – 1 ::) m c- d (an, bn) = n
Por otra parte si a/bn, también alan y se puede afirmar que a divide al
m c. d. (an. bnl y como m. c. d. (an, bnl – n entonces a In
Ejemplo 3 _
Si 5/ 8)( 10 Y m e d 15, 8) – 1 … 5/ 10
7. Minimo común múltiplo
DEFINICION. Dados dos números naturales a y b lIomamos mínimo co·
mún múltiplo (m. c. m .) de dichos números al menor de Iodos sus múltiplos
comunes y lo indicamos poniendo
In c. m. (a . bJ = M
Para hallar el mínimo común múltiplo de dos números a y b hacemos
] ) Hallar los múltiplos de a: M(a)
2) Hallar los múltiplos de b: M(b) .
3) Obtener los múltiplos comunes de a y b: M(a) () M(bl .
4) El menor de ellos es el mínimo camón múltiplo.
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Ejemplo 1 Obtener el mínimo común múltiplo de 4 y 6
1) Múltiplos de 4: M(4) – 4N – {4, 8, 12, 16, 20,24, 28,
2) Múlt¡plos de 6: M(6) = 6N “” 16, 12, 18,24,30, … 1
3) M14) n M16) – {12, 24, … )
4) El menor de ellos, 12, es el mínimo común múltiplo_
m e m (4, 6) “” 12
Si en lugar de dos números naturales tuviéramos tres a, b y c el procedimiento
sería análogo
1) Hallar los múltiplos de a. M{a) = aN
2) Hallar los múltiplos de b: M(b) = bN
3) Hallar los múltiplos de C” M(c) = eN
4) Obtener los múltiplos comunes de a, b y C” M(a) n M{b) n M(c),
5) El menor de ellos es el mínimo común múltiplo.
Ejemplo 2 Hallar m e m (4, 6, 9)
1) M(4) – 4N – {4, 8, 12, 16,20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48,
52, .)
2) M16) ~ 6N ~ 16, 12, 18,24,30.36,42,48,54,60,
3) M19) – 9N – 19,18,27,36.45,54,63,72, )
4) M14) n M16) n M19) – 136,)
m e m (4, 6, 9) – 36
Otra forma de obtener el mínimo común múltiplo es utilizando la representación
gráfica. Sobre dos líneas ponemos los factores primos de cada número
y el producto de los factores existentes una vez efectuada la intersección
de las dos líneas es el mínimo común múltiplo.
Así los números 4 y 6
4=2’y6=2×3
2 _____ _
m c m, (4, 6) = 2 x 2 x 3 = 12
Si en lugar de tener dos números naturales tuviéramos tres, el procedimiento
es análogo
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Ejemplo 3 Obtener m. c. m (45, 60, 75)
3
45 ., :Fx5
60 .. 22 X 3 x5
75 – 3 x 51
m e m. (45. 60. 75) .. 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 5 .. 900
También se puede determinar el m. c. m de dos o más núme ros sin n e ~
cesidad de hacer representaciones gráficas, pues los elementos señalados
son aquellos factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente
El mínimo común múltiplo de dos o más números se obtiene multiplican do
los factores primos comunes y no comunes eleuodos al mayor exponente
Ejemplo 4. Determinar m e m (48, 270)
48 _ 2t x3 y 270-2×31 x5
lactares comunes elevados al meyor exponente son 24 y 3) y no comunes
es 5
m e m (48. 270) .. 2( x 33 X 5 = 2160
Ejemplo 5. Determínar m e m H80 . 420, 900J
180 .. 22 x 31 X 5
420 _ 2t x 3 x 5 x 7
900_2lx31 x 52
m e m (U~O , 420, 900J “” 22 X 32 X 51 x 7 .. 6300
PROPIEDADES
1 S. dos números se multiplican o di viden por un tercero su m. e m
queda multiplicado o dividido por d ,cho número.
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Sean a, b E N Y n E N
~Si m e m (a, b) = M => m. c. m (an, bn) – Mn
-Si m. c. m (a, b) … M => m e m ( -“- ~) n n
M
n
Ejemplo 6
Si m_ c. m (4,6) – 12
multiplicando por 2 => m c m (4 x 2, 6 x 2) 12 x 2
En efecto
m. c m (8, 12) – 24 pues 2 x 4 _ 8 _ 23 y 6 x 2 _ 22 X 3
Ejemplo 7.
Si m e m. (4, 6) – 12
dividiendo por 2 => m c m (~, ~,) – ~ 2
En efecto
m c. m (2, 3) = 6
2, Todo múltiplo común de dos números lo es también de su mínimo
común múltiplo (m. e, m.J.
Si a, b, m EN siendo m – á Y m – b => m = m, c. m. (a. b¡
Ejemplo 8
Si 20 = 2 Y 20 = 5 entonces
20 = m. c, m (2, 5)
ya que m c m (2,5) “” 10 y 20 = 10
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8. Teorema fundamental
TEOREMA. El máximo común divisor por el mínimo común múltiplo de
dos números naturales a y b es igual al producto de dichos números.
m, c, d. (a, b) x m c. m (a, b) = a x b
En efecto:
Sea m E N un múltiplo de a y de b verificándose
m – a.·~ 3 P EN 1 m – ap } ap = bq
m – b~3qENlm~bq
(1)
Si llamamos D al m c. d (a, b) se tiene
ffi. C d. (a, b) – D –
= Da’
~ Db’
siendo m e d la’, b’) – 1
Sustituyendo estos valores en (1) queda
Da’p = Db’q ~ a’p = b’q
como a’ y b’ son primos entre sí y b’ /a’p – b’ /p y 3 k E NI p – k b’
Y como m – múltiplo común de a y b
m = á = ap = akb’ = a ~ k
D
dando a k el valor 1 se obtiene el menor de los múltiplos comunes es decir
el m e m
m, c. m. (a, b) a x b
m e d. (a, b)
m c. d. (a, b) x m c, m. (a, b) = a x b
Ejemplo 1 Dados los números 45 y 60
45 _ 32 x5 y 60=22 x3x5
m e d (45, 60) = 3 x 5 ‘” 15
m e m (45, 60) = 22 X 32 X 5 = 180
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cumpliéndose que
m o d_ (a, b) x m
15 x 180
e m (a, b) – a x b
45 x 60
CONSECUENCIAS
1, Si dos números son primos entre sr su m e m es su producto,
En efecto
Si a y b son primos entre sí m. e d (a, b) – 1
luego·
m e d (a, b) x m_ e m (a, b) = a x b
se transforma en
m e m (a, b) = a x b
Ejemplo 2 Dados los números 40 y 27
40 – 2lX5 y 27 _ 33
m e d (40, 27) = 1
m e m, (40,27) = 23 x 5 X 33 “‘” 1080
Se cumple que
m , m (40, 27)
1080 … 40 x
40 x 27
27
2 Los cocientes de dividrr el mínimo común múltiplo de dos números
por cada uno de ellos son primos entre sí
De la igualdad fundamental
m c m (a, b) a x b
m. e, d. (a, b)
dividIendo por a los dos miembros de (1)
m , m (a, b)
~
b
a m , d. (a. bl
b
D
(1)
– b’
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dividiendo por b los dos miembros de (1)
m. c. m (a, b) – a b m. e d la, b)
=~ … a’
D
Por tanto
m e d. (a’, b ‘ ) = m. c. d. (m c m
. a
la, b) m. c. m. (a, b) ) _ 1
b
Ejemplo 3. Dados los números 4 y 6
m e m (4, 6) … 12
Se cumple
m e d
’12 12′
(4′ 6) – m ,d 13, 2) – 1
La igualdad fundamental que hemos demostrado nos permite determinar
el m. e m de dos números utilizando el Algoritmo de Euclides. Para eHo se
obtiene el m c. d por el procedimiento ya descrito y posteriormente
a x b
m. c. m. (a, b) = –”-;dé-C’—b”-
m e . la, )
Ejemplo 4 Determinar m c. m (150, 54) por el Algoritmo de
Euclides
2 1 3
150 54 42 12
42 12 6 O
m. c. m (150, 54) =
2
6
54 x 150
6
m e d. 050, 54) “” 6
Q 8100 _ 1350
6
9. El retículo distributivo de los números naturales respecto a O y M
PROPIEDADES DEL MAXIMO COMUN DIVISOR D. Dados dos nú’
meros naturales a y b el máximo común divisor lo expresamos así
m. c. d. la, b) – Dla, b) – a D b
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para poder establecer las propiedades siguientes
1 Conmutativa: ‘” a, b E N:
2_ Asociativa_ V a, b, c E N·
2_ ldempotente. V a E N
aDb~bDa
la D biD e – a Dlb D el
a D a = a
PROPIEDADES DEL MINIMO COMUN MULTIPLO M Dados dos números
naturales a y b el mínimo común múltiplo lo expresamos así
m. c. m. (a, b) = M(a, b) = a M b
para poder establecer las propiedades siguientes
1 Conmutativa V a, b E N
2_ Asociativa: V a, b, c E N:
3. ldempotente,· V a E N:
PROPIEDADES COMUNES
1, Simplíficativa.’ V a, b E N
(a D b)M a = a
2 Distributiva: V a, b, e E N
a Dlb M el ~ la D bl Mla Del
aMb=bMa
la M blM e – a Mlb M el
a M a – a
(a M b) Da = a
a Mlb D el ~ la M bl D la M el
Por cumplirse las propiedades conmutativa, asociativa , idempotente,
simplificativa y distributiva respecto de las operaciones máximo común divisor
(O) y mínimo común múltiplo (M) el conjunto de los números naturales
es un retículo distributivo.
Ejemplo 1 Dados los números 4 y 6 la proPiedad simplificativa se
comprueba así
4 D 6 – 2 6 D 4 – 2
14 D 6) M 4 – 2 M 4 – 4 (6 D 4) M 6 – 2 M 6 – 6
y 4M6o=;.12 y 6 M 4 = 12
(4 M 6) D 4 “” 12 D 4 __ 4 (6 M 4) D 4 ~ 12 D 4 – 4
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Ejemplo 2 Dados los números naturales 4,6 y 10 las propiedades
distributivas se comprueban así
11 4 D (6 M 101 – (4 D 61 M (4 D 101
4 D 30 2M2
2 2
21 4M(6D 101 – (4 M 61 D (4 M 101
4 M 2 12 D 20
4 4
10. Divisibilidad en Z
DEFINICIONES. Dados dos números a y b decimos que a es múltiplo
de b
a = b <:> 3 pEZ I a bp
También se dice que a es divisible por b
Ejemplo 1.
-12 2 porque 3 -6EZI-12 – 2 X (-61
-12 – 3 porque 3 -4 E Z 1-12 – 3 X (-4)
-45 – 9 porque 3 – 5 E Z I – 45 – 9 X (- 51
Dados dos números a, b E Z decimos que b divide a a
bla <:> 3 pEZ I a = bp
Si a es divisible por b entonces b divide a a
Si a es múltiplo de b entonces b divide a a
Son relaciones inversas
Ejemplo 2.
4/-8 porque
– 2/10 parque
– 6/- 18 porque
-8=4x(-2)
10 ~ (-21 x (-51
-18 – (-6Ix 3
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PROPIEDADES, La relación de divisibilidad definida en el conjunto Z de
los números enteros es una relación de preorden, ya que no cumple la propiedad
antisimétrica pues
‘V a, b E Z si a/b y b/a 1- a b
puesto que
Si aíb ~ 3 pEZ! ap … b
Si b”3=)3qEZ!a=bq
b – bpq = 1 – pq
pero como p y q E Z pueden ocurrir dos casos
p – q – 1 6 p – q – -1
Para el primer caso si se verifica la propiedad antisimétrica pero no en el
segundo y por lo tanto no podemos generalizar dicha propiedad.
Nota El resto de las propiedades, operaciones, definiciones, etc, definidas
en N, se pueden extender al conjunto Z de los números enteros variando
simplemente la nomenclatura,
11. Congruencias
NUMEROS CONGRUENTES, Dos números a y b son congruentes m6-
dulo m, siendo m E N, cuando dan el mismo resto al ser divididos por m
Se escribe
a ~ b (m)
siendo a – mq + r y b – mq’ + r
También se puede definir del siguiente modo: Dos números son congruentes
m6du/o m cuando su diferencia es múltiplo de m
a El b(m) *> a – b … ro
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En efecto’
SI a b (m) – a – mq + r
b _ mq ‘ + r
a-b _ mq-mq’ = m(q-q ‘ ) “‘” m
Ejemplo 1 Los números 25 y 19 son congruentes módulo 3 pues
25-8×3 +1
19 – 6 x 3 + 1
al ser divididos por 3 dan como resto 1
También su diferencia es múltiplo de 3: 25 – 19 – 6 – 3
CLASES RESIDUALES MODULO m La relación de congruencia establecida
en el conjunto Z de los números enteros es una relación de equivalencia
por cumplir las propiedades
J. Reflexiva ‘ Va E Z a;¡¡ a(m) pues a – a “” O “‘” m
2. SiméJrica: V a. bE Z Si a Si! b(m) = b ~ a(m)
pues a – b = ro ~ b -a – ni
3 . Transitiva” Va, b, c E Z SI a … b(m) y b s c(m) = a l!I!I c(m)
La demostración es inmediala
Si a!’!! b(m) = a – b == ni
Si b!’!! c(m) = b – e – m
Sumando m. a . m. : a – b + b – c – m + m = m
a – c – rO = a – c(m)
Esta relación de equivalencia origina una partición en el conjunto Z y las
clases de equivalencia reciben el nombre de clases residuales módulo m. Cada
clase contiene todos los números enteros congruentes entre sí. El conjunlo
cociente está representado por
– – –
Z/m – 10, 1, 2, m – 11
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0= l … – 3m, – 2m. -m, O. m, 2m, 3m, .. 1
está formado por todos aquellos números enteros que al ser divididos por m
dan de resto O
i = l … , -3m + 1, -2m + 1, – m + 1, 1. ro + 1, 2m + 1. 3m + 1. .. I
está formado por todos aquellos números enteros que al ser divididos por m
dan de resto 1
Análogamente con las demás clases.
Ejemplo 2 Las clases residuales módulo 3 son
Z/3 – 10. 1. 21
O – l . – 9. – 6. -3, O. 3, 6, 9,1
1 – 1 -8, – 5. -2, 1, 4, 7 …. 1
2 ~ 1 .. . , – 7, -4, -1,2,5,8, … 1
SUMA DE CONGRUENCIAS. La suma de dos congruencias respecto
de un módulo m es otra congruencia respecto del mismo módulo
a ¡¡;¡ b (m) ~ a
a ‘ = b'(m) cot a
b = m .,.” mp
b’ = ni “” mq
sumando ffi . 3 . m .: la + 3 ‘ 1 – lb + b ‘ ) – mlp + q)
a + a’ ;;;; b + b’ (m)
Ejemplo 3
Si 24 i!!!I 12(2) Y 13 ‘”” 7(2)
24 + 13 = 12 + 7(2) – 37 • 19(2)
RESTA DE CONGRUENCIAS. La diferencia de dos congruencias respecto
de un módulo m es otra congruencia respecto del mismo módulo
a:;>”‘!b(m)~a
a’ ;;;; b'(m) ~ a’
b
b’
ri1 – mp
ri1 == mq
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restando m a m . la – a’) – lb – b’) – mlp – q) – m
o – a’ ;¡¡ b – b’ (m)
Ejemplo 4 .
Si 24 “‘” 12(2) Y 13 . 7(2)
24 – 13 • 12 – 7(2) => 11 “” 5(2)
PROPIEDADES DE LA SUMA y DE LA RESTA. Se puede suma< y restar el mismo número a Jos dos miembros de una congruencia resultando otra congruencia respecto del mismo módulo a == b(m) et a - b = m e == e (m) CoO e - e = m mp O x m sumando rn . a. m : la + e) - lb + e) - m Ip + O) - m a + C Si b + e (m) restando m a m.· la - el - lb - e) - m Ip - O) - m a - e ¡;;¡ b - c(m) Ejemplo S. Si 35 ¡¡¡ 15(4) y 7 == 7(4) sumando y re~tand o m. ~ . rn . se llene 42 • 22(4) y 28 E 8(4) MUL T1PUCACION DE CONGRUENCIAS. El p a :;¡¡¡ a (m)
multiplicar por b: 101 .. TI (m) – 10 b “!!!!! rl b (m)
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multiplicar por c: 10′ = rz {m} ~ 102c!ii;;lrzc (m)
multiplicar por d: lO’ ~ r3 (m) ~ 103 d == r3 d (m)
multiplicar por e: 10′ ~ r. (m) ~ 10·e==r.e (m)
multiplicar por f: 10′ m ” (m) ~ 105 f – r5 f (m)
multiplicar por g: lO’ = ” (m) ~ 106 9 == r, 9 (m)
multiplicar por h. 10′ = ” (m) ~ 107 h == r7 h (m)
y sumando miembro a miembro resulta:
a + 10 b + 102 C + 103 d + lO· e + 105 f.+ lO’ 9 + 107 h =:
== a + rl b + r2 c + r3 d + r. e + r5 f + r6 9 + C1 h (m)
recordando la expresión del apartado anterior
n == a + r1 b + r2 c + r3 d + r4 e + r5 f + r6 9 + r7 h (m) r·)
– Divisibilidad por 2. Sustituyendo en la expresión (.) m por 2 y los restos
por los valores obtenidos en la tabla. se obtiene
n “‘5’ a + O ‘ b + O c +. (2)
n == a (2)
La condición de divisibilidad por 2 es que el número termine en cero o
en cifra par
– Divisibilidad por 3. Sustituyendo en la expresión (.) m por 3 y los restos
por los valores obtenidos en la tabla, se obtiene
n == a + b + c + d + e + f + 9 + h (3)
La condici6n de divisibilidad por 3 es que la suma de sus cifras sea divisible
por 3.
-Divisibilidad por 4. Sustituyendo como en casos anteriores en (.) m
por 4 y tomando los restos de la tabla se obtiene
n == a + 2 b + O c + (4)
n == a + 2 b (4)
La condición de divisibilidad por 4 es que lo sea la suma de las unidades
más el duplo de las decenas
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Ejemplo 2 El número 9872 es divisible por 4 porque
2 + 2 7 – 16 – 4
En efecto 9872 – 4 x 2468
-Divisibilidad por 5 Repitiendo el proceso anterior y siendo m = 5 Y
tomando la fila de restos potenciales correspondiente se obtiene
n == a + O b + O . c + .. (5)
n == a (S)
La condición de divisibilidad por 5 es que el número termine en cero o
en cinco
-Divisibilidad por 6. Tomando la fila correspondiente a m = 6 y sustituyendo
en (.) resulta
n == a + 4b + 4c + 4d + 4e + 4/+ 4g + 4h
-Divisibilidad por 7. Tomando la fila correspondiente a m
tiene
(6)
7 se obn
== a + 3 b + 2 e – d – 3 e – 2 / + 9 + 3 h (7)
Ejemplo 3 ¿Son divisibles por 7 los números 49815 y 106981
El número 49815: 5 + 3 1 + 8 2 – 9 – 3 . 4 – 3 *- 1
no es divisible por 7.
El número 106981 1 + 3 . 8 + 2 9 – 6 – 3 O – 2 1
~ 35 ~ 7
si es divisible por 7.
– Divisibilidad por 8. Tomando la tila correspondiente a m
tiene al sustituir en (*)
n == a + 2 b + 4 e + O d + (8)
n ¡¡;¡ a + 2 b + 4 e (8)
8 se ob-
-Divisibilidad por 9. Tomando la fila correspondiente a m = 9 se obtiene
al sustituir en (.)
n == a + b + e + d + e + f + 9 + h (9)
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– Divisibilidad por 11, Siguiendo análogo procedimIento
n ;;;!! a – b + c – d + e – f + 9 – h (11)
Ejemplo 4_ ¿Cuánto vale x para que el número 47×2859 sea divisible
por 11?
9 – 5 + 8 – 2 + x – 7 + 4 – 11 ~ 7 + x – 11 ~ x – 4
– Divisibilidad por 13 Considerando los restos potenciales obtenidos en
el eJemplo]
n “” a – 3 b + 9 c – d + 3 e – 9 f + 9 – 3 h (13)
Ejemplo 5_ ¿Cuánto vale x para que el número 76x 851 sea divisible
por 13?
1-35+9 k-x+3 6-9 7 – Ú
13 – x – 13 ~ x ~ O
El número es 760_851
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EJERCICIOS RESUELTOS
1. Demostrar que si n es un número par Jos siguientes números son múltiplos
de 8
a) n(n1 + 4) b) l1(n2 – 4)
Solución
Si n – ¿ “‘> 3 k E N I n – 2k, luego
al n(n2 + 4) 2k(4kZ + 4) 8k{k2 + 1) 8
b) n(n2 – 4) “” 2k(4k2 – 4) _ 8k(k2 – 1) 8
2. Demostrar que sí n es un número par los siguientes números son múltiplos
de 8
a) n(n 2 + 20) b) n(n1 – 20)
Solución
Si n = 2 => 3 k E N In.,., 2k, luego
al n(n1 + 20) – 2k(4k2 + 20) 8k(k2 + 5) 8
b) n(n2 – 20) = 2k(4k2 – 20) _ 8k(k2 – 5) 8
3. Demostrar que cualquiera que sea el número natural n se cumple
es múltiplo de 24
Solución
En efecto
nS _5nl +4n
n + 2
n5 – 5n3 + 4n
n + 2
= (n – 2) (n – 1) n(n + 1) (n + 2) _ (n _ 2) (n _ 1) n(n + 1)
n + 2
que es el producto de cuatro números consecutivos y como sabemos que en cuatro
números consecutivos siempre hay uno par que es múltiplo de 2, uno impar múltiplo
de 3 y otro p,n múltiplo de 4_
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Siempre se verifica que
(n – 2) (n – 1) n(n + 1) – 24
4. Demostrar que n7 – n es siempre divisible por 6
Solución
Llamando N
n _ n(n6 – 1) – n(n + 1) (n – 1) (n4 + n2 + 1)
De aquí
(n – 1) n(n + 1) – 6
ya que al ser tres números consecutivos cualquiera que sea el valor de n sIempre
será 2 y 3, por lo tanto 6.
Luego
N 6
5. Hallar un número que contenga exdusiuamente al 2 y al 3 como factores
primos y tal que el número total de sus divisores sea la tercera parte del total de dí
visores de su cuadrado.
Solución
Sea el número n = 2’ 3-‘ Y su cuadrado nl _ (2′ 3·)2 = 22, 32>
El número de divisores de n es: N – (x + 1) (y + 1)
El número de divisores de n2 es: N’ = (2x + 1) (2y + 1)
cumpliéndose N’ = 3N
operando
(2x + 1) (2y + 1) – 3(x + 1) (y + 1)
4xy + 2x + 2y + 1 – 3xy + 3x + 3y + 3
xy=x+y+2
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dando valores
,
I
2 3 4 5 6
y 4 2
Hay dos soluciones , -2, y – 4 x – 4. y 2
n = 2′ 3′ 324
n – 2′ 3′ 144
6. Hallar todos los divisores de 1 512
Solución
1512 2
756 2
378 2
189 3
63 3
21 3
7 7
1
1512 ;. 23 x 33 X 7
Los diVIsores son’
El número total es
1
3
9
27
7
21
63
189
2
6
18
54
14
42
126
328
4
12
36
108
28
84
252
756
8
24
72
216
56
168
504
1512
N – (3 + 1) (3 + 1) 11 + 1) – 32
1. Hollar dos números cuyo m e _ d _ seo 9 sobiendo que los cocientes obren
dos en su determfnadón aplicando el algoritmo de Euclides son 9. 2. 3. 35 en o
den inverso
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Solución
Colocando la tabla
35 3 2 9
a b ‘. ” 9
‘. ” 9 O
TZ … 9 9 – 81
rl = 81 2 + 9 – 171
b 171 3 + 81 _ 594
a = 594 35 + 171 = 20961
Luego los números son a … 20961 y b = 594
8. Hollar dos números cuyo m c. d. es 18, sabiendo que uno tiene 21 divisores
y el otro 10 divisores
Solución
Sea D – m e d (a, b) – 18 … 2 :V
Por otra parte el número de divisores de los números es
21
10
3
2
7
5
(o: + 1) (f3
(o:’ + 1) (f3′
+ 1) => o:
+ 1)
2 Y ~
=> 0:’ “” 1 Y ¡3′
– 6
4
Por tanto los números a y b tienen que contener los mismos factores primos
de D
a _ 2Z 36 6 a _ 26 3z
b 21 34
De las dos posibilidades del número a s6lo es valido
a – 26 32 ya que en el otro caso D > 18
Luego
a ., 21i 32 “” 576 Y b “‘” 2 34 – 162
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9. En el contorno de un campo triangular de lados 96, I20 y 132 metros respectIVamente
se han plantado 6rboles igualmente espaciados Calcular el número
de 6rboles plantados sabiendo que hay uno en ruda uértice V que la distancia entre
dos conseculiUos es la m6xlma posible
Soluci6n
m, e d. (96, 120, 132) ‘”‘ 12
N o de árboles = 96 + 120 + 132 … 29
12
10. Calcular el uolumen míntmo que debe lener un recipiente para que se
pueda llenar con un núme ro exacto de uasijas de 5 litros. 8 filras y 12 litros de capaCIdad
(Oposición E G.B , 1980)
Soluci6n
m c m (5, 8. 12) – 5 x 8 x 3 – 120 litros
11 . Hollar el mayor número que dIVide 0127.187 V 427 dejando en todos
los casos resto 7.
Soluci6n
El mayor número pedido ha de dividir exactamente a
127 – 7, 187 – 7 y a 427 – 7
m e d 1120. 180. 4201 – 60
12. El m e d de dos nlÍmeros es 10 y su m. e m. es 240 ¿Cuáles son dichos
nlÍmeros”
Solución
m , c. d . (a, b) – O “” 10
a – a’ O – lOa ‘
b – b’ D – IOb ‘
ffi . e m. (a, b) x ffi . C. d (a. b) _ a x b
240 x 10 _ 8 ‘ X 10 x b ‘ x 10 _ a’b ‘ 24
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a’ – 1
a = 1
a – 3
y b’ – 24
10 – 10 Y
10 😮 30 y
6 a’ – 3 y b’ – 8
b ~ 24 10 – 240 Ó
b – 8 10 ~ 80
luego
13. Hallar dos números sabiendo que su diferencia es 240 y su m e m es
1260_
Solución
Sea a “” a’ O y b = b’D
a – b – a’O – b’O – (a’ – b’)O – 240 (1)
dividiendo (1) por (2)
Luego
a x b .., a’ O x b’ O = M x O
a’ b’O – M – 1260 (2)
a’ – b’
a’ b’
240
1260
4
21
a – b’ – 4
– 7 y b’ – 3
Por tanto
D ~ 240
a’ – b’
a’b’ – 21
_ 240 _ 60
4
r a – a’ O “” 7 x 60 = 420
y í b – b’ O – 3 x 60 – ISO
14. Hallar dos números toles que su sumo seo 1090 y su m e m 4200
Solución
Se tiene a + b = 1090
m. , m (i’!, b) – 4200
a b = OM
a’O b’O – DM
a’ b’D – M – 4200 (1)
a’O+b’O ~ la’ + b’)O -= 1090 (2)
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Dividiendo ! 1) por (2)
a ‘ b’ 4200 420 o – —
a ‘ + b’ 1090 109
a ‘ b ‘ – 420 } a’ b’ – 4 Y
a’ +b’-109
D – _ M_ _ 4200 _ 10
a ‘ b’ 420
.. 105
a ~ a ‘ O … 4 x 10 .,. 40 y b = b ‘ O .. 105 x 10 .. 1050
15. Hallar dos números sabiendo que su m c, d, es 12 y la diferencia de sus
cuadrados 7344
Solución
aZ – b2 .. (21 ‘ 1 – b ‘ Z)D2 .. (a’ + b ‘) (a’ – b’)D2 = 7344
de donde
Luego
(a ‘ + b’) (a’ – b’) .. 7344 “” 51 _ 17 x 3
12′
“,a -lOyb ‘ = 7
a _ a’ O .. 10 x 12 .. 120
b _ b ‘ D .. 7 x 12 .. 84
16. Dadas /05 congruencias
725 _ 437 (m)
533 ~ 125 (m)
Ca/cufar los pOSIbles !Ja/ores de m
Soludón
Por definic.ón
725 ~ 437 (m) – 725
533 Ii! 125 (m) – 533
437 – 288 – m
125 .. 408 – m
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m será a la vez divisor de 288 y 408 por lo ta nto será divisor de su m e d ,
m. c. d (288.408) – 24
Los divisores de 24 son 0 (24) “” ! 1. 2 . 3. 4, 6, 8. 12. 241 cual quiera de estos
números es el valor de m.
17. Deducir el criterio de divisibilidad por 13 en el sistema decimal y determi·
nar el valor de a en la expresión 2345 a 78 para que resulte un número divisible
por 13
Soluci6n
Por restos pote nciales
10′ ~ 1 (13)
101 ¡;; 10 E – 3 (1 3)
1()2 Iii 9 “” -4 (13)
103 .. 12 .. -1 ( 3)
l Q4 .’ 3 (13)
105 :; 4 (13)
106 == 1 (13)
1000000
90
120
30
40
1
los restos potenciales módulo m
L.!L
76923
El número 2345 a 78 para que resulte divisible por 13 tiene que ocurrir
1 8 – 3 . 7 – 4a – 1 5 + 3 4 + 4 3 + 1 2 – 13
8 – 4a – 13 – a – 2
El número es 2345278
18. Deducir el criterio de divis ibilidad por 7 en el sistema decimal V determinar
el valor que debe darse a la Cifra a para que el número 321 a 46 sea divisible por 7
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Solucl6n
Por restos potenciales
n … UI + 3u¡ + 2u)
6+34+2a
f) + 2a
u4 – 3us – 2u, + U ¡ (7)
1 32 – 2 ‘ 3-7
7 => a – 1
El número pedido es 321146
19. El número de págmas de un libro es mayor que 400 v menor que 500 Si
se cuentan de 2 en 2. sobra una; de 3 en 3 sobran dos, de 5 en 5 sobran cuatro V
de 7 en 7. sobran seis. ¿Cuánlas págmas liene el libro?
(OposiCIón E G B., 1982)
Solución
Siendo n el número de páginas del libro
n + – 2
n + 2 3
n + 4 [,
n + 6 7
m c m (2, 3, 5. 7) – 420
De la primera n = 419
De la segunda. n – 418
De la tercera’ n = 41~
De la cuarta . n – 414
De los CUlIlrO sólo es v6lido el pJim~r o 419 que cumple 1″$ condiciones establecidas
Otra forma de resolverlo habtla SIdo imponiendo la última condiCión ‘7 + 6 encontrando
los números entre 400 y 500 que la cumplen
412,419,426,433,440,447 . 454,461 ,468, 475,482,489,496
y después ir imponiendo las otras condiciones 5 + 4, 3 + 2 Y 2 + 1 hasta llegar
a que
n – 419