DIVISIBILIDAD EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

Share Button






Al terminar el estudio de este capítulo el alumno será capaz de:
* Reconocer los divisores y múltiplos de un número entero .
* Efectuar operaciones con múltiplos.
* Determinar el residuo que se obtiene al dividir un número entre otro, sin efectuar la división.
* Resolver problemas usando los principios básicos de divisibilidad.
*Obtener los múltiplos de un determinado módulo y que reúna ciertas condiciones.
* Conocer los criterios de divisibilidad en diferentes sistemas de numeración.
* Calcular valores enteros en ecuaciones que poseen dos o más incógnitas, aplicando los principios y criterios de divisibilidad.
* Manejar los principios básicos en las operaciones de los números como parte del estudio de la teoría de los números.
*Conocer los restos potenciales respecto a un módulo.
divisibilidad
Parte de la matemática que estudia las condiciones que debe reunir un número para que se pueda dividir en forma exacta por otro.
CLICK AQUI PARA VER PDF    ****
CLICK AQUI PARA VER PDF 1   ****
CLICK AQUI PARA VER PDF 2   ****
 
CLICK AQUI PARA VER PDF 3   ****
**
 
CLICK AQUI PARA VER PDF 4   ****
**
 
CLICK AQUI PARA VER PDF 5   ****
DEFINICIÓN:
Un número entero “A” es divisible entre otro entero positivo “B”, si la división de “A” entre “B” es exacta, es decir el cociente es entero y el residuo es igual a cero.

1. DIVISIBILIDAD
La divisibilidad es una parte de la teoría de los números que analiza cada una de las condiciones que debe tener un número para que sea divisible por otro.
¿Y cuándo un número es divisible por otro?

2. NÚMERO DIVISIBLE
Un número entero “A” es divisible entre un entero positivo “B” si al dividir “A” entre “B” la divisiòn entera es exacta, es decir, el residuo es igual a cero.
Ejemplo inductivo:

a. Averiguar si 72 es divisible entre 6, veamos:

entonces, como la división es exacta, podemos afirmar que: 72 es divisible entre 6 o también 6 es divisor de 72.

b. Averiguar si 143 es divisible entre 11, veamos:

entonces, como la división es exacta, podemos afirmar que 143 es divisible entre 11 o también 11 es divisor de 143.

De los ejemplos anteriores, según su algoritmo sería: D = d × q

a. 72 = 6(12) b. 143 = 11(13)

En (a) 6 es factor de 72
En (b) 11 es factor de 143

En general: “A” es divisible por “B”, si y solo si:

3. Divisor o FACTOR de un número
Es el número que está contenido en el primero un número exacto de veces, también se le conocen como submúltiplos; así por ejemplo: 4 es submúltiplo de 24 porque está contenido en 24 seis veces; 8 es factor o divisor de 64 porqué está contenido en 64 ocho veces. Los divisores de un número se llaman PARTES ALÍCUOTAS (partes iguales) de ese número. Así 5 es divisor de 20 y es una parte alícuota de 20 porque 20 puede dividirse en 4 partes iguales que cada una vale 5; 4 también es una parte alícuota de 20 porque 20 puede dividirse en 5 partes iguales que cada una valga 4.

Parte alÍcuota de un número es, por tanto, una de las partes iguales en que se puede dividir dicho número.

Ejemplo: Halle los divisores o factores de:

a. 24 Þ D24 = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}
b. 45 Þ D45 = {1; 3; 5; 9;15; 45}
c. 13 Þ D13 = {1; 13}

De los ejemplos anteriores, podemos deducir lo siguiente:

i. El 1 aparece como divisor o factor de todos los números.

ii. Todo número tiene una cantidad finita de divisores.

iii. Si tiene 2 divisores como el 13 le llamaremos NÚMERO PRIMO y si tiene más de 2 divisores como el 24 y el 45 los llamaremos NÚMEROS COMPUESTOS.

El término “divisibilidad” viene asociado siempre al término “multiplicidad”, así tenemos que:

4. MULTIPLICIDAD
Un número entero “A” es múltiplo de otro entero “B”, si “A” contiene a “B” un número exacto y entero de veces

Ejemplo inductivo:

a. Averiguar si 72 es múltiplo de 6
Veamos: para reproducir al 72 necesito 12 veces el valor de 6, entonces: 72 = 6(12), por lo que 72 entonces es múltiplo de 6.

b. Averiguar si 143 es múltiplo de 11;
Veamos: para reproducir 143 necesito 13 veces el valor de 11, entonces:
143 = 11(13), por lo que 143 entonces es múltiplo de 11.

En general “A” es múltiplo de “B”, si y sólo si: ; es decir: A = BK
donde “K” es el número de veces que “A” contiene a “B”
Además, los múltiplos de un número se forman MULTIPLICANDO este número por la serie infinita de los números naturales: 1; 2; 3; . . . .; luego, todo número tiene infinitos múltiplos. Así por ejemplo los múltiplos de 5 son:
1 × 5; 2 × 5; 3 × 5; . . . ; y cada uno de ellos se puede expresar como m5 (múltiplo de 5) ó 5 (múltiplo de 5)
m5 ó 5 = 1 × 5; 2 × 5; 3 × 5; . . . .

Ejemplo: Escribe los primeros 10 múltiplos de:

a. 3: 1 × 3; 2 × 3; 3 × 3; 4 × 3; 5 × 3; 6 × 3; 7 × 3; 8 × 3; 9 × 3; 10 × 3
3: 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30

b. 6; 1 × 6; 2 × 6; 3 × 6; 4 × 6; 5 × 6; 6 × 6; 7 × 6; 8 × 6; 9 × 6; 10 × 6
6: 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; 60

c. 13: 1 × 13; 2 × 13; 3 × 13; 4 × 13; 5 × 13; 6 × 13; 7 × 13; 8 × 13; 9 × 13; 10 × 13
13: 13; 26; 39; 52; 65; 78; 91; 104; 117; 130

En el campo numérico de los enteros Z, los múltiplos pueden ser negativos, además del 0, así por ejemplo:

* Los múltiplos de 15 son:

donde “k” es un entero cualquiera.

De todo esto podemos afirmar lo siguiente:
i. Todo número tiene INFINITOS múltiplos.
ii. El CERO es múltiplo de todos los números.
PROBLEMAS

1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

a. 35 = 5 ( )
b. 8 = 16 ( )
c. 111 = 37 ( )
d. 53 = 7 ( )
e. 26 = 13 ( )

2. ¿Cuáles son los múltiplos de 4 entre 20 y 30 inclusive?

3. ¿Cuál es la suma de cifras del mayor múltiplo de 13 de dos cifras?

4. Hallar la suma de divisores de 18.

5. ¿Cuántos números de 2 cifras son múltiplos de 17? ¿Cuáles son?

6. Si el número es múltiplo de 8, ¿cuántos valores puede tener “a”?

7. Del 1 al 80, ¿cuántos son 3?

8. ¿Cuál es la suma de las partes alícuotas de 12?

9. Relaciona correctamente:

a. 91 ( ) es un múltiplo de 8.
b. 154 ( ) es un múltiplo de 3.
c. 2000 ( ) es un múltiplo de 13.
d. 1941 ( ) es un múltiplo de 11

10. Si: A = {x/x es divisor de 14} y
B = {x/x es un divisor de 8}
hallar:

a. A È B b. A Ç B c. A – B d. B – A

TAREA DOMICILIARIA

1. ¿Cuántos números de dos cifras son 5?

2. Del 1 al 100, ¿cuántos números son 7?

3. Si el siguiente número: es divisible por 7, calcular el valor de “x”.

4. Del 1 al 80. ¿Cuántos números son 3?

5. Si: a < 10, hallar la suma de valores que puede tomar en: 3a + 1 = 7. 6. Hallar la suma de los valores de "a" en . 7. Siendo: M = {x/x es divisor de 12} y N = {x/x es divisor de 18}; hallar la suma de los elementos en: M Ç N. 8. Se tienen los siguientes conjuntos: A = {x/x es múltiplo de 4; x Î N}; B = {x/x Î N; "x" es múltiplo de 7} Hallar cuántos elementos tiene A Ç B si todos son de 2 cifras. 9. En un aula de 42 alumnos se sabe que de los hombres, la mitad usan lentes y los 2/13 son hinchas del Cienciano, ¿cuántas mujeres hay en el aula? 10. Si el siguiente número es divisible por 9. Calcular el valor de b2. Criterios de Divisibilidad Para saber en forma inmediata si un número es divisible entre otro, en algunos casos no es necesario efectuar la división correspondiente, porque bastará conocer algunas características de tal situación de divisibilidad; a estas características las conocemos como criterios de DIVISIBILIDAD y son los siguientes: a. Divisibilidad entre 2: Un número es divisible por 2 cuando termina en cero o cifra par. Así, si notamos a un número N de la forma: , diremos: N = 2 Þ d = 0 ó PAR (2; 4; 6; u 8) Ejemplo: • es 2; porque acaba en 2 que es cifra par. • es 2; porque acaba en 0 (cero) • no es 2; porque 5 no es cifra par. b. Divisibilidad entre 3: Un número es divisible por 3 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es múltiplo de 3. Entonces: Ejemplos: • 27 es 3, porque: 2 + 7 = 9 = 3 • es 3, porque: a - 1 + a + a + 1 = 3a = 3 • 503 no es 3, porque: 5 + 0 + 3 = 8 ¹ 3 c Divisibilidad entre 4: Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras de la derecha son ceros o forman un múltiplo de 4. En efecto, veamos: Ejemplos: • • • d. Divisibilidad entre 5: Un número es divisible por 5 cuando termina en cero (0) o cinco (5). Entonces: Ejemplos: • • • e Divivisibilidad entre 6: Un número es divisible por 6 si lo es por 2 y 3 a la vez, entonces: Ejemplos: • ¿51372 es 6? veamos: ¿es 2?, sí, porque termina en cifra par. ¿es 3?, sí, porque: 5 + 1 + 3 + 7 + 2 = 18 = 3 entonces: 51372 = 6 f. Divisibilidad entre 7: Un número será divisible por 7 si cumple con la siguiente regla: * Multiplicamos cada una de las cifras del número dado de derecha a izquierda por los siguientes factores: 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; 2; -1; -3; -2; . . . ; etc. * Sumamos los números enteros obtenidos. Si el resultado final es CERO o múltiplo de 7, el número dado será entonces divisible por 7. Entonces: Ejemplo: • • g. Divisibilidad entre 8: Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras de la derecha son ceros o forman un múltiplo de 8. Entonces: Ejemplo: • • • h. Divisibilidad entre 9: Un número es divisible por 9, cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es múltiplo de 9. Entonces: Ejemplo: • 351 es 9, porque: 3 + 5 + 1 = 9 = 9 • es 9, porque: 2a + 1 + 5a - 2 + 2a + 1 = 9a = 9 • 35879 no es 9, porque: 3 + 5 + 8 + 7 + 6 = 29 no es 9. i. Divisibilidad entre 11: Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par tomados de derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11. Entonces: Ejemplo: ¿Es 9873226 divisible por 11? * Sumamos primero las cifras de orden impar a partir de las cifras de las unidades: 6 + 2 + 7 + 9 = 24 . . . (I) * Sumamos luego las cifras de orden par a partir de la cifra de las decenas: 2 + 3 + 8 = 13 . . . (II) * Restemos: (II) de (I): 24 - 13 = 11 = 11 * Luego: 9873226 = 11 PROBLEMAS 1. Si se tienen los siguientes números: 12; 24; 38 y 41, decir, ¿cuál o cuales son divisible por 2? 2. Si se tienen los números: 124; 233; 666 y 429, ¿cuántos son divisibles por 3? 3. Si se tienen los números: 48; 64; 1200 y 5600, ¿cuántos son 4? 4. Si se tienen los números: ¿cuántos son divisibles por 5? 5. ¿Cuántos de los siguientes números: 12345; 43927 y 78900991, ¿cuál o cuáles son divisibles por 9? 6. De los números: 1000; 2410 y 2420, ¿cuál de los números es divisibles por 8? 7. Calcular cuánto debe de valer "a" para que el número 75a36a sea divisible por 9? 8. Si el numeral: es múltiplo de 5, ¿cuánto debe valer "a"? 9. Para que: sea múltiplo de 4, ¿cuántos valores puede tomar "x"? 10. Hallar "a"; si: TAREA DOMICILIARIA 1. Calcular "a", si: . 2. Calcular "a", si: . 3. Hallar "m", si: . 4. Dar el valor de "a + b", si: y . 5. Hallar el valor de "m" para que el numeral . 6. Calcule la suma de los posibles valores de "n", si: es múltiplo de 4. 7. Si al dividir entre 8 el residuo fue cero, calcular el valor de "a". 8. Si el numeral es múltiplo de 11, ¿cuál es el valor de "b"? 9. Calcule el máximo valor de "n", si: . 10. Calcule la suma de los valores que puede asumir "a", tal que:


INTRODUCCIÓN
La teoría de la divisibilidad adquiere un nuevo aspecto con la teoría de congruencias: GAUSS inventó este concepto, simple pero fecundo e importante en su monumental obra Disquisitiones Arithmeticae, publicada en 1801 cuando tenía 24 años. Se dice que a y b son congruentes módulo m y se escribe a º b (mod m) si los restos de dividir a y b por m son iguales o, en otros términos si (a – b) es múltiplo de m.
Otra de las grandes áreas de interés reside en la búsqueda de soluciones enteras de ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros. Debido a que Diofanto se ocupó de ellas se las denomina ecuaciones diofánticas y análisis diofántico a la parte de la teoría que las estudia.
La ecuación: 2×2 – y + 1 = 0
Tiene infinidad de soluciones; a cada valor de x le corresponde uno de y dado por:
y = 2×2 + 1

DIVISIBILIDAD I
La divisibilidad es parte de la teoría de los números que estudia las condiciones que debe tener un número entero para que se divida en forma exacta entre otro número entero.
Números divisibles
Un número entero A es divisible entre otro número entero positivo B si al dividir A entre B se tiene una división exacta.
Ejemplo:

Además:

En General:
Para

Además:

Notación:
Ejemplo:
Hallar los divisores de 10 y 18
10 : 1, 2, 5, 10
18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18
Ejemplo:
Indique los múltiplos de 7
Múltiplos de 7 7 · K
K …… –3 –2 –1 0 1 2 3 …..
7K …… –21 –14 –7 0 7 14 21 …..

1. El cero es múltiplo de todo número entero positivo.
0 = n (0)=
2. Todo número entero positivo es múltiplo de si mismo
n =
3. Todo número entero positivo es múltiplo de la unidad.
n = 1 · n =
4. Para no divisibles: si al dividir A entre B la división no es exacta, se obtendrá un residuo por defecto (rd ) y un residuo por exceso (re ) se cumple entonces:
A = + rd = – re
Ejemplos:

PROPIEDADES
1. Operaciones con múltiplos de igual módulo
Adición Sustracción

Multiplicación Potenciación

*

2. Si el producto de dos números es múltiplo de un módulo y uno de ellos no tiene ningún factor en común con dicho módulo, el otro número será múltiplo de dicho módulo.
Ejemplos:
*
*

3. Si A es múltiplo de B entonces el múltiplo de cada uno de los divisores de B.
Ejemplos:
Si:

4. Si A es múltiplo de B y también A es múltiplo de C entonces A es múltiplo del mínimo común múltiplo de B y C.

Consecuencia:

DIVISIBILIDAD II
ECUACIONES DIOFÁNTICAS
Son aquellas ecuaciones cuyas constantes son números enteros y sus incógnitas son números enteros positivos. Estas ecuaciones pueden tener dos o más incógnitas. La forma más común que se tiene para ecuaciones diofánticas es:
Ax + By = C
Donde: A, B, C, x, y deben ser números enteros. Para que la ecuación tenga solución se tiene la siguiente condición:

Ejemplo:
Halle las soluciones en
de 4x + 6y = 18
Como 18 = MCD (4, 6) = 2
Si tiene soluciones en

APLICACIONES UTILIZANDO LA
DIVISIBILIDAD Y EL BINOMIO DE NEWTON
Con formas de producto.
*
Donde: {R1, R2}
Ejemplos:
*

Con formas potenciales.

Ejemplo:

Debemos recordar que si el número 1 se eleva a cualquier exponente, este sigue siendo igual a uno.

RESTOS POTENCIALES
Si tenemos el número entero N se denominan restos potenciales con respecto al módulo m, a todos los residuos que dejan las potencias sucesivas y positivas de N al ser dividido entre m.
Ejemplo:
Halle los restos potenciales de 3 respecto al módulo 5:

30 = + 1
31 = + 3
32 = + 4
33 = + 2
34 = + 1
35 = + 3

Los restos potenciales son: 1, 3, 4, 2, 1, 3, ….

1. ¿Cuántos numerales de 3 cifras son m7?
A) 128 B) 129 C) 130
D) 131 E) 132

2. ¿Cuántos numerales de 4 cifras que empiezan en 4 son m11?
A) 90 B) 91 C) 92 D) 93 E) 94

3. ¿Cuántos numerales de 3 cifras son divisibles entre 3 o entre cinco pero no entre 2?
A) 150 B) 180 C) 210
D) 240 E) 270

4. ¿Cuántos numerales de 3 cifras son divisibles entre 4 o 13?
A) 180 B) 297 C) 243
D) 327 E) 277

5. ¿Cuántos numerales de 3 cifras son divisibles entre 3 pero no entre 4 ni entre 5?
A) 120 B) 150 C) 180
D) 210 E) 240

6. ¿Cuántos múltiplos de 6 terminados en 2 existen entre 120 y 1236?
A) 36 B) 37 C) 38 D) 39 E) 40

7. Si a un número m7 se le suma los 30 números consecutivos el resultado es:
A) m7 B) m7 + 1
C) m7 + 2 D) m7 + 3
E) m7 + 4

8. Del 2000 al 3000, ¿cuántos números son divisibles entre 7 pero no entre 13?
A) 128 B) 129 C) 130
D) 131 E) 132

9. Determinar el menor número que puede tomar el número si:

A) 11 B) 32 C) 12 D) 39 E) 13

10. En la siguiente sucesión:
8, 15, 22, 29, 36, …, 351 determinar la suma de todos los: (m8 + 6)
A) 972 B) 980 C) 988
D) 996 E) 1004

1. ¿Cuántos números de cinco cifras que terminan en 28 son (m19 + 12)?
A) 45 B) 46 C) 47 D) 48 E) 40

2. Determina el residuo de dividir:
S = 2! + 4! + 6! + 8! + … + 80! entre 7.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3. ¿Cuántos números de 3 cifras son m13?
A) 68 B) 69 C) 70 D) 71 E) 72

4. Del total de damas de una oficina son morenas, tienen ojos azules y son morenas con ojos azules. Si el número de damas es un número de tres cifras menor que 150, ¿cuántas no son morenas ni tienen ojos azules?
A) 12 B) 24 C) 36 D) 28 E) 35

5. En una reunión de 2 países asistieron 700 personas, se observa que del primer país los son abogados, los ingenieros y la 11ava. parte economistas. Averiguar con cuántas personas se presentó el otro país.
A) 305 B) 405 C) 315
D) 415 E) Faltan datos

6. Calcular m si:
A) 1 B) 5 C) 7 D) 8 E) 9

7. Calcular si:
A) 23 B) 25 C) 29 D) 30 E) 34

8. Calcular a si:
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

9. Calcular si:
A) 19 B) 34 C) 58
D) 70 E) A y D

10. Sabiendo que el numeral ¿cuál es el menor número que se le debe sumar a para que sea m23?
A) 10 B) 11 C) 1 D) 13 E) 14
INTRODUCCIÓN
Encontrar un número de la forma: tal que: .

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Un criterio de divisibilidad es una condición que deben cumplir las cifras de un numeral para que este sea divisible por otro.
Sea el número:

Criterios más usuales

1. Si: es divisible por 3, hallar la suma de todos los valores posibles de x.

Rpta.:

2. Son divisibles por 33:
I. 247645
II. 651921138
III. 19755186
IV. 2437284

Rpta.:

3. Si: , hallar (a + b).

Rpta.:

4. ¿Cuál es el resto que se obtiene al dividir 243784 entre 25?

Rpta.:

5. Calcular a · b si:

Rpta.:

6. Son divisibles por 11:
I. 258016
II. 67422
III. 432545
IV. 93659808

Rpta.:

7. Si: , calcular: a · b

Rpta.:

8. Sabiendo que: , hallar: a · b

Rpta.:

9. Hallar la suma de todos los valores de n si el número es divisible por 3.

Rpta.:

10. Determinar el valor de a para que el siguiente numeral sea múltiplo de 9.

Rpta.: