DIEDROS Y TRIEDROS EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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ÁNGULO DIEDRO
Es la figura geométrica formada por la unión de dos semiplanos que tienen en común una recta de origen a la cual se le denomina arista del ángulo diedro.
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ÁNGULO POlIEDRO
Es aquella figura geométrica determinada por tres o más regiones angulares que tienen el mismo vértice.
además dos regiones consecutivas deben estar en planos diferentes .
El punto común a todos los planos que limitan al ángulo poliedro recibe el nombre de vértice.
Las intersecciones de cada dos planos concurrentes consecutivos se denomina aristas.
Los ángulos formados por cada dos aristas consecutivas se denomina caras y los diedros formadas por cada dos caras consecutivas se llaman diedros del ángulo poliedro .
CLASiFiCaCióN :
Según sea el número de caras si tiene 3 caras , el ángulo poliedro se llama ángulo triedro , si tiene 4 caras se llama ángulo tetraedro , si tiene 5 caras se llama ángulo pentaedro , si tiene 6 caras se llama ángulo hexaedro. etc .
* ÁNGULO TRIEDRO : Si tiene 3 caras
* ÁNGULO TETAEDRO : Si tiene 4 caras
* ÁNGULO PENTAEDRO: Si tiene 5 caras
Cuando el número de caras es tres se puede suprimir la palabra ángulo y llamar simplemente triedro pero si es mas de tres no se puede suprimir la palabra ángulo , porque existen cuerpos geométricos llamados tetraedros , pentaedros , hexaedros , las cuales podrían confundirse .


ÁNGULO DIEDRO
Es la figura geométrica formada por la unión de dos semiplanos que tienen en común su recta de origen a la cual se le denomina arista del ángulo diedro.

Notación:
– Ángulo diedro ,
ángulo diedro
– : ángulo plano o rectilíneo del ángulo diedro.
– q: medida del ángulo diedro.

PLANOS PERPENDICULARES

PLANO BISECTOR DE UN ÁNGULO DIEDRO
Es aquel plano que contiene a la arista del ángulo diedro y que determina con las caras otros dos ángulos diedros de igual medida.
Todo punto del plano bisector está a igual distancia de las caras de dicho ángulo diedro.

: Plano bisector del ángulo diedro.

Se cumple :

ÁREA DE PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UNA FIGURA PLANA SOBRE UN PLANO DADO
El área de la proyección ortogonal de una región plana sobre un plano dado, es igual al producto del área de dicha región con el coseno del ángulo diedro determinado por el plano de la región y el plano dado.
Si:
– A : área de la región plana.
– Ap : área de la proyección ortogonal de la región sobre el plano H.
– q : medida del ángulo diedro determinado por los planos Q y H.

ÁNGULO POLIEDRO
Si fijas tu atención en la habitación en que te encuentras puedes observar cómo dos paredes contiguas, junto con el techo, se encuentran en un punto. El espacio alrededor de ese punto y comprendido entre las paredes y el techo recibe el nombre de triedro.
En términos generales, se llama ángulo poliedro a la región del espacio limitada por tres o más planos que se cortan dos a dos según rectas concurrentes en un mismo vértice.
Al igual que en diedros, los ángulos poliedros tienen caras y aristas: Identifícalas tú mismo en la figura adjunta.
Según el número de diedros, el poliedro se llamará: triedro, tetraedro, pentaedro, hexaedro, etc., pudiendo ser cada uno de ellos de dos tipos: convexos o cóncavos, según que la sección producida al cortarlos por un plano sea un polígono convexo o cóncavo, respectivamente.
DEFINICIÓN
Es aquella figura geométrica determinada por tres o más regiones angulares que tienen el mismo vértice, además dos regiones consecutivas deben estar en planos diferentes.
El punto común a todos los planos que limitan al ángulo poliedro recibe el nombre de VÉRTICE.
Las intersecciones de cada dos planos concurrentes consecutivos se denominan ARISTAS.
Los ángulos formados por cada dos aristas consecutivas se denominan CARAS y los diedros formadas por cada dos caras consecutivas se llaman DIEDROS del ángulo poliedro.

Elementos:
Vértice : O
Aristas : …….
Caras :
: aº, bº, cº, dº, ………..
Diedros : a, b, f, q………..
Notación: ángulo poliedro O-ABCD

* Se designa un ángulo poliedro por la letra del vértice seguida de las letras relativas a las diferentes aristas o simplemente por la letra del vértice cuando no puede haber ambigüedad alguna.
CLASIFICACIÓN
Según sea el número de caras si tiene 3 caras, el ángulo poliedro se llama ángulo triedro, si tiene 4 caras se llama ángulo tetraedro, si tiene 5 caras se llama ángulo pentaedro, si tiene 6 caras se llama ángulo hexaedro, etc.
Cuando el número de caras es tres se puede suprimir la palabra ángulo y llamar simplemente triedro pero si es más de tres no se puede suprimir la palabra ángulo, porque existen cuerpos geométricos llamados tetraedros, pentaedros, hexaedros,…. los cuales podrían confundirse.
* De todos los ángulos poliedros el más importante es el TRIEDRO.
ÁNGULO TRIEDRO (TRIEDRO)
El triedro es un ángulo poliedro de tres caras.

Elementos:
Vértice : O
Aristas :
Caras :
: aº, bº, cº
Diedros : a, f, q
Los triedros pueden ser:
1. Tiedro escaleno: aº bº cº
aºqºfº
2. Tiedro isósceles: aº = bº = cº
aº=qºfº
3. Tiedro equilátero: aº = bº = cº
aº= qº= fº
4. Tiedro uni-rectángulo: aº = 90º
5. Tiedro bi-rectángulo: aº = b = 90º
6. Tiedro tri-rectángulo: aº = b = c = 90º

TRIEDRO POLAR
O TRIEDRO SUPLEMENTARIO
Se llama triedro polar o suplementario de un tiedro dado aquel cuyas aristas son perpendiculares a las caras del otro.

si plano O’A’B’
plano O’A’C’
plano O’B’C’
luego el triedro O-ABC se llama triedro polar o suplementario del triedro O’-A’B’C’

Teorema:
Cuando dos triedros son suplementarios o polares se cumple que las caras de uno de ellos son los suplementos de los diedros del otro triedro, y recíprocamente.

PROPIEDADES DE LOS TRIEDROS
PROPIEDAD 1
En todo triedro una cara es menor que la suma de la otras dos y mayor que la diferencia.

PROPIEDAD 2
En todo triedro la suma de las caras es menor que 360º y mayor que 0º.

PROPIEDAD 3
En todo triedro la suma de los ángulos diedros es mayor que 180º y menor que 540º

PROPIEDAD 4
En todo triedro la suma de los dos diedros es menor al tercero aumentando en 180º

Teorema:
En todo ángulo poliedro la suma de las caras es menor que 360º y mayor que 0º.

1. Un poliedro de 29 vértices está formado por 6 triángulos,18 cuadriláteros y n pentágonos. Calcular su número de aristas.

Rpta.:

2. En un triedro OABC si OA=BC; OB=AC y OC=AB calcular la suma de las medidas de las caras del triedro.

Rpta.:

3. Calcular la medida del mayor ángulo diedro de un ángulo diedro en el cual dos de sus caras miden 53 y la tercera 74.

Rpta.:

4. En un ángulo triedro OABC los ángulos diedros OB y OC miden 127 y 173. Si la medida del diedro OA es entero y menor que 122, calcule su medida.

Rpta.:

5. En las aristas OA, OB y OC de un ángulo diedro OABC se ubican los puntos M, N y T respectivamente. Calcular la medida del diedro OA si las caras AOB y AOC miden 90, y .

Rpta.:

6. Se tiene un ángulo triedro equilátero S-ABC, cuyas caras miden 30. Entonces la medida de uno de sus ángulos diedros es:

Rpta.:

7. En el ángulo triedro O-ABC, y los ángulos diedros OB y OC miden: . Calcule la medida del ángulo que forma OA con la cara BOC.

Rpta.:

8. Se tiene un poliedro convexo que está limitado por cierto número de regiones triangulares y cuadrangulares y además por tres regiones hexagonales. Si el número de aristas y el número de vértices de este poliedro son respectivamente 25 y 15, calcular el número de regiones triangulares que limitan a este polígono.

Rpta.:

9. El número de caras más el número de vértices más el número de aristas de un poliedro es 98. Calcular cuántas caras tiene sabiendo que la suma de las medidas de los ángulos de sus caras es 7200.

Rpta.:

10. La diferencia entre la suma de las medidas de los ángulos de todas las caras de dos poliedros A y B es 2880. Si la diferencia entre el número de caras es 18, hallar la diferencia entre el número de aristas.

Rpta.:

1. Si en un triángulo rectángulo ABC recto en B, trazamos perpendicular al plano del triángulo donde BP=3,6 m, BC=12 my AB=9 m, hallar la medida del diedro P–AC–B.

A) 37º B) C)
D) E) 53º

2. En un triángulo rectángulo AOB, OA=OB=7a; por O se levanta la perpendicular al plano del triángulo de modo que y se une D con A y B. Hallar la medida del diedro
A) B) 53º C) 37º
D) E) 30º
3. Una circunferencia de diámetro está en un plano P. Por un punto C de dicha circunferencia se levanta perpendicular al plano P, tal que y DB = 4. Calcular la medida del diedro que forman el plano ADE con el plano P.
A) 45º B) 30º C) 15º
D) 60º E) 53º

4. En un triángulo ABC, recto en B, AB = 6 y BC=8. Por el vértice B se traza perpendicular al plano ABC tal que BF=4,8. Calcular la medida del ángulo que forman los planos ABC y AFC.
A) 30º B) 37º C) 45º
D) 53º E) 60º

5. Dado un triángulo rectángulo isósceles ABC (recto en B); desde B se levanta la perpendicular cuya longitud es 8 cm. Calcular la medida del ángulo diedro formado por los planos ABC y ARC, sabiendo que la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC es 12 cm.
A) 50º B) 45º C) 37º
D) 53º E) 60º

6. Sobre el plano W se tiene el triángulo equilátero ABC, cuyo lado mide 10 cm, por el punto C se levanta perpendicular al plano W . Determinar el área de la región triangular ADB si el ángulo formados por los triángulos DAB y CAB mide 30º.
A) 50 cm2 B) 50cm2
C) 25cm2 D) 52,5 cm2
E) 72 cm2

7. Dado un triángulo rectángulo isósceles ABC recto en B. Por B levanta una perpendicular al plano ABC, hallar la media del diedro si PM = BC (M punto medio de )
A) 30º B) 45º C) 60º
D) 53º E) 34º

8. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B, tal que AB = 8 y BC = 6. Si la distancia de al plano P que pasa por mide 2,4. Calcular la medida del diedro que forma el plano P con el plano del triángulo ABC.
A) 15º B) 30º C) 37º
D) 53º E) 45º

9. En la figura ABCD–A’B’C’D’ es un hexaedro regular, hallar la medida del ángulo diedro formado por los planos ABCD’ y ABNM, donde M y N son puntos medios y respectivamente.

10. Los planos P y Q se cortan formando un diedro de 120º y una secante corta a P y Q en A y B respectivamente considerando que las distancias de A y B a la intersección de P y Q es x e y. Hallar z2 + y2 + xy, sabiendo que: AB = a
A) B) C) a2
D) 2a2 E) 3a2