DESIGUALDADES DEMOSTRACIONES Y PROBLEMAS RESUELTOS PDF

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OBJETIVOS :
DEFINICiÓN DE DESIGUALDAD
La desigualdad es una comparación que se establece entre dos números reales
a; b utilizando los símbolos de orden, el cual puede ser verdadero o falso.
Ejemplos
5> 1: cinco es mayor que uno.
2 < 6: dos es menor que seis.
4::::;8: cuatro es menor o igual que ocho.
x ~ 3: x es mayor o igual que tres.
DEFINICIONES
1. Un número a E lR. se llama positivo si y solo si a > O.
II. Un número a E lR. se llama negativo si y solo si a < O.
III. a>b H a- b es positivo (a- b > O)
IV. a V. a::::;b H a < b v a=b
VI. a~b H a> b v a=b
.. Recuerde que
Los símbolos de orden son:
> mayor que} .
estrictos < menor que
;::: mayor o igual que} no
~ menor o igual que estrictos
VII. a < b < e H a < b /\ b < e
VIII. a s b H b « a
Ejemplo
Determine el valor de verdad de las proposiciones siguientes:
a. p: 3 ~ 3 b. q: 5 ::::7; c. r: 5 ::::3;
Resolución
a. p: 3 ~ 3 es verdadero.
En efecto: 3 ~ 3 H .3.....>……3.. v .3…..=……3..
.. Tener en cuenta F v V ==V
Dadas las proposiciones p y q, la
tabla de verdad de p v q es
V F
F V
F F
b. q: 5 ::::7; es verdadero.
En efecto: 5::::;7 H 5 < 7 v 5 = 7 '--v--' '--v--'
V v F ==V
p q pv q
V V V
V
V
F
c. r: 5 ::::;3 es falso.
En efecto: 5::::;3 H .5...<....3....v.. .5...=....3......
F v F ==F
.. Recuerde que
R es el conjunto de los números
reales. Además
R+={X E R / X> O}
R- ={X E R / x < O}
Ley de la tricotomía
\j a E lR solo se puede establecer una y solo una de las tres relaciones:
a > O v a=O v a < O
Ley de clausura
\j a; b e lR se cumple que (a+b) E lR+ 1\ (ab) E lR+.
Teorema
\j a; b E lR se tiene que a > b v a=b v a < b.
Demostración
Si a; b e lR ~ (a- b) E lR (ley de clausura)
De la ley de tricotomía
a - b > O v a – b=O v a – b < O
De las definiciones III y IV
a > b v a=b v a < b

* Identificar y aplicar las distintas propiedades de las operaciones definidas en los números reales y operar con propiedad y exactitud en este conjunto.
* Conocer los diferentes axiomas y teoremas sobre los números reales, respecto a la relación de orden entre ellos.
* Saber operar adecuadamente con intervalos.
INTRODUCCIÓN :
Gran parte del trabajo en álgebra tiene que ver con el sistema de números reales.
Repacemos ahora la composición de este sistema numérico.
Números Reales
A partir de este capítulo podemos indicar que, estamos iniciando el estudio del álgebra superior . Pues la teoría que desarrollaremos es fundamental para el estudio de las funciones, lo cual corresponde al análisis matemático y además será muy importante pues lo que aprendemos aquí lo usaremos en los cursos de matemáticas básicas de los primeros ciclos de las diferentes carreras de ingeniería.
DESIGUALDAD DE BERNOULLI y LA MEDIA POTENCIAL
La desigualdad de Bernoulli es muy importante, puesto que es muy utilizada en el análisis matemático y en otras ramas de la matemática.

La notable familia suiza Bernoulli realizó grandes aportaciones a las matemáticas y a las ciencias. En tres generaciones produjo no menos de nueve miembros de la familia que lograron preeminencia en matemáticas o en física (cuatro de ellos recibieron distinciones de la Academia de Ciencias de París), los que a su vez produjeron un enjambre de descendientes que dejaron huella en muchos campos del conocimiento.
Jacques Bernoulli nació el 27 de diciembre de 1654 y murió el 16 de agosto de 1705; fue el quinto hijo de una gran familia. También se le encuentra como Jacob, por la traducción de su nombre al alemán, y como James, por su traducción al inglés. Estudió teología; pero la abandonó en favor de las ciencias. De manera autodidacta aprendió el nuevo cálculo de Newton y Leibniz y fue profesor de matemáticas en Basilea desde 1687 hasta su muerte. Escribió sobre series infinitas, estudió muchas curvas especiales, inventó las coordenadas polares y presentó los números de Bernoulli que aparecen en la expansión en serie de potencias de la función tan(x) y que son útiles para escribir el desarrollo en series infinitas de las funciones trigonométricas e hiperbólicas.
En su primer artículo sobre series infinitas, en 1689, presentó la “desigualdad de Bernoulli”

Teoremas sobre desigualdades
\j a; b; e; d E lR
1. a < b H a+e < b+e
2. Si a > b 1\ b > e ~ a> e (transitividad)
3. Si a < b 1\ e < d ~ a+e < b+d
4. Si a > b 1\ e > O ~ ae > be
5. a < b H - a > -b
6. Si a > b 1\ e < O ~ ae < be
7. \j a E lR: a2 ~ O
8. Si O< a < b 1\ O< e < d ~ O< ae < bd
9. \j a::f.O:a 1\ a-1 tienen el mismo signo
10. ab > O H (a> O 1\ b > O) v (a < O 1\ b < O)
11. ab < O H (a> O 1\ b < O) v (a < O 1\ b> O)
12. Sea ab > O (tienen el mismo signo)
a-
a b
Demostraciones
1. (a < b ---¿ aH < b+c¡
a < b H a - b < O(definición IV)
---¿ (a - b) +0 < O(elemento neutro)
---¿ (a-b)+(e-e) < O(inverso aditivo)
---¿ (a+e) - (b+e) < O
. ---¿ a +e < b+c (definición IV)
(aH < b+e ---¿ a < b)
a+e < b-vc H (n+c) - (b+e) < O (definición IV)
---¿ a - b < O ---¿ a < b (definición IV)
2. a> b H a – b > O(definición I1I)
b » e H b-e> O(definición I1I)
—¿ (a-b)+(b-e»O(leydeclausura)
—¿ (a-e) > O—¿ a> e (definición I1I)
3. a < b ---¿ a+e < b-« (teorema 1)
e < d ---¿ b+e < b+d (teorema 1)
---¿ a+e < b+d (teorema 2)
4. a > b H (a – b) > O(definición I1I)
Como e> O (hipótesis)
—¿ (a – b)e > O(ley de clausura)
—¿ ae – be > O(ley distributiva)
—¿ ae > be (definición I1I)
5. a < b H a+(-a)+(- b) < b+(-a)+(- b) (teorema 1)
H a+(-a)+(-b) < b+(-b)+(-a)
H O+(-b) < O+(-a) (inverso aditivo)
H - a > – b (elemento neutro)
6. e e O H -e>0(teorema5)
Por el teorema 4: como a > b, se tiene:
a( – e) > b(- e) —¿ – ae > – be —¿ ae < be (teorema 5)
7. Como a E lR, por la ley de tricotomía:
a > O v a =0 v a < O
• Si a > O —¿ a·a>O·a (teorema 4)
—¿ a2 > O
• Si a = O —¿ a2=0·0=0 (definición de potenciación)
• Si a < O ---¿ a·a>O·a (teorema 6)
—¿ a2> O
.. \:j a E lR: a2 ~ O
8. Sea O < a < b 1\ e> O —¿ 0< ae < be (teorema 4)
Sea O < e < d 1\ b > O —¿ O < be < bd (teorema 4)
Como O < ae < be 1\ be < bd por transitividad se concluye que
0< ae < bd.
9. Probaremos que \:j a:;tO:
a. a> O f-7 a-1 > O
Tenemos dos casos:
• Sea a> O Y supongamos que a-1 < O
---¿ a· a-1 < O· a-1 (teorema 6)
---¿ 1 < O ¡absurdo!
Luego, debe ser que: a-1=0 v a-1 > O
Si a-1=0 —¿ a· a-1=a· O
—¿ 1=0 ¡absurdo!
Por lo tanto, si a > O —¿ a-1 > O
Seaa-1>0 —¿ a-1·a2>0·a2 —¿ a>O
b. a Esta demostración queda como ejercicio para el lector.
10. Tenemos dos casos:
a. ab > O f-7 a > O 1\ b > O
Luego probaremos que si a > O —¿ b > O
1
Como a > O —¿ – > O , luego
a
1 1
ab>O —¿ -(ab»-(O) —¿ b>O
a a
Probaremos que si a > O 1\ b > O —¿ ab > O
Por la ley de clausura
si a > O 1\ b > O —¿ ab > O
.. En consecuencia
Si ab > 0, entonces
111
a c x c b f-7 -<-<-
b x a
b. ab > O H a Probaremos que si a < O ~ b < O
1
Como a < O ~ - < O, luego
a
1 1
ab>O ~ -(ab)<-(O) ~ b a a
Probaremos que si a < O /\ b < O ~ ab > O
Por el teorema (6)
a < O /\ b < O ~ ab > O. b ~ ab > O
Por lo tanto, de a. y b. queda demostrado el teorema.
11. La demostración queda como ejercicio para el lector.
12. Probaremos que
a. Si ab > O: a < b ~ .!.> .!.
a b
b. Si ab > O: .!.>.!. ~ a < b
a b
Luego
1 1
a. a-cb ~ a-O
ab ab
1 1 1 1 ~ -<- ~ ->-
b a a b
b.
-1 > -1 ~ -1 1 ab > – abo ab > O
a b a b’
~ b » a ~ a c b
De a. y b. queda demostrado el teorema.
Ejemplos
l. Si -1 < x:::;4, halle la variación de !cx)=- 4x+ 3.
Resolución
Formaremos la expresión !cx) a partir de -1 < x :::4;,
así
-1-4×2′:-16
f-7 7> -4x+3 2′:-13
f-7 -13 :::;!cx) < 7
!cx)E [-13;7)
2. Si 3 :::;x:::;7, halle la variación de h(x) = 2x +1
2x-5
Resolución
Podemos escribir h(x) así
h = 2x+1 =1+_6_
(x) 2x-5 2x-5
Luego partimos de 3 :::x; :::7; para construir h(x).
1 1 2 6
f-7 -:::;--:::;1 f-7 -:::;--:::;6
9 2x-5 3 2x-5
5 6 5
f-7 -:::;1+--:::;7 f-7 -:::;h(x):::;7
3 2x-5 3
Teoremas adicionales
13. Sea a > b > O 1\ n E Z+
14. Sea a < b < O 1\ n E Z+
• a < b ~ a2n+ 1 > b2n+ 1
15. Sean a < O 1\ b > O
a < x < b ~ O:::; x2 < máx {a2; b2}
~Nota
00; - 00 son símbolos ideales, no son
números reales.
Ejemplos
1. x>2 —7 x4> 24
2. x <-1 ---7 x2 > 1
3. x< -2 —7 x3 < (_2)3
4. -2 < x < 4 —7 O~ x2 < máx {(_2)2; 42}
—7 O~ x2 < 16
5. -5 ~ x < 1 —7 O~x2~máx{(-5)2; 12}
—7 O~ x2 ~ 25
6. -3 ~ x < 6 —7 O~ x2 < máx {(_3)2; 62}
—7 O~ x2 < 36