DESIGUALDADES E INTERVALOS EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICAS DE SECUNDARIA EN PDF

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INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS REALES
Sea R el conjunto de números reales, provisto de dos operaciones; la adición (+), la multiplicación (x) y una relación de orden (< : menor que) que constituye el Sistema de los Números Reales.

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R : (+, x, <)
+ : adición
x : multiplicación
< : menor que
Si “a” y “b” denotan al mismo número real, escribiremos: a = b (que se lee “a igual a b”). Una expresión de este tipo se llama igualdad.
AXIOMAS DE LA ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN
1. Ley de Clausura o Cerradura
2. Ley Conmutativa
3. Ley Asociativa
4. Ley de la Existencia y Unicidad del Elemento Neutro
5. Ley de la Existencia y Unicidad del Elemento Inverso
6. Ley Distributiva
AXIOMAS DE LA IGUALDAD
teoremas básicos de la igualdad
RELACIÓN DE ORDEN
axioma de tricotomía
teoremas básicos de la desigualdad
INTERVALOS
Son conjuntos de números definidos mediante la relación de orden en el campo de los números reales y son de varias clases.
1. Si x ∈ <2; 3], calcula el intervalo de variación de f(x) = x2 + 2x – 4
3. ¿Cuál es el mínimo valor que toma la expresión f(x) = x2 – 6x + 2?

INTRODUCCION A LOS NUMEROS REALES
 Que el alumno pueda utilizar algunos teoremas básicos sobre desigualdad.
 Que al alumno tenga un conocimiento óptimo acerca de los intervalos.
 Que el alumno pueda maximizar o minimizar una expresión.
Introducción:
Desarrollamos este tema enmarcado dentro de un contexto que comprende la utilidad de las desigualdades principalmente algunos teoremas específicos, en algunos cálculos de matemática o ingenería, por lo que en los capítulos anteriores conocimos primero la recta numérica, si bien es cierto que el hombre desde sus inicios aprendió primero a contar y luego representar gráficamente los números reales en la actualidad con el desarrollo de la computación e informatica, específicamente los SOFTWARE de calculo matemático como el MATLAB, MATHCAD, MATEMATICA 3.0, nos ayudan hoy en día con dichos cálculos como ecuaciones y otros, pero debemos entender que la computadora lo que hace es repetir un proceso mecánico que uno designa mas la parte racional en su esencia lo tendremos que realizar nosotros mismos, por ello es necesario tener un conocimiento fundamental de los teoremas en desigualdad, para colaborar con este aprendizaje sigame con el desarrollo teórico de este tema.
DEFINICIÓN:
Siendo a, b se verifica:
i) a > b ; si y solo si a es mayor que b.
ii) ab ; si y solo si a>b o a=b.
iii) a 0
3. “Se tiene un número no negativo”
Sea m el número entonces.
m 0
4. Se tiene un número no postivo, entonces podemos plantear.
m 0
Seguidamente presentamos algunos teoremas.
Sea a, b, c, d, .

1)
Ejemplo:

2)
Ejemplo:

Luego:
3)
Ejemplo:
a. Si:
como ;

b. Si:

Luego:
4)
Ejemplo:
1. Si es agudo

2. Si es agudo

5)
Ejemplo:
Dada la expresión real

Calcule el menor valor de sen
Resolución:

Como esta expresión es real

6)
Nota: El xy > 0 significa que x e y tienen el mismo signo.
Ejemplo:
sen 30º > sen 8º

VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real x denotado por |x| se define por:

Ejemplo:
i) |–3|= –(–3) = 3
ii) |sen30º – tg45º| = –(sen30º – tg45º)
|sen30º – tg45º| = tg45º – sen30º
iii) |sen200º| = – sen200º

porque 200ºIIIC
y seno en el IIIC es (–)

TEOREMAS ACERCA DE VALOR ABSOLUTO
1)
Ejemplo:
* |2sen + 1| 0
* |4tg – 5| 0
2)
* Sen2 a = |sen a|2
* Dada la expresión:
E = cos2 a + |cos a| + 1
Þ E = |cos a|2 + |cos a| + 1

3)


4)

5)

INTERVALOS
Son subconjuntos de los números reales.
Clases
1. INTERVALO CERRADO:

2. INTERVALO ABIERTO:

3. INTERVALOS MIXTOS:
i.

ii.

También:
a.

b.

c.

d.

Ejemplo:
Si: A = [–3; 5] y B = [1; 7]
Halle: i.
ii.
Resolución:
Graficando:

Se observa que:
i.

ii.

1. Calcule el intervalo de la expresión:
; si:
A) ]–1; 2[ B) ]1; 3[ C) ]–2; 1[
D) ]0; 2[ E) ]0; 3[

2. Si: , además:
, calcule:
A) ]0; 2[
B) ]–1; 3[
C) ]–2, 2[
D) ]1; 3[
E) ]2; 3[

3. Calcule la extensión de la expresión:
siendo a el menor ángulo agudo de un triángulo rectángulo.
A) ]0; 1[ B) ]1; 2[ C)
D) E)

4. Si calcule la extensión de la expresión:
A) ]0; 2[ B) ]1; 3[ C) ]2; 3[
D) ]0; 3[ E) ]0; 1[

5. Calcule el conjunto de valores de la expresión:

siendo a un ángulo agudo.
A) ]0; 2[ B) ]0; 2[ C) ]3; 4[
D) ]3; 4[ E) ]2; 4[

6. Calcule el conjunto de valores de la expresión:

siendo a un ángulo agudo.
A) ]0; 1[ B) ]1; 2[ C) ]1; 3[
D) ]0; 3[ E) ]–1; 1[

7. Calcule csc a cuando la expresión:
; sea mínima.
A) B) C) 2 D) 3 E) 4

8. Calcule el mínimo valor de la expresión:
; siendo a un ángulo agudo.
A) 13 B) 4 C) 9 D) 12 E) 10

9. Calcule el mínimo valor de AC; si BH = 6.

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 24

10. Siendo a un ángulo agudo, además:
calcule: ctg a.
A) B) C)
D) E)