DERIVADAS TRIGONOMETRICAS EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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Las funciones trigonométricas son derivadas en todo su dominio
* (senx)’= cosx * (cotx)’=-csc2x
* (cosx)’= -senx * (secx)’ = secxtanx
* (tanx)’= sec2x * (csc x)’ = -cscxcotx
Aplicaciones de la Derivada
En ésta sección se exponen las aplicaciones de la derivación a problemas del análisis matemático: estudio de la variación de las funciones, máximos, mínimos, concavidad y convexidad de las curvas, puntos de inflexión. Comenzamos con el estudio de números críticos

Funciones Crecientes y Decrecientes ; El criterio de la primera derivada
La derivada va ha determinar cuando una función es creciente, pues una derivada positiva implica que la pendiente de la gráfica asciende. Analógamente una derivada negativa implica que la gráfica de la función desciende y una derivada nula en todo un intervalo implica que la función es constante en él.

Concavidad y el Criterio de la Segunda Derivada
Definición del Concavidad :
Sea una función derivable en un intervalo abierto, diremos que la gráfica de f ‘ es cóncava hacia arriba si f ‘ es creciente en ese intervalo y cóncava hacia abajo si f ‘ es decreciente en el intervalo.

OBJETIVOS :
* Definir e interpretar geométricamente la derivada como pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función.
* Discutir el comportamiento de las funciones y de sus gráficas.
INTRODUCCION :
En el análisis matemático , el concepto de derivada de una función ha sido de distintas formas. Vamos a revisar el concepto, empezado desde el manejo de las rectas secantes y tangentes a una curva; y que mejor con una función conocida:

* Tenemos la recta LS secante a : y=x2 ; que pase por P(x ; f(x)) y Q , definido por un incremento “h” en “x” , como: (x+h ; f(x + h))
* La pendiente de esta recta es: m = tana que se calcularía así:

Si hacemos variar “h” sin dejar de pasar el punto “P”, de modo que h0; la recta LS se convierte en recta tangente a la curva: y = x2 en el punto “P”.
* Calculándose ahora de esta manera:

* Para esta curva:
=

* Si “P” fuese :

Definición de Derivada :
Sea “f” una función definida en un intervalo I, se dice que “f” es derivable en un punto respecto de la variable “x”, si la función de “h”:

* Es bien definida y tiene un límite determinado (finito) cuando: . si es así, escribiremos:

* Otra notaciones:

y f ‘(x0) se llama derivada de la función “f” en el punto
x0.

* Por ejemplo ; si tuviésemos ;

* Simplificando el numerador:

PROPIEDADES :

* Así como también, algunas derivadas de ciertas funciones:

Derivadas Trigonométricas
A partir de la definición de la derivada de una función se puede hallar las derivadas de la funciones trigonométricas , y partir de ellas deducir propiedades adicionales , por ejemplo :
DERIVADAS DE LA F.T . : senx
* Sabemos que dada:

* Para:

* Transformando a producto el numerador:

DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Teorema: Las funciones trigonométricas son derivadas en todo su dominio
* (senx)’= cosx * (cotx)’=-csc2x
* (cosx)’= -senx * (secx)’ = secxtanx
* (tanx)’= sec2x * (csc x)’ = -cscxcotx
Ejemplos:

PROPIEDADES ADICIONALES DE DERIVACIÓN
Función Compuesta :
Si:
ejemploS:
I)

II)

III)

IV)

V)

CASOS PARTICULARES :

ejemploS :

ejemploS :

ejemploS :

Teorema :
Derivadas de la funciones trigonométricas inversas. Sea una función derivable :

Ejemplo :

Recta Tangente a una Curva
* Dada la recta LT tangente a la curva y = f(x)en“x0”; su pendiente mT se calcula como: mT =f ‘(x0) ; es decir, es el valor de la derivada de f(x) evaluada en “x0”.

Por ejemplo :
En la figura tenemos la curva: y = f(x)= x3 y la recta tangente LT a ella en el punto de abscisas 2.

RESOLUCIÓN:
* Hallamos: f ‘(x)= 3×2
* Evaluamos: f ‘(2)= 3(2)2=12

* Luego , la pendiente de LT es: mT=12. Si queremos hallar la ecuación de LT aplicamos: y – y0= mT (x-x0), donde: (x0 ; y0 ) es un punto de paso de la recta, que puede ser el punto de tangencia mismo, por Ejemplo:

* En la figura el punto es (2 ; 8), luego la ecuación es: y-8=12(x-2)

Veamos ahora otro ejemplo :
con la función: y = f(x) = 4sen2x ; y la recta tangente en el punto x=/6 (hallaremos su ecuación).

III) Tomando como punto de paso la ecuación sería:

Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de
F(x) = 2×3+4×2-5x-3, en un punto de la curva cuya abscisa es 1.

RESOLUCIÓN :
* Calculamos el punto de la tangente para x=1
F(1) = 2(1)3 + 4(1)2–5(1)–3F(1) =–2 ; el punto de la tangencia es (1; –2).
* Calculamos la pendiente de la recta tangente
F(x)=2×3+4×2–5x-3F'(x)= 6×2+8x–5

para

* Ecuación de la recta tangente:

REGLAS DE L’ HOSPITAL
La regla de L’Hospital reduce la determinación de límite de una función de la forma: en los casos de indeterminación de los tipos :
, cálculo del límite de
si este es también indeterminado de una de esas dos formas, sus límite a su vez se reduce al de y así sucesivamente, es decir:

* Siempre que los límites sean del tipo :
* Por ejemplo , calcular:
….. (que ya sabemos que es 5)

* Note que es de la forma :
* Luego:

* Al tomar el límite resulta :

* Luego:

* Al tomar el límite resulta :
* Luego:

* Al tomar el límite resulta:
* Luego :

Ejemplo 4 :
Calcule el valor de:

RESOLUCIÓN:
* Evaluando tenemos:

* Por el teorema anterior:

* Aplicando lo anterior:

* Por lo tanto:

NOTA :
Para la formas indeterminadas , buscamos tener la formas indeterminadas anteriormente señaladas.
Aplicaciones de la Derivada
En ésta sección se exponen las aplicaciones de la derivación a problemas del análisis matemático: estudio de la variación de las funciones, máximos, mínimos, concavidad y convexidad de las curvas, puntos de inflexión. Comenzamos con el estudio de números críticos:
Definición de Números Crítico
Si una función f esta definida en x0, se dice que x0 es un número crítico de f, si f(x)=0 ó si f no esta definida en x0.

Extremos Relativos
Son valores máximos o mínimos de una función en un intervalo.
Teorema :
Si una función “f” tiene un extremo relativo en x=x0, entonces x0 es un número crítico de la función f.
Funciones Crecientes y Decrecientes ; El criterio de la primera derivada
La derivada va ha determinar cuando una función es creciente, pues una derivada positiva implica que la pendiente de la gráfica asciende. Analógamente una derivada negativa implica que la gráfica de la función desciende y una derivada nula en todo un intervalo implica que la función es constante en él.

Teorema :
Sea f una función derivable en el intervalo
* Si , entonces f es creciente en dicho intervalo.
* Si ,entonces f es decreciente en dicho intervalo.
* Si , entonces f es constante en dicho intervalo.
Ejemplo:
Determine el conjunto de valores en los que es creciente 0. decreciente la función:

RESOLUCIÓN:
* Si
* Para calcular los números críticos de f, hacemos:
f ‘(x)=0

* Es decir:

* Como no hay puntos en los que f’ no este definida concluimos que y .
son los únicos números críticos.
La tabla siguiente resumen los ensayos para el signo de f’ en los tres intervalos determinados por esos números críticos; es decir:

Teorema :
Criterio de la primera derivada:
Sea x0 un número crítico de una función “f” continua en un intervalo abierto I que contiene a x0. Si f es derivable en el intervalo, excepto quizá en x0 se tiene:
* Si f ‘ cambia de negativa a positiva en x0, f(x0) es un mínimo relativo de f.
* Si f ‘ cambia de positivo a negativa en x0, f(x0) es un máximo relativo de f.
* Si f ‘ no cambia de signo en x0, f(x0), no es un mínimo ni máximo relativo .
Concavidad y el Criterio de la Segunda Derivada
Definición del Concavidad :
Sea una función derivable en un intervalo abierto, diremos que la gráfica de f ‘ es cóncava hacia arriba si f ‘ es creciente en ese intervalo y cóncava hacia abajo si f ‘ es decreciente en el intervalo.

Teorema :
Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I.
* Si f ”(x) > 0, para todo x en I, la gráfica de f es cóncava hacia arriba.

* Si f ‘’(x) < 0 para todo x en I, la gráfica de f es cóncava hacia abajo. Punto de Inflexión Sea f una función cuyas gráfica tiene recta tangente en (x0 ; f(x0)), se dice que el punto (x0 ; f(x0)), es un punto de inflexión si la concavidad de f cambia , de arriba hacia abajo o viceversa en este punto. * La gráfica siguiente muestra tres tipos de puntos de inflexión. Teorema : Si(x0 ; f(x0)) es un punto de inflexión de la gráfica de f, entonces 0 es f ''(x0) = 0 ó f '', no está definida en x0. Ejemplo : Determine los puntos de inflexión y el conjunto de valores para el cual la curva y=1+senx ; 0< x< 2es cóncava. RESOLUCIÓN : * Calculemos la primera y segunda derivada * La segunda derivada existe en todos los puntos, calculemos los valores de x para los cuales y''=0 * Analicemos los valores obtenidos: Para , tenemos y'' < 0 Para , tenemos y'' > 0
* Entonces para , en la curva también existe un

punto de inflexión cuyas coordenadas son .

* Basándose en el estudio realizado es fácil construir la gráfica de la curva.

Teorema :
Criterio de la segunda derivada
Sea f una función tal que f ‘(x0)=0, tal que la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a x0.
* Si f ”(x0) > 0, entonces f(x0) es un mínimo relativo.

* Si f ”(x0) < 0, entonces f(x0) es un máximo relativo. * Si f ”(x0) = 0, se recurre al criterio de la primera derivada. APROXIMACIONES Cuando un número “x” tiende a 0, se puede confundir (su valor) con su seno o su tangente; es decir: Por ejemplo: Si quisiéramos calcular : cos60°30’ Otro Ejemplo : calcular: tan45°45’ * Pero: * Luego: PROBLEMA 1 : Si: f(x) = tgx, Calcular: f ‘ (45°) A)1 B) C)2 D)4 E) RESOLUCIÓN : * Por teoría: * Ahora evaluamos para x=45°: Rpta : “B” PROBLEMA 2 : Derive : A)cosx +senx B)senx – cosx C)cosx – senx D) – senx – cosx E)senx + 1 RESOLUCIÓN : * En la función : Rpta : “C” PROBLEMA 3: Derive: y = f(x) = secx + tanx A)tanx. f(x) B)senx.f(x) C)secxf(x) D)cot.f(x) E)-tanx.f(x) RESOLUCIÓN: En la función: Rpta : “C” PROBLEMA 4: Siendo: y=f(x)=senx–cosx, hallar: A=f ‘(x)+f ”(x)+f ”'(x) A)senx + cosx B)senx cosx C)cosx – senx D)2senx – cosx E)senx – 2cosx RESOLUCIÓN : * Como: Rpta : “C” PROBLEMA 5 : Derive: RESOLUCIÓN : * En la función : Rpta : “D” PROBLEMA 6 : Dada: y = f(x) = 2senx-cosx; halle un valor de “x” que verifique: f ‘(x) = 2 f ”(x) RESOLUCIÓN : * Como: * Luego: Rpta : “A” PROBLEMA 7: Derive: A)tanx B)cotx C)2ctgx D)2tanx E)2tan2x RESOLUCIÓN: * Como: * Ordenando: Rpta : “C” PROBLEMA 8 : Derive: A)senx + tanx B)sec + tanx C)senx + secx D)senx + tanx × secx RESOLUCIÓN : * Como: * Luego: * También: Rpta : “D” PROBLEMA 9 : Derive: y = f(x) = sen(tanx) A) sen2x × cos(tanx) B) cos2x × cos(tanx) C) sec2xcos(tgx) D) –sec2x × cos(tanx) E) csc2x × cos(tanx) RESOLUCIÓN : * Por función compuesta: Rpta : “C” PROBLEMA 10 : Derive : RESOLUCIÓN : * Como : Rpta : “D” PROBLEMA 11 : Halle la ecuación de la recta tangente a la curva de la función: y = f(x)= tan2x en el punto de abscisa x = /8 RESOLUCIÓN : * Como la abscisa es : su ordenador sería: * Luego el punto de tangente sería : * Ahora bien, la pendiente de la recta mT se calcula así: * Luego la ecuación sería: y – y0 = mT(x – x0) Rpta : “A” PROBLEMA 12 : Calcular: A)1 B)2 C)–1 D) –2 E)0 RESOLUCIÓN : * Al tomar el límite: * Aplicamos L’Hospital: * Tomando límite: Rpta : “E” PROBLEMA 13 : Calcular: A)1 B)–1 C)2 D)–2 E)–4 RESOLUCIÓN : * Tomando el límite: * Aplicamos L’Hospital: * Tomando Límite: * Otra vez, L’Hospital: * Luego: * Tomando límite: A = – 2(1)3 = – 2 Rpta : “D” PROBLEMA 14 : Calcular: A)1 B)2 C)3 D)4 E)1/2 RESOLUCIÓN : * Observa que cuando : * Entonces tenemos la forma indeterminada . * Aplicando la regla de L’Hospital. Rpta : “D” PROBLEMA 15 : Calcular: A)1 B)2 C)3 D) E)8 RESOLUCIÓN : * Observamos que cuando: entonces tenemos la forma indeterminada 0/0 * Aplicando la regla de L’Hospital. * Observamos que cuando nuevamente tenemos la forma , volvemos a aplicar la regla de L’Hospital. Rpta : “D” PROBLEMA 16 : Dada: y=f(x)=senx × cos2x Halle “x” tal que : f ‘(x) = 0 RESOLUCIÓN: * En la función: * Entonces : Rpta : “B” PROBLEMA 17 : Dada: y = f(x) = senx + cos2x; halle “x” que maximice f(x). RESOLUCIÓN : Una de las aplicaciones de la derivada permite calcular máximo o mínimo valor de las funciones, para ello se procede hallando la primera derivada e igualando a cero para hallar los puntos críticos y luego se verifica con la segunda derivada. * En la función: . * También : y” = – senx – 4cos2x * Con : * Con: * Como: * Luego, el valor de “x” que maximize f(x) es: Rpta : “B” PROBLEMA 18 : Hallar “” de modo que se minimize la longitud de RESOLUCIÓN : * Del gráfico tenemos: * Para minimizar: Rpta : “B” PROBLEMA 19 : Si: f(x)=cosx, halle la enésima derivada de f. RESOLUCIÓN : * Derivando sucesivamente: Rpta : “D” PROBLEMA 20 : Si : y = 2senx–3cosx–x3 Halle : A) cosx+3tgx B) 2senx-cosx C)–tgxsecx D) –2cosx+3x E) –2cosx-3senx-6 RESOLUCIÓN : * Derivando sucesivamente: Rpta : “E” Derive: y = f(x) = Senx – Cosx A)senx + cosx B)senx C)2cosx D)tgx E)secx Derive: y = f(x) = Cscx – Cotx A)–tgx f(x) B) – ctgx f(x) C) f2(x) D) –f(x) E) f(x) Si: y = f(x)=Senx+Cosx ; hallar: J = f ‘(x)+f ”(x)- f ”'(x) A)tgx B)cosx C)senx + cosx D)cos3x–3senx E)0 Si: y = f(x) = Senx + Cosx; halle un valor de “x” que verifique: f ‘(x) = f ”(x) Si: y = f(x) = Ln(Cos2x) A)tgx B)–ctgx C)–2tgx D)tgx E)sen2x Derive : 2 Calcular: A)1 B)2 C)3 D)0 E)–1 Calcular : A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 Dada : y = f(x) = Senx×Cos3x ; halle un valor agudo de “x” tal que: f ‘(x) = 0 Calcular: A)1 B)–1 C)0 D)–2 E) 2 Si: Calcular: H ‘(x) A)2sen5x B)2sen5x C)2sen5x D)2sen5x E)2sen5x Si G(x)=1– 2 Sen2xCos2x, Calcular: G'(x) A) sen4x B) – sen4x C)cos4x D) – cos4x E) – sen2x Si: F(x) = Asen2x + Bcos3x . calcular : A+B sabiendo que . A)–10 B)–12 C)8 D10) E)0 Si: H(x) = x3 senx + 3x2cosx – 6cosx – 6xsenx calcular: H ‘(x) A)x3cosx B)x3senx C)–x3cosx D)x3senx E)x2cosx Calcular: A)8 B)6 C)4,25 D)4,5 E)4,8 Calcular: A)1 B)–1 C)0 D) E) Calcular: Calcular: A) –tga B)–ctga C)tga D)ctga E)1 Calcular: A)–1/2 B)1/2 C)1/4 D)–1/4 E)1 Si : G(x)=senx(Asenx+Bcosx) Calcular la suma del mínimo valor de G(x) y la mitad del máximo valor de G'(x). A)A/2 B)–A/2 C)B/2 D)–B/2 E)0 Marca lo incorrecto: Si: F(x) = 1 + senx + cosx calcular: F (x) + F'(x) + F”(x) + F”'(x) A)1 B)2senx C)2cosx D)–2senx E)–2cosx Si F(x) = senxsen2xsen3x, calcular: F'(/2) A)1 B)–1 C)2 D)–2 E)0 Si: , calcular: G”(x) A) 2sen23x B) 2sen2x C) 2sen22x D) 2sen26x E) 2sen24x Si: F(x)= 16sen5x– 20sen3x. Calcular: A+B Sabiendo que: F'(x) = Acosx + Bcos5x A)0 B)10 C)–10 D)12 E)–12 Si los catetos de un triángulo ABC (B=90°) , miden y , siendo la medida del menor ángulo de dicho triángulo, halle la medida del mayor ángulo agudo aproximadamente. Calcule el siguiente límite : A) 1 B) –1 C) D) 2 E) 0