DERIVADAS PARCIALES PROBLEMAS RESUELTOS PDF Y VIDEOS

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DERIVADAS PARCIALES DE PRIMER ORDEN ,
DERIVADAS PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN ,
Derivada parcial de una función de varias variables ,
Interpretación geométrica de las derivadas parciales de una
función de dos variables,
Plano tangente y recta normal a una superficie,
Interpretación de las derivadas parciales como razón de cambio ,
Derivadas parciales de orden superior,
Derivada direccional y gradiente de una función de varias variables ,
Derivada direccional de una función de varias variables,
Interpretación geométrica de la derivada direccional,
Propiedades de la derivada direccional,
Plano tangente y recta normal a una superficie,
Incremento y diferencial de una función de varias variables,
Propagación de errores,
Regla de la cadena para una función de varias variables
,Derivación implícita ,
, Análisis de datos de procesos físicos: hagamos un experimento
, Consejos sobre la representación gráfica de funciones
, Funciones de primer grado: la ecuación de una recta

, Funciones reales de variable real
, La función y = y(x) o y = f(x)

, A veces se conoce la función matemática
, Desplazamiento en función del tiempo
, Funciones de segundo grado: la ecuación de una parábola.
, Recapitulemos
, Velocidad de caída por la pendiente
, Valor medio de una magnitud
, Velocidad media
, Velocidad instantánea
, Cálculo de la velocidad instantánea
, Definición de derivada de una función en un punto
, Recapitulación
, La derivada como un cociente de diferenciales
, Diferencial y derivada de una función
, Sobre el concepto de límite
, Continuidad, derivabilidad
, Aceleraciones
, Derivadas de orden superior
, Propiedades de las funciones derivadas y derivadas de las funciones elementales
, Representación de una función como un polinomio
, ¿Cómo calcula una calculadora de bolsillo o un ordenador una exponencial; por ejemplo, el valor e1.23?
, La fórmula de Taylor
, Nociones sobre funciones de varias variables
, Funciones de más de una variable
Recapitulación: ¿qué hemos aprendido en este módulo?
Resolución de actividades
la derivada parcial de una función de dos variables es la derivada
ordinaria de la función que se obtiene al fijar constante una de las variables x o y,
ti cálculo se realiza de la misma manera y usando las mismas reglas que se
utilizan para las funciones de una variable real.
< )bservación 1.- Cuando queremos definir la derivada de /e n un punto particular ( \,,;y0) G D, simplemente reemplazamos (x;y) por (x0;y 0) en la definición. I jemplo L- Dada la función /( x ;y ) = 3x 2y + x + y . Usando la definición de derivada parcial calcule /* (!; 1) y fy { - 1; 1). Solución / ( I + h; 1) - / ( l ; 1) [3(1 + h) 2 + h + 2] - 5 fx( 1; 1) = lim ------------- --------------= lim ---------------- ---------------- h-> o h h-*0 h
h(3h + 7)
= lim h->o ——h———= 7
/ ( —l; 1 4- fc) – / ( —1; 1) [3(1 + k) + k] — 3
/ y( – l ; 1) = kli^mo ————— k:- —————= lki-m>o- ————k————-
4 k
= kli-m>o —k = 4
Definición 2.- Sea f : D Q R n – >R una función de n variables con dominio el
conjunto D Q Rn, tal que z = f ( x 1; x2; …; xn)
Las derivadas parciales de primer orden de / con respecto a las variables
x 1)x2] — ‘,xn en cualquier punto (jcx; x2; …; xn) £ D son las funciones de n
variables dadas por:
d f ( x 1;…;xn) f ( x 1;…xi + h-,…-,xn) – f ( x 1-l …;xn)
——-5 J;—— = /„ ( * ,; = Um———————– j ———————–
si estos límites existen para i = 1,2, …,n.
La derivada parcial de una función de n variables es su derivada de / respecto a
una de sus variables independientes y mantiene a las otras como constantes.
CALCULO III
Ejemplo 2.- Halle las derivadas parciales de primer orden de las siguientes
funciones
a) f ( x \ y) — x 3 – 2x 2y 2 4-3 b) g(x; y) = e x2~y2 4- ln(x2 4- y 2 – 4)
c) /i(x ;y ;z ) = 2 co s(x y 2) 4- tan(yz) – ln(x2 – 4y) 4- yjxyz
J fz f x
e tZdt 4- I eos( t 2)d t 4- arctan(xyz) 4- 8
x * J – y
Solución
a) Al derivar / con respecto a x manteniendo constante y, se tiene
fx(x’,y0 = 3×2 — 4 xy2
Al derivar f con respecto a y manteniendo constante x , se obtiene
/v(*;y) = – 4*2y
1 0 0
I») Al derivar g con respecto a x manteniendo constante y, resulta
2-v 2 o 2* v2_,.2 2x
DERIVADAS PARCIALES
, ) – / ( « » ) = l i m ^
‘ /i-o h h-> 0 h
x h ( x 2 – h2) x (x 2 – h2)
= lim i /• h-»o h ( x 2 + h2) = /lii-m»o —x 22 +,. .hr22~ = *
Luego, para x = 0 se obtiene /y(0; 0) = 0
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES
DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES
Sea z = /( x ; y) una función de dos variables con dominio D Q E 2 tal que
fx(x0′,y0) y /y (* 0;yo) existen para (x0;y 0) e D.
Si y = y0 (plano paralelo al plano XZ), entonces &x\z — f (x ;y 0) representa la
curva formada por la intersección de la superficie z = /( x ; y) con el plano
y = y0, como se muestra en la figura 3.1.
Fig. 3.1
Por tanto,
N /(* o + h;y0) – f ( x 0;y0)
f Á x 0;y 0) = lim —————-7—————-== m T
representa la pendiente de la recta tangente (LT) a la curva en el punto
Po(x0; y o ; f ( x 0;yo))• (F’g -3 1 )
102
DERIVADAS PARCIALES
I ii ecuación cartesiana de la recta tangente LT en el punto P0(x0:y 0) f ( x 0-,y0)) es
l t : Z – Z0 = f x(*0; y0)(* – *o) A y = y 0 Oo = / ( * 0; yo))
“~r~ = ^ ¡ ) Ay = yo
I a forma vectorial de la ecuación de la recta tangente l T es
LT: ( x ; y; z) = (x0; y0; z0) + t( 1; 0 ;£ ( x 0; y0)), t E E
y su forma paramétrica
x = x0 + t
y = yo , t E E
z = z0 + t/* (x 0;y 0)
donde su vector dirección es a = ( 1; 0; /*(x0; y0))
De forma similar,
ÍC-.0 k
representa la pendiente de la recta tangente (l ‘T) a la curva e 2 (obtenida por la
intersección de la superficie z = /( x ;y ) con el plano x = x0) en el punto
/<>(*o;yo;/Oo;yo))-
I a ecuación cartesiana de esta recta tangente L’T es
L’r : z – z 0 = fy (x0\ y o) (y – y0) A x = x 0
_ ,, , y – y 0 z – z 0
<=> L T — :— = 7 7 ——– A x = x0
1 f y( x0′.yo)
I,a forma vectorial de la ecuación de L’T es
L’t – { x \ y \ z) = (x0; y0; z0) + s (0; 1; f y (x0; y0)), s e l
y su forma paramétrica es
¿V: * = *o
y = yo + * lS e
z = z0 + s / y(x0;y 0)
donde ¿ = (0; 1 ; f y (x0) y0)) es su vector dirección.
Observación 2.- Los valores de f x(x-, y) y fy (x \ y) en el punto P0(x0;y 0-, z 0) de
la superficie z = f ( x ; y ) denotan la pendiente de la superficie en las direcciones
tic los ejes X e Y respectivamente.
103
Definición 3.- La ecuación general del plano tangente a la superficie
z = /(x ; y) en el punto P0(x0; y0; z0) (z0 = / ( x 0); y0)) con vector normal
CALCULO III
PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA SUPERFICIE
N = a x b =
i J k
1 0 fx (.x0;y a)
o i /y O 0;y 0)
= (—A (^0; y0); -/y O o ; y0); i )
= – ( /x ( x 0;y o );/y (x 0; y o ) ; – i )
es
Pt fx(x0;y 0)(x – x0) + fy (x0-,y0)(y – y0) – (z – z0) = 0
Definición 4.- La recta normal a la superficie z = / ( x ; y ) en el punto
po(Xo>yo’’Z0) es la recta que tiene la dirección del vector normal del plano
tangente a la superficie en P0; su ecuación vectorial es
Ln \ (x\ y; z) = (x0;y 0;z 0) + t (f x (x0;y0); f y (x0;y0) ; – 1 ) , t £ IR
Ejemplo 4.- Halle la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva de
intersección de la superficie z = /(x ; y) = ^ 6 4 – 5×2 — l y 2 y el plano x = —2,
en el punto P0(—2 ‘, 2; 4).
Solución
Al derivar / con respecto a y manteniendo x constante (x = —2), se obtiene
, , , – 1 4 y 7y
fy {x;y) = — , ——————————= – . ……………–
2^/64 – 5×2 – 7y 2 ^ 6 4 – 5×2 – 7y2
Luego, la pendiente de la recta tangente a la superficie en el punto P0 es
14 7
m T – f y ( – 2; 2) – – – – – –
Por consiguiente, la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva de
intersección de la superficie z = /( x ; y) con el plano x = —2 es
Lt : ( x ; y; z) = (—2; 2; 4) + t ^0; 1; — , t E E
Ejemplo 5.- Una recta tangente trazada a la superficie
/(x ; y) = e * se?n (67ry) _ 2*3 _ arccot(xy) – ^ ^ ¡^ 2
en un punto donde y = 1 está en un plano paralelo al plano YZ y tiene pendiente
— 127T. Encuentre la ecuación del plano.
Solución
104
(‘orno
/y (x ;y ) = e X5en(67r3/).xcos(67ry)(67r) +
DERIVADAS PARCIALES
Wt = /yOo; 1) = 67rx0 + — “ 2 – T— 2 = 6nx0
1 + x 2y 2 1 + x 2 ‘
• monees la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la
uperficie z = / ( x ; y ) con el plano paralelo al plano YZ (x = x0), en el punto
lo(x0; i ; / ( ^ 0; i) ) es
*0 *0
1 + X q 1 + Xq
l udo que la pendiente de la recta tangente es —1271, entonces
m r = 6nx0 = — 127T => x0 = — 2
l’or tanto, la ecuación del plano paralelo al plano YZ es
P\x = – 2
l lim p io 6.- Encuentre los puntos de la superficie /( x ;y ) = x y (l — x — y)
donde el plano tangente es paralelo al plano coordenado XY.
Solución
« »uno el plano tangente es paralelo al plano XY, entonces su vector normal es
paralelo al vector k = (0; 0; 1). Luego, se tiene
í) /( x ; y ) d f(x ;y )
— — = y ( l — 2x — y) = . — = x ( l – x – 2 y ) = 0
\l resolver estas ecuaciones simultáneas encontramos que los puntos donde se
.muían las derivadas parciales son (0; 0), (1 / 3; 1 /3 ), (1; 0) y (0; 1). Luego,
hay cuatro píanos tangentes horizontales a la superficie en ios puntos
x y z 2
i i * ni pío 7.- Considere el hiperboloide de dos hojas — — – — – = 1
4 4 4
-i) Encuentre el plano tangente al hiperboloide en el punto A (—6; 2; V28)
I’) Halle la ecuación vectorial de la recta normal al hiperboloide en ei punto
A { – 6;2;V 28).
• ) Determine los puntos sobre el hiperboloide en donde los planos tangentes son
paralelos al plano Q: 2x + y 4- z = 0.
Solución
a) I )e la ecuación del hiperboloide, se obtiene
Z = f(x-, y) = V* 2 – y 2 – 4
105
CALCULO III
Como las derivadas parciales de / con respecto a x e y son
fx(x; y) = 7 7 ‘ , fyix-, y) = y
^/x2 — y 2 — 4 ^/x2 — y 2 — 4
entonces
/ * ( – 6; 2) = ^ y /y (—6; 2) =
Luego, la ecuación del plano tangente al hiperboloide es
3 1
PT : — — (x + 6) — — (y — 2) – (z — V28) = 0 « Pr : 3x + y + V7z 4- 2 = 0
v7 V7
b) La ecuación vectorial de la recta normal al hiperboloide en el punto A es
Ln : O ; y; z) = ( – 6; 2; V28) 4- t ( 3; 1; v7), t E E
c) El vector normal del plano tangente al hiperboloide en el punto Po(x0;y 0; z0)
es
y0
N = (fx (.x0-,y0);fy (x0)y 0) ; – Í ) = ( i . = = = :
V v * o – yQ – 4
( ± x 0;+ y 0; – J x 02 – y 02 – 4
V*02-y02- 4; — 1
El vector normal del plano Q es Nq = (2; 1; 1)
Como el plano tangente es paralelo al plano (?, entonces sus normales son
paralelos. Luego, se tiene
i J k
N x Nq = ±*0 +y0 – – yo2 – 4
2 1 1
= (± yo + J x 0 – yo2 – 4: ±*o – 2J x ¿ – y02 – 4; ± x 0 ± 2y0 j
= (0; 0; 0)
Al resolver la igualdad, se obtiene x0 = + 2y0 ,y 0 = +V2
Luego, los puntos del hiperboloide donde el plano tangente es paralelo al plano Q
son: £ ( – 2V2;V 2;V 2) y C(2a/2; – V 2; -V 2 )
x 2 y 2 z 2
Ejemplo 8.- Demuestre que el plano tangente al elipsoide ^ = 1 en *0* y0y zoz en un punto (x0; y0; z0) tiene Por ecuación Q: 4- – p – 4- – ^ r = 1
106
Solución
l’i imero consideremos la parte superior del elipsoide, es decir z > 0
Z = K * ; y ) – c J l
I ucgo, se tiene
c 2x c2y
I .1 ecuación del plano tangente a la elipsoide en el punto Pq(x0] y 0; z 0) (z0 > 0)
1r- fx(x0; y o ) 0 – *0) + / yOo; yo)(y – yo) – (z – z0) = o
DERIVADAS PARCIALES
Jy
^ pT – ~ C-7 T o – *0) – (y – y0) – (z – z0) = o
U Z q O Z q
« rpT .. ~ -f-. —^—y i , z—oz —_ 1,
a 2 b 2 c2
I jemplo 9.- Halle la pendiente de la recta tangente al paraboloide
/ (x; y) = x 2 4- 8y 2 en el punto A(2] 1; 12), en las direcciones de los ejes X
Y respectivamente.
Solución
1) I n la dirección del eje X, la pendiente de la recta tangente es
/*(*;y) = 2*
I n el punto A{2\ 1; 12), la pendiente de la recta tangente en la dirección del eje
X es
/* (2 ;l) = 4
n) I 11 la dirección del eje Y, la pendiente de la recta tangente al paraboloide es
/y O; y) = 16y
I uego, la pendiente de la recta tangente en el punto A{2\ 1; 12) es
/ y ( 2 ; 1) = 16
INTERPRETACIÓN DE LAS DERIVADAS PARCIALES COMO RAZÓN
1)1 CAMBIO
‘••’.i x = f ( x \ y ) una función de dos variables con dominio D Q E 2 tales que
/, ( v; y) y / y(x; y) existen V(x; y) E D. Entonces se tiene:
d /( x ;y ) dz
a) — ——- = — mide la razón de cambio de la variable dependiente z con
respecto a la variable independiente x, dejando la variable y constante
(o fija).
a /( x ;y ) dz
b) — r——- = — mide la razón de cambio de z con respecro a y, dejando
dy dy
la variable x constante (o fija).
107
Ejemplo 10.- Suponga que una placa metálica delgada de forma rectangular se
calienta irregularmente, de forma tal que la temperatura en cualquier punto (x\ y)
de la placa es
T (x;y) = 4 x 2y + y
Además, suponga que x e y están medidas en metros y la temperatura T en grados
Isius. ¿Cómo varía la temperatura T en el punto (2; 3) cuando y permanece fijo
en y = 3? ¿Qué significa esto?
Solución
Cuando y permanece fijo, la derivada parcial de T con respecto a x es
Tx (x;y) = 8 xy
Luego, la rapidez de cambio de la temperatura T en el punto (2; 3) es
Tx (2; 3) = 48°C/m
Por consiguiente, cuando y = 3 (constante) y x = 2, la temperatura de la placa
aumenta a razón de 8°C por cada metro de aumento en x.
Ejemplo 11.- Se construye una caja rectangular cerrada de manera que su
volumen sea 36 pies cúbicos. El costo del material de la tapa y de la base es de
S/. 10 el pie cuadrado, el del material para las partes de enfrente y de atrás es de
SI. 9 el pie cuadrado y el material para los otros lados es de S/.7 el pie cuadrado.
a) Determine la función de costo C (x;y), donde x e y son las medidas del largo y
el ancho de la base de la caja respectivamente.
b) Calcule Cx (3; 4) y Cy (3; 4) e interprete los
resultados.
Solución
a) El volumen de la caja rectangular es
36
V = xy z = 36 => z = x—y
De acuerdo a los datos del problema, el costo del
material para construir la caja es
C = 10(2xy) + 9(2 xz) + 7(2 yz) = 20xy + 18xz + 14yz
Al reemplazar la expresión de z en el costo C, se obtiene
/3 6 \ /3 6 \ 648 504
C (*;y) = 20xy + 18* (— J + 14y (— ) = 20xy + — + — ,* ,y > 0
b) Las derivadas parciales de C con respecto a * e y son
504 648
Cx {x-, y) = 20y – —j- y Cy(* ;y ) = 20*
Luego,
Cx(3; 4) = 80 — — = 80 — 56 = 24, Cy (3; 4) = 60 – 40,5 = 19,5
CÁLCULO III
108
• •ni l.mto, cuando el lado de la base de la caja de medida x es 3 pies y el lado de
ni. dida y se mantiene constante en 4 pies, el costo de construcción de la caja
»Mímenla a una razón de S/. 24 por cada pie de aumento en x.
I >* manera similar, cuando el lado de la base de medida y es 4 pies y el lado de
m* dida x se mantiene constante en 3 pies, el costo de construcción aumenta a una
i ¡i ón de S/. 19,5 por cada pie de aumento en y.
i je ni pío 12.- Se lanza un nuevo producto al mercado. El volumen de ventas V del
producto se incrementa como una función del tiempo t medida en meses y de la
> nulidad de c nuevos soles gastada en la campaña publicitaria que está dada por
V = V(t; c) = 400(6 – e-°*002c) ( l – e _t)
< nlcule Vt (l; 500) y Vc(l; 500) e interprete el resultado. Solución yt(t;c) = 100(6 — e"0*002c)(e "t) y vc(t; c) = 0,8e-°'OO2c( l - e"f) I ncgo, se tiene Vt (l; 500) = 100(6 - e ’ 1) ^ " 1) = 207,194 Vc dl: 500) = O . S e - ^ l - e " 1) = 0,186 l uego, Kt (l; 500) = 207,194 significa que después de un mes (t = 1) de haber i.m/ado el producto al mercado y mantener constante el gasto en publicidad en S/. ()0, el volumen de ventas aumenta a una razón de S/. 207,194 en cada mes. Similarmente, Vc(l; 500) = 0,186 significa que cuando se ha gastado S/. 500 en publicidad en un mes (t = 1 fijo), el volumen de ventas aumenta a una razón de v 0 ,186 por cada sol de aumento en publicidad. l jemplo 13.- Sea £ la curva de intersección del paraboloide z = 12 — x 2 — y 2 con el plano x = 2. -i) Halle la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva £ en el punto i4(2; 2; 4) I») I lalle la ecuación del plano tangente a la superficie x 2 y 2 f ( x \ y) = — + — que es perpendicular a la recta tangente obtenida en a). 6 o Solución a) Al parametrizar la curva ¿?en términos de y = t, se tiene e-. a (t) = (2; t; 8 - t 2) Así, para t = 2, se obtiene el punto A(2; 2; 4) I .uego, se tiene a '(t) = (0; 1; - 2 1) y a '( 2) = (0; 1; - 4 ) DERIVADAS PARCIALES 109 Por consiguiente, la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva C en el punto A es W* (*; y>z ) = (2; 2; 4) 4- s(0; 1; – 4 ) , s G l
CÁLCULO III
x y
3 x;- ,
tangente a la superficie z = /(x ; y) en el punto P0(*o; yo> f ( x o>yo)) es
b) Como f x (x\ y) = — y fy (x’, y) = —, entonces el vector normal del plano
N
= ka <=> ( y – l ) = k(0; 1; – 4 ) « x0 = 0 ,y 0 = 1
es
Puesto que los vectores N y a = (0; 1; – 4 ) (vector dirección de Lr ) son
paralelos, entonces se tiene
(*o_ .y o .
• 3 ; 4
Por consiguiente, la ecuación general del plano tangente a la superficie en el
punto P0 (o; 1 ;-^ con vector nonnal N = (^0 ; – ; — 1^
PT: 0(x – 0) 4- – (y – 1) – = 0 « Pr : 2y – 8z – 1 = 0
Observación 3.- (Continuidad y Derivabilidad Parcial). La existencia de las
derivadas parciales de una función en un punto no garantiza la continuidad de la
función en dicho punto. Por ejemplo, para la función
( 12 xy
re -a ——7 */ (x; y) = j x 2 4-y2 51 (x; y) ñfc (0; 0^) ^’
( 0 , si (x; y) = (0; 0)
las derivadas parciales con respecto a x e y existen en el punto P0(0;0); sin
embargo, / no es continua en (0; 0).
La razón por la que una función puede tener derivadas parciales y no ser continua
en un punto es debido a que, la existencia de una derivada parcial depende del
comportamiento de la función a lo lar5o de un camino lineal, mientras que la
continuidad depende del comportamiento de la función a lo largo de todas las
trayectorias que pasan por el punto.
fx 2( y – 4 )
Ejemplo 14.- Dada la fu n ció n /(x ;y ) = j x 4-y »Si x + y ^ 0
( 0 , si x 4- y = 0
a) Analice la continuidad de / en el punto A( -4 ; 4)
d f ( r 4; 4) d f ( – 4; 4)
b) Halle —– ——- y —– ——- , si existen
dx dy
1 1 0
Solución
,i) Sean 7\ = {(x;y) e l 2 / x = -4 } y T2 = {(x;y) G M2/ y = 4} dos
trayectorias que pasan por el punto A(-4;4). Los límites sobre estas
trayectorias son:
16(y – 4)
Sobre T j: lim / ( x ; y ) = l i m / ( – 4 ; y) = lim —- — — = 16
(x;y)-*(-4;4) y-*4 y-*4 y — 4 ,
Sobre T2: lim / ( x ;y ) = lim /(x ; 4) = lim 0 = 0
(x;y)-»(-4;4) x -* -4 x->-4
Por tanto, por la regla de las dos trayectorias, el límite no existe.
Luego, / es discontinua en el punto A(—4; 4).
h) Al considerar la definición de la derivada parcial, se tiene:
/ ( – 4 4 – / i ; 4 ) – / ( – 4 : 4 )
J/X* (-4 ; 4) = hli-*mo —————-h– —————= lihm-*o(0) = 0
/ ( —4; fc 4- 4) — / ( —4; 4) 16k
/ v(—4; 4) = lim —— :—— — ———– = lim — = 16
k-»o k ‘ k
Por tanto, las derivadas parciales de / en el punto i4(—4; 4) existen.
I jcmplo 15.- Dada la función /( x ;y ) = |x 2 — 4x 4- y 2 — 6y 4- 4|, halle los
puntos en los cuales / y(x ;y ) no existe.
Solución
Al considerar la definición de valor absoluto, se tiene
DERIVADAS PARCIALES
/(*; y) = [ x 2 — 4x 4- y 2 – 6y 4- 4 , si (x – 2) 2 4- (y – 3) 2 > 9
-(x 2 – 4x 4- y 2 – 6y 4- 4), si (x – 2) 2 4- (y – 3) 2 < 9 I .i derivada parcial de / con respecto a y es f (Y. v \ = í 2y ~ 6 >si ( * “ 2) 2 + (y – 3) 2 > 9
y ‘ (6 — 2y , si (x — 2) 2 4- (y — 3) 2 < 9 Ahora, analizamos la existencia de / y(x;y) en los puntos sobre la circunferencia (x - 2) 2 4- (y - 3) 2 = 9. Sea P0(x0;y 0) un punto sobre la circunferencia (Fig. 3.3). Entonces: /y((*o;yo) ) = lim / ( * 0;yo + fe) - / ( * o ; y o ) k-*Q~ k - 2 k y 0 — k 2 + 6k = kl-i>m0~
= 6 – 2 y 0
/y((^o;yo)+) = lim.
/(* o ;y o + fe) – / ( * 0;yo)
k
2k y 0 4- k 2 – 6k
yi L
/
^V/>. ( *«; .v0)
T(2 3 ) 1
0 2 x
= limo+
= 2 y 0 – 6
Fig 3 3
111
Por consiguiente, fy (x0)y 0) existe si las derivadas parciales laterales son iguales,
esto es
6 – 2y 0 = 2y0 – 6
De donde resulta y0 = 3. Al sustituir este valor en la ecuación de la
circunferencia (x — 2) 2 4- (y — 3) 2 = 9, se obtiene
x 0 = — 1 ó x 0 = 5
Así, /y(x0;y 0) existe en los puntos (5;3) y (-1 ;3). En los demás puntos de la
circunferencia (x — 2) 2 4- (y — 3) 2 = 9, / y(x; y) no existe.
EJERCICIOS
CÁLCULO II!
1.- Halle las primeras derivadas parciales de las siguientes funciones:
a) f ( x \ y ) = x 2 sen2y R. —^- = 2x sen2y ^- = x 2 sen 2y
dx dy
b ) / ( x ; y ) = x y2 R. -^- = y 2x y2 1 = x y2 2y lnx
dx dy
c) / ( x ; y ) = x 2e y 4- ln
x – J y .
4- sen 2 (7rxy)
d) /(x ; y) = ln 4- arctan 4- arcsen (xy)
f\ J x 2 4- y 2 — x
e) z = ln
dz
R- — :
– 2 dz 2x
Va/ x 2 + y 2 + x / ‘ ¿x V x2 4- y 2 ‘3 y yV * 2 + y 2
f) u = e x/y 4- e z,y 4- sen (2y – z 4- x)
g) /(* ; y) = arctan
x 2 – y 2
h) /(x ; y) = x y e x +y 4- ln
xyz
x 2 4- y 2
x — 1
4- arcsen (i^)
o
i) /(x ; y; z) =
x 2 4- y 2 4- z 2
z 2
4- e xyz 4- arctan
3xy\
z 2 /
k) /(x ; y; z) = (x 2 + y 2 + z 2) l n ^ x 2 + y 2 + z 2) + x z 2 – y x 2 + z y 2
2.- En los siguientes ejercicios, determine las derivadas parciales indicadas en
caso de que existan.
112
DERIVADAS PARCIALES
a ) /( x ;y ) = j x + y >s l x + y * 0 ^ / y( i ; o)
0 , s i x ‘+ y = 0
‘ 1 4 – c o s ( 7 r x y )
( x2y 2 * r
b ) /( x ;y ) = \ y + e* > s i y * ~ e , /* (0; – 1) y / y(0; 1)
V 0 , si y = — e* Í 3 3 ^r+^2 ‘ Sl (x; y) * (0; 0) ( /4 0 ;0)y /y(0;0)
0 , si (x;y) = (0; 0)
d>/(*;> ) = .*< y ’ + * * o 1 )y ^ ( _ 1;1) (o , sí y 2 4- x = 0 9 „ du du v- Si u = ln (x z 4- xy 4- y z) . Pruebe que x — 4- y — = 2 ox dy y z x du du du 1 Si u = — I--- h — , pruebe que x — 4- y - — h z — = 0 x x y dx dy dz > Si u = y 2 4- ta n (y e 1/Aí) , pruebe que x 2 — 4- y — = 2y2
ox ay
z du du du
Si u = —————– , pruebe q u e x — 4- y – — h z – — h u = 0
xy 4- yz 4- xz dx dy az
e xyz du du du
Sl u = T “~¡— ^ ‘ pruebe que — 4- — 4- — = iex 4- ey + ez dx dy dz ¿(xy 4- xz 4- yz – 1)
( alcule la pendiente de la tangente a la curva de intersección de la superficie
/ y/36 – 4x 2 — 4 y 2 y el plano x = 2 en el punto Q(2; —1; 4) R. 1
I n.i recta tangente trazada a la superficie z = 9 — y 2 — y x 2 en un punto en el
iruvr octante donde x = — 2 está en el plano paralelo al plano YZ y tiene
pendiente —8 . Encuentre la ecuación del plano. R. y = —2
i” Una araña camina hacia arriba a lo largo de la curva dada como la
iiili iMvción de la superficie z = x 4 4-x y 3 4- 12 con el plano x = 1. En el
punto ( 1; 2; 5), salió por la recta tangente. ¿En dónde tocó la araña al plano
\Y ” R. (1; 0; 29)
1 13
CÁLCULO III
1 1 Una recta tangente trazada a la superficie
z _ e 2ycos(7nx) + 4 y 5 _ a rc tan (2 x y 2) + 2x^v 2
en un punto donde x = —1/2 está en el plano paralelo al plano XZ y tiene
pendiente 147T. Encuentre la ecuación del plano. R. y = — 1
12.- La intersección del plano y = 1 con la superficie z = x 3y 4- 5y 2 es una
curva C. Si se traza la recta tangente a C en el punto donde x = 1, halle el
punto donde dicha tangente corta al plano x = 0. R. (0; 1; 3)
13.- Considere una esfera con centro en el origen y radio 13. Una recta tangente
trazada a esta esfera en un punto en el primer octante donde x = 3 está en el
plano paralelo al plano XZ y tiene pendiente —1/4. Encuentre la ecuación del
plano. R. y = 4
14.- En cada uno de los siguientes ejercicios, halle la ecuación del plano tangente
y de la recta normal a cada una de las superficies en e*l punto indicado.
x 2 y 2 / 83\
a) z = 3 – —— P0 ^2; 2; — j b) z = x ln y # (1; 1; 0)
c) z = V4 – X2 – y 2 , P0( 1:1; V2)
d )z = 3 x 2 + y 2 + 2, P0( – 1; 2; 9) R. 6x — 4y + z + 5 = 0
e) z = e 2x eos 3y , P0(l; 7r / 3 ; – e 2) R. 2e 2{x – 1) + z + e 2 = 0
í) z = l n ^ x 2 4- y 2) , P0(—3; 4; ln 5)
15.- Halle los puntos de la superficie donde el plano tangente es paralelo al plano
coordenado XY.
x 2 y 2 z 2
a) — 4- — 4- — = 1 b) z = x 2y – x 3y 4- x 2y 2
c) z = x 3 — 12xy 4- 8y 3 d) /(x ; y) = x 3y e y~3x
16.- Halle la ecuación del plano tangente a la superficie z = 4xy — x 4 — y 4 que
es paralelo al plano Q: 8x – 8y 4- z 4- 28 = 0 R. 8x – 8y 4- z – 10 = 0
17.- Encuentre el ángulo entre la recta L = {(-2 ; 5; 12) 4- t ( 4; 1; – 3 ) / t G 1} y
la normal a la esfera x 2 4- y 2 4- z 2 = 121 en el punto de intersección de la
recta y la esfera R. eos 6 = ±
114
DERIVADAS PARCIALES
IK ¿En qué puntos del gráfico de la ecuación x 2 4- 4 y 2 4* 16z2 — 2xy = 12,
son los planos tangentes paralelos al plano XZ? R. (2; 2; 0) y
c—2; —2; 0)
19 Halle un vector tangente a la curva de intersección de las superficies
x 2 — 3xz 4- y 2z = 1 y 3xy 4- 2yz 4- 6 = 0 en el punto (1; —2; 0).
Demuestre que el plano tangente a la esfera x 2 4- y 2 4- z 2 = 1 en un punto
(x0; yo; zo) de Ia esfera (z0 > 0) tiene por ecuación xx0 4- yy0 4- zz0 = 1
‘ I Encuentre las intersecciones con los ejes coordenados de cada plano tangente
a la superficie x 2/3 4- y 2/3 4- z 2/3 = a 2/3
‘ ’ Pruebe que el tetraedro acotado por los planos coordenados y cada plano
9 ,
tangente a la superficie xyz = aó es de volumen constante. R.V = – a6
I lalle sobre el cilindro (x 4- y ) 2 4- (y — z) 2 = 4 el lugar geométrico de los
puntos en los cuales la normal es paralela al plano XY. R. y = x, x 4- y = ±2
1 I Determine el valor de m para que el plano x — 2y — 2 z4 -m = 0 sea
tangente a la superficie de ecuación x 2 4- 4 y 2 4- 16z2 — 144 = 0
l a temperatura T de una placa rectangular está dada por
/•(*; y) = 4 x y 2(5 – x)(5 – y), si 0 < x < 5 , 0 < y < 5 . En (4; 2), determine la razón de cambio de T. a) con respecto a x b) con respecto a y. ’<» La función de utilidad U = /( x ;y ) mide la satisfacción (utilidad) que encuentra una persona al consumir dos productos x e y. Supongamos que U -- 5x2 - xy 4- 3y 2 a) Calcule la utilidad marginal con respecto al producto x (Ux ( x \ y )) b) I )etermine la utilidad marginal con respecto al producto y (Í7y(x; y)) c) ( uando x = 2 e y = 3, una persona ¿debe consumir una unidad más de x o de y para tener más utilidad? Un fabricante de pistones para autos estima que su producción total en miles unidades está dada por P (x ;y ) ™ 15x2/5y 3/s, donde kkx ” es el número de unidades de fuerza de trabajo e “y ” es el número de unidades de capital utilizado. 115 a) Encuentre el número de unidades producidas cuando se utilizan 32 unidades de fuerza de trabajo y 7776 unidades de capital. b) Encuentre e interprete P*(32; 7776) y Py(32;7776). c) ¿Cuál sería el efecto aproximado sobre la producción de incrementar a 33 unidades de fuerza de trabajo mientras se mantiene el capital en su nivel presente? d) Suponga que las ventas han sido buenas y la administración quiere incrementar el capital o bien la fuerza de trabajo en una unidad. ¿Qué opción dará un mayor incremento en la producción?. 28.- Después que un nuevo producto se ha lanzado al mercado, su volumen de ct + 450 ventas V (en miles de unidades) está dado por V = ——..-..... , donde t es el Ve -h t 2 tiempo (en meses) desde que el producto fue introducido por primera vez y c la cantidad (en cientos de nuevos soles) gastada cada mes en publicidad. a) Calcule Vt (c\ t) b) Use el resultado de la parte a) para predecir él número de meses que transcurrirán, antes de que el volumen de ventas empiece a descender, si la cantidad destinada a publicidad se mantiene fija en S/. 9000 por mes. R. 18 meses 29.- Una compañía que fabrica computadoras ha determinado que su función de y 4 producción está dada por P(x; y) = 500x 4- 800y 4- 3x2y - x 3 ------, donde 4 x es el tamaño de la fuerza de trabajo (en horas de trabajo por semana) e y es la cantidad de capital (en unidades de S/. 1000) invertido. Encuentre Px (x;y) y Py(x ;y ) cuando x = 50 y y = 20 e interprete los resultados. 30.- La función de costo de la empresa SAJITA S.A. que produce dos tipos de productos A y B es C (x;y) = 50 ln x 4- 40 ln y 4- 15y2 4- 12x2, donde x e y son las cantidades producidas de tipo A y B respectivamente. a) Encuentre el costo aproximado de producir 50 de tipo A y 20 de tipo B. b) Halle Cx(50; 20) y Cy (50; 20) e interprete los resultados. c) Suponga que las ventas de los productos han sido buenas y la empresa quiere incrementar la producción del producto de tipo A o del tipo B en una unidad ¿Qué opción dará el menor costo de producción? CÁLCULO III 116 DERIVADAS PARCIALES V2 DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR I o mismo que sucede con las derivadas ordinarias de una función de una variable iral es posible encontrar derivadas parciales de segundo, tercero, cuarto y en general de orden n de una función de varias variables. Vamos a empezar por denotar las derivadas parciales de orden superior de una (unción de dos variables. Luego, se generaliza esta idea para funciones de n variables. Sea z = /( x ; y) una función de dos variables con dominio el conjunto D c R 2 Tuesto que las derivadas parciales de primer orden de / ^ = fx (x\y) = D J (x -, y ) ^ = /y O ; y) = D2f ( x ; y ) son también funciones de dos variables, entonces las derivadas parciales de estas funciones se llaman derivadas parciales de segundo orden de / . I .las segundas derivadas de f son cuatro y se denotan por = /**(*; y) = ¿ W ( x ; y) ^ | = /yy(*;y) = D22f{X',y) = r„ix-.y) = Du f(x-,y) 3y ^ = fy.rOc-,y) = D>21/( x ;y )
l as derivadas parciales f xy(x’t y ) y /yX(x;y) se conocen como derivadas
pan lales mixtas o cruzadas de / .
< unió las derivadas parciales de segundo orden de z — / (x; y) son funciones de x e v, entonces se puede derivar nuevamente para obtener las derivadas parciales de h u er orden de / y así sucesivamente hasta el orden n. I li mpio 15.- Halle las derivadas parciales de segundo orden de I U ; y) = 2xy2 — 3x 4- 3x2y 2 y calcule el valor de fxy( 1; - 2 ) Solución I as derivadas parciales de primer orden de / son 117 CÁLCULO III /*(*; y) = 2 y 2 - 3 + 6x y 2 y fy (x; y) = 4xy + 6 x 2y y las derivadas parciales de segundo orden de / son fxx(x;y) = 6y 2 , /yyO ;y ) = 4x + 6 x 2 fxy(x; y) = 4y + 12xy , / ya.(x; y) = 4y + 12xy Luego, f xy( 1: —2) = - 8 - 2 4 = -3 2 Teorema 1.- Si z = /( x ;y ) es una función continua en un punto P (x ;y ) y las funciones derivadas parciales fx {x\ y ) tf y {x\ y ) , f xy(x\ y) y fyx( x \ y ) están definidas y son continuas en la vecindad del punto P, entonces se cumple: fxyix-.y) = f y (x; y) Observación 4.- Si la función /:D c l 2 -> 1K y sus funciones derivadas
parciales DJ{x-, y), £>2/(x ; y)- D12f(x-, y), Z)21/(x ; y), D121/( x ; y), D211/( x ; y)
son continuas en el punto P0(x0; y0), entonces se cumple
Di2i f ( x 0;y 0) = D211f ( x 0;y 0)
En seguida vemos cómo estos conceptos de derivadas parciales de orden superior
para funciones de dos variables se generalizan a funciones de n variables.
Sea z = f ( x 1‘, x 2) una función de n variables con dominio el conjunto
D c E n.
Como la derivada parcial de / con respecto a la i-ésima componente
(i = 1,2……n)
£>¡/(*i; *2; – ; *n) = / * ¡ 0 a; …; xn) = d^ xi^ ‘x^ 2
es una función de n variables, entonces las derivadas parciales de estas funciones
se llaman derivadas parciales de segundo orden de / y se denotan por
n ………………N _ r , ………………… ^ _ d 2f { X í \ . . . ] X n ) D ij f ix n …, xn) – fxiXj(x1, , x n) – Qx dx
Vi = 1; 2, ; n , V; = 1; 2,…; n
Las derivadas parciales de la función D^f: D a U&n -> K. con respecto a la k-ésima
componente se denominan derivadas parciales de tercer orden y se denotan por:
d 2f ( x …;x n)
Dijk f ( x 1; …;x n) = f XiXjXk{xx-, …;x„) = d x k d x ,d x .
118
DERIVADAS PARCIALES
Vi = 1 , 2 , ; n ; j = 1,2,…, n ; k = 1,2.,, n
I n forma similar, se puede continuar en hallar las derivadas parciales de orden n
tic I\ en caso existan.
I jnnplo 16.- Dada la función /(x ; y; z) = e*yz — e~y cos(xz), halle
l>vA x ; y , z ) y fzxy(x-,y;z).
Solución
I as derivadas parciales de primer orden de / son
/, (x; y; z) = y z e xyz 4- ze~y sen (xz) y fz {x; y; z) = x y e xyz 4- x e ” y sen (xz)
I uego, las derivadas parciales de segundo orden de / son:
fxy( x ; y; z) = z e xyz + x y z 2e xyz – ze~ysen (xz)
/z*(x; y; z) = ye*yz 4- x y 2z e xyz 4- e~ysen (xz) 4- x ze“^ cos(xz)
I inalmente, las derivadas parciales de tercer orden de / son:
/ iy/(x;y; z) = e*yz 4- 3x y z e xyz 4- x 2y 2z 2e xyz — e~ysen(xz) — xze~y cos(xz)
/ . vy(x ;y ;z ) = e*yz 4- 3xyze*yz 4- x 2y 2z 2e*yz — e _ysen(xz) — xze~y cos(xz)
EJERCICIOS
1 Halle todas las derivadas parciales de segundo orden de las siguientes
funciones:
/ x + y \
a) z = ln(x 2 4- y 2) b) z = arctan
x
c) z = u = xy 4- yz 4- zx d) /(x ; y) = .——-
x 4- y
c) /( x ; y) = e x/y f) z = x 2 – 4y 4- ln (^ x 2 4- y 2) – 3 arctan , x > 0 ^
g) f ( x : y) = x ln h) z = eyx2 4- ln(cos(x – y))
?.. Verifique en cada caso que D12f ( x ; y ) = D21/(x ;y ).
a) / ( x ;y ) = x 4 4- 4x3y – 3x2y 2 4- 6x y 3 4- 9y4
_ 2
b) /(x ; y) = e xy sen x eos y c ) / ( x ; y ) = x e y 4 -x se cy
/^I1 4- x\
d ) /( x ;y ;z ) = ln j
119
CÁLCULO III
e) f (x ; y) = – f) f (x ; y ) = xe*y
x t y
3.- Si /(x ; y) = sen (5nx 4- y) 4- cos(x – 57r y ) , calcule
f y x í 0 ;0 )
4.- Una función /:
/**(0; 0)
se llama armónica si satisface la ecuación de Laplace
d ¿f d f n
— – H—– = 0. Pruebe si las siguientes funciones son armónicas
d x 2 d y ¿
a ) /( x ;y ) = x 3y – x y 3 b )/(x ;y ) = e~x sen y
c) u = e x sen y -f ln(x2 4- y 2) 4- x 3 – 3x y 2
d) u = e y¿ sen 2xy e ) /( x ;y ) =
y f x ^ + y 2
5.- Si u = /I cos[m(x 4- at)] + B sen [n(x – at)] . Pruebe que
d 2u n d 2u
— — = a 2 t —t » donde A, B, m, n y a son constantes.
d t 2 d x 2
d 2u d 2u d 2u
6.- Para la función u = /(x ; y; z) la ecuación de Laplace es + ^ 7 ~ 0
Pruebe que las siguientes funciones satisfacen la ecuación de Laplace.
a) u = (x 2 4- y 2 4- z 2) – 1/2 b) z = e* sen y + e y sen x
7.- Si /(x ; y) = (y + a x )2ey+a* . Pruebe que fxx = a2f yy
/y\ d 2u d 2u
8.- Si u = arctan (j-J , pruebe que •— j j = 0
9.- Si u = e x 4- ey 4- e z , pruebe que
d 2u
dxdy
= e z (
d 2z dz dz
+ – ——
d 2u
10.- Si u = e*“a t cos(x – at), pruebe que = a
d 2u
11.- Si u = ye* 4- x ey , pruebe que
\ d x d y dx dy
d 2u
d3u d 3u
+
fx y (x 2 – y 2)
12.- Si /( x ; y) = \ x 2 -1- y 2
0 , si (x; y) = (0; 0)
dxdy d x 2dy d y 2dx
,si x 2 + y 2 =£ 0
120
DERIVADAS PARCIALES
pruebe que / i 2(0; 0) = —1 , / 21(0; 0) = 1
13.- Dada la función F (x ;y ) = j4x3 4- 3B x 2y 4- 3Cxy2 4- Dx3. Determine que
relación debe existir entre los coeficientes A,B,C y D para que Fxy — FxxFyy
sea un cuadrado perfecto.
1
14.- Dada la función z = – x 5 — 2×3 4- 25x 4- a x 3y 2 4- b x y 4 4- c x y 2
d 2z d 2z
a) Determine los valores de a, b y c de modo que —~- y — r sean iguales
o x ¿ o y ¿
y de signos opuestos.
b) Halle los puntos de la superficie representativa de dicha función en los que
el plano tangente es horizontal.
15.- Sea la función / ( x ;y ) = e ax+by g(x; y). Si gx ( x \ y ) = gy (x;y) = 1. Halle
los valores de las constantes a y b, tales que /*(x; y) = fy {x\ y) y
1 + f x y f a y) = a + fyxix) y) R. a = b = 1
z J x y r 9 (xiy,z)
16.- Sean g { x ) y \ z ) = —-— y / ( x ; y ; z ) = s e n ( t 2)dt
d 2/ ( 2 ; 7r; 1 ) d 2/ – ( 2 ; 7 r ; l ) d 2/ ( 2 ; 7 r ; l )
Halle ——— :————————– , ———- — ——- y
d x 2 ‘ d y 2 ” d z2
v 2 tt 1
, — — (2n)~3/2 , 0
32 2 v
1 x
17- Para k una constante positiva y ¿7(x; t) = , sea
2 VSi
_ 2 k ñ 2
/ (x; t) = I e u” du. Pruebe que
d 2f _ d f
d x 2 dt
j e* 4- ey 4- ; , s¿ (x; y) t (0; 0)
IN Dada la función f ( x ; y ) = \ x ¿ + y”
2 , si (x;y) = (0; 0)
d 2/ ( 0; 0) d 2f (0; 0)
Halle — — :— v —— —- si es que existen.
d x 2 ” dxdy
En la sección 3.1 hemos determinado la pendiente de la superficie z = / ( x ;y ) en
dos direcciones diferentes: en la dirección del eje X (la pendiente estaba dada por
la derivada parcial f x (x’,y)) y en la dirección del eje Y (la pendiente estaba dada
por la derivada parcial fy {x\ y)).
En esta sección veremos cómo se puede usar estas dos derivadas parciales para
encontrar la pendiente de la superficie z = /( x ;y ) en una dirección arbitraria.
Definición 5.- Sea / : D c l n – > l una función de n variables con dominio
D c IRn, tales que D1f ( x 1;…; x n) , …, Dn/ ( x a; …; xn) existen V(xx; …; xn) G D.
El gradiente de la función f en el punto (xx; …; x n) G D es el vector
V/(x-p …) xn) ••• • Xfi)), •••, Dnf ( x …, xn))
donde V es el operador nabla.
Geométricamente, el gradiente V /(x x; … ;xn) es ufi vector normal a una curva o
superficie en el espacio en la cual se estudia.
Observación 5.-
i) Si z = f ( x \ y) es una función de dos variables, tales que
V /(x 0;y 0) = (fx(x0:y0);fy(x0;y0)) * 0, entonces V /(x 0;y 0) es un vector
normal (ortogonal) a la curva de nivel de / (&N:/( x ;y ) = c) que pasa por el
punto P0(x0;y 0) (Fig. 3.4).
CÁLCULO III
3.3 DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DE
VARIAS VARIABLES
y *
V = V / ( x 0;^0)
c * : / ( * ; * ) = 0
AT = V / ( x 0 ; y 0 ; z 0J
5 .v : / ( V > ; – ) = 0
—————————— ^
0 x
y
0 * x
Fig. 3.4 Fig. 3.5
ii) Si w = f ( x \ y; z) es una función de tres variables tal que
V /(* 0;y 0; zo) = ( f y (.Xo”, yo’, z o^> f z (.Xo, yo, Zo^ =£ 0,
122
DERIVADAS PARCIALES
entonces V /(x0;y 0;z 0) es un vector normal (ortogonal) a la superficie de
nivel (SN:f(x ; y; z) = c) que.pasa por el punto P0(x0; y0; z 0) (Fig. 3.5).
I i « ni pío 17.- Halle el vector gradiente de las siguientes funciones
■’>/(‘, y) 8 xy — 2 x 4 — 2 y 4 b) g ( x ; y; z) = cos(xy) + x 3y 3z 3
Solución
‘) V /'(x;y) = (/* (x ;y );/y(x ;y )) = (8y – 8x 3; 8x – 8y 3)
l’>V //(x;y;z) = (/*(x; y; z); /y (x; y; z); / z(x; y; z))
= ( – y sen (xy) + 3x2y 3z 3; – x sen (xy) + 3x3y 2z 3; 3x3y 3z 2);
I limpio 18.- Si /( x ; y) = x e y2 – 15 ln(x2 + y 2 + 16), halle V /(2; 0)
Solución
V /(x ;y ) = (jx(x; y ) ; f y (x; y ))
I uego, V /(2; 0) = (- 2 ; 0)
l rorcma 2.- Sean funciones de n variables, entonces V es un
“Carador que satisface las siguientes propiedades:
1 V|/'(p) + g(p)] = v /( p ) + S7g(p), Vp(xx; …:xn) e D
v l/ (p ) ~ tf(p)] = V /(p) – \7g(p)
‘ V M /(P)] = A V /(p)
! V |/(p )5 (p)] = f( p ) V g ( p ) + g (p) Vf (p )
t; I ^ > 1 _ 5 (p)V /(p) – f(p )V g ( p )
I.9(p )J k w F ———– 5(P) * °
• \ ‘l( /( p ) ) r] = r [ /( p ) ] r- 1V /(p)
l I vcctor V /(p) indica la dirección de máxima razón de cambio de / en el
punto ]).
CALCULO III
DIRECCIONAL DERIVADA DE UNA FUNCION DE VARIAS
VARIABLES
Definición 6.-
Sea f \ D c IR2 -> R una función de dos variables con dominio D c= M2, y sea
u = (u x; u 2) un vector unitario en R2.
La derivada direccional de / en el punto (x;y) E D en la dirección del vector
unitario u, es la función de dos variables denotada por
£>u/0 ; y) = AJli-m» 0
si este límite existe.
INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA
DERIVADA DIRECCIONAL
Sea f : D c z R 2 – i R una función de dos variables
,tal que D ^ f ( x 0]y0) existe para (x0;y 0) E D y u
vector unitario en R2.
La derivada direccional de / en el punto (x0;y 0) E
D en la dirección del vector unitario u, esto es.
£ïï/(*o;yo) = Hm
/((* o ; yo) + t ó )) – / ( x 0;y 0)
Ai-»0 h
representa la pendiente de la recta tangente (Lr ) a la curva de intersección de la
superficie z = f ( x \ y ) con el plano perpendicular al plano XY que contiene a la
recta L: (x; y; t) = (x0; y0; 0) + t(x 0; y0; 0), t E IR
Observación 6.- (Interpretación de la derivada direccional como razón de
cambio)
i) La derivada direccional de / en el punto (x0;y 0) E D en la dirección del vector
unitario u = (i¿i;u2)> esto es,
n , , . .. f ( í x 0;y 0) + h u ) ) – f ( , x 0;y0)
D u f (x 0]y0) = lim ——————-^——————-
mide la razón (o velocidad) de cambio instantáneo del valor de la variable
dependiente z = /(x ; y) con respecto a la distancia en el plano XY, medida en
la dirección del vector unitario u.
ii) Si la dirección del vector unitario u está dado en términos del ángulo que
forma este vector con la parte positiva del eje X, esto es, Ü = (eos 6 ; sen Q),
entonces la derivada direccional de / en cualquier punto (x; y) E D es dada
por
124
DERIVADAS PARCIALES
f ( x + h eos 6 ; y + h sen 6) — f (x; y)
0 . / ( x : y ) = J l m íi—————- 4
m este límite existe.
i jmiplo 19.- Sea /( x ;y ) = e xy, ~ y 2. Halle la derivada direccional de / en
• iwlquier punto (x ;y ) E Df , en la dirección del vector unitario
1 1
Solución
„ r , o ,• f ( ( x ; y ) + h u ) – f ( x ; y )
Dnf(x> y) = ¡u n ————— x—————
= li. m-/ (A: + V2 ;y V2) / ( ^ y) /i-»0
= Alil-m»0
hli-*m0-
= e xyh\i-*m0-
– [e*y — y 2]
( h h h2\
– 1
— hli-m»0
fh h h2\ h2 2 h
M y 2 ) _ 1 _
/i
/i h2
■ — lim-
/l-» 0
¿’tf f
= e*y hli-m»0-
(æ >’ Æ* ” ) ( i A – – l = y
—————– W 2 ,,.y?— l _ ,lm _ v i l
W 2 V2/
l»i (luición 7.- Sea / : D c IR2 E una función de n variables con dominio el
• •■limito £> c Kn, y sea u = (ua; ,..;u n) un vector unitario en Rn.
1 1 di 1 ivada direccional de / en cualquier punto x 2; ;Xn) € D en la
in. it mi del vector unitario u es la función de n variables dada por
…; xn) + ftu) – f ( x i , …, xn)
. . . ; xn) = lim ———————- ^———————- .
n rule limite existe.
125
CÁLCULO III
Teorema 3.- Sean / : D c R2 -> R una función de n variables con dominio D,
u = (ux; …; un) un vector unitario en Rn y V /(P) el vector gradiente de / en el
punto P(xx) …; xn) E D, entonces la derivada direccional de f en la dirección del
vector unitario ü es
Dn ,H P ) = W ) . „ = — , df ( P) +. . . . +, —^ / ( P)
Ejemplo 20.- Calcule la derivada direccional de la función
/( x ;y ;z ) = ln(x2 + y 2 + z 2) en el punto P0(2; 2; —4) en la dirección que va de
P1( 2 ;2 ;- 4 ) a ^ ( 3 ; 1; – 5 )
Solución
Un vector en la dirección indicada es
d = K 0 ¡ = ( i ; —i ; – i )
y un vector unitario en la dirección de este vector es
– _ “ _ ( 1 1 1 \
U a – M “ v v f : “ v f ; – v f /
„ „ r , ^ ( 2x 2 y 2 z \
Como V/ (x; y; z) = ————— -; ——— —— -; ——— —— – , entonces el
\x 2 4- y 2 + z 2 x 2 + y 2 4- z 2 x 2 4- y 2 4- z 2/
vector gradiente en el punto P0 es
W , 2 ; –
Por tanto, la derivada direccional de f en el punto P0 es
Ds /(2 ; 2; – 4 ) = V /(2; 2; – 4 ) • u = – ^ =
3V3
Ejemplo 21.- ¿Cuál es el valor del ángulo 6 para el cual la derivada direccional
de / ( x ;y ) = j 25 — x 2 — y 2 en el punto (1; 2) es mínimo y cuál es este valor
mínimo?
Solución
Al usar el vector unitario ü = (eos 6 ; sen 0), se
tiene
g(6 ) = Dnf ( 1;2)
1 1
= ——— eos 0 — — sen 8
2V5 V5
De donde resulta
1 1
g (6) = — = s e n 6 – — eo s6 y
2V5 V5 P|Q 3 7
126
DERIVADAS PARCIALES
1 1
g “(6 ) = — —eos 6 + — s e n 6
2V5 v5
Al hacer g'(0) = 0, el punto crítico de g es 6 = arctan(2)
1 -uego,
1 1 1
0
2v5 V5 2
Así, 0 = arctan(2) corresponde a un valor mínimo de g-
Por tanto, el valor mínimo de la derivada direccional de / es
1 / 1 \ 1 / 2 \ 1
2) “ “ i v f ( v f ) ~ V f ( v f ) “ ” 2
PROPIEDADES DE LA DERIVADA DIRECCIONAL
Sean f , g : D c E n -> R funciones reales de n variables, tal que V /(P ) y Ag(P)
existen, VP(xx; …; xn) G D, y sea u = (ux; …; un) un vector unitario en IRn.
I monees se tiene:
») l > a ( f ± 9 ) = Ds f ± D ag
* ‘ ) » ü ( f g ) = fD ñ g + gDüf
in g D u f ~ f D üg .
< > / ) „ – = ——— 5——–,si g(P) o y p e D
il) La dirección del ascenso más rápido de la variable dependiente
z = / ( x 1; …; xn) (o la dirección de máxima razón de cambio de z = / ( P ) )
en el punto P(x1; …; xn) G D, se presenta cuando el vector unitario
u = (ut ; …; u n) tiene el mismo sentido que el vector gradiente V /(x a; …; xn).
En esta dirección, el valor máximo de la derivada direccional de / es
Ds f ( x a; = l|V/(Xj; …;xn)||
e) La dirección del descenso más rápido de la variable dependiente
z = f ( x 1; …;x n) (o la dirección de decrecimiento más rápido de z = f ( P ) )
en el punto P(x1; … ;x n) G D, se presenta cuando el vector unitario
u = (u x; …; u n) tiene el mismo sentido que el vector —V /(xx; …; xn).
I ,n esta dirección, el menor valor de la derivada direccional de f es
Dü/ ( x x; …;x n) = -I IV /O j ; …;x„)||
127
De las propiedades d) y e), la derivada direccional de / en la dirección de
cualquier vector unitario u del espacio Mn satisface la desigualdad
– ||V /( x i ; …;x n)|| < D üf ( x 1;...\xn) < ||V /(xi ; ...; xn)|| f) Cualquier dirección u = (uy, ...; un) perpendicular al vector gradiente V /(x 1; ...; xn) es una dirección de cambio cero en / , esto es Duf { x i ; ...; xn) = V /(xx; ...; x n) • u = 0 g) D ( x 1', ...; xn) = —D ^/(xi; ...; xn) h) Las relaciones de las derivadas parciales de la función z = /(x ; y) con la derivada direccional de / son: D¡f(x; y) = V /(x; y) • í = / X(x; y) (í = (1; 0)) Djf(x) y) = V /(x; y) • / = /y(*;y) 0"= (0; —1)) Ejemplo 22.- La distribución de la temperatura sobre una placa metálica viene dada por la función r ( x ;y ) = 10(x e ">’” + ye~(*~2)2)
Si una mosca se sitúa en el punto P0(2; 0). se pide:
a) Determinar la razón de cambio de la temperatura al desplazarse hacia el punto
(?o(2; 2).
b) ¿En qué dirección desde el punto P0 debe moverse la mosca para que la
temperatura disminuya lo más rápidamente posible?. Si sigue esta dirección,
¿cuál es la rapidez de cambio de la temperatura?
c) ¿En qué dirección desde el punto P0 debe moverse la mosca para que la
temperatura aumente lo más rápidamente posible?. Si sigue esta dirección,
¿cuál es la rapidez de cambio de la temperatura?
d) Si la mosca no quisiera apreciar ningún cambio de temperatura, ¿qué dirección
debe tomar?
Solución
a) Un vector en la dirección de P0 hacia Q0 es
b = PÓQ¡= (0; 2)
y un vector unitario en la dirección de este vector es
CÁLCULO III
Como VT(x;y) = ( l 0 ( e “y* – 2y ( x – 2) e – (x~2)1y, 1 0 ( – 2 xye y2 + e {x 2)‘)),
entonces el vector gradiente de T en P0 es
VT(2; 0) = ( 10; 10)
DERIVADAS PARCIALES
Luego, la razón de cambio de la temperatura ai moverse en la dirección del
vector b es
DÜ_T{2; 0) = VT(2; 0) • u g = 10
b) Para que la temperatura disminuya lo más rápido posible, la mosca debe
moverse en la dirección del vector
-V T (2 ; 0 ) = ( – 1 0 ;- 1 0 )
En esta dirección, la rapidez de cambio de la temperatura es
|£>C77T (2 ;0 )| = |-||V T (2; 0 )||| = |-1 0 V 2 | = 10a/2
i ) Para que la temperatura aumente lo más rápido posible, la mosca debe moverse
en la dirección del vector
V7(2; 0) = (10; 10)
Ln esta dirección, la rapidez de cambio de la temperatura es
|Daw7-(2;0)| = |||V7-(2; 0 )||| = |l0V 2| = 10V2
il) Para que no haya cambio en la temperatura, se busca ei vector unitario
ü = (ux;i¿2), tal que
íV r(2 ;0 ) «u = 0 « 10Ui + 10u2 = 0 … (1)
l ||u|| = 1 £=> U2 + l¿2 = 1 … (2)
Al resolver las ecuaciones ( 1) y (2), se obtiene
Por tanto, la mosca debe tomar una de las direcciones ü x o u 2 para no tener
ningún cambio en la temperatura de la placa.
• i« tupio 23.- La altura de una montaña sobre el nivel del mar es dada por ia
> nación z = 900 — 2×2 — 2y2, donde x e y medidas en metros son ¡as
…..i donadas este-oeste y sur-norte respectivamente. Un hombre se encuentra en el
pumo /1(6; 5; z0).
o , A que altura se encuentra el hombre?
l’i , I n que dirección desde el punto A debe caminar el hombre para escalar la
montaña lo más rápido posible?. Si sigue esta dirección, ¿cuál es la rapidez de
i ambio del hombre? (considere la unidad de tiempo en segundo).
• i , i ii.il es la dirección que apunta a la cima de la montaña desde el punto A? Si
esta dirección, ¿cuál es el valor de la pendiente de la montaña?
ii ‘•! el hombre se mueve en la dirección sur-oeste, ¿está ascendiendo o
«le u elidiendo?, ¿cuál es su rapidez?
129
CÁLCULO III
e) Describa el lugar geométrico de los puntos que el hombre debe recorrer, si su
deseo es estar a la misma altura sobre el nivel del mar que en el punto A.
Solución ,
a) El hombre se encuentra a la altura de
2o = / ( 6; 5) = 900 – 2(36) – 2(25) = 778 metros
b) Como V /(x ;y ) = (fx(x;y); fy (x-,y)) = (-4 x ; -4 y ) , entonces el vector
gradiente de / en A’ (6\ 5) (Proyección de A sobre el plano XY) es
V /(6; 5) = (-2 4 ; -2 0 )
Luego, la dirección que debe caminar el hombre para escalar la montaña lo
más rápido posible es
V /(6; 5) = (-2 4 ; -2 0 )
En esta dirección, la rapidez de cambio de / es
DSv/ ( 6; 5) – ||V /(6; 5)|| = a/976 s 31,24
Por consiguiente, el hombre está subiendo con una rapidez de 31,24 m/seg
c) Como la superficie de la montaña tiene la forma de un paraboloide elíptico con
vértice en el punto V(0;0;900), entonces la dirección que apunta a la cima de
la montaña es dada por el vector que va del punto A! (6; 5) hacia el origen de
coordenadas, esto es
a = A rQ = ( – 6; – 5 )
y el vector unitario en esta dirección es
‘ a / 6 5
Ui ~ l|a|| ” I V óT V61
Luego, el valor de la pendiente en esta dirección es
£ u / ( 6; 5) = V /(6; 5) • u a = ^ = 31,24
d) Para la dirección sur-oeste, se tiene 6 = 225° (Fig. 3.8)
130
u = (eos 225°; sen 225°) ~
Así, Düf ( 6; 5) = V /(6; 5) • u = 22V2 = 31,11
Por tanto, el hombre está subiendo con una rapidez de 31,11 m/seg.
* ) I I lugar geométrico de los puntos en la que el hombre debe recorrer alrededor
de la montaña manteniendo la misma altura que en el punto A ( 6; 5; 778),
corresponde a la curva de nivel
/( * ; y) = 900 – 2×2 – 2y2 = 778 « 2x 2 + 2 y 2 = 122
£=> x 2 -f y 2 = 61 (circunferencia).
Ijcm plo 24.- Calcule el valor de la derivada direccional de la función
/ : f(x: y) = x s 4- xy 4- y 3 en el punto >4(1; 6), en la dirección de la curva
y * g(x) = 4×2 4- 2
Solución
I a derivada de la función g es g ’(x) = Qx
Como la curva y = g[x) pasa por el punto
1( 1; 6). entonces su dirección es dada por la
iccla tangente a la gráfica de g en A (Fig. 3.9).
Asi, la pendiente de la recta tangente a la curva
y ~ 9 0 0 en el punto A es
m T = # ‘( 1) = 8
y su ecuación es
Lt \ y = 8x — 2
I uego, la ecuación vectorial de la recta tangente es
¿ r :(x ;y ) = (1; 6) + t ( l; 8), t G l
I I vector unitario en la dirección de la recta Lr , esto es, en la dirección del vector
d – ( 1; 8) es
– = ___
3 lláll V 6 5 : V65/
< cuno V /(x ;y ) = (5x4 + y ; x + 3y 2), entonces el vector gradiente en el pui\to A( I ;6) es 7 /(1 ; 6) = ( 11; 109) l'm lanto, la derivada direccional de / en el punto >4(1; 6), en la dirección de la
c urvii y = g(x) es
883
^ / ( l ; 6) = V / ( l ; 6) . u 5 = —
DERIVADAS PARCIALES
I u e g o , el v e c t o r u n ita r io e n la d i r e c c i ó n s u r – o e s t e e s
Fig 3 9
131
Ejemplo 25.- Considere una función /(x ; y), tal que
V/£x; y) = (4 x3 4- 2 x y 4 4- y e xy; —3y 2 4- 4x2y 3 -f xe*y) y /(O; 0) = 21
La temperatura en un punto (x;y) de una placa rectangular con centro en el
origen está dada por
T ( x \ y ) = /( x ;y ) + y 3 – e*y
a) Determine la dirección en que una araña debe ir, partiendo dej punto B( 1; 1) de
la placa, para que se enfríe lo más rápidamente posible.
b) ¿Cuál es la rapidez de la araña en esta dirección?
Solución
Como fx (pc,y) = 4×3 4- 2xy4 4- y e xy, entonces
/( x ; y) = J (4 x3 + 2x y 4 4- y e xy)dx = x 4 + x 2y 4 4- e xy 4- C(y)
donde C(y) es una función de la variable y.
Al igualar las derivadas parciales de / con respecto a y, se tiene
fy (x\ y) = 4x 2y 3 4- x e xy 4- C'(y) = —3y2 4- 4x 2y 3 4- x e xy
<=> C'(y) = — 3y2 <=> C(y) = – y 3 4 k
Luego,
/( x ; y) = x 4 4- x 2y 4 + – y 3 4 k
Dado que /(O ; 0) = 21 <=> 1 4- k = 21 => k = 20
Así, la temperatura de la placa rectangular es
T (x;y) = /( x ;y ) 4- y 3 – = x 4 4- x 2y 4 4- 20
a) Como V 7(x;y) = (4×3 4- 2xy4; 4x2y 3), entonces el vector gradiente de T en
el punto B(l; 1) es
V7″(l; 1) = (6; 4)
Por tanto, la dirección que debe tomar la araña para enfriarse lo más rápido
posible es
v = – V 7 ( l ; l ) = ( – 6; – 4 )
b) La rapidez de la araña en la dirección del vector v es
|£>s_ 7 (l; 1)| = ¡ —||VT(1; 1)||| = |-V 52¡ = V52
Ejemplo 26.- Sea /(x ; y; z) = x 2 4- cos(x 4- y) – z 3. Halle la derivada
direccional de / en el punto P0( 1; — 1; 1) en la dirección de un vector ortogonal a
la superficie de nivel de / que pasa por P0
Solución
Como V /(x; y; z) = (2x – sen (x 4- y); – s e n (x 4- y); – 3 z 2), entonces el
vector ortogonal a la superficie de nivel de / en el punto P0 es
5 = V /(l; —1; 1) = (2; 0; —3)
CÁLCULO III
132
2 DERIVADAS PARCIALES
y el vector unitario en esta dirección es
f _ a _ / Z 3
\
Ua ~ Tiájí ~ vvíí f3 ‘ 0; _ v f f /
Por tanto, el valor de la derivada direccional de / en la dirección del vector
ortogonal a su superficie de nivel en P0 es
Da /(1 ; – 1 ; 1) = V /(l; – 1; 1) . ua = = VÍ3
V13
I jcmplo 27.- Sea /(x ; y; z) = x 2y 2(2z 4 -1)2. Halle la derivada direccional de /
■ n el punto >4(1; 1 ;— 1), en la dirección de la recta tangente a la curva de
intersección de las superficies
Sx: x 2 4- y 2 4- 2(y – x) – 2 = 0
S2:x – y — 2z – 2 = 0
il1 = 5 y A2 = 4
Por tanto, la trayectoria de la partícula es la curva
C: a (t) = (5e~2t; 4e~6t) C: y = y ^ : * 3
Ejemplo 29.- Dada la función / ( x ;y ) = (2by – x )3. Calcule el valor de b para
que el valor de la derivada direccional máxima de / , en el punto 4 ( – l ; 0 ) sea
igual a 3>/T7.
Solución
134
DERIVADAS PARCIALES
Como V /(x; y) = (-3 (2 b y – x )2; 6b(2by – x )2), entonces el vector gradiente
de / en el punte 4 (• -1; 0) es
V /(—1; Oj = (- 3 ; 66)
La derivada direccional de / es máxima en la dirección del vector gradiente
V / ( – 1; 0) = ( – 3; 6b) y su valor es el módulo de este vector, esto es,
DaJ ( – 1; 0) = ||V /(—1; 0)|¡ = ^ 9 + 36b* = 3V l7 => b = ±2
Por tanto, los valores de b son b = — 2 ó b = 2
EJERCICIOS
I H a l l e el gradiente de las siguientes funciones en el punto indicado
a ) / ( x ; y ; z ) = z 2e xs e n y P0(0; 7r / 2; 2)
b) /(x ; y; z) = V* 2 + y 2 ” z po(2; “ 1; °)
c ) /( x ;y ;z ) = sen (3x)cos2x tan z Po(0; 7r/ 2\ tí/ 4)
d ) /( x ;y ;z ) = ln ^ * 2 4-y 2 4-z 2 M “ 1: 1; 3)
e) /(x ; y; z) = x z 4- z* 4- y z 4- zy P0(2; 1; 1) R . (1 ;1; 3)
2.- Encuéntrese la razón de cambio máxima de las siguientes funciones en el
punto que en cada caso se indica (||V /||).
a) /(x ; y; z) = x y 2 4* x 2z 4(3; 1; 2)
b) /(x ; y; z) = e x eos y 4- eysen z 4 ( — 1; 2; 2)
c) /(x ; y; z) = (x + y ) 2 4- z 2 – xy 4- 2z 4 ( —2: 3; 2)
d ) /( x ;y ;z ) = x 2 4 – z H y z + z y 4(4; 1; 1)
e) f ( x , y; z; t ) = xz 4 y 2t . 4(1; 0; -3; 2)
3.- Calcule la derivada direccional de las siguientes funciones en el punto P en la
dirección del vector PQ .
a ) /( x ;y ) = e 2*y 4- 3xarctan(y) , P (0; 0) y Q ( l ; – 1 )
b) /(x ; y) = e* eos y 4- eysen y , P( 1; 0) y Q(—3; 2)
c ) /( x ;y ) = V 3×2 – y 2 – 2 x y + l , P(4; 3) y <3(7; 7) d) /(x ; y; z) = x sen (yz) , P(1; 1; 0) y <2(3; 2; - 2 ) 135 CÁLCULO III rCos(y sen z ) e ) f ( x ; y ; z ) = I e costdt , P(0; 1; 0) y Q (l; 2 ; - 1 ) * xy 4.- Para cada una de las siguientes funciones, calcule el valor máximo de la derivada direccional en los puntos que se indican, así como el vector dirección en el que este ocurre. a ) / ( * ; y ) = ~ y . P (i;3 ) b) /(x ; y) = cos(7rxy) - y sen ( n x 2), P( 1; - 1 ) cx) /^(x ;y ;z )x ' = -x- -+-- -ln--(-y--) , P (l; 1; 1) % d) f ( x . y ; z ) - ~ ~ x y z + y 2z , P (-1 ;1 ;0 ) J rZ rx 1 e t 2 dt + z \ ------- n d t , P (l; —1; 1) * J-y l + el 5.- Calcule la derivada direccional de la función / ( x ;y ) = 2 y 3x — 3 x 2 en el ,punto 4(1; 2) en ia dirección del vector a = (A; V i - A2) (A > 0).
Halle A para que esta derivada sea máxima. R. A = 5 /1 3
6.- Una función / de dos variables tiene en el punto P (2; 3) los valores de las
derivadas direccionales de 4 en la dirección al punto A( 3; 3) y de —4 en la
dirección al punto B( 2; 4). Determine el vector gradiente de / en el punto
(2; 3) y calcule el valor de la derivada de / en el punto P(2; 3) en la dirección
al punto Q(8; 11).
R . V f ( 2; 3) =■ (4; – 4 ) y D% / ( 2; 3) = ~
7.- Sea f ( x ; y ) = x 2y. ¿Qué ángulo forma el vector dirección con la pane
positiva del eje X, si la derivada direccional en el punto P (l; —1) es 2?
© R.O arcsen
8.- Calcule el valor de la derivada direccional de la función z = ln(x + y), en la
dirección de la pendiente más pronunciada que caracteriza a la superficie
2z = ln(e* 4* ey) cuando z = 1.
136
e
DERIVADAS PARCIALES
R. Düf ( x ; y ) =
Ve4 – 2eG
■ Si /(x ; y) = ^/l69 — x 2 — y 2, encuentre el vector dirección u, tal que el valor
de la derivada direccional de f en el punto P (3; 4) es cero.
A
R. ± | ( 4 ; – 3 )
10.- ¿En qué dirección /( x ;y ;z ) = (x + y ) 2 4- (y -f z ) ¿ + (z + x )2 crece más
rápidamente en el punto P0(2 ;— 1; 2)? ¿Cuál es la razón instantánea de
cambio de / por unidad de distancia en esa dirección?
R. d = (-1 0 ; 4; 10) y ||V/(2; – 1 ; 1)|| = V216
I I L a altura de una colina sobre el nivel del mar está dada por
h = /( x ;y ) = 200e ‘ (^ 1)2 + 8 0ye”2-v?
donde x e y medidas en metros, son las coordenadas este-oeste y sur-norte
respectivamente. Un atleta se encuentra en el punto 4 (l;0 ;/io)
a) ¿A qué altura se encuentra el atleta?
b) ¿En qué dirección desde el punto A debe comenzar a caminar el atleta para
escalar la colina lo más rápido posible? Si sigue esta dirección, ¿cuál es su
rapidez de cambio del atleta?
c) Si el atleta se mueve en la dirección sur-este, ¿está ascendiendo o
descendiendo? ¿Cuál es su rapidez?
d) Describa el lugar geométrico de los puntos que el atleta debe cam inar, para
estar a la misma altura sobre el nivel del mar que en el punto A.
I.I.- La superficie de un lago se representa por una región D en el plano XY de
modo que la profundidad debajo del punto (x; y) G D es dada por
/( x ; y) = – 1 0 — 2x 2 — 2y 2
Si una pariguana se encuentra en el agua en ei punto (4;3):
a) ¿En que dirección debe nadar para que la profundidad debajo de ella
disminuya lo más rápido posible? ¿Cuál es el valor máximo de la derivada
direccional en esa dirección?
R. á = ( – 1 6 ;- 1 2 ) y !|V /(3;4)|| = 20
b) ¿En qué dirección debe nadar para que la profundidad debajo de ella
aumente lo más rápido posible? ¿Cuál es el menor valor de la derivada
direccional en esa dirección?
1
c) ¿En qué dirección no cambia la profundidad? u = ± – (-3 ; 4)
13.- Una nave espacial ha sobrepasado el planeta Marte cuando su capitán nota
que la cápsula está comenzado a derretirse. La temperatura a su alrededor está
dada por T = ‘x; y; z) = 2e~{1(1; 2; 6) a las 12 de la noche en plena
oscuridad.
a) Los alpinistas no se ponen de acuerdo qué dirección deben seguir para
escalar lo más rápido posible a la cima de la montaña, por lo que deciden
calcular la pendiente de la montaña en el punto A en la dirección norte y en
la dirección nor-oeste. Si deben seguir por la ruta de mayor pendiente,
¿cuál de las dos direcciones deben elegir? R. Deben elegir la dirección
nor-oeste.
b) ¿Cuál es la dirección de máxima pendiente en Al ¿Cuál es el valor de dicha
pendiente? R. Dirección á = ( – 10; 9) y ||V /(1; 2)|| = V lB l
25.- Sea /( x ;y ;z ) = in(x2 4 y 1 4 z 2). Halle la derivada direccional de / en el
punto ( 1; 3; 2) a lo largo de la curva de intersección de las superficies
Sx: 3 6×2 4- 4 y 2 4- 9z 2 = 108 y S2‘ x ¿ 4 y 2 — 5z = 0, si al mirar éste desde
el origen, el sentido es horario.
«’ W – W ’ r m
26.- Sea C la curva de intersección de los cilindros x 2 4 v 2 = 1 y x 2 4 z 2 = 1,
en el primer ociante. Halle la derivada direccional de la función
/(x ; y; z) = x 2 4 y 2 4 z 2 a lo largo de esta curva en el punto
y/2 V2 V 2\ 2V6
Y – Y – T ) R- D*f = —
3.4 PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA SUPERFICIE
Teorema 5.- Sea S :F (x ;y ;z ) = 0 la ecuación de una superficie, donde
F (x ;y ;z) es una función con primeras derivadas parciales continuas. Si Fx, Fy
y Fz no son todos ceros en el punto P0(x0; y0; z0) ES, entonces el vector
N = VF(x0;y 0; z0) es normal al plano tangente a la superficie S en P0.
140
DERIVADAS PARCIALES
Definición 8.- Sea S :F (x ;y ;z ) = 0 la ecuación de una superficie, donde
F (x ;y ;z) es una función con primeras derivadas parciales continuas en
l’o(x0; y0; z0), con VF(x0; y0; z0) * 0.
i) El plano que pasa por P0 y es normal a VF(P0) se denomina plano tangente a S
en P0 y tiene por ecuación general
PT: F*(x0; y0; z0)(x – x0) + Fy (x0; y0; z0)(y – y0) + Fz( x y 0; z0)(z – z0) = 0
ii) La recta que pasa por P0 y tiene la dirección de VF(x0;y 0;z 0) se denomina
recta normal a S en P0 y tiene por ecuación vectorial
Ln = {(x0;y 0;z 0) + íVF(p0) / t e * }
La ecuación simétrica de la recta normal a S en P0 está dada por
x – x0 _ y – yn _ z – zn
N’Fx(x0;yQ-.z0) Fy(x0;y 0;z0) Fz(x0;y0;z 0)
Ejemplo 30.- Halle las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la
superficie 4 x 2 -f y 2 — 16z = 0 en el punto (2; 4; 2).
Solución
Al considerar F(x; y; z) = 4x 2 4 y 2 – 16z = 0, se tiene
VF(x;y; z) = (8x; 2y; -1 6 )
Así, el vector gradiente en el punto P0(2; 4; 2) es
VF(2; 4; 2) = (16; 8 ;-1 6 )
Luego, la ecuación del plano tangente en P0(2; 4; 2) es
PT\ 16(x – 2 ) 4 8(y – 4) – 16(z – 2) = 0 Pr : 2x 4 y – 2z – 4 = 0
La ecuación simétrica de la recta normal es
x — 2 y — 4 z — 2
Ln ‘ – ~ T ~ :=~ T ~ = ^ 2~
Observación 7.- Sea £ la curva de intersección de las superficies
F (x ;y ;z ) = 0 y 6 (x ;y ;z) = 0
La recta tangente a la curva £ en el punto P0(jc0; y0: zq)< es la recta intersección de ios planos tangentes a las superficies F (x ;y ;z) = 0 y 6 (x ;y ;z ) = 0 141 CÁLCULO III en el punto P0. Luego, los vectores normales Ñx = VF(x0;y 0;z 0) y N2 = V6 (x0;y 0;z 0) son ortogonales al vector tangente a la curva ¿?en P0. Por tanto, el vector tangente a la curva en el punto P0 tiene la misma dirección que el vector Ñx x Ñ2. Observación 8.- Si la ecuación de una superficie está definida de manera explícita por z = /(x ; y), se define la función F por F (x ; y; z) = /(x ; y) — z = 0 y la ecuación del plano tangente en el punto P0(x0; y0; z0) viene dada por p t ■ f x ( x Q: y 0) ( x - x 0) + f y ( x 0: y 0) ( y - y0) - (z - z0) = 0 Ejemplo 31.- Halle la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva de intersección de las superficies x 2 + y 2 - z = 8 y x - y 2 + z 2 = - 2 en el punto P0(2; - 2 ;0 ). Solución Sean las superficies: F(x; y; z) = x 2 4- y 2 - z - 8 y G(x; y; z) = x - y 2 + z 2 + 2 Luego, los vectores gradientes de estas funciones son VF(x;y; z) = ( 2 x ; 2 y ; - l ) y VG(x;y;z) = ( l ; - 2 y ; 2 z ) En el punto P0(2; —2; 0), los vectores normales de los planos tangentes son Ñx = VF(2; - 2 ; 0) = (4; - 4 ; 1) y Ñ2 = VG(2; - 2 ; 0) = (1; 4; 0) De donde se obtiene a = Ñ1 x Ñ2 = (4; —1; 20) Por tanto, la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva g en el punto P0 es Lt : (x; y; z) = (2; - 2 ; 0) + t(4; - 1 ; 20), t 6 1 Ejemplo 32.- Halle el valor de m para el cual el plano Q: x - 2y - 2z 4- m = 0 es tangente a la superficie S : x 2 4- 4 y 2 4- 16z2 = 144 Solución Al expresar la ecuación de la superficie S en su forma explícita, se tiene F(x; y; z) = x 2 4- 4 y 2 + 16z2 - 144 Si Po(x0;y 0; z0) es el punto de tangencia del plano tangente, entonces su normal es Ñ = VF(x0; y0; z0) = (2x0; 8y0; 32z0) Como el vector normal del plano dado ÑQ = ( 1; - 2 ; - 2 ) y Ñ son paralelos, se sigue que Ñ x Nq = ( - 1 6 y0 4- 64z0; 4x0 4- 32z0; - 4 x 0 - 8y0) = (0; 0; 0) 142 DERIVADAS PARCIALES De donde resulta x0 = - 8z0 y y0 = 4z0 Puesto que P0( - 8z0; 4z0; z0) es un punto de la superficie S, entonces sus coordenadas satisfacen su ecuación, esto es 64zo 4- 64zq 4- 16zq = 144 « z0 = ±1 I Aiego, los puntos de tangencia son P0( - 8 ; 4 ; l ) y P '0(8; - 4 ; - 1 ) Por tanto, al ser P0(—8; 4; 1) y P '0(8; -4 ; - 1) puntos del plano Q: x — 2y — 2z 4- m = 0, se obtienen m = 18 para el punto P0 y m = —18 para el punto P '0. x 2 z 2 Ejemplo 33.- Halle los puntos de la superficie S: — 4- y 2 H---- = 1 1 , en los 4 4 cuales el plano tangente a 5 es paralelo al plano Q: x 4- 2y 4- 3z = 3. Para cada uno de los puntos obtenidos, escriba la ecuación general del plano tangente. Solución Consideremos la ecuación de la superficie como 2 2 F (x \ y; z) = + y 2 + - 11 ¡ X Z \ Como VF(x; y; z) = ; 2y; - J , entonces el vector normal del plano tangente a la superficie S en el punto Po(x0’, y 0] z0) es Ñ = VF(x0;y 0;z 0) = ( y2 ; 2y0; y2) Dado que el plano tangente PT y el plano Q'son paralelos, se sigue que sus vectores normales N y NQ = (1; 2; 3) son paralelos, lo cual significa que 3 N X Ñ Q = (6 y0 - z0; - - x 0 + ~ 2yo) = (0; 0; 0) De donde resulta: x0 = 2y0 y z0 = 6y0 Puesto que P(2y0; y0; 6y0) es un punto de la superficie de 5, sus coordenadas satisfacen su ecuación, es decir S: + yo + 9yo = n <=> y0 = ±1
Luego, los puntos de tangencia son: Pt (2; 1; 6) y P2 (—2; —1; —6)
Por tanto, las ecuaciones generales de los planos tangentes en los puntos Pt y P¿
son respectivamente
143
CÁLCULO III
Qt : x 4- 2y 4- 3z – 22 = 0 y Q2\x 4 2y 4 3z 4 22 = 0
Ejemplo 34.- Sea £ la curva de intersección del paraboloide z = 9 — x 2 — y 2 con
el plano x = 1.
a) Halle la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva & en el punto
pi (i; 2; 4).
b) Halle la ecuación del plano tangente a la superficie S : 4 x 2 4- 3y 2 — 24z = 0,
que es perpendicular a la recta tangente obtenida en a).
Solución
La función vectorial que indica la posición de un punto sobre la curva £ es
C :a (t) = ( 1; t; 8 — t 2)
Para t = 2, se obtiene a ( 2) = (1; 2; 4)
Como a ‘( 0 = (0; 1; —2t), entonces a ‘(2 ) = (0; 1; —4)
a) La ecuación vectorial de la recta tangente a la curva en el punto Px(1; 2; 4),
que sigue la dirección del vector a'(2) es
Lt \ (x; y; z) = (1; 2; 4) + t(0; 1; -4 ) , t e R
b) Sean F (x ;y ;z ) = 4 x 2 4 3y2 – 24z y P(x0′,y0) z 0) el punto de tangencia del
plano tangente a la superficie S. Luego, se tiene
/V = VF(P0) = (8×0;6 y 0;- 2 4 )
Como el plano tangente es perpendicular a la recta tangente obtenida en a),
entonces el vector normal N y el vector dirección de la recta tangente
á = (0; 1; —4) son paralelos, lo cual implica que
N x á = (—24y0 4- 24; 32×0; 8×0) = (0; 0; 0)
De donde resulta, y0 = l ,x 0 = 0
Así, en virtud de que P (0; 1; z0) es un punto de la superficie 5, se tiene
1
0 4 3 — 24z0 = 0 => z0 = —
8
Por consiguiente, la ecuación del plano tangente que pasa por P ^0; 1; es
PT: 2y — 8z — 1 = 0
Ejemplo 35.- Demuestre que la suma de los cuadrados de las intersecciones con
los ejes coordenados de cualquier plano tangente a la superficie
* 2 /3 y 2/3 _|_ z 2/3 _ £ 2 /3 e s c o n s t a m e e ig Ual a b 2 .
Solución
144
DERIVADAS PARCIALES
Sean • F(x; y; z) = x 2/3 + y 2/3 + z 2/3 – b2/3 y P0(x0; y0; z0) el punto de
tangencia de la superficie. Entonces
S = VFOW –
Luego, la ecuación del plano tangente a la superficie en P0 es
PT: x~ 1/3(x – x 0) + y0“1/3(y – y0) + z0″ 1/3(z – z0) = 0
el cual es equivalente a
: -1 7 3 + -T 7 J + – ^ 3 = fo2/3 ( * o /3 + y o /3 + z o /3 = ¿ 2 / 3 )
^0 ^0 z o
Las intersecciones del plano tangente con los ejes X,Y y Z son respectivamente
x = x l /3b2/3, y = y l /3b 2/3 y z = z¿/3b2/3
Por consiguiente, la suma de los cuadrados de estas coordenadas es
x 2 4- y 2 4- z 2 = (x02/3 + y02/3 4 z 2J 3)bA/3 = b2/3b4/3 = b2
EJERCICIOS
1.- Determine la ecuación general del plano tangente y de la recta normal, para
cada una de las superficies, cuyas ecuaciones se dan a continuación, en el
punto P dado.
a) x 2 4- y 2 4- z 2 = 17 , P(2; – 2; 2) F. 2x – 2y 4 3z = 17
b) z = —^ ‘ P(2; —1; 2)
x 4- y
c) x 5 4 y 5 4- z 5 = 30 — xyz, P (2; 1; —1)
d) x 1/2 + y 1/2 + z 1/2 = 4, P ( 4 ; l ; l )
e) 2×2 – x y 2 – y z 2 = 18, P (0 ;-2 ;3 ) .
0 ^ 2/3 + y 2/3 + z 2/3 = 14, P ( – 8; 27; 1)
2.- En los siguientes casos, halle la ecuación vectorial de la recta tangente a la
curva de intersección entre las superficies dadas en el punto indicado.
a) y = x 2 , y = 16 — z 2 , P(4; 16; 0)
b) x 2 4- z 2 4 4y = 0, x 2 + y 2 4- z 2 4 7 = 0, P (0; —1; 2)
c) x = 2 4- cos(7ryz) , y = 14- sen (:nxz), P (3; 1; 2)
d) xyz = 36, 4 x 2 4- y 2 — 2xz2 = 105 , P (6; 3; 2)
145
CALCULO III
/ x 2 3 y
3.- Dada la función /( x ;y ;z ) = a r c s e n —- i——– h
6 2 2 4 – 2 ,
a) Halle la ecuación del plano tangente a la superficie de nivel
/(x ; y; z) = – , e n el punto ^1; – ; —4^ R.x 4 3 y — z = 6
b) ¿En qué proporción varían los valores funcionales cuando comienza a
moverse desde el punto (1; 1/3; – 4 ) hacia el punto (2; —5/2; —2)1
Sugerencia: Aplique el concepto de la derivada direccional.
x 2 y 2 z*2
4.- ¿En qué puntos del elipsoide — 4- — 4 — = 1 la normal forma ángulos
a¿ b c*
iguales con los ejes coordenados?
5.- Dada la superficie x 2 4- 2y 2 4- 3z2 = 21, trace a ella planos tangentes que
sean paralelos al plano x 4 4y 4 6z = 0
6.- Halle la ecuación del plano tangente a la superficie 4 y 2 — 2×2 — 7z = 0 que
x z
pase por el punto ( – 8; 0; 4) y sea perpendicular al plano – — – = 1
R. 4x 4 4Vóy 4 7z 4 4 = 0
7.- ¿En qué puntos de la gráfica de la superficie S : 4 x 2 4 y 2 4 z 2 – 2xy = 12,
los planos tangentes a la superficie son paralelos al plano YZ?
R. (2; 2; 0) y (—2; —2; 0)
8.- Halle las ecuaciones del plano tangente y recta normal, si se sabe que el plano
tangente es horizontal a la gráfica de la superficie z = x 2 4 4 y 2 4 1
R. Plano tangente: z = 1
9.- Verifique que la suma de las intersecciones con los ejes coordenados de todo
plano tangente a la superficie V* + yfy 4 Vz = yfa t a > 0 es constante e
igual al valor de a.
10.- Halle la ecuación del plano tangente a la superficie x 2 – y 2 – 3z = Ó que
(x — 2 y = 0
pase por el punto (0 ; 0; —1) y sea paralelo a la recta j ^ _ z _ q
R. 4x — 2y – 3z = 3
146
DERIVADAS PARCIALES
11.- Halle en la superficie x 2 4 y 2 – z 2 – 2x = 0 los puntos en que los planos
tangentes a ella sean paralelos ajo s planos coordenados. R. En los puntos
(1 ;± 1 ;0 ) los planos tangentes son paralelos al plano XZ, y en los puntos
(6; 0; 0) y (2; 0; 0) al plano YZ. La superficie carece de puntos en los cuales
el plano tangente sea paralelo al plano XY.
12.- Halle la mayor razón de cambio de la función
f ( x ; y; z) = e x2 cos((x 4- 2y) n) 4 16y2 4- z 2
en el punto P0, donde P0 es un punto de la superficie
S : z 2 = x 2 — 2y 2 4 3y — 6
en el que el plano tangente es paralelo al plano 2x — y — 2z = 6
x 2
13.- Halle la ecuación del plano tangente a la superficie — 4 y 2 4 7z2 = 126
que es ortogonal a la recta tangente en (2; 1; 6) a la curva de intersección de
las superficies z = x 2 4- 2y2 , z = 2×2 – 3y2 4 1
¡63
R. 5x + 2y + 28z ± 166 |— = 0
^ 8 3
14.- Halle el valor de k para que en todo punto de la intersección de las dos
esferas (x – k ) 2 4- y 2 + z 2 = 4 y x 2 4 (y – l ) 2 4 z 2 = 1, los planos
tangentes sean perpendiculares uno al otro. R. k = ±2
15.- Def. Dos superficies son tangentes en el punto P si tienen el mismo plano
tangente en P. Demuestre que las superficies dadas son tangentes en P.
a) x 2 4- y 2 4 z 2 = 2 ( yz = 1, P (0; 1; 1)
b) x 2 4- y 2 4- z 2 = 3 , xyz = 1, P (l; 1; 1)
x 2 y 2 z 2 f b2 4 c2\ 2 b2
c) “ 7 + * + y ” 4 z ————- ) = — (b^ + c¿), P(0; ±b] c)
a ¿ b¿ c¿ \ c ‘ J c¿
16.- Def. Dos superficies son ortogonales en el punto P si sus normales en P son
perpendiculares. Demuestre que las superficies dadas son perpendiculares
entre si en el punto dado.
a) 3×2 4- 2y2 – 2z = 1, x 2 + y 2 4 z 2 – 4y – 2z 4 2 = 0 , (1; 1; 2)
b) x 2 — y 2 4 z 2 = — 2 , x 2 4 y 2 4 3z2 = 8 , (- 1 ; 2; 1)
147
CÁLCULO III
3.5 INCREMENTO Y DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS
VARIABLES
Para una función / de varias variables no es suficiente la existencia de las
derivadas parciales en un punto para decir que la función es diferenciable en ese
punto, puesto que la existencia de la derivada en la dirección de los ejes
coordenados no implica la existencia de la derivada en otras direcciones.
Es más, aunque la derivada de la función existiera en un punto en todas las
direcciones, no se puede garantizar la existencia del plano tangente a la gráfica de
/ en ese punto.
Por ejemplo, una función / de dos variables, geométricamente es diferenciable en
un punto (x0;y 0) E Df si existe plano tangente a la gráfica de / en el punto
Q(x o>yo> /(* o ;y o )); y est0 ocurre cuando la gráfica de / es suave en ese punto,
es decir, su gráfica no tiene vértices, puntos críticos, etc. en ese punto.
La diferencial de una función de varias variables es el concepto teórico que
garantiza la existencia del plano tangente a la gráfica de la función en un punto.
Vamos a empezar a definir el concepto de incremento de una función de varias
variables. Luego, se presenta el concepto de diferencial de una función de varias
variables.
Definición 9.- Sea f : D c R 2 R una función de dos variables, tal que
z = /( x ;y ) , y sean Ax y Ay los incrementos de x y de y respectivamente. El
incremento de z = /(x ; y) en cualquier punto (x; y) E D es dado por
A/ (x; y) = Az = / ( x + Ax; y + Ay) – /(x ; y)
En general se tiene la siguiente definición:
Definición 10.- Sea / : D c l n – » l una función de n variables, tal que
z = /(X i; …; xn) y sea AP = (Ax1: …; Axn) el incremento del punto
P(xa; …;x n) E D. El incremento total de la función / o simplemente incremento
de / en P es dado por
A /(P ) = Az = f ( x x + Axx; …; xn + Axn) – / ( x ^ …; x n) ó
A /(P ) = / ( P + A P ) – / ( P )
148
DERIVADAS PARCIALES
Ejemplo 36.- Sea /(x ; y) = 3 x 2 + 2 xy — y 2 , Ax = 0,03 , A y — —0,02
1 lalle el incremento de f en el punto P (l; 4).
Solución
El incremento de la función z = /(x ; y) en el punto P( 1; 4) es
A/(l; 4) = / ( I + 0,03; 4 – 0,02) – /(1 ; 4) = /(1 ,0 3 ; 3,98)
= [3(1,03)2 + 2(1,03)(3,98) – (3,98)2] – [3 + 8 – 16] = 0,5411
Definición 11.- (Diferenciabilidad de una función) Sea f : D c R ¿ -> R una
función de dos variables, tal que z = /(x ;y ) , y sea AP = (Ax; Ay) el incremento
del punto P(x; y) E D.
Se dice que la función / es diferenciable en P (x;y), si existe el vector gradiente
V /(P) tal que para P + AP E D el incremento Az se puede expresar en la forma
A /(x; y) = Az = Dx/(x ; y)Ax + D2/(x ; y)Ay + s1 Ax + e2Ay ó
/ ( P + AP) = /( P ) + V /(P) • AP + £(AP),
donde lim s(AP) = lim ¿(Ax;Ay) = 0
AP-*0 (Ax;Ay)-»(0;0)
Kjemplo 37.- Sea f(¿x\y) = 4 x – 2 x y 2. Demuestre que / es diferenciable en
lodos los puntos de K2.
Solución
Para P(x; y) e R 2 y AP = (Ax; Ay), se tiene
/'(P + AP) = / ( x + Ax; y 4- Ay) = 4(x + Ax) – 2(x 4- Ax)(y + Ay) 2
= 4x – 2xy2 + (4 – 2y2)Ax – 4xyAy – (4yAy)Ax – [2xAy + 2AxAy]Ay
= / ( * ; y ) + V /(P ) • VP + e(Ax; Ay),
donde
lim e(Ax;Ay) = lim [-(4yAy)A x – (2xAy + 2AxAy)Ay] = 0
(A*;Ay)->(0;0) (Ax;Ay)-<0;0) Por consiguiente, / es diferenciable en cualquier punto (x;y) E IR2. En general, \e tiene la siguiente definición: Definición 12.- Sea f : D c Rn -> M. una función de n variables tal que
f ( x x\ …; xn) y sea AP = (Axx; …; Axn) el incremento del punto
P(x,; …;x n) e D.
‘.c dice que / es diferenciable en P(xt ; …;x n) si existe el vector gradiente V/ (P),
1.1I que para P + AP G D el valor de la función se puede expresar en la forma
149
CÁLCULO III
/ ( P + AP) = f ( P ) + V /(P) • VP + £(AP)
donde lim_f(AP) = lim e(AXl; …;Axn) = 0
A P – 0 (A*i; …;Axn)-»(0;…;0) 1 n ‘
Teorema 6.- Si una función / : D c IR2 —> IR de dos variables es diferenciable en
el punto P0(x0; yo) > entonces / ’ es continua en P0.
El recíproco del Teorema 6 no es necesariamente verdadero, como se puede
observar en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 38.- Demuestre que la función /( x ;y ) = yjx2 -f y 2 es continua en
(0; 0) pero no es diferenciable en (0; 0).
Solución
i) /(O; 0) = 0 ii) lim /( x ;y ) = lim J x 2 + y 2 = 0
U;y)->(0;0) (x;y)-*(0;0)
í¡i> = 0
Por tanto, / es continua en (0; 0). Por otro lado,
V /(x ;y ) = ( — = ■ — = L = )
V V ^ + y 2 V x2 + y V
no existe en (0; 0). Luego, / no es diferenciable en (0; 0).
Teorema 7.- Si la función / : D c IR2 -> K y las funciones
a» y j j
/ es diferenciable en D
f f ^ > y j r r N t/y v ^ > y y
J x \ x ‘ -o- —k– —–= lki-m* o —-f—c = 0
Luego, las derivadas parciales de / en (0; 0) existen.
Ahora, sean Tt = {(x; y) 6 R2 / y = x} y T2 = {(x; y) e / y = 0) dos
trayectorias que pasan por el punto (0; 0). Los límites de / sobre estas trayectorias
son
1
Sobre 7\ : lim /(x ; y) = lim / (x; x) = –
Sobre T2: lim / O ; y ) = lim /(x ;0 ) = 0
(x;y)-*(0;0)’ v *-»cr
Así, pr or la reizla de las dos trayectorias Ú;yliWm 0;0)f (x; y) no existe, lo que
significa que / no es continua en (0; 0).
Por consiguiente, en virtud del teorema 7, / no es diferenciable en (0; 0).
Definición 13:- (Diferencial Total). Sea / : D c E 2 – > 1 una función de dos
variables para la cual existen /*(x; y) y /y(x; y) en todo (x; y) E D, y sean Ax y
Ay incrementos de x e y respectivamente.
i) Las diferenciales de las variables independientes x e y son
dx = Ax , dy = Ay
ii) La diferencial total de / , denotada por d /(x ; v) es
, d f í x ; y ) j . « /(;t , ) ^
d f ^ . y ^ — ^ – d x + ^ ^ d y
La extensión de esta definición a funciones de n variables es el siguiente:
Definición 14.- Sea / : D c ü n – > l una función de n variables para la cual
existen …;x n) para i = 1,2,…,n y sean Ax1#….Axn incrementos de
las variables xx, …,xn respectivamente.
i) Las diferenciales de las variables independientes x1# son
dxi — Axx, d x 2 — Ax2, •••; dXji Ax^
ii) La diferencial total de f, denotada por d /( x l f …, xn) es
3(Xi,…,Xn) ^(^i# ••• < ^n) , df (x' ......= ------------3 ^ ----- d * + " + ^ dXn Ejemplo 40.- Halle la diferencial total de la función z = / ( x ;y ) = ^ + arctan (_^) DERIVADAS PARCIALES 151 Solución Las derivadas parciales de / son 3 y 3 y x 2 1 x 3 = f y ^ y ) = T>+ ^ 2
Luego, la diferencial total de / es
* . í / ( * r , . + a n ; \ x 4 x b +y<-J \ x x b 4 y “ 1 CALCULO III Observación 9.- Sea f : D c R n -> R una función diferenciable en el punto
P(x1; …; xn) 6 D, es decir
A/CP) = D1f ( P ) A x 1 4- – + Dn/( P ) Axn 4- e (AP)
donde lim ¿(AP) = 0
AP—»0
Así, cuando AP = (Axa; …; Axn) -> (0; …; 0), el cambio real de
z = / ( x x; …; xn) es aproximadamente igual a la diferencial total dz, es decir.
Az = A /(P ) = dz = d /(P )
De donde resulta
/ ( P 4- AP) = /( P ) + d /( P )
Ejemplo 41.- Use diferenciales para calcular el valor aproximado de
V 6 (l,9 8 )3 + (4,1) 2
Solución
Al considerar la función /( x ;y ) = ^ 6x 3 4 y 2, se puede calcular con facilidad
/(2 ; 4) = V48 4- 16 = V64 = 4
Luego, al tomar x0 = 2 , y0 = 4 , dx = Ax = -0 ,0 2 y dy — Ay = 0,1 , se tiene
/ ( x 0 4- Ax; y0 4- Ay) = /(1,98; 4,1) = yj6(1,98)2 4- (4,1) 2
s / ( 2 ; 4 ) + d /(2 ;4 )
= 4 4- / x(2; 4)dx 4- /y(2; 4)dy
6x 3 2y
Como fx(x-,v) = (6x 3 + y 2) 2/3 y = 3(6×3 + y ^ / 3
se tiene
, entonces
48 8 1
2; 4) Por tanto.
« 2 ; 4 ) =
– = 3 y / , ( 2 ; 4 ) = – = j
i / 6 ( 1 , 9 8 ) 2 + ( 4 , 1 ) 2 S 4 + 3 ( —0 , 0 2 ) + 7 ( 0 , 1 ) = 3 , 9 5 6 7 o
PROPAGACIÓN DE ERRORES
Si x e y denotan los valores medidos de dos variables y x 4- Ax y y 4- Ay
representan los^alores exactos, entonces Ax y Ay son los errores de medición.
Si los valores medidos de x e y se usan para calcular el valor de la variable
dependiente z = /(x ;y ), entonces el error propagado en la medida de la variable
z es
Az = / ( x 4- Ax; y 4- Ay) – /(x ; y)
Observación 10.-
a) El error propagado en la variable z = /( x ;y ) se estima o se aproxima por la
diferencial total de z, esto es
Az = dz = f x(x: y) dx 4 / y(x; y)dv
b) Para determinar si el error propagado en la variable dependiente z es grande o
pequeño, se usa el error relativo y el error porcentual de z = /( x ;y ) e n el
punto (x; y). Así, se tiene:
i) El error relativo o cambio relativo de / en P(x; y) se estima por
, A/'(P) d /(P )
E. R. ( f ( P) ) = – – – = — —-
17 j / ( p ) / ( / j)
ii) El error porcentual de / expresa el cambio de / como un porcentaje de su
tamaño antes del cambio y se estima por
. A /(P ) * d /(P )
e – p \ m y ■= x 100 * x 100
1 jcmplo 42.- E^l radio de la base y la altura de un cono circular recto miden 20 cm
>■ 50 cm respectivamente, con un posible error en la medición de 0,01 cm. Utilice
diferenciales para estimar el error máximo y e! error porcentual en el cálculo del
volumen del cono.
Solución
1
I I volumen del cono es V = – n r ^ h , con lo cual su diferencial tota! es
dV dV 2nrh n r 2
dV = — dr 4 — dh = —- — dr 4 — – dh
or oh ¿ 3
Como r — 20, h = 50, dr = Ar = 0,01 y dh = Ah = 0,01, entonces
2000tt 400tt
dV = — — (0,01) 4— —— (0,01) = 8rr
DERIVADAS PARCIALES
CÁLCULO III
Por tanto, el máximo error en el cálculo del volumen es aproximadamente Qn cm.
El error porcentual estimado en el cálculo del volumen es
t ‘ . P . O O – f x i o o . 25^ ( 100) » 0,12%
Ejemplo 43.- El error porcentual cometido en la medición de la altura de una
torre es 1% , para lo cual se mide el ángulo de
elevación hasta la parte superior desde el punto A
situado a 40 m de su base. El ángulo medido es de
45° con un posible error de ±0,5 minutos.
Suponiendo que el terreno és plano, halle en forma
aproximada el máximo error porcentual cometido en
ia medición de la distancia del punto A a la base de
la torre.
Solución
Si x es la distancia del punto A a la base de la torre, 9 el ángulo de elevación y h
la altura de la torre, entonces de la figura 3.10 se tiene
h = x tan 9
Luego, la diferencial total de la altura es
dh dh
dh = — dx 4 — d6 = tan 6 dx 4 x sec^Q d6
dx dO
De donde se obtiene
dh tan 9 x s e c 29
— = —-— dx -1—– —–d9 (*)
h n h
Ahora, de la relación de medidas entre grado y minuto se obtiene
1 o r c \ i – ° í 1 8 0 ° – » t í rad ^ fl° -> 60min) _ ( 1 \ ) 1 ü 71 .
lz ^ 0,5 m in í ^ Z ~ U 2 0 / “V y rad. | y _ (120)(180) rU
Luego, al reemplazar los datos
x = 40,9 = 45°, d9 = 0,5 min = 7 — :< = 0,000145 rad (120)(180) dh 1 h — 40 tan 45° = 40 v — = — ~ = 0,01 en (*), se tiene ' h 100 tan 45° /4 0 5ec2 (45°)\ 0,01 = — dx + i ------- ---------- - j (0,000145) dx = 0,3884 Por tanto, el error porcentual cometido en la medición de la distancia del punto A a la base de la torre es dx /0,3884\ E. P. (*) = — (100) = ( - 4Q - J (100) 0 , 9 7 1 % 154 Ejemplo 44.- Si el radio y la altura de un cilindro aumentan en 0,5% y 1% respectivamente, ¿cuál es el cambio porcentual aproximado en su volumen?. Solución El volumen del cilindro de radio r y altura h es V = n r ¿h De donde resulta dV dV dV = — dr 4- — dh = 2nrhdr 4- nr^dh or oh dr dh Como E. P. (r) = — x 100 = 0,5 y E. P (/i) = — x 100 - 1, el cambio r h porcentual aproximado en el volumen del cono es dV dr dh /1 \ E.P.ÍV) = — x 100 — 2 — x 100 4 — x V r h 100 = 2 \2-J 4 1 = 2% Ejemplo 45.- La resistencia total R de n resistencias R1,R2, ... ,Rn conectadas en paralelo está dada por 1 _ 1 1 1 R R1 R2 Rn Los valores de Rv R2, ..., Rn son 50. 100, 150.......50n ohmios respectivamente, con un error porcentual máximo de 0,8% en las mediciones. Estime el error porcentual máximo en el cálculo del valor de R. Solución Las derivadas parciales de R con respecto a R( son dR R2 »¡r¡r“ w..* De donde resulta r 2 2 j^2 dR -- -r^dRx + —¿d R 2 -i----- \-—¿dRn Ai A 2 An dRi Como E.P.(Ri) = — - x (100) = 0,8% , i = 1,2, ...,n, entonces el error porcentual de R es aproximadamente R dR. R dR2 R dRn E P X n - r t -~R?x 100+s ¡ ' " s r x 100+ ' r ; ' ' r 7 x 100 R R R = i r (0,8%) + — (0,8%) + ••• + — (0,8%) = 0,8% A1 A2 Rr DERIVADAS PARCIALES 155 CÁLCULO III Ejemplo 46.- Consideremos el triángulo isósceles T de la figura 3.11. ¿Cuál es aproximadamente el cambio que ocurre en el área de T si las longitudes de sus lados iguales aumentan en una pulgada y el ángulo en el vértice se incrementa en 0,04 radianes? Solución Si x es la medida de la longitud de los lados \ a el ángulo comprendido entre ellos, entonces el área del triángulo es 1 A = - x" se7i (a) Luego, dA dA 1 dA = — dx 4- — da = x sen (d)dx 4- - x 2 cos(a)da dx da 2 1 Como dx — — pies, da = 0,04 radianes; el cambio 1 que ocurre en el area del triángulo es dA = 3 sen Q ( ^ ) + ¿ (32) (eos Q ) (0,04) s 0,28 Ejemplo 47.- Cuando se calcula el área de un trapecio isósceles se obtiene 256 cm2 con un error porcentual de 4%. Si se sabe que al medir las longitudes de la base menor £, base mayor B y de la altura /i, los errores de medición fueron iguales, halle los errores porcentuales al medir b,B y h respectivamente, cuando b = 12 cm, B = 20 cm y h = 16 cm. Solución El área del trapecio isósceles es (b 4- B)h A = ---------— 2 De donde resulta , . dA dA dA h h /b + B\ d A = d b db + M dB + d h dh = 2 ‘“, + 2 dB + {— ) M Como db = dB = dh, h = 16, b = 12 y B = 20, el error aproximado en la medida del área es dA = 8db 4- 8db + 16db = 32db (*) Puesto que el área medida es A = 256 cm2 y su error porcentual 4%, se tiene dA 4 E. P. (A) = — x 100 = 4 « dA = — 4 = 10,24 Luego, de (*) se tiene Fig 3 11 156 DERIVADAS PARCIALES 10,24 10,24 = 32db « db = — — = 0,32 = dB = dh Por tanto, los errores porcentuales al medir b, B y h son db /0,32\ , E. P(b) = — (100) = ( — J (100) = 2,67% dB /0,32\ E.P(B) = — (100) = (— J (100) = 1,6% dh /0,32\ / E. P(h) = — (100) = (— J (100) = 2% Ejemplo 48.- La utilidad mensual en nuevos soles de una empresa que comercializa un solo producto es dada por u ( x ;y) = ^ O 2 + 2 xy), donde x representa el número de unidades vendidas en Lima e y el número de unidades vendidas en Arequipa. Si en la actualidad la empresa vende 200 unidades en Lima y 300 unidades en Arequipa, estime el cambio aproximado en la utilidad de la empresa si las ventas en Lima disminuyen en 1%, mientras que en Arequipa aumentan en 2%. Solución Como las ventas de la empresa disminuyen en Lima en un 1% y aumentan en Arequipa en un 2%, entonces se tiene dx = &x = -2 0 0 (0 ,0 1 ) = - 2 y dy = Ay = 300(0,02) = 6 La diferencial total de la utilidad es 1 x dU(x;y) = Ux (x ;y )d x 4 (7y (x;y)dy = ~ ( x 4 - y ) d x 4 - ^ d y Para x = 200 y y = 300, se tiene dU(200; 300) = 20 dx 4- 8dy = 20( - 2) 4 8 (6) = 8 Luego, A[7(200; 300) = dU(200; 300) = 8 Por tanto, la utilidad mensual de la empresa aumenta aproximadamente en S,. 8 mensual. Ejemplo 49.- Se fabrica un recipiente sin tapa que tiene la forma de un tronco de cono circular con base una semiesfera, tal como se muestra en la figura adjunta. Las dimensiones del recipiente son /\ = 18cm y r — 12 cm Si al recipiente se desea bañar con una capa de plata de 0,01 cm de espesor, estime el volumen aproximado de plata que se necesita para bañar la superficie exterior. i 57 VE = - n r 3 Solución El volumen del tronco de cono circular recto de radio mayor /?, radio menor r y altura h es Vtc = ^ ( r 2 + rR + R2) = ^ ( r 2 + r R + R2) j y de la esfera de radio r es 4 3 Luego, el volumen del recipiente es 20n 2n _ V = —— ( r 2 4- rR 4 R2) 4* —- r 3 J La diferencial total del volumen K es <91/ dV n , n dV = — dr + — dR = - (40r + 6r 2 + 20R )dr + - (20r + 40R)dR Para R = 18, r = 12, dR = AR = 0,01 y dr = Ar = 0,01; se tiene dV = ^ (4 8 0 + 864 + 360)(0,01) + ^ ( 2 4 0 + 720)(0,01) = 8,88?r J Por tanto, para bañar la superficie exterior del recipiente se necesita aproximadamente AV = 8,887r cm3 de plata. Ejemplo 50.- Sea /( x ;y ) = (x 3 4- y 3) J x 2 4 y 2, ¿es / diferenciable en (0; 0)? Solución Por el Teorema 7 podemos ver que / es diferenciable en (0; 0) si df{x-,y) df(x-,y) — r----- y — ----- ox oyson continuas en (0; 0). i) Como lim /( x ,y ) = 0 = /(0 ; 0), concluimos que f es continua en (0;0) (*;y)-»(0;or ii) La derivada parcial de / con respecto a x es CALCULO III h(x;y) = — = -j V" • y ■ i—r----- .si (x;y) * (0;0) .0 , si (x ;y ) = (0; 0) 3 /(0 ; 0) v f(h; 0) — / ( 0; 0) | 2 n | n pues, — ------ = lim ------------------------= nm ft“ ft = 0 tfX h-+0 h h->0
Ahora, al utilizar coordenadas polares, se obtiene
lim /i(x; y) = lim [3r3 cos20 4- r 2 eos 0 (eos36 4 s en39)] = 0 = /i(0; 0)
(*;y)-*(0;0) r – 0 v J
A. si,, /.i,(x ; y). = —d /(-*–;-y–) es contin. ua en (0, n; 0)
ox
158
DERIVADAS PARCIALES
iii) La derivada parcial de / con respecto a y es dada por
df{x\ y) Í3 y 2yjx2 4- y 2 4- ^4======r- ,si (x:y) *= (0; 0)
H(x-,y) – — – j yjx2 + y 2
0 , si (x; y) = (0; 0)
J J m 0 ; 0 ) / ( 0 ; / c ) – / ( 0; 0) fc3V F , 2 i i , n
donde — —– = lim ———– ———— = lim — -— = lim k ¿\k\ = 0
oy k —*o k k-> o k k ^ o
En forma similar, al usar coordenadas polares se tiene
lim H(x;y) = lim [3r3 sen29 4 r 2 sen 9(cos3(
( * ; y ) – > ( o ;o) r – o
= H(0; 0)
d /(x ; y)
Luego, — —— es continua en (0; 0)
oy
Por consiguiente, /(x ; y) es diferenciable en (0; 0).
EJERCICIOS
Sea fix-,y) = Í V ^ + í ? ^ 2 •«<*;)■> * («¡»)
( 0 , si (x; y) = (0; Ö)
1.
¿Es / diferenciable en los puntos (0; 0), (0; 1), (1; 1)? Justifique R. no, no, si
2.- Sea la función
_xy
/ O ; y) = r ‘ ” ‘ * 2 + y
e* + e y + — , si O; y) 7t (0; 0)
^2 , si (x;y) = (0; 0)
Analice la diferenciabilidad en (x; y) = (0; 0) R. no es diferenciable
3.- Para las siguientes funciones, analice la diferenciabilidad en el punto (0;0)
a\)/f (( *;y)a = j1 (*2 + y2)cos \Vx2 + y=2/) ■SL (*: y) * (°: °)
V 0 si (x; y) = (0; 0)
. i * « * ‘ sí
(o , si (x;y) = (0; 0)
4 Sea la función /( x ; y) = -/jxyí, (x; y) £ l 2. Determine el conjunto de puntos
donde / no es diferenciable. R. / no es diferenciable en los eje X e Y.
159
5.- En cada uno de los ejercicios halle d f ( x \ y ) y A /(x ;y ) para los valores
dados de x, y, Ax y Ay.
a ) /( x ;y ) = x 2 — xy 4- y 2 ,x = 2, y = – l,A x = -0 ,0 1 , Ay = 0,02
b) /(* ; y) = se™ *y + cos(x 4- y ) , x = – , y = 0, Ax = 27r, Ay = 3n
6
tí n
c )/( x ; y) = e xysen (x 4 y ),x = – ,y = 0, Ax = – —, Ay = 471
4 4
CÁLCULO III
d )/ (x; y) = —- j – 2 , x = 3,y = l,A x = – 0 ,1 , Ay = 0,05
xy
x 2 4- y^
e) /(x ; y; z) = x 2 — 2y2 4- z 2 — xz
(x; y; z) = (2; – 1 ; 3), (Ax; Ay; Az) = (0,01; 0,02; 0,03)
f) /(x ; y; z) = sen (x + y) – cos(x – z) 4- sen (y 4- 2z)
/ T í Tí \ /T í Tí \
(x; y; z) = ; – ; 0J , (Ax; Ay; Az) = ( – ; – ; 2 j t J
?>
6.- Halle el valor aproximado de las siguientes cantidades utilizando diferenciales.
a) V(5,02) 2 + (11,97) 2 b) V(3,02)2 + (1,99) 2 + (5,97) 2
c) (3,OI) 2 + (3,98)2 + (6,02) 2 + (1,97)~1/2 R. 0,111427
d) sen 32° eos 59° R. 0,273
e) ln [ ( l,l) 3 + (2,3)3] – ln 9 R. 0,43
7.- Un envase de metal que tiene la forma de un cilindro circular recto tiene una
altura interior de 8 pulgadas, un radio interior de 3 pulgadas y un espesor de
0,2 pulgadas. Si el costo del metal que va a ser usado en su construcción
cuesta S/. 10 por pul g3, encuentre el costo aproximado del metal que se usará
en la manufactura del envase. R. S/. 1327T
8.- La gravedad específica S de un objeto está dada por la fórmula S
A – W
donde A es el número de libras de peso del objeto en el aire y W es el número
de libras del peso del objeto en el agua. Si el peso de un objeto en el aire es 20
libras con un posible error de 0,01 libras, y su peso en el agua es 12 libras con
un posible error de 0,02‘libras, encuentre el máximo error posible al calcular S
a partir de estas medidas. También halle el máximo error porcentual.
*-I¿0:(U8%
160
9.- Una compañía va a manufacturar 10000 cajas de madera cerradas con
dimensiones 3 pies, 4 pies y 5 pies. El costo de ia madera que va a ser usada es
de 5 soles por pie cuadrado. Si las máquinas que se usan para cortar las piezas
de madera tienen un posible error de 0,05 pies en cada dimensión, halle
aproximadamente usando la diferencial total, el máximo error posible en la
estimación del costo de la madera. R. 120000 soles
10.- Si cada individuo y cada corporación en la economía de un país gasta una
proporción x de cada sol recibido, entonces por el principio multiplicadorV
(keynes), la cantidad de dinero generada por la infusión de y soles es ^ 1
Si y se incrementa de 1 a 1,03 millones y x disminuye de 0,6 a 0,58, ¿Cuál es
el cambio aproximado en el monto de dinero generado?, ¿aumenta o
disminuye?
1 1 Al medir un triángulo se encuentra que los lados
tienen longitudes de 50 pulg. y 70 pulg. y el
ángulo comprendido entre ellos es de 30°. Si
existen errores posibles de 1/2 % en la medida de
los lados y 1 ¡2 grado en la del ángulo. Halle el
máximo error aproximado en la medida del área.
R. 2,5%
kT
12.- La ecuación P = — , donde k constante, expresa la presión P de un gas
encerrado, de volumen V y temperatura T. Calcule aproximadamente el
porcentaje de error máximo que se comete en P cuando el error en la medida
de T y V es de 1,4% y 0,9% respectivamente..
R. Porcentaje de error máximo de P es 0,5%
13.- Se desea embalar un televisor cuyas dimensiones son: 55 cm de largo, 40 cm
de ancho y 80 cm de altura, con un material homogéneo cuyo peso es de 1/20
gramos por cm3. Si el grosor del embalaje lateral debe ser de 5 cm mientras
que el de la base y la parte superior de 2,5 cm cada uno, use diferenciales y
calcule aproximadamente ei peso de la envoltura.
14.- Cuando un medicamento se ingiere, el tiempo T en el que hay mayor
cantidad del producto en la sangre se puede calcular en términos de la
semivida “x” del medicamento en el estómago, y la semivida “y ” en la sangre.
Para fármacos comunes T está dado por
DERIVADAS PARCIALES
161
7, _ xy( l n x – l n y )
(x – y) ln 2
Para un medicamento en particular x = 30 min e y = 1 hora. ¿Cuál es el
máximo error porcentual en el cálculo de T si el error máximo en la
estimación de las semividas es de 10%? R. 10%
15.- El radio de la base y la altura de un cono circular recto miden 6 cm y 8 cm
respectivamente, con un posible error en la medición de 0,1 cm en cada
dimensión. Utilice diferenciales para estimar el error máximo posible en el
cálculo del área de la superficie lateral.
(Sug. Área Iateral= 7irV r2 + h2) R. 1,84n cm 2
16.- Se tiene un cilindro circular recto metálico cuyas dimensiones son 2 metros
de altura y 1 metro de radio en la base. Se desea pintar exteriormente con una
capa de pintura de 0,002 m de espesor tanto en la parte lateral, como en las
bases. Use diferenciales para estimar la cantidad de pintura que será necesario.
R. 0,012tt m 3
17.- La producción mensual de la fábrica Sajita S.A. es
P (x ;y ) = 60x 1/3y 1/2 unidades
donde x representa el capital invertido en miles de soles e y el trabajo medido
en horas de trabajo. En la actualidad, el capital mensual invertido es de 8000
soles y se emplean cada mes 900 horas de trabajo.
a) Calcule la producción actual
b) Halle el aumento aproximado en la producción de la empresa que resultó de
aumentar el capital en 2000 soles y la fuerza de trabajo en 2 horas.
R. a) 3600 unidades b) aumenta en 154 unidades.
18.- Se quiere construir una pieza mecánica de acero que tiene la forma de un
paralelepípedo recto de base cuadrada. Si al medir el lado del cuadrado de la
base y al calcular el volumen de dicha pieza mecánica se han cometido errores
de 1% y 4% respectivamente, ¿cuál es el error porcentual cometido al medir la
altura del paralelepípedo? R. 2%
19.- El ancho, el largo y la profundidad de un tanque que tiene la forma de un
paralelepípedo rectangular han sido medidos con errores de 2%, 1,5% y 2,5%
respectivamente. Estime el error porcentual máximo al calcular el volumen de
dicho tanque. R. 6%
CÁLCULO III
162
DERIVADAS PARCIALES
3.6 REGLAS DE LA CADENA PARA UNA FUNCIÓN DE VARIAS
VARIABLES
Recordemos que la regla de la cadena para funciones diferenciables de una
variable establece que si y = / ( u ) es una función derivable de u y u = g( x) es
una función derivable de x, entonces la derivada de la función compuesta
y = /C g(x)) es dada por
dy dy du
dx d u ’■dx
En el siguiente Teorema consideraremos la regla de la cadena para funciones de
dos variables, donde cada una de las variables independientes es también función
de dos o más variables independientes.
Teorema 8.- Sea z = /(x ; y) una función diferenciable de x e y. Si x = / (r; s)
y y — f (x ) y) son tales que las derivadas parciales de primer orden
dx dx dy dy — — — y — existen; entonces la función / es de forma indirecta
dr ds dr J ds
función de r y 5, y se tiene
dz dz dx dz dy
dr dx’ dr + dy’ dr
dz dz dx dz dy
ds dx ds dy ds _______________________________
L1 diagrama de árbol de dependencias de la figura 3.12 facilita el cálculo de las
derivadas parciales dadas en las igualdades ( 1) y (2).
Fig. 3 12
Teorema 9.- (Regla de la cadena general). Sea z = /O q ; …;x n) una función
diferenciable de n variables, donde cada x¿ es una función diferenciable de
variables tx, … tm, esto es,
dx
x ¿ = Fi(h> ••• > ^m) y ¿ = *’•’n y j ~ ^ ‘2’ existen.
Entonces la función z = / ( x x; …; xn) es de forma indirecta función de t1#… (tm y
se tiene
dz dz dz dx2 dz dxn
d t 1 dx x ‘ d t 1 dx2 ’ d t x dxn d t x
dz dz dxx dz dx2 dz dxn
d t 2 dx1 ‘ d t 2 dx2 dt 2 dxn ‘ d t 2
dz dz dxx dz dx2 dz dxn
dtm dx1 ‘ d t m dx2 ’ dtm dxn dt m
CALCULO III
Corolario.- Sea z = f ( x l t … # xn) una función diferenciable de n variables. Si
cadax¿(í = 1,2, …,n) es una función derivable de una única variable t, entonces
z es función de t y la derivada total de z con respecto a t es
dz _ dz d x x dz d x 2 dz dxn
dt dxx ’ dt dx2 ‘ dt dxn ‘ dt
Ejemplo 51.- Calcule, mediante la regla de la cadena las derivadas parciales que
se indican a continuación:
dz dz
a) — y — , siendo z = e x ln(y) dr ds ,x = s + 2r, y = rs ‘
dw dw m r
b) — y ——, siendo w = z y + x 3 + y x = r 2 -f s, y = —r + s, z — –
dr ds 7 s
dz
c) — # siendo z = x y 2 — y, x = e~t, y = s e n t
Solución
a) La regla de la cadena para este caso es r
dz dz dx dz dy
dz dz dx dz dy
ds dx’ ds + d y’ ds
Las derivadas parciales de z cpn respecto a x e y son
d z * dz ex
— = e * l n y , — = —
dx dy y
y las derivadas parciales de x e y con respecto a r y s son
dx dx dy dy
^dr- = 2, —ds = 1, ^d~r = s y ds = r
Luego, al reemplazar cada una de estas derivadas parciales en la regla de la
cadena, se obtiene
dz e x e s+2r
— = (e * ln y ).2 H—–.s = 2es+2r. ln(rs) H———
dr y r
b) La regla de la cadena para este caso es
dw dw dx dw dy dw dz
dr dx ‘d r dy ‘ dr dz ‘ dr
dw dw dx dw dy dw dz
ds dx ’ds dy ‘ds dz ‘ds
Las derivadas parciales de w con respecto a x j y z son
dw 0 dw dw _
— = 3 x 2, — = 2 z y + l , – r – = y
dx dy dz
y las derivadas parciales de x , y y z con respecto a r y s son
dx dx dy dy ^ dz 1 dz _ r
dr 1 ds ’ dr ds ‘ dr s’ ds s 2
Luego, al reemplazar cada una de estas derivadas parciales en la regla de la
cadena, resulta
DERIVADAS PARCIALES
^ = (3 x 2). 2r + (2zy + 1). ( – 1) + y 2. –
or s
3 r 2
= 6r 5 -f 12r 3s 4- 6r s 2 4———4r -r s — 1
s
dw „ / r \
— = (3×2) ( l) + (2zy + 1)(1) + y 2 ( – ^ )
r 3
= 3r 4 4- 6r 2s + 3s 2 —- r + r + 1
165
CALCULO III
c) La regla de la cadena para la derivada total es ^ f
dz dz dx dz dy
dt d x ‘ d t ‘ d y ‘ d t y — * ¡
Las derivadas parciales de z con respecto a x e y son
dz 0 dz
— = r , ^ = 2* y – l
y las derivadas ordinarias de x e y con respecto a t son
dx dy
— = — e , — = eos t
dt dt
Luego, al reemplazar cada una de estas derivadas en la regla de la cadena,
resulta
dz
— = y 2. (—e _t) 4- (2xy – 1). eos t
dt
= —e~l sen2t 4- 2e~l sen t eos t – eos t
Ejemplo 52.- Muestre que la sustitución x = e s ,y = e l convierte la ecuación
d 2u \
2 + r
d 2u \ /
d ^ J + X \
du\ ( du\
f e ) +>% ) = 0
en la ecuación • 4- = 0 , donde u = /(x ; y)
Kd x 2) ‘ J \ y 2
d 2u d 2u
J s 1 + a t7
Solución
La regla de la cadena para la función u = /(x ; y) es
du
‘ dx
du du dx du dy
ds d x ‘ d s ^ d y’ ds
du du dx du dy s du
dt d x ’ dt + d y’ dt 6 dy
Al derivar cada una de estas funciones con respecto a s y t, se tiene
d 2u d
d s 2 ds
du
‘ dx.
du
= e s. — + e s
dx
du d (du\
. — 4- e s. — J (Por regla del producto)
d 2u dx d 2u dy
+
d x 2 ‘ ds d y d x ‘ d s
166
s du
‘ dx
4- e s
DERIVADAS PARCIALES
d 2 U
‘ ‘ d ^
1 (du\ 7 d 2u \
d 2u
~dt2
d
dt
du
‘d y
du
’dy
4- e c
du d (du\
e c.— + e . — J (Por regla del producto)
d 2u dx d 2u dyA
dxdy ’ dt + d y 2 ’ dt\
du
= e t.— + e l
dy
d 2u d lu
Por tanto,— — 4- -r-7 = x z
ds d t 2
d 2u
d y : + 0 = yy(\—d y
d 2u \ _ / d 2u \ (d u \ f d u \
d ^ ) +y v w +* f c ) + y f e ) = 0
Ejemplo 53.- Una lancha se dirige hacia el sur con una velocidad de 8 km/h y otra
hacia el este a 12 km/h. A las 16 horas, la segunda lancha pasa por el punto donde
la primera estuvo hace tres horas.
a) ¿Cómo varía la distancia entre ellas a las 15 horas?
b) ¿Cómo varía la distancia entre ellas a las 17 horas?
Solución
a) A las 15 horas, las lanchas se encuentran en los puntos A y B (Fig. 3.13), cuya
distancia entre ellas es dada por __ _ /
z = V *2 + y 2
También, a las 15 horas la primera lancha se encuentra a y = 16 km del punto
de cruce y la segunda a x = 12 km del punto de cruce.
Al aplicar la regla de la cadena, resulta
dz dz dx ( dz dy x dx y dy
d x ‘ d t d y ‘ d t J x 2 + y i ‘ dt J x 2 + y 2 ‘ dt
dx dy
Luego, para los datos x = 12, y = 16, — = —12 y -^- = 8, se tiene
dz / 12\ /1 6 \
Por tanto, la distancia entre las lanchas disminuye a una velocidad de 0,8
km/h.
167
CALCULO
Fig 3 13 Fig 3 14
b) En forma similar, a las 17 horas (Fig. 3.14) x = 12 km, y = 32 km y la
distancia entre las lanchas es dada por
= 4 x ^ + y
Luego, la regla de la cadena en este caso es
dz dz dx dz dy dx
4–
dt dx dt dy dt j x 2 + y 2 dt j x 2 + y
dy
‘ dt
dx dy
Lue^o, para los datos x = 12, v = 32, — = 12 v — = 8, resulta
F ‘ y di ” dt
dz 12
dt V122 + 322
( 12) +
32
V l22 4- 322
(8) = 11,7
Por consiguiente, a las 17 horas, la distancia entre las lanchas aumenta a una
velocidad de 1 1,7 km/h.
Ejemplo 54.- Una piscina tiene 22 pies de ancho,
56 pies de largo, 5 pies de profundidad en un
extremo y 12 pies en el otro extremo, siendo el
fondo un plano inclinado. Si la piscina está
llenándose con un caudal de 20 pies3 / s e g , ¿a
qué velocidad se está elevando el nivel de agua
cuando dicho nivel es de 7 pies en el extremo más
profundo?
Solución
De la figura 3.15, el volumen de agua en la piscina viene dada por
V = 7¡ ( x y ) ( 2 2 ) = 11 xy
56
5 í
x
7
Fig. 3.15
168
La regla de la cadena en este caso es
dV dV dx dV dy dx dy
“ 7 “ = ” T “ – “ 7 7 + ’ ~ T ~ ~ “ j — ^ – ( 1 ) dt dx dt dy dt dt dt
Por semejanza de triángulos (Fig. 3.15), se tiene
y- = —
7 56
Luego, al derivar con respecto a t ambos lados de la igualdad, se obtiene
1 dy
7 ‘ dt
DERIVADAS PARCIALES
1 dx dx
5 6 ’ dt dt
dy
dt (2)
Así, al reemplazar (2) en (1) resulta
dV dy dy
– = W y – + n ^ T t
dy
dt
dV
Al sustituir y = 7 y — = 20 pies3/ s e g , se obtiene
20 = 176(7)
dy dy
dt dt
= 0,01623
Por tanto, cuando la profundidad del agua es 7 pies, el nivel del agua aumenta a
una velocidad de 0,01623 pies/seg.
Ejemplo 55.- En un instante dado, la longitud de un cateto de un triángulo es 20
pies y está aumentando a razón de 2 pies/seg. y la longitud del otro cateto es 24
pies y está disminuyendo a razón de 4 pies/seg. Encuentre la rapidez de cambio de
la medida del ángulo agudo opuesto al cateto de longitud de 24 pies en el instante
dado.
Solución
Sean x, y y 6 las medidas de los catetos y el ángulo del triángulo rectángulo
(Fig. 3.16). Luego, se tiene
tan 6 = – <=> 6 = arctan
x
I .2/(x : *)]
Luego, al evaluar en x = 2 resulta
172
DERIVADAS PARCIALES
t/'(2) = – 2 + 4 [- 2 + 4[—2 + 4]] = 22
/ d w \ 2 / d w \ 2
Ejemplo 60.- Transforme la ecuación = 0, al tomar como
variables independientes a r = J x 2 + y 2 y 0 = arctan
Solución
El diagrama de árbol de dependencias se muestra en la figura 3.19. La regla de la
cadena para w viene dada por
dw dw dr dw d6
dx dr ‘ dx + d6 ‘ dx
dw /X\ dw / y \
dr Vr’ d6 \ r 2′
dw dw dr dw d0
dy dr d y ^ d6 dy j
dw /y \ dw / x \ Fig 3 19
dr d6 Vr2′
dw dw
Al sumar los cuadrados de las derivadas parciales — y — , se obtiene
dx dy
Por tanto, la ecuación resultante es
3.7 DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Se dice que la ecuación
F(x; y; z) = 0 (*)
define en forma implícita a la función / : D c iR2 R, si al sustituir z = /(x ; yj
en la ecuación (*), ésta se reduce a una identidad, esto es,
F(x-, y; /(x ; y )) = 0, V(x; y ) 6 D
Por ejemplo, la ecuación
F(x; y; z) = 3×2 + 4 y 2 4 z 2 — 12 = 0
representa en forma implícita a las funciones
/ = /(x ; y) = ^ 1 2 – 3×2 – 4 y 2 y z = g (x \y ) = 12 – 3×2 4y2
CALCULO III
I c o it im íi d e I» Función Implícita 10.- Sea F : D c R n+1 M una función real
ilc n -f 1 variables tal que:
i) …;xn;z) = 0 … (*)
ii) F tiene derivadas parciales continuas en la vecindad del punto P(x,- ■ x ■ z)
d F ( P)
Entonces la ecuación (*) representa a z en forma implícita como función de
Xj; …;x n, esto es, z = f ( x x\ …;x n) y para P(xj; …;x n;z) e D, se tiene
dF(xi ; …;xn;z)
dz _ a / ( x i;…;x w) dx¡
dxi <3x,- F(xi ; ...;x n;z) ,l ~ 1,2.............. n dz d z d z Ejemplo 61.- Halle — y — , si z = /(x ; y) satisface la ecuación x y 2 + y z 2 4- z 3 4- x 3 - 4 = 0 Solución Sea F(x; y; z) = x v 2 4- y z 2 4- z 3 4 x 3 - 4 = 0 Las derivadas parciales de F con respecto a x, y y z son dF 0 dF dF - = y ^ + 3 X i — = 2xy + z 2, — = 2yz + 3z 2 Luego, al reemplazar cada una de estas derivadas en la forma de la derivación implicita, se tiene dF d l = y 2 + 3x2 <3x 2yz + 3z 2 dz dF_ dz ^ dy 2xy 4- z 2 <5y ^F 2yz 4 3z 2 dz Ejemplo 62.- si u, v son funciones de x e y definidas implícitamente en alguna región del plano XY por las ecuaciones u sen v 4- x 2 = 0 u eos v — y 2 — 0 „ du du / (^2i; d 2 v \ Halle E = y — - x — 4- u y" — - + x 2 — 4- 600 dy dx \ d x 2 d y 2 174 Solución Al derivar en forma implícita ambas ecuaciones con respecto a x, se tiene (du dv — sen v 4- u eos v — 4- 2x = 0 dx dx du dv —— eos v — u sen v — = 0 V dx dx du dv Luego, por la regla de Cramer las variables — y — vienen dadas por DERIVADAS PARCIALES I—2x u c o s v du I o —u s e n v I 2 x u s e n v dx Is e n v u c o s v i —u(sen2v + cos2v) Icosv —u s e n v I = —2x sen v dv dx \ s en v —2x 1 I eos v 0 1 —u 2xcost? u En forma similar, se obtiene du dv 2y sen v — = 2y cos(v) y — = -------------- dy dy u Las derivadas parciales de segundo orden son: d 2v d x 2 2 eos v — 2x sen v dv 1 _ ' d x J ’ 02 x c o s i ; .d^u: 2u eos v 4- 8x 2 sen v eos v d 2v d y 2 u 2n sen v 4.- o2 y eos dv - 2n y s e n v .d^u 2u sen v — 8y 2 sen v eos v u Luego, al sustituir estas derivadas parciales en la expresión de F, se obtiene du du E = y - ---- x — 4-u dy dx d v r ^ + x ' d ? + 600 = 600 Ejemplo 63.- Si / ( x - z; y — z) = 0 define en forma implícita a z como función dz dz de x e y, halle — + — dx dy 175 Solución Al considerar a = x — z y b = y — z, se tiene F(x; y; z) = f ( a \ b ) = 0 Luego, al aplicar la regla de la cadena y la fórmula de la derivación implícita, se tiene dF _ d F da _ d F _ d f dx da 'd x da da dF _ dF da dF db _ d F _ d f dy da ' dy + db' dy db db CÁLCULO III dF _ d F da dF db _ dF dF _ __dj__dj_ dz d a ' dz ^ db' dz da db da db dF dj__ ? ! df_ — — _ dx _ da dz ^ ^ dy _ dx “ dF_~ df_ . d£ ] d y ~ W ~ d F _ , d ¿ dz da T db dz dz Por consiguiente, — 4- — = 1 dz da db Ejemplo 64.- Si z + e x sen (y 4 z) - 1 = 0 define a z en forma implícita como función de x e y, halle Solución d 2z t í — — en el punto (0; - ; 0) dydx 2 Sea F(x; y; z) = z 4- e x sen (y 4 z) - 1 = 0. Luego, al aplicar las fórmulas de derivación implícita, se tiene dF dz ^ e*sen (y 4- z) dz dy _ excos (y 4- z) dx ~ dF ~ I 4 ex cos(y 4- z) ' dy ~ dF 1 + e* cos(y 4- z) E = dz d 2z dydx dz e*[cos(y 4- z) 4- e x cos2(y 4- z)] ^1 4 4- e 2* sen 2(y 4- z) | l 4- dz dy [1 4- e* cos(y 4- z)]2 Al evaluar la derivada parcial de segundo orden en el punto P0 (O; —; o j , resulta 176 DERIVADAS PARCIALES d 2Z dydx (o-f-o) " EJERCICIOS 1.- En los siguientes ejercicios, obtenga las derivadas parciales indicadas al usar la regla de la cadena. ,. 9 du du a )u = (yz) , x = e s+l, y = s ¿ + 3st, z = sent, — ,— ds dt dz b) z = ln(x 2 4- y 2) 4- yjx2 4- y 2, x = e l eos t , y = e t sen t, ^ dz R.—dt = 2 4 e f j dz c) z = x e xy, x — t — 3, y = e c J , — dt d) u = 2x2 — yz 4- x z 2, x = 2 sen t, y = t 2 — t 4-1, z = 3 e_t, du — en t = 0 P. 24 dt du du e) u = aresen (3x 4- y), x = r ¿ex, y = sen(rs)'r — , — dr ds /y \ du du f)u = cosh - ) , x = 2 r ¿s, y = 6ser; — , — w dr ds x — y du du du g )u = ------- -------7 , x = r 4- 3s — t, y = r — 2s + 3t; — , — , — 5; l + x 2 4 y 2 ' d r ds dt du du du h) u = xe y, x = a rc ta n (rs t), y = cos(3rs 4 5s£) ; — , — , — d r ds ot 2.- En los siguientes ejercicios, suponga que w es una función de todas las otras variables. Halle las derivadas parciales indicadas en cada caso. « 0 ^ dw dw a) 3x 2 4- 2y 2 4- 6w — x 4- y = 12, — , — dx dy 0 , dw dw b )x 2 - 2xy 4 2xw 4 3y2 4 w 3 = 21, — , — 7 dx dy 7 7 7 dw dw c) x"v — x"w - 2xy — y w z 4 w = 7, ——, —— dx dy 3.- Suponga que /( x ;y ) = y que g,h son funciones tales que g(2) = 3, g ’(2) = 4, ft(2) = 5, h’(2) = 6; Halle F'(2) si: F (t) = f ( g ( t ) \ h ( t ) ) R. 3Qels 177 4.- Si / ( r ; 5) es diferenciable en (0;0) y Dx/ ( 0; 0) = 2, D2f (0; 0) = 3 y 0 (u ; v) es diferenciable en (0; 0), 0(0; 0) = 0 ,0 U(O; 0) = 7 ,0 y(O; 0) = 9. Sea g(u; v) = / ( 0 ( u ; v); u). Calcule gu(0;0) y <7^(0; 0) R. gu(0; 0) = 17, flfv(0;0) = 18 du uD1f(xu',y) 5.- Dado u = /(x u ; y) demuestre que: — CALCULO III dx l - xD1f(xic,y) d 2z d 2z 6.- Si z = 0 (y + ax) + i//(y - ax), demuestre a z = 0 7.- Si z = /(x ; y), x = r eos 6 , y = r sen 0, demuestre que /d z\ 2 1 /d z \ 2 _ / ^ z \ 2 Vdr/ + r 2 \d # / Vdx/ ^ Vdy/ d 2u d 2u 8.- Si u = e x_at cos(x - a t ) , pruebe que = a j 9.- Dado z = u(x; y ) e ax+by, donde u(x; y) es una función de x e y tal que d 2u -------= 0, (a, b constantes). Halle los valores de a y b que hacen que la dxdy d 2z dz dz , expresión —---------------— + z = 0 R. a = b = 1 dxc/y dx ay dw dw 10.- Si w = /(x ^ - y ;y - x 2), pruebe que y — + x — = 0 /x + y \ 11.- Una función u es definida por una ecuación de la forma u = x y f du du Pruebe que u satisface la ecuación x ----- y — = G(x; y j u y halle 1 dx dy G (x;y). R. G(x\y) = x - y í d F \ 2 f d F \ 2 12.- Una cierta función F(x; y) es tal que J = 2í V(x;y) El cambio de variable x = uv, y = - (u 2 - i;2) transforma la función 178 DERIVADAS PARCIALES F(x; y) en una función de u y v. Determine los valores de las constantes a y b (d F \ 2 , ( d F \ 2 , , 1 , 1 2 /3 /ÓF\ taleSqUeaU =U +V ü ~ 2‘ b = 13.- Un lado de un rectángulo de x = 20 m, aumenta con una velocidad de 5 m/seg? el otro lado de y = 30 m, disminuye con una velocidad de 4 m/seg. ¿Con qué velocidad variará el perímetro y el área de dicho rectángulo? R. Perímetro 2 m/seg, área 70 m 2 / seg 14.- El radio de una esfera disminuye a razón ¡de 2 cm/seg y el radio de la base de un cono recto, inscrito en dicha esfera, aumenta a razón de 1 cm/seg. Calcule la rapidez con que varía el volumen del cono cuando el radio de la esfera es dV de 10 cm y radio de la base del cono 6 cm. R. — = 9n : dt 15.- Una cantidad de gas obedece a la ley de un gas ideal PV = 127, y el gas está en un recipiente que es calentado a una rapidez de 3o por seg. Si en el instante cuando la temperatura es 300°, la presión es 6 lib / pulg2 y está disminuyendo a la rapidez de 0,1 lib /p u l g 2 por segundo, halle la rapidez de cambio del volumen en ese instante. R. Crece a razón de 16 puig 3 /seg Nota: P es la presión, V el volumen, T la temperatura. 16.- En un instante t, medido en minutos, una chinche sobre el plano XY está en el punto (x;y), donde las distancias se miden en pies. La temperatura en (x ;y ) es z = T (x;y) = e “*“2y grados. Cuando la chinche está en el punto (0;0) se mueve hacia el este a una velocidad de 2 pies/min. y hacia el norte a 3 pies/min. Desde el punto de vista de la chinche, ¿con qué rapidez está cambiando la temperatura del suelo? R. —8 °C/min. 17.- Un depósito en forma de un cono invertido, tiene una altura de 10 m y una base de 10 m de diámetro. Si el depósito está llenándose de agua a razón de 2 m 3/ s eg, ¿a qué velocidad se está elevando el nivel de agua cuando el nivel se encuentra a 3 m de la parte superior del depósito? 8 R• ~ ü ¿ m / s e 9 18.- Uno de los lados de un paralelogramo está aumentando a razón de 10 cm/seg. y uno de los adyacentes está disminuyendo a razón de 5 cm/seg, mientras que el ángulo comprendido está aumentando a razón de 2o/ seg. Determine cómo 179 y con qué rapidez está variando el área del paralelogramo en el momento en que tales lados miden 2,40 m y 1,50 m respectivamente, si el ángulo comprendido es 60°. 19.- Una piscina tiene 30 pies de ancho, 40 pies de largo, 3 pies de profundidad en un extremo y 8 pies en el otro extremo, siendo el fondo un plano inclinado. Si la piscina está llenándose con un caudal de 40 pies3 / s e g , ¿a qué velocidad se está elevando el nivel de agua cuando dicho nivel es de 8 pies en el extremo más profundo? R. 1/30 pies/seg 20.- El auto A se desplaza hacia el norte por una carretera y el auto B viaja hacia el oeste por otra carretera, cada uno se aproxima al cruce de estas carreteras. En cierto momento, el auto A está a 1,5 km del cruce y viaja a 90 km/h, mientras que el auto B está a 2,5 km del cruce y viaja a 60 km/h ¿Cuál es la razón de cambio de la distancia entre los autos en ese momento? 21.- El radio de un cilindro circular se incrementa a razón de 6 centímetros por minuto, y la altura decrece a razón de 4 centímetros por minuto. ¿Cuál es !a velocidad con la que cambian el volumen y el área cuando el radio mide 12 cm y la altura 36 cm? dV _ dS R. — = 46087T C7n d/ mi n ; — = 624tt cm I min dt 1 dt 22.- En un triángulo ABC considere los lados AB y AC y el ángulo 0 que ellos forman. Suponga que el lado AB aumenta a 1/16 cm/min, el lado AC disminuye a 1/16 cm/min y que el ángulo 6 aumenta a 0,02 rad/min. Determine la velocidad con la que varia el área del triángulo cuando AB mide 3 cm, AC mide 4 cm y el ángulo 6 mide n ¡Arad. dS 121 _ 7 R. — = — —- V2 cm / min dt 1600 ' 23.- El trigo que cae del orificio del fondo de un gran depósito va formando, sobre el terreno, un montón en forma de un cono circular recto. La altura del cono mide 5 metros y aumenta a razón de 50 cm en cada minuto. El radio de !a base mide 3 metros y aumenta a razón de 50 cm cada minuto. Halle la variación del volumen que se experimenta en la unidad de tiempo. 13 n R. —o— m // min CALCULO III 180 24.- La utilidad “U” de una empresa que fabrica y vende un único producto depende del precio de venta up” (en doláres) de dicho producto y del gasto en publicidad “g ” (en doláres) para promocionar el producto. p 2 pg g 2 La ecuación que relaciona las variables anteriores es U = --------------1-------- 1 2 100 1000 Por otro lado y “g ” dependen del número kkx” de unidades producidas mediante las reglas de correspondencia p = /i(x) y g = H(x). Adicionalmente, se sabe que h \ 1000) = 1; /i(1000) = 40; H’( 1000) = 2 y H( 1000) = 5000. dU Calcule e interprete evaluado en x = 1000. dx R. La utilidad de la empresa aumenta a una razón de $ 9,2 por unidad producida. 25.- La altura de un triángulo disminuye a razón de 2cm/seg, mientras que el área del mismo disminuye a razón de 3 cm2 /seg ¿A qué velocidad cambia la base del triángulo cuando la altura mide 20 cm y el área 180 cm2? R. 1,5 cm/seg 26.- Si la ecuación f ( x 2 — y 2 4 z 2; y 2 — x 2 4 z 2) = 0 define a z implícitamente 1 dz 1 dz como función de x e y, halle w = - . — + R. 0 x dx y oy 21 - Sea la función z = /(x ; y) dada por la ecuación sen (x -f z) 4- sen (x 4- y) = 1 ¿Para qué valor de la constante a en el punto (7r; n /2; tt) se verifica la d 2z d 2z (dz dz\ ecuación x — + z — - = « (----- — ) ? R. a = 2tc d x ¿ d y * \dy dx) DERIVADAS PARCIALES EJERCICIOS DE DISCUSIÓN Verdadero o Falso 1.- Si z = /( x ;y ) es una función con derivadas parciales continuas hasta el 2do. orden, y además x = 1 4- 2t, y = 3 — t entonces. d 2z d 2z d 2z d 2z d t 2 ^ d x 2 ^ d x d y ^ d y 2 181 CÁLCULO III 2.- Considere que la función z = /( x ;y ) y las funciones £>i/(x;y), D2f ( x ; y ) ,
D12 f ( x >y) y D2i f ( x ; y ) son continuas en una región D c R 2
y además satisface D11f ( x , y ) = D22f ( x \ y )
d 2z
Si x = r + s , y = r — s, entonces ——— = – 2
dsdr
J r y z
e l d t , entonces V /(4; 2; 0) = (0; 0; – 2)
du du du
4.- Si u = 0 ( x z + y + z**), entonces vz —- 2xz – — \- x y — = 1
dx oy oz
5.- El ángulo que forman en su intersección la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 y el
plano y = x es igual a n /3.
6.- Si el plano dado por 3(x — 1) -f 5(y 4- 1) + 7(z – 2) = 0 es tangente a la
superficie F (x ;y ;z) = 0 en (1; —1; 2), entonces D1F(1; —1; 2) = 3,
D2F( 1; —1; 2) = 5 y D3F( 1; —1; 2) = 7
R. VFVFFF