DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION EJEMPLOS RESUELTOS DE SECUNDARIA PDF

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El concepto de función es una de las ideas fundamentales en la matemática. Casi cualquier estudio que se refiere a la aplicación de la matemática a problemas prácticos o que requiera el análisis de datos emplea este concepto matemático que explicaremos a continuación:
EJEMPLOS
Las compañías como Luz del Sur o Edelnor tienen como unidad de medida para facturar sus recibos el kilowatt – hora (kw-h). El (kw-h) indica cuántos kilowatts se han consumido de electricidad en casa. Además el (kw-h) cuesta S/. 2.

Supongamos que hoy papá nos dice que vayamos a pagar el recibo mensual de luz, en el camino observas que el monto a pagar es de S/. 80, entonces tú rápidamente haces cálculos. Si por 1 kw-h nos cobran 2 soles, ¿cuántos kw-h consumimos en casa?

Ahora piensas y dices: si hubiera consumido 30 kw-h, ¿cuánto habríamos pagado?, realizas otra regla de tres y el resultado es S/. 60. Es decir, nos damos cuenta de que entre lo que pagamos y lo que consumimos existe una relación. Si consumes más, pagas más, si consumes menos, pagas menos.

También podemos decir que el pago que efectuamos depende de la electricidad que consumimos o el pago está en función de la electricidad que consumimos.
Este ejemplo es uno de los muchos que existen cuando hablamos de función.

Aquí algunos más que aclaran la idea:

 El área de un círculo depende o está en función de la longitud de su radio.
 Las cuentas mensuales de agua y electricidad dependen de la cantidad de agua o electricidad que se utilicen.
 El desarrollo muscular y firmeza de un cuerpo depende de los ejercicios físicos que se practiquen.
Estas ideas nos ayudarán a entender el siguiente marco teórico.

1. Par Ordenado
Producto Cartesiano
Dados dos conjuntos “A” y “B” no vacíos, se llama producto cartesiano (AxB) al conjunto de pares ordenados (a; b) donde “a” ∈ “A” y “b” ∈ “B”, es decir:
Relación
Dados dos conjuntos “A” y “B” no vacíos, se llama relación de “A” en “B” a todo subconjunto “R” del producto cartesiano “A x B”, es decir, “R” es una relación de “A” en “B” ↔ “R” ⊆ “A x B”.
En particular, si A = B, “R” se llama relación en “A” (relación entre elemento de “A”).

La definición anterior de relación exige la comparación de elementos pares, por eso suele llamarse “relaciones binarias”.
En el conjunto:
A = {9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1}
establecemos las siguientes relaciones:
* “a” es el doble de “b”.
* “a” es igual a “b”.

Escribe los pares que cumplen las relaciones, respectivamente:

R1 = {(a; b)/”a” es el doble de “b”}
= {(2; 1), (4; 2), (6; 3), (8; 4)}

R2 = {(a, b)/”a” es igual a “b”}
= {(1; 1); (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6), (7; 7), (8; 8), (9; 9)}

* Si “R” es una relación entre elementos de “A” y “B”, al conjunto “A” se le llama conjunto de partida de la relación y a “B” conjunto de llegada.

* Se llama Dominio de una relación “R” al conjunto de todos los elementos (a ∈ A) tales que existe por lo menos un (b ∈ B) con
(a, b) ∈ R.

* Se llama Rango de una relación “R” al conjunto de todos los elementos (b ∈B), tales que existe por lo menos un (a ∈ A) con (a, b) ∈ R.

DEFINICIÓN DE FUNCIONES
Sean “A” y “B” dos conjuntos no vacíos (pudiendo ser A = B), llamaremos función definida en “A” a valores en “B” (función de “A” en “B”) a toda relación:

Es decir, una función es un conjunto de pares ordenados de elementos, tal que dos pares distintos nunca tienen el mismo primer elemento.

Notación:
Si “F” es una función de “A” y “B” se designa por:

Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.
Si “F” es una función de “A” en “B”, el conjunto “A” se llamará conjunto de partida de la función y “B” el conjunto de llegada.

* El dominio de una función “F” se designa por “DF” y se define como el conjunto siguiente:

DF= {x∈A/ ∃y; tal que (x; y)∈F}

* El rango (o imagen) de una función “F” se designa por “RF” o “ImF” y se define como el conjunto siguiente:

RF ={y∈B/ ∃x; tal que (x; y)∈F}

* Es decir son las segundas compo-nentes de los pares ordenados.

* Si el par ordenado (a; b) ∈ F, escribiremos b = F(a) y diremos que “b” es imagen de “a” por “F” ( o también, que “b” es el valor de “F” en “a”).

F={(a;b)∈AxB/ b = F(a); a ∈DF}
REGLA DE CORRESPONDENCIA
Para que se pueda definir bien una función es suficiente conocer su dominio (DF) y una regla que permita asignar para cualquier x ∈DF ; su imagen F(x).
Tenemos varias formas de hallar rangos, pero presentaremos las más conocidas:

• Cuando tenemos una función donde su dominio no presenta rango, se despeja ‘‘x’’ en función de ‘‘y’’.

• Cuando tenemos un intervalo como dominio, usamos desigualdades.
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Sea ‘‘F’’ una función real, la gráfica de ‘‘F’’ es el conjunto ‘‘G’’ de todos los puntos (x , y) en el plano, tal que ‘‘x’’ está en el dominio de ‘‘F’’ e ‘‘y’’ es la imagen de ‘‘x’’ por ‘‘F’’; es decir:

G= {(x,y) ∈ R2/ y =F(x); x ∈ DF}
Una gráfica cualquiera será función, si y sólo si, al trazar una paralela al eje ‘‘y’’ corta a la gráfica en un sólo punto.
F (x)es una función, entonces ‘‘L1’’ es la recta paralela al eje ‘‘y’’que corta a la gráfica en un solo punto.
G (x) no es función, entonces ‘‘L2’’ es la recta paralela al eje ‘‘y’’ que corta a la gráfica en más de un punto.

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