DATOS Y AZAR EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICA 8 – OCTAVO AÑO PDF

Share Button

5–1 Muestras y encuestas
5–2 Tabla de frecuencias y media aritmética con
datos agrupados en intervalos
5–3 Moda para datos agrupados
LABORATORIO Construir una tabla de
frecuencias con datos agrupados
5–4 Métodos de conteo y espacios muestrales
5–5 Probabilidad experimental
5–6 Probabilidad teórica
LABORATORIO Simulaciones
• Calcular media aritmética y moda
para datos agrupados en intervalos
CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

• Reconocer y calcular
probabilidades
En el mundo real
Los biólogos suelen tomar muestras al azar de
los animales silvestres, por ejemplo, los leones
marinos, para hacer estimaciones sobre el
crecimiento de la población o sobre enfermedades
contagiosas que puedan afectar al grupo. En
ocasiones también se usa la probabilidad para
determinar qué posibilidades hay de que se salve
una especie en peligro de extinción.
De dónde vienes
Antes
• Usaste una representación apropiada
para presentar datos.
• Resolviste problemas mediante
la recopilación, organización y
presentación de datos.
• Encontraste probabilidades
experimentales.
En este capítulo
Estudiarás
• cómo calcular la media aritmética
y la moda para datos agrupados en
intervalos.
• cómo hacer inferencias y escribir
justificaciones convincentes
basadas en el análisis de datos.
• cómo encontrar probabilidades
experimentales y teóricas.
Hacia dónde vas
Puedes usar las destrezas aprendidas
en este capítulo:
• Para analizar las tendencias y
tomar decisiones sobre negocios y
comercialización.
• Para fortalecer un argumento
persuasivo presentado datos y
tendencias en presentaciones
visuales.
• Para determinar el efecto de las
probabilidades en los juegos en los
que participas.
Vocabulario
Conexiones de vocabulario
Considera lo siguiente para familiarizarte con
algunos de los términos de vocabulario del
capítulo. Puedes consultar el capítulo, el glosario
o un diccionario si lo deseas:
1. La frecuencia es la medida de cuán a menudo
ocurre un suceso o la cantidad de objetos
semejantes en un grupo. ¿Qué se muestra en
una tabla de frecuencia?
2. Un experimento es una acción que se realiza
para encontrar algo que desconoces. ¿Por
qué puede decirse que lanzar una moneda a
cara o cruz, lanzar los dados o hacer girar una
flecha giratoria son experimentos?
3. Un suceso está formado por varios resultados
o, a veces, por un solo resultado. Por ejemplo,
en un juego de mesa, sacar un número par
al lanzar un dado y escoger una tarjeta de
desafío puede considerarse un suceso. ¿Qué
otro suceso puede ocurrir cuando participas
en un juego de mesa?
media aritmética
moda
tabla de frecuencia
Muestra
Muestra sistemática
Muestra auto – seleccionada
Muestra aleatoria
Frecuencia
Frecuencia acumulada
Rango
Intervalo modal
Límite inferior
Marca de clase
Probabilidad
Igualmente probable
Justo
Datos agrupados
Frecuencia relativa
Frecuencia relativa
acumulada
Población
Vistazo previo
experimento
probabilidad
experimental
probabilidad teórica
suceso
Variable continua
Variable discreta
Población es un conjunto o grupo de cosas,
personas o situaciones, que tienen alguna
característica común que permite agruparlas.
Una población puede ser finita o infinita según
los elementos que la forman. Por ejemplo,
el conjunto de los estudiantes que asisten al
colegio en Chile es una población finita. El
conjunto de los resultados del lanzamiento de
un dado en forma sucesiva puede ser infinita.
El estudio de la población completa con fines
estadísticos puede resultar a veces imposible,
poco rentable o poco práctico. En esos casos se estudia una muestra.
La muestra más representativa se obtiene en forma aleatoria, es decir, cada miembro
de la población tiene las mismas posibilidades de ser seleccionado. Se denomina
muestra aleatoria.
Identificar una muestra aleatoria
Los organizadores de una carrera desean saber con qué frecuencia
entrenan los participantes. Para los siguientes casos, identifica si se trata
de una muestra aleatoria o no.
Los organizadores reparten en la línea de llegada una encuesta escrita,
para los atletas que deseen completarla.
Esta no es una muestra aleatoria, probablemente la completarán solo algunos
de los participantes: cada miembro elige completar o no la encuesta.
Los organizadores eligen al azar uno de los diez primeros nombres de
una lista ordenada alfabéticamente. Luego, seleccionan uno de cada diez.
Esta no es una muestra aleatoria: solo se elige el primer nombre al azar y
los siguientes se eligen usando un patrón.
Los organizadores entrevistan a un grupo de 50 atletas a medida que
llegan a la carrera
Esta no es una muestra aleatoria, ya que se ha seleccionado a los
miembros de la población a los que era más fácil acceder.
Los organizadores ingresan los números con que participa cada atleta en
una tómbola y sacan al azar una cantidad proporcional al total de
participantes.
Esta es una muestra aleatoria porque cada uno de los atletas tiene las
mismas posibilidades de ser elegido.
A
B
C
C
Se llama variable al fenómeno que se quiere estudiar y se distinguen dos tipos:
variable continua, que es aquella que puede tomar cualquier valor entre dos valores
dados y variable discreta, que es la que solo puede tomar valores enteros.
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
Ver Ejemplo
Ver Ejemplo
Ver Ejemplo
Ver Ejemplo
Ver Ejemplo
Ver Ejemplo
1
2
3
4
2
1
Identifica cada muestra como aleatoria o no aleatoria.
Una senadora desea saber si los votantes de su región apoyan una nueva ley de
impuestos. De las siguientes muestras, ¿cuál es una muestra aleatoria?
1. Un miembro de su equipo elige al azar 500 nombres del registro electoral de su
región.
2. Un miembro de su equipo publica una encuesta en el sitio web de la senadora.
Identifica si son variables discretas o continuas.
4. Cantidad de profesores por colegio en una comuna determinada.
5. Estatura de los niños de 8º básico.
6. Número de personas que visitan un mall el fin de semana.
7. Velocidad a la que transitan los buses interurbanos.
8. Horas que un niño está frente a un videojuego durante una semana.
3. Aproximadamente el 12% de los adultos en
Chile visita un zoológico al año.
Maite realiza una encuesta aleatoria de
adultos en dos ciudades de su región.
Compara las muestras con el porcentaje
nacional.
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
Identifica cada muestra como aleatoria o no aleatoria.
La bibliotecaria de una escuela desea saber con qué frecuencia los estudiantes usan
mensajes de texto en la escuela. Identifica cada clase de método de muestreo.
10. La bibliotecaria elige al azar 20 nombres de la lista de todos los estudiantes de la
escuela.
11. La bibliotecaria encuesta a 40 estudiantes que están en la biblioteca durante la
hora del almuerzo.
Uso de Internet (horas por semana)
Ciudad A 11, 8, 7, 2, 9, 4, 2, 0, 7, 2, 8, 20, 4, 5, 8, 6, 3, 0, 2, 10
Ciudad B 3, 12, 4, 0, 5, 7, 3, 0, 2, 4, 10, 5, 2, 2, 9, 6, 2, 2, 5, 11
Compara las muestras con el promedio nacional.
12. Chile es el tercer país en el mundo que más horas dedica a las redes sociales. En
promedio está 6,3 horas a la semana conectado a internet y de ellas se dedica a
las redes sociales. Laura hace una encuesta al azar de 20 personas en dos ciudades
Métodos de conteo y
espacios muestrales
EJEMPLO 1
Aprender a usar métodos
de conteo para hallar todos
los resultados posibles.
Vocabulario
espacio muestral
Los espacios muestrales se usan para hallar la probabilidad. El espacio muestral de
un experimento es el conjunto de todos los resultados posibles. Puedes usar { } para
mostrar espacios muestrales.
Cuando necesitas hallar muchos resultados posibles, puedes hacer un diagrama de
árbol. Un diagrama de árbol es una forma de organizar la información.
Aplicación a la resolución de problemas
En invierno, Sofía tiene que elegir entre dos abrigos: una parka de
esquiar o un chaquetón de marinero. En cuanto a los accesorios, tiene tres
opciones: gorro, bufanda o guantes. ¿Cuáles son los diferentes conjuntos
que puede ponerse Sofía?
Comprende el problema
Haz una lista con la información importante:
• Hay dos tipos de abrigos. • Hay tres tipos de accesorios.
Haz un plan
Puedes dibujar un diagrama de árbol para hallar todos los conjuntos posibles.
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
Ver Ejemplo
Ver Ejemplo
Ver Ejemplo
Ver Ejemplo
1
1
2
2
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1. En su práctica de tiro con arco, Pía acierta 14 de 20 tiros. ¿Cuál es la probabilidad
experimental de que acierte en su próximo tiro? Escribe tu respuesta como fracción,
como decimal y como porcentaje.
2. Un reportero entrevista a 75 personas para determinar si piensan votar a favor o en
contra de una enmienda. De estas personas, 65 piensan votar a favor.
a. ¿Cuál es la probabilidad experimental de que la siguiente persona entrevistada
diga que piensa votar a favor de la enmienda?
b. ¿Cuál es la probabilidad experimental de que la siguiente persona entrevistada
diga que piensa votar en contra de la enmienda?
3. Deportes José le golpea una pelota de béisbol en 13 de 30 intentos durante una
práctica. ¿Cuál es la probabilidad experimental de que le pegue a la pelota en
el siguiente intento? Escribe tu respuesta como fracción, como decimal y como
porcentaje.
4. Camilo da en el blanco 8 de cada 15 veces que lanza un dardo. ¿Cuál es la
probabilidad experimental de que dé en el blanco en el siguiente lanzamiento?
5. En las dos últimas semanas, Daniela anotó la cantidad de personas que asistieron al
centro comercial a la hora de almuerzo. Durante esa hora, hubo 50 personas o más
en el centro comercial en 9 de 14 días.
a. ¿Cuál es la probabilidad experimental de que haya 50 personas o más en el
centro comercial durante la hora del almuerzo al decimoquinto día?
b. ¿Cuál es la probabilidad experimental de que no haya 50 personas o más en el
centro comercial durante la hora del almuerzo al decimoquinto día?
6. Mientras jugaba al boliche con sus amigos, Alexis hizo un pleno en 4 de 10 jugadas.
¿Cuál es la probabilidad experimental de que Alexis haga un pleno en la primera
jugada?
7. Jeremías saluda a los clientes en una tienda de música. De las primeras 25 personas
que entran en la tienda, 16 llevan chaqueta y 9 no. ¿Cuál es la probabilidad
experimental de que la siguiente persona lleve chaqueta?
8. Durante el mes de junio, Carmen llevó la cuenta de los pájaros que vio en su jardín.
En 12 días de ese mes vio un gorrión azul. ¿Cuál es la probabilidad experimental de
que vea un gorrión azul el 1 de julio?
9. Razonamiento crítico Claudia halló que la probabilidad experimental de que
su gato la despierte entre las 5 a.m. y las 6 a.m es de . ¿Aproximadamente qué
porcentaje del tiempo el gato de Claudia no la despierta entre las 5 a.m y las 6 a.m?
5–4
Prueba de las lecciones 5–4 y 5–6
3 Carlos realiza una encuesta para el periódico de la escuela. Según su encuesta, 7 estudiantes
no tienen mascota, 15 tienen una mascota y 9 tienen por lo menos dos mascotas. ¿Cuál es
la probabilidad experimental de que el siguiente estudiante que entreviste Carlos no tenga
una mascota?
1. En la casa de comidas de Mindy se sirven 3 clases de pasta con 2 clases de salsa. Las pastas
son espaguetis, fetuccini y moñitos. Las salsas son de tomate y pesto. ¿Cuáles son los
resultados posibles que incluyen 1 clase de pasta y 1 de salsa?
2. Cynthia quiere elegir un conjunto de ropa para su primer día de clase. Las opciones
son pantalones negros o azules y una camisa blanca, amarilla o rosada. ¿Entre cuántas
combinaciones posibles puede elegir?
4. Claudia midió el tiempo que podía resistir sin respirar bajo el agua. Los tiempos fueron:
10 seg, 12 s, 9 s, 15 s, 20 s, 25 s. ¿Cuál es la probabilidad experimental de que Claudia
permanezca bajo el agua más de 20 segundos la próxima vez que se sumerja?
5. Lanza al aire una moneda 20 veces. Registra la información y responde: ¿cuál es la
probabilidad experimental que en el lanzamiento número 21 salga cara?
Se gira una flecha giratoria con 10 sectores iguales numerados del 1 al 10. Encuentra la
probabilidad de cada suceso. Escribe tu respuesta como fracción, como decimal y
como porcentaje:
6. P(5) 7. P(número primo) 8. P(20)
9. Sabina tiene una lista de 8 CD y 5 DVD que le gustaría comprar. Sus amigos eligen uno al
azar de esa lista para hacerle un regalo. ¿Cuál es la probabilidad de que los amigos de Sabina
elijan un CD? ¿Y un DVD?
Se extrae un boleto en una rifa de 100 números:
10. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par?
11. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número cuyos dígitos contengan al menos un 4?
12. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 82?
13. Se lanzan dos dados no cargados. Escribe el espacio muestral.
14. ¿Cuál es la cardinalidad del espacio muestral de lanzar dos dados no cargados?
15. En una caja con bolas de colores, la probabilidad de extraer una bola roja es de 1/3. ¿Cuál es
la probabilidad de extraer una bola que NO sea roja?
16. Si se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que sumen 3 o 4?
17. Se tienen 10 fichas con los números 44, 44, 45, 46, 46, 46, 47, 48, 48, 49. ¿Cuál es la
probabilidad de sacar una ficha con un número mayor que 46?

Una caja contiene 3 cubos anaranjados, 2 blancos, 3 negros y 4 azules.
Determina la probabilidad en los ejercicios 1, 2 y 3.
1. Sacar al azar un cubo anaranjado o negro.
2. Sacar al azar un cubo blanco.
3. Sacar al azar un cubo morado.
4. Simón lanza una moneda 20 veces. La moneda cae en cara 7 veces. Según
estos resultados, ¿cuántas veces puede esperar Simón que la moneda
caiga en cara las siguientes 100 veces?
5. Emilio gira una flecha giratoria dividida en 8 sectores iguales numerados
del 1 al 8. En las primeras tres veces, la flecha cae en 8. ¿Cuál es la
probabilidad experimental de que la flecha caiga en 10 en el cuarto giro?
6. Una marca de pantalones vende en 8 tallas diferentes de cintura: 28, 30, 32,
34, 36, 38, 40 y 42. Los pantalones vienen también en tres colores distintos: azul,
negro y beige. ¿Cuántas combinaciones diferentes de tallas de cintura y
colores son posibles?
7. Jorge planea sus vacaciones. Puede elegir entre 3 maneras de viajar
(en tren, autobús o avión) y entre cuatro actividades diferentes (esquiar,
patinar, nadar o salir de excursión). ¿Cuáles son todos los
resultados posibles? ¿Cuántas vacaciones distintas puede planear Jorge?
Raquel hace girar una flecha giratoria que está dividida en 10 sectores
iguales numerados del 1 al 10. Encuentra cada probabilidad. Escribe tu
respuesta como fracción, como decimal y como porcentaje:
8. P(número impar) 9. P(número compuesto) 10. P(número mayor que 10)
Encuentra la probabilidad de cada suceso.
11. Si lanzas un dado 12 veces, aproximadamente, ¿cuántas veces puedes esperar que caiga en
un número mayor que 1?
12. ¿De cuántas maneras diferentes puedes elegir 2 estudiantes de 10?
Usa el conjunto de datos 14, 19, 21, 33, 31, 18, 20, 14, 19, 21, 32, 34, 21, 18, 25, 17, 18, 33, 21, 20,
22, 24, 17, 19, 25, 26, 18, 16, 18, 25 para resolver los problemas:
13. Realiza una tabla de frecuencia agrupando los datos.
14. Haz una tabla de frecuencia acumulada con los datos.
15. Haz un diagrama de tallo y hojas con los datos.
16. Haz un diagrama de puntos con los datos.
Capítulo 5 193
–0,4°C 0,4°C
4,4°C –4,4°C
8,1 mm2 15,84 mm2
16,2 mm2 3,888 mm2
4. En el gráfico se muestran las temperaturas
máximas de una ciudad durante un periodo
de 5 días. ¿Cuál fue la temperatura máxima
promedio en este periodo?
6. Encuentra el área total del prisma rectangular.
5. ¿Cuál es el resultado de • ?
1. En una caja que contiene 115 bolitas hay
25 azules, 22 marrones y 68 rojas. ¿Cuál es
la probabilidad de elegir al azar una bolita
azul?
No está la
respuesta.
3. ¿Cuál es el valor de (–8 –4)2 + 41?
–143 145
0 148
2. Convierte 805 centímetros a metros:
80,5 m 0,0805 m
8,05 m 0,00805 m
5 C A P Í T U L O
A
A
A
A
A
A
C
C
C
C
C
C
D
D
D
D
D
D
B
B
B
B
B
B
x
15 pies
0,9 mm
1,8 mm
2,4 mm
Temperaturas máximas
Día
Temperatura (ºC)
10
5
0
–5
–10
Lun Mar Mié Jue Vie
x
15 pies
0,9 mm
1,8 mm
2,4 mm
Temperaturas máximas
Día
Temperatura (ºC)
10
5
0
–5
–10
Lun Mar Mié Jue Vie
115
25
5
23
57
257
4 128
133
217
19
217
19
12
7
22
115
8. ¿Cuál es el espacio muestral si se lanzan dos
monedas al aire, donde cara es “C” y sello
es “S”?
A {(C, C) (C, S) (C, C) (S, C)}
B {(C, S) (S, C) (S, S) (C, C)}
C {(C, C) (C, C) (S, S) (S, S)}
D {(C, S) (C, S) (C, S) (C, S)}
7. La piscina de Francisca mide 8 m de largo,
5 m de ancho y 2,5 m de profundidad.
¿Con cuántos m3 de agua Francisca llena su
piscina?
A 10 m3 C 1 000 m3
B 100 m3 D 10 000 m3
9. Camila tiene que viajar a Chillán y luego
a Puerto Montt. El primer tramo lo puede
hacer en bus o en auto, y el segundo tramo
lo puede hacer en tren, avión o camión.
¿De cuántas maneras distintas puede llegar
Camila desde la partida hasta su destino
final?
A 5 C 7
B 6 D 8
Evaluación
acumulativa
Capítulos 1 – 5
194
16. Rebeca tiene 3 camisetas de distintos
colores (rojo, azul y verde), un par de
pantalones azules y un par de pantalones
blancos. Elige al azar una camiseta y un
par de pantalones. ¿Cuál es la probabilidad
de que haya elegido la camiseta roja y el
par de pantalones blancos? Muestra cómo
encontraste tu respuesta.
17. Escribe y como fracción con un
denominador común. Luego determina si
las fracciones son equivalentes. Explica tu
método.
Más estudiantes jugaron fútbol en
2005 que en 2002.
De 2001 a 2007 la participación en
fútbol aumentó el 100%.
De 2002 a 2006 la participación en
fútbol disminuyó 144%.
La participación aumentó de 2004 a
2005.
12. Anita compró 4 camisas a $ 5 680. Luego
compró una camisa a $ 1 920. ¿Cuál fue la
media del costo de todas las camisas?
13. Rosa tiene un cupón del 60% de descuento
sobre el precio total de dos pares de zapatos
antes de sumar el impuesto. El primer par
de zapatos cuesta $ 45 y el segundo, $ 32.
¿Cuánto debe pagar Rosa en total, en pesos,
después de que a su compra se le agregue
un 5,5% de impuesto sobre la venta?
14. ¿Cuál es el valor de x? 12 = x – 34
10. Encuentra el valor de x en 8 = 34x – 60.
A C
B D
Lee un gráfico o un diagrama con tanta
atención como lees la pregunta de la
prueba. Estos apoyos contienen información
importante.
A
C
D
B
11. ¿Qué enunciado está mejor apoyado por los
datos?
Participación en la liga de fútbol
400
300
200
2001 2003 2005 2007
Cantidad de jugadores
Año
Tipos de películas preferidas
Aventura
Comedia
Cantidad de estudiantes
Drama
Musical
Ciencia cción
12
10
8
6
4
2
0
Actividad Niños Niñas
Hacer deportes 36 24
Hablar con amigos 6 30
Hacer la tarea 15 18
Trabajar 5 4
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
x = – 5 x = – 2
x = – 0,97 x = 2
Responde verdadero (V) o falso (F)
19. ____ Si compré 3 pantalones a $ 7 980 y
luego compré otro a $ 3 570. La media
del costo de los pantalones es $ 5 575.
20. ____ Si compras un libro con un 50% de
descuento, el libro te sale a mitad de
precio.
21. ____ En el conjunto de datos
17,15,14,17,18, 22,17,18 la moda es 18.
15. El diámetro del círculo más grande mide
36 cm y el radio del círculo más pequeño
mide 6 cm.
18. En una bolsa hay 5 bloques azules, 3 rojos y
2 amarillos.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que Teo
saque al azar un bloque rojo y luego un
bloque azul si antes de sacar el segundo
devuelve el primero a la bolsa? Muestra
los pasos necesarios para encontrar tu
respuesta.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que Teo saque
al azar un bloque rojo y luego un bloque
amarillo si antes de sacar el segundo
devuelve el primero a la bolsa? Muestra