DATOS Y AZAR EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICA 6–SEXTO AÑO PDF

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EN ESTA UNIDAD PODRÁS…
• Conocer los conceptos de población, muestra
y variable.
• Leer y analizar información contenida en una tabla.
• Obtener frecuencias absolutas y frecuencias relativas.
• Calcular e interpretar medidas de tendencia central:
media aritmética, mediana y moda.
• Obtener información a partir de un conjunto de
datos.
Mediana
,
Probabilidades
,
Media aritmética
Moda
,
Gráficos circulares
,Experimentos aleatorios
,Medidas de
tendencia central
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¿Cómo surgieron los derechos de los niños y las niñas?
La Convención sobre los Derechos del Niño y de la Niña es un documento de las Naciones
Unidas que establece cuáles son los derechos que tienen todos los niños y niñas del mundo,
además de las normas básicas para su bienestar en diferentes etapas de su desarrollo. Este
documento entró en vigor en 1990.
¿Cuáles derechos de los niños y las niñas conoces?
¿Crees que estos derechos se respetan en Chile?
¿Puedes resolver?
En el mes de junio del año 2006 el Servicio Nacional de Menores
llevó a cabo en Chile la 2ª Consulta Nacional “Mi Opinión Cuenta”, en
la que 49 100 niños de 120 comunas del país entregaron su percepción
acerca del nivel de respeto de sus derechos. Te invitamos a responder las preguntas de
esta encuesta: indica con un signo + el derecho que crees que más respetan los adultos
y con un signo –, el que menos respetan. Marca solo un derecho en cada caso.
Organiza los datos de todo el curso en una tabla de frecuencias y, a partir de ella, confecciona
un gráfico circular con el porcentaje de estudiantes que marcó cada derecho.
¿Cuál es el derecho más respetado? ¿Y el menos respetado?
¿Qué medida de tendencia central es útil para interpretar estos datos? ¿Por qué?
Derecho a v 1. ivir con mi familia.
2. Derecho a ser bien cuidado/a por un adulto responsable.
3. Derecho a asistir a la escuela y a recibir educación.
4. Derecho a ver a mis papás, si es que no vivo con ellos.
5. Derecho a ser bien tratado/a física y sicológicamente.
6. Derecho a alimentarme, vestirme y vivir en una casa.
7. Derecho a ser escuchado en asuntos que me afectan.
8. Derecho a vivir en un medioambiente no contaminado.
9. Derecho a tener una buena atención de salud.
10. Derecho a la recreación.
En esta unidad aprenderás a:
Identificar datos relevantes y distinguir entre datos cuantitativos y cualitativos.
Calcular medidas de tendencia central de un grupo de datos: media, mediana y moda.
Interpretar y construir gráficos circulares.
Definir y analizar fenómenos aleatorios.
Utilizar los resultados de un experimento aleatorio como medida de la probabilidad
de un suceso.
Actividad inicial
En muchas ocasiones nos enfrentamos con información estadística. Este tipo de
información la encontramos, por ejemplo, cuando en los medios de comunicación
se dan a conocer los resultados de diversas encuestas de opinión, realizadas por
instituciones tanto públicas como privadas. En ellas vemos los datos ordenados y
tipificados en tablas y gráficos que permiten que la población receptora pueda comprender
claramente la información relevante comunicada.
En grupos de tres personas realicen las actividades que se presentan a
continuación.
1. Lean la historieta y enseguida respondan las preguntas de la página siguiente:
¿Cuál de los dos países obtuvo un m a) ejor resultado en la prueba?
b) Escriban, al menos, cinco conclusiones que puedan extraer a partir de ambos
gráficos.
3. Cada integrante del grupo calcule el promedio aritmético de todas las notas que
ha obtenido en Matemática hasta este momento. Luego, calculen el promedio
entre todos estos promedios y comparen con los otros grupos.
a) ¿Cuál intervalo de gastos es el más común entre los padres y madres encuestados?
b) ¿Cuál intervalo de gastos es el menos común entre los padres y madres encuestados?
c) ¿Qué porcentaje de apoderados no paga mensualidad?
d) ¿Qué porcentaje de apoderados paga $ 10 000 o menos?
e) ¿Qué porcentaje de apoderados paga más de $ 50 000?
f) Aproximadamente, ¿cuántos apoderados no pagan mensualidad?
g) Aproximadamente, ¿cuántos apoderados pagan entre $ 10 001 y $ 20 000?
h) Con la información proporcionada en el gráfico circular, ¿es posible obtener
alguna medida de tendencia central (media, mediana y moda)? ¿Cuál?
i) Discutan si la información proporcionada entrega una estimación acertada
de la realidad del país o se requieren más datos para ello. En caso de ser así,
¿qué datos serían estos?
2. Interpreten los siguientes gráficos y comparen los resultados obtenidos por Chile
y Finlandia en la prueba PISA 2006, área Lectura:
Resultados Chile Resultados Finlandia
17%
5% 1%
29%
28%
20%
El Nivel 5 es el de mejor desempeño.
18% 5% 2%
32% 29%
14%
Por debajo
del Nivel 1
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Nivel 4
Nivel 5
Por debajo
del Nivel 1
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Nivel 4
Nivel 5
Prueba PISA
Nivel de comprensión lectora alumnos y alumnas de 15 años
Media aritmética
Los datos de las estaturas de los integrantes de dos familias se indican
en las siguientes tablas:
ff¿Cómo podemos comparar las estaturas de los integrantes de ambas
familias?
Tras una primera revisión de los datos encontramos que las estaturas
de César Silva y su esposa Patricia son mayores a las de todos
los integrantes de la familia Bustamante, mientras que la estatura de
Camila Silva solo es menor a las de Adrián y Jorge Bustamante. Estas
consideraciones nos indican que la estatura promedio de la familia Silva
es mayor que la estatura promedio de la familia Bustamante.
Sin embargo, necesitamos una forma más rigurosa de precisar esta
idea intuitiva. Si sumamos las estaturas de cada familia obtenemos:
Familia Bustamante: 7,7 m Familia Silva: 5,28 m
Estas cantidades no tienen en cuenta el número de integrantes de las
familias, por lo que dividiremos cada suma por el número de personas
que componen la respectiva familia:
Familia Bustamante:
7,7
5
5,28
3
= 1,54 m Familia Silva:
7,7
5
5,28
3
= 1,76 m
Estos valores confirman que, actualmente la estatura promedio de
los integrantes de la familia Silva es mayor que la de los integrantes
de la familia Bustamante.
Dado un grupo o colección de datos cuantitativos, la media aritmética
o promedio aritmético de ellos se representa por x y se
calcula como la suma de los datos dividida por el número total
de datos.
Si tenemos los números a, b, c, d, e y f; su media aritmética es:
x =
a + b+ c + d+ e + f
6
Familia Bustamante Estatura [m]
Adrián (padre) 1,72
Silvia (madre) 1,58
Jorge (hijo mayor) 1,75
Ignacio (hijo del medio) 1,45
María José (hija menor) 1,20
Familia Silva Estatura [m]
César (padre) 1,87
Patricia (madre) 1,76
Camila (hija única) 1,65
Para obtener la nota final
de un ramo, los profesores
y profesoras calculan la
media aritmética de todas
las notas obtenidas por
cada estudiante en el ramo
correspondiente.
Según los niños y niñas
encuestados en la 2ª Consulta
Nacional “Mi Opinión
Cuenta”, el derecho que
más se les respeta es el
derecho a vivir en familia.
Este derecho obtuvo un
31,2% de las preferencias
válidamente emitidas. En
segundo lugar estuvo el
derecho a la educación y
en tercer lugar, el derecho
a ser bien cuidados por
los padres u otro adulto
responsable.
Las Ciencias Sociales
Enlace con…
La tabla contiene información sobre la edad y la estatura de los integrantes d. de un equipo de
fútbol profesional del país.
a) Calcula la media aritmética de las
edades de los jugadores.
b) Calcula la media aritmética de las
estaturas de los jugadores.
c) Calcula las medias aritméticas
de las edades de los integrantes
de cada uno de los bloques del
equipo.
d) Calcula las medias aritméticas de
las estaturas de los integrantes
de cada uno de los bloques del
equipo.
Ejercicios grupales
a. Discutan en grupos de dos o más personas las siguientes afirmaciones e indiquen si son
verdaderas o falsas. Si una afirmación es verdadera señalen un ejemplo y si es falsa, un
contraejemplo:
a) La media aritmética de un grupo de números naturales es siempre
un número natural.
b) La media aritmética de un grupo de números fraccionarios (no
aparentes) puede ser un número natural.
c) Considerando los conjuntos de números:
A = “2, 8, 11, 13, 17 , B = “2, 8, 11, C = “13, 17 ,
Con:
xA: media aritmética de los números del conjunto A.
xB: media aritmética de los números del conjunto B.
xC: media aritmética de los números del conjunto C.
Entonces, se cumple que xA =
1
3
,2
3
,3
3
,4
3
,5
3
,6
3
,7
3
,8
3
=
xB + xC
2
4
4
= 1 6
2
= 3 24
3
= 8
Recuerda que un número
fraccionario aparente es
aquel que puede escribirse
como número natural,
dividiendo el numerador
por el denominador.
Por ejemplo, son fracciones
aparentes las siguientes:
1
3
,2
3
,3
3
,4
3
,5
3
,6
3
,7
3
,8
3
xA =
xB + xC
2
4
4
= 1 6
2
= 3 24
3
= 8
Bloque Jugador Edad Estatura
Arquero Nicolás 29 años 1,83 m
Defensa Cristian 28 años 1,77 m
Juan 32 años 1,82 m
Carlos 29 años 1,80 m
Boris 22 años 1,85 m
Mediocampo Diego 29 años 1,78 m
Braulio 26 años 1,73 m
Miguel 32 años 1,74 m
Carlos 21 años 1,73 m
Delantera Franco 19 años 1,93 m
Leo 30 años 1,77 m
Ejercicios individuales
a. Calcula el promedio de los promedios de las estaturas de las familias Bustamante y Silva.
b. Calcula la media aritmética de las estaturas de las ocho personas que integran las dos familias.
c. Calcula la media aritmética de los siguientes conjuntos de números:
a) “0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7 ,
b) “1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 17 ,
c) )
1
3
,2
3
,3
3
,4
3
,5
3
,6
3
,7
3
,8
3
xA =
xB + xC
2
4
4
= 1 6
2
= 3 3 d) “18,2; 11,1; 13,2; 10,0; 12,9 ,
Mediana
Un grupo de niños y niñas de diferentes edades sale de excursión
a cargo de dos instructores. Estos deciden dividir al grupo en dos, de
modo que en uno vayan los chicos y en el otro, los grandes. Las edades
de los niños y niñas son:
Dada una colección de datos cuantitativos, se llama mediana (Me)
al dato central, es decir, al dato que queda en el medio luego de
haberlos ordenado en orden creciente o decreciente.
Si la cantidad de datos es impar la mediana corresponde a uno de
los datos de la colección.
Si la cantidad de datos es par no existe un único dato central,
sino dos; en este caso la mediana se define como el promedio
aritmético de estos dos valores.
Por ejemplo, si tenemos los datos a, b, c, d y e, ordenados de menor
a mayor, entonces, la mediana es c. Si agregamos un nuevo valor f
mayor que e, entonces, los números ordenados de menor a mayor
quedan a, b, c, d, e y f ; y la mediana es
c + d
2
.
Nombre Ana Boris Carlos Daniel Elisa Franco Gema Hugo Inés
Edad 6 años 8 años 11 años 6 años 9 años 6 años 7 años 5 años 10 años
ffOrdena las edades en orden creciente, es decir, de menor a mayor.
ff¿Qué edad se ubica al centro de la lista ordenada?
Las edades ordenadas de menor a mayor son:
Edades menores a 7 Edades mayores a 7
5 6 6 6 7 8 9 10 11
La edad de 7 años corresponde a la edad de Gema y queda justo
en el medio de la lista de datos, es decir, hay igual cantidad de niños
y niñas menores que Gema como mayores. Para que los dos grupos
tengan cantidades semejantes de niños y niñas los instructores pueden
ocupar este valor como punto de división. Así, los grupos estarán
conformados de la siguiente manera:
Grupo de niños y niñas pequeños: Hugo, Ana, Daniel y Franco.
Grupo de niños y niñas grandes: Boris, Elisa, Inés y Carlos.
Gema puede ir en uno u otro grupo.
El promedio de las edades
de Soledad, Stefania,
Ximena y Tamara es 20
años. Stefania es 8 años
mayor que Soledad y 15
años mayor que Ximena.
La suma de las edades de
Soledad y Ximena es 31
años. ¿Cuál es la edad de
Tamara?
Desafío
al ingenio
La mediana, al igual que
la media, se utiliza como
valor representativo de un
grupo de números. Sin
embargo, la mediana a
veces puede conducir a
error al no representar
correctamente los datos.
Por ejemplo, la mediana
de los datos 2, 2, 2, 20 y
24 es 2, número que no
considera que hay valores
que son mucho mayores
que 2.
Ejercicios individuales
En el ejemplo de la excursión, calcula el promedio de las edades. Compara a. con la mediana. ¿Son
iguales la mediana y el promedio? Escribe una colección de datos en la que ambos parámetros
coincidan.
b. Considera las siguientes colecciones de datos. En cada caso, ordénalas de menor a mayor y
obtén la mediana y la media:
a) 12, 9, 1, 14 y 8 Me = x =
b) 2,0; 6,0; 5,5; 6,5; 4,5 y 7,0 Me = x =
c) 3, 1, 2, 0, 1, 0, 3, 5, 6, 0, 4, 2, 5 y 3 Me = x =
c. Agrega un dato a las siguientes colecciones, de modo que la mediana sea el valor indicado en
cada caso. Recuerda ordenar los datos.
Problemas
1. En una colecta, algunas personas donan $ 100 y otras $ 1 000.
a) Supón que hay 10 personas que aportan $ 100 y 11 que
aportan $ 1 000. ¿Cuál es la mediana y el promedio aritmético
de los aportes?
b) Supón ahora que se agregan dos personas que aportan
$ 100. ¿Cuál es ahora la mediana y el promedio aritmético
de los aportes?
c) ¿Cuál de las dos cantidades (mediana o promedio aritmético)
sufrió un mayor cambio con el aporte de las dos nuevas
personas?
a) 4, 6, 10, 11, ; Me = 10
b) 12, 27, 1, , 22, 15, 5; Me = 15
c) 3, 7, 9, , 12, 25; Me = 9,5
d) 20, 70, 30, 80, 40, ; Me = 50
¿En cuál o cuáles de los casos anteriores el valor desconocido es único y en cuál o cuáles servirían
varios valores distintos?
Ejercicios grupales
a. Formen grupos de cinco personas. Anoten la cantidad de hermanos que posee cada integrante
del grupo. Luego calculen la mediana y el promedio de esta colección de datos. Comparen con
otros grupos.
b. En la fiesta del Sexto B se ha invitado también a jóvenes de otros cursos. En la fiesta hay tres
invitados de 11 años, diez de 12, dieciséis de 13 años, cuatro de 14, cuatro de 15 y dos de 16
años. ¿Cuál es la mediana de las edades de los invitados de otros cursos?
Dada una colección de datos cualitativos o cuantitativos, la moda
es el dato que más se repite. Por ejemplo, si los datos son 4, 5, 4,
5, 7, 3 y 5, la moda es 5, pues se repite tres veces. En este caso
hablamos de datos unimodales. Si son dos los datos que más se
repiten, como por ejemplo en la colección 3, 7, 3, 4, 7 y 6, donde
los números 3 y 7 se repiten dos veces cada uno, entonces existen
dos modas y hablamos de datos bimodales. Si son tres los valores
que más se repiten la colección es trimodal y si hay más de tres,
decimos que la colección de datos es multimodal. Si ningún dato
se repite no hay moda.
Moda
Loreto ha elaborado una tabla con las ciudades de origen de las
integrantes de su grupo de danza. La tabla es la siguiente:
ff¿Es posible calcular el promedio y la mediana de los datos contenidos
en la tabla?
ff¿Qué puede decirse acerca de la cantidad de integrantes nacidas en
Talca con respecto a la cantidad de integrantes nacidas en las otras
ciudades?
Cuando tenemos datos como los de la tabla no es posible calcular
ni el promedio ni la mediana, pues para ello se necesita hacer sumas
o divisiones y ordenar los datos en orden creciente o decreciente. En
este caso, como los datos son cualitativos, no podemos sumarlos ni
tampoco decir, por ejemplo, que “Arica es mayor o menor que Osorno”.
Sin embargo, podemos notar que la mayoría de las integrantes
del grupo de danza nació en Talca. El dato que más se repite en una
colección se dice que es su moda.
La moda es un parámetro útil tanto para datos cualitativos como
cuantitativos. Sin embargo, en ocasiones, datos cuantitativos como,
por ejemplo, la masa corporal de un grupo de alumnos y alumnas, se
expresan mediante números decimales que muy difícilmente se repiten.
En estos casos es conveniente agrupar los datos en intervalos definidos
y evaluar el número de datos que caen en cada intervalo. Al intervalo
que contiene más datos se le llama intervalo modal de la colección de
datos en estudio.
Nombre Paz Sofía Loreto Ignacia Rebeca Laura Mónica
Ciudad natal Talca Talca Santiago Talca Santiago Osorno Arica
Datos cuantitativos son
aquellos que se expresan
con números y que señalan
una característica que
puede ser cuantificada.
Algunos ejemplos son la
masa corporal y la cantidad
de letras que conforman
una palabra.
Datos cualitativos son
aquellos que señalan una
característica no numérica.
Algunos ejemplos son el
color de ojos y el tipo de
sangre.
Archívalo
Ejercicios individuales
De los amigos de José; Pedro y Matías dicen que la asignatura que a. más les gusta del colegio
es Educación Física. Tomás dice que prefiere Música; Alberto, Matemática. Jorge también se
inclina por Educación Física, mientras que a Ramón le gusta Historia. Si a José le gusta Música,
¿cuál es la moda de los ramos preferidos por José y sus amigos?
b. Se midió la estatura de un grupo de niños, obteniéndose los siguientes resultados:
a) Subdivide los datos en tres intervalos: 1,50 – 1,59; 1,60 – 1,69 y 1,70 – 1,79 e indica el número de
datos que se incluyen en cada uno.
b) ¿Cuál es el intervalo modal?
Ejercicios grupales
1 Encuesten a un grupo de unas 10 o 15 personas y obtengan una colección de datos referidos a
los siguientes temas:
Nombre Paulo Leo Felipe José Juan Silvio Pedro
Estatura 1,65 1,58 1,70 1,64 1,55 1,61 1,71
a) Edad (en años).
b) Equipo de fútbol chileno favorito.
c) Asignatura favorita.
d) Masa corporal aproximada en kilogramos.
Ahora, calculen cuando sea posible, el promedio, la mediana y la moda de cada una de las
colecciones de datos.
Problemas
1. De los alumnos y alumnas de un curso, a 12 de los niños les
gusta el fútbol y los 6 niños restantes prefieren el tenis. Por otro
lado, 6 de las niñas declaran su predilección por el tenis, otras
6 niñas dicen preferir el fútbol, 4 prefieren el voleibol y a las 2
niñas restantes no les gusta ningún deporte.
a) ¿Cuál es la moda de los deportes favoritos del curso?
b) ¿Cuál es la moda entre los niños?
c) ¿Cuál es la moda entre las niñas?
d) ¿Cuál es el mínimo de alumos y alumnas que debe cambiar
su preferencia de fútbol por tenis para que este último sea
la única moda?
e) ¿Cuál es el mínimo de alumos y alumnas que debe cambiar
su preferencia de fútbol a voleibol para que este último sea
la única moda del curso?
Lectura de gráficos circulares
Ayer se realizó la elección de presidente de curso en el Sexto A. Se
presentaron cuatro candidatos, dos niños y dos niñas. La votación fue
muy reñida y los resultados se muestran en el siguiente gráfico:
María
Patricia
Guillermo
Roberto
Elecciones 6º A
41%
39%
5%
15%
ffSi el ganador se decidiera por un sistema de mayoría simple, ¿cuál de
los candidatos sería el próximo presidente o presidenta de curso?
ffSi la situación real es que Patricia y Roberto conforman la lista A,
mientras que María y Guillermo conforman la B, ¿cuál de las listas
ha ganado la elección y quién ha obtenido más votos dentro de esta
lista y será el futuro presidente o presidenta de curso?
Observando el gráfico circular vemos que los sectores rojo y amarillo
son los de mayor tamaño, por lo que los candidatos representados
por estos sectores son los que han obtenido más votos. Para dirimir
el ganador o ganadora en un sistema de mayoría simple comparamos
los porcentajes de cada sector. Estos indican :
Patricia (sector circular rojo) = 41% de los votos.
Guillermo (sector amarillo) = 39% de los votos.
Por lo tanto, la ganadora sería Patricia.
Sin embargo, si consideramos las alianzas existentes concluimos
que la lista B, ha obtenido el 54% (39% de Guillermo más el 15% de
María), por lo que el presidente de curso será Guillermo.
Un gráfico circular consiste en una representación de porcentajes
o fracciones sobre un círculo que permite comparar una parte de
los datos con el total de datos.
El tamaño de los sectores circulares nos entrega una idea acerca
de la abundancia relativa de los datos de interés.
Un gráfico circular también
recibe el nombre de
gráfico de torta.
Cuando realizamos una
encuesta o un estudio estadístico
debemos distinguir
entre población y muestra.
La población es el conjunto
de elementos sobre el
que se desea realizar el
estudio, y la muestra es
un subconjunto de casos o
individuos de la población
de interés.
Archívalo
Si en un gráfico circular
mides los ángulos que se
forman en el centro del
círculo, comprobarás que al
sumarlos obtienes 360º.
Archívalo
a
bg
α + β + γ = 360°
Ejercicios individuales
Una industria fabrica 5 tipos de artículos. El siguiente gráfico circular a. indica el porcentaje que
representa cada artículo respecto de la producción total diaria:
Producción total
A
B
C
D
E
37%
22%
8% 13%
A partir de la información entregada responde lo siguiente:
a) ¿Cuál de los artículos se fabrica en mayor cantidad?
b) ¿Cuál de los artículos se fabrica en menor cantidad?
c) Si un día la industria fabrica 1 000 artículos, ¿cuántos de ellos son del tipo C?
d) Si otro día, la producción total es un 40% superior que la señalada en la parte c), ¿cuántos
artículos son del tipo A?
e) Si los artículos C y E se exportan a Asia y el resto se destina al mercado nacional, ¿qué fracción
del total representa la producción que se vende en el extranjero?
b. A continuación se indica la cantidad de medallas de oro, plata y bronce obtenidas por una universidad
en un encuentro deportivo sudamericano:
Medallas
Oro: 21 Bronce: 26
Plata: 17
a) ¿Cuántas medallas obtuvo la universidad?
b) Calcula el porcentaje del total de medallas obtenidas que representan las medallas de oro,
las de plata y las de bronce.
c) Si se repartieron 625 medallas de cada tipo, ¿qué porcentaje de medallas de oro, plata y
bronce respecto del total entregado en el encuentro deportivo obtuvo la universidad?
Construcción de gráficos circulares
Se preguntó a un grupo de alumnos y alumnas por la carrera universitaria
que quieren estudiar una vez que terminen el colegio. Los
resultados se indican a continuación:
Carrera profesional de interés
Derecho 10%
Ingeniería 30%
Arte 10%
Medicina 50%
ff¿Cómo representamos estos datos en un gráfico circular?
Para elaborar un gráfico circular con los porcentajes obtenidos por
cada una de las preferencias del alumnado, debes seguir los pasos
siguientes:
1º Escribe los porcentajes en forma de fracciones decimales:
10% = 1
10
3
10
5
10
10% =
1
10
3
10
5
10
30% = 1
10
3
10
5
10
50% =
1
10
3
10
5
10
2º Con ayuda de un transportador o un compás
confecciona un círculo y representa
en él las fracciones recién escritas. Para
ello basta dividir la circunferencia en 10
partes iguales y luego marcar la cantidad
de partes que indica el numerador de cada
fracción.
3º Pinta los sectores correspondientes a cada categoría de diferentes
colores y escribe el nombre de la categoría a un costado.
Un círculo contiene 360
grados sexagesimales.
Si lo deseas dividir en
10 partes iguales debes
dividir 360° : 10 = 36º.
A continuación, con el
transportador marcas 10
ángulos de 36º y tendrás
las diez divisiones.
Existen muchos programas
computacionales que
permiten construir gráficos
circulares. Uno de ellos es
Excel que, tras el ingreso de
la información necesaria,
genera gráficos circulares,
y también de barras y de
líneas.
Archívalo
Derecho
Ingeniería
Arte
Medicina
Ingeniería Derecho
Arte
Medicina
Ejercicios individuales
Un nuevo zoológico expone seis tipos de animales. Observa la siguiente a. tabla y elabora un gráfico
circular que represente la información que contiene. Ocupa el círculo que está más abajo:
Animal
Porcentaje respecto al total
de animales
Mono 25%
Elefante 6%
Pingüino 20%
Oso 4%
Jirafa 10%
Vicuña 35%
b. Un crucero ha reunido 300 pasajeros. Sus nacionalidades se muestran en la tabla:
Nacionalidad Alemania Chile China Finlandia Japón Inglaterra
Nº de turistas 57 102 9 15 36 81
a) Confecciona un gráfico circular (A) que señale los porcentajes de pasajeros que pertenecen
a cada una de las naciones.
b) Confecciona un gráfico circular (B) que señale los porcentajes que pertenecen a los continentes
americano, asiático y europeo.
A B
Experimentos aleatorios
Un estudiante posee dos monedas y realiza los siguientes
experimentos:
Experimento A: arrojar una de ellas al suelo y observar la disposición
en que queda (cara o sello).
Experimento B: arrojar las dos al suelo y observar la disposición en
que quedan (cara o sello).
ff¿Puede el estudiante saber previamente la disposición de la o las
monedas en cada una de las experiencias, es decir, conocer el resultado
del experimento?
En los experimentos del tipo A y B no es posible predecir el resultado,
ya que interviene el azar y las configuraciones finales son desconocidas
antes de realizar los experimentos.
Analizando el experimento A descubrimos que es posible que ocurra
uno de dos eventos: cara o sello. Sin embargo, no podemos establecer
con absoluta certeza cuál de los dos se verificará.
Resultado posible: cara Resultado posible: sello
Para el experimento B existen 4 posibles resultados: ambas monedas
cara, ambas sello, la primera cara y la segunda sello o la primera sello
y la segunda cara.
Resultado posible: ambas cara Resultado posible: cara y sello
Resultado posible: ambas sello Resultado posible: sello y cara
El grado de conocimiento
que tenemos sobre los
posibles resultados de un
experimento nos permite
clasificarlo en:
Determinista: su resultado
está predeterminado y es
posible de predecir antes
de realizarlo.
Ejemplo: poner una esfera
maciza de acero en agua
y observar si flota o se
hunde.
Aleatorio: no es posible
predecir el resultado del
experimento aunque sí
pueden conocerse los
resultados posibles.
Ejemplo: elegir con los ojos
cerrados una carta desde
un mazo bien revuelto y
observar su color.
Archívalo
Un experimento o fenómeno aleatorio es aquel que puede dar lugar
a varios resultados, sin que sea posible enunciar con certeza
cuál de estos va a verificarse tras la realización del experimento,
ya que está regido por el azar.
Ejercicios individuales
Dibuja en los siguientes recuadros las posibles disposiciones a. en que pueden caer las monedas
tras la realización del experimento aleatorio de arrojar tres monedas y observar la marca que
indican sus caras superiores (cara o sello):
Ejercicios grupales
a. Determinen en grupos de 2 o más personas cuáles de los siguientes experimentos son
deterministas y cuáles aleatorios:
a) Arrojar un dado de seis caras y observar el número de su cara superior.
b) Dejar caer desde 1 metro de altura una esfera de acero y una pluma de ave en el patio de tu
casa y observar cuál llega al piso primero.
c) Si un número natural es par, observar si el consecutivo es par o impar.
d) Arrojar una bola en la ruleta y observar el número obtenido.
e) Dejar caer desde la misma altura una esfera de acero y una pluma de ave en un asteroide sin
atmósfera (no existe resistencia del aire) y observar cuál llega al suelo primero.
f) Sacar, con los ojos cerrados, una bola desde una caja que contiene 6 bolas idénticas excepto
por el color: 2 son rojas, 2 verdes y 2 blancas, y observar el color de la bola extraída.
Resultado 1 Resultado 3 Resultado 5 Resultado 7
Resultado 2 Resultado 4 Resultado 6 Resultado 8
Resultados de un experimento
aleatorio
Un estudiante lleva tres monedas al colegio y pregunta a su
profesora:
ffSi arrojo las tres monedas al piso y observo si cada una indica cara o
sello, ¿cuántos posibles resultados existen para este experimento?
Ya hemos visto los resultados para el experimento aleatorio de arrojar
una moneda y dos monedas. Estos resultados los podemos escribir de
manera más compacta definiendo el espacio muestral E o conjunto de resultados
posibles y ocupando la siguiente notación (C: cara, S: sello):
Experimento A: lanzar 1 moneda.
Resultados posibles: cara o sello.
Espacio muestral E 1: “C, S,
Experimento B: lanzar 2 monedas.
Resultados posibles: doble cara, doble sello, cara y sello o sello y
cara.
Espacio muestral E 2: “CC, SS, CS, SC,
En el experimento aleatorio de arrojar 3 monedas, el aumento de
monedas provoca que la cantidad de resultados posibles se incremente
en forma importante, existiendo 8 elementos en el espacio muestral.
Experimento C: lanzar 3 monedas.
Espacio muestral E 3: “CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS,
Como conocemos el número de resultados posibles de los experimentos
anteriores y sabemos que para cada moneda existen 2 resultados
posibles, utilizando potencias podemos advertir la siguiente
regularidad:
Experimento A: 2 elementos en el espacio muestral  21
Experimento B: 4 elementos en el espacio muestral  22
Experimento C: 8 elementos en el espacio muestral  23
Resultados posibles
para 1 moneda
Cantidad de
monedas
Resultados posibles
para 1 moneda
Cantidad de
monedas
Resultados posibles
para 1 moneda
Cantidad de
monedas
La regularidad hallada se
puede formalizar mediante
la fórmula:
Ab
Donde:
A: nº de resultados posibles
para 1 moneda.
b: nº de monedas arrojadas.
Tradicionalmente, la aleatoriedad
asume un significado
operacional en la ciencia
natural: un fenómeno es
aparentemente aleatorio
si su causa no puede ser
determinada o controlada. A
partir de fines del siglo XIX
nuevas teorías científicas
indican que, aparentemente,
el comportamiento del
universo es esencialmente
aleatorio.
La Ciencia
Enlace con…
Al conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio se
le llama espacio muestral y se representa como E.
E: “resultados posibles de un experimento aleatorio,
A cualquier subconjunto del espacio muestral de un experimento
aleatorio se le llama evento o suceso.
Por ejemplo, si arrojamos un dado de seis caras, el espacio muestral
está constituido por seis elementos: 1, 2, 3, 4, 5 y 6; es decir,
E: “1, 2, 3, 4, 5, 6,.
Ejercicios individuales
Determina, cuando sea posible, el espacio muestral de los experimentos a. aleatorios e indica la
cantidad de elementos que lo conforman:
a) Arrojar 4 monedas. N° elementos de E =
b) Arrojar 5 monedas. N° elementos de E =
c) Arrojar 6 monedas. N° elementos de E =
d) Arrojar n monedas. N° elementos de E =
e) Arrojar 1 dado de seis caras. N° elementos de E =
f) Arrojar 2 dados de seis caras. N° elementos de E =
g) Arrojar 3 dados de seis caras. N° elementos de E =
h) Arrojar n dados de seis caras. N° elementos de E =
Ejercicios grupales
a. Establezcan en grupos de dos o más integrantes el espacio muestral de los siguientes experimentos
aleatorios independientes, indicando, en cada caso, la cantidad de elementos que posee:
a) Extraer una bola desde una caja que contiene cuatro bolas de diferentes colores –rojo, verde,
blanco y azul– y observar su color.
b) Extraer dos bolas desde la misma caja anterior y observar sus colores.
c) Extraer tres bolas desde la misma caja y observar sus colores.
b. Establezcan todos los elementos del espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios
y determinen cuántos y cuáles de ellos cumplen la condición del evento que se señala:
a) Experimento aleatorio: arrojar 1 dado de seis caras y observar el número de su cara superior.
Suceso: el número obtenido es menor o igual que 2.
b) Experimento aleatorio: arrojar 2 dados de seis caras y observar los números de sus caras
superiores.
Suceso 1: la suma de los números es 7.
Suceso 2: la suma de los números es mayor que 10.
Suceso 3: la resta de los números es 2.
Estimación de la probabilidad de
ocurrencia de un suceso
Pablo y Daniel juegan a los dados. El ganador será aquel que más
veces obtenga un 5 al lanzar un dado. En la tabla están los resultados
que obtuvo Pablo en los 36 lanzamientos que realizó:
4 5 1 5 4 3 1 1 6 6 2 3
6 4 2 6 5 2 1 1 4 2 6 1
5 2 5 3 5 3 3 2 6 4 3 2
ff¿Cómo podemos estimar la probabilidad de obtener 5 al lanzar un
dado de seis caras?
Calculemos el valor de la siguiente razón:
Razón = Cantidad de veces que salió 5
Cantidad de lanzamientos
= 6
36
= 1
6
Cuando realizamos experimentos aleatorios debemos asignar una
probabilidad a los resultados posibles de él (eventos). Como no podemos
realizar indefinidamente el experimento nos debemos conformar con
utilizar el valor de esta razón como una estimación de la probabilidad
del resultado que nos interesa.
Entonces, diremos que 1
6
es una estimación de la probabilidad de
obtener 5 al lanzar 36 veces un dado de seis caras.
ff¿Cómo estimamos la probabilidad de obtener un número par al
lanzar 36 veces un dado de seis caras?
Para hacer esta estimación calculemos el valor de la razón correspondiente
ocupando los números de la tabla que está más arriba:
Razón = Cantidad de veces que salió un número par
Cantidad de lanzamientos
= 18
36
= 1
2
Para estimar la probabilidad de ocurrencia de un evento particular
al realizar un experimento aleatorio podemos ocupar la razón
entre la cantidad de veces que se produce el evento y la cantidad
de veces que se realizó el experimento:
P (A) ≈ Razón (A) =
Número de veces en que ocurre A
Número de realizaciones del experimento
Esta aproximación será mejor en la medida que realicemos más
veces el experimento aleatorio.
Sabemos que al lanzar un
dado las posibilidades de
obtener 1, 2, 3, 4, 5 ó 6
son las mismas. Imagina
que un hombre ha lanzado
un dado cinco veces y en
todas ha salido 6. Acto
seguido el hombre afirma:
“Hay menos posibilidades
de que en la siguiente
tirada salga 6 que las que
había antes de la primera
tirada, ya que ya han salido
demasiados 6”.
¿Es correcta esta afirmación
o no?
Desafío
al ingenio
La probabilidad estimada
o empírica es aquella
que se calcula a partir del
número de veces en que
se produce un evento al
realizar reiteradamente un
experimento aleatorio. A
mayor cantidad de repeticiones
del experimento la
probabilidad estimada se
acerca más y más al valor
real de la probabilidad.
Archívalo
Ejercicios individuales
Estima la probabilidad de ocurrencia de los siguientes sucesos al lanzar a. un dado de seis caras.
Utiliza la tabla con los resultados que obtuvo Pablo en sus 36 lanzamientos:
a) Obtener un 1. P →
b) Obtener un número mayor que 4. P →
c) No obtener un 6. P →
d) Obtener un múltiplo de 3. P →
e) Obtener un número menor o igual a 4. P →
f) Obtener un número entre 1 y 6. P →
Ejercicios grupales
a. Reúnanse en grupos de 5 estudiantes. Cada integrante debe conseguir un dado normal y lanzarlo
repetidamente. Anoten en la siguiente tabla los resultados de las tiradas de cada uno:
Nombre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
a) Calculen las probabilidades de los sucesos que se mencionan en el ejercicio individual para
cada uno de los participantes por separado.
b) Comparen los resultados obtenidos por cada uno. Discutan con su profesor o profesora las
diferencias y semejanzas que hayan encontrado.
c) Determinen las probabilidades calculadas tomando en cuenta ahora los resultados obtenidos
por todos en conjunto.
b. Consigan 3 monedas. Primero lancen una sola moneda 12 veces y anoten los resultados (indicando
si sale cara o sello). Después lancen dos monedas juntas y anoten también los resultados.
Lanzamiento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 moneda
2 monedas
a) Estimen la probabilidad de obtener cara al lanzar una sola moneda una vez.
b) Estimen la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda seis veces.
c) Estimen la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda doce veces.
d) Estimen la probabilidad de obtener dos sello al mismo tiempo al lanzar dos monedas doce
veces.
Resolución de problemas
Problema modelo
Un curso va de paseo a la playa dividido en 4 grupos: el primer grupo, de
5 estudiantes y 1 adulto, llega a destino a las 12:00; el segundo grupo, de
10 estudiantes y 1 adulto, llega 15 minutos después; el tercer grupo, de 11
estudiantes y 1 adulto, llega 30 minutos después del primer grupo; y el último
grupo, de 12 estudiantes y 1 adulto, llega 60 minutos después del primer
grupo. ¿Cuál fue la hora promedio de llegada de los estudiantes?
a) Entiende: ¿Qué sabes del problema?
• Los estudiantes viajan en 4 grupos y conocemos la cantidad de estudiantes por grupo.
• Conocemos la hora de llegada de cada grupo.
b) Planifica tu estrategia: ¿Cómo puedes resolver el problema?
• Fijemos la “hora cero” a las 12:00, hora de llegada del primer grupo. Así, el primer grupo
llegó a los 0 minutos, el segundo a los 15 minutos, el tercero a los 30 minutos y el último
a los 60 minutos.
• Si multiplicas la cantidad de estudiantes de un grupo por los minutos de llegada respecto a
la “hora cero”, obtendrás el tiempo total de viaje que suman los estudiantes de ese grupo.
• Si sumas los cuatro cálculos anteriores, obtendrás el tiempo total de viaje de todos los
estudiantes en conjunto. Al dividir por el número de estudiantes, obtendrás el promedio
buscado.
d) Responde: Contesta las preguntas del problema
• En promedio, los niños llegaron 31,579 minutos después de la “hora cero”, es decir, a las
12 horas, 31 minutos y 35 segundos, aproximadamente.
e) Comprueba: Aplica otra estrategia para comprobar el resultado
• Puedes resolver el problema de otro modo o cambiando algún parámetro. Por ejemplo,
puedes considerar la “hora cero” como las 11:00. Al rehacer los cálculos, debes obtener el
mismo resultado anterior.
c) Resuelve: Desarrolla el problema para llegar a una respuesta
• Tiempo total grupo 1 = (Número de niños grupo 1) · (tiempo grupo 1) = 5 · 0 = 0
Análogamente:
TT Grupo 2 = 10 · 15 = 150; TT Grupo 3 = 11 · 30 = 330; TT Grupo 4 = 12 · 60 = 720
• Promedio buscado =
0 +150 + 330 + 720
5 +10 +11+12
=
1 200
38
= 31,579
Empresa A
Sueldo [$] 140 000 300 000 500 000 800 000 1 500 000
N° de empleados 3 6 7 4 2
Empresa B
Sueldo [$] 140 000 300 000 500 000 800 000 1 500 000
N° de empleados 6 4 3 6 3
Problema 1
Las siguientes tablas contienen el número de personas que reciben los
sueldos que se indican en dos empresas A y B:
¿En cuál de las empresas el s a) ueldo promedio es mayor?
b) ¿Cuáles son la mediana y la moda de los sueldos en cada
empresa?
c) ¿Cuál es la amplitud en los datos de ambas empresas?
Problema 2
El gráfico circular muestra el tipo de programa televisivo favorito de un
grupo de 200 niños y niñas de entre 10 y 12 años. Léelo y contesta las
siguientes preguntas:
a) ¿Qué porcentaje prefiere los programas científicos? ¿A cuántos niños
y niñas corresponde este porcentaje?
b) ¿Qué tipo de programa televisivo es el más visto por los encuestados?,
¿qué porcentaje lo prefiere y a cuántos niños y niñas corresponde
este porcentaje?
c) ¿Qué tipo de programa televisivo es el menos visto por los encuestados,
qué porcentaje lo prefiere y a cuántos niños y niñas corresponde
este porcentaje?
Programas
Películas científicos
Teleseries
Dibujos
animados
Series
de acción
35%
15%
25%
15%
10%
Problema 3
Paz colecciona dados. Una mañana recibió de su padre un dado de 4
caras y por la tarde comenzó a arrojarlo sobre su escritorio y registró
los datos en una tabla como la siguiente:
1 3 4 2 3 1 2 2 1 4
2 4 3 2 1 1 2 2 3 4
Considera los siguientes sucesos:
S1: sale 1 S2: sale 2 S3: sale 3 S4: sale 4
a) Calcula el valor de la razón entre el número de veces que se verifica
cada suceso y el número de lanzamientos.
b) Estima la probabilidad de cada suceso.
Obteniendo parámetros estadísticos con Excel
Si dispones de una lista extensa con valores cuantitativos y deseas obtener la media aritmética,
la mediana y la moda puedes hacerlo en forma práctica ocupando el programa Excel y sus
planillas de cálculo.
Considera las notas de una prueba sorpresa de matemática realizada el año pasado:
5, 2, 5, 4, 5, 6, 3, 1, 2, 7, 4, 6, 1, 3, 7, 3, 7, 1 y 5
1. Creación de la hoja de cálculo,
›› Crea un Libro en Excel, llámalo “Cálculo de media, mediana y moda de un grupo de
notas”.
›› En las celdas A1, B1, C1, D1 y E1 escribe, respectivamente, “Datos”, “Media”, “Mediana”
y “Moda”.
›› En la columna A de Datos ingresa los números de la lista.
›› Escribe en la celda B2 “=promedio(A2:A20)”, en la celda C2 “=mediana(A2:A20)” y en
la celda D2 “=moda(A2:A20). En cada una de estas celdas aparecerán los parámetros de
interés.
›› La hoja de cálculo debe verse así:
2. Aplicando lo aprendido.
Ocupa lo aprendido para determinar la media, la mediana y la moda de la siguiente lista
de números:
4, 14, 6, 4, 8, 2, 12, 14, 10, 6, 6, 10, 8, 6, 2, 8, 12, 2, 12 y 6
Tecnología activa
Construyendo un gráfico circular
En un museo hay 900 piezas, de las cuales 360 son pinturas, 252 son grabados, 180 son
esculturas y 108 son tapices. Confeccionaremos un gráfico circular con los porcentajes que
representan a cada tipo de pieza artística respecto del total existente en el museo.
Creación d 1. e la hoja de cálculo.
›› Crea un Libro, llámalo “Distribución porcentual de piezas artísticas en Museo”.
›› En las celdas A2, A3, A4, A5 y A6 escribe, respectivamente “Total”, “Pinturas”, “Grabados”,
“Esculturas” y “Tapices”. En la columna B, junto a cada categoría escribe la
cantidad de artículos existentes.
›› En la columna C calcularemos el valor de la fracción que representa cada tipo de pieza
del total de piezas existentes. Para ello en la celda C3 escribe “=B3/B2”, en C4 “=B4/B2”,
en C5 “=B5/B2” y en C6 “=B6/B2”.
›› En la columna D calcularemos el porcentaje que representa a cada tipo de pieza del museo.
Para ello en la celda D3 escribe “=C3*100”. Te aparecerá 40%, que corresponde al
porcentaje de pinturas del museo. A continuación, ubica el cursor en el vértice inferior
izquierdo de la celda D3 y una vez que aparezca una cruz negra (+) arrástralo hasta la
celda D6. Aparecerán los porcentajes 28%, 20% y 12%.
›› Haz clic en la tecla . Selecciona en el menú que aparece la opción Gráfico Circular.
Presiona Siguiente > . Selecciona la opción Serie y presiona Agregar . Donde te pide Nombre
del gráfico escribe “% de piezas en el museo”. Donde te pide Valores, presiona la tecla
, selecciona la columna D con los cuatro porcentajes y presiona nuevamente . En
Rótulo de categorías (X) presiona , selecciona la columna A con los cuatro tipos de
piezas artísticas y presiona nuevamente
. Presiona Siguiente > .
›› Quita el visto que aparece haciendo
clic en Mostrar leyenda (Opcional).
Haz clic en Rótulos de datos y
marca la opción Mostrar rótulos y
porcentajes.
›› Finalmente presiona Terminar . La
hoja de cálculo debe verse así:
2. Aplicando lo aprendido.
Confecciona un gráfico circular con la distribución porcentual de las preferencias de los 50
estudiantes del taller de música del colegio por aprender a tocar un instrumento específico.
Instrumento Guitarra Piano Violín Flauta Arpa
Nº de niños 20 9 12 7 2
% de piezas en el museo
Esculturas
20%
Grabados
28%
Pinturas
40%
Tapices
12%
Síntesis de la unidad
Ficha 2
La mediana corresponde al valor que
queda al centro de la lista de datos cuantitativos
ordenados de menor a mayor o
viceversa. Si la cantidad de datos es par,
la mediana se calcula como el promedio
de los dos valores centrales.
Ficha 4
Un gráfico circular corresponde a una representación de porcentajes o fracciones sobre un círculo
y que permite comparar la abundancia relativa de los datos. Como un círculo mide 360 grados
sexagesimales, para construir un gráfico circular se multiplica el porcentaje de abundancia de
un dato –expresado como número decimal o fracción– por 360 y con ayuda de un transportador
se mide un ángulo de amplitud igual al resultado de esta multiplicación, para finalmente colorear
el sector circular determinado.
Ficha 5
En un experimento aleatorio interviene el azar, por
lo que no es posible saber su resultado. Normalmente
se pueden predecir todos los resultados que podrían
darse para una realización particular, pero se desconoce
cuál de ellos se verificará en esa oportunidad.
El espacio muestral de un experimento aleatorio
es el conjunto de todos sus posibles resultados y un
evento o suceso es cualquier subconjunto de él.
Ficha 6
Cuando un experimento aleatorio
se realiza muchas veces tiende a
mantenerse constante el valor de la
razón entre el número de veces que
se obtiene un resultado en particular
y el número de realizaciones del experimento.
Este valor corresponde a
la probabilidad de que se produzca el
resultado estudiado.
Ficha 3
La moda es el dato que más se repite dentro de una colección
de datos. A diferencia de la media y la mediana, la moda puede
determinarse tanto a partir de datos cuantitativos como cualitativos.
Puede existir más de una moda, en cuyo caso se habla de
datos bimodales, trimodales o multimodales.
Ficha1
La media aritmética o promedio permite representar
un grupo de datos cuantitativos. Se anota
como x. Para n datos x1, x2, x3, … , xn, la media
aritmética se calcula mediante la fórmula:
x =
x1 + x2 + x3 + … + xn
n
Evaluación
De acuerdo a la siguiente a. tabla que informa sobre la cantidad de personas que viven en cada
departamento de un condominio ubicado en el centro de la ciudad, responde lo que se te pide
a continuación:
I Ejercicios de desarrollo
N° de personas 0 1 2 3 4 5 6 7
Departamentos 2 5 17 32 42 20 9 1
a) ¿Cuántos departamentos hay en el condominio?
b) ¿Cuántas personas viven en el condominio?
c) En promedio, ¿cuántas personas viven por departamento?
d) ¿Cuáles son la moda y la mediana del número de personas que vive por departamento?
b. La siguiente tabla contiene algunas notas de Química obtenidas por tres alumnos durante el
primer trimestre:
a) Calcula el promedio de las notas de cada alumno.
b) ¿Qué alumno tuvo el mejor promedio?
c) ¿Qué alumno tuvo el peor promedio?
d) ¿Qué nota tendría que obtener Tomás en su quinta prueba para que la moda de sus notas
fuera 6,0?
c. Los ingresos y egresos de una empresa (en millones de pesos) durante el primer semestre del
año se muestran en la siguiente tabla:
Nombre Prueba 1 Prueba 2 Prueba 3 Prueba 4
Rolando 5,5 6,0 6,9 4,0
Sebastián 5,7 5,7 6,2 5,6
Tomás 7,0 6,4 6,0 2,6
Mes Enero Frebrero Marzo Abril Mayo Junio
Ingresos 324,5 335,0 285,5 271,5 180,0 121,5
Egresos 173,0 178,5 155,5 148,0 98,5 71,5
Ganancias
a) Completa la fila inferior con las ganancias de la empresa (ingresos – egresos).
b) Calcula el promedio de los ingresos durante el período considerado.
c) Calcula el promedio de los egresos durante el período considerado.
d) Calcula el promedio de las ganancias de la empresa durante el primer semestre.
e) Si calculamos la “ganancia promedio” como la diferencia entre el promedio de los ingresos y
el de los egresos, ¿coincide su valor con el calculado en la pregunta d)? ¿Qué condiciones
deben existir para que coincidan estos dos valores?
d. Un joven practicante debe llevar a cabo un control de calidad de los tornillos fabricados por una
industria metalmecánica. Para esto dispone de la siguiente tabla con los tamaños de un grupo
representativo del producto terminado:
a) ¿Cuál es el promedio del largo de los tornillos de la muestra revisada?
b) ¿Cuáles son la moda y la mediana de la muestra?
c) Si el tamaño admisible de los tornillos es 9 ± 1 mm, ¿qué porcentaje de los tornillos muestreados
es inadmisible o defectuoso? ¿Está el promedio dentro del rango de admisibilidad?
e. El gráfico contiene la distribución porcentual (aproximada) de títulos obtenidos por algunas selecciones
de fútbol en los 19 primeros campeonatos realizados (considerados hasta el Mundial
de Sudáfrica 2010).
Largo [mm] 8 9 10 11 12
N° de tornillos 18 35 28 17 2
a) ¿Qué país ha sido más veces campeón?
b) Indica cuántos títulos tiene cada país. Aproxima tus resultados al número natural más cercano.
f. Considera el experimento aleatorio de lanzar un dado de 12 caras. Determina el espacio muestral
y el número de elementos de él que pertenecen a cada uno de los sucesos planteados:
a) Suceso A: sale 1 ó 2.
b) Suceso B: sale un número mayor o igual que 8.
c) Suceso C: sale un número par.
g. Indica cuál de los siguientes sucesos tiene una mayor probabilidad estimada de ocurrencia:
››Suceso A: sacar 1 ó 2 en un dado de seis caras.
››Suceso B: sacar 1, 2, ó 3 en un dado de ocho caras.
››Suceso C: sacar 1, 2, 3 ó 4 en un dado de doce caras.
››Suceso D: sacar 1, 2, 3, 4 ó 5 en un dado de veinte caras.
Brasil
26%
Italia
21%
Francia
5%
Países campeones mundiales de fútbol
Inglaterra
5%
Argentina
11%
Uruguay
11%
España
5%
Alemania
16%
a ¿Cuál de los siguientes datos es cuantitativo?
a) El RUT de tu carné de identidad.
b) Tu grupo de sangre.
c) Tu estatura.
d) El curso al que asistes.
e Señala cuál de las siguientes colecciones
de datos es bimodal:
a) 1, 3, 5, 4, 3, 3, 2, 4, 1, 2
b) 12, 12, 13, 14, 12, 13, 12, 13, 12
c) a, b, a, d, c, b, a, d, b, c, a, c, a, a, b, b, b
d) Rojo, azul, verde, amarillo, café, negro
b Si se realiza el experimento aleatorio de
arrojar dos dados de 4 caras. Indica cuántos
elementos constituyen el espacio muestral
y cuántos de ellos pertenecen al suceso “la
suma de las caras es 4”.
a) 8 y 2
b) 16 y 2
c) 16 y 3
d) 8 y 1
f Indica el promedio y la mediana de la siguiente
colección de datos:
1, 1, 1, 7, 1, 1, 7, 7
a) 4 y 1
b) 3,5 y 1
c) 3,25 y 1
d) 3,25 y 7
c El experimento: “arrojar un dado de seis caras,
cinco de las cuales tienen un 1 pintado
y una un 6” se puede clasificar como:
a) Determinístico, ya que casi con seguridad
saldrá 1.
b) Arreglado, ya que nosotros definiremos
previamente el resultado.
c) Aleatorio ya que se desconoce el número
que saldrá.
d) Ninguno de los anteriores.
g Si arrojo muchas veces 4 monedas, ¿cuál
es el valor de la razón entre el número de
veces que salen al menos 3 sellos y el número
total de lanzamientos?

= 0,2875
d Observa el gráfico e indica cuál debe ser el
valor porcentual del sector desconocido:
a) 14%
b) 17%
c) 19%
d) 21%
h El primer trimestre del año una empresa
metalmecánica fabricó 14 000 jarros de aluminio.
El gráfico indica porcentualmente las
cantidades producidas cada uno de los meses
considerados. Con esta información indica
cuántos jarros se fabricaron en marzo:
a) 4 340
b) 5 880
c) 6 250
d) 3 780
II Ejercicios con alternativas
Marca las alternativas correctas en la hoja de respuestas que te dará el docente y completa la
tabla que allí aparece.
21%
43%
17% 27%
enero 31%
marzo
42%
febrero