DATOS , ESTADÍSTICAS Y PROBABILIDADES EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICA 7–SEPTIMO AÑO PDF

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Datos y azar , Poblaciones y muestras
, Introducción a la probabilidad
, Probabilidad experimental
• Usar estadísticas descriptivas para
resumir conjuntos de datos.
• Organizar y presentar datos para
responder preguntas.
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• Interpretar y comunicar información presentada en tablas
y gráficos.
• Determinar el tipo de gráfico más adecuado a las
características de los datos que interesa graficar.
• Reconocer los gráficos de barras, histogramas, pictogramas,
y gráficos circulares.
• Construir tablas de datos y sus gráficos correspondientes.
• Determinar la frecuencia relativa de una categoría respecto
del total de datos.
• Utilizar la frecuencia relativa como medida de la probabilidad
de un evento aleatorio.
En el mundo real
Los científicos pueden usar datos y estadísticas
para hacer predicciones sobre poblaciones de
peces koi y otras clases de peces.
Datos, estadísticas y
probabilidades

Vocabulario
Elige el término de la lista que complete mejor cada
enunciado.
1. La ______________ corresponde al grupo de los objetos o
personas que se consideran en un estudio.
2. Una ___________ es una parte representativa de la población.
3. La ______________ es un método que se utiliza para recopilar
información acerca de una población.
Escribe cuál es la muestra y cuál es la población en las siguientes situaciones
4. Javier quiere saber cuántos estudiantes de su curso prefieren la música rock. Son
37 estudiantes y decide preguntarle a 27 estudiantes.
5. Se quiere saber cuál es la poesía favorita de los estudiantes que pertenecen al club
de literatura de la escuela.
6. El director de un colegio quiere saber cuál es el deporte más practicado por sus
alumnos. Son 589 estudiantes en el colegio, de los cuales 375 practican un deporte.
7. Rafael encuesta a 12 compañeros que se sentaron con él en el estadio para saber
cuál es su película favorita.
8. Una compañía de telefonía móvil quiere consultar a sus clientes si están satisfechos
con el servicio prestado y crea una base de datos con los nombres de algunos
clientes al azar.
9. La empresa encargada de entregar libros para la biblioteca de aula de escuelas
rurales de la región de Tarapacá, quiere saber cuáles son los títulos más requeridos
por las escuelas. Elige los nombres de las escuelas al azar a través de la página
web del Ministerio de Educación.
10. Estudiar las enfermedades más frecuentes en los perros callejeros de la comuna de
Conchalí, para ello los investigadores recorren las calles de la comuna y le hacen
pruebas a 7 perros por día durante 10 días.
Participación de los estudiantes
Actividad
Año
2007 2008
Fútbol 50 65
Tenis 25 30
Básquetbol 60 40
Hockey 30 40
Leer una tabla
Usa la información de la tabla para
resolver los problemas del 16 al 18.
11. ¿En qué actividad cambió más la
participación de 2007 a 2008?
12. ¿En qué actividad ocurrió el mayor cambio
positivo en la participación de 2007 a
2008?
13. ¿En qué actividad ocurrió el menor cambio
en la participación de 2007 a 2008?
probabilidad
encuesta
muestra
población
Guía de estudio: Vistazo previo
C A P Í T U L O 7
De dónde vienes
Antes
●● Usaste una representación adecuada
para mostrar las relaciones entre los
datos recopilados.
●● Sacaste conclusiones a partir del análisis
de datos.
A dónde vas
Puedes usar las destrezas aprendidas en
este capítulo
●● Para hacer predicciones basándose en
los resultados de encuestas.
●● Para hallar las probabilidades a favor y
en contra de resultados especificados.
Vocabulario
Conexiones de vocabulario
Considera lo siguiente para familiarizarte con
algunos de los términos del vocabulario del
capítulo. Puedes consultar el capítulo, el glosario
o un diccionario si lo deseas.
1. La población de un área es el número total de
habitantes que viven en esa zona. ¿Qué crees
que significa población en el proceso de
recopilar datos?
2. Cuando tomas una muestra de un producto,
tomas una pequeña parte. ¿Qué crees que es
una muestra en una recopilación de datos?
3. Una situación tendenciosa es algo que ocurre
con cierto grado de deformación para que
no sea real. ¿A qué podría corresponder
entonces el término pregunta tendenciosa?
4. La palabra experimento puede significar “el
proceso de poner a prueba”. ¿En qué crees
que se basa la probabilidad experimental?
5. Cuando dos cosas son iguales, tienen la
misma medida o cantidad. ¿Cómo crees
que se relacionan dos sucesos igualmente
probables?
Vistazo previo
En este capítulo
Estudiarás
●● Cómo seleccionar una representación
adecuada para mostrar las relaciones
entre los datos recopilados.
●● Cómo reconocer usos incorrectos de la
información gráfica.
●● Cómo hallar las probabilidades de
sucesos.
población experimento
muestra resultado posible
muestra aleatoria suceso
muestra sistemática prueba
muestra de
conveniencia
probabilidad
experimental
muestra
auto-seleccionada probabilidad teórica
pregunta tendenciosa probabilidad
muestra no
representativa igualmente probables
Leer y escribir matemáticas
Opciones de préstamos
0
10,000
Interés
Préstamo inicia l
20,000
30,000
$11,005.00
$14,643.75
$35,500
$35,500
40,000
50,000
Préstamo
Cantidad del préstamo ($)
C A P Í T U L O 7 Leer
y
matemáticas
escribir
Inténtalo
Estrategia de lectura: Lee e interpreta gráficos
Aprender a interpretar figuras, diagramas, tablas y gráficos te ayudará a reunir la información
que necesitas para resolver un problema.
Busca cada ejercicio en el libro de texto y responde las preguntas correspondientes.
1. Capítulo 6-5, ejemplo 1: ¿Cuál es el título del gráfico? ¿Cuántas personas prefieren el televisor?
2. Capítulo 6-4, ejemplo 2: ¿Qué significa cada punto del gráfico? ¿Cuánto costaba una bicicleta de
montaña el año 2007?
3. Capítulo 6-2, ejemplo 3: ¿Cuál es el país con menor expectativa de vida? ¿Cuál es el país con
mayor expectativa de vida?
Lo que ves Cómo interpretarlo
Lo que ves Cómo interpretarlo
Lee los rótulos
• La arista de la base: 10 cm.
• La altura lateral: 12 cm.
• La arista de la cara lateral: 13 cm.
• La altura de la pirámide no se conoce.
No supongas nada. La altura de la
pirámide parece medir aproximadamente
igual a la arista de la cara lateral; pero
para saberlo debe aplicar el teorema
de Pitágoras y usar la calculadora.
Lee el título.
“Opciones de préstamos”
Lee el rótulo de cada eje:
Horizontal: Indica las opciones de
préstamos A y B
Vertical: Cantidades del
préstamo en pesos.
Nota: Capital corresponde a la cantidad de
bienes materiales inmuebles o dinero que se
destina para una actividad específica y que
genera ganancias.
Interés de un capital se refiere al lucro
producido por el capital.
$ 35 500
Préstamo inicial
Interés
A B
$ 14 643,75
50 000
40 000
30 000
20 000
10 000
$ 35 500 $ 11 005
10 cm 10 cm
12 cm 13 cm
h
Pirámide de base cuadrada
7-1
EJEMPLO 1
Aprender a comparar
y analizar métodos de muestreo.
Asistencia de estudiantes a partidos de fútbol
Método de muestreo Resultado de la encuesta
Andrés encuesta a 80 estudiantes
eligiendo nombres al azar del
directorio escolar.
El 62 % asiste a partidos de fútbol.
Víctor encuesta a 28 estudiantes que
se sentaron cerca de él durante el
almuerzo.
El 81% asiste a partidos de fútbol.
En 2002, se difundió la noticia
de que la caquexia crónica, o
enfermedad del alce loco, se estaba
propagando hacia el Oeste por
América del Norte. Para verificar
una afirmación como ésa, se debía
examinar a la población de alces.
Cuando se reúne información sobre
un grupo, como el grupo de todos
los alces de América del Norte, la
totalidad de este grupo se llama
población. Como examinar a cada
miembro de un grupo grande
puede ser difícil o imposible, los
investigadores suelen estudiar
una parte de la población, llamada
muestra.
Analizar métodos de muestreo
Determina qué método de muestreo representará mejor a toda la
población. Justifica tu respuesta.
C A P Í T U L O
Vocabulario
población
muestra
muestra aleatoria
muestra de conveniencia
muestra no
representativa
El método de Andrés produjo resultados más representativos de toda la
población estudiantil porque usó una muestra aleatoria.
El método de Víctor produjo resultados que no son representativos de toda la
población estudiantil porque usó una muestra de conveniencia.
Poblaciones y muestras
Para formar una muestra aleatoria, se elige a miembros de la población al azar.
Esto permite que todos los miembros de la población tengan la misma posibilidad
de ser elegidos. Una muestra de conveniencia se basa en miembros de la
población que ya están disponibles, como 30 alces en una reserva natural.
Pista útil
Una muestra aleatoria
tiene más probabilidades
de ser representativa de
una población que una
muestra de conveniencia.
EJEMPLO
EJEMPLO
2
3
Razonar y comentar
Identificar posibles muestras no representativas
Determina si cada muestra puede no ser representativa. Explica.
Verificar afirmaciones basadas en datos estadísticos
Un biólogo estima que, de los 4 500 alces que hay en una reserva natural,
más de 700 están infectados con un parásito. Una muestra aleatoria de 50
alces indica que 8 de ellos están infectados. Determina si es probable que
la estimación del biólogo sea exacta.
Establece una proporción para predecir la cantidad total de alces infectados.
alces infectados de la muestra
tamaño de la muestra
= alces infectados de la población
tamaño de la población
8
50 =
x
4 500
Sea x la cantidad de alces infectados
en la reserva.
8 • 4 500 = 50 • x Los productos cruzados son iguales.
36 000 = 50 x Multiplica.
36 000
50 =
50x
50
Divide cada lado entre 50 para despejar x.
720 = x
Basándote en la muestra, puedes predecir que hay 720 alces infectados en la
reserva. Es probable que la estimación del biólogo sea exacta.
Una muestra no representativa no representa a la población de manera justa. Un
estudio basado en 50 alces de un criador puede no ser representativo porque los
alces de un criador podrían tener menos probabilidades de contraer la enfermedad
del alce loco que los alces en su hábitat natural.
Con los datos de una muestra aleatoria, puedes usar un razonamiento proporcional
para hacer predicciones o verificar afirmaciones sobre toda la población.
1. Describe una situación en la que te gustaría usar una muestra en
lugar de hacer una encuesta a toda la población.
2. Explica por qué sería difícil obtener una muestra totalmente aleatoria
de una población muy grande.
¡Recuerda!
En la proporción
a
b =
c
d , los productos
cruzados, a d y b c
son iguales.
A
B
Se encuesta a las primeras 50 personas que salen del cine para
averiguar qué tipo de películas les gusta a los habitantes del pueblo.
La muestra no es representativa. Es probable que no a todos les guste ver
el tipo de película que esas 50 personas acaban de ver.
Un bibliotecario elige 100 libros al azar de la base de datos de la
biblioteca para calcular el promedio de páginas de un libro de la
biblioteca.
No es una muestra no representativa. Es una muestra aleatoria.
Ejercicios
1
2
2
3
1
1. Determina qué método de muestreo representará mejor a toda la población.
Justifica tu respuesta.
Determina si cada muestra puede no ser representativa. Explica.
2. Una compañía elige al azar 500 clientes de su base de datos y luego los encuesta
para conocer su opinión sobre la calidad del servicio.
3. Un profesor del colegio entrevista a 50 alumnos que acostumbran a jugar al fútbol
para averiguar acerca de cuánta actividad física tienen los habitantes de la ciudad.
Determina si cada muestra puede no ser representativa. Explica.
6. Un disc-jockey pregunta a diez radioescuchas si les gusta la última canción.
7. Los miembros de una organización para las elecciones encuestan a 700 votantes
registrados eligiendo sus nombres al azar de una lista de todos los votantes.
8. Afirmaciones. En una universidad hay 30 600 estudiantes. En una muestra aleatoria
de 240 estudiantes encuestados, 20 hablan tres o más idiomas. Predice la cantidad
de estudiantes de la universidad que hablan tres o más idiomas.
5. Determina qué método de muestreo representará mejor a toda la población.
Justifica tu respuesta.
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
7-1
Autos “Estrella solitaria”: Satisfacción del cliente
Método de muestreo Resultados de la encuesta
Nadia encuesta a 200 clientes en el local un
sábado por la mañana. El 92% está satisfecho.
Doris envía encuestas por correo a 100 clientes
elegidos al azar. El 68% está satisfecho.
Periódico
Método de muestreo Resultados de la encuesta
Susana encuesta a 80 personas suscritas de su
vecindario.
El 61% quiere renovar la
suscripción.
Violeta encuesta por teléfono a 150 personas
suscritas que elige al azar.
El 82% quiere renovar la
suscripción.
Afirmaciones basadas en datos estadísticos.
4. Una fábrica produce 150 000 focos de luz por día. El gerente de la fábrica estima
que se producen menos de 1 000 focos defectuosos por día. En una muestra
aleatoria de 250 focos, hay 2 focos defectuosos. Determina si es probable que la
estimación del gerente sea exacta. Explica.
Ver ejemplo 3
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Empleados de XQJ Software
Cantidad
total de
personas
Cantidad de
personas que va al
trabajo caminando
Población 9 200 300
Muestra 200 40
Explica si encuestarías a toda la población o usarías una muestra.
9. Deseas saber cuál es el pintor preferido de los empleados del museo local de arte.
10. Deseas saber los tipos de calculadora que usan los estudiantes de enseñanza
media de todo el país.
11. Deseas saber cuántas horas semanales dedican los estudiantes de tu clase de
ciencias sociales a hacer la tarea.
12. Biológía Una bióloga elige una muestra aleatoria de 50 moscas de la fruta entre
750. Descubre que 2 de ellas han sufrido una mutación genética que provocó una
deformación en sus alas. La bióloga afirma que aproximadamente 30 de las 750
moscas de la fruta tienen alas deformes. ¿Estás de acuerdo? Explica.
13. Una pregunta tendenciosa es la que lleva a las personas a dar una respuesta
determinada. Karina decide usar una muestra aleatoria para determinar cuál
es el color preferido de sus compañeros. Les pregunta: “¿El verde es tu color
preferido?”. ¿Es una pregunta tendenciosa? Si lo es, da un ejemplo de una pregunta
imparcial.
14. Razonamiento crítico Explica por qué encuestar a 100 personas del listado de la
guía telefónica puede no ser una muestra aleatoria.
15. Escríbelo Supongamos que deseas saber si los estudiantes de séptimo grado de
tu escuela pasan más tiempo viendo la televisión o usando la computadora. ¿Cómo
elegirías una muestra aleatoria de la población?
16. Desafío El gerente de XQJ
Software encuestó a 200
empleados para saber cuántos
van al trabajo caminando. En la
tabla se muestran los resultados.
¿Crees que el gerente eligió una
muestra aleatoria? ¿Por qué?
17. La enseñanza media de un colegio tiene 580 estudiantes. Bastián encuesta a una muestra
aleatoria de 30 estudiantes y descubre que 12 de ellos tienen un perro como mascota.
¿Cuántos estudiantes de la escuela probablemente tengan perros como mascota?
A 116 B 232 C 290 D 360
18. Da un ejemplo de una muestra no representativa. Explica por qué no es representativa.
Escribe cada porcentaje como decimal.
19. 52% 20. 7% 21. 110% 22. 0,4%
Halla el porcentaje de cada número.
23. 11% de 50 24. 48% de 600 25. 0,5% de 82 26. 210% de 16
Biología
En América del
Norte, las moscas
de la fruta dañan
las cerezas, las
manzanas y los
arándanos azules.
En el Mediterráneo,
son una amenaza
para los cítricos.
Repaso
7 ¿Listo para seguir?
7-1 Poblaciones y muestras
Prueba de la lección 7-1
Al cuidador de un parque le gustaría saber con qué frecuencia anual acampan
los visitantes del parque. Identifica cada clase de método de muestreo.
1. El cuidador del parque coloca los formularios de la encuesta en la tienda de
regalos.
2. El cuidador encuesta a los primeros 50 visitantes que pasan por la cabina de
información del parque.
Para saber si su producto es bien considerado en el mercado, una empresa de
cepillos de dientes aplica una encuesta. Indica qué debería consultar:
3. El grado de utilidad para el aseo bucal de sus productos.
4. El grado de ventaja que tienen en relación a los valores y las utilidades de su
competencia.
Crea un ejemplo de comparación de muestras para cada una de estas
situaciones
5. Se necesita saber cuántas personas asisten al Parque Nacional Torres del Paine.
6. El museo de Historia Natural busca conocer la cantidad de personas que asisten a
sus exposiciones.
En la temporada de una obra de teatro, se entrega una encuesta a la salida del
espectáculo. Indica para cada ejemplo si los resultados son igualmente válidos.
Justifica tus respuestas.
7. El día del estreno, cuando asisten familiares, amigos e invitados, se entrega la
encuesta a la salida.
8. Un día cualquiera, a mitad de temporada, se aplica la misma encuesta.
Clasificar en muestra o población.
9. Personas inscritas en los registros electorales.
10. El sueldo de 20 trabajadores de una empresa donde trabajan 2 000 personas.
11. Hacer una encuesta a 100 personas que entraron ese día.
12. Hacer un estudio con todos los ancianos de un asilo.
Escribe una muestra asociada a cada población.
13. Enfermos de sida en el mundo.
14. Perros de ocho años con problemas de artrosis.
15. Mujeres embarazadas en Chile.
C A P Í T U L O
Listo para seguir?
Enfoque en resolución de problemas
Cuando lees un problema, debes decidir si en él hay demasiada o
muy poca información. Si hay demasiada información en el problema,
debes decidir qué información usar para resolverlo. Si la información
del problema es muy poca, debes determinar qué información
adicional necesitas para resolverlo.
Haz un plan
• Identifica cuándo la información es demasiada o muy poca.
Lee los siguientes problemas y decide si tienen demasiada o falta
información. Si hay demasiada información, indica qué información usarías
para resolver el problema. Si hay muy poca información, indica qué
información adicional necesitarías para resolver el problema.
El lunes, 20 estudiantes rindieron un
examen. 10 estudiantes obtuvieron un
puntaje superior a 85 y 10 un puntaje
inferior a 85. ¿Cuál fue la calificación
promedio?
Carolina se prepara con entrenamiento
cruzado para una maratón. Corrió 50
minutos el lunes, 70 minutos el miércoles y
45 minutos el viernes. El martes y el jueves
levantó pesas en un gimnasio 45 minutos.
Durante el fin de semana nadó 45 minutos.
¿Cuánto tiempo corrió Carolina en promedio
por día la semana pasada?
En una región de Chile, la altura promedio
máxima es de 940 metros sobre el nivel del
mar. El punto más alto es el cerro La Virgen,
que tiene 1 200 metros de altura. El punto
más bajo, el Valle del Sol, que tiene 640
metros sobre el nivel del mar. ¿Cuál es el
rango de las altura de esta región?
Usa la información de la tabla para hallar la
mediana de la cantidad de matrimonios por
año entre 2006 y 2012.
1 4
2
3
Haz un
plan
Matrimonios celebrados. Periodo 2006-2012
Año 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
Cantidad (miles) 59 323 59 134 57 404 57 836 62 170 66 132 59 372
7-2
Aprender a predecir
la ocurrencia de un evento
en un experimento aleatorio
simple y calcular la frecuencia
relativa del mismo.
Vocabulario
experimento
prueba
resultado
frecuencia
frecuencia absoluta
frecuencia relativa
frecuencia relativa
porcentual
Introducción a la probabilidad
C A P Í T U L O
Cualquier actividad relacionada con la probabilidad, como lanzar un dado, es un
experimento. Cada repetición u observación de un experimento se llama prueba y lo
que se obtiene del experimento se llama resultado. Se llama frecuencia al número de
veces que se repite un resultado. También se le dice frecuencia absoluta.
Número Frecuencia
absoluta
1 4
2 3
3 2
4 5
5 4
6 2
EJEMPLO 1 Laura hizo un experimento de lanzar un dado 20 veces y anotó en la siguiente
tabla los resultados obtenidos.
Ella quería saber la cantidad de veces que le salió el número 5 en relación a los
otros números del dado. Hizo la siguiente relación:
Número de veces que le salió el 5
Total de veces que lanzó el dado
4
20 =
La razón 4
20
corresponde al número de veces que salió el 5 y la cantidad de
veces que se realizó el experimento y esto se llama frecuencia relativa.
4
20
= 0,2% Corresponde la frecuencia relativa porcentual.
Si sumamos las frecuencias absolutas Obtenemos 20 y esto
corresponde al número de veces que se realizó el experimento.
EJEMPLO 2 A Esteban hizo un experimento. Lanzó una moneda al aire 10 veces y obtuvo
los siguientes resultados.
Moneda Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Frecuencia
relativa
porcentual
Cara 6 6/10 60%
Sello 4 4/10 40%
Esteban además calculó la frecuencia relativa y la frecuencia relativa
porcentual de sus resultados y los añadió a la tabla.
Sumó las frecuencias relativas y las frecuencias relativas porcentuales.
Al sumar las frecuencias relativas se obtiene 1.
Al sumar las frecuencias relativas porcentuales se obtiene 100%
60% + 40% = 100%
B
C
EJEMPLO 3
La profesora de 7° básico del colegio Melipilla quería saber la asignatura
preferida por sus alumnos y les hizo una encuesta, donde les preguntaba,
¿cuál es tu asignatura favorita?
Ordenó los datos obtenidos en la siguiente tabla y le faltó completarla.
Aplicación en la escuela
Asignatura Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Frecuencia
relativa
porcentual
Lenguaje y Comunicación 6 6/10
Matemática 4
Artes Visuales 8
Educación Física 3
Historia y Geografía 16%
• Completa la tabla.
• Ella afirma que si saca al azar un alumno de su curso, es más probable
que saque un alumno que prefiere Artes Visuales y que es menos
probable, que sea un estudiante que prefiere Historia y Geografía. ¿Estás
de acuerdo con ella? Explica y argumenta su respuesta.
Razonar y comentar
1. Da un ejemplo de una situación relacionada con predecir de
acuerdo a la probabilidad de ocurrencia de un suceso.
2. Menciona un experimento y anota la frecuencia absoluta de los
resultados obtenidos.
3
1. Se lanza un dado 100 veces y se obtiene los siguientes resultados:
3. Completa la tabla que muestra los deportes favoritos de 60 estudiantes
de una escuela.
Ver ejemplo 1
Ver ejemplo
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
Número 1 2 3 4 5 6
Frecuencia absoluta 12 17 18 16 18 19
Calcula la frecuencia relativa del suceso “obtener múltiplo de 3”.
Ver ejemplo 2
a. Si sacas un estudiante al azar, ¿es más probable que saques un alumno que
prefiere fútbol o básquetbol? Y que es menos probable que saques, ¿un estudiante
que prefiere tenis o natación? Explica y argumenta tu respuesta.
Deporte Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Frecuencia relativa
porcentual
Fútbol 25
Vóleibol 12/60
Tenis 3
Básquetbol 25%
Natación 5
2. Los siguientes datos corresponden al peso de cada uno de los jugadores de
un equipo de fútbol:
70-79-70-69-70-73-73-78-78-69-70-68-79-70-73-74
Construye una tabla de frecuencias en tu cuaderno y responde a las siguientes
preguntas: ver ejemplo 1,2 y 3
a. ¿Cuántos jugadores pesan menos de 70 kilos?
b. Suma las frecuencias absolutas, ¿qué valor obtienes?
c. ¿Qué valor se obtiene al sumar las frecuencias relativas?
d. ¿Cuál es el % de jugadores que pesa 79 kilos?
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
4. Juan y Pedro están jugando dominó y los colocan todos boca abajo, sin ver la
cantidad de pintas que tiene cada carta.
Escribe la razón que corresponde a la cantidad de chanchos (que tienen la misma cantidad
de puntos en ambos lados de la carta del dominó) y el total de cartas del dominó.
Ver ejemplo 1
7-2 Ejercicios
Ver ejemplo 2 5. Haz el experimento y lanza un dado 100 veces al aire. Anota los
resultados en la siguiente tabla.
Cara del dado Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa porcentual
1
2
3
4
5
6
a. Suma las frecuencias relativas.
b. Suma las frecuencias relativas porcentuales.
c. ¿Qué resultados obtienes?
Ver ejemplo 3 6. En una empresa se les pregunta a los trabajadores por su estado civil.
Los datos obtenidos se organizan en esta tabla, pero está incompleta.
Estado civil Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Frecuencia relativa porcentual
soltero 75
casado 50%
viudo 50/400
separado 175
Total 400
a. Completa la tabla.
b. Si el jefe llama a un trabajador al azar, ¿es más probable que llame a
un viudo? ¿Es menos probable que llame a un separado? Responde y
argumenta tu respuesta.
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
7. Lanza un dado de seis caras 50 veces al aire y anota los resultados en una tabla. Escribe
la frecuencia absoluta, la frecuencia relativa y la frecuencia relativa porcentual del
resultado de cada evento.
a. Haz una predicción relacionando con los resultados obtenidos.
b. Al lanzar el dado nuevamente, ¿qué número saldría? Explica y argumenta.
8. En una rifa de 150 números, ¿cuántos hay que comprar para tener un 8% de probabilidad para ganarla?
A 6 B 12 C 15 D 8
9. Se lanzó una moneda al aire 50 veces y salió el 60% sello. Entonces la frecuencia relativa
correspondiente es: A 30
50
B 50
60
C 20
50
D 40%
Repaso
7-3
EJEMPLO 1
Aprender a hallar la
probabilidad experimental de
un suceso.
Vocabulario
experimento
resultado posible
suceso
prueba
probabilidad
experimental
Un experimento aleatorio es una
actividad en la cual no se puede
predecir un resultado del experimento
y existe la probabilidad de que se
produzcan diferentes resultados.
Como por ejemplo, lanzar una moneda
al aire o hacer girar una ruleta o lanzar
un dado de seis caras al aire.
Los diferentes resultados que puede
haber se llaman resultados posibles
del experimento. Si lanzas una
moneda, un resultado posible es que
caiga cara.
Identificar resultados posibles
En cada experimento, identifica el resultado posible que se muestra.
Probabilidad experimental
A
B
Lanzar dos monedas
Resultado posible que se muestra: cara, sello
(C, S)
C A P Í T U L O
Lanzar un dado
Resultado posible es (1, 2, 3, 4, 5, 6)
Leer matemáticas
La probabilidad
experimental es una
manera de expresar
la frecuencia relativa,
porque relaciona la
frecuencia de un suceso
con la cantidad total de
resultados posibles.
Un suceso es un resultado posible o un grupo de resultados posibles.
Realizar un experimento es una manera de estimar la probabilidad de un
suceso. Cada repetición del experimento se llama prueba.
Si un experimento se repite muchas veces, la probabilidad experimental
de un suceso es la razón de la cantidad de veces que ocurre el suceso a la
cantidad total de pruebas.
Probabilidad Experimental
Cantidad de veces que ocurre el suceso
Cantidad total de pruebas
probabilidad 
6
3
2
EJEMPLO
EJEMPLO
2
3
Hallar la probabilidad experimental
Comparar probabilidades experimentales
Razonar y comentar
1. Explica si tú y un amigo obtendrán la misma probabilidad experimental para
un suceso si realizan el mismo experimento.
2. Indica por qué es importante repetir muchas veces un experimento.
Escribir matemáticas
La probabilidad de un
suceso se puede escribir
como P(suceso). P(azul)
significa “la probabilidad
de que azul sea el
resultado”.
A
B
Halla la probabilidad experimental de que el autobús llegue entre las
7:00 y las 7:04
Durante un mes, Tania anotó la hora de llegada de su autobús escolar.
Organizó sus resultados en una tabla de frecuencia.
Iván lanzó un cono 30 veces y anotó
si caía sobre su base o sobre su
lado. De acuerdo con el experimento
de Iván, ¿de qué manera es más
probable que caiga el cono?
Halla la probabilidad experimental de que el autobús llegue antes de
las 7:10
5
5
5
5
8
20
8 1 9
20
2
5
17
20
Antes de las 7:10 incluye de 7:00 a
7:04 y de 7:05 a 7:09.
Halla la
probabilidad
experimental de
cada resultado.
Compara las probabilidades
Hora 7:00 – 7:04 7:05 – 7:09 7:10 – 7:14
Frecuencia 8 9 3
Resultado posible Sobre su base Sobre su lado
Frecuencia //// // //// //// //// //// ///
Cantidad de veces que ocurre el suceso
Cantidad total de pruebas
Cantidad de veces que ocurre el suceso
Cantidad total de pruebas
P(entre 7:00 y 7:04) 
P(entre 7:00 y 7:04) 
5
5
< 7 30 23 30 23 30 Cantidad de veces que ocurre el suceso Cantidad total de pruebas Cantidad de veces que ocurre el suceso Cantidad total de pruebas 7 30 P(lado)  P(lado)  Es más probable que el cono caiga sobre su lado. Sobre su lado Sobre su base Ejercicios 1 1 2 3 3 En cada experimento identifica el resultado posible que se muestra. 4. 5. Identifica el resultado posible de cada situación, si el círculo está dividido en partes iguales. 9. 10. Deportes José anotó la cantidad de goles de su jugador de fútbol favorito en cada uno de los 15 partidos. Organizó sus resultados en una tabla de frecuencia. Javier tiene una bolsa con bolitas. Sacó una bolita, anotó el color y la devolvió a la bolsa. Repitió el proceso varias veces y anotó sus resultados en la tabla. Usa la tabla para resolver los ejercicios del 6 al 8. 1. Halla la probabilidad experimental de que este jugador haga un gol en un partido. 3. De acuerdo con los datos de José. ¿Cuántos goles es más probable que anote en el próximo partido su jugador favorito? 6. Halla la probabilidad experimental de sacar de la bolsa una bolita roja. 7. Halla la probabilidad experimental de sacar de la bolsa una bolita que no sea negra. 8. De acuerdo con el experimento de Javier, ¿qué color de bolita es más probable que ella saque de la bolsa? Ver ejemplo Ver ejemplo Ver ejemplo Ver ejemplo Ver ejemplo PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN PRÁCTICA INDEPENDIENTE 7-3 PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Cantidad de goles 0 1 2 3 Frecuencia 4 8 1 1 Color Frecuencia Blanca //// Roja /// Amarilla //// Negra //// //// // 2. De acuerdo con los resultados de José, ¿es más probable que este jugador haga dos goles en un partido o que no haga ninguno? ¿Cuántos goles es más probable que haga en un partido? Ver ejemplo 2 11. Meteorología Javiera anotó la temperatura máxima de cada día de julio. Registró sus resultados en una tabla de frecuencia. 12. Mariana anotó los resultados de hacer girar una flecha giratoria con 3 secciones. 13. Escríbelo Realiza un experimento en el que lances una moneda 100 veces. Anota la cantidad de veces que la moneda cae cara. De acuerdo con tus resultados, ¿cuál es la probabilidad experimental de que caiga cara? Compara tus resultados con los de un compañero de clase. ¿Obtuvieron la misma probabilidad experimental? ¿Por qué? 14. Desafío Supongamos que lanzas dos dados y sumas los números que salen. ¿Cuál crees que sea la suma más probable? (Pista: realiza un experimento). 15. Identifica el resultado posible que se muestra en la flecha giratoria. 16. Pablo juega al fútbol. Cinco de sus partidos empezaron a las 5:00 p.m. Cuatro empezaron a las 5:15 p.m. Uno empezó a las 5:45 p.m. ¿Cuál es la probabilidad experimental de que su propio partido empiece a las 5:00 p.m.? 17. Marcia va al supermercado dos veces al día, siempre a las mismas horas. El lunes, las dos veces el estacionamiento estaba lleno. El martes, la primera vez estaba lleno y la segunda no. El miércoles, las dos veces estaba vacío. Al lunes siguiente, nuevamente estaba lleno las dos veces. Con estos datos, ¿podemos definir algún grado de probabilidad de que el martes nuevamente esté una vez vacío y una vez lleno? Fundamenta. 18. Arturo tiene una probabilidad del 91% de encestar un tiro libre. Su hermano Leo tiene una probabilidad del 93% de encestar un tiro libre. ¿Quién tiene más probabilidades de encestar el tiro libre: Arturo o Leo? A C B D azul rojo verde amarillo Temperatura (°C) 9-10 11-12 13-14 15-16 Cantidad de días 10 9 11 1 Resultado posible Rojo Azul Verde Vueltas 25 19 56 De acuerdo con los resultados, ¿cuál es la probabilidad de que un día de julio tenga una temperatura mayor que 14 °C? Describe esta probabilidad como segura, probable, tan probable como improbable, improbable o imposible. a. Usa los resultados de la tabla para hallar la probabilidad experimental de que la flecha giratoria caiga en cada color. b. ¿Qué sección de la flecha crees que será más grande? Explica. A B C D 1 10 2 5 1 2 9 10 Repaso 7 ¿Listo para seguir? 7-2 Introducción a la probabilidad Prueba de las lecciones 7-2 a 7-3 1. Reúnete con otro compañero y realicen el siguiente experimento: Lancen un dado 25 veces y registren los resultados obtenidos en la tabla y calculen la frecuencia relativa y la frecuencia relativa porcentual en cada caso. C A P Í T U L O Listo para seguir? 4. Tomás anotó la cantidad de veces que una flecha giratoria cayó en cada número. De acuerdo con el experimento de Tomás, ¿en qué número es más probable que caiga la flecha? Resultado 1 2 3 Frecuencia //// // //// //// // //// / 7-3 Probabilidad experimental En cada experimento identifica el resultado que se muestra. 2. 3. N° de lanzamiento 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 7 C A P Í T U L O Conexiones con el mundo real poleras en color rojo, azul, verde o blanco. Hay también viseras para el sol en azul, verde, amarillo y rojo. Si un visitante compra una polera y una visera, ¿cuántas combinaciones posibles hay? El Festival de la sandía de Paine El festival de la Sandía de Paine, es un evento que se celebra cada verano en la comuna del mismo nombre, que se ubica en la zona sur de la Región Metropolitana. En esta fiesta, además de existir un espectáculo musical, se escoge la sandía más grande y se ofrecen diferentes alternativas gastronómicas en muchos puestos de comida. 1. Uno de los vendedores del festival planea darles a los clientes la oportunidad de ganarse un premio. Los clientes hacen girar la rueda que aquí se muestra y reciben una sandía de premio si la rueda cae en alguna de las imágenes de la sandía. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente gane una sandía? b. ¿Cuál es la probabilidad de que no la gane? 2. Halla la probabilidad de que ganen dos clientes seguidos. 3. Halla la probabilidad de que dos clientes seguidos ganen una sandía. 4. El vendedor espera tener 480 clientes por día. ¿Cuántos clientes predices que ganarán un premio cada día? 5. Quienes concurren al festival pueden comprar Acertijos de probabilidad ¿Puedes resolver estos acertijos de probabilidad? Ten cuidado: ¡algunos son engañosos! Vueltas y más vueltas Este juego es para dos jugadores. El objetivo del juego es determinar cuál de las tres flechas giratorias es la ganadora (la que cae más veces en el número mayor). Los jugadores eligen una flecha y la hacen girar al mismo tiempo. Anota qué flecha cae en el número mayor. Repite esto 19 veces y anota qué flecha gana cada vez. Repite el procedimiento hasta que hayas hecho jugar la flecha A contra la B, la flecha B contra la C y la flecha A contra la C. Haz girar 20 veces cada par de flechas y anota los resultados. ¿Qué flecha gana más veces: A o B? ¿Qué flecha gana más veces: B o C? ¿Qué flecha gana más veces: A o C? ¿Hay algo sorprendente en tus resultados? En una ciudad el número telefónico del 5% de los habitantes es privado. Si eliges al azar a 100 personas de la guía telefónica local, ¿cuántos crees que tienen números privados? Amanda tiene en un cajón 24 calcetines negros y 18 calcetines blancos. Si mete la mano en el cajón sin mirar, ¿cuántos calcetines debe sacar para estar segura de que tiene dos del mismo color? Daniel, Marta, Carla y Hans salieron a comer juntos. Cada uno pidió algo distinto. Cuando llegaron los platos, el mesero ya no recordaba quién había pedido cada cosa, así que puso los platos al azar frente a los cuatro amigos. ¿Cuál es la probabilidad de que el mesero haya servido a exactamente tres de los jóvenes que lo pidieron? 1 2 3 ¡Vamos a Jugar! ACTIVIDAD GRUPAL Materiales • 5 platos de papel • Tijeras • Pegamento • Papel decorativo • Marcadores MÉTODOS DE MUESTREO ¿POR QUÉ? EL VALOR Y LA UTILIDAD DE LOS DATOS DEPENDEN DE CÓ MO SE PRESENTEN. MÉ TODO DE M UEST REO CÓMO SE ELIGEN LOS ELEMENTOS AL AZAR DE ACUERD O CON UNA REGLA O FÓRM ULA AL AZA R DE S UB GRUP OS ELEG IDOS AL AZAR ALEATO R IO SISTEMÁTIC O POR ESTRAT OS PARA L A MAYORÍ A DE L AS E NCUESTAS, L OS DATOSSE OBTIEN EN AL E NCUESTAR A UNA MUEST RA DE U NA POBLACIÓN. PAR A QUE L OS DATOS TENGAN L A MAYOR IMPA RC IALIDAD P OSIBL E, ES NECE SARIO USAR MÉTO DOS DE MUESTRE O ADECUADOS. A C B PROYECTO Datos sobresalientes ¡Ésta es una manera de tomar notas sobre la recopilación, la presentación y el análisis de datos que seguramente sobresaldrá! Instrucciones Recorta uno de los platos de papel por la mitad. Usarás las dos mitades para hacer las tapas de tu libro en relieve. Dobla cada uno de los platos que quedan por la mitad. Recorta dos ranuras de 2,5 cm en el medio del borde plegado de cada plato. Entre ambas ranuras tiene que haber aproximadamente 2,5 cm de distancia. Figura A. Dobla el papel entre las ranuras hacia atrás y hacia adelante. Luego, mételo hacia adentro mientras desdoblas el plato. Se formará una lengüeta con relieve. Figura B. Dobla los platos de manera que queden cerrados. Une con pegamento la parte inferior de un plato con la parte superior del que le sigue para formar un libro. Crea las tapas pegando una de las mitades de los platos de papel contra el frente del libro y otra contra el dorso. Recorta cuatro rectángulos pequeños de papel decorativo. Después de tomar notas en estos rectángulos, pégalos en las lengüetas en relieve. Figura C. 1 2 3 4 5 Tomar notas de matemáticas Usa los rectángulos de papel decorativo para tomar notas sobre la recopilación, la presentación y el análisis de datos. Luego, pega los rectángulos en las lengüetas en relieve dentro del libro. También puedes tomar notas directamente sobre los platos de papel. C A P Í T U L O 7 Vocabulario Guía de estudio: Repaso EJEMPLOS EJERCICIOS Completa los siguientes enunciados con las palabras del vocabulario. 1. La ________________ de un evento es la razón entre el número de veces que se obtuvo dicho evento y el número de veces que se realizó el experimento. 2. La ___________________es la frecuencia relativa de un evento expresada en porcentaje. 3. La ______________________de un evento es el número de veces que ocurre dicho evento, cuando se repite un experimento aleatorio n veces. 7-1 Poblaciones y muestras El dueño de una librería coloca encuestas impresas sobre el mostrador. Identifica el tipo de método de muestreo. Esta es una muestra auto-seleccionada porque los clientes eligen si desean o no completarla. Luis desea saber cuántos estudiantes de su escuela toman un autobús para llegar hasta allí. Identifica el tipo de método de muestreo. 4. Luis encuesta a uno de cada diez estudiantes que aparecen en el registro de la escuela. 5. Luis encuesta a 30 estudiantes en el gimnasio. Una senadora regional desea saber si los votantes de su distrito apoyan una nueva ley de impuestos. Identifica cada clase de método de muestreo. 6. Un miembro de su equipo elige al azar 500 nombres de una lista de votantes registrados del distrito. 7. Un miembro de su equipo publica una encuesta en el sitio web de la senadora. 8. La senadora realiza un puerta a puerta donde pregunta a cada persona que sale a atenderla. Guía de estudio: Repaso población…………………… 252 muestra................................252 muestra aleatoria................. 252 muestra de conveniencia... 252 muestra no representativa... 252 experimento…………………258 prueba..................................258 resultado…………………… 258 frecuencia absoluta………. 258 frecuencia relativa............... 258 frecuencia relativa porcentual............................258 EJEMPLOS EJERCICIOS 7-2 Introducción a la probabilidad Los miembros de un club de excursionismo se someten a una encuesta para determinar qué tipo de calzado prefieren. Determina si la muestra puede ser no representativa. Explica. La muestra puede ser no representativa. Probablemente, los miembros de un club de excursionismo, a diferencia de otras personas, elijan como calzado preferido las botas de excursionismo. Determina si cada suceso es imposible, improbable, tan probable como improbable, probable o seguro. • Una hora tiene 60 minutos. Seguro (de todas maneras, el planteamiento ocurrirá siempre). • Sacar una galleta sin baño de chocolate de una bolsa con 50 galletas bañadas con chocolate y 50 galletas sin baño de chocolate. Tan probable como improbable (existe un 50% de probabilidades de que se saque una galleta con baño de chocolate y un 50% que se saque una galleta sin baño de chocolate. Determina si cada muestra puede ser o no representativa. 9. Un empleado de un parque encuesta a 20 corredores para determinar si se deberían agregar más senderos para bicicletas allí. 10. El profesor de lenguaje pone todos los nombres de sus estudiantes en una bolsa y elige 12 nombres sin mirar. Encuesta a esos estudiantes acerca del tiempo que dedican al estudio. 11. El editor de una revista de computación quiere saber cuánto tiempo pasa el visitante promedio navegando en la web. El editor envía una encuesta a 200 personas que están suscritas a la revista. 12. En la salida de un centro comercial, un estand de televisión por cable encuesta a las personas que se acercan para saber qué canal prefiere. 13. Los dueños de una fábrica de dulces entrevistan a 30 niños acerca del sabor de dulces que prefieren 14. En un criadero de aves, el encargado elige 50 gallinas del grupo de 500 ejemplares, y las envía al veterinario. Determina si cada suceso es imposible, improbable, tan probable como improbable, probable o seguro. 15. Sacar un número par con un dado rotulado del 1 al 6. 16. Tomar una tarjeta con una vocal de una caja de tarjetas en la que cada tarjeta tiene escrita una letra del alfabeto. 17. Sacar un número mayor que 2 en una flecha giratoria con 10 secciones iguales marcadas del 1 al 10. 18. Sacar una bolita roja de una bolsa de bolitas negras, azules y verdes. 19. Sacar un número mayor que tres 5 veces seguidas con un dado rotulado del 1 al 6. Prueba del capítulo EJEMPLOS EJERCICIOS Guía de estudio: Repaso 7-3 Probabilidad experimental Claudia anotó la cantidad de veces que una flecha giratoria cayó en cada color. De acuerdo con el experimento de Claudia, ¿en qué color es más probable que caiga la flecha? 26. Un día, la supervisora de la cafetería anotó la cantidad de estudiantes que eligieron un tipo de bebida. Organizó sus resultados en una tabla. Halla la probabilidad experimental de que un estudiante elija jugo. 27. Nelson lanza una moneda al aire 28 veces. La moneda cae sello 14 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda caiga sello la próxima vez que Nelson la lance? 28. En una encuesta se organizan los datos de tal manera que se demuestra que 8 de cada 10 de los consultados favorece a la mujer frente a la posibilidad de dar el asiento en el autobús. ¿Cuál es la posibilidad de que una mujer pueda sentarse en un lugar cedido por otra persona? 29. Un mazo de naipe español tiene 40 cartas. Todas ellas son diferentes, pero existen cuatro “pintas”: bastos, espadas, oros y copas. ¿Cuál es la probabilidad de que saques cuatro cartas al azar y éstas sean de la misma “pinta”. Resultados Rojo Azul Verde Frecuencia //// //// //// //// //// // Bebida Jugo Leche Agua Frecuencia 20 37 18 14 25 4 25 7 25 P(rojo)  P(azul)  P(verde)  Es más probable que la flecha caiga en rojo. 7-2 ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 4 con un dado? • ¿Cuál es la frecuencia relativa al lanzar una moneda al aire 15 veces? Observa la tabla y responde: 20. ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha caiga en amarillo? 21. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número mayor que 3 con un dado? 22. Hay una probabilidad del 25% de sacar una canica morada de una bolsa. Halla la probabilidad de elegir una canica que NO sea morada. Se lanza un dado común. Halla cada probabilidad. 23. P (2) ___________ 24. P (Número par) ___________ 25. P (4 o 5) ___________ Moneda Frecuencia absoluta Cara 10 Sello 5 Anota aquí las frecuencias relativas y luego súmalas, ¿qué resultados obtienes? Prueba del capítulo 7 C A P Í T U L O El gerente de una pista de patinaje desea saber qué tipo de música prefieren los patinadores. Identifica cada tipo de método de muestreo. 1. El gerente encuesta a 30 personas que están sentadas en el bar. 2. El gerente encuesta a una de cada 20 personas que alquilan patines durante una semana. La bibliotecaria de una escuela desea saber con qué frecuencia los estudiantes usan mensajes de texto en la escuela. Identifica cada clase de método de muestreo. 3. La bibliotecaria elige al azar uno de los primeros 20 nombres de la lista de todos los estudiantes de la escuela y después elige un nombre cada veinte. 4. La bibliotecaria encuesta a 40 estudiantes que están en la biblioteca durante la hora del almuerzo. Determina en cada caso si la muestra puede o no ser representativa. Explica. 5. Para saber sobre los instrumentos musicales favoritos de las personas, un periodista hace una encuesta a las primeras 50 personas que salen de un concierto de rock. 6. En un restaurante, colocan sobre las mesas tarjetas de opinión que los clientes pueden completar y enviar por correo. El gerente selecciona las primeras 20 tarjetas enviadas. 7. El director de un estudio de ballet escoge un nombre de cada diez en la lista de inscripción del estudio y luego pregunta a las bailarinas qué piensan de sus clases. Determina si las preguntas de la encuesta son tendenciosas. Explica. 8. ¿Estás o no de acuerdo con la propuesta impositiva del alcalde? 9. ¿Estás de acuerdo con que poner computadores en todas las salas de clases es la mejor manera de mejorar la educación? 10. ¿Debería reemplazarse el histórico teatro municipal por un centro comercial innecesario? 11. ¿Cuál es tu marca favorita de pantalones? Para resolver los ejercicios del 12 al 15, observa la tabla y responde. 12. Agrega una columna a la tabla y calcula la frecuencia relativa porcentual. 13. Suma las frecuencias absolutas, ¿qué resultado obtienes? 14. Suma las frecuencias relativas y las frecuencias relativas absolutas. ¿Qué resultado obtienes en ambos casos? ¿Qué puedes concluir? 15. ¿Puedes predecir el color que ocuparán los estudiantes en su bandera? ¿Por qué? 16. Iris preguntó a 60 estudiantes a qué hora se van a dormir. En la tabla se muestran los resultados. Halla la probabilidad experimental de que un estudiante elegido al azar se vaya a dormir a las 8:30 p.m. 17. Halla la probabilidad experimental de que un estudiante elegido al azar se vaya a dormir antes de las 8:30 p.m. Hora (p.m.) 8:00 8:30 9:00 9:30 Frecuencia 12 24 18 6 Prueba de capítulo Colores preferidos para la bandera de la alianza del 7° C Color Frecuencia absoluta Verde 12 Azul 15 Amarillo 6 Cachorro Kg Toby 5 Brako 5 Frodo 5 Rambo 5 7 1. ¿Cuál de las siguientes preguntas es tendenciosa? A ¿Qué opinas de las nuevas papas fritas? B ¿De qué manera te influye el cambio de hora? C ¿Piensas que es correcto que una persona tan mayor sea alcalde? D ¿Estás de acuerdo con la nueva forma de prestar libros de nuestra biblioteca? 5. En una feria libre, se necesita saber cuál es la verdura que más compran las personas. Identifica cuál de estas 4 muestras puede ser la más representativa. A Se encuesta a las personas que compran en el puesto de pescados. B Se encuesta a las personas que compran en el puesto de cebollas y papas. C Se encuesta a las personas que compran en el puesto de frutas y verduras. D Se encuesta a las personas que salen de la feria por distintos accesos a la misma. 2. El informe meteorológico indica que hay un 60% de probabilidad de tormenta. ¿Cuál es esta probabilidad escrita como fracción en su mínima expresión? 3. A continuación se muestran los pesos de cuatro cachorros. ¿Cuál es el más pesado? 4. ¿Cuál es la probabilidad de que NO salga un 4 al lanzar un dado al aire? 6. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número par mayor que 2 con un dado? 7. El partido de béisbol tiene una probabilidad del 64% de suspenderse por lluvia. ¿Cuál es la probabilidad de que NO se suspenda por lluvia? 8. Pedro tiene cuatro fotos para enmarcar. ¿De cuántas maneras diferentes puede ordenarlas? 9. Marta puede usar jeans o pantalones negros con una blusa roja, azul o blanca. ¿Entre cuántos conjuntos puede elegir? 10. Si lanzas un dado 36 veces, ¿cuántas veces esperas que salga un número par? 11. En relación a la siguiente pregunta: ¿Qué opinas del desafortunado comentario del animador de televisión en su programa de ayer?, podemos decir que es: A Tendenciosa, porque califica negativamente al animador. B Objetiva, porque el animador efectivamente hizo un comentario desafortunado. C Representativa, porque la gente puede creer que el animador hizo un mal comentario. D No representativa, porque el animador efectivamente no hizo un mal comentario. C A P Í T U L O A A A B B B C C C D D D 13 18,5 18 18,375 14 25 58 23 Toby Brako Frodo Rambo A B C D 23 13 56 16 Evaluación acumulativa Capítulos 1-7 35 6 10 30 60 60 100 Para las preguntas 12 y 13, utiliza el gráfico que se presenta. 14. Dibuja el gráfico que corresponde a la siguiente tabla de datos Día de la semana preferido por los estudiantes Día Cantidad de votos Lunes 12 Martes 18 Miércoles 32 Jueves 55 Viernes 89 Sábado 96 Domingo 52 15. Da un ejemplo de muestra representativa que pudiera haber originado este cuadro. Escríbelo. 16. Escribe un ejemplo de pregunta tendenciosa que podría haber arrojado resultados diferentes en esta encuesta. 12. Hay alrededor de 12 000 personas que juegan este juego en línea. Aproximadamente, ¿cuántos de ellos prefieren jugar en el rol del inventor? 13. Antonia afirma que alrededor de 23 de los jugadores eligen ser soldados o espías. ¿Su afirmación es válida? Explica. 17. Joaquín preguntó a un grupo de adolescentes cuántas horas de televisión miraban por día durante el verano. Anotó sus resultados en una tabla de frecuencia. Horas 2 3 4 5 Adolescentes // //// // //// / //// a. Basándote en esta encuesta, ¿cuál es la probabilidad de que un adolescente pase 4 horas al día mirando televisión durante el verano? b. Joaquín piensa hacer la misma pregunta a 500 adolescentes. ¿Cuántos adolescentes puede predecir Joaquín que mirarán 2 horas diarias de televisión durante el verano? Explica. 18. Hay 5 fichas azules, 7 fichas rojas y 8 fichas amarillas en un tarro. a. Si sacas una ficha sin mirar, ¿cuál es la probabilidad de que saques una azul? Expresa esta probabilidad como porcentaje, como fracción y como decimal. b. Si sacas una ficha sin mirar, ¿cuál es la probabilidad de que NO saques una ficha amarilla? Escribe tu respuesta en su mínima expresión. c. Haces un experimento: sacas una ficha del tarro 50 veces. Anotas el color de la ficha cada vez y la vuelves a poner en el tarro antes de sacar otra. ¿Cuántas veces piensas que sacarás una ficha azul? Explica. Responde verdadero (V) o falso (F) 19. _____ Una muestra aleatoria es aquella en la que cualquier individuo tiene la misma probabilidad de ser seleccionado. 20. _____ Una pregunta tendenciosa es aquella que se plantea objetivamente y sin influir al encuestado. 21. _____ La probabilidad es la medida de qué tan probable es que ocurra un suceso. Preferencias de los jugadores para “Creaciones” Soldado 30% Espía 15% Inventor 55% Glosario Glosario h h C E A B D F /ABC 5 /DEF h h h ángulo agudo Ángulo que mide más de 0° y menos de 90°. altura En una pirámide o cono, la distancia perpendicular desde la base a la cúspide. En un triángulo o cuadrilátero, la distancia perpendicular desde la base de la figura al vértice opuesto. En un prisma o cilindro, la distancia perpendicular entre las bases. ángulo Figura formada por dos rayos con un extremo común llamado vértice. ángulo inscrito Ángulo formado por dos cuerdas cuyo vértice está en una circunferencia. ángulo llano o extendido Ángulo que mide exactamente 180°. ángulo obtuso Ángulo que mide más de 90° y menos de 180°. ángulo recto Ángulo que mide 90°. ángulos congruentes Ángulos que tienen la misma medida. h h ángulos suplementarios son dos ángulos cuyas medidas suman 180º. Glosario Glosario 12 cm 6 cm 8 cm Área total 5 2 ( 8 ) ( 12 ) 1 2 ( 8 ) ( 6 ) 1 2 ( 12 ) ( 6 ) 5 432 c m 2 Arista 3 5 5 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3; 3 es la base. Bases de un cilindro Bases de un prisma Base de un cono Base de una pirámide área total Suma de las áreas de las caras, o superficies, de una figura tridimensional. área El número de unidades cuadradas que se necesitan para cubrir una superficie. arista Segmento de recta donde se intersectan dos caras de un poliedro. base Cuando un número es elevado a una potencia, el número que se usa como factor es la base. base (de un polígono o figura tridimensional) Lado de un polígono; cara de una figura tridimensional según la cual se mide o se clasifica la figura. capacidad Cantidad que cabe en un recipiente cuando se llena. Cara cara Superficie plana de un poliedro. Cara lateral Bases Prisma recto cara lateral En un prisma o pirámide, una cara que no es la base. En 8 : 4 5 2, 2 es el cociente. 5 es el coeficiente en 5b. PQRS  WXYZ P Q R W S Y X Z Desigualdad: x 1 3 $ 5 Conjunto solución: x $ 2 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Cono regular Eje 3, 0, p cilindro Figura tridimensional con dos bases circulares paralelas y congruentes, unidas por una superficie lateral curva. cociente Resultado de dividir un número entre otro. coeficiente Número que se multiplica por la variable en una expresión algebraica. Glosario congruentes Que tienen la misma forma y el mismo tamaño; expresado por ≅. conjetura Juicio que se forma de las cosas o acaecimientos por indicios y observaciones. conjunto solución Conjunto de valores que hacen verdadero un enunciado. cono Figura tridimensional con un vértice y una base circular. cono regular o recto Cono en el que una línea perpendicular trazada de la base a la punta (vértice) pasa por el centro de la base. constante Valor que no cambia. cateto cateto catetos En un triángulo rectángulo, los lados adyacentes al ángulo recto. En un triángulo isósceles, el par de lados congruentes. y 5 5x ↑ constante de proporción 2 4 4 2 y x –4 –2 B a107se_gls_t25 O Las coordenadas de B son ( 22, 3 ) . 5 es la coordenada x en ( 5, 3 ) . 3 es la coordenada y en ( 5, 3 ) . 5 2 5 25, por lo tanto, 25 es un cuadrado perfecto. En 5 2 , el número 5 está elevado al cuadrado. Glosario constante de proporción La constante k en ecuaciones de variación directa e inversa. conversión de unidades Proceso que consiste en cambiar una unidad de medida por otra. coordenada Uno de los números de un par ordenado que ubica un punto en una gráfica de coordenadas. coordenada x El primer número de un par ordenado; indica la distancia que debes avanzar hacia la izquierda o la derecha desde el origen, (0, 0). coordenada y El segundo número de un par ordenado; indica la distancia que debes avanzar hacia arriba o hacia abajo desde el origen, (0, 0). cuadrado Rectángulo con cuatro lados congruentes. cuadrado (en numeración) Número elevado a la segunda potencia. cuadrado perfecto El cuadrado de un número natural. cuadrilátero Polígono de cuatro lados. y 5 2x 1 1 y 5 a x 1 b ART FILE: CUSTOMER: CREATED BY: EDITED BY: M804SE_x 1 7 5 22 27 27 x 5 15 2 3 5 2 ? 2 ? 2 5 8 8 es el cubo de 2. } 1 3 2} 5 } 3 3 x} 4 5 x dimensiones (geometría) Longitud, ancho o altura de una figura. dodecaedro Poliedro de 12 caras. ecuación Enunciado matemático que indica que dos expresiones son equivalentes. ecuación literal Ecuación que contiene varias letras distintas a la variable (constantes literales). en el sentido de las manecillas del reloj Movimiento circular en la dirección que se indica. en sentido contrario a las manecillas del reloj Movimiento circular en la dirección que se indica. despejar la variable en una ecuación Dejar sola la variable en un lado de una ecuación o desigualdad para resolverla. Glosario cubo (en numeración) Número elevado a la tercera potencia. cubo (figura geométrica) Prisma rectangular con seis caras cuadradas congruentes. 22 es un entero negativo. 4 3 2 1 0 1 2 3 4 a107se_gls_t72 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 a107se_gls_t93 2 es un entero positivo. . . . 23, 22, 1, 0, 1, 2, 3, . . . Cuando se lanza un dado, el espacio muestral es 1, 2, 3, 4, 5, 6. 500 es una estimación de la suma 98 1 287 1 104. Evalúa 2x 1 7 para x 5 3. 2x 1 7 2 ( 3 ) 1 7 6 1 7 13 Lanzar una moneda 10 veces y anotar la cantidad de “caras”. 2 3 5 2 3 2 3 2 5 8; 3 es el exponente. 6x 1 1 4x 1 5x y 9x son expresiones equivalentes. x 1 8 4 ( m 2 b ) Glosario entero negativo Entero menor que cero. entero positivo Entero mayor que cero. enteros Conjunto de todos los números naturales más cero y sus opuestos. equivalentes Que tienen el mismo valor. espacio muestral Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. estimación Una solución aproximada a la respuesta exacta que se halla mediante el redondeo u otros métodos. estimar Hallar una solución aproximada a la respuesta exacta. evaluar Hallar el valor de una expresión numérica o algebraica. exactitud Cercanía de una medida o un valor a la medida o el valor real. experimento (probabilidad) En probabilidad, cualquier actividad basada en el azar, como lanzar una moneda. exponente Número que indica cuántas veces se usa la base como factor. expresión Enunciado matemático que contiene operaciones, números y/o variables. ( 2 ? 3 ) 1 1 expresión algebraica Expresión que contiene al menos una variable. expresión equivalente Las expresiones equivalentes tienen el mismo valor para todos los valores de las variables. expresión numérica Expresión que incluye sólo números y operaciones. 7 es un factor de 21 porque 7 ? 3 5 21. A 5 ,a es la fórmula del área de un rectángulo. 1_5_7_ _23_ _34_ , _11_2_ , _78_ Conjunto de datos: 5, 6, 6, 7, 8, 9. El valor 6 tiene una frecuencia de 2. factor Número que se multiplica por otro para hallar un producto. Fahrenheit Escala de temperatura en la que 32 °F es el punto de congelación del agua y 212 °F es el punto de ebullición. ART FILE: CUSTOMER: CREATED BY: EDITED BY: JOB DATE: DATE: TIME: HRW CS created@ NETS only simple mod. complex M704SE_C08_TEC_114 2 cm 3 cm 4 cm 4 cm 5 cm 5 cm 4 cm lf figura compuesta Figura formada por figuras geométricas simples. figuras congruentes Ver congruente. 236 536 escrito en forma desarrollada es 200 000 1 30 000 1 6 000 1 500 1 30 1 6. forma desarrollada Número escrito como suma de los valores de sus dígitos. fórmula Regla que muestra relaciones entre cantidades. fracción Número escrito en la forma _a_ b , donde b ≠ 0. fracción impropia Fracción cuyo numerador es mayor que el denominador. fracción propia Fracción en la que el numerador es menor que el denominador. frecuencia Cantidad de veces que aparece un valor en un conjunto de datos. frecuencia acumulada La suma de datos sucesivos. frecuencia relativa La frecuencia de un valor o un rango de valores dividido entre el número total de los valores en el conjunto. Glosario 30% 19% 13% 27% Residentes de Mesa, AZ 11% Menos de 18 18–24 25–44 45–64 65+ ge07se_gls_t54 jh ART FILE: CUSTOMER: CREATED BY: EDITED BY: JOB DATE: DATE: TIME: HRW created@ NETS only simple mod. complex blackline greyscale REVISION: 1 2 5000 4000 3000 2000 1000 Tiempo (s) Planeta 500 760 2600 4800 Tiempo que tarda la luz solar en llegar a los planetas Tierra Marte Júpiter Saturno 2 4 4 2 4 2 4 x y O grado Unidad de medida para ángulos y temperaturas. gráfica circular Gráfica que usa secciones de un círculo para comparar partes con el todo y con otras partes. gráfica de barras Gráfica en la que se usan barras verticales u horizontales para presentar datos. gráfica de una ecuación Gráfica del conjunto de pares ordenados que son soluciones de la ecuación. 1200 800 400 0 Puntajes de Marlon en los videojuegos Puntaje Cantidad de juegos 1 2 3 4 5 6 gráfica lineal Gráfica que muestra cómo cambian los datos mediante segmentos de recta. Glosario heptágono Polígono de siete lados. hexágono Polígono de seis lados. histograma Gráfica de barras que muestra la frecuencia de los datos en intervalos iguales. Salarios básicos 40 30 20 10 0 Frecuencia 20–29 30–39 40–49 50–59 Rango de salarios (en miles de $) El inverso aditivo de 5 es 25. A C B A B C Cuando se lanza una moneda, los resultados “cara” y “cruz” son igualmente probables. igualmente probables Resultados que tienen la misma probabilidad de ocurrir. imagen Figura que resulta de una transformación. a107se_gls_t152 2 O 2 4 4 y (2, 0) x La intersección con el eje x es 2. intersección con el eje x Coordenada x del punto donde la gráfica de una línea cruza el eje x. intersección con el eje y Coordenada y del punto donde la gráfica de una línea cruza el eje y. (0, 2) a107se_gls_t155 4 2 O 2 2 y x La intersección con el eje y es 2. El inverso multiplicativo de _45_ es _54_ . intervalo El espacio entre los valores marcados en una recta numérica o en la escala de una gráfica. inverso aditivo De un número n, es un número que sumado con n, da cero (opuesto). inverso multiplicativo Un número multiplicado por su inverso multiplicativo es igual a 1. También se llama recíproco. Cuando se lanza una moneda, que caiga cara o que caiga cruz son resultados igualmente probables, por lo tanto, es un experimento justo. justo Se dice de un experimento en el que todos los resultados posibles son igualmente probables. Glosario A B E D Lado C ___ AB y ___ DE son lados correspondientes. A B C D E F Conjunto de datos: 4, 6, 7, 8, 10 Media aritmética: 4_ 1__ 6_ 1__ 7_ _15_ _8_ 1_ _1_0_ 5 3_5_5_ 5 7 A B ℓ Fracción: _18_2_ Mínima expresión: _23_ Conjunto de datos: 3, 5, 8, 8, 10 Moda: 8 En una tienda dan tarjetas de encuesta para los clientes que quieran completarlas. lado Línea que delimita las figuras geométricas; una de las caras que forman la parte exterior de un objeto. lados correspondientes Lados que se ubican en la misma posición relativa en dos o más polígonos. media aritmética La suma de todos los elementos de un conjunto de datos dividida entre el número de elementos del conjunto. También se llama promedio. mediatriz o simetral Línea que cruza un segmento en su punto medio y es perpendicular al segmento. medida de tendencia central Medida que describe la parte media de un conjunto de datos; la media, la mediana y la moda son medidas de tendencia dominante. mínima expresión Una fracción está en su mínima expresión cuando el numerador y el denominador no tienen más factor común que 1. moda Número o números más frecuentes en un conjunto de datos; si todos los números aparecen con la misma frecuencia, no hay moda. muestra Una parte de la población. muestra aleatoria Muestra en la que cada individuo u objeto de la población tiene la misma posibilidad de ser elegido. muestra auto-seleccionada Una muestra en la que los miembros eligen participar. muestra de conveniencia Una muestra basada en miembros de la población que están fácilmente disponibles. muestra imparcial Una muestra es imparcial si todos los individuos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos. muestra no representativa Muestra que no representa adecuadamente la población. Glosario Glosario 6 es múltiplo de 2 y de 3 porque 2 · 3 = 6 Para realizar una encuesta telefónica, se elige cada décimo nombre del directorio telefónico. 12 560 000 000 000 5 1,256 · 10 13 Ecuación: y 5 2x Notación de función: f (x) 5 2x 6 se puede expresar como _61_ . 0,5 se puede expresar como _12_ . La suma y la resta son operaciones inversas: 5 1 3 5 8; 8 2 3 5 5 La multiplicación y la división son operaciones inversas: 2 ? 3 5 6; 6 : 3 5 2 5 y 25 son opuestos. 5 unidades 5 unidades 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 4 2 1 8 : 2 Desarrolla la potencia. 16 1 8 : 2 Divide. 16 1 4 Suma. 20 2 4 4 2 y x –4 –2 B a107se_gls_t25 O Las coordenadas de B son ( 22, 3 ) . O origen muestra sistemática Muestra de una población, que ha sido elegida mediante un patrón. múltiplo El producto de cualquier número y un número natural distinto de cero es un múltiplo de ese número. notación científica Método que se usa para escribir números muy grandes o muy pequeños mediante potencias de 10. notación de funciones Notación que se usa para describir una función. número racional Número que se puede escribir como una razón de dos enteros. número real Número racional o irracional. números aleatorios En un conjunto de números aleatorios, todos los números tienen la misma probabilidad de ser seleccionados. octágono Polígono de ocho lados. operaciones inversas Operaciones que se cancelan mutuamente: suma y resta, o multiplicación y división. opuestos Dos números que están a la misma distancia de cero en una recta numérica. También se llaman inversos aditivos. orden de las operaciones Regla para evaluar expresiones: primero se hacen las operaciones entre paréntesis, luego se hallan las potencias y raíces, después todas las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha, y por último, todas las sumas y restas de izquierda a derecha. origen Punto de intersección entre el eje x y el eje y en un plano cartesiano: (0, 0). par ordenado Par de números que sirven para ubicar un punto en un plano cartesiano. paralelogramo Cuadrilátero con dos pares de lados paralelos. Glosario 18 cm perímetro 5 6 cm 18 1 6 1 18 1 6 5 48 cm eje x eje y O A C R B 10 m 6 m 10 m 6 m En una encuesta sobre los hábitos de estudio de estudiantes de una escuela, la población son todos los estudiantes de la escuela. pentágono Polígono de cinco lados. perímetro Distancia alrededor de un polígono. pi (π) Razón de la circunferencia de un círculo a la longitud de su diámetro; π < 3,14 o _22_ 7 . pirámide Poliedro cuya base es un polígono; tiene caras triangulares que se juntan en un vértice común. pirámide regular Pirámide que tiene un polígono regular como base y caras laterales congruentes. plano Superficie plana que no tiene espesor y que se extiende por siempre. plano cartesiano Plano formado por la intersección de una recta numérica horizontal llamada eje x y otra vertical llamada eje y. plantilla o red Arreglo de figuras bidimensionales que se doblan para formar un poliedro. población Grupo completo de objetos o individuos que se desea estudiar. poliedro Figura tridimensional cuyas superficies o caras tienen forma de polígonos. polígono Figura plana cerrada, formada por tres o más segmentos de recta que se intersecan sólo en sus extremos (vértices). polígono regular Polígono con lados y ángulos congruentes. 2 3 5 8; por lo tanto, 2 a la 3.° potencia es 8. 12 ft 4 ft 3 ft ART FILE: CUSTOMER: CREATED BY: EDITED BY: JOB NUMBER: DATE: DATE: TIME: HRW 02 lf created@ NETS only altered@ simple mod. complex M804SE_GLS_TEC_078 María hizo 27 lanzamientos libres y anotó 16. La probabilidad experimental de anotar un lanzamiento libre es c_ a n_t_id_a_d_ _d_e_ a_c_ie_r_t_o_s_ cantidad de intentos 5 } 1 2 6 7} < 0,59. En una bolsa hay 3 bolitas rojas y 4 azules. La probabilidad de elegir al azar una bolita roja es _37_ . } 23 } 5 } 46 } En la proporción _23_ 5 _46_ , los productos cruzados son 2 ? 6 5 12 y 3 ? 4 5 12. Conjunto de datos: 4, 6, 7, 8, 10 Promedio: 4_ 1_ _6_ 1__ 7_ _1_ _8_ 1_ _1_0_ 5 5 3_5_5_ 5 7 a ? b ? c 5 ( a ? b ) ? c 5 a ? ( b ? c ) 6 ? 12 5 12 ? 6; a ? b 5 b ? a 4 ? 1 5 4 23 ? 1 5 23 2 4 4 2 4 2 4 x y y 5 2x proporción directa Relación entre dos variables, x e y, que puede expresarse en la forma y 5 kx, donde k es una constante distinta de cero. potencia Número que resulta al elevar una base a un exponente. prisma Poliedro con dos bases congruentes con forma de polígono y caras con forma de paralelogramo. paralelepípedo Poliedro cuyas bases son rectángulos y cuyas caras tienen forma de paralelogramo. prisma triangular Poliedro cuyas bases son triángulos y cuyas demás caras tienen forma de paralelogramo. probabilidad Un número entre 0 y 1 (ó 0% y 100%) que describe qué tan probable es un suceso. probabilidad experimental Razón del número de veces que ocurre un suceso al número total de pruebas o al número de veces que se realiza el experimento. producto cruzado El producto de los números multiplicados en diagonal cuando se comparan dos razones. promedio La suma de los elementos de un conjunto de datos dividida entre el número de elementos del conjunto. También se le llama media aritmética. propiedad asociativa (de la multiplicación) Propiedad que establece que para todos los números reales a, b y c, el producto siempre es el mismo, sin importar cómo se agrupen. propiedad conmutativa (de la multiplicación) Propiedad que establece que multiplicar dos o más números en cualquier orden no altera el producto. propiedad de identidad (del uno) Propiedad que establece que el producto de 1 y cualquier número es ese número. Glosario 12 1 ( 212 ) 5 0 5 ? 21 5 5 ( 20 1 1 ) 5 ( 5 ? 20 ) 1 ( 5 ? 1 ) _23_ 5 _46_ Cuando se lanza un dado, cada lanzamiento es una prueba. A B C B es el punto medio de AwCw . P D 12 a 25, 12:25, 1_2_25_ _12_ y _24_ son razones equivalentes. El recíproco de _23_ es _32_ . proporción inversa Relación en la que una cantidad variable aumenta a medida que otra cantidad variable disminuye; el producto de las variables es una constante. xy 5 7, y 5 _7X_ punto Elemento geométrico que no tiene dimensión y que se utiliza para indicar una ubicación. propiedad de la suma de los opuestos Propiedad que establece que la suma de un número y su opuesto es cero. propiedad de multiplicación del cero Propiedad que establece que para todo número real a a, a ? 0 5 0 y 0 ? a 5 0. propiedad distributiva Dados los números reales a, b y c, a(b 1 c) 5 ab 1 ac, y a(b 2 c) a 5 ab 2 ac. proporción Ecuación que establece que dos razones son equivalentes. prueba Cada repetición u observación de un experimento. punto medio El punto que divide un segmento de recta en dos segmentos de recta congruentes. rayo Parte de una recta que comienza en un extremo y se extiende infinitamente en una dirección. razón Comparación de dos cantidades mediante una división. razones equivalentes Razones que representan la misma comparación. recíproco Uno de dos números cuyo producto es igual a 1. También se llama inverso multiplicativo. Glosario r s AL07SE_ART FILE: CUSTOMER: CREATED BY: EDITED BY: created@ NETS simple mod. blackline REVISION: 1 recta Trayectoria recta que no tiene espesor y se extiende infinitamente. rectángulo Paralelogramo con cuatro ángulos rectos. rectas paralelas Rectas que se encuentran en el mismo plano pero que nunca se intersecan. m rectas perpendiculares Rectas que al intersecarse forman ángulos n rectos. P E line , or BC plane P, or plane DEF GH B C F D J K G H  KJ CS ART FILE: M807SE_C07_CUSTOMER: CREATED BY: EDITED BY: created@ NETS simple mod. blackline greyscale REVISION: 1 P E line , or BC plane P, or plane DEF GH B C F D J K G H  KJ CS ART FILE: M807SE_C07_CUSTOMER: CREATED BY: EDITED BY: created@ NETS simple mod. blackline greyscale REVISION: 1 P S Q R ___ PQ >
__
SR
B
C
A A
B
C
(0, 5), (0, 4), (2, 3), (4, 0)
Cuando se lanza un dado, los
resultados posibles son 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
G D
F
E
G F
D E
rotación Transformación que ocurre cuando una figura gira alrededor de
un punto.
90° 90°
90°
90°
segmento Parte de una línea entre dos extremos.
segmento de recta Parte de una recta que consiste en dos
extremos y todos los puntos entre éstos.
segmentos congruentes Segmentos que tienen la misma longitud.
semejantes Figuras que tienen la misma forma, pero no
necesariamente el mismo tamaño.
m
n
M807SE_GLO_T98
ART FILE:
CUSTOMER:
CREATED BY:
EDITED BY:
JOB DATE:
DATE:
TIME:
HRW created@ NETS only simple mod. complex blackline greyscale REVISION: 1 2 3 CS m
n
rectas perpendiculares Rectas que al intersecarse forman ángulos
rectos.
rectas secantes Rectas que se cruzan en un solo punto.
reflexión Transformación que ocurre cuando se invierte una figura sobre
una línea.
relación Conjunto de pares ordenados.
resolver Hallar una respuesta o solución.
resultado (en probabilidad) Posible resultado de un experimento de
probabilidad.
rombo Paralelogramo en el que todos los lados son congruentes.
simetría axial Una figura tiene simetría axial si una de sus
mitades es la imagen reflejada de la otra.
simetría de rotación Ocurre cuando una figura gira menos de
360° alrededor de un punto central sin dejar de ser congruente
con la figura original.
simplificar Escribir una fracción o expresión numérica en su
mínima expresión.
simulación Representación de un experimento, por lo general, de uno
cuya realización sería demasiado difícil o llevaría mucho tiempo.
Glosario
Cuando se lanza un dado, el
suceso “número impar” consiste
en los resultados 1, 3 y 5.
Ecuación: x 1 2 5 6
Solución: x 5 4
Sustituir m por 3 en la
expresión 5m 2 2 da
5 ( 3 ) 2 2 5 15 2 2 5 13.
3 x 2 1 6x 2 8
Término Término Término
En la expresión 3a2 1 5b 1 12a2, 3a2
y 12a2 son términos semejantes.
70º
A
C
B
A
C
B
ABC ABC
B
A D
C
K L
J M
K L
J M
solución de una ecuación Valor o valores que hacen
verdadera una ecuación.
suceso Un resultado o una serie de resultados de un
experimento o una situación.
sustituir Reemplazar una variable por un número u otra
expresión en una expresión algebraica.
x 3 4 5 6
y 7 9 11 13
Conjunto de datos: 1, 1, 2, 2, 3, 5, 5, 5 Tabla de frecuencia:
tabla de frecuencia Una tabla en la que se organizan los datos de acuerdo
con el número de veces que aparece cada uno (o la frecuencia).
tabla de funciones Tabla de pares ordenados que representan
soluciones de una función.
término (en una expresión) Las partes de una expresión que se
suman o se restan.
términos semejantes Términos que contienen las mismas variables
elevadas a los mismos exponentes.
Glosario
transportador Instrumento para medir ángulos.
transformación Cambio en el tamaño o la posición de una figura.
trapecio Cuadrilátero con un par de lados paralelos.
transversal Línea que cruza dos o más líneas.
traslación Desplazamiento de una figura a lo largo de una línea recta.
Datos Frecuencia
1 2
2 2
3 1
5 3
25 5 5
En la función y 5 6x, el valor de
entrada 4 produce un valor de
salida de 24.
Para la función y 5 6x, el valor
de entrada 4 produce un valor de
salida de 24.
Para y 5 2x 1 1, y es la variable dependiente.
valor de entrada: x
valor de salida: y
Para y 5 2x 1 1, x es la variable independiente.
valor de entrada: x
valor de salida: y
En la expresión 2x 1 3, x es la variable.
J
M
L
K
__

JK es bisectriz de /LJM.
valor absoluto Distancia a la que está un número de 0 en una recta
numérica. El símbolo del valor absoluto es .
valor de entrada Valor que se usa para sustituir una variable en una
expresión o función.
valor de salida Valor que resulta después de sustituir
un valor de entrada determinado en una expresión o función.
variable Símbolo que representa una cantidad que puede cambiar.
variable dependiente Valor de salida de una función; variable cuyo
valor depende del valor de entrada, o variable independiente.
variable independiente Valor de entrada de una función; variable
cuyo valor determina el valor de salida, o variable dependiente.
C
A B
A es el vértice de /CAB.
Volumen 5 3 ? 4 ? 12 5 144 cm 2
vértice En un ángulo o polígono, el punto de intersección de dos lados;
en un poliedro, el punto de intersección de tres o más caras; en un
cono o pirámide, la punta.
volumen Número de unidades cúbicas que se necesitan para llenar
un espacio.
trazar una bisectriz Dividir un ángulo en dos partes congruentes.
triángulo acutángulo Triángulo en el que todos los ángulos miden
menos de 90°.
triángulo equilátero Triángulo con tres lados congruentes.
triángulo escaleno Triángulo que no tiene lados congruentes.
triángulo isósceles Triángulo que tiene al menos dos lados
congruentes.
triángulo obtusángulo Triángulo que tiene un ángulo obtuso.
triángulo rectángulo Triángulo que tiene un ángulo recto.
Glosario
Índice temático
A
Álgebra
El desarrollo y las destrezas de álgebra es un objetivo
central de este curso y se realiza en todo el libro.
Expresiones algebraicas, 55, 56, 57, 60, 61, 62, 65, 71,
76, 80, 81, 83, 84.
Resolver ecuaciones 69, 73, 76, 129, 225.
Resolver ecuaciones con una variable, 15, 64, 65, 66, 68,
69, 70, 71, 72, 73, 74, 76, 80, 81, 82, 83, 84.
Resolver ecuaciones mediante la multiplicación o
división, 72, 73, 74, 76, 82, 83.
Resolver ecuaciones mediante la suma o resta,68, 69, 70,
71, 76, 80, 81, 82, 83, 84, 87.
Aplicación
a arquitectura, 193
a arte, 101
a las ciencias , 169
a la biología, 145, 155, 157, 229, 255
a la física, 56, 57, 70, 157
a los deportes, 69
a la escuela, 259
a estudios sociales, 158, 217, 223, 237
a la geometría, 59, 127, 143
a historia, 127
a la meteorología, 210, 265
a la música, 71
a la recreación, 193
a la resolución de problemas, 215
a la salud, 73
B
Base, de una potencia, multiplicación y división igual base,
142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152,
153
C
Ciencias, 169
Biología, 145, 155, 157, 229, 255
Física, 56, 57, 70, 157
Comparar enteros, 16, 17, 18, 19, 22, 23, 44, 45
Comparar probabilidades, 263
Comparar raíces, 165, 167, 169
Comparar razones, 30, 31, 32, 33, 37
Conexión
Con las ciencias, 67, 169
con la biología, 145, 157, 229, 233, 255
con juegos, 165
con la salud, 73
Conexiones con el mundo real, 41,77, 129, 171, 197, 239, 267
con ciencias sociales, 223
Conexiones de vocabulario, 16, 52, 88, 140, 182, 208, 250
Cuadrados, en raíces, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 176
¿Cuál es la pregunta? 61, 187, 233
D
Datos
Datos en tablas, 210, 211, 213, 214, 215, 216, 217, 218,
219, 220, 221, 222, 223, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 231,
233, 234, 235, 236, 237
Datos en gráficos, 212, 214 – 217, 221 – 224, 226 – 237
Datos en gráfico lineal, 226 – 229, 231, 232, 235, 238, 244,
246
Desafíos, en todas las lecciones hay ejercicios de desafíos,
19, 23, 27, 33, 37, 57, 67, 71, 75, 101, 119, 123, 127, 145,
149, 153, 158, 165, 169, 187, 193, 213, 217, 223, 229,
233, 237, 255, 265
Diagrama de puntos, 223, 224
División de potencias, 150, 151, 152, 153
¿Dónde está el error? 19, 33, 57, 71, 75, 111, 127, 165, 169, 223
E
Ecuaciones, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76,
77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85
Ecuaciones, resolver mediante la suma o resta, 68 – 71,
76, 82, 83
Ecuaciones, resolver, mediante la multiplicación o
división, 72 – 76, 82, 83
Escribe un problema, 29, 63, 103, 161, 225, 257
Escríbelo, los ejercicios de Escríbelo aparecen en todas las
lecciones. 19, 23, 33, 37, 57, 71, 75, 123, 145, 158, 165,
169, 187, 193, 213, 217, 223, 229, 233, 237, 255, 265,
Estimación, 145, 158, 164
Enfoque en la resolución de problemas, 29, 63, 89, 141, 213,
245
Enteros, números 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22,
23, 24, 25, 26, 27, 28, 44, 45, 46, 47, 48, 49
¡Está en la bolsa!
Proporciones en platos de papel, 43
Álgebra paso a paso, 79
Folleto de figuras geométricas, 131
Paquetes matemáticos, 173
El diario tubular, 199
Gráficos a mi manera, 241
Datos sobresalientes, 269
¿Estás listo?, 13, 51, 87, 139, 181, 207, 249
Estrategia de estudio, ver también en Leer y escribir
matemáticas, 141, 183
Estrategias de lectura, ver también en Leer y escribir
matemáticas, 15, 89, 209, 251
Estrategias de redacción, ver también en Leer y escribir
matemáticas, 53
Evaluación acumulativa, ver Evaluación.
Evaluación
Conexiones con el mundo real, 41,77, 129, 171, 197, 239, 267
Guía de estudio: repaso, 44, 80, 132, 174, 200, 242, 270
Vistazo previo, 14, 52, 88, 140, 182, 208, 250
¿Listo para seguir?, 28, 40, 62, 76, 102, 128, 160, 170,
196, 224, 138, 256, 266
Repaso, 19, 23, 27, 33, 37, 57, 61, 67, 71, 75, 93, 97, 101,
107, 111, 115, 119, 123, 127, 145, 149, 153, 165, 169,
187, 193, 213, 217, 223, 229, 233, 237, 255, 261, 265,
Evaluación acumulativa, 48, 84, 136, 178, 204, 246, 274
Prueba del capítulo, 47, 83, 135, 177, 203, 245, 273
Expresiones algebraicas, 54 – 62, 80 – 85
Razonar y comentar, 17, 21, 25, 31, 35, 39, 55, 59, 65, 69,
73, 91, 95, 105, 109, 113, 117, 121, 125, 143, 147, 151,
155, 163, 167, 185, 191, 215, 227, 231, 235, 253, 259,
263
Índice tematico
F
Figuras compuestas
perímetro, 185, 186, 187
Figuras 3D, volumen, 190, 191, 192, 193, 196, 200, 201,
202, 203, 204, 205
G
Geometría, El desarrollo de las destrezas y conceptos de
geometría es un objetivo central de este curso y se realiza en
todo el libro.
Ángulos, 87, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 102, 128, 132
Perímetro,de rectángulos y paralelogramos, 184, 185, 186,
187, 188, 189
Simetrales de un triángulo, 108, 109, 110, 111, 133, 135,
136, 137
Paralelogramos, 184, 185, 186, 187
Pirámide, área y volumen 190, 191, 192, 193, 196, 201,
204, 205
Triángulos, 98, 99, 100, 101, 102, 104, 128, 133, 134, 135,
136, 137
Gráficas, 212, 214 – 217, 221, 222, 223, 226, 227, 228, 229,
238, 242, 243, 244, 245, 246, 247
Guía de estudio: Repaso, 44, 80, 132, 174, 200, 242, 270
H
Hacer una tabla, 210, 211, 212, 213, 220, 221
Hacer un diagrama, 220
Hacer un histograma, 221
I
Informática, 159, 163, 218, 219
J
Juegos, ver también en ¡Vamos a jugar!
L
Laboratorio de práctica
Explorar los efectos de las dimensiones que cambian, 194 – 195
Explorar cambios de dimensiones, 182-183
Laboratorio de tecnología
Multiplica y divide números en notación científica, 159
Recopilar datos para hallar el promedio (media aritmética), 218, 219
Laboratorios, ver laboratorio de tecnología y de práctica.
Leer y escribir matemáticas, 15, 53, 89, 141, 183, 209, 251
¿Listo para seguir? 30, 40, 62, 76, 102, 128, 160, 170, 196, 224,
138, 256, 266
M
Media, 218
Muestras, 252 – 256, 265
Multiplicación, 55, 139
Multiplicación de enteros, 23, 37, 47, 48
Multiplicación de potencias, 146 – 149
N
Notación científica, 154 – 160, 170, 175, 177, 178, 179
Números racionales, 16 – 28
O
Opción múltiple, Los ejercicios de opción múltiple están en
todas las lecciones.
Operaciones
Con enteros y números racionales, 16 – 28
P
Perímetro, de rectángulos y paralelogramos, 184, 185,
186, 187, 196, 200, 202, 203, 204, 205
Pirámides, área y volumen 190, 191, 192, 193, 196, 202, 203
Potencias, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153
Potencia de una potencia,151
Prueba de capítulo, 47, 83, 135, 177, 203, 245, 273
Probabilidad, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267,
268, 269, 270
Probabilidad experimental, 262, 263, 264, 265, 270
Propiedad de la igualdad de la suma y la resta, 68, 69, 70,
71, 76
Propiedad de la igualdad de la multiplicación y división, 72,
73, 74, 75, 76
Propiedades de los exponentes, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153
Proporciones, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 46,47
Prueba del capítulo, 47, 83, 135, 177, 203, 245, 273
R
Razonamiento, 19, 33, 61, 107, 111, 127, 145, 193, 223, 237, 255
Razonar y comentar, 17, 21, 25, 31, 35, 55, 59, 65, 69, 73, 91,
95, 105, 109, 113, 117, 121, 125, 143, 147, 151, 155, 163, 167,
185, 191, 215, 227, 231, 235, 253, 259, 263,
Razones, 30, 31, 32, 33
Resolución de problemas, ver también en enfoque en
resolución de problemas. La resolución de problemas es un
objetivo central de este curso y se realiza en todo el libro.
Resolver ecuaciones
Ecuaciones, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 76,
80, 81, 82, 83, 84, 87
Ecuaciones, resolver mediante la suma o resta, 68, 69, 70,
71, 76, 82, 83
Ecuaciones, resolver, mediante la multiplicación o división,
72, 73, 74, 76, 82, 83
S
Soluciones de ecuaciones, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71,
72, 73, 74, 75
T
Tablas de frecuencia, 220, 221, 222, 223, 224, 226, 227, 228,
229, 234, 235, 236, 237, 238, 243, 244, 245, 246, 247
V
¡Vamos a jugar!
Porotos saltarines, 79
Redes, 130
Construyendo cuerpos geométricos, 198
Más que mil palabras, 240
Acertijos de probabilidad, 268
Volumen, pirámide, 190, 191, 192, 193, 196, 202, 203, 204,
205
Índice tematico
Solucionario
9. Revisar cuaderno
10. 1 kilo
11. Sultán porque pesa más
12. Revisar cuaderno
13. Revisar cuaderno
14. Temperatura promedio v/s estaciones
del año
15. D
16. Aumentó
17. Revisar cuaderno
18. Revisar cuaderno
Página 231
1. Revisar cuaderno
2. Una persona que no hacía
gimnasia
3. Cambiando los intervalos
Página 232
1. Los intervalos de años no son
iguales
2. Que en el 1981–1990 hay menos
voluntarios
3. Porque ambos deben comenzar
desde 0
4. Que Carmen se demoró lo mismo
que Diego, aun al comenzar 2 km
de casa
5. Porque no comienza el intervalo
desde cero
6. Que los estudiantes de 6° leen
más
7. Los intervalos de los años no son
iguales
8. La comparación de las muertes en
la ciudad es equivocada
9. Revisar cuaderno
Página 233
10. De barras
11. Revisar cuaderno
12. Revisar cuaderno
13. Revisar cuaderno
14. Revisar cuaderno
15. Revisar cuaderno
16. D
17. Los intervalos de los puntajes
18. Revisar cuaderno
19. Revisar cuaderno
Página 235
1. Revisar cuaderno
2. Gráfico de barras
Página 236
1. Gráfico lineal
2. 36 %
3. Un gráfico circular
4. Revisar cuaderno
Página 237
5. a) Gráfico lineal
b) Revisar cuaderno
6. Revisar cuaderno
7. Revisar cuaderno
8. Revisar cuaderno
9. Revisar cuaderno
10. C
11. Gráfico lineal
12. Revisar cuaderno
13. Revisar cuaderno
Página 238
1. Revisar cuaderno
2. Agosto
3. Aumentar
4. Debe ser 0,500, 1000, 1500, por
los intervalos
5. Revisar cuaderno
6. Revisar cuaderno
7. No, porque son datos que
cambian con el tiempo
8. Revisar cuaderno
9. Revisar cuaderno
10. Un gráfico circular representa
mejor los porcentajes
Página 239
1. Revisar cuaderno
2. Por continentes
3. Revisar cuaderno
4. Revisar cuaderno
5. Revisar cuaderno
6. No cambia, porque 7,9 = 8
Página 242
1. Gráfico de barras
2. Gráfico lineal
3. Gráfico circular
4. Revisar cuaderno
5. Revisar cuaderno
6. Revisar cuaderno
7. Revisar cuaderno
Página 243
8. 8° básico
9. Revisar cuaderno
10. Revisar cuaderno
11. Revisar cuaderno
12. Revisar cuaderno
13. Revisar cuaderno
14. Revisar cuaderno
15. Revisar cuaderno
16. Revisar cuaderno
Página 244
17. Revisar cuaderno
18. Abril
19. La tendencia al aumento
20. Los intervalos de la distancia
tienen que tener la misma
diferencia
21. Gráfico de barras
22. Gráfico de líneas
23. Gráfico circular
Página 245
1. Revisar cuaderno
2. Julio
3. Enero y octubre
4. Revisar cuaderno
5. Gráfico lineal
6. Gráfico lineal
Página 246
1. D
2. B
3. B
4. C
5. C
Página 247
6. B
7. D
8. Revisar cuaderno
9. Revisar cuaderno
10. Pantalón (21,4 %),
Chaleco (28,6 %), Parka (14,3 %),
Polera (21,4 %), Poncho (14,3 %)
11. Revisar cuaderno
12. Revisar cuaderno
13. Revisar cuaderno
14. a) Preferencia en las elecciones
b) 36% y 17%.
15. a) Gráfico de barras
b) Revisar cuaderno
16. V
17. F
18. V
Capítulo 7
Página 249
1. Población
2. Muestra
3. Encuesta
4. Población: 37, Muestra: 27
5. Población: estudiantes del club
6. Población: 589, Muestra: 375
7. Población: personas del estadio,
Muestra: 12
8. Población: clientes, Muestra:
clientes al azar
9. Población: escuelas de Tarapacá,
Muestra: colegios al azar
10. Población: Perros de la comuna de
Conchalí, Muestra: 7 perros
11. Básquetbol
12. Fútbol
13. Tenis
Página 251
1. Revisar cuaderno
2. Revisar cuaderno
3. Revisar cuaderno
Página 253
1. Revisar cuaderno
2. Porque no es información concisa
Página 254
1. Método aleatorio
2. Es representativa
3. No representativa
4. No
5. Método de conveniencia
6. No representativa
7. Representativa
8. Revisar cuaderno
Página 255
9. Población
10. Muestra
11. Población
12. X = 30
13. Sí. ¿Cuál es tu color preferido?
14. No es una población disponible
15. Muestra al azar
16. No
17. B
18. Revisar cuaderno
19. 0,52
20. 0,07
21. 1,1
22. 0,004
23. 5,5
24. 288
25. 0,41
26. 33,6
Página 256
1. Muestra por conveniencia
2. Muestra aleatoria
3. No
4. Sí
5. Revisar cuaderno
6. Revisar cuaderno
7. No válido
8. Válido
9. Población
10. Muestra
11. Muestra
12. Población
13. Revisar cuaderno
14. Revisar cuaderno
15. Revisar cuaderno
Página 257
1. Falta información
2. 640 – 1 200
3. 59 323
4. 55 minutos
Página 259
1. Revisar cuaderno
2. Mientras más veces se repite el
experimento más confiables son
los resultados.
Página 260
1. 37/100
2. a) 3,
b) 16,
c) 1,
d) 12,5 %
3. Fútbol: 25/60, 41,7%,
Voleibol: 12, 20%,
Tenis: 3/60, 5%,
Básquetbol: 15, 15/60, Natación:
5/60, 8,3%
4. Revisar cuaderno
Página 261
5. Revisar cuaderno
6. Soltero: 75/400, 18,7%,
Casado: 200, 200/400,
Viudo: 50, 12,5%,
Separado: 18,7%,
Total: 100%.
7. Revisar cuaderno
8. B
9. A
Página 263
1. No
2. Respuesta abierta
Página 264
1. 8/15; 53%
2. Que no haga ninguno.
3. 1 gol
4. 4
5. Cara, cruz
6. 3/25
7. 13/25
8. Negra
9. 20%
10. 33,3%
Página 265
11. 1/31, improbable
12. a)1/4, 19/100, 14/25
b) verde
13. Revisar cuaderno
14. Revisar cuaderno
15. D
16. C
17. No, se necesita repetir el
experimento más veces
18. Leo
Página 266
1. Revisar cuaderno
2. Revisar cuaderno
3. Revisar cuaderno
4. 2
Página 267
1. a) 0,5 b) 0,5
2. 1/2
3. 1/4
4. 240
5. 16
Página 270
1. Frecuencia relativa
2. Frecuencia relativa porcentual
3. Probabilidad experimental
4. Aleatoria
5. No representativa
6. Aleatoria
7. Convenida
8. Aleatoria
Página 271
9. No
10. Sí
11. No
12. No
13. Sí
14. Sí
15. Tan probable como improbable
16. Improbable
17. Probable
18. Imposible
19. Improbable
Página 272
20. 1/4
21. 1/2
22. 75 %
23. 1/6
24. 1/2
25. 1/3
26. 20/75
27. 1/2
28. 4/5
29. 1/10
Página 273
1. Muestra de conveniencia
2. Muestra aleatoria
3. Muestra aleatoria
4. Muestra de conveniencia
5. No representativa
6. No representativa
7. No representativa
8. Tendenciosa
9. No tendenciosa
10. Tendenciosa
11. No tendenciosa
12. 36,4%, 45,5%, 18,2%
13. 33
14. Revisar cuaderno
15. Azul
16. 2/5
17. 1/5
Página 274
1. C
2. A
3. D
4. D
5. C
6. 2/6
7. 36%
8. Revisar cuaderno
9. 6
10. C
11. A
Página 275
12. 6 600 personas
13. No
14. Revisar cuaderno
15. 330 estudiantes de un colegio
16. ¿Consideras que el sábado es el
mejor día?
17. a) 3/10
b) 50 adolescentes
18. a) 1/4, 0,25, 25%
b) 3/5
c) 20 veces

EN ESTA UNIDAD PODRÁS…
CONVERSEMOS DE…
El consumo de alimentos con alto contenido en grasas y azúcares y el aumento del
sedentarismo, en las últimas décadas, ha producido importantes alteraciones en la salud
de la población chilena, afectando incluso a niños y niñas. El estilo de vida que ellos llevan
también ha cambiado mucho, la mayoría de sus actividades las realizan en torno a la
televisión, el computador y los videojuegos. Si esto no se regula y se combina con
deportes o actividad física, pueden convertirse en niños o niñas obesos.
Según tu experiencia, comenta y responde.
1. ¿Cuáles son los mayores factores de la obesidad en Chile?
2. ¿Cuál de las condicionantes del sedentarismo en Chile te parece que es la responsable de más
casos de obesidad?
3. ¿Cuántas horas semanales dedicas a ver televisión, estar en el computador o jugar en un
videojuego?, ¿y cuántas a practicar algún deporte?
¿CUÁNTO SABES?
Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve los ejercicios en tu
cuaderno.
1. Simplifica las siguientes fracciones de modo que la fracción sea irreductible.
a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
2. Determina a qué porcentaje corresponden las siguientes fracciones.
a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
3. Determina a qué fracción corresponden los siguientes porcentajes.
a) 40% e) 16%
b) 35% f) 50%
c) 75% g) 2%
d) 84% h) 90%
4. Expresa como fracción las siguientes relaciones entre cantidades.
a) 5 manzanas de un cajón de 25 manzanas.
b) 10 chocolates de una bolsa con 100 chocolates.
c) 16 bolitas de una colección de 60 bolitas.
d) 1 limón de un cajón de 100 limones.
e) 5 huevos de una bandeja de 12 huevos.
f) Medio kilogramo de harina de un paquete de 5 kilogramos.
g) 82 monedas de una alcancía con 82 monedas.
h) 6 años de un joven de 18 años.
15
75
18
27
5
8
3
5
5
60
4
12
2
5
1
4
90
99
25
75
32
128
65
78
27
192
36
68
22
88
45
50
¿QUÉ DEBES RECORDAR?
• Las fracciones equivalentes son aquellas que representan el mismo valor numérico,
aunque los valores de sus numeradores y denominadores sean distintos.
Por ejemplo: y son fracciones equivalentes.
• Para determinar si dos fracciones son equivalentes, se puede multiplicar “cruzado”
y confirmar que se obtiene una igualdad.
= a • d = c • d
Por ejemplo: = 3 • 12 = 6 • 6
36 = 36
6
12
3
6
c
d
a
b
2
4
1
2
5. Expresa como porcentaje las siguientes relaciones entre cantidades.
a) 10 naranjas de una bolsa con 20 naranjas.
b) 4 libros de un estante con 32 libros.
c) 125 g de una bolsa de 1 kilogramo de azúcar.
d) 24 personas de un grupo de 40 personas.
e) 14 láminas de un álbum con 70 láminas.
f) Ningún día nublado de una semana.
g) 28 dominós de un juego con 28 dominós.
Compara tus respuestas en tu curso. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue
el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.
Tablas y gráficos
Valeria pasó el último fin de semana haciendo una tarea que consistía
en averiguar el sexo y las edades de los niños y niñas que viven en su
edificio. La información que obtuvo la representó de distintas maneras.
Observa.
PARA DISCUTIR
• El primer gráfico se llama gráfico de barras, ¿cómo lo describirías?
• Según el gráfico de barras, ¿cuántos niños y niñas de 5 años viven en el
edificio?, ¿cuántos niños y niñas viven en el edificio?, ¿cómo lo supiste?
• El segundo gráfico recibe el nombre de pictograma, ¿cómo lo describirías?,
¿qué información te entrega?, ¿es algo que ya sabías al ver el primer
gráfico?
• El tercer gráfico se llama gráfico circular, ¿cómo lo describirías?
Respecto de los gráficos anteriores, ¿agrega nueva información?,
¿es más fácil de entender? Justifica.
• Observando solo el gráfico circular, ¿puedes determinar el total de
niños y niñas que viven en el edificio?
• El último gráfico se llama histograma, ¿cómo lo describirías?, ¿cuál es
la diferencia en relación al gráfico de barras?, ¿es más útil respecto de
lo que informa? Justifica.
• Si Valeria decidiera utilizar solo uno de estos gráficos para su tarea,
¿cuál le recomendarías tú?, ¿por qué?
Edades de las niñas del edificio
Sexo de los niños y niñas del edificio Edad de los niños y niñas del edificio
= 4 niños = 4 niñas
3
Frecuencia absoluta
12
10
8
6
4
2
Frecuencia absoluta
3 – 4 5 – 6 edad
22
13
4 5 6 edad
6 años
8,33%
5 años
25%
3 años
33,3%
4 años
33,3%
2
3
4
1 Edades de los niños y niñas del edificio
Los gráficos se utilizan para ilustrar y presentar un conjunto de datos
relacionados entre sí, de manera que se facilite su comprensión,
comparación y análisis. Según las características y la cantidad de
datos, conviene utilizar uno u otro gráfico.
Por ejemplo, los gráficos circulares no se recomiendan cuando las
variables tienen muchos valores posibles. Imagina un gráfico circular
que presente la población mundial, pero desglosada por cada país.
Como son tantos países, en muchos casos el sector circular
correspondiente no sería más que una línea.
1. Determina qué tipo de gráficos realizarías para representar cada una de las siguientes situaciones y
explica en cada caso tu elección.
a) El porcentaje de computadores vendidos durante los últimos 10 años.
b) Las comidas preferidas por un grupo de personas.
c) El número de aviones que salen de un aeropuerto entre las 7:00 y 21:00 horas.
d) El número de asistentes a las salas de cine de las películas que están en cartelera.
e) El porcentaje de nacimientos en un hospital, entre enero y julio.
f) Distribución de la población chilena, según edad, en intervalos de 5 años y según sexo.
2. Piensa, comenta y responde:
a) ¿Qué opinas sobre el uso de tablas para organizar la información?
b) ¿Para qué sirven los gráficos?
c) ¿En qué se parece un gráfico de barras a un histograma?, ¿y en qué se diferencian?
d) ¿Qué ventajas tiene un pictograma respecto de un gráfico de barras?, ¿y qué desventajas?
e) ¿Cuándo es útil representar la información en un gráfico circular?
EN TU CUADERNO
NO OLVIDES QUE
• Se llama frecuencia al número de veces que se repite cierto valor de una variable.
También se le dice frecuencia absoluta.
• Un gráfico de barras está compuesto por barras separadas, donde la altura de cada barra
es proporcional a la frecuencia. Sirve para comparar las frecuencias de los valores.
• En un pictograma, en lugar de las barras, se dibuja una figura proporcional (por su tamaño
o bien por su cantidad) a la frecuencia. Se recomienda cuando la variable que se estudia
es una cualidad, por ejemplo el sexo de una persona.
• En un gráfico circular, un círculo está dividido en sectores circulares proporcionales a la
frecuencia que se quiere dar a conocer. Es útil cuando se necesita representar porcentajes.
• Un histograma es un gráfico formado por barras contiguas, donde cada una representa
un intervalo de valores, sirve para expresar información sobre datos que están agrupados.
3. El siguiente gráfico muestra cuánto calzan algunas personas.
a) ¿Qué nombre recibe este tipo de gráfico?
b) ¿Cuántas personas fueron consultadas en total?
c) ¿Cuál de los siguientes gráficos muestra de mejor manera la información del histograma?
Explica.
4. Observa la siguiente tabla que representa las preferencias en la forma de vestir de 40 niñas.
a) ¿Qué gráfico sería más adecuado para
representar el porcentaje de niñas que prefiere
cada prenda?, ¿por qué? Constrúyelo.
b) ¿Cuántas niñas dijeron que prefieren usar faldas?,
¿y cuántas prefieren usar pantalones?
c) Construye un gráfico de barras con las
preferencias de las niñas.
5. La cantidad de veces que los estudiantes de un séptimo básico han ido al estadio a ver a su equipo
de fútbol favorito, se muestra en la siguiente tabla:
a) ¿Qué será más apropiado en este caso para
representar la información: un gráfico de barras
o un histograma?, ¿por qué? Grafica de acuerdo
a tu elección.
b) Construye un gráfico circular que represente
esta misma información.
c) ¿Qué información puedes desprender de los
gráficos construidos?
Prenda Porcentaje
Falda
Pantalón
Vestido
Frecu30%encia
50%
20%
Nº de veces Nº de estudiantes
0 – 5
5 – 10
10 – 15
3
16
24
15 – 20 5
Nº de personas
Nº calzado
Nº que calzan algunas personas
15
12
9
6
3
35 37 39 41 43
41 – 43
20%
39 – 41
35%
37 – 39
30%
41 – 43
8%
35 – 37
6%
37- 39
12%
39 – 41
74%
35 – 37
15%
En esta actividad te invitamos a utilizar una planilla de cálculo, como
Excel, para presentar los resultados de una encuesta y analizarlos
estadísticamente. Ingresa los datos en las celdas o casilleros
correspondientes y usa la tecla para graficar la información.
Practica siguiendo las instrucciones.
1. Ingresa los datos en las celdas, ordenados en columnas, tal
como están en la tabla.
2. Selecciona todos los datos que quieras graficar.
3. Haz clic en el botón “Asistente para gráficos”.
4. En el paso 1, escoge qué tipo de gráfico necesitas, en cada
categoría hay varios modelos distintos.
5. En el paso 2, confirma cuáles son los datos que se van a
graficar, tanto en los niveles de la variable como si se quieren
comparar varios datos relacionados con la misma variable.
6. En el paso 3, completa los títulos, rótulos de datos, leyenda del
gráfico y otras especificaciones, como los ejes y líneas de división.
7. Finalmente, en el paso 4, indica si el gráfico lo vas a ubicar en una hoja nueva o no.
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
El siguiente gráfico representa las respuestas de una encuesta en que se preguntó:
¿Cuán de acuerdo está usted con la siguiente afirmación: “ambos, el hombre y la mujer,
deben contribuir al ingreso familiar”?
1. Si 135 personas contestaron “Muy en desacuerdo o en desacuerdo”, ¿cuántas
personas en total contestaron la encuesta?, ¿cómo lo supiste?
2. ¿Cuántas dijeron estar “Ni de acuerdo ni en desacuerdo”?
3. Ordena la información en una tabla de frecuencias.
4. Si ahora quisiéramos graficar las frecuencias absolutas de cada alternativa, ¿cuál es
el gráfico más adecuado? Dibújalo.
MI PROGRESO
Ni de acuerdo
ni en desacuerdo
7%
Muy en desacuerdo
o en desacuerdo
9%
Muy de acuerdo
o de acuerdo
84%
Fuente: CEP, Encuesta Nacional de Opinión Pública, diciembre 2002.
Disponibilidad de agua
(en miles de m3) por persona,
años 1950 y 2000
1950 2000
África 17,8 4,8
Asia 31,7 17,7
Europa 5,9 4,5
América 104,5 40,4
Oceanía 159,5 65,6
Fuente: Food and Agriculture,
Organization of the United Nations
(FAO), www.fao.org, consultado en
febrero de 2010.
Frecuencia relativa
Paulina registró en la siguiente tabla los resultados que obtuvo
al lanzar 24 veces un dado.
Luego, comparó la cantidad de veces que obtuvo 4 respecto del
total de lanzamientos y obtuvo lo siguiente:
PARA DISCUTIR
• ¿Qué número del dado salió una mayor cantidad de veces en los
lanzamientos que hizo Paulina?
• ¿Qué significado tiene la razón en el contexto de la situación?,
¿a qué porcentaje corresponde esta razón?
• ¿Qué razón obtienes al comparar la cantidad de veces que obtuvo
1 respecto del total de lanzamientos?, ¿y la cantidad de veces que
obtuvo 5?, ¿y las que obtuvo 6?
• ¿Qué significan las razones obtenidas en el contexto del problema?
• Si sumas las frecuencias absolutas, ¿qué valor obtienes?, ¿qué indica
este valor?
• Agrega a la tabla una columna con las razones que obtienes al comparar
la cantidad de veces que se obtuvo cada número del dado con el total
de lanzamientos. ¿Cuál es el valor de cada razón?, ¿qué resultado
obtienes al sumarlos?, ¿por qué crees que se obtiene ese valor?
1
8
NO OLVIDES QUE
• La frecuencia relativa de un evento es la razón entre el número de veces que se obtuvo
dicho evento y el número de veces que se realizó el experimento.
• La frecuencia relativa porcentual es la frecuencia relativa de un evento expresada en
porcentaje.
Número obtenido
1
2
3
4
Frecuencia absoluta
6
3
3
3
5 5
6 4
Número de veces que se obtuvo 4 = 3 = 1
Número de veces que se lanzó el dado 24 8
Recuerda que la
frecuencia absoluta de
un evento es el número
de veces que ocurre
dicho evento, cuando se
repite un experimento
aleatorio veces.
A yuda
EN TU CUADERNO
NO OLVIDES QUE
• La frecuencia relativa es un número entre 0 y 1.
• La suma de las frecuencias relativas correspondientes a todos los resultados posibles es 1.
1. La siguiente tabla muestra los colores preferidos por los alumnos y alumnas de un curso.
a) Agrega dos columnas a la tabla y complétalas con la frecuencia
relativa y relativa porcentual correspondiente.
b) Suma todas las frecuencias relativas. ¿Qué resultado obtienes?
c) Suma todas las frecuencias relativas porcentuales. ¿Qué puedes
concluir?
2. La siguiente tabla muestra el área de las carreras preferidas por 40 estudiantes, pudiendo cada
estudiante elegir solo un área.
a) Completa la tabla en tu cuaderno.
b) Ordena las áreas según las preferencias de los y las estudiantes.
c) ¿Cuáles son las áreas más y menos preferidas por los alumnos y alumnas?
3. La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos
en el censo de 2002 sobre el número de familias
chilenas según el tipo de hogar que constituyen.
a) Agrega dos columnas a la tabla y complétalas
con la frecuencia relativa y relativa porcentual
correspondiente.
b) ¿Cuántas familias son nucleares?, ¿y cuántas
son extensas?
c) ¿Qué porcentaje de familias son nucleares
con hijos?, ¿y nucleares, sin hijos?
d) Construye un gráfico circular que represente
la frecuencia relativa porcentual.
Área
Matemática
Biológica
Artística
Educativa
Frecuencia absoluta
15
Frecuencia relativa Frecuencia relativa porcentual
20%
32,5%
4
40
Color
Amarillo
Verde
Rojo
Azul
Frecuencia absoluta
12
9
15
6
Nuclear monoparental sin hijos
Nuclear monoparental con hijos
Nuclear biparental con hijos
Nuclear biparental sin hijos
No de familias
480 647
400 171
1 548 383
617 757
Extensa biparental 411 164
Extensa monoparental 290 452
Compuesta 132 057
Sin núcleo familiar 260 769
Total 4 141 427
Fuente: http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/
encuestas_trabajo_infantil/jovenes.php
(consultado en abril de 2008)
Probabilidades de eventos aleatorios
Si tienes una moneda equilibrada y la lanzas 20 veces quizás esperes
obtener 10 caras y 10 sellos. Aunque realices esta experiencia varias
veces es muy poco probable que obtengas la misma cantidad de sellos
que de caras. Sin embargo, cuando la cantidad de repeticiones de
un experimento es grande, se observan ciertas regularidades.
Descarga del sitio web: www.santillana.cl/mat2/moneda.xls una hoja
de cálculo para que experimentes con el lanzamiento de una
moneda y observes el gráfico correspondiente.
• Si realizamos 10 lanzamientos, ¿cuáles son las frecuencias relativas de
obtener cara y de obtener sello?, ¿y cuándo realizamos 100 lanzamientos?
• A medida que el número de lanzamientos aumenta (sobre 500), ¿qué
ocurre con las frecuencias relativas de ambos sucesos (obtener cara o sello)?
• Cuando tenemos más de 5000 lanzamientos, ¿a qué número se
aproximan las frecuencias relativas de ambos sucesos?
PARA DISCUTIR
En esta actividad deberán determinar la probabilidad de que al lanzar un dado,
se obtenga un número u otro. Tal como con la moneda, para determinar la
probabilidad se obtiene un mejor resultado mientras más datos se utilicen.
Consideren realizar al menos 300 lanzamientos distintos.
Formen grupos de 3 integrantes y sigan las instrucciones.
1. Cada uno en su cuaderno construya una tabla para registrar, por ejemplo, 50 lanzamientos
del dado:
2. Cuando terminen, cuenten las frecuencias absolutas correspondientes a cada número del dado
y anótenlo al final de la tabla.
3. Ahora recopilen todos los datos del grupo en una sola tabla.
4. Escriban la frecuencia relativa correspondiente a cada número. ¿Qué pueden concluir?
EN EQUIPO Materiales:
• Uno o más
dados.
NO OLVIDES QUE
• El número hacia el cual se aproxima la frecuencia relativa de un evento, a medida que
aumenta el número de repeticiones de un mismo experimento aleatorio, se llama
probabilidad.
• La probabilidad de que ocurra un evento en un experimento aleatorio se puede expresar
como un número, entre 0 y 1, al cual las frecuencias relativas se acercan a medida que la
cantidad total de repeticiones de un mismo experimento aleatorio aumenta.
Salió 1 Salió 2 Salió 3 Salió 4 Salió 5 Salió 6
X
Salió 1 Salió 3 Salió 4 X Salió 6
Salió 1 Salió 3 Salió 4 Salió 5 Salió 6
Lanzamiento 1
Lanzamiento 2

Salió 1 Salió 2 Salió 3 Salió 4 Salió 5 Salió 6
10 7 6l 9 10 8
Salió 1 Salió 3 Salió 4 Salió 6
Salió 1 Salió 3 Salió 4 Salió 5 Salió 6
Integrante 1
Integrante 2

EN TU CUADERNO
1. Martín y Andrea estaban leyendo en la biblioteca y de
pronto Andrea preguntó: “¿Cuál es la letra que más se
repite en un libro en español?” Martín le contestó: “La
letra A”.”No, yo creo que es la letra E”, replicó Andrea.
Y como no les gusta perder, cada una buscó un ejemplo…
a) ¿Quién crees que tiene la razón, Andrea o Martín?
¿O hay otra letra que se repita más?
b) Calcula la frecuencia relativa de las letras A y E de cada
una de las frases anteriores. ¿Qué puedes concluir?
c) Calcula la frecuencia relativa de las letras B y R de cada
una de las frases anteriores. ¿Qué puedes concluir?
d) Busca un cuento en tu libro de lenguaje y cuenta la
frecuencia relativa de las letras A, E, B y R. ¿Se mantienen
los valores que se obtuvieron con las frases anteriores?,
¿por qué?
e) Si se contaran todas las letras de El Quijote de la
Mancha y se calculara la frecuencia relativa de la A,
E, B y R, ¿crees que serían parecidas a las que obtuviste
con el cuento?
f) Se ha analizado la frecuencia con que se utilizan las
letras en cada idioma –en inglés y en español–; los
valores están expresados en los siguientes gráficos:
Observa los gráficos y determina si los valores de frecuencias relativas que calculaste se aproximan
a los presentados en los gráficos.
“Un elefante se balanceaba
sobre la tela de una araña,
como veía que resistía, fue a
buscar un camarada…”
“Erre con erre, cigarro,
erre con erre, carril, rápidos
ruedan los carros del
ferrocarril…”
Frecuencia de letras en textos en español Frecuencia de letras en textos en inglés
A B C D E F G H I J K L MN O P Q R S T U VWX Y Z
2
0
4
6
8
Frecuencia relativa
Frecuencia relativa
Letra
a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z
2
4
6
8
10
12
14
0
Letter
10
12
14
2. Valentín y Matilde van a construir ruletas de colores como las siguientes:
Suponiendo que las ruletas están equilibradas:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que al girar la ruleta se detenga en rojo
en cada caso?
b) ¿En cuál de las dos ruletas es mayor la probabilidad de que se
detenga en azul?
c) ¿Cómo debiera pintarse la ruleta para que la probabilidad de que
se detenga en cada color sea la misma?
d) ¿Cómo podría pintarse para que la probabilidad de que se detenga
en el azul sea el doble que la del verde?
El
se aplica
en el ,
que es el estudio de la
o grupos de letras
en un texto cifrado.
Se utiliza para descifrar
mensajes.
D ato interesante
Sergio tiene un prisma de base triangular como el de la imagen, con dos de sus caras
laterales pintadas de color rojo y la otra de azul.
Lo deja caer al suelo diez veces y registra qué cara quedó cada vez en el piso: rojo,
azul, rojo, rojo, azul, azul, rojo, rojo, rojo, azul. Considerando que no puede caer sobre
sus bases:
1. Construye la tabla de las frecuencias absolutas con los resultados obtenidos
por Sergio.
2. Construye luego la tabla de frecuencias relativas.
3. Suponiendo que el prisma siempre cae al azar, ¿cuáles deberían ser las probabilidades
de que caiga roja?, ¿y de que caiga azul?
4. Suponiendo que el prisma se dejara caer 36 000 veces, ¿cuál debiera ser la frecuencia
absoluta en cada caso?
MI PROGRESO
Población y muestra
La editorial Leemás está interesada en conocer acerca de los hábitos de
lectura de los y las estudiantes de séptimo y octavo año básico de todo
Chile, pues piensa lanzar una serie de libros el próximo verano. Esta
editorial es nueva y no cuenta con muchos recursos para realizar el
estudio, pero quiere que el estudio pueda indagar sobre los siguientes
temas:
• Frecuencia con que los alumnos y las alumnas leen en la semana.
• ¿En qué época del año leen más?
• ¿Qué leen: diarios, libros o revistas? ¿Cómo acceden a ellos?
• Si leen libros, ¿cuántos libros leen al mes?
• ¿Qué tipo de libros leen?
• ¿Cuál es la población considerada?
• ¿Es factible realizar este estudio a todos los elementos de la
población?, ¿por qué?
• ¿Qué aspectos se deben tener en cuenta al realizar el estudio?
• ¿Qué características pueden hacer que se lleguen a conclusiones
equivocas?
PARA DISCUTIR
NO OLVIDES QUE
• Población es el conjunto de todos los individuos, objetos u observaciones que poseen al
menos una característica en común (por ejemplo, la población de estudiantes de séptimos
y octavos básicos de nuestro país).
• Una muestra es un subconjunto o subgrupo de la población.
Cuando nos enfrentamos ante un estudio de esta naturaleza y por
falta de recursos, ya sea económicos o de tiempo, no se puede
encuestar a la población completa lo usual es seleccionar una muestra.
Una vez realizado el estudio, se asume que se obtendrían los mismos
resultados si se hubiese levantado la encuesta a la población total. Es
por ello, que es muy importante que esta muestra debe ser de tal
forma que represente a la población. Cuando hablamos de
representatividad de una muestra, lo que queremos decir es que
esperamos que este subgrupo sea una especie de copia pequeña del
universo.
En el problema de Leemás la población corresponde a los y las
estudiantes de séptimo y octavo año básico de todo Chile, luego, ¿qué
ocurre si tomamos una de las siguientes muestras?
• considerar solo alumnos de la Región Metropolitana.
• considerar solo alumnas de séptimo y octavo año básico de todo
Chile.
• considerar solo alumnos de séptimo básico de todo Chile.
Como puedes ver, en todos los casos anteriores estaríamos excluyendo
a una parte de la población, por lo que ninguna de esas muestras es
representativa.
El director de Leemás, preocupado por los costos del estudio consulta
acerca del número de encuestas a realizar, y les pregunta qué pasaría
con este número si la serie estuviera dirigida:
• Solo a los alumnos y las alumnas de la sexta región.
• Solo a los alumnos y las alumnas de séptimo básico.
• Solo a los alumnos de sexo femenino.
¿Qué le responderías?
Además el director de Leemás ahora está pensando en lanzar una serie
de libros para niños de sexto año básico. ¿Le servirá el estudio
anterior?, ¿por qué?
Veamos, ahora, el siguiente ejemplo:
Tenemos dos cortes de telas de 8 metros cada uno para hacer unas
cortinas, una es lisa de color amarillo y la otra estampada con flores de
diversos colores y tipos. Necesitamos elegir unos botones adecuados
para adornarlas, el color del riel para colgarlas y el hilo para coserlas. Al
salir de casa para ir a buscar todo lo que necesitamos no podemos
cargar con los cortes de tela; tan solo con llevar una muestrita de cada
una tendríamos idea exacta de la tela. ¿La muestra a cortar de tela
amarilla será del mismo tamaño que de la estampada?
Claro que NO, con un corte pequeño que hagamos en la punta del
corte de tela amarillo tendríamos una idea clara del color; sin
embargo, de la estampada necesitamos obtener un pedazo de tela
más grande para poder tener una idea de todos los colores que posee
y que pudieran servir al momento de elegir los accesorios.
NO OLVIDES QUE
• La representatividad de una muestra no tiene que ver, necesariamente, con el tamaño de esta,
sino con la capacidad de reproducir a pequeña escala las características de la población.
• Si los individuos que componen la población son muy distintos entre ellos tenderemos a tomar
una muestra de tamaño más grande que en el caso de que los individuos que componen la
población sean similares.
Esta actividad la puedes realizar utilizando una planilla de cálculo, como Excel.
Reúne la información de la estatura de diez de tus compañeros y compañeras. Luego, sigue las
instrucciones:
1. Ingresar los datos en la planilla de cálculo. Utiliza para esto la primera columna, A, de la planilla.
Como se muestra en la imagen.
2. En la primera celda vacía, debajo de los datos, escribe “=Promedio(A1 : A10)”.
Con esta función obtienes el promedio de un conjunto de datos. En este caso, el promedio es 1,52
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
Promedio de los datos
registrados desde A1 hasta A10
EN TU CUADERNO
1. Corta tantos cuadraditos de papel como compañeros y compañeras de curso tengas.
a) En cada uno de ellos anota la estatura de un compañero o compañera.
b) Echa estos papeles en una bolsa y extrae cuatro papeles. Calcula el promedio de los números
que salen.
c) Ahora extrae 8 de estos papeles y repite el ejercicio.
d) Repite lo anterior con 12, 16 y 20 papeles.
• ¿Qué observas en los promedios obtenidos?
2. En marzo del año 2009, la Fundación Futuro realizó una encuesta con el fin de determinar el
comportamiento de los televidentes en torno a las teleseries. La población considera a personas
mayores de 14 años, habitantes de las 49 principales ciudades de nuestro país que tengan más de 45
mil habitantes. La muestra seleccionada está integrada por:
• 189 personas del gran Santiago
• 211 personas del resto del país:
El siguiente gráfico muestra por rango etario, los resultados de la pregunta: ¿está viendo alguna
de las teleseries que dan entre las 8 y 9 de la noche y que fueron estrenadas durante marzo de
este año?
a) ¿Observas diferencias entre los resultados obtenidos para los distintos grupos etarios?
b) ¿Qué grupo tiende a ver más teleseries?, ¿dónde observas esto?
c) ¿Cuál hubiese sido la conclusión del estudio si solo se encuestan a personas mayores de 45
años?, ¿y si solo se hubiesen considerado personas de 14 a 21 años?¿Por qué crees que es
bueno considerar estos grupos?
3. Revisa durante la semana los diarios u otros medios de comunicación. Busca noticias acerca de
estudios o encuestas que se hayan realizado. Redacta un pequeño informe donde comentes acerca
del objetivo del estudio. Identifica la población y el tamaño de la muestra. Comenta si, a tu juicio, la
muestra es representativa o no.
NO OLVIDES QUE
• La representatividad de una muestra no tiene que ver, necesariamente, con el tamaño de esta,
sino con la capacidad de reproducir a pequeña escala las características de la población; sin
embargo, mientras más grande sea la muestra, más certeros serán los resultados de esta.
TOTAL 41,8 5,8 52,5
61,6 8,2 30,1
41,4 7,3 51,3
31,6 2,2 66,2
14 A 21
22 A 44
45 Y MÁS
SI A VECES NO
El siguiente gráfico muestra la composición de la población
total de Chile según sexo, grupos de edad y área rural o
urbana, según el censo de 2002 realizado en nuestro país.
a) ¿En qué rango de edad hay mayor cantidad de hombres
y mujeres?, ¿en cuál hay menor cantidad?
b) ¿En qué rango de edad hay mayor cantidad de mujeres
y de hombres en la zona rural?
c) ¿Cuál es la tendencia general que se observa en el gráfico,
respecto a la cantidad de población?
Fuente: www.ine.cl/cd2002/poblacion.pdf (consultado en abril de 2008)
Comprender
• ¿Qué sabes del problema?
La población total de Chile según sexo, grupos de edad y área rural o urbana.
Hay 17 grupos de edad, cada uno de amplitud 4 años.
Los tonos azules corresponden a la zona urbana y los verdes, a la zona rural.
La parte izquierda del gráfico corresponde a los hombres y la derecha, a las mujeres.
• ¿Qué debes encontrar?
El rango de edad en que hay mayor y menor cantidad de hombres y de mujeres, en general,
y en la zona rural, y una interpretación de la tendencia que se observa en el gráfico.
Planificar
• ¿Cómo resolver el problema?
Debemos analizar el gráfico. En este caso, la longitud de la barra indica la mayor cantidad
de personas, en este caso. Luego hay que determinar a qué rango de edad corresponde la
barra más larga y la más corta del gráfico. Al observar los tonos verdes por sí solos, se
puede determinar qué sucede en el área rural.
Resolver
Existe mayor cantidad de hombres y de mujeres en el rango de edad 10 – 14, es decir,
la mayoría de la población del país se encuentra en este rango. Y la menor cantidad en el
intervalo 75 – 79 años.
En la zona rural, hay mayor cantidad de hombres y de mujeres en el rango de edad 10 – 14,
lo que es probable debido a que en este grupo es donde hay mayor población.
Podemos concluir, mirando el gráfico en su totalidad, que la cantidad de población en los
primeros años de vida (0 – 14) va en aumento, luego disminuye un poco y se “estanca” entre
los 20 y 39 años, para ir descendiendo notoriamente en los años posteriores, produciéndose
un leve aumento en el último intervalo.
Revisar
• Compara tus resultados con los de tus compañeros y compañeras.
BUSCANDO ESTRATEGIAS
Población urbana y rural
80 y +
75 – 79
70 – 74
65 – 69
60 – 64
55 – 59
50 – 54
45 – 49
40 – 44
35 – 39
30 – 34
25 – 29
20 – 24
15 – 19
10 – 14
5 – 9
0 – 4
por sexo y edad. Censo 2002
800 600 400 200 0 200 400 600 800
Hombres
en miles de habitantes
Zonas urbanas Zonas rurales
Mujeres
Unidad 7
1. Observa el gráfico correspondiente al censo de 1992 y
resuelve los siguientes problemas, aplicando la estrategia
de la página anterior.
a) ¿En qué rango de edad hay mayor cantidad de hombres
y de mujeres?
b) ¿En cuál hay menor cantidad?
c) ¿Son los mismos grupos que en el gráfico del año 2002?
d) ¿Cómo varió el rango 0 – 4 según ambos gráficos (1992
y 2002)? ¿Por qué crees que ocurrió dicha variación?
e) ¿Cómo varió la cantidad de población de las zonas rurales
entre los años 1992 y 2002?, ¿por qué crees que ocurrió
dicha variación?
2. Ahora resuelve el problema de la página anterior utilizando otra estrategia de resolución. Explica paso
a paso cómo lo resolviste y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras.
3. Resuelve el siguiente problema utilizando la estrategia que tú quieras. Compara el procedimiento
que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué?
El siguiente gráfico representa la remuneración promedio que recibieron mensualmente, por su trabajo,
hombres y mujeres en Chile, durante los años 1995 a 2000. Responde las preguntas dadas a continuación.
a) ¿Cuánto ganaron, aproximadamente, en promedio, las mujeres en los años 1996 y 2000?,
¿y los hombres?
b) ¿En qué año se produce la mayor diferencia entre los sueldos de hombres y de mujeres?
c) A medida que transcurren los años, ¿aumenta o disminuye la diferencia entre los sueldos de
hombres y mujeres?
Fuente: www.ine.cl/cd2002/poblacion.pdf
(consultado en abril de 2008)
Población urbana y rural
80 y +
75 – 79
70 – 74
65 – 69
60 – 64
55 – 59
50 – 54
45 – 49
40 – 44
35 – 39
30 – 34
25 – 29
20 – 24
15 – 19
10 – 14
5 – 9
0 – 4
por sexo y edad. Censo 1992
700 500 300 100 0 100 300 500 700
Hombres
en miles de habitantes
Mujeres
Mujer
Hombre
Fuente:
www.sernam.cl/basemujer/index.htm.
Servicio Nacional de la Mujer,.
350 000
300 000
250 000
200 000
150 000
100 000
50 000
0
1995 1996 1997 1998 1999 2000 Año
Remuneración ($)
Remuneración media del trabajo
Zonas urbanas Zonas rurales
CONEXIONES
Es común enterarse por la prensa del día lunes
de algún grave accidente de tránsito ocurrido los
fines de semana, en los cuales los jóvenes son
los protagonistas.
Generalmente, los jóvenes creen que nada malo
les va a pasar y piensan que tener un accidente o
no depende del azar. Por eso, no toman conciencia
de que las horas sin dormir y el alcohol, entre
otras, pueden traerles consecuencias graves.
NACIONAL
Formen grupos de 3 integrantes, analicen los datos de la tabla y desarrollen las actividades.
1. Analicen los datos y decidan entre todos qué tipo de gráfico sería el más adecuado para presentar
la información.
2. Construyan, utilizando el computador, al menos tres gráficos que presenten los aspectos más relevantes
de los datos de la tabla.
3. En general, ¿qué hora del día es la que tiene la mayor frecuencia relativa de accidentes del tránsito?,
¿a qué creen que se deba esto?
4. ¿Qué día del fin de semana es el que tiene la mayor frecuencia relativa de accidentes del tránsito?,
¿por qué creen que sucede esto?
1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según corresponda.
Luego, comparen y comenten sus respuestas.
2. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo?
Respeté las opiniones de los demás integrantes.
Cumplí con las tareas que me comprometí.
Hice aportes interesantes para desarrollar el trabajo.
EVALUAMOS NUESTRO TRABAJO
Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3
Fuentes: www.pediatraldia.cl,
http://www.carabinerosdechile.cl/sitioweb/web/ver
Seccion.do?cod=190&codContenido=899
(consultados en abril de 2008)
Jóvenes protagonizan
25% de accidentes de tránsito
No de accidentes de tránsito los fines
de semana, según horas del día
Viernes Sábado Domingo
1oo a 4oo 231 467 364
4oo a 7oo 255 565 733
995 642 508
10oo a 13oo 1014 904 674
13oo a 16oo 1214 1098 939
16oo a 19oo 1482 1204 1068
19oo a 22oo 1190 1107 1116
22oo a 1oo 621 824 692
7oo a 10oo
SÍNTESIS Unidad 7
A continuación, se presentan algunos de los conceptos fundamentales de la unidad. Haz un listado
con los conceptos que faltan y construye en tu cuaderno un mapa conceptual que los organice y
relacione.
Utilizando los conceptos aprendidos en la unidad y apoyándote en el mapa que construiste, responde
en tu cuaderno.
1. ¿En qué casos se recomienda representar los datos en un histograma?
2. ¿Cuál es la diferencia entre histograma y pictograma?
3. Si se quiere representar un conjunto de datos expresados como porcentaje, ¿qué gráfico es el
más adecuado?
4. ¿Cuál es la diferencia entre la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa?
5. ¿Cómo se relaciona la frecuencia relativa con la probabilidad?
6. Comenta tus respuestas con tus compañeros y compañeras.
Datos y azar
Tablas y gráficos
Probabilidad
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
1. El número de veces que aparece cada valor de
una variable se llama:
A. frecuencia absoluta.
B. frecuencia relativa.
C. porcentaje.
D. probabilidad.
2. Un profesor fue calificado por sus alumnos y
alumnas obteniendo los siguientes porcentajes:
Muy bueno: 50%
Bueno: 25%
Regular: 15%
Malo: ?
¿Cuál de los siguientes porcentajes corresponde
a los y las estudiantes que dijo que el profesor
es malo?
A. 90%
B. 1%
C. 10%
D. 0%
3. Si el día en que se hizo la encuesta había
40 estudiantes, ¿cuántos lo calificaron como
regular?
A. 5
B. 6
C. 15
D. 20
4. El gráfico recomendado para representar los
datos del ejercicio 2 es:
A. gráfico de barras.
B. histograma.
C. pictograma.
D. gráfico circular.
5. En una elección de presidente de curso los
resultados fueron expresados así:
¿Cuántos alumnos votaron en las elecciones?
A. 20
B. 40
C. 60
D. 100
6. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno o
alumna del curso hubiera votado por Javier?
A. C.
B. D.
7. La suma de todas las frecuencias absolutas en
cualquier tabla corresponde a:
A. 1
B. 1%
C. 100%
D. el número total de observaciones.
8. La suma de todas las frecuencias relativas en
cualquier tabla corresponde a:
A. 100
B. 100%
C. el número total de observaciones.
D. 1
3
20
1
10
12
30
3
10
¿QUÉ APRENDÍ?
Marca, en tu cuaderno, la alternativa correcta en las preguntas 1 a la 8.
4
6 10%
12
18 45%
30%
15%
Resultados
Ana Rosa Javier Pedro
9. Los siguientes resultados fueron obtenidos del Estudio Nacional de Opinión
Pública, número 44, “Mujer, familia y valores” (Centro de Estudios Públicos,
diciembre 2002) y se refieren a la tasa de participación laboral femenina.
Observa las tablas y responde las preguntas relacionadas.
a) ¿Cuál es el grupo de edad que muestra una mayor participación laboral? Explica.
b) ¿Se puede construir un gráfico circular con los datos de la tasa de participación
laboral femenina según años de educación? Justifica.
c) Decide qué gráfico es más apropiado para presentar la información de cada tabla.
Compara tus respuestas en tu curso. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error?
Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.
1. Marca según tu apreciación.
Tablas y gráficos.
Frecuencia relativa.
Probabilidades de eventos aleatorios.
Población y muestra.
Resolución de problemas.
2. Reflexiona y aprende.
a) ¿Qué dificultades tuviste en la unidad?, ¿cómo las superaste?
b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la unidad?, ¿por qué?
c) Vuelve a la página 160 y revisa el recuadro “En esta unidad podrás…”,
¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.
¿QUÉ LOGRÉ?
No lo
entendí
Lo
entendí
Puedo
explicarlo
A. Tasa de participación laboral femenina
por grupos de edad.
B. Tasa de participación laboral femenina
según años de educación.
Grupos de edad
(años)
% de participación
dentro de su grupo
18 – 24 37%
25 – 34 55%
35 – 54 58%
55 y más 14%
Años de
educación Tasa
0 – 3 años 19%
4 – 8 años 34%
9 – 12 años 46%
13 años y más 61%
Página 162
¿CUÁNTO SABES?
1. a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
2. a) 25% e) 60%
b) 40% f) 62,5%
c) 33,3% g) 66,6%
d) 8,3% h) 20%
3. a) e)
b) f)
c) g)
d) e)
4. a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
Página 163
5. a) 50% e) 20%
b) 12,5% f) 0%
c) 12,5% g) 100%
d) 60%
Página 165
1. a) Gráfico circular.
b) Pictograma.
c) Histograma.
d) Gráfico de barras.
e) Gráfico circular.
f) Histograma.
2. b) Para ilustrar y presentar un conjunto de datos
relacionados entre sí, de manera que se facilite
su comprensión, comparación y análisis.
c) Se parecen en que se utilizan barras de
dimensiones proporcionales a las magnitudes de
los datos. Se diferencian en que en los gráficos
de barras el ancho de la barra es igual para
todas las barras, en cambio en el histograma
es variable.
d) Una ventaja es que ocupando una figura en el
pictograma pueden presentarse mejor las
características de los datos. Como desventaja,
sucede que no es fácil de apreciar cuando las
diferencias son menores.
e) Cuando los datos se pueden expresar en
porcentajes y las variables no tienen muchos
valores posibles.
Página 166
3. a) Histograma.
b) 40 personas.
c) El primero, porque sus porcentajes están
calculados correctamente.
10
11
9
64
1
3
9
17
1
4
1
4
5
6
9
10
9
10
21
25
1
50
3
4
1
2
7
20
4
25
2
5
82
82
1
10
6
18
5
12
1
100
16
60
5
25
10
100
Unidad 7
4. a) Un gráfico circular.
b) 12 niñas, 20 niñas.
c)
5. a) Un histograma, porque los datos están
agrupados en intervalos.
b)
Página 167
MI PROGRESO
1. 1500 personas.
2. 105 personas.
3.
Página 169
1. a)
b) 1
c) 100%
2. a)
b) De mayor a menor: Biológica, Artística,
Matemática, Educativa.
¿Cuán de acuerdo está usted con la
siguiente afirmación: “ambos, el
hombre y la mujer, deben contribuir
al ingreso familiar”?
Personas
Muy de acuerdo + de acuerdo 1260
Ni de acuerdo + ni en desacuerdo 105
Muy en desacuerdo + en desacuerdo 135
Color
Amarillo
Verde
Rojo
Azul
Frecuencia
absoluta
12
9
15
6
Frecuencia
relativa
0,29
0,21
0,36
0,14
Frecuencia
relativa porcentual
29%
21%
36%
14%
Área
Matemática
Biológica
Artística
Educativa
Frecuencia
absoluta
8
15
13
4
Frecuencia
relativa
8
40
15
40
13
40
4
40
Frecuencia
relativa
porcentual
20%
37,5%
32,5%
10%
0
5 10 15 20
5 3
10
15
20
25
30
16
24
5
6,25%
10,4%
33,3%
50%
20%
30%
50%
Vestido
Falda
Pantalón
0
12
5
10
15
20
25
30
20
8
Falda Pantalón Vestido
5 – 9 veces
10 – 14 veces
0 – 4 veces
15 – 19 veces
c) Área más preferida: Biológica, área menos
preferida: Educativa.
3. a)
b) 3 046 958 familias son nucleares, 701 616
familias son extensas.
c) 47,1% (con hijos), 26,5% (sin hijos).
d)
Página 172
1. a) Andrea.
b) En “Un elefante…” la frecuencia relativa de A es
0,23 y la de E es 0,12. En “Erre con erre…” la
frecuencia relativa de A es 0,08 y la de E es 0,14.
c) En “Un elefante…” la frecuencia relativa de B es
0,04 y la de R es 0,06. En “Erre con erre…” la
frecuencia relativa de B es 0 y la de R es 0,28.
d) Pregunta abierta.
e) Pregunta abierta.
f) Pregunta abierta.
Página 173
2. a) En la primera, la probabilidad es de . En la
segunda, de .
b) En la segunda ruleta.
c)
d)
MI PROGRESO
1.
2.
3. La probabilidad de que caiga roja debiera ser 0,6,
y de que caiga azul, 0,3.
4. La frecuencia absoluta del color rojo debiera ser
24 000 veces, y del color azul, 12 000 veces.
3
8
1
4
Color Frecuencias absolutas
Rojo 6
Azul 4
Color Frecuencias relativas
Rojo 0,6
Azul 0,4
Total
260 769
Compuesta
Extensa
monoparental
Nuclear monoparental
sin hijos
Nuclear monoparental
con hijos
Nuclear biparental
con hijos
Nuclear biparental
sin hijos
No de
familias
480 647
400 171
1 548 383
617 757
Extensa biparental 411 164
290 452
132 057
Sin núcleo familiar
4 141 427
Frecuencia
relativa
0,116
0,097
0,374
0,149
0,099
0,070
0,032
0,063
1
Frecuencia
relativa
porcentual
11,6%
9,7%
37,4%
14,9%
9,9%
7%
3,2%
6,3%
100%
Tipo de hogar que constituyen las familias chilenas
Página 176
1. A medida que aumenta la cantidad de valores
que está promediando, su promedio se acerca
al valor del promedio de todos sus compañeros
y compañeras.
Página 177
2. a) Sí.
b) Las personas de 14 a 21 años.
c) Se habría concluido que la cantidad de personas
que ven las teleseries que dan entre las 8 y 9 de
la noche son muchas menos, aproximadamente
10% menos. Si se hubiesen considerado
personas de 14 a 21 años, se habría concluido
que la cantidad de personas son muchas más,
aproximadamente 20% más. Al considerar los
distintos grupos etarios que se consideraron en
el estudio, se puede observar sus diferencias
como televidentes respecto de las teleseries.
Página 179
BUCANDO ESTRATEGIAS
1. a) En el rango de 0 a 4 años.
b) En el rango 80 años y más.
c) No.
d) Disminuyó la población. Porque no han nacido
tantos niños como antes.
e) Disminuyó la población. Porque la gente ahora
prefiere vivir en la ciudad.
3. a) Las mujeres ganaron en promedio $ 160 000
en 1996 y $ 210 000 en 2000. Los hombres
ganaron en promedio $ 265 000 en 1996 y
$ 270 000 en 2000.
b) En 1997.
c) La diferencia entre los sueldos de hombres y
mujeres disminuye.
Página 182
1. A 3. B 5. B 7.D
2. C 4. D 6. A 8.D
Página 183
9. a) El grupo de 35 a 54 años.
b) No. Porque estos porcentajes suman más que el
100% (no se refieren al mismo grupo de personas).
c) Histogramas.