CUERPOS REDONDOS EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICA 8 – OCTAVO AÑO PDF

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• El cilindro
• El cono
• La esfera
• Área de cuerpos redondos
• Volumen de cuerpo redondos.
En esta unidad aprenderás a:
Identificar y caracterizar cuerpos redondos.
Determinar redes de cuerpos redondos.
Calcular área y volumen de cilindros, conos y esferas.
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Aplicar fórmulas de área y volumen de cuerpos redondos a diversas situaciones
problemáticas.
Área de cuerpos redondos
Saber calcular el área de diferentes cuerpos geométricos es muy
importante, ya que a través de este cálculo podemos obtener información
útil para, por ejemplo, pintar o recubrir con papel las caras que
determinan estos cuerpos.
El área o superficie de un cuerpo geométrico corresponde a la
suma de las áreas de todas las caras que lo componen.
Fabiola desea envolver un conjunto de calcetines que compró para
su padre. El envase que contiene al conjunto tiene la forma de un cilindro,
cuyo radio basal mide 15 cm y cuya altura mide 20 cm.
ff¿Cómo puede calcular la cantidad de papel de regalo que
necesita?
La cantidad de papel requerido corresponde al área del cilindro que
contiene los calcetines.
El área de un cilindro de radio basal r y altura H, corresponde a la
suma del área de las bases y el área de la cara lateral:
Área cilindro = Área basal + Área lateral = 2 · πr2 + 2πrH
Área cilindro = 2πr · (r + H)
Aplicando la fórmula al problema de Fabiola, tenemos:
A = 2πr · (r + H) = 2π · 15 · (15 + 20) = 1 050π ≈ 3 298,7 cm2
Por lo tanto, la cantidad de papel requerido es de 3 298,7 cm2,
aproximadamente.
El padre de Fabiola trabaja en la municipalidad y se le encargó pintar
la punta cónica de una torre centenaria del Correo Central. El radio
del cono mide 3 m y la generatriz mide 6 m.
ff¿Cuál es el área que debe pintar?
El área a pintar equivale al área del manto del cono que sirve de
punta para la torre.
El área de un cono de radio basal r y generatriz g, corresponde a la
suma del área de la base y el área de la cara lateral:
Área cono = Área basal + Área lateral = πr2 + πrg
Área cono = πr · (r + g)
El área del manto de un
cono (x), se puede calcular
mediante una simple regla
de tres:
Como α =
r · 360
g
,
entonces:
r · 360°
g
x
360° πg2
r · 360°
g
· π · g2
x =
x = πrg
360°
2 πr
g α
Aplicando la fórmula para el cono completo y considerando
π ≈ 3,14:
A = πr · (r + g) = 3π · (3 + 6) = 27π ≈ 84,8 m2
A este número debemos restarle el área de la base, es decir,
πr2 = 9π. Esto porque, en este caso, la base del cono no será pintada.
Área a pintar = 27π – 9π = 18π ≈ 56,5 m2.
En el patio de su casa, Fabiola encontró una pelota de plástico de
12 cm de radio. La desarmó y midió el área del plástico.
¿Qué v ff alor halló para esta área?
Para responder, debemos calcular el área de una esfera.
El área de una esfera corresponde al área de la única cara que la
constituye.
Área esfera = 4πr2
Aplicando la fórmula:
A = 4πr2 = 4π · 122 = 576π ≈ 1 809,6 cm2
El área de la pelota de plástico es de 1 809,6 cm2.
Ejercicios individuales
Problema modelo
Laura quiere comprar papas fritas. Las papitas se venden en tres envases
de la misma altura, pero de diferente forma. El primer envase tiene
la forma de un cono de 15 cm altura, cuyo diámetro basal mide 9 cm; el
segundo tiene la forma de un cilindro de 15 cm de altura, cuyo diámetro
basal mide 9 cm; y el tercero, tiene la forma de un prisma de 15 cm de
altura, cuya base es un cuadrado de 9 cm de lado. Considera π ≈ 3,14.
a) ¿Cuál es el volumen de cada uno de los envases?
b) ¿Cuál de los tres envases puede contener más papas fritas?
a) Entiende: ¿qué sabes del problema?
• La forma de los envases corresponde a la de tres cuerpos geométricos conocidos: cono,
cilindro y prisma.
• Las dimensiones de los envases son:
Cono: H = 15 cm D basal = 9 cm
Cilindro: H = 15 cm D basal = 9 cm
Prisma: H = 15 cm Lado de la base cuadrada = 9 cm
c) Resuelve: desarrolla el problema para llegar a una respuesta
• Cono: V =
π · 4,52 · 15
3
= 101,25π ≈ 318,1 cm3
• Cilindro: V = π · 4,52 · 15 = 303,75π ≈ 954,3 cm3
• Prisma: V = 92 · 15 = 1 215 cm3
b) Planifica tu estrategia: ¿cómo puedes resolver el problema?
• El volumen del envase cónico es: V =
πr2 · H
3
• El volumen del envase cilíndrico es: V = πr2 · H
• El volumen del envase prismático es: V = a2 · H
• Sustituimos por los datos conocidos y calculamos el valor de los volúmenes.
Resolución de problemas
d) Responde: contesta las preguntas del problema
• El volumen de los envases es: 318,1 cm3 (cónico), 954,3 cm3 (cilíndrico) y 1 215 cm3 (prismático).
• El envase que puede contener más papas fritas es el prismático.
e) Comprueba: aplica otra estrategia para comprobar el resultado
• Para comprobar que tus resultados son los correctos debes revisar tus cálculos, principalmente
las aproximaciones realizadas cuando aparece el número π.
Problema 1
Un artesano construye gorros chinos de paja. Para evitar que se deterioren,
cubre con un plástico su superficie externa. Los sombreros
miden 20 cm de alto y el diámetro de su base mide 38 cm.
¿Cuántos metros cuadrados de plástico debe a) ocupar para cubrir
un sombrero?
b) ¿Cuántos metros cuadrados de plástico debe ocupar para cubrir
30 sombreros?
Problema 2
Una industria de metales recibe una orden de compra por un estanque
cilíndrico cuyo radio basal mida 1,4 m y cuya altura mida 2,8 m. El material
que debe ser utilizado es acero inoxidable.
a) ¿Cuántos metros cuadrados de acero inoxidable se ocuparán en la
construcción del estanque?
b) Una vez terminado, ¿cuál será su capacidad máxima?
Problema 4
Un cilindro metálico de 12 m de altura y cuyo diámetro basal mide 2,5 m
está lleno de un reactivo líquido hasta las 25
de su capacidad. Dentro
del reactivo se contabilizaron 180 200 burbujas de aire cuyos diámetros
miden 2,8 cm.
a) ¿Cuál es el volumen ocupado por las burbujas?
b) ¿Cuál es el porcentaje que ocupan las burbujas respecto al contenido
del cilindro?
c) ¿Cuál es el porcentaje que ocupan las burbujas respecto a la capacidad
total del cilindro?
La forma de una olla de cocina la podemos
asociar a un:
a) Poliedro regular.
b) Poliedro irregular.
c) Cuerpo redondo: el cono.
d) Cuerpo redondo: el cilindro.
6 Si se duplica el radio de una esfera, entonces
su área:
a) Permanece igual.
b) Se duplica.
c) Se triplica.
d) Se cuadruplica.
2 Si el diámetro basal de un cono mide 8 cm
y su generatriz 7 cm, ¿cuál es el ángulo del
sector circular que sirve de cara lateral?
a) α ≈ 205,7°
b) α ≈ 207,5°
c) α ≈ 210,4°
d) α ≈ 360°
7 El diámetro de la base circular de un estanque
cilíndrico mide 6 m y su altura mide
5 m. ¿Cuál es la capacidad del estanque?
a) 141,4 m3
b) 143,3 m3
c) 145,9 m3
d) 147,2 m3
3 Juan Pablo debe crear una etiqueta que
cubra la cara lateral de una lata de frutillas
en conserva, cuyo diámetro basal mide 8 cm
y su altura mide 15 cm. Aproximadamente,
¿cuál será el área de la etiqueta?
a) 60 cm2
b) 120 cm2
c) 377 cm2
d) 450,4 cm2
8 Se desea pintar el manto de dos conos de
tránsito iguales. Sus radios basales miden
12 cm y sus generatrices miden 45 cm.
¿Cuál es la superficie total aproximada que
se desea pintar?
a) 1 696,5 cm2
b) 904,8 cm2
c) 3 392,9 cm2
d) 4 297,7 cm2
4 Al hacer girar un rectángulo sobre uno de
sus lados, el sólido de revolución que se
genera es:
a) Un cilindro.
b) Una esfera.
c) Un cono.
d) Una semicircunferencia.
9 Si el diámetro de una pelota de ping pong
es de 4,1 cm, ¿cuál es su volumen?
a) 31,4 cm3
b) 36,1 cm3
c) 38,3 cm3
d) 40,5 cm3
5 Un volcán tiene forma aproximadamente
cónica. Si su altura es 1 234 m y el radio de
su base mide 399 m, ¿cuál es el volumen
que ocupa aproximadamente?
a) 189 432 162,6 m3
b) 199 700 005,1 m3
c) 203 540 432,7 m3
d) 205 726 183,3 m3
j Para generar un cono por revolución, la figura
que debe rotarse es:
a) Un rectángulo sobre uno de sus lados.
b) Un triángulo rectángulo sobre su hipotenusa.
c) Un triángulo rectángulo sobre uno de
sus catetos.
d) Un triángulo isósceles sobre su base.
II Ejercicios