¿ CUALQUIER FUNCION SE PUEDE INTEGRAR ?

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Hasta aquí hemos calculado la integral de muchas funciones, pero, ¿se puede calcular la integral de cualquier función?
¿Cuándo una función es integrable?
Recordemos que todas las funciones elementales son derivables en todo su dominio, salvo, en ciertos casos, las funciones potenciales en el punto . Por ejemplo, sabemos que la función está definida en ℝ y es derivable en todos los puntos salvo en , es decir, es derivable en ℝ . Dada una función elemental conocemos perfectamente cuándo es derivable y cuándo no.
La pregunta parece evidente: ¿Cuándo podemos asegurar que una función es integrable? Se puede demostrar que:
Si es una función continua en el intervalo I, entonces, es integrable en dicho intervalo.
Por lo tanto, si es una función continua en un intervalo I, entonces tiene primitiva (13) en el intervalo I, es decir, existe una función tal que
Recordemos que las funciones elementales son continuas en todo su dominio. En consecuencia:
Si tiene una primitiva, en realidad tendrá infinitas primitivas.
Si es una función elemental, entonces, es integrable. y, equivalentemente, Si es una función elemental, entonces, tiene primitiva.
Cuando calculamos la derivada de una función elemental, aplicamos las reglas de la derivación y obtenemos fácilmente su derivada: la derivada de una función elemental es otra función elemental.
Esto no ocurre siempre así con la integración: existen funciones elementales cuya integral no es una función elemental. Por ejemplo, consideremos la integral
La función es una función elemental cuyo dominio es ℝ. Evidentemente, ℝ
La función es continua en ℝ y, en consecuencia, integrable en ℝ. Sin embargo, es imposible expresar su integral mediante una combinación finita de funciones elementales. Por muchos cambios de variable que realicemos, por muchas vueltas que le demos a la integral, vamos a ser incapaces de encontrar la primitiva de dicha función utilizando un número finito de operaciones con funciones elementales.
A todas las funciones que aparecen en la siguiente tabla les ocurre lo mismo: aunque tienen una apariencia no muy complicada, es imposible expresar su integral mediante una combinación finita de funciones elementales.
Funciones que no admiten integral elemental
Todos los integrandos anteriores tienen primitiva, ya que son funciones continuas en sus respectivos dominios, y sin embargo, esta primitiva no es una función elemental. Cabe decir lo mismo de las integrales que se puedan obtener a partir de ellas, mediante cambio de variable o integración por partes.