CONO EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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Objetivos :
* Definición y propiedades (¿qué es?, ¿qué le caracteriza?) de un Cono .

* Elementos notables que lo constituyen y la definición de cada uno de ellos (por ejemplo, en el un segmento notable es la generatriz).

* Reconocer un cono equilátero.

* Área lateral , área total y Volumen . Desarrollos planos.

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Introduccion :
Un cono, en geometría elemental, es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice.
Superficie cónica se denomina a toda superficie reglada conformada por el conjunto de rectas que teniendo un punto común (el vértice), intersectan a una circunferencia no coplanaria.

El estudio sistemático de las pirámides el conocimiento de la circunferencia y algunas otras líneas curvas , han conllevado a la obtención y subsiguiente estudio de otras figuras , entre las cuales destaca el cono , el cual es muy parecido a una pirámide , con la diferencia de que sus bases es una región curva en lugar de una poligonal.

FIGURAS DE REVOLUCIÓN
¿QUÉ ENTENDEMOS POR FIGURAS DE REVOLUCIÓN?
En el tema anterior hemos estudiado los poliedros, sin embargo existen figuras geométricas que no pertenecen a tal familia. Efectivamente, si pensamos en un bote, en un embudo, una pelota o un huevo, estos representan figuras no poliédricas, ya que carecen de caras poligonales. Tales figuras pertenecen a una nueva familia: la de los cuerpos de revolución.
Son figuras de revolución las que se obtienen al hacer girar una figura plana alrededor de un eje.

Los segmentos que generan las respectivas superficies de cilindro y el cono reciben el nombre de generatriz, siendo en el caso del cilindro, equivalente a su altura.
Las tres figuras anteriores muestran los tres sólidos de revolución más conocidos: el cilindro, el cono y la esfera, sin embargo, no son las únicas, pues sabemos cómo los alfareros utilizan el torno para obtener bellas piezas que no son otra cosa que figuras de revolución.

EXPERIENCIA: Generando figuras de revolución
Recorta piezas de cartón con formas de rectángulo, triángulo isósceles y círculo, pasando después a perforarlas oportunamente como muestran las figuras.

Utiliza hilo elástico a fin de crear un eje de giro en cada una de ellas y observarás que al tomar los extremos y girar éstos con gran rapidez, producirás con dichas piezas el efecto óptico propio de las figuras de revolución. Identifica cada una de ellas.

SUPERFICIE CÓNICA DE REVOLUCIÓN
Se llama superficie cónica de revolución a aquella superficie generada por una recta que intersectando al eje en un punto fijo, gira alrededor de dicho eje, formando con él un ángulo invariable.
w La generatriz es la recta móvil (g).
w El vértice es el punto V.
w La recta es el eje.
w En la figura observamos a la superficie cónica de revolución de dos hojas.

CONO DE REVOLUCIÓN
Se genera, al girar la región triangular rectangular, una vuelta completa, alrededor de un eje que contiene al cateto.

w La superficie lateral es generada por la hipotenusa del triángulo rectángulo.
w Un cateto de la altura del cono.
w El otro cateto genera el círculo de la base cuyo radio es el mismo cateto.

Área Lateral:

Área Total:

Volumen:

DESARROLLO DE LA SUPERFICIE LATERAL
Es un sector circular que tiene por radio la generatriz del cono y por arco, la longitud de la circunferencia de la base del cono.

Sabemos por áreas que:

SEMEJANZA DE CONOS
Teorema:

Si dos conos son generados por triángulos semejantes que giran alrededor de dos lados homólogos, dichos conos son semejantes.
También si se intersecta a un cono por un plano paralelo a la base se obtiene un cono pequeño semejante al total, debiéndose cumplir:
A) Las áreas de sus bases son entre si como el cuadrado de las longitudes de sus elementos homólogos.

B) Los volúmenes son entre si como el cubo de sus elementos homólogos.

APLICACION :
Un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 16 cm forma con el cateto menor un ángulo de 60°. ¿Cuál será el área lateral y total del cono de revolución que se genera al girar 30° al rededor del cateto mayor?
RESolución:

– ABC:
h = ® h = 8 cm
r = = 8 cm
AL = prg ® AL = p.8.16 = 128p cm2

AT = pr(g + r) ® AT = p.8(16 + 8)
AT = 192p cm2
PRIMERA GUIA DE CLASE
1. Calcular el volumen del cono recto mostrado.

Rpta:…………………………………………………..

2. Calcular el volumen del cono mostrado.

Rpta:…………………………………………………..

3. Calcular el volumen del cono mostrado.

Rpta:…………………………………………………..

4. Calcular el volumen del cono mostrado.

Rpta:…………………………………………………..

5. Calcular el volumen el cono mostrado.

Rpta:…………………………………………………..

6. Calcular el volumen del cono mostrado.

Rpta:…………………………………………………..

7. Calcular el volumen del cono mostrado.

Rpta:…………………………………………………..

8. Calcular el volumen del cono mostrado.

Rpta:…………………………………………………..

9. Calcular el volumen del cono recto circular mostrado.

Rpta.: ………………………………………………..

10. Calcular el volumen del cono, “O” centro de la base.

Rpta.: ………………………………………………..

11. Calcular la razón entre el área de la superficie lateral del cono y el área de su base. “O” centro de la base.

Rpta.: ………………………………………………..
12. Calcular el volumen y el área de la superficie total de un cono recto, si su generatríz mide 6, la cual forma con la base un ángulo que mide 60°.

Rpta.: ………………………………………………..

13. Calcular el área de la superficie lateral del cono circular recto mostrado. O es centro.

Rpta.: ……………………………………………….

14. Calcular el área de la superficie total del cono recto circular mostrado.

Rpta.: ……………………………………………….
15. El volumen de un cono recto es . Si el radio de la base mide 8cm, calcule la longitud de la generatriz.

Rpta.:

16. La altura de un cono recto es igual al diámetro de su base, calcule el área lateral en función de h, si su altura es h.

Rpta.:

17. Calcule el área de un cono equilátero de altura h, en función de h.

Rpta.:

18. Un triángulo equilátero de altura h gira alrededor de su base. ¿Cuál es el volumen engendrado, en función de h?

Rpta.:
19. Calcule el volumen de un cono cuya base es el círculo inscrito en una cara de un cubo y el vértice está en el centro de la cara opuesta, sabiendo que la arista del cubo es a.
20. En un cono cuya altura mide 7 cm se traza una sección paralela a la base que dista 3 cm del vértice. Calcule la razón entre el área de esta sección con el área de la base.
21. Con un sector circular de radio R y ángulo 120º se construye un cono recto. Calcule el radio de la base del cono en función de R.
22. En un cono se ubica un punto en la generatriz y desde él se traza una perpendicular al radio y otra a la altura, si éstas miden 4cm y 6cm respectivamente y el punto dista 10cm del vértice del cono, el producto del área lateral y total es:
23. Los radios de dos esferas tangentes exteriormente miden 1dm y 3dm. El área lateral del cono inscrito a ambas esferas es:
24. Se tiene un cono de revolución cuyo volumen se desea calcular, sabiendo que en su interior se pueden inscribir dos esferas tangentes exteriores cuyos radios miden 1m y 3m.
25. Calcule el volumen de un cono equilátero inscrito en una esfera cuyo radio mide 2m.
SEGUNDA GUIA DE CLASE
1. Calcular el volumen del cono mostrado

A) 12pu3
B) 13pu3
C) 14pu3
D) 15pu3
E) 16pu3

2. Calcular el volumen del cono mostrado.

A) 3pu3
B) 4pu3
C) 5pu3
D) 6pu3
E) 7pu3
3. Calcular el volumen del cono mostrado.

A) 2pu3
B) 3pu3
C) 4pu3
D) 5pu3
E) 6pu3

2. Calcular el volumen del cono circular recto mostrado, si 0 es centro.

A)
B)
C)
D)
E)

4. Calcular la relación entre el volumen del cilindro circular recto y el volumen del cono circular recto circunscrito.

A) 1/2 B) 2/3 C) 3/4
D) 3/8 E) 4/9

5. En el cono circular recto mostrado, calcular , si el área de su superficie lateral, es igual al doble del área de su base.

A) 53º
B) 60º
C) 37º
D) 30º
E) 45º
6. Calcular el volumen del cono que se muestra en el gráfico. “O” centro de la base.
A) 324u3
B) 323u3
C) 320u3
D) 300u3
E) 330u3
7. En el gráfico: Calcular el volumen del cono. “O” centro de la base.
A) u3
B) u3
C) u3
D) u3
E) u3

8. En el gráfico: Calcular el volumen del cono recto. “O” centro de la base
A) 86 p
B) 40 p
C) 90 p
D) 60 p
E) 96 p

9. En el gráfico: Calcular el área de la superficie lateral del cono recto. “O” centro de la base.

A)
B)
C) 16
D)
E) 10

10. Calcular el área de la superficie lateral de un cono recto, si su generatriz mide 6u y el diámetro de su base 8u.
A) B) C)
D) E)

11. La generatríz de un cono mide 10u y el área de su superficie lateral es 60 p. Calcular el volumen del cono.
A) 84 B) 69 C) 96
D) 108 E)
12. Calcular el volumen del cono circular recto cuya generatríz mide 4u y forma con el plano de la base un ángulo de 30°.
A) B) 12
C) 8 D)
E) 24

13. Calcular el área de la superficie total de un cono de revolución de 13u de generatríz y 12u de altura.
A) 80 B) 90
C) 70 D) 60
E) 100

14. En el gráfico: Calcular el área de la superficie lateral del cono. “O” centro de la base.
A) 4
B) 6
C) 8
D) 9
E) 12