CONJUNTOS PROBLEMAS RESUELTOS PARA PROFESORES PDF

Share Button

Conceptos generales de conjuntos, Subconjuntos,Operaciones con conjuntos , Partición , Retículo y Algebra de BOOle , FOrmulas de MorgAn , Número de elementos de la unión de conjuntos,EJERCICIDS RESUELTOS

CONJUNTOS
l. Conceptos generales de conjuntos
NOCJON DE CONJUNTO. En el lenguaje ordinario empleamos la palabra
conjunto para designar un número cualquiera de objetos que se reúnen
para formar una colección . La empleamos siempre que queremos designar
una lista o colección de objetos. Así decimos: Un conjunto de personas, un
conjunto de papeles, un conjunto de Ideas, etc.
Al apropiarse de esta palabra los matemáticos no hacen más que analizarla
y estudiar sus propiedades
Ejemplo 1. Algunos ejemplos de conjuntos pueden ser
-Los libros de nueslra biblioteca.
– Las vocales del alfabeto
-Las prOVincias gallegas.
– Los días de la semana.
La noción matemática de conjunto que en principio vamos a utilizar es la
noción vulgar .
RELACION DE PERTENENCIA. A cada uno de los objetos que componen
un conjunto lo llamaremos elemento de ese_ conjunto.
Designamos por letras mayúsculas a los conjuntos y por letras minúsculas
www.Matematica1.com
a los elementos de dichos conjuntos. Si e es el conjunto y m uno de sus elementos
diremos que m pertenece a e y lo denotaremos simbólicamente por
m E e
El signo E se lee “pertenece a”
Si un conjunto A está formado por [os elementos a, b, c y d [o escribimos
así
A ~ [a. b, e, di
encerrando entre llaves los elementos y separados entre sí mediante una
coma.
– El elemento a pertenece al conjunto A
-E[ elemento b pertenece al conjunto A
-El elemento c pertenece al conjunto A
-El elemento d pertenece al conjunto A
Pero el elemento h no pertenece a[ conjunto A
niendo
h , l. 0 , ul
B – la, b. e, d, e , fl
A U B = la , e, l. 0, u, b, e, d , fI
AU B
Cuando un elemento está e n los dos conjuntos Jo pondremos en la
unión una sola vez.
PROPIEDADES DE LA UNION DE CONJUNTOS
) Propiedad uniforme: La unión de dos conjuntos existe siempre y es
única
2 Propiedad conmutativa Dados dos conjuntos cualesquiera A y B
siempre se verifica
flca
AU B=BU A
Ejemplo 5 Si A – 11 . 21 Y B – 12. 4. 6)
A U B – 1 1, 2, 4, &1
B U A – 12, 4. 6. 11
A U B Y 8 U A están formados por los mismos elementos y por
tanto son iguales.
3 Propiedad asociativa: Dados tres conjuntos A. B y C, siempre se veri –
lA U B) U C = A U (B U C)
Ejemplo 6 SI A – 11. 21. B – 12, 4. 61 Y e – 11. 4 , 51
lA U BI U e – 111 , 21 U 12, 4, 611 U 11, 4. 51 – 11 , 2, 4, 61 U
U JI, 4, 51 – t1 , 2, 4, 5, 61
www.Matematica1.com
A U lB U el 11, 21 U 112,4, 61 U 11, 4, 511 – 11, 21 U
U 12, 4, 6, 1, 51 – 11, 2, 4, 5, 61
(A u BI u e y A U {B U el están formados por los mismos elementos
y por tanto son iguales
4. Elemento neutro. Dado un conjunto cualquiera A y el conjunto vacío
q” siempre se verifica
5 Propiedad idempotente Dado un conjunto cualquiera A, siempre se
verifica
AUA~A
Todas estas propiedades son fácilmente representables mediante diagramas
de Venn.
INTERSECCION DE CONJUNTOS. Se l/ama intersección de los conjuntos
A y B y lo representamos por A n B, al conjunto formado por todos
los elementos que pertenecen simultáneamente a A y a B
A n B ~ Ixlx E A Y x E BI
Gráficamente
A
AnB
Ejemplo 7 Dados Jos conjuntos.
A “” la, e, i, 0 , u]
B – la, b, e, d, e, fl
A n B ~ la, el
www.Matematica1.com
b
d
o
AnB
Como caso particular puede ocurrir que dados dos conju ntos A y B se
verifique que A e B en cuyo caso tendríamos
B _A
An B
PROPIEDADES DE LA INTERSECCION DE CONJUNTOS
1 Propiedad uniforme: La intersección de dos conjuntos existe sIempre.
y es única
2 Propiedad conmutatlua Dados dos conjuntos cualesquIera A y B
siempre se verifica
ca
Ejemplo 8. Si A ~ 11. 2. 5. 81 Y R – 12.4. 6. 81
A n B – 12.81
B n A – 12. 81
A n B y B n A están formados por los mismos elementos y por
tanto son iguales
3 Propiedad osocialivo: Dados tres co njuntos A, B y e siempre se verifi·
(A n Bi n C = A n (B n ei
www.Matematica1.com
Ejemplo 9 Si A – 11,2,5,81. B = 12,4,6,81 yc ,.. jI, 2, 3,
4,51
lA n BI n C – 111,2,5,81 n 12,4,6,811 n 11,2,3.4,51 –
– 12,81 n 11,2, 3, 4. 51 – 121
A n lB n CI ~ 11, 2, 5, 81 n 112.4, 6. 81 n 11,2. 3. 4, 511 –
~ 11. 2, 5, 81 n 12. 41 – 121
{A n Bl n e y A n (B n el están formados por los mismos elementos
y por tanto son iguales
4, Propiedad absorbente. Dado un conjunto cualquiera A, se verifica
5. Propiedad idempotente. Dado un conjunto cualquiera A, se venfica
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA Dados tres conjuntos A, B y e se define
la propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión
A n lB U e) ~ lA n BI U lA n el
Gráficamente.
An(BUC)
(AnBlU(Ane¡
y la propiedad distributiva de la unión respecto de la intersección
A U lB n el ~ lA U BI n lA U el
www.Matematica1.com
Gráficamente
AU(BnC)
(AUBin¡AUCJ
Ejemplo lO. Dados los conjuntos A – (2, 4, 6, 81. B .. (1, 3, 5,
6,81 y e ~ 11,2, 31
A n lB n el ~ 12,4,6,81 n 111,3,5,6,81 U 11, 2, 311 –
~ 12,4,6, 81 n 11, 2, 3, 5, 6, 81 – 12, 6, 81
(A n BI u lA n el – 112,4, 6, 81 n [1, 3, 5, 6, 811 u
u 112, 4, 6, 81 n [1, 2, 31J
– 16, 81 U 121 – 12, 6, 81
Se cumple que
A n lB U C) – lA n BI U lA n el
A U (B n el ~ 12,4,6, 81 U ([1, 3, 5, 6, 81 n 11,2,311 –
– 12, 4, 6, 81 U [1, 31 ~ [1, 2, 3, 4, 6 81
lA U BI n lA U C) – 112,4, 6, 81 U 11,3,5,6,811 U
n 112, 4, 6, 81 U 11, 2, 311 –
Se cumple que
“‘” (1,2,3,4,5,6,81 n (1,2,3,4,6,8] –
– 11, 2, 3, 4, 6, 81
A U lB n el ~ lA U BI n lA U el
Para demostrar las dos propiedades distributivas nos basamos en la propiedad
antisimétrica de la inclusión de conjuntos, es decir, que el conjunto
del primer miembro de la igualdad está contenido en el segundo y que el segundo
miembro está contenido en el primero Como consecuencia el primer
miembro será igual al segundo miembro.
www.Matematica1.com
Partimos de un elemento cualquiera x perteneciente al primer miembro
hasta llegar a demostrar que también pertenece al segundo miembro; como
x es cualquier elemento habremos demostrado que el primer miembro de la
igualdad es un subconjunto del segundo miembro . Después supondremos
que el elemento x pertenece al segundo miembro y llegaremos a que también
pertenece al primero, con lo que el segundo miembro de la igualdad es
un subconjunto del primer miembro.
Este razonamiento será empleado para demostrar la igualdad entre conJunios
Vamos a demostrar
A n lB U C) ~ lA n BI U lA n C)
Sea x E A n lB U C) . entonces x E A Y )( E B U e, lue-9o )( pertenece
a uno por 10 menos de los conjuntos B o C ; esto quiere decir que )(
pertenece a uno por lo menos de los conjuntos A n B o A n C. es decir
x E lA n BI U lA n C)
Por tanto
A n lB U C) e lA n BI U lA n C)
Recíprocamente: Si )( E lA n B) U (A n C) , resulta que x pertenece
a uno por lo menos de los conjuntos A n B, A n C; en cualquier caso resulta
que )( E A Y además x E B o x E e de donde se obtiene
xEA nIBUC)
Por tanto
lA n BI U lA n el e A n lB U el
De la doble inclusi6n se deduce que
A n lB U C) – lA n BI U lA n C)
Esquemáticamente se puede expresar de la sIguiente forma.
1) A n (B U C) e (A n Bl u (A n C) lo que equivale a demostrar
v x E An lB U el = x E lA n BI U lA n C)
www.Matematica1.com
En efecto
{
XEA {XEA
‘ttI xEAn(BUC) .. y …. y ~
xEBUC xEBoxEC
{
XEAYXEB {XEAnB
=> o ~ o ~ x E lA n BI U lA n el
x E. AyxEC xEAnC
2l (A n Bl u (A n el e A n (B u e) lo que equivale a demostrar
v x E lA n BI U lA n q ~ x E A n lB U el
En efecto’
{
XEAnB {XEAYXEB
v x E lA n BI U lA n q – o ~ o ~
xE Ane xEAyxEe
{
XEA {XEA
= y = y ~xEAn
xE BoxEC xEBUC
lB U el
Hemos demostrado que
A n lB U el – lA n BI U lA n el
Siguiendo el mismo procedimiento vamos a demostrar la segunda pro·
piedad dlstribulwo, la de Jo uni6n respecto de la intersección
A U lB n el – lA U BI n lA U q
1I A U lB n q e lA U BI n lA U el
{
XEA {X EA
‘ttI x E A u (B n el = o = o =
x EBne xEByxEe
{
XEAOXEB {XEAUB
~ y – y ~ x E IAU BI n lA U q
xEAoxEe xEAUC
www.Matematica1.com
2) lA U Bi n lA U C) e A U lB n C)
{
XEAUB {XEAOXEB
v x E (A U Bl n (A U Cl ~ y ~ y ~
xEAUC xEAoxEC
~ {X E A o=>{ x E ~ => x E A U (B n e)
xEByxEC xEBnc
Por la propiedad antisimétríca de la inclusión de conjuntos acabamos de
demostrar que se cumple la igualdad
PROPIEDAD SIMPLIFICA TIVA Si A Y B son dos conjuntos cualesquIera,
se verifica
Gráficamente
(AUBjnA _ A
DemostracIón
(A U BI n A ~ A
(A n BI U A ~ A
lA U B) n A ~ A
(AnB)UA-A
{
XEAUB
al ‘tí x E (A U Bl nA=> y => x E A
x E A
Por tanto {A U Bl n A e A
{
XEAyUB _
b) v x E A ~ _ x E lA U Bi n A
x E A
www.Matematica1.com
Por tanto A e (A U B) n A
Se cumple que
lA U BI n A ~ A
Dejamos al lector la segunda demostración siguiendo el esquema desarrollado
anteriormente
4_ Partición
CONJUNTOS DISTINTOS. Dados dos conjuntos A V B son disjuntos
cuando su intersecci6n es el conjunto vacío_
A y B son disjuntos si A n B = el>
Dos conjuntos disjuntos no tienen ningún elemento común
Gráficamente
Ejemplo 1 Los conjuntos A – 11, 2, 3, 41 Y B – Ir. s, tI son disjuntos
porque
A n f3 – 11, 2, 3, 41 n Ir. s, ti = cP
Ejemplo 2 Un conjunto A y su complementario A’ son disjuntos
porque
PARTICION. Dado un conjunto A, si podemos encontrar dos subconjuntos
B y e de A tales que cumplan las dos condiciones
11 A ~ B U e
21’¡’~Bnc
diremos que se ha efectuado una partici6n del conjunto A
www.Matematica1.com
Gráficamente
Ejemplo 3. Considerando el conjunto universal o referencial U, un
conjunto cualquiera A y su complementario A I orIginan una partición
de U ya que
11 A U A ‘ – U
21 A n A ‘ = $
u
Ejemplo 4. Una particL6n del conjunto N de los números naturales
la constituyen los números pares P y los números impares I ya que
11 N ~ PUl
21~ -pn l
N
La definición de partición se puede generalizar de la siguiente forma :
Dado un conjunto A consideremos los conjuntos Al . A2 • . • , Aj • _ __ , A”,
Estos subconjuntos originan una partición del conjunto A si verifican
1) A = A, U A, U U A, U U A.
2) Si i ‘* j entonces A .. n Aj cp
SI consideramos cuatro subconjuntos de A: Al. Az, A3 Y ~ para que formen
una partición se tiene que cumplir:
1) A – Al U Az U A3 U A.
2) Al n Az – 4>; Al n Al = tP: Al n A. = ti>
Az n Al = 4>: Az n A. == 4>: Al n A. – 4>
www.Matematica1.com
Gráficamente
Ejemplo 5. Considerando el conjunto
A ~ 11,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 91
los subconjuntos
Al – 11, 2, 31. A2 – 14, 51 y AJ – 16, 7, 8, 91
constituyen una partición de A ya que
1) A – Al U Az U AJ
2) Al n Az ~ rp, Al n Al – rp Y Az n A3 – rp
5. Retículo y Algebra de Boole
FAMILIA DE CONJUNTOS. Se consideran a veces conjuntos de conjuntos,
es decir, conjuntos cuyos elementos son a su vez conjuntos A un
conjunto de conjuntos le llamamos familia de conjuntos.
Las familias de conjuntos las nombramos utilizando letras inglesas mayúsculas:
‘/,M, ((” (/, .
CONJUNTO DE LAS PARTES DE UN CONJUNTO: Dado un conjunto
X, todos los subconjuntos de este conjunto incluidos el propio conjunto X y
el conjunto vacío 4J componen una familia de conjuntos que se llama conjun·
to de las partes de X y se representa por /1 (X).
www.Matematica1.com
Considerando el conjunto X – la. b) de dos elementos. los subconjuntos
que se pueden formar son
q” lal. Ibl. la, bl
siendo
.’1 IX) = 14>, lal. lb), la, bl I
Considerando el conjunto X = la. b, eJ de tres elementos, los subconjuntos
posibles que se pueden formar son
4>, lal. Ibl. le l, la , bl, la, e), lb, e) , la , b. e)
siendo
‘1 IXI = 14>, la l. Ibl, lel. la, bl. la, el. lb, el. XI
De esta manera podrramos seguir formando el conjunto de las partes de
X si estuviero formado por 4,5,6, “‘. n elementos.
Podemos observar que el número de elementos de ,JI {Xl en el segundo
caso es:
– Subconjuntos formados por O elementos: W
– Subconjuntos formodos por 1 elemento: m
-Subconjuntos formados por 2 elementos: m
– Subconjuntos formados por 3 elementos: m
El número de elementos de ;!J> (Xl es
w + m + m + m = 11 + 11′ – 2′ = 8
cosa que podemos comprobar observando los elementos obtenidos en
,.. IXI
Cuando el conjunto X consta de n elementos
– Subconjuntos formados por O elementos: (o)
-Subconjuntos formados pOr 1 elemento: (7)
– Subconjuntos formados por 2 elementos: (2)
-Subconjuntos formados por n elementos: (~)
El número de elementos de .1′ (Xl es
(;) + (;) + (i) + .. + (:) – 11 + 11″ – 2″
www.Matematica1.com
RETICULO y ALGEBRA DE BOOLE Consideremos el conjunto no
vacío X y sea jl (X) el conjunto de las partes de X. Sean A, B y C tres elementos
cualesquiera de .!Ji (X), respecto de la uni6n e intersecci6n verifican
las propiedades siguientes:
11 Asociativa
lA U BI U e ~ AUIBUC) lA n BI n e – A n lB n el
21 Conmutativa
AUB~BUA AnB – BnA
31 Idempotente
AUA~A
41 Simplificativa
A U lA n BI ~A A n lA U BI – A
Por cumplir estas cuatro propiedades el conjunto JjJ (X) de las partes del
conjunto X es un retículo.
Se l/ama retículo a todo conjunto en el que se han definido dos operaciones
que cumplen las propiedades asociativa , conmutativa, Idempotente y
simplificativa.
En el retículo de las partes de un conjunto, cada elemento, que es un
subconjunto tiene su complementario; es decir para todo A E Jj (X) existe
A’, esto da lugar a una nueva propiedad.
5) Complementaria
A U A’ – X A n A’ ~ ~
cuando se cumplen estas 5 propiedades se llama retículo complementario
Si además se cumple la propiedad
6) Distributiva
AnIBUC)
A U lB n el ~
lA n BI U lA n C)
lA U BI n lA U C)
el retículo será complementario y distributivo,
www.Matematica1.com
Un retículo complementario y distributivo se dice que es un Algebra de
Boole_
El conjunto l’ (X) de las partes de X respecto U y n es un Algebra de
Boole,
Ejemplo 1 Un conjunto A con las operaciones + y . es un Algebra
de Boole si verifica las siguientes propiedades:
1) Asociativa
a + (b + e) = (a + b) + e a (b e) – (a b) e
2) Conmutativa
a+b – b+a a b – b a
3) Idempotente
a + a – a a a – a
4) Slmphfieativa
a + (a b) – a a (a + b) – a
5) Complementaria
a + a’ ~ 1 a a’ – O
6) Distributiva
a (b + e) = la b) + (a e) a + (b el “” (a + b) (a + e)
Ejemplo 2 Partiendo de las propiedades anteriores, demostrar
a + O … a
a 1 = a
Por la proPiedad simplifieativa
a + (a a’) – a
a (a + a’) – a
y aplicando la propiedad complementaria
a + (a – a’) – a + O ‘”” a
a (a + a’) “” a 1 = a
www.Matematica1.com
6. Fórmulas de Morgan
Estas fórmulas relacionan mediante la unión e intersección el estudio de
los conjuntos y sus complementarios. Son las siguientes:
1) Si A y B son dos subconjuntos del conjunto universal U, se verifica
lA U Bi’ – A’ n B’
Gráficamente
(A U B)’
La demostración analítica consiste en ver que
al lA U BI’ e A’ n B’
bl A’ n B’ e lA U BI’
al lA U BI’ e A’ n B’
{
v ” E lA U BI’ ~ x $ A U B ~ “”‘yA __ {
x $ B
~ x E A’ n B’
bl A’ n B’ e lA U BI’
{
” E A’
vxEA’nB':=. y
x E B’
= ” E lA U BI’
Por la propiedad antisimétrica de la inclusión
lA U BI’ ~ A’ n B’
x E A ‘
y
x E 8′
www.Matematica1.com
2) Si A Y B son dos subconjuntos del conjunto universal U, se verifica
(A n BI’ ~ A’ U B’
Gráficamente
A
(A n B)’
La demostración analítica consiste en ver que
al lA n BI’ e A’ U B’
bl A’ U B’ e lA n BI’
al lA n BI’ e A’ U B’
v , E lA n BI’ ~ x Ix E Ujx :: 61 –
– 16. 12. 18, 24. 301
2) B n e – Ix E ulx – :i y x ~ 51 – 1, E u lx – 15) – 115. 301
3) A ~ Ix E Ulx ” 21 – 11 . 3. 5, 7. 9. 11 . 13. 15, 17. 19. 21. 23, 25,
27 .291
4) e n A – Ix E U I x – 1; y x ” 21 – 15, 15, 251
5) B – A – Ix E ulx – 3 y x ” 21 – 13. 9, 15. 21. 271
6) A n B () e – Ix E U 1)( – 2, x – 3, x-51 –
– Ix E Ul x – 30) – 1301
7) A n lB u el – Ix E Ulx – 2 y Ix – :i 6 , – 511 –
– 16. 10. 12. 18, 20. 24. 30)
8) A – lB n el – Ix E Ulx – 2 y x ,. 151 – 12,4.6. B. 10, 12, 14. 16.
18. 20. 22. 24 , 26, 281
9 . Resolver los siguientes cusos ‘
aJ Simplificar la expresión siguiente tenieBdo en cuenta que el complementario
de un conjunto e lo expresamos mediante e
lA n Si n [B n lA n SiJ
b) Si a tiene 23 elemenlos. A U B tiene 41 elementos y A n B tiene 8 elementos,
¿cuántos elementos tendTl1_ B. A – B y B – A?
(Oposición EGB, 1980)
www.Matematica1.com
Solución
al lA n BI n [B n lA n BI[ – lA n BI n [B U lA n B)] –
– A n B
b)
nlA) = 23 , nlA U B) – 41 , nlA n B) = 8
n(B) – níA U B) – n(A) + n(A n B) – 41-23 + 8 = 26
n(A – B) – n(A) – níA n B) – 23 – 8 – 15
nlB – A) – nlB) – nlA n B) = 26 – 8 – 18
10. Siendo X, Y, Z subconjuntos de U. simplificar la expresión
IX n IV n Z)} U IX U V) U Z]
teniendo en cUfl….nta que el complementario de un conjunto cualquiera A lo expresamos
mediante A
(OpOSICIón E G B > 1981)
Soluci6n
[X n IY n Z)] U [IX U VI U Z[ =
– [X n IV n Z)] U [IX U VI n Z] –
– [X n IY n Z)] U [X n y n Z[ –
= [IX n Y) n Z] U [IX n YI n Z] _
=[Xn~n~u~ – [Xn~nU-XnY
11. Siendo A. B Y e subconjuntos de U. simplificar la siguiente expresión.
[(A n B) n C] U [(A n B) n C’] U lA’ n B)
www.Matematica1.com
Soluci6n
[lA n BI n CJ u [lA n BI n e’] u lA’ n BI –
– [lA n BI n le u C’I] u lA’ n BI –
– [lA n BI n U] u lA’ n BI ~
~ lA n BI u lA’ n BI – lA u A’I n B – un B – B
12. Siendo A, B Y e subconjuntos de U, simplificar la siguiente expresión’
[[A n lB’ u C)] U lA’ n ell n [B n lA u el’]
Solución
IIA n lB’ u el] u lA’ n ell n [B n lA u C)’] –
– [lA n B’I u lA n C) u lA’ n C)] n [B n lA u C)” –
– IIA n B’I u IIA U A’I n CJI n [B n lA u C)” –
– [lA n B’I u CJ n [B n lA u el’, –
– lA U C) n lB’ u el n B n lA u C)’ –
~ lA U el n lA u C)’ n lB’ u C) n B – ”
13. Siendo A, B y e tres conjuntos demostrar la siguiente igualdad’
A – lB U C) – lA – BI n lA – el
Solución
lA – BI n lA – C) – lA n B’I n lA n e’l – A n lB’ n e’l –
_ A n lB U C)’ – A – lB U C)
14. Siendo A, B y e tres conjuntos demostrar la siguiente igualdad,
A n lB – C) ~ lA n BI – lA n C)
Solución
lA n BI – lA n C) – lA n BI n lA n el’ –
~ lA n BI n lA’ U e’l –
– IIA n BI n A’] U [lA n BI n C” –
– A n lB n C’I – A n lB – CI
www.Matematica1.com
15. Demostrar la siguiente igualdad aplicando la propiedad antisimétrica de la
inclusión’
8 – lA n 81 – 8 – A
Solución
11 8 – lA n BI e 8 – A
{
‘EB {XE8
v x E S – (A n Sl => y = y =>
x Y =>xEB-A
x y =xESx<$ A x$An8 lA n 81 16. Demostrar la siguiente igualdad aplicando la propiedad antisimétrica de la inclusión. A - lB - el - lA - BI U lA n el Solución 11 A - 18 - el e lA - BI U lA n C) { XEA {XEA vxEA-(S-C) ... y ... y x <$ 8 - e x <$ 8 n e' { XEA {XEAYX<$B {XEA-8 => y => 0=0=
x$.Soxf$.C’ xEAyxEC xEAnc
=> x E (A – SI U (A n C)
www.Matematica1.com
21 lA – BI U lA n CI e A – lB – C)
{
X E A B
vxE(A-BI U(AnC) – 0-
x E A n e
{
XE AYX”B
~ o ~
xEAyxEC
{
XEA {XEA {XEA
– y ~ y – y
x”B ox EC x’f Box EtC’ .EtBnC’ –
… x E A – (B n C’) ~ K E A – (8 – e)
17. En el diagrama siguiente: ,. Al’
u
12
8 Y.. 10 ” ./
15
Determrnar
1} n (A) 41 o(B – Al
2) o (B) 5) n(A U B)
3) nlA – B) 6) nlA n B)
Solución
1) n(A) – 8 + 12 – 20 41 nlB – Al – 10
2) n(B) – 12 + 10 – 22
31 nlA – BI – 8
5) n(A U SI – 8 + 12 + 10 w 30
6) “lA () SI – 8 + 10 + 15 – 33
18. Un tribunal de oposiciones claslffca ti las personas presentadas a las prue·
bas en tres clases:
– Varones , a cuyo conjunto llama V.
– Especialistas en FlIología, a cuyo conjun to llama F.
– Con servidos imerinos, a cuyo conjunto llama 1.
www.Matematica1.com
El cómputo de opositores da la siguiente informacl6n :
– El número total de personas presentadas es de 250.
– El cardinal de Ves ]24 .
– El cardinal de Fes 99.
– El cardinal de les 121
– De los Llorones, 51 pertenecen a I y 45 pertenecen o F
– De los especialistas en Fi/% gra, 38 pertenecen a J.
-20 personas tienen las tres características. son varones. especialistas en Fi/ologro
y tienen semicios interinos.
Hacer un diagrama co nJuntrsta que ilustre /a situaci6 n.
Razonar
al ¿Cuántos uorones no tienen seruicios inte rinos ni son especialistas en Frlo/ogio

b) ¿Cuántas personas con serviCIOS interinos son mujeres y no especia/lstas en
Fll%gía’
(OpOSICión EG B. 1978)
Soluci6n
Construyendo un diagrama de Venn
al Los varones que no tienen servicios interinos ni son especialistas en Filología
son 48.
bl Personas con servicios Interinos son mujeres y no especialistas en Filología
52
19_ En el conjunto formado por todos los números naturales menores que
1 000, decir cu6ntos hay que no son múfliplos ni de 3 . ni de 5 , ni de 7.
www.Matematica1.com
Solución
Llamamos
A ¡xix 3, 1 S x < 10001 B ¡xix 5, 1 " x < 10001 e [xix 7, 1 s x< 10001 AnB [xix 15, 1 ~ x < 1.0001 Ane [xix il, 1 ~ x < 1.0001 Bne [xix 35, 1 :5 x < 1.0001 AnBnc [xl x 105, 1 :5 x < 1.000) n(Al _ 999 _ 333 995 199 n(el 994 nlBI ~ -- 142 --- ~ 3 5 7 nlA n BI 990 66 987 ~ --- nlA n el - - ~ 47 15 21 n(B n C) _ 980 _ 28 n(A n B n el ~ _94_5 _ 9 35 105 n(A u B U C) =o n(Al + n(B) + n(e) - n{A n B) - n(A n C) - n(B n el + n{A n B n e) - 333 + 199 + + 142 - 66 - 47 - 28 + 9 - 542 nlA u B u el - 999 - 542 - 457 20. En una reunión hay más hombres que mujeres, más mujeres que beben que hombres que fuman, más mujeres que juman y no beben que hombres que no fuman ní beben. Demostrar que hay menos mujeres que no beben ni juman que hombres que beben y no juman. Solución Gráficamente Homrn-es Mujeres E L ___ .L _______ H.J No beben www.Matematica1.com Siguiendo el enunciado y el gráfico escribimos: níA) + n(8) + n(C) + n(D) > n(E) + n(F) + n(G) + n(H)
n(E) + n(F) > n(C) + n(D)
n(G) > n(8)
sumando m a m
níA) + n(8) + n(C) + n(D) + n(E) + n(F) + n(G) >
> n(E) + n(F) + n(G) + n(H) + n(C) + +n(D) + n(8)
simplificando resulta
n(A) > n(H)
Hay más hombres que beben y no fuman que mujeres que no beben ni fuman
21. Dado el conjunto universal U y siendo A y B dos subconjuntos de U y A’
Y B’ los complementarios de A y B, se Pide averiguar si son ciertas las igualdades
siguientes_
1) n(A n B’) = n(A) – n(B)
2) n(A n B’) + n(A n B) == n(A)
3) n(A’ U B) + n(A’ n B) == n(A U B) – n(A n B)
cuando:
a)AnB=cp
b) A n B ‘” ” y A ~ B y B c¡: A
Solución
Formamos la siguiente tabla
a b
1 no no
2 ,; ,;
3 no no
www.Matematica1.com
22. Siendo M un conjunto dado y A. B y e tres subconjuntos de M J,I siendo.
Calcular
Solución
n(MI ~ 100
n(A) ~ 45
n(B) ~ 48
n (e) = 35
1) nfA n B n el
2) n(A n B)
n(A U B U el ~ 90
rI(A n e) = 12
n(AnB’ ne’)=20
n(A’ B ‘ n e) = 15
3) nfA ‘ n B n e ‘ )
4) n (A ‘ n B’ n C ‘)
M
11 nlA n 8 n el – 5
21 nlA n BI – 18
31 nlA ‘ n B n C’I =22
41 nlA ‘ n B’ n e’l – 10